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数形结合思想在函数和不等式方面的应用 摘要：数学是研究数量关系和空间形式的科学，数和形的关系是非常密切的。
把数和形结合起来，能够使抽象的数学知识形象化，把数学题目中的一些抽象的数量关系转化为适当的几何图形，在具体的几何图形中寻找数量之间的联系，由此可以达到化难为简、化繁为易的目的。
关键词：数形结合 函数 不等式 应用数形结合是一种极富数字特点的信息转换方法，数学上总是用数的抽象性质说明形的事实，同时又用图形的性质来说明数的事实。
应用数形结合法，通过图形性质的的分析，使数学中的许多抽象的概念及定理直观化、形象化、简单化，并借助代数的计算和分析得以严谨化。
利用图形的直观性来讨论函数的值域(或最值)，求解变量的取值范围，运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，是函数教学中的一项重要内容。
例 1: 对于 x ∈R, y 取 4 - x, x + 1，21(5 - x)三个值的最小值。
求y 与x 的函数关系及最大值。
分析：在分析此题时, 要引导学生利用数形结合思想, 在同一坐标系中, 先分别画出 y = 4 - x, y = x + 1, y = 21(5 - x)的图像，如图3。
易得:A (1, 2) ，B (3, 1) , 分段观察函数的最低点，故y 与x 的函数关系式是: y=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+x x x 4)5(211 3) >(x 3)1<(1)1(≤≤x图1它的图像是图形中的实线部分。
结合图像很快可以求得,当x= 1 时, y 的最大值是 2。
例 2:若函数 f(x)是定义在R 上的偶函数,在(- ∞,0]上是减函数，且f(2)=0 ,求 f(x)< 0的x 的范围。
解:由偶函数的性质,y = f(x)关于y 轴对称,由y = f(x)在(- ∞,0 )上为减函数,且 f(-2) = f(2) = 0 ,做出图4,由图像可知f(x)< 0 ，所以x ∈（- 2，2)图2处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。
巧构函数妙解抽象函数导数与不等式问题广东省汕头市澄海华侨中学(515800)潘敬贞山东省邹平县黄山中学(256200)韩景岗云南省昆明高新区第三中学(650500)唐明超摘要抽象函数导数与不等式问题具有高度的抽象性,处理该类问题对数学抽象、逻辑推理核心素养和数学综合能力的要求比较高.针对该类问题本文给出两种求解策略:构造特殊函数满足题目条件和根据题意构造辅助函数进行求解.根据常见的抽象函数导数与不等式问题进行归类,并针对每一类型题给出例题及两种求解策略,旨在与同行交流、探讨.关键词巧构函数;抽象函数;导数与不等式抽象函数导数不等式问题具有高度的抽象性,解决该类问题对数学抽象、逻辑推理等数学核心素养和数学综合能力的要求比较高,因此不少学生对其望而生畏.欲正面突破,求解难度较大,如果能够根据题设中已知的不等式或方程的式子结构特点,构造满足题目条件的特殊函数或构造一般的辅助函数,将抽象问题具体化、简单化,最后通过研究辅助函数的单调性、极值、最值等函数性质即可将问题顺利解决.本文将常见的抽象函数导数与不等式问题进行归类,针对每个类型题,给出相应例题,每道例题给出两种求解策略,并给出相应变式题供大家参考.类型题1已知函数y=f(x)(x∈R),且f(x0)=kx0+b,其导函数f′(x)<k(k>0)或f′(x)<k(k<0)或f′(x)>k(k>0)或k<f′(x)<0,求不等式f(x)<kx+b的解集.例1已知函数y=f(x)(x∈R),且f(1)=1,其导函数f′(x)<12,则不等式f(x)<x2+12的解集为()A.{x|−1<x<1}B.{x|x<1}C.{x|x<−1或x>1}D.{x|x>1}解析策略一:构造特殊函数.观察得知导函数小于某一个常数,故考虑构造一个常函数满足题目条件即可.令f(x)=1,则f′(x)=0满足题目条件,把f(x)=1代入f(x)<x2+12得1<x2+12,解得x>1,故选D.策略二:构造辅助函数.令g(x)=f(x)−x2−12,则g′(x)=f′(x)−12<0,所以g(x)在R上单调递减,又因为g(1)=f(1)−12−12=0,所以当x>1时满足g(x)<0,即f(x)<x2+12成立,故选D.评注对比以上两种解题策略,发现解答过程有很大的差别,策略一的解答过程更简洁,效率更高,达到小题小做的目的;策略二更具有一般性,适用范围更广一些,是处理一些不等式恒成立问题的一般方法,但是过程相比策略一更复杂一些.变式1已知函数y=f(x)(x∈R),且f(1)=2,其导函数f′(x)<1,则不等式f(x)<x+1的解集为()A.{x|x<−1}B.{x|−1<x<1}C.{x|x<−1或x>1}D.{x|x>1}解析策略一:构造特殊函数.令f(x)=2,则f′(x)=0满足题目条件,把f(1)=2代入f(x)<x+1得2<x+1,解得x>1,故选D.策略二:构造辅助函数.令g(x)=f(x)−x−1,则g′(x)=f′(x)−1<0,所以g(x)在R上单调递减,f(x)<x+1即g(x)<0,又因为g(1)=f(1)−1−1=0,所以当x>1时满足g(x)<0即f(x)<x+1成立,故选D.变式2已知函数y=f(x)(x∈R),且f(−1)=2,其导函数f′(x)>2,则不等式f(x)>2x+4的解集为.解析策略一:构造特殊函数.令f(x)=3x+5,则f′(x)=3满足题目条件,把f(x)=3x+5代入f(x)>2x+4得3x+5>2x+4,解得x>−1,故不等式f(x)>2x+4的解集为{x|x>−1}.策略二:构造辅助函数.令g(x)=f(x)−2x−4,则g′(x)=f′(x)−2>0,所以g(x)在R上单调递增,f(x)>2x+4即g(x)>0,又因为g(−1)=f(−1)−2(−1)−4=0,所以当x>−1时满足g(x)>0即f(x)>2x+4成立,故不等式的解集为{x|x>−1}.变式3已知函数y=f(x)(x∈R),且f(1)=1,其导函数f′(x)<12,则不等式f(lg2x)<lg2x2+12的解集为()A.(0,110)B.(10,+∞)C.(110,10) D.(0,110)∪(10,+∞)解析策略一:构造特殊函数.令f (x )=1,则f ′(x )=0满足题目条件,把f (x )=1代入f (x )<x 2+12得x >1,令lg 2x 2+12>1,解得x >10或0<x <110,故选D.策略二:构造辅助函数.令g (x )=f (x )−x 2−12,则g ′(x )=f ′(x )−12<0,所以g (x )在R 上单调递减,又因为g (1)=f (1)−12−12=0,所以当x >1时满足g (x )<0即f (x )<x 2+12成立,从而得lg 2x >1,解得x >10或0<x <110,故选D.变式4(2015年高考福建卷理科第12题)若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)=−1,其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1,则下列结论中一定错误的是()A.f (1k )<1kB.f (1k )>1k −1C.f (1k −1)<1k −1D.f (1k −1)>kk −1解析策略一:构造特殊函数.令f (x )=(k +m )x −1(k,m ∈R 且k >1,m >0),则f ′(x )=k +m >k 满足题目条件,当m =12时,f (1k )=k +12k−1=12k <1k 成立,故A 正确;当m =2时,f (1k )=k +2k −1=2k >1k −1有解,故B 正确;当m =1时,f (1k −1)=2k −1>k k −1有解,故D 正确,从而选C.策略二:构造辅助函数.设g (x )=f (x )−kx +1,且g ′(x )=f ′(x )−k >0,所以g (x )在R 上单调递增,又因为g (0)=f (0)+1=0,k >1,对选项一一判断,可得C 错,故选C.类型题2若f ′(x )+f (x )>1(或<1),则构造辅助函数g (x )=e xf (x ).例2已知函数y =f (x )(x ∈R ),且f (0)=2015,对于任意的x ∈R 都有f ′(x )+f (x )>1,则不等式e x f (x )>e x +2014的解集是()A.(2014,+∞)B.(−∞,0)∪(2014,+∞)C.(−∞,0)∪(0,+∞)D.(0,+∞)解析策略一:构造特殊函数.观察得知导函数小于某个常数,故考虑构造一个常函数满足题目条件即可,因此令f (x )=2015,则f ′(x )+f (x )=2015>1满足题目条件,把f (x )=2015代入e x f (x )>e x +2014得2015e x >e x +2014解得x >0,故选D.策略二:构造辅助函数.令g (x )=e x f (x )−e x ,则g ′(x )=e x (f (x )+f ′(x )−1)>0,所以g (x )在R 上单调递增,又因为g (0)=f (0)−1=2014,所以e x f (x )>e x +2014⇔g (x )>g (0),所以x >0,故选D.评注策略一的关键是找到满足f (0)=2015,对于任意的x ∈R 都有f ′(x )+f (x )>1的特殊函数,然后将特殊函数代入不等式e x f (x )>e x +2014即可求出答案;策略二根据类型题构造合适的辅助函数,并对其进行求导,判断导数的符号即可得出辅助函数的单调性,最后求出不等式的解集.变式1已知函数y =f (x )(x ∈R ),且f (0)=2,对于任意的x ∈R 都有f ′(x )+f (x )>1,则不等式e x f (x )>e x +1的解集是()A.{x |x <−1或0<x <1}B.{x |x <0}C.{x |x <−1或x >1}D.{x |x >0}解析策略一:构造特殊函数.令f (x )=2,则f ′(x )+f (x )=2>1满足题目条件,把f (x )=2代入e x f (x )>e x +1得2e x >e x +1,解得x >0,故选D.策略二:构造辅助函数.令g (x )=e x f (x )−e x ,则g ′(x )=e x (f (x )+f ′(x )−1)>0,所以g (x )在R 上单调递增,又因为g (0)=f (0)−1=1,所以e x f (x )>e x +1⇔g (x )>g (0),所以x >0,故选D.类型题3若f ′(x )−f (x )>0(或<0),则构造辅助函数g (x )=f (x )ex .例3已知函数y =f (x )(x ∈R ),满足导函数f ′(x )>f (x )恒成立,若x 1<x 2则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为()A.e x 1f (x 2)>e x 2f (x 1)B.e x 1f (x 2)<e x 2f (x 1)C.e x 1f (x 2)=e x 2f (x 1)D.e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小不确定解析策略一:构造特殊函数.令f (x )=−2,则f ′(x )>f (x )满足题目条件,所以e x 1f (x 2)=−2e x 1,e x 2f (x 1)=−2e x 2.因为y =e x 在R 上单调递增,x 1<x 2,所以e x 1<e x 2,所以−2e x 1>−2e x 2,所以e x 1f (x 2)>e x 2f (x 1),故选A.策略二:构造辅助函数.令g (x )=f (x )e x,则g ′(x )=f ′(x )−f (x )e x>0,所以g (x )在R 上单调递增,又因为x 1<x 2,所以g (x 1)<g (x 2),所以f (x 1)e x 1<f (x 2)e x 2,即e x 1f (x 2)>e x 2f (x 1),故选A.评注策略一在构造特殊函数时,若f ′(x )>f (x )一般令f (x )=c (c <0),若f ′(x )<f (x )一般令f (x )=c (c >0);策略二是根据题意直接构造辅助函数并对其进行求导、判断导数的符号,可得出辅助函数的单调性即可选出正确选项.变式1已知f (x )是可导函数,且f ′(x )<f (x )对于任意的x ∈R 恒成立,则()A.f (1)<ef (0),f (2016)>e 2016f (0)B.f (1)>ef (0),f (2016)>e 2016f (0)C.f (1)>ef (0),f (2016)<e 2016f (0)D.f (1)<ef (0),f (2016)<e 2016f (0)解析策略一:构造特殊函数.令f (x )=2,则f ′(x )<f (x )满足题目条件,所以f (1)=2,ef (0)=2e,f (2016)=2,e 2016f (0)=2e 2016,故选D.策略二:构造辅助函数.令g (x )=f (x )e x,则g ′(x )=f ′(x )−f (x )e x<0,所以g (x )在R 上单调递减,又因为,所以g (0)>g (1),所以f (0)e 0>f (1)e,即f (1)<ef (0),g (0)>g (2016),所以f (0)e 0>f (2016)e 2016,即f (2016)<e 2016f (0),故选D.变式2已知函数y =f (x )(x ∈R ),满足导函数f ′(x )>f (x ),则()A.3f (ln 2)>2f (ln 3) B.3f (ln 2)=2f (ln 3)C.3f (ln 2)<2f (ln 3)D.3f (ln 2)与2f (ln 3)的大小不确定解析策略一:构造特殊函数.令f (x )=−2,则f ′(x )<f (x )满足题目条件,所以3f (ln 2)=−6,2f (ln 3)=−4,所以3f (ln 2)<2f (ln 3),故选C.策略二:构造辅助函数.令g (x )=f (x )e x ,则g ′(x )=f ′(x )−f (x )e x>0,所以g (x )在R 上单调递增,又因为,所以g (ln 3)>g (ln 2),所以f (ln 3)e ln 3>f (ln 2)e ln 2,即2f (ln 3)>3f (ln 2),故选C.类型题4若xf ′(x )+nf (x )>0(或<0),则构造辅助函数g (x )=x n f (x ).例4已知函数y =f (x )定义在(−∞,0)上可导函数,导函数为f ′(x ),且对于任意的x ∈R 都有2f (x )+xf ′(x )>x 2,则不等式(x +2014)2f (x +2014)−4f (−2)>0的解集为.解析策略一:构造特殊函数.令f (x )=x 2,则2f (x )+xf ′(x )=2x 2+2x 2=4x 2>x 2满足题目条件,若(x +2014)2f (x +2014)−4f (−2)>0成立,即(x +2014)2(x +2014)2−4×4>0成立,所以x +2014>2或x +2014<−2,又因为x +2014<0,所以解得x <−2016,故不等式(x +2014)2f (x +2014)−4f (−2)>0的解集为{x |x <−2016}.策略二:构造辅助函数.令g (x )=x 2f (x )(x <0),则g ′(x )=2xf (x )+x 2f ′(x )=x (2f (x )+xf ′(x ))<x 3<0,所以g (x )在(−∞,0)上单调递减,因为(x +2014)2f (x +2014)−4f (−2)>0,即g (x +2014)>g (−2),所以x +2014<−2,即x <−2016,故不等式(x +2014)2f (x +2014)−4f (−2)>0的解集为{x |x <−2016}.评注策略一的关键是找到特殊函数满足2f (x )+xf ′(x )>x 2,然后求出f (x +2014)与f (−2)的值代入不等式即可,同时需要注意y =f (x )定义在(−∞,0)上,即x +2014<0这一重要条件.策略二根据题意直接构造辅助函数g (x )=x 2f (x )(x <0),并对其进行求导,判断导数的符号即可得出辅助函数g (x )=x 2f (x )(x <0)的单调性,最后求出不等式的解集.类型题5若xf ′(x )−f (x )>0(或<0),则构造辅助函数g (x )=f (x )x.例5(2015年高考全国II 卷理科第12题)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数,f (−1)=0,当x >0时,xf ′(x )−f (x )<0,则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是()A.(−∞,−1)∪(0,1)B.(−1,0)∪(1,+∞)C.(−∞,−1)∪(−1,0)D.(0,1)U (1,+∞)解析策略一:构造特殊函数.令f (x )=−x 3+x ,则xf ′(x )−f (x )=x (−3x 2+1)−(−x 3+x )=−2x 3,满足题目条件f (−1)=0,当x >0时,xf ′(x )−f (x )=−2x 3<0.由f (x )>0得−x 3+x >0,解得x <−1或0<x <1,故选A.策略二:构造辅助函数.令g (x )=f (x )x,则g ′(x )=xf ′(x )−f (x )x2,因为当x >0时,xf ′(x )−f (x )<0,所以当x >0时g ′(x )<0,所以g (x )在(0,+∞)上单调递减,因为函数f (x )是奇函数,所以g (x )=f (x )x是偶函数,所以g (x )在(−∞,0)上单调递增,又因为f (−1)=0,所以f (1)=−f (−1)=0,所以g (−1)=0,g (1)=0.所以当x <−1时,g (x )<0,即f (x )x <0,所以f (x )>0;当−1<x <0时,g (x )>0,即f (x )x >0,所以f (x )<0;当0<x <1时,g (x )>0,即f (x )x>0,所以f (x )>0;当x >1时,g (x )<0,即f (x )x<0,所以f (x )<0,故选A.评注策略一的关键是找到满足题目条件的特殊函数,首先f (x )是奇函数,且f (−1)=0,然后要满足xf ′(x )−f (x )<0,最后解不等式f (x )>0即可.同时需要注意y =f (x )定义在(−∞,0)上,即x +2014<0这一重要条件.策略二根据题意直接构造辅助函数g (x )=f (x )x,并对其进行求导、判断导数的符号即可得出辅助函数g (x )=f (x )x的单调性,由函数f (x )是奇函数,可得g (x )=f (x )x是偶函数,最后结合f (−1)=0画出辅助函数的草图,分析图像即可求出不等式的解集.变式1(2019广东化州一模)设定义在R 上的函数y =f (x )满足任意t ∈R 都有f (t +2)=1f (t ),且x ∈(0,4]时,f ′(x )>f (x )x,则6f (2017),3f (2018),2f (2019)的大小关系是()A.6f (2017)<3f (2018)<2f (2019)B.3f (2018)<6f (2017)<2f (2019)C.2f (2019)<3f (2018)<6f (2017)D.3f (2018)<2f (2019)<6f (2017)解析策略一:构造特殊函数.观察得知导函数小于某个一常数,故考虑构造一个常函数满足题目条件即可.令f (x )=−1,则f (x )满足题目条件,从而A.策略二:构造辅助函数.因为函数f (x )满足f (t +2)=1f (t ),可得f (t +4)=1f (t +2)=f (t ),所以f (x )是周期为4的函数.令g (x )=f (x )x,x ∈(0,4],则g ′(x )=xf ′(x )−f (x )x 2,因为x ∈(0,4]时,f ′(x )>f (x )x,所以g ′(x )>0,所以g (x )在(0,4]上单调递增,所以f (1)<f (2)2<f (3)3,又因为6f (2017)=6f (1),3f (2018)=3f (2),2f (2019)=2f (3),所以可得:6f (1)<3f (2)<2f (3),即6f (2017)<3f (2018)<2f (2019),故选A.类型题6若函数f (x )满足f ′(x )−kf (x )>0(或<0),则构造辅助函数g (x )=f (x )ekx .例6已知函数f (x )满足f (0)=2019,2f (x )−f ′(x )>0,则不等式f (x )>2019e 2x 的解集为()A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(−∞,0)D.(−∞,1)解析策略一:构造特殊函数.令f (x )=2019,则f (0)=2019,2f (x )−f ′(x )>0满足题目条件,f (x )>2019e 2x ⇔e 2x <1,解得x <0,故选C.策略二:构造辅助函数.令g (x )=f (x )e 2x,则g ′(x )=f ′(x )−2f (x )e 2x<0,所以g (x )在R 上单调递减,又因为g (0)=f (0)=2019,所以g ′(x )=f ′(x )−2f (x )e 2x<0,即e 2x <1,所以x <0,故选C.类比以上几种常见的抽象函数导数模型的处理基本策略,在高中阶段还可能会碰到以下模型,它们各有特点,但是又在一定程度上呈现着一般规律,需要在学习的过程中不断总结基本活动经验,多思多想,紧扣知识本源,基于导数基本求导法则探究并总结它们的内在联系,做到以不变应万变.规律1利用和差函数求导法则构造函数(1)若f ′(x )+g ′(x )>0(或<0),则构造辅助函数h (x )=f (x )+g (x );(2)若f ′(x )−g ′(x )>0(或<0),则构造辅助函数h (x )=f (x )−g (x );特别的,若f ′(x )>k (或<k )(k =0),则构造辅助函数g (x )=f (x )−kx .规律2利用积商函数求导法则构造函数(1)若f ′(x )g (x )+f (x )g ′(x )>0(或<0),则构造辅助函数g (x )=f (x )g (x );(2)若f ′(x )g (x )−f (x )g ′(x )>0(或<0),则构造辅助函数g (x )=f (x )g (x ).规律3常见的构造特殊函数的模型(1)若xf ′(x )+f (x )>0(或<0),则构造辅助函数g (x )=xf (x );(2)若xf ′(x )−nf (x )>0(或<0),则构造辅助函数g (x )=f (x )xn ;(3)若f ′(x )+kf (x )>0(或<0),则构造辅助函数g (x )=e kx f (x );(4)若f (x )+f ′(x )tan x >0(或<0),则构造辅助函数g (x )=sin xf (x );(5)若f (x )−f ′(x )tan x >0(或<0),则构造辅助函数g (x )=f (x )sin x;(6)若f ′(x )−f (x )tan x >0(或<0),则构造辅助函数g (x )=sin xf (x ).解决抽象函数导数不等式问题的关键是,构造出满足题目条件的特殊函数或根据题意构造出合适的辅助函数,但在解决有关解决抽象函数导数不等式问题的过程中,由于条件隐蔽、需要转化处理等,加大了解题难度.因此,只有熟练此类问题的解法,积累丰富的解题经验,全面提升自己的数学素养等,方可正确的构造出满足题目条件的特殊函数或构造出合适的辅助函数,最后顺利解决问题.。
数学学习与研究2019.5数形结合在初中数学教学中的运用探析◎邝国胜（福建省泉州市泉港区天竺中学，福建泉州362000）【摘要】通过对数形结合思想方法的引入，一方面，能够打破单纯文字描述为学生带来的知识理解困难，利用更加形象的渗透，降低知识难度，进而建立知识体系；另一方面，能够促进学生数学思维的发展，打破传统教学中单纯的概念、定理、公式的套用，让学生能够利用“数”与“形”之间的关系探究问题的逻辑性，促进思维的发展．【关键词】初中；数学；数形结合；运用“数”与“形”是数学知识体系的两个重要支撑，二者在一定条件下可以相互转化．初中阶段学生经过一定的知识积累，对“数”与“形”的认识也更加深刻．教师通过对数形结合思想方法的引入，一方面，能够打破单纯文字描述为学生带来的知识理解困难，利用更加形象的渗透，降低知识难度，进而建立知识体系；另一方面，能够促进学生数学思维的发展，打破传统教学中单纯的概念、定理、公式的套用，让学生能够利用“数”与“形”之间的关系探究问题的逻辑性，促进思维的发展．目前在初中数学教学中，由于学生学习能力的限制，以及教师对数形结合思想渗透的忽视，使得学生在运用数形结合解决问题的过程中存在诸多问题．本文结合初中数学教学实践，就数形结合的运用浅谈三方面的探究体会．一、结合基础知识渗透数形结合概念、公式、定理等是初中阶段学生打好数学基础的主要内容，也是帮助学生理清数学知识体系，发展数学思维的前提．因此，教师在实践中，应该注重对基础知识的讲解，这样才能为学生以后的知识运用做好准备．概念、公式、定理等基础知识相对抽象，简洁的语言、严谨的模型、逻辑鲜明的关系，使得学生在理解中经常遇到困难．例如，一知半解、云里雾里的情况使得一些学生在做题中只能盲目套用，“知其然，不知其所以然”的尴尬不仅影响了做题的准确性，更降低了学生的积极性．基于此，在基础知识讲解中，教师应该尽量避免单纯的语言灌输，利用数形结合理念为学生探索一种更加易于理解的方式．例如，在“有理数”的教学中，教师可以对教材进行充实，利温度计的示数来引入“负数”与“数轴”的概念，并结合图形抽象出数学模型，这样图形与数字之间就建立了密切的联系，学生对有理数的直观观察大大提高了知识理解效果．再如，在探索“勾股定理”的过程中，教师借助数形结合，标注三角形的三条边长，将“勾三股四弦五”的内容数字化、图像化，帮助学生建立直观联系，并深化理解．二、结合方法讲解渗透数形结合相较于小学阶段的数学问题，初中数学在难度上上升了一个台阶，而且问题的设计也更加复杂，直观的思考很难做到全面解答问题，这使得一些学生无法在短时间内找到解题的思路，并陷入了学习困境．这种情况出现的主要原因就在于学生缺乏对正确的解题方法的掌握，在遇到问题的时候无法理清思路，对诸多信息和条件难以合理取舍和利用．教师在实践中，应该利用数形结合的理念引导学生掌握学习方法，只有引导学生掌握了某一类题目的思考路径和解答方法，才能够举一反三，突破学习困境．例如，在“一元一次方程”的教学过程中，教师结合生活实际设计题目：甲乙两地相距路程360千米，一辆列车从甲地出发，以72千米/小时的速度前进，另一辆车与其相向而行，速度为48千米/小时，请问两辆车同时出发，多久后能相遇？通过对问题的分析，教师指导学生绘制出相关的路线图，并利用数学模型分析得出3小时后相遇．而通过这样的线段图分析，学生能够更加直观地观察事物发展规律和变化趋势，并提高运用一元一次方程的效果．再如，在学习统计学相关知识的过程中，教师可以利用之前学过的数轴知识，对平均数、众数、中位数、方差的问题进行分析，引导学生观察不同的统计数据以数轴为核心呈现的离散状态，即根据题目中给出的数据，绘制数轴，并根据不同统计数据的计算公式在数轴上找到准确位置，根据数据分布对数据的统计特征进行描述，这样在数形结合中，学生突破了抽象理解的困境，能够更加直观地观察理解，进而运用相关知识．三、结合几何问题渗透数形结合几何问题是初中数学知识体系的重要内容，也是数形结合思想运用最直接的体现，例如，我们在描述一个长方形的过程中，需要知道长与宽的数据才能够确定其周长和面积，这也是这一长方形在外观上区别于其他长方形的关键．通过这一简单的例子我们就能够发现在几何问题中，数形结合的运用是顺理成章的．一些学生在初中阶段接触几何问题的过程中，头脑中往往缺乏对图形的概括与描述，难以根据数据在头脑中描绘图形特征，在观察图形中也缺乏对相关数据进行探析的习惯．基于此，在初中数学教学中，教师应该利用几何问题中数与形之间天然的联系，为学生做好数形结合理念的渗透．例如，问题：两个边长不相等的正方形连接在一起，其中大正方形的边长是小正方形边长的2倍，如果只能够剪两刀，那么如何裁剪才能确保剪出的正方形面积最大，对这一问题，学生能够在短时间想出的办法多是实践操作，并测量剪出的正方形的面积．但是这样的操作，一方面，难以在最短的时间内剪出所有的可能性，即使存在一种减法的疏漏都会影响结论的准确性；另一方面，裁剪与测量过程中存在误差，难以保证裁剪出的正方形面积最大．对这一难题，学生必须利用数学知识建立相关模型，即在通过函数分析确定正方形边长为多长时，面积最大，而通过这样严格的数学推理，不仅能够容纳所有的可能性，还能够确保计算的准确性，进而锻炼学生数形转换思维．四、结束语总之，数形结合是一种利用数与形之间联系探究数学解题方法，总结数学规律的一种理念．在初中阶段，学生无论是在知识积累还是思维发展方面都有待于进一步提升．教师应该结合具体的数学问题，有意识地为学生渗透数形结合的理念，不但让学生在面对问题的时候思路更加清晰、透彻，而且促进了学生数学思维的全面发展．【参考文献】［1］林慧．初中数学教学中数形结合思想的渗透［J ］．数学学习与研究，2018（7）：40．［2］陈宝华．数形结合思想在初中数学教学中的渗透探究［J ］．新课程导学，2018（9）：53－55．。
２０２３年１１月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀数形结合思想在初中函数解题中的应用◉吉林师范大学数学与计算机学院㊀姜静怡㊀㊀摘要:函数部分是中考考查的热点,也是初中数学教学的重难点．根据«义务教育数学课程标准(２０２２年版)»,中考关于函数考查的题目比例有所增加,其中应用数形结合思想解决的问题较多,给学生带来了一定的难度．本文中以此作为研究视角,立足初中函数解题教学,科学融入数形结合思想,借助图形的辅助,将抽象思维和形象思维结合起来,最终将复杂的函数问题简单化,帮助学生顺利解决相关函数问题．关键词:初中数学;函数;数形结合思想１利用数形结合思想解决函数概念问题学习函数,首先要明确函数的概念．这就要求学生能识别简单实际问题中的常量㊁变量及其意义;能根据函数图象分析出实际问题中变量的信息,发现变量间的变化规律;能结合函数图象分析简单实际问题中的函数关系,进而能初步推测变量的变化趋势．图１例１㊀最近长春市连降雨雪,某水库水位上涨．图１表示某一天的水位变化情况,０时的水位为警戒水位．结合图象判断下列叙述不正确的是(㊀㊀)．A．８时水位最高B ．P 点表示１２时水位为０．６mC ．８时到１６时水位都在下降D．这一天水位均高于警戒水位解析:本题是一道典型的运用数形结合思想解决函数概念的问题．解题时要在具体情景的基础上认真审题,结合题目给出的图象分析得出答案．对于A 选项,通过观察图象可知,在８时图象纵坐标最大为１．０．所以A 选项正确．对于B 选项,在图象中可以观察到,P 点对应的横坐标为１２,纵坐标为０．６．所以B 选项正确．在C 选项中,提到了从８时到１６时的水位问题．通过观察图象可以发现,从８时到１２时水位确实在不断下降,但从１２时到１６时水位没有发生变化．所以C 选项错误．D 选项中提到这一天水位均高于警戒水位,即高于０时水位,观察图象可知D 选项正确．在解决本题时,教师要提醒学生运用数形结合的思想将图象与题干对应的信息联系起来,进而轻松解决问题．２利用数形结合思想解决一次函数问题在学习一次函数的过程中,要十分注意数形结合思想的运用．要会画一次函数的图象,能根据图象和表达式y ＝k x ＋b (k ʂ０)探索并理解k ＞０和k ＜０时图象的变化情况,并且能够根据已知条件结合以往学过的知识解决实际问题．例２㊀已知正比例函数y ＝２x 的图象上有一点B (m ＋２,m ２－４),且点B 在第一象限．(１)求点B 的坐标;(２)过点B 作B C 垂直于x 轴,C 为垂足,点P 为此函数图象上异于点B 的点,S әB P C ＝１２S әO B C ,求此时点P 的坐标．解析:(１)通过数形结合思想,利用待定系数法将点B 的坐标代入正比例函数解析式,解方程即可求得m 的值．将点B (m ＋２,m ２－４)代入正比例函数解析式y ＝２x ,得到２(m ＋２)＝m ２－４,解得m ＝４或－２．又因为点B 在第一象限,所以m ＝４．故点B 的坐标为B (６,１２)．(２)算出әO B C 的面积为３６,结合正比例函数解析式设点P (a ,２a ),分两种情况讨论．图２当点P 在线段O B 上时,过点P 作P D ʅB C 于点D ,如图２,则P D ＝６－a ．因为S әB P C ＝１２S әO B C ＝１８,所以１２ˑB C ˑP D ＝１８,则１２ˑ(６－a )＝３６,解得a ＝３．故P (３,６)．１６学习指导２０２３年１１月下半月㊀㊀㊀图３当点P在射线B A上时,过点P作P DʅB C交B C的延长线于点D,如图３,则P D＝a－６．因为SәB P C＝１２SәO B C＝１８,所以１２ˑB CˑP D＝１８,于是１２ˑ(a－６)＝３６,解得a＝９．故P(９,１８)．综上,点P的坐标为(３,６)或(９,１８)．３利用数形结合思想解决二次函数问题在初中函数的学习中,二次函数既是重点也是难点,更是中考的热点．中考对于二次函数考查的难度也在不断增加,在解题中,要不断融入数形结合思想才可以更加顺利地解决相关问题[１]．关于二次函数,主要考查其图象问题,包括图象的开口方向㊁对称轴以及二次函数的最大值和最小值并确定相应的自变量的值,在此基础上还要能够解决简单的实际问题．学生在学习时要更加关注二次函数解析式中各个字母代表的含义．图４例３㊀已知二次函数y＝a x２＋b x＋c(aʂ０)的图象如图４所示,有下列结论:①a b c＞０;②a＋b＋c＝２;③a＞１２;④b＜１．其中正确的结论是(㊀㊀)．A．①②㊀㊀B．②③㊀㊀C．②④㊀㊀D．③④解析:通过观察可以发现,图象开口向上,即a＞０;对称轴－b２a＜０,所以b＞０;当x＝０时,函数图象交x轴于负半轴,即c＜０．所以a b c＜０,故①错误．当x＝１时,由图象知y＝２,代入解析式得a＋b＋c＝２,所以②正确．当x＝－１时,y＝a－b＋c＜０;由(a＋b＋c)－(a－b＋c)＞２,得b＞１,所以④错误．由－b２a＞－１,a＞０,得２a＞b＞１,于是a＞１２,所以③正确．综上所述,B选项正确．４利用数形结合思想解决反比例函数问题反比例函数作为初中函数的重要组成部分,主要考查其函数解析式及函数图象的应用,明确当k＜０和k＞０时反比例函数图象的整体特征,并能基于此解决实际问题．反比例函数知识点经常与一次函数和二次函数相结合,并且解题方法也相对比较特殊．经常借助交点求解三角形的面积．图５例４㊀如图５,在平面直角坐标系中,反比例函数y＝kx(x＞０)的图象经过点A(２,６),将点A向右平移２个单位,再向下平移a个单位得到点B,点B恰好落在反比例函数y＝kx(x＞０)的图象上,过A,B两点的直线与y轴交于点C．(１)求k的值及点C的坐标;(２)在y轴上有一点D(０,５),连接A D,B D,求әA B D的面积．解析:(１)由点A(２,６)求出k＝１２,可得反比例函数的解析式为y＝１２x,进而求得B(４,３)．由待定系数法求出直线A B的解析式为y＝－３２x＋９,即可求出点C的坐标为(０,９)．(２)在本题中,观察图象可知,直接求SәA B D比较困难,所以需要运用转化思想利用SәB C D－SәA C D计算SәA B D．由(１)可知C D＝９－５＝４,所以SәA B D＝SәB C D－SәA C D＝１２C D |x B|－１２C D |x A|＝１２ˑ４ˑ４－１２ˑ４ˑ２＝４．总而言之,函数是初中数学学习的一个难点,它也是考试的重点．对于学生在解决函数问题的过程中经常出现的一些错误,要给予他们足够的引导和启发,在解答问题的时候,将数形结合思想与问题直观融合起来,利用图形的帮助,将抽象㊁复杂的函数问题形象地展示出来,以便让学生能够更好地理清解题思路,从而更好地完成问题的解答．与此同时,在数形结合思想的帮助下,学生也实现了对数学知识的内化,推动了数学思维的发展,从而数学综合素质也得到了提高．总之,数形结合思想的合理应用,对于初中数学函数解题具有很大帮助．因此,具体教学中,教师应根据实际情况,引导学生通过合理的数学思维进行解题．这样才可以获得更好的教学效果,促进初中生数学学科的良好学习与发展[２]．参考文献:[１]杨远鸿．数形结合思想在初中数学解题中的应用 以初中函数问题为例[J]．数理天地(初中版),２０２３(１):５２Ｇ５３．[２]曹峰．初中数学解题中的函数思想应用策略[J]．数理天地(初中版),２０２３(９):２６Ｇ２７．Z２６。
浅谈数形结合思想解决函数问题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：浅谈数形结合思想解决函数问题-中学数学论文浅谈数形结合思想解决函数问题黄广言（温州市第七中学，浙江温州325000）摘要:数形结合是将数学的抽象思维理解附以图形，化无形为有形，帮助学生更为具体化的理解学习中所遇到的数学问题，以图形来还原数学的本质。
利用数形结合可以锻炼数学思维，以及数学与图形相联系的能力，更容易剖析数学所要研究的本质问题，以最为简洁易于思考的方式来完成对于数学的研究。
关键词：数形结合；数学应用；思考方式中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-05-0096-02 在数学学习中运用数形结合思想的关键是将数字与图形之间建立起某种对应关系，从而将抽象化的问题转向具体化。
同时数形结合的思想也可以丰富数学的学习内容，增加学生对于数学学习的兴趣，使得学生更加直观简洁的了解数学问题。
函数是中学生在数学学习与研究中最常见的一类问题，因此函数问题也是中学生所必须克服的难关。
函数问题的题型种类多，而且灵活度高。
所以懂得如何利用数形结合的思想解决函数问题就成为中学生所必备的能力。
往往一些看似复杂的题型运用数形结合的思想去解决就变得易如反掌了。
一、利用函数模型求参量取值范围函数参量方程是函数问题中最为常见，也是比较难的。
难就难在参量的取值范围该如何取定，如果单凭一味的计算不仅繁碎也容易出现错误，这时利用数形结合的方式将参量标示出来就可很清晰的确定参量的取值范围。
方便了计算，也明确了做题的思路。
二、利用函数模型求极值问题对于函数的极值问题，不少的同学找不到合适的办法，只能通过化简来求出最终的结果，但是计算量可想而知，而利用数形结合的方法便可以很直观的标示出函数的最值。
这样通过运用数形结合的思想将这样一道求函数极值的题转换为求直线的斜率，将复杂的问题简单化，明确了解题的方向。
教学随笔·152·浅谈初中数学课堂教学渗入数形结合思想的应用童乃胜安徽省滁州市全椒县第三中学摘要：随着我国对初中数学教育的重视程度的提升，数学思想已成为学生必不可少的学习内容，教育思想上的提升就代表了初中教职工需要认真对待教学方法问题。
数形结合这一学科思想有助于帮助学生提升对数学理解能力的提高，在学生面对繁琐难懂的问题时，渗入数形结合思想能够巧妙的解决。
数学课堂中采用渗入数形结合思想，是指教师会根据所学内容借助于几何图形来对问题进行简单化的一种形式，能够帮助学生将数学知识形象化，更加的通俗易懂，给学生带来更直观的启示，促使学生更好的掌握知识和熟悉知识，同时还可以帮助学生进行知识扩宽化，思路多元化。
因此学生在学习过程当中借助于数形结合这一思想理念不仅有助于提高学习成绩，对学生的学习兴趣也会提升。
关键词：初中数学；数形结合；兴趣培养；策略设计中图分类号：G433.6 文献标识码：A 文章编号：1000-7296(2017)9-0152-011 数形结合教学思想推动着数学发展所谓数形结合就是数量与形状的结合体，学生可以根据数字转换为形状进行详细的解答问题，让学生学习更加的轻松自如，学习数形结合时学生不可以单独的去看“数”也不能单独的理解“形”所以两者必须并用起来才能更好的理解问题，才能找到数学的真谛。
（1）首先“数”，在学生利用学习“形”的思想观念来解决数学问题时，学生就应该把“数”的思想当做是辅助工具，然后利用这种解决方法顺利准确的解决“形”的问题，解决问题过程中通过简单易懂的几何图形，使得学生能够更直观、更轻松的探究问题的主干部分，例如在学习距离与时间的运算问题时，学生通过数据很难理解题目的意思，但是学生通过利用图形来进行描绘问题含义，问题显而易见的变得容易一些，学生就能很轻松的解决问题，（2）数学课堂中“形”的思想能够有效促进“数”的概念发展，通过“形”科学家们可以从中发现许多数学计算方法和技巧。
数形结合思想在不等式问题中的应用摘要：数形结合思想是一种重要的数学思想，在数学学习与解题中有着广泛的运用，同样也可以解决不等式问题。
数形结合是通过转化数与形的对应关系解决问题，借助图形性质分析抽象概念实现“以形助数”，转化数量关系分析图形问题实现“以数解形”。
不等式具有联系性，求解灵活多样，应用数形结合思想解决不等式问题，应用方式有直接转化条件中的数为形、转化条件中的数分析判断、结合条件中的数特点联想，主要应用方面有证明不等式、解不等式、解不等式恒成立等。
高中数学教学中，教师要根据学生具体学情，开展相关教学活动。
关键词：数形结合思想；不等式；数形转换；分析判断；条件分析高中数学学科中，包含有函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、划归与转化思想、特殊和一般思想等，其中数形结合思想应用十分广泛。
数学研究的是数量关系和空间形式，通过实施数与形的灵活转换，可以让复杂问题变得简单，让抽象问题变得具体，帮助学生更好理解、分析与解题。
不等式是高中数学课程中的重点项目，包括不等式的性质、一元二次不等式、简单的线性规划、基本不等式等，在解答不等式问题中，可以应用数形结合思想进行分析与解答，能够提高解题的效率，培养学生数学学科核心素养。
1.不等式问题中数形结合思想的应用方式1.直接转化条件中的数为形在不等式问题的求解中，不少形式的问题可以直接转为形，教师要指导学生认真分析题意，根据所学知识，直接转化条件中的数或数量关系为形，这样可以更好解题。
如线性规划问题中，需要运用数形结合思想，包括含参数问题、实际问题，是要建立在条件的数与式上，作出图形与根据图形解题。
例如，关于简单线性规划，有可行域、目标函数、应用题三大项目，目标函数有一次函数：z=ax+by,z=y-b/x-a：构造斜率，z=(x-a)2+(y-b)2:构造距离。
有这样的题目：约束条件是{x≥0,y≥0,x+y≤s,y+2x≤4}，当3≤s≤5时，目标函数z=3x+2y最大值变化函数是多少？在这道题中，教师要指导学生：根据约束条件推导x与y,得出交点坐标B（4-s,2s-4），根据直线x+y=s和y+2x=4，得出和坐标轴交点的坐标A，C，C’，然后进行分类讨论，①当3≤s≤4，②当4≤s≤5，结果是[7,8]。
初中数学论文：浅谈数形结合思想在初中数学解题中的应用【摘要】本文揭示了数形结合思想在初中数学实数、应用题、方程、不等式、函数、三角函数、统计初步、几何内容中的应用。
【关键词】数形结合思想“数缺形欠直观，形缺数难入微”，数形结合是解决数学问题最重要的数学思想方法之一。
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
下面，我就谈一谈数形结合思想在初中数学解题中的具体应用。
一、在实数中的应用例1【2009·广东深圳】如图，数轴上与1、对应的点分别为a、b，点b关于点a的对称点为c，设点c表示的数为x,则=（）a.b.c.d.2解析数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。
因此，两个实数大小的比较，是通过这两个实数在数轴上的对应的位置关系进行的。
首先，根据x在数轴上的位置，确定()的正负性，然后由绝对值意义化简，再由对称性确定x的值代入计算。
答案：c二、在方程（组）中的应用例2【2007·内江市】小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图，请你根据图中的信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是（）（a）106cm （b）110cm （c）114cm （d）116cm解析由图可知，欲求把100个纸杯整齐叠放在一起时的高度，需先求出一个纸杯的高度，及叠放时每增加一个纸杯所增加的高度．两个未知量，故可用构造二元一次方程组模型解之。
解：设一个纸杯的高度为cm，叠放时每增加一个纸杯高度增加cm，根据图中的信息，得:即解这个方程组，得所以100个纸杯的高度是7＋1×（100－1）=106（cm）。
故选（a）。
三、在不等式（组）中的应用例3【2009·四川成都】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来。
新课程NEW CURRICULUM课改论坛一、数形结合的作用与地位当前，很多初中学生对数学可以说是敬而远之。
他们认为，数学不易学，计算复杂，逻辑严密等，导致学生容易厌学。
所以，数学教师在教学过程当中要把复杂的问题简单化，力求以最直观、简单的方式解答。
数形结合教学方法的出现，正好能够很好地简便解答数学当中抽象的难题，而这也是当前数学教学最为常见的一种教学方法。
在初中数学实际教学当中，教师往往只是教学生如何解题，遇到某一类题型就带入公式，教学目的仅仅停留在如何取得高分数，这是教学的一个分歧与误区。
应该在教学的同时，灌输学生要积极开动脑筋，主动思考的良好习惯，同时还要努力培养学生发散性思维以及创造性思维，通过利用数形结合的教学方法来解决现实问题，不仅可以开拓学生的解题思路，还对学生智力开发有着一定的帮助。
二、数形结合在初中数学教学中的运用1.数形结合：数与代数这部分内容与原来的初中数学教学大纲相比，数形结合的教学内容有了很大的改变。
数形结合主要侧重于揭示一些较为基本的数学解题方法，从而达到加强数学内部与其他相关学科之间的联系。
例如，提前安排平面直角坐标系，利用坐标的方法，对二元一次方程组进行处理，此外，还可以适用于平移变换、函数等。
在数与代数的教学里，笔者认为，要注重实数与数轴上的点之间的对应关系，有序实数对和坐标平面上相关点的对应关系。
时刻站在数形结合的角度出发思考问题，对有理数进行分类和比较，借助数轴处理好相反数、绝对值的相关意义。
此外，数学教师还要尝试给教学内容赋予新的知识点，以及全新的活力，在掌握和熟悉新课程教材的基础之上，让学生经历试验、学会如何用数形结合思想分析和解决的体验过程，从而更好地激发学生学习数学的动力。
例.关于一元二次方程解的意义：一元二次方程：ax2+bx+c=0（a≠0）。
可以把其理解成：函数图象y=ax2+bx+c与常值函数y=0，也就是与x轴的交点的横坐标。
当他们之间的公共点存在有两个的时候，其对应的一元二次方程自然而然就会有两个不同的实数解；换言之，当只有一个公共点时，他们所对应的一元二次方程，就会产生两个一样且相等的实数解；当两者之间不存在公共点时，一元二次方程就会没有实数解。
高中数学课堂数形结合思想探讨作者：唐果敬概要：高中数学遇到的函数问题较多，随着新课改的推行，函数问题考察的内容更为广泛，考察的形式更为灵活，试题的难度系数越来越大，有些函数问题只从代数领域去分析已经找不到解题的捷径了，众所周知，函数关系与图像是同时存在的，有时候还需要借助几何图形才能化繁为简，找到解题的方法。
函数图像在中学数学中占有很大比重，它包括两个层次的要求，一是能准确绘出已知函数的图像或能根据图像得出函数基本性质；二是能够应用函数图像来解决实际问题，一般来说，前者较易掌握，而后者却难度较大。
很多问题如果借用函数图像来分析，会有意想不到的效果，特别易于理解。
因此作为教师要多引导学生在数学解题中利用函数图像，让学生逐渐形成用函数图像分析问题、解决问题的能力。
一、数形结合在求函数定义域方面的应用案例：求函数的定义域.解析：若要解决该函数的定义域，则有，要解决此类不等式的解集，需要借助图像，如右图：由图像可以看出，若要，只需或，再由，得出该函数的定义域即为： .随着学生做题熟练程度的增强，二次不等式的求解已不用再画图。
因此在求函数定义域方面，多见于画数轴选择出取值范围。
二、数形结合在求函数值域方面的应用案例：求函数的值域.解析：看到所求函数为二次函数，由于函数是非单调的，所以并不能代端点值去求出值域，因此需要借助图像来观察，如右图：借助图像的直观表达可知道，具有区间范围的该二次函数的图像应为黄色区域部分，此函数的最小值是在对称轴处取得，即当时，。
从而该函数的值域为：。
对于此类问题是学生的常见出错点，学生们习惯于直接带入端点值得出其值域，因此对于给定区间上的二次函数值域问题，培养学生数形结合的思想是非常重要的。
三、数形结合在函数单调性方面的应用案例：已知在上是减函数，求实数的取值范围。
解析：函数解析式中含有字母，因此函数在坐标系内的具体位置不能固定，需要画图分析，看何种情况才能满足题干要求：通过图像分析可知：若要满足函数在给定区间上为单调函数，只能是后两种情况，也就是函数图像的对称轴不能出现在所给区间内，从而解题找到突破口。
