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材料力学第7章应力状态

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材料力学第七章应力状态和强度理论

材料力学第七章应力状态和强度理论
2
x y 2 a 0 2
x y x y 2
x y
2
) x
2
2
例题1: 已知:单元体各侧面应力 x=60MPa,
求: (1) = - 450斜截面上的应力,(2)主应力和主平面
dA
y

x y
2
sin 2 xy cos2
y
yx
应力圆
y
1 R 2

x
y

2
4 2 xy
x
yx xy x
y
R c

x y
2
2
x
xy
x´
dA
yx
y´
y
x y 1 2 2 2

40

x y
2 0.431MPa
sin( 80 ) xy cos(80 )

C
C

C
例题3：已知梁上的M、Q，试用单元体表示截面上1、2、
3、4点的应力状态。
1
2 0
2
1点 2点
1 2 0 3
3Q ＝ 2A
M x Wz
2 xy
x y
2 20.6 0.69 60 0
17.2
x y
2 (
6.4MPa
2 34.4
max(min)
x
17.20
x y
2
) xy
2
2
x
66.4MPa
60 0 60 0 2 ( ) 20.6 2 2 2 66.4(6.4) MPa

材料力学第五版 第七章 应力状态 答案

材料力学第五版 第七章 应力状态 答案

第七章应力状态与强度理论一、教学目标和教学内容1．教学目标通过本章学习，掌握应力状态的概念及其研究方法；会从具有受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况；会计算平面应力状态下斜截面上的应力；掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力、主方向的计算，并会排列主应力的顺序；掌握广义胡克定律；了解复杂应力状态比能的概念；了解主应力迹线的概念。

掌握强度理论的概念。

了解材料的两种破坏形式（按破坏现象区分）。

了解常用的四个强度理论的观点、破坏条件、强度条件。

掌握常用的四个强度理论的相当应力。

了解莫尔强度理论的基本观点。

会用强度理论对一些简单的杆件结构进行强度计算。

2．教学内容○1应力状态的概念；○2平面应力状态分析；○3三向应力状态下的最大应力；○4广义胡克定律•体应变；○5复杂应力状态的比能；⑥梁的主应力•主应力迹线的概念。

讲解强度理论的概念及材料的两种破坏形式。

讲解常用的四个强度理论的基本观点，并推导其破坏条件从而建立强度计算方法。

介绍几种强度理论的应用范围和各自的优缺点。

简单介绍莫尔强度理论。

二、重点难点重点：1、平面应力状态下斜截面上的应力计算，主应力及主方向的计算，最大剪应力的计算。

2、广义胡克定律及其应用。

难点：1、应力状态的概念，从具体受力杆件中截面单元体并标明单元体上的应力情况。

2、斜截面上的应力计算公式中关于正负符号的约定。

3、应力主平面、主应力的概念，主应力的大小、方向的确定。

4、广义胡克定律及其应用。

5 强度理论的概念、常用的四个强度理论的观点、强度条件及其强度计算。

6 常用四个强度理论的理解。

7 危险点的确定及其强度计算。

三、教学方式采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。

四、建议学时10学时五、讲课提纲1、应力状态的概念所谓“应力状态”又称为一点处的应力状态（state of stresses at a given point）,是指过一点不同方向面上应力的集合。

材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论

材料力学 第07章 应力状态分析与强度理论
2
sin2a t xy cos2a
18/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.3 主平面的方位及极值正应力 s x s y s x s y sa cos2a t xy sin2a 2 2 s x s y ds a 上式对a 求导 2 sin2a t xy cos2a da 2 s x s y 若a a0时，导数为 0 sin2a 0 t xy cos2a 0 0 2 2t xy tan2a 0 s x s y
7.2.5 应力圆
t
sx
tyx
sy
sx txy sy
D(sx,txy) 1. 确定点 D (s ,t ) x xy
O
D'(sy,tyx)
C
s
2. 确定点D' (sy,tyx) tyx= －txy 3. 连接DD'与s 轴交于点C 4. 以 C 为圆心，CD（CD'） 为半径画圆。
26/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆
sx sy sz
sxs1 100 MPas 2
0 MPas 3 120 MPa
11/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态 三个主应力中仅有一个主应力不为零 单向应力状态
s1
s1
F
A
F
12/95
7.1 一点的应力状态的概念 单向、二向(平面)、三向(空间)应力状态
O
D'(sy,tyx)
C sx－ sx sy/2
s
27/95
7.2 平面应力状态分析 主应力 7.2.5 应力圆 利用应力圆确定角a 斜截面上的正应力和切应力

工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论

工程力学c材料力学部分第七章 应力状态和强度理论

无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值， 无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找 到构件内最大应力的位置和方向 需要对各点的应力情况做出分析。 最大应力的位置和方向， 到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析。
受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 受力构件内一点处所有方位截面上应力的集合，称为一点的 研究一点的应力状态时， 应力状态 。研究一点的应力状态时，往往围绕该点取一个无限小 的正六面体—单元体来研究。 单元体来研究 的正六面体 单元体来研究。
σ2
σ2
σ1
σ1
σ
σ
σ3
三向应力状态
双向应力状态
单向应力状态 简单应力状态
复杂应力状态 主应力符号按代数值的大小规定： 主应力符号按代数值的大小规定：
σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3
平面应力状态的应力分析—解析法 §7−2 平面应力状态的应力分析 解析法
图(a)所示平面应力单元体常用平面图形(b)来表示。现欲求 )所示平面应力单元体常用平面图形( )来表示。现欲求 垂直于平面xy的任意斜截面 上的应力 垂直于平面 的任意斜截面ef上的应力。 的任意斜截面 上的应力。
二、最大正应力和最大剪应力
σα =
σ x +σ y
2
+
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α
τα =
令
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α
dσ α =0 dα
σ x −σ y
2
sin 2α +τ x cos2α = 0
可见在 τ α
=0

材料力学第七章 应力状态

材料力学第七章 应力状态

主平面的方位：
tan
2a0
2 xy x
y
主应力与主平面的对应关系： max 与切应力的交点同象限
例题：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, a 30。
试求（1）a 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
x y cos 2a
2
x sin 2a
x
a
x y sin 2a
2
x cos 2a
300
10 30 2
10 30 cos 60020sin 600
2
2.32 MPa
300
10 30 sin 600 2
20cos 600
1.33 MPa
a
20 MPa
c
30 MPa
b
n1
y xy
a x
解：（1）a 斜面上的应力
y xy
a
x
2
y
x
2
y
cos 2a
xy
sin 2a
60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
2
2
a x 9.02MPa
a
x
y
2
sin
2a
xy
cos
2a
60 40 sin(60 ) 30cos(60 ) 2
58.3MPa
2
1.33 MPa
300 600 x y 40 MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ 的和为
一常数。
证明： a
x y

材料力学-应力状态分析

材料力学-应力状态分析

+
σ x σ y
2
cos 2α τ x sin 2α
sin 2α + τ x cos 2α
注意： 的正负号， 注意：1）σx 、σy 、τx 和 α的正负号， 2） 公式中的切应力是τx ，而非τy， 而非 的正负号。 3） 计算出的σα和τα 的正负号。
τα τ α>0
τα τ α<0
图示圆轴中， 已知圆轴直径d=100mm， 轴向拉 例 ： 图示圆轴中 ， 已知圆轴直径 ， 力 F=500kN，外力矩Me=7kNm。求 C点α = 30°截 ， 外力矩 。 点 ° 面上的应力。 面上的应力。 y
σy
τ
D
x
τx τy
σx
o A2
C
A1
σ
D
y
σ1 =
σ x +σ y
2
σ x +σ y + 2
2 +τ x
2
2
σ2 =
σ x +σ y
2
σ x +σ y 2 +τ x 2
σy
τ
D
x
τx τy
σx
o A2
2α0
C
A1
σ
D
y
2τ x 2α 0 = arctan σ x σ y
σ x σ y R= 2
+τ x2
2
σ x +σ y σ α 2
σy
σ x σ y 2 2 + τα = +τ x 2 τ
2 2
D
x
τx τy
σx
o
C D
y
σ
50MPa

材料力学第07章应力状态与应变状态分析


以上由单元体公式
应力圆（原变换）
下面寻求： 由应力圆
单元体公式（逆变换）
只有这样，应力圆才能与公式等价
换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？
为什么说有这种对应关系？
DE R sin[180o ( 2 20 )] R sin( 2 20 )
( R cos 20 ) sin 2 ( R cos 20 )cos 2
2
cos2
xy
sin 2
同理：
x
y
2
sin 2
xy
cos2
n
Ox
图2
二、极值应力
令:d
d
0
x
y
sin202 xycos200
由此得两个驻点：
01、（
01
2
）和两个极值：
tg20
2 xy x
y
y
mm
ax in
x
y ±（x
2
y
2
）2
2 xy
0 0极值正应力就是主应力 ！
y
O
x
七、主单元体、主平面、主应力：
y
y
主单元体(Principal bidy)：
x
各侧面上剪应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
剪应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
A

材料力学 第七章 应力状态和强度理论


y
2
2 xy
tan 2a0
2 xy x
y
max
1
2
3
主应力符号与规定： 1 2 3 （按代数值）
§7-3 空间应力状态
与任一截面相对应 的点，或位于应力 圆上，或位于由应 力圆所构成的阴影 区域内
max 1 min 3
max
1
3
2
最大切应力位于与 1 及 3 均成45的截面上
针转为正，顺时针转为负。
tg 2a 0
2 x x
y
在主值区间，2a0有两个解，与此对应的a0也有两个解，其中落
在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。
三、应力圆
由解析法知，任意斜截面的应力为
a
x y
2
a x
x
y
2
y cos2a
2
sin 2a x c
x s os2a
in
2a
广义胡克定律
1、基本变形时的胡克定律
1）轴向拉压胡克定律
x E x
横向变形
y
x
x
E
2）纯剪切胡克定律
G
y
x x
2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
2
2
1
1
3
3
1
1
E
2
E
3
E
1
1 E
1
2
3
同理
2
1 E
2
3
1
广义胡克定律
3
1 E
3
1
2
7-5, 7-6
§7-4 材料的破坏形式
⒈ 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先应写清已 知条件。

材料力学-7-应力状态分析

1.对于矩形截面杆。 三对面中，一对面为杆横截面；另外两 对面为平行于杆表面的纵截面。 2.对于圆形截面杆。 三对面中，一对面为杆横截面；一对面 为同轴圆柱面；还有一对面为通过杆轴线的纵 截面。
7.1 应力状态的基本概念
y
例题2 1
l
4
z
S
2 3
x
S平面
FP
a
求：取S截面上的一些点的微元，并确定其各个面上 的应力。（忽略剪力影响）
这表明：拉杆的斜截面上存在切应力。
7.1 应力状态的基本概念
受扭之前，圆轴表面为正圆。
Mx Mx
受扭后，变为一斜置椭圆，长轴方向伸长，短轴 方向缩短。这是为什么？
这表明，轴扭转时，其斜截面上存在着正 应力。
7.1 应力状态的基本概念 根据微元的局部平衡

x
n
x'y'
x'
x
x
2 x－ y
2
＋
cos2q－ xy sin 2q
sin 2q xy cos2q
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法 例题 3
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面， 说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。
铸铁拉伸实验
低碳钢拉伸实验
韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
7.2 平面应力状态任意方向面上的应力 ——解析法
F 0
q dA x dAcosq sinq
xy dAcosq cosq yx dAsinq sinq y dAsinq sinq 0


ζx
q
q
xy
x
q
q
dA

材料力学第七章


若应力状态由主应力表示，并且在max 0 和 min 0 的情况下，则式（7-7） 成为
max min
max
min
2
1 3
2
进一步讨论，由式（7-4）和式（7-6）可知
tan
21
1 tan 20
上式表明1 与 0 之间有如下关系：
1
0
4
可见，切应力取得极值的平面与主平面之间的夹角为 45 。
若三个主应力中，只有一个主应力不等于零，这样的应力状态称为 单向应力状态。若三个主应力中有两个不等于零，称为二向应力状态或 平面应力状态。若三个主应力皆不为零，称为三向应力状态或空间应力 状态。
第二节 平面应力状态分析——解析法
一、斜截面上的应力
图 7-1 所示为平面应力状态的最一般情况。已知 x ， y ， xy 和 yx 。现 在研究图中虚线所示任一斜截面上的应力，设截面上外法向 n 与 x 轴的夹角 为 。
令 d /d 0 ，由式（7-1）可得
x
2
y
sin
2
xy
cos 2
0
解得
（7-3）
tan 20
2 xy x y
通过运算，可以得到斜截面上正应力的极值为
（7-4）
max min
x
y 2
x
2
y
2
2 xy
（7-5）
由式（7-4）可知， 取得极值的角0 有两个，二者相差 90 ，即最大正应 力 max 和最小正应力 min ，二者分别作用在两个相互垂直的截面上。当 0 ， 取得极值时，该斜截面上的切应力 0 ，即正应力就是主应力。
（a）
（b） 图7-6
例 7-4 悬臂梁受力如图 7-7（a）所示。试求截面 n n 上 A 点处的主应力 大小和方向，并按主平面画出单元体。
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y
2

2 xy

m m
ax in




m
ax
2

m
in
极值切应力等于极值正应力差的一半。
§7.2 平面应力状态分析的解析法
三、极值切应力和主平面夹角
注意到 则 所以
tan
2 0

2 xy x
y
tan
21


x 2 xy
y
tan
20


1
tan 21
§7.2 平面应力状态分析的解析法
7.2.3 极值切应力及其作用面 一、极值切应力方位角
d 0 d
( x y ) cos 2 2 xy sin 2 0
得
tan
21


x 2 xy
y
二、最大、最小切应力

m m
ax
in




x
2



x
y
2
sin 2
xy cos 2
§7.2 平面应力状态分析的解析法
7.2.2 主应力 主方向 一、主应力
正应力是求极值
d d
x
y
2
(2sin 2 ) xy(2cos2 ) 0
得极值条件为

x

2
y
sin
2
xy
cos
2

0
(1) 极值正应力所在的斜面，恰好是切应力等于零的
平面，即主平面。
(2) 极值正应力就是主应力。
§7.2 平面应力状态分析的解析法
二、主方向
主方向角
tan
2 0

2 xy x
y
三、最大、最小正应力

m m
ax in

x
y
2



x

2
y
2

2 xy
四、应力不变量
max min x y 从同一点所切取的不同方位的应力单元体，其互相垂 直面上的正应力之和是一个常量，称为应力不变量。
Ft 0 , dA ( xydAcos ) cos ( xdAcos )sin
( yxdAsin )sin ( ydAsin ) cos 0
注意到 yx xy ，得


x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
21

20


2
,
1

0


4
即最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为 45
§7.2 平面应力状态分析的解析法
例7-1 图7-8a所示圆截面杆同时承受扭转和拉伸变形，
已知杆的直径 d 30 mm ,扭转力偶矩 Me 300 N m,轴向 载荷 F 20 kN。试求：(1) 杆件表面上K点处图示斜面上
的应力。(2) K点处的主应力及主方向。
n
Me
Me
=120o
F
K
30o
F
120 120 xy
30o
K
x x
解 (1) 取应力单元体
x


F d2
4

4 20
e
xydcos
xdcos
d n

d x
沿斜面法向n和切向t的平衡方程
b
f
yxdsin
t
ydsin
Fn 0 , dA ( xydAcos )sin ( xdAcos ) cos
( yxdAsin ) cos ( ydAsin )sin 0
y
y
y
y
yx
yx
n
exΒιβλιοθήκη xxy xy
yx
x
z
b
f
x
t
规定正应力以拉伸为正，切应力以使单元体有顺
钟向转动趋势时为正。
求任意斜面ef上的应力
斜面方位角 ，并规定自x轴正向逆钟向转至斜
面外法线方向所形成的角为正。
§7.2 平面应力状态分析的解析法
三角形微体ebf为研究对象
7.1.1 一点的应力状态 任一横截面上各点的应力分布情况
(1) 随点在截面上的位置不同而变化
(2) 同一点不同方向上的应力情况
轴向拉压杆件，斜截面上的正应力和切应力分别为
cos 2



2
s in 2
受力物体内一点各个斜面上的应力变化情况，亦
即一点的应力状态。
§7.1 应力状态的概念
F

A
A


b) a)
§7.1 应力状态的概念
7.1.3 主平面 主应力 主单元体
1. 主平面 在单元体上，切应力等于零的平面
2. 主应力 主平面上的正应力
3. 主单元体
各个面都是主平面的单元体
主应力通常用1、 2 和 3 表示，它们的顺序按代 数值大小排列，即 1 2 3 。


A


A
2. 扭转杆件中的应力单元体
Me
Me
A
A
A

§7.1 应力状态的概念
3. 平面弯曲杆件中的应力单元体
A BC
F
D E
A
B
C
D
D
E
E
§7.1 应力状态的概念
4. 受内压薄壁容器中的应力单元体
1) 横截面上的正应力 轴线方向的平衡方程
D p D2 0
4 pD
§7.1 应力状态的概念
7.1.4 应力状态的分类
1. 单向应力状态 (简单应力状态 ) 三个主应力中，只有一个不等于零
2. 二向应力状态 (复杂应力状态 ) 有两个应力不等于零
3. 三向应力状态 (复杂应力状态 )
三个主应力都不等于零
§7.2 平面应力状态分析的解析法
7.2.1 斜面上的应力
平面应力状态下的应力单元体
第7章 应力应变分析与强度理论
§7.1 应力状态的概念 §7.2 平面应力状态分析的解析法 §7.3 平面应力状态分析的图解法 §7.4 三向应力状态简介 §7.5 平面应力状态的应变分析 §7.6 广义胡克定律 §7.7 强度理论概述 §7.8 四个常用的强度理论 §7.9 莫尔强度理论
§7.1 应力状态的概念
7.1.2 原始应力单元体
y
为了研究受力杆件内一点的应
力状态，围绕该点切取一个
“宏观上无限小，微观上无限
dx
大”的单元体
z
dy
dz x
如果单元体各面上的应力已知，则该点任意方向的 应力都可由此计算出来。这样切取的单元体称为原 始应力单元体。
§7.1 应力状态的概念
1. 拉压杆件中的应力单元体
F
F
A
4
2) 容器环向的正应力 铅垂方向的平衡方程
mn

p

A
m an a)
z
p D d
2
d
O
a y

2 a a p D sin d 0 c) 2
0
pD
2
D
D
p
b)

A

d)
§7.1 应力状态的概念
5. 车轮与钢轨接触点处的应力单元体