数形结合法解一元二次不等式的教学设计-

一元二次不等式及其解法（第一课时）一、 课标要求1、使学生深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式地关系；2、使学生熟练掌握一元二次不等式地解法，掌握数形结合地思想；3、提高学生地运算能力和逻辑思维能力，培养学生分析、解决问题地能力. 教学重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式地解法展开，突出体现数形结合地思想.教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集地关系. 三、教学方法：自主探究法 四、 教学过程（一）导入新课：教材P76页地问题（二）预学案导学1、解一元二次方程250x x -=，并作出25y x x =-地图象2、填表：二次函数2(0)y ax bx c a =++>与二次方程20(0)ax bx c a ++=>地关系 （完成“四、合作展示”中表格地第一、二行）3、一元一次不等式是如何定义地？其数学表达形式是什么？定义：只含有一个未知数，并且未知数地最高次数是1地不等式称为一元二次不等式.其数学表达形式为4、画出函数27y x =-地图象，并由图象观察，填空：当x=3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0当x<3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0当x>3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0可知，2x-7> 0地解集为_______________2x-7< 0地解集为_______________思考：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间有怎样地联系？小结：函数图象与X 轴交点地横坐标为方程地根，不等式地解集为函数图象落在X 轴上方（或下方）部分对应地横坐标.（三） 合作展示0(000)(0)ax b a +>≥<≤≠或或1、自主探究：（1） 类比一元一次不等式地定义，你能给出一元二次不等式地定义吗？其数学表达形式是什么？定义：只含有一个未知数，并且未知数地最高次数是2地不等式，称为一元二次不等式.其数学表达形式为（2） ①利用预学案第1题，观察图象填空：当x___________________，y=0，即25x x -_____0当x__________________，y>0，即25x x -_____0当x___________________，y<0，即25x x -_____0②不等式25x x ->0地解集是_________________不等式25x x -<0地解集是_________________2、合作探究：（1）类比三个“一次”地关系，探究一元二次不等式地解法，并完成下表：小结：一元二次不等式解集地端点就是对应函数地零点，对应方程地根.（2） 当0a <时，如何解不等式20(0)(0)ax bx c a ++><>或结论：利用不等式地性质，在不等式地两边同时乘以-1，使二次项系数变为正数.（3）如果不等式为20(0)(0)ax bx c a ++≥≤>或，其解集又是什么？（四）应用探究：例：解不等式22320x x -->变式：若不等式改为22320x x --<，则解集为_______________小结：利用二次函数解一元二次不等式地方法步骤？变式练习：1、解不等式24410x x -+>2、解不等式2230x x -+->五、 知识整理：本节课我们学习了哪些知识？运用了哪些数学思想方法？六、 训练评估1、解下列不等式222(1)40(2)4321x x x x -<+->+2、求函数y =课后作业：教材P80 A 组 第1、2、3、4题版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.DXDiT。

一元二次不等式教案一元二次不等式教案1教学目标:(1)透彻理解、掌握一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的内在联系,会解一元二次不等式;(2)培养学生数学的数形结合思想和转化能力,学会主动探求问题和寻找解决问题的方法。

教学重点:一元二次不等式的解法(图象法)教学难点:(1)一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系;(2)数形结合思想的渗透教学方法与教学手段:尝试探索教学法、归纳概括。

教学过程:一、复习引入1.复习一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系[师]前面我们已经学习了绝对值不等式的解法,今天开始研究一元二次不等式的解法。

(板书课题)记得在初中我们已学习了一元一次不等式的解法,还记得是用什么方法解的吗?学生可能回答是代数方法,也可能说是利用直线图象。

[师]初中学习了一次函数的图象,使得我们对一元一次不等式的解法有了更深入的了解。

首先请同学们画出 y=2x-7[师]请同学们画出图象,并回答问题。

一次函数y=2x-7的图象如下:填表:当x 时,y = 0,即 2x-7 0;当x 时,y < 0,即 2x-7 0;当x 时,y > 0,即 2x-7 0;注:(1)引导学生由图象得出结论(数形结合)(2)由学生填空(一边演示y<0,y>0部分图象)从上例的特殊情形,你能得出什么结论?注:教师引导下学生发现其结论,并由学生尝试叙述:一元一次方程ax+b=0的根实质上就是直线y=ax+b与x轴交点的横坐标;一元一次不等式ax+b>0(或ax+b<0)的解集实质上就是使得函数的图象在x轴上方还是下方时x的取值范围。

2.新课导入[师]我们可以利用一次函数的图象快速准确地求出一元一次不等式的解集,那能否也可以借助二次函数的图象来解一元二次不等式呢?二、讲解新课1、一元二次不等式解法的探索[师] 你知道二次函数的草图是怎样画出的吗?(用"特殊点法"而非课本上的"列表描点法")你能回答以下问题吗?二次函数 y=x2-4x+3的图象如下:填表:方程x2-4x+3=0(即y=0)的解是不等式x2-4x+3>0(即y>0)的解集是不等式x2-4x+3<0(即y<0)的解集是注:学生类比前面的知识,能根据二次函数的图象确定与x轴的交点,确定对应的一元二次方程的根,从而确定一元二次不等式的解集。

《一元二次不等式的解法》教学设计本节课的所有内容以题组的形式展现给学生,学生始终在解题中探究,在解题中发现,学生参与教学的全过程,成为 课堂教学的主体和学习的主人,而教师时刻关注学生的活动过程,不时给予引导,及时纠偏。

1：熟练掌握一元二次不等式的两种解法；理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系。

2：培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力。

3: 在自主探究与讨论交流过程中，培养学生的合作意识和创新精神。

教学重点: 一元二次不等式的解法教学难点: 一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系在本节课的教学过程中，我围绕：教师组织——启发引导，学生探究——交流发现，组织开展教学活动，设计了 ① 创设情景——引入新课，②交流探究——发现规律，③启发引导——形成结论，④练习小结——深化巩固， ⑤思维拓展——提高能力,五个环环相扣、层层深入的教学环节，在教学中注意关注整个过程和全体学生，充分调动学 生积极参与教学过程的每个环节。

(一)引入新课问题1：画出一次函数y=2x-7的图象，填空：2x-7=0的解是 .不等式 2x-7>0的解集是 .不等式 2x-7<0的解集是请同学们注意,一元一次方程、一元一次不等式和一元一次函数有什么关系?(“三个一次”关系，旨在为后面探讨 “三个二次”的关系提供方法和思路)。

并针对图像跟同学们进一步的探究，这里我省去此环节，不做重点问题2：二次函数)(,2R x c bx ax y ∈++=的部分对应值如下表：引导学生运用解决问题1的方法,画出二次函数y=ax 2+bx+c 的图象求解.并请学生说出不等式ax 2+bx+c<0的解集和方 程ax2+bx+c=0的解集,同时注意一元二次方程、一元二次不等式和二次函数有什么关系?(“三个二次”关系)。

(二)讲授新课1.问题2的解决表明,一元二次不等式的解集可以画出对应二次函数的图象写出. 请同学们解下面两组题:题组1 （1）解不等式2x 2-3x-2>0 （2）解不等式-3x 2+6x>2学生根据问题2的方法画图求解,教师巡回指导,提醒学生注意掌握画二次函数图象的要领和方法。

§1.5 一元二次不等式的解法教学目标(1)、复习初中学过的二次函数，借助二次函数的图像，来求解一元二次不等式； (2)、掌握数形结合思想，并会用来解一元二次不等式. 教学难点和重点难点:特殊一元二次不等式以及含参一元二次不等式的求解； 重点:数形结合思想的理解.教学方法探究研讨法，讲练结合法，谈话法等.教学准备(教具)直尺，小黑板.课型新授课.教学过程设计(一)、复习引入我们在中学的时候己经学过二次函数一些重要性质，那么下面，请同学们跟我一起来复习一下函数26y x x =--的性质。

首先，它是一个二次函数，其图象为一条抛物线，抛物线便具有顶点坐标、对称轴、开口方向、与x 轴相交情况等重要性质。

这里，这个二次函数顶点坐标，对称轴方程等分别为:顶点坐标:24(,)24b ac b a a--即125(,)24- 对称轴方程:122b x a =-= 开口方向:向上与x 轴相交情况:1460∆=+⨯>与x 轴有两个交点：(3,0)-20（，）（这里，3和-2都是对应一元二次方程的根） 则函数图象如下：x () = x 2-x -6(二)、讲解新课以上是我们以前所学的二次函数有关知识，它与我们今天要讲的一元二次不等式的解法有什么联系呢？请同学们跟我一起来观察它的图象:当3x >或2x <-它的函数图象全部在x 轴下方，也就是说260y x x =-->而当x 在两者之间时，其函数图象全部在x 轴下方，即260y x x =--<，当2x =或3x =-时，260y x x =--=与x 轴相交，所以我们得到：1、当2x =或3x =-时260y x x =--=2、当3x >或2x <-时260y x x =-->3、当23x -<<时260y x x =--<现在，请同学们观察上面的式子，我们可以很直观地看到，当3x >或2x <-时，有260y x x =-->那么反过来，我们是否可以说260y x x =-->的解也就是3x >或2x <-呢？答案是肯定的。

一元二次不等式的解法教学设计一、教学目标1．知识目标：熟练掌握一元二次不等式的两种解法，正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系。

2．能力目标：培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力，提高运算和作图能力。

3．德育目标：通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识，向学生逐步渗透辨证唯物主义思想。

在教师的启发引导下，学生自主探究，交流讨论，培养学生的合作意识和创新精神。

二、学生分析学生在初中已经学过一元一次方程、一元一次不等式、一次函数和一元二次方程、一元二次不等式、二次函数，但学生并不知道它们三者之间的关系。

考虑到高二年级的学生知识掌握很好，但在思维上还是比较依赖老师，这个时候教师就要起引导作用，让学生自己去发现问题，通过自主探究和合作学习来解决问题。

三、教材分析1本节课内容在整个教材中的地位和作用概括地讲，本节课内容的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。

一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合知识的巩固和运用具有重要的作用，也与后面的函数、数列、三角函数、线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关。

许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。

因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性，体现出很大的工具作用。

2.教学重难点教学重点：一元二次不等式的解法；教学难点：弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系。

3.课时安排：第一课时四、教学理念以人为本，以学定教五、教学过程1．创设情景——引入新课。

根据教材内容的安排，我以学生熟悉的画一次函数图象、求一次方程和一次不等式的解为背景知识切入，设置一个练习题组，一方面让学生总结复习已有知识，为后面学习二次不等式的解法打下基础，做好铺垫，另一方面，使学生在自己熟悉的问题中首先获得解题成功的快乐体验，然后以2004年江苏省的一道高考试题为引子，引入本节课的新授内容。

3.2一元二次不等式及其解法邵武一中 黄婉芬教学目标（1）正确理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，从而掌握图象法解一元二次不等式，并能解决一些有关不等式的简单问题。

（2）通过图象解法渗透数形结合、分类化归等数学思想，从特殊到一般的思维方式。

培养学生观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结等系统的逻辑思维能力。

教学重点：一元二次不等式解法。

教学难点：“三个二次”的关系。

数形结合，分类转化等数学思想的理解和运用。

教学过程一、复习引入一元一次不等式：只含有一个未知数,并且未知数最高次数为1的不等式. 由学生给出一元二次不等式定义：只含有一个未知数,并且未知数最高次数为2的不等式. 点出课题：一元二次不等式及其解法.回顾一元一次不等式的解法代数法：用不等式的基本性质求出解集图像法：利用一次函数y=3x-15的图像求解图像在x 轴上方，表示3x-15>0 图像在x 轴下方，表示3x-15<0问题1：类比一元一次不等式的解法，能否也用图像法数形结合解一元二次不等式？二、探究新知（1）特殊的一元二次不等式画出分析图像：2222306023060.23060x x y x x x x x y x x x xy x x =-==--=<->>-->-<<<--<当或时，即当或时，图像在轴上方，此时即当时，图像在轴下方，此时即{}{}2260|2360|23x x x x x x x x x ∴--><->--<-<<解集或解集260x x -->26y x x =--的图像我们知道一元二次方程的根就是其相应二次函数的零点，即二次函数图像与x 轴交点的横坐标，利用二次函数图像可以求出一元二次不等式的解集，即图像在x 轴上方或下方时，x 的取值范围。

问题2：上述方法可以推广到一般的一元二次不等式吗？学生自主完成书本77页表格。

一元二次不等式恒成立的问题教学目标1. 会解决一元二次不等式恒成立的问题。

2. 进一步掌握一元二次不等式的解法。

3. 培养学生的分类讨论思想和数形结合思想。

教学重点：加强学生的分类讨论思想意识教学难点：提高学生利用数形结合的方法解决问题的能力教学过程：一、复习1．回顾一元二次不等式的解法，即“三个二次”之间的联系。

2．解一元二次不等式的步骤：一看（看是否标准型，非标准型须转化为标准型），二算（计算判别式及对应方程的解），三写（写出不等式的解集）。

3．解不等式(1)03532-2<-+x x (2)03-2<-+x x二、新授前面我们已经学习了一元二次不等式的解法，那现在看看一元二次不等式的 综合问题。

今天，我们就通过一个典型例题来研究不等式恒成立的问题。

典例：例、 关于的x 不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对于一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围。

分析：（一）讨论系数① 当0)2(=-a 即2=a 时，原不等式变成常数不等式 。

② 当0)2(≠-a 时，原不等式是一元二次不等式。

（二）分类讨论①当0)2(=-a 即2=a 时，原不等式可化为04<-，∴2=a 时，不等式恒成立。

② 当0)2(≠-a 时，不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 是一个一元二次不等式，此时对应方程04)2(2)2(2=--+-x a x a 应满足⎩⎨⎧<∆<-002a （这一充要条件是通过借助函数4)2(2)2(y 2--+-=x a x a 的图像，在图像上找出x 时0y <取什么值，而得到的。

强调数形结合思想。

）练习：不等式012<--kx kx 的解集为全体实数，求k 的取值范围。

举一反三：（提问，学生思考）1. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2≤--+-x a x a 呢？2. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2>--+-x a x a 呢？3. 若典例中的不等式变为04)2(2)2(2≥--+-x a x a 呢？ （以上三个问题由学生来完成）三、小结通过典例，得到以下结论：不等式02<++c bx ax 对一切实数恒成立（解集为R ），则系数应满足的条件：⎩⎨⎧<-=∆<0402ac b a 或⎩⎨⎧<==00c b a （其他三种形式的不等式所得结论由学生自己归纳）。