高等代数第九章欧氏空间第9.2节

§9-2 标准正交基复习欧氏空间的概念、两向量正交的定义、度量矩阵的定义及性质。

一、概念定义5: 欧氏空间中一组非零的向量，如果它们两两正交，则称为一个正交向量组。

例1: 向量(),0101=α()1012=α，()1013-=α构成3R 的一个正交组。

事实上，很容易验证 ()0=j iαα3,2,1,=j i例2: 在()π20C 上，函数组 1，cosx, sinx, … cos nx, sin nx … 构成()π20C 上的一个正交组。

事实上，我们有ππ2120=⎰dx ；⎩⎨⎧≠==⎰nm nm nxdx mx ,0,cos cos 20ππ； ⎩⎨⎧≠==⎰nm nm n x d x mx 0,sin sin 20ππ； 0sin cos sin cos 202020===⎰⎰⎰πππnxdx nxdx nxdx mx所以 ()()0sin 1cos 1==nx nx ；()()()0sin ,sin ,cos sin ,cos ===nx mx coxnx mx nx mx ， 当n m ≠时一般情况下，正交向量组是对两个或两个以上的向量而言，对于特殊情况我们规定：单个非零向量所成的向量组是正交向量组。

由正交向量组的定义很容易得出以下结论： 1、正交向量组一定是线性无关的。

证明：设m ααα ,,21正交，欲证其无关设有关系式 02211=+++m m k k k ααα 用i α与等式两边做内积，由于()0=j iαα当j i ≠时所以可得 ()0i=i i k αα 而()i i αα﹥0 所以()m i k i 2,1,0==注①：此定理的逆不成立，即无关的向量组不一定是正交的。

如()3,2,11=α，()0,1,22=α无关（不成比例），但()0421≠=αα注②：相关的向量组一定是不正交的。

于是可得2、在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不超过n 个。

事实上，在n 维空间中，任何n+1个向量都是相关的。

第九章 欧氏空间9.1 基本内容与基本结论9.1.1 基本内容 1．欧几里得空间设V 是实数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记作),(βα，它具有以下性质：(1) ),(),(αββα=； (2) ),(),(βαβαk k =； (3) ),(),(),(γβγαγβα+=+；(4) 0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα。

这里α，β，γ是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间称为欧几里得空间。

2．酉空间设V 是复数域C 上一线性空间，在V 上定义了一个二元复函数，称为内积，记作),(βα，它具有以下性质：(5) ),(),(αββα=，这里),(),(αβαβ是的共轭复数； (6) ),(),(βαβαk k =； (7) ),(),(),(γβγαγβα+=+；(8) 0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα。

这里α，β，γ是V 中任意的向量，k 是任意复数，这样的线性空间称为酉空间。

3．向量的长度非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α。

4．向量的夹角非零向量α，β的夹角〉〈βα,规定为 βαβαβα),(arccos ,=〉〈，πβα≤〉〈≤,0。

5．向量的正交如果向量α，β的内积为零，即0),(=βα，那么称α，β正交，记为βα⊥。

6．基的度量矩阵n εεε,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基，令n j i j i ij ,,2,1,),,( ==εεα，称nn ij a A )(=为基n εεε,,,21 的度量矩阵。

7．正交向量组欧氏空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。

8．正交基，标准正交基在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。

9．正交矩阵、酉矩阵n 级实矩阵称A 为正交矩阵，如果E A A T =。

n 级复矩阵称A 为酉矩阵，如果E A A T =。

第九章 欧氏空间一. 内容概述1. 欧氏空间的定义设V 是实数域R 上的一个线性空间.如果V ∈∀βα.,定义了一个二元实函数.记作()()R ∈βαβα,,,称为内积,且满足1)()()2;,,αββα=)()()()()()(),0,)4;,,,)3;,,≥+=+=ααγβγαγβαβαβαk k 当且仅当0=α时,().0,=αα其中γβα,,是V 中任意向量,k 为任意实数,则称V 为欧几里空间,简称欧氏空间.常见的欧氏空间有: (1)在(){}R x x x x R inn∈=|,,21里定义内积为()()1,2211y x yx y x nn +++= βα其中()().,,,,,11y y x x nn==βα则称Rn为R 上的欧氏空间.(2)设[]b a C ,为定义在[]b a ,上所有连续实函数所成的线性空间.内积定义为()()()()2,dx x g x f g f ba ⎰=(3)设Rmn ⨯为一切m n ⨯矩阵所成的线性空间.内积定义为()()3,B A B A t r '=则称Rmn ⨯为R上的欧氏空间,2. 欧氏空间的内积的主要性质: 1)()()()()()()())4;0,00,)3;,,,)2;,,==+=+=βαγαβαγβαβαβαk k 设εεεn ,,,21 为V的一组基,,,22112211εεεεεεβαnnn n y y y x x x +++=+++=则()Ay x '=βα,其中()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=εεεεεεεεn n n nn n A y x y y y x x x11112121,.3. 向量的长度,角,柯西-不涅柯夫斯基不等式().,βαβα≤4. 标准正交基 施密特正交化的方法正交向量组是线性无关的.正交基.标准正交基.格拉姆矩阵()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∈αααααααααααn n n nm G V V111121.,,,.度量矩阵.εεεn V ,,,.21 一组基G=()()()()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛εεεεεεεεn n n n1111 5. 同构.6. 正交变换的定义及其等价的四个命题欧氏空间V 的线性变换A 称为正交变换,如果它保持向量的内积不变即对于任意的V ∈βα,,都有(βαA A ,)()βα,=.设A 是欧氏空间V 的一个线性变换,于是下面四个命题相互等价的: 1)A 是正交变换;2)A 保持向量的长度不变,即对于.,ααα=A ∈V3)如果εεεn ,,,21是标准正交基,那么εεεn A A A ,,,21 也是标准正交基4)A 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵,正交矩阵的乘积是正交矩阵, 正交矩阵的逆是正交矩阵. 正交变换的分类,第一类(旋转)|A|=1第二类的|A|=-1. 7. 向量与空间的正交, 空间与空间的正交.正交补. 8. 对称变换;, 对称矩阵的标准形.四个引理:1)设A 是实对称矩阵,则A 的特征值皆为实数.2) 设A 是实对称矩阵,A 定义为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x n A 21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x n A 21.则对任意R n∈βα,有()()βαβαA A ,,=或βααβA A '='3) 设A 是实对称矩阵,则Rn中属于A 的不同特征值的特征向量必正交.4.设是A 对称变换，V 是A 一子空间，则也是A 一子空间。