求中心天体的质量与密度

计算天体的质量和密度知识梳理“天上”法“地上”法原理万有引力提供向心力：22m GMmv r r ==2m r ω=224m r T π=n ma万有引力等于重力：2GMmmg R=质量M=2324GT r π=2v r G =23rG ω=2n a r G2gR M G=需要已知量 G 、r 、T(或ω、v)G 、g 、R密度3233M r V GT R πρ==特例，当r=R 时：23GT πρ=34g GR ρπ=注意：计算天体质量需“一个中心、两个基本点”： “一个中心”即只能计算出中心天体的质量;“两个基本点” 即要计算中心天体的质量，除引力常量G 外，还要已知两个独立的物理量。

例题分析【例1】下列哪一组数据不能估算出地球的质量。

引力常量G 已知( )A.月球绕地球运行的周期与月地之间的距离B.地球表面的重力加速度与地球的半径C.绕地球运行卫星的周期与线速度D.地球表面卫星的周期与地球的密度【例2】已知引力常量G ．月球中心到地球中心的距离R 和月球绕地球运行的周期T 。

仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有（ ） A ．月球的质量 B ．地球的密度C ．地球的半径D ．月球绕地球运行速度的大小【例3】（2006北京）一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行,认为行星是密度均匀的球体,要确定该行星的密度,只需要测量( )A.飞船的轨道半径B.飞船的运行速度C.飞船的运行周期D.行星的质量【例4】（2005广东）已知万有引力常量G ，地球半径R ，月球和地球之间的距离r ，同步卫星距地面的高度h ，月球绕地球的运转周期T 1，地球的自转周期T 2，地球表面的重力加速度g 。

某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M 的方法： 同步卫星绕地球作圆周运动，由得⑴请判断上面的结果是否正确，并说明理由。

如不正确，请给出正确的解法和结果。

⑵请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。

同步练习1.已知下面的哪组数据可以计算出地球的质量？引力常量G 已知（ ）A ．月球绕地球运动的周期和月球的半径B ．地球同步卫星离地面的高度C ．地球绕太阳运动的周期和地球到太阳中心的距离D ．人造卫星在地面附近的运动速度和周期2.下列哪一组数据能够估算出地球的密度。

求天体的加速度、质量、密度一．知识聚焦 1。

加速度：表面上 mg MmG=2R得2g R GM = 非表面 ()m a R MmG=+2h 得)(2R a h GM +=万有引力与航天 ）基础知识：一、研究对象：绕中心天体的行星或卫星r m v r Mm G 22= G r v M 2= (已知线速度与半径）22ωmr r Mm G = G r M 32ω= （已知角线速度与半径） 22)2(T mr r Mm G π= GT r M 232)2(π= (已知周期与半径） 总结：线速度vr ，这三个物理量中，任意组合二个,一定能求出中心天体的质量M 。

或者说：中心天体的质量M 、及三个物理量中，只要知道其中的两个，可求出其它物理量。

二、研究对象：绕中心天体表面运行的行星或卫星R m v RMm G 22= G R v M 2= (已知线速度与半径）22ωmR R Mm G = G R M 32ω= （已知角线速度与半径) G πωρ432=(已知角速度） 22)2(T mR R Mm G π=已知周期与半径已知周期)如果绕中心天体表面运转,三、研究对象：距离地面h 高处的物体，万有引力等于重力mg h R MmG =+2)( G h R g M 2)(+= （已知某高度处的重力加速度与距离)四、研究对象：地球表面的物体，万有引力等于重力mg R Mm G =2 G gR M 2= （已知中心天体表面的重力加速度与半径) GRgπρ43=训练题(真题）1宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t,小球落在星球表面,测得抛出点与落地点之间的距离为L ，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为3L ，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，引力常量为G,求该星球的质量M 和密度ρ.图21[解析]此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密度．根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为221gt y =设初始平抛小球的初速度为v ，则水平位移为x=vt ．有2222)()21(L vt gt =+ 错误!当以2v 的速度平抛小球时，水平位移为x'= 2vt ．所以有2222)3()2()21(L vt gt =+ ②在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有mg=G 2RMm③联立以上三个方程解得22332Gt LR M =而天体的体积为334R V π=,由密度公式V M =ρ得天体的密度为RGt L 223πρ=。

考题一 天体质量(密度)的估算求解中心天体质量、密度的方法1.利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 求解 由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G .2.利用卫星绕天体做匀速圆周运动求解(1)已知卫星的轨道半径r 和该轨道上的重力加速度g ，根据GMm r 2＝mg ，得M ＝gr 2G ；(2)已知卫星线速度v 和轨道半径r ，根据GMm r 2＝m v 2r 得M ＝r v 2G ；(3)已知卫星运转周期T 和轨道半径r ，由GMm r 2＝m 4π2T 2r 得M ＝4π2r 3GT 2；(4)已知卫星线速度v 和运转周期T ，根据GMm r 2＝m v 2πT 和r ＝v T 2π得M ＝v 3T 2πG.3.天体密度的估算一般在质量估算的基础上，利用M ＝ρ·43πR 3进行.例1 宇宙中有两颗相距无限远的恒星S 1、S 2，半径均为R 0.图1分别是两颗恒星周围行星的公转周期T 2与半径r 3的图象，则( )图1A.恒星S 1的质量大于恒星S 2的质量B.恒星S 1的密度小于恒星S 2的密度C.恒星S 1的第一宇宙速度大于恒星S 2的第一宇宙速度D.距两恒星表面高度相同的行星，S 1的行星向心加速度较大解析 两颗恒星周围的行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，变形得T 2r 3＝4π2GM .故图象的斜率越大，质量越小.故恒星S 1的质量小于恒星S 2的质量.故A 错.因为两颗恒星的半径相等，所以体积相等，故恒星S 1的密度小于恒星S 2的密度，故B 对.由G MmR 2＝m v 2R变形后得第一宇宙速度v ＝ GMR，即质量越大，第一宇宙速度越大.故恒星S 1的第一宇宙速度小于恒星S 2的第一宇宙速度，故C 错.行星向心加速度a ＝GMr 2，行星距两恒星表面高度相同，故质量越大，加速度越大，故D 错. 答案 B 变式训练1.地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域.进一步探测发现在地面P 点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图2所示.假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计.如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g ；由于空腔的存在，现测得P 点处的重力加速度大小为kg (k ＜1).已知引力常量为G ，球形空腔的球心深度为d ，则此球形空腔的体积是( )图2A.kgd GρB.kgdGρ C.(1－k )gd GρD.(1－k )gd 2Gρ答案 D解析 如果将近地表的球形空腔填满密度为ρ的岩石，则该地区重力加速度便回到正常值，因此，如果将空腔填满，地面质量为m 的物体重力为mg ，没有填满时是kmg ，故空腔填满后引起的引力为(1－k )mg ；由万有引力定律，有：(1－k )mg ＝G ρVmd 2，解得：V ＝(1－k )gd 2Gρ，D对.2.某行星外围有一圈厚度为d 的发光带(发光的物质)，简化为如图3甲所示模型，R 为该行星除发光带以外的半径.现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确地观测，发现发光带绕行星中心的运行速度与到行星中心的距离r 的关系如图乙所示(图中所标量为已知)，则下列说法正确的是( )图3A.发光带是该行星的组成部分B.该行星的质量M ＝v 20RGC.行星表面的重力加速度g ＝v 20RD.该行星的平均密度为ρ＝3v 20R4πG (R ＋d )3答案 BC解析 若发光带是该行星的组成部分，则其角速度与行星自转角速度相同，应有v ＝ωr ，v 与r 应成正比，与图不符，因此该发光带不是该行星的组成部分，故A 错误，发光带是环绕该行星的卫星群，由万有引力提供向心力，则有：G Mm r 2＝m v 2r 得该行星的质量为：M ＝v 2r G；由题图知，r ＝R 时，v ＝v 0，则有：M ＝v 20R G .故B 正确.当r ＝R 时有mg ＝m v 2R ，得行星表面的重力加速度g ＝v 20R ，故C 正确.该行星的平均密度为ρ＝M 43πR 3＝3v 204πGR 2，故D 错误，故选B 、C.3.“嫦娥二号”绕月卫星于10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空，并获得了圆满成功.“嫦娥二号”新开辟了地月之间的“直航航线”，即直接发射至地月转移轨道，再进入距月面约h ＝1×105 m 的圆形工作轨道，开始进行科学探测活动.设月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g 月，万有引力常量为G ，则下列说法正确的是( ) A.由题目条件可知月球的平均密度为3g 月4πGRB.“嫦娥二号”在工作轨道上绕月球运行的周期为2π R G 月C.“嫦娥二号”在工作轨道上的绕行速度为g 月(R ＋h )D.“嫦娥二号”在工作轨道上运行时的向心加速度为(R R ＋h )2g 月答案 AD解析 在月球表面重力与万有引力相等，由G mM R 2＝mg 月可得月球质量M ＝g 月R 2G ，据密度公式可得月球密度ρ＝MV ＝g 月R 2G 43πR 3＝3g 月4πGR，故A 正确；根据万有引力提供圆周运动的向心力有 G Mm (R ＋h )2＝m (R ＋h )4π2T 2，可得周期T ＝ 4π2(R ＋h )3GM＝ 4π2(R ＋h )3g 月R 2，故B 错误；根据万有引力提供圆周运动的向心力有 G mM(R ＋h )2＝m v 2R ＋h可得“嫦娥二号”绕行速度v ＝GMR ＋h＝ g 月R 2R ＋h，故C 错误； 根据万有引力提供圆周运动的向心力有 G mM (R ＋h )2＝ma ， 可得“嫦娥二号”在工作轨道上的向心加速度 a ＝GM (R ＋h )2＝(R R ＋h)2g 月，故D 正确. 考题二 人造卫星问题解答卫星问题的三个关键点 1.根据G Mmr2＝F向＝m v 2r ＝mrω2＝mr 4π2T2＝ma ，推导、记忆v ＝ GMr、ω＝ GMr 3、T ＝ 4π2r 3GM 、a ＝GMr2等公式. 2.理解掌握第一宇宙速度的意义、求法及数值、单位.3.灵活应用同步卫星的特点，注意同步卫星与地球赤道上物体的运动规律的区别与联系.例2 (·江苏·7)如图4所示，两质量相等的卫星A 、B 绕地球做匀速圆周运动，用R 、T 、E k 、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积.下列关系式正确的有( )图4A.T A >T BB.E k A >E k BC.S A ＝S BD.R 3A T 2A ＝R 3B T 2B解析 由GMm R 2＝m v 2R ＝m 4π2T 2R 和E k ＝12m v 2可得T ＝2π R 3GM， E k ＝GMm 2R ，因R A >R B ，则T A >T B ，E k A <E k B ，A 对，B 错； 由开普勒定律可知，C 错，D 对. 答案 AD 变式训练4.(·全国丙卷·14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 答案 B解析 开普勒在天文观测数据的基础上总结出了开普勒天体运动三定律，找出了行星运动的规律，而牛顿发现了万有引力定律.5.水星或金星运行到地球和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星凌日”.已知地球的公转周期为365天，若将水星、金星和地球的公转轨道视为同一平面内的圆轨道，理论计算得到水星相邻两次凌日的时间间隔为116天，金星相邻两次凌日的时间间隔为584天，则下列判断合理的是( ) A.地球的公转周期大约是水星的2倍 B.地球的公转周期大约是金星的1.6倍 C.金星的轨道半径大约是水星的3倍D.实际上水星、金星和地球的公转轨道平面存在一定的夹角，所以水星或金星相邻两次凌日的实际时间间隔均大于题干所给数据 答案 BD解析 水星相邻两次凌日的时间间隔为t ＝116天， 设水星的周期为T 1，则有：2πT 1t －2πT 2t ＝2π， 代入数据解得T 1≈88天，可知地球公转周期大约是水星的4倍，故A 错误； 金星相邻两次凌日的时间间隔为584天，设金星的周期为T 3，则有：2πT 3t －2πT 2t ＝2π，代入数据解得T 3≈225天，可知地球的公转周期大约是金星的1.6倍，故B 正确； 根据G Mm r 2＝mr (2πT )2，得r ＝ 3GMT 24π2，因为水星的公转周期大约是金星的0.4倍，则水星的轨道半径大约是金星的0.5倍，故C 错误；由所给资料，若运行轨道平面不存在夹角，那么行星凌日间隔时间会与理论时间一致，而实际与理论不同，故运行轨道平面必然存在夹角，故D 正确.考题三 双星与多星问题1.双星问题的模型构建对于做匀速圆周运动的双星问题，双星的角速度(周期)以及向心力大小相等，基本方程式为G M 1M 2L 2＝M 1r 1ω2＝M 2r 2ω2，式中L 表示双星间的距离，r 1，r 2分别表示两颗星的轨道半径，L ＝r 1＋r 2.2.做匀速圆周运动的双星问题中需要注意的几个关键点(1)双星绕它们连线上的某点做匀速圆周运动，两星轨道半径之和与两星距离相等； (2)双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相等；(3)双星做匀速圆周运动的向心力由双星间相互作用的万有引力提供，大小相等；(4)列式时须注意，万有引力定律表达式中的r 表示双星间的距离，而不是轨道半径(双星系统中两颗星的轨道半径一般不同).抓住以上四个“相等”，即向心力、角速度、周期相等，轨道半径之和与两星距离相等，即可顺利求解此类问题.例3 (12分)天体A 和B 组成双星系统，围绕两球心连线上的某点做匀速圆周运动的周期均为T .天体A 、B 的半径之比为2∶1，两天体球心之间的距离为R ，且R 远大于两天体的半径.忽略天体的自转，天体A 、B 表面重力加速度之比为4∶1，引力常量为G ，求A 天体的质量. [思维规范流程]每式各2分. 变式训练6.美国在2月11日宣布“探测到引力波的存在”.天文学家通过观测双星轨道参数的变化来间接验证引力波的存在，证实了GW150914是一个36倍太阳质量的黑洞和一个29倍太阳质量的黑洞合并事件.假设这两个黑洞绕它们连线上的某点做圆周运动，且这两个黑洞的间距缓慢减小.若该黑洞系统在运动过程中各自质量不变且不受其他星系的影响，则关于这两个黑洞的运动，下列说法正确的是( ) A.这两个黑洞运行的线速度大小始终相等B.这两个黑洞做圆周运动的向心加速度大小始终相等C.36倍太阳质量的黑洞轨道半径比29倍太阳质量的黑洞轨道半径大D.随两个黑洞的间距缓慢减小，这两个黑洞运行的周期也在减小 答案 D解析 这两个黑洞共轴转动，角速度相等，根据v ＝ωr 可知，由于不知道两个黑洞的转动半径关系，所以线速度大小不一定相等，故A 错误；根据a ＝ω2r 可知，由于不知道两个黑洞的转动半径关系，所以向心加速度大小不一定相等，故B 错误；两个黑洞都是做圆周运动，则Gm 1m 2r 2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2，可以得到半径与质量成反比关系，质量大的半径小，故选项C 错误；根据G m 1m 2r 2＝m 14π2r 1T 2可得，m 2＝4π2r 2GT 2r 1，根据G m 1m 2r 2＝m 24π2r 2T 2可得，m 1＝4π2r 2T 2r 2，所以m 1＋m 2＝4π2r 2GT 2(r 1＋r 2)＝4π2r 3GT 2，当m 1＋m 2不变时，r 减小，则T 减小，即双星系统运行周期会随间距减小而减小，故D 正确.7.由三颗星体构成的系统，叫做三星系统.有这样一种简单的三星系统：质量刚好都相同的三个星体a 、b 、c 在三者相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做相同周期的圆周运动，若三个星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，万有引力常量为G ，则下列说法正确的是( ) A.三个星体做圆周运动的轨道半径为a B.三个星体做圆周运动的周期均为2πaa3GmC.三个星体做圆周运动的线速度大小均为3GmaD.三个星体做圆周运动的向心加速度大小均为3Gma 2答案 B解析 由几何关系知，它们的轨道半径为r ＝a 232＝33a ，故A 错误；根据合力提供向心力有：2·Gm 2a 2cos 30˚＝ma ′＝m v 2r ＝mr 4π2T 2，得星体做圆周运动的周期为：T ＝2πa a3Gm，线速度为：v ＝Gm a ，向心加速度为：a ′＝3Gma2，故B 正确，C 、D 错误. 专题规范练1.有研究表明，目前月球远离地球的速度是每年3.82±0.07 cm.则10亿年后月球与现在相比( )A.绕地球做圆周运动的周期变小B.绕地球做圆周运动的加速度变大C.绕地球做圆周运动的线速度变小D.地月之间的引力势能变小 答案 C解析 对月球进行分析，根据万有引力提供向心力，则：GMm r 2＝m (2πT)2r ，则：T ＝4π2r 3GM，由于半径变大，故周期变大，故选项A 错误.根据GMm r 2＝ma ，则：a ＝GMr 2，由于半径变大，故加速度变小，故选项B 错误；根据GMmr 2＝m v 2r，则v ＝GMr，由于半径变大，故线速度变小，故选项C 正确；由于月球远离地球，万有引力做负功，故引力势能变大，故选项D 错误.2.3月8日，马来西亚航空公司从吉隆坡飞往北京的航班MH370失联，MH370失联后多个国家积极投入搜救行动，在搜救过程中卫星发挥了巨大的作用.其中我国的北斗导航系统和美国的GPS 导航系统均参与搜救工作，北斗导航系统包含5颗地球同步卫星，而GPS 导航系统由运行周期为12小时的圆轨道卫星群组成，下列说法正确的是( ) A.发射人造地球卫星时，发射速度只要大于7.9 km/s 就可以 B.北斗同步卫星的线速度与GPS 卫星的线速度之比为312C.北斗同步卫星的机械能一定大于GPS 卫星的机械能D.卫星向地面上同一物体拍照时，GPS 卫星的拍摄视角小于北斗同步卫星的拍摄视角 答案 B解析 发射不同的人造地球卫星，发射速度要求是不相同的，故A 错；北斗同步卫星的周期是24 h ，GPS 导航系统卫星的周期为12小时，根据开普勒第三定律可得半径比为34，万有引力提供向心力，由v ＝GMr ，得线速度之比为312，B 对；不知道北斗同步卫星和GPS 卫星的质量，无法比较机械能，C 错；GPS 卫星半径小于北斗同步卫星运动半径，得GPS 卫星的拍摄视角大于北斗同步卫星的拍摄视角，D 错.3.(多选)我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星 500”的模拟实验活动.假设王跃登陆火星后，测得火星的半径是地球半径的12，质量是地球质量的19.已知地球表面的重力加速度是g ，地球的半径为R ，王跃在地球表面能竖直向上跳起的最大高度为h ，忽略自转的影响.下列说法正确的是( ) A.火星的密度为2g3πGRB.火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度相等C.火星表面的重力加速度为4g 9D.王跃在火星表面能竖直向上跳起的最大高度为9h4答案 ACD4.(·四川理综·3)国务院批复，自起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km ，远地点高度约为2 060 km ；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km 的地球同步轨道上.设东方红一号在远地点的加速度为a 1，东方红二号的加速度为a 2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a 3，则a 1、a 2、a 3的大小关系为( ) A.a 2＞a 1＞a 3 B.a 3＞a 2＞a 1 C.a 3＞a 1＞a 2 D.a 1＞a 2＞a 3答案 D解析 由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，根据a ＝ω2r ，r 2>r 3，则a 2>a 3；由万有引力定律和牛顿第二定律得，G Mmr 2＝ma ，由题目中数据可以得出，r 1<r 2，则a 2<a 1；综合以上分析有，a 1>a 2>a 3，选项D 正确.5.(·天津理综·3)如图1所示，我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接.假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )图1A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接 答案 C解析 若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速，所需向心力变大，则飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道，不能实现对接，选项A 错误；若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速，所需向心力变小，则空间实验室将脱离原轨道而进入更低的轨道，不能实现对接，选项B 错误；要想实现对接，可使飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的空间实验室轨道，逐渐靠近空间实验室后，两者速度接近时实现对接，选项C 正确；若飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道，不能实现对接，选项D 错误.6.(多选)已知地球自转周期为T 0，有一颗与同步卫星在同一轨道平面的低轨道卫星，自西向东绕地球运行，其运行半径为同步轨道半径的四分之一，该卫星两次在同一城市的正上方出现的时间间隔可能是( ) A.T 04 B.3T 04 C.3T 07 D.T 07答案 CD解析 设地球的质量为M ，卫星的质量为m ，运动周期为T ，因为卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，有：GMm r 2＝4π2mrT2，解得：T ＝2πr 3GM. 同步卫星的周期与地球自转周期相同，即为T 0.已知该人造卫星的运行半径为同步卫星轨道半径的四分之一，所以该人造卫星与同步卫星的周期之比是：T T 0＝r 3(4r )3＝18，解得T ＝18T 0.设卫星至少每隔t 时间才在同一地点的正上方出现一次，根据圆周运动角速度与所转过的圆心角的关系θ＝ωt 得：2πT t ＝2n π＋2πT 0t ，解得t ＝nT 07，当n ＝1时t ＝T 07，n ＝3时t ＝3T 07，故A 、B 错误，C 、D 正确.7.据新华社北京3月21日电，记者21日从中国载人航天工程办公室了解到，已在轨工作1 630天的“天宫一号”目标飞行器在完成与三艘神舟飞船交会对接和各项试验任务后，由于超期服役两年半时间，其功能已于近日失效，正式终止了数据服务.根据预测，“天宫一号”的飞行轨道将在今后数月内逐步降低，并最终进入大气层烧毁.若“天宫一号”服役期间的轨道可视为圆且距地面h (h ≈343 km)，运行周期为T ，地球的半径为R ，下列关于“天宫一号”的说法正确的是( )A.因为“天宫一号”的轨道距地面很近，其线速度小于同步卫星的线速度B.女航天员王亚平曾在“天宫一号”中漂浮着进行太空授课，那时她不受地球的引力作用C.“天宫一号”进入外层稀薄大气一小段时间内，克服气体阻力的功小于引力势能的减小量D.由题中信息可知地球的质量为4π2R 3GT 2答案 C解析 根据万有引力提供向心力可知：G Mmr 2＝m v 2r，解得：v ＝GMr，由于“天宫一号”的轨道半径小于同步卫星的半径，则其线速度大于同步卫星的线速度，故A 错误；航天员在“天宫一号”中处于失重状态，地球对她的万有引力提供她随“天宫一号”围绕地球做圆周运动的向心力，不是不受地球的引力作用，故B 错误；根据动能定理可知引力与空气阻力对“天宫一号”做的总功应为正值，而引力做的功等于引力势能的减少，即“天宫一号”克服气体阻力做的功小于引力势能的变化，故C 正确； 根据万有引力提供向心力可知， G Mm(R ＋h )2＝m 4π2(R ＋h )T 2， 解得：M ＝4π2(R ＋h )3GT 2，故D 错误.8.宇宙间是否存在暗物质是物理学之谜，对该问题的研究可能带来一场物理学的革命.为了探测暗物质，我国在12月17日成功发射了一颗被命名为“悟空”的暗物质探测卫星.已知“悟空”在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间t (t 小于其运动周期)，运动的弧长为L ，与地球中心连线扫过的角度为θ(弧度)，引力常量为G ，则下列说法中正确的是( )A.“悟空”的质量为L 3Gθt 2B.“悟空”的环绕周期为2πtθC.“悟空”的线速度大于第一宇宙速度D.“悟空”的向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度 答案 B解析 “悟空”绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，只能求出地球质量，不能求出“悟空”的质量，故A 错误；“悟空”经过时间t (t 小于“悟空”的周期)，它运动的弧长为L ，它与地球中心连线扫过的角度为θ(弧度)，则“悟空”的角速度为：ω＝θt ，周期T＝2πω＝2πtθ，故B 正确；“悟空”在低于地球同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有：GMmr 2＝m v 2r，得v ＝GMr，可知卫星的轨道半径越大，速率越小，第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，故“悟空”在轨道上运行的速度小于地球的第一宇宙速度，故C 错误；由GMm r 2＝ma 得：加速度a ＝G Mr 2，则知“悟空”的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度，故D 错误.9.一半径为R 、密度均匀的自行旋转的行星，其赤道处的重力加速度为极地处重力加速度的n 倍(n ＜1).求该行星的同步卫星距离地面的高度.答案 (311－n－1)R 解析 设行星的质量为M ，自转的角速度为ω，其极地处的重力加速度为g .对质量为m 1的物体位于极地和赤道时，根据万有引力定律 G Mm 1R2＝m 1g G Mm 1R2－nm 1g ＝m 1Rω2 设同步卫星的质量为m 2，距离地面的高度为h ，根据万有引力定律 G Mm 2(R ＋h )2＝m 2(R ＋h )ω2 整理得h ＝ (311－n－1)R . 10.假设某天你在一个半径为R 的星球上，手拿一只小球从离星球表面高h 处无初速度释放，测得小球经时间t 落地.若忽略星球的自转影响，不计一切阻力，万有引力常量为G .求： (1)该星球的质量M ；(2)在该星球上发射卫星的第一宇宙速度大小v . 答案 (1)2hR 2Gt 2 (2)2hRt解析 (1)根据h ＝12gt 2可知g ＝2ht 2由GMmR 2＝mg 可得M ＝2hR 2Gt2(2)根据GMmR 2＝mg ＝m v 2R可得v ＝2hRt.。

求天体的加速度、质量、密度一．知识聚焦 1.加速度：表面上 mg Mm G =2R得2g RGM =非表面 ()ma R MmG=+2h 得)(2R a h GM+=2.中心天体质量M （或密度ρ）的估算 法一：利用表面物体mg Mm G=2R，得到M=法二：设行星m 绕天体M 做半径r 、周期T 的匀速圆周运动。

则G2rMm = m r224Tπ，所以M=2324GTr π对“近地”行星，r=R (R 表示天体的半径） M=ρ（4πR 3/3）所以ρ=23GTπ法三：22ωmr rMm G =法四：r vmrMm G22=总结：只要知道环绕天体的，线速度V ，角速度w,轨道半径r ，公转周期T ，任意两个，就可以求得中心天体质量，但是知道w 和T 除外。

例题1、下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G 是已知的）（ CD ）A.地球绕太阳运行的周期T 和地球中心离太阳中心的距离rB.月球绕地球运行的周期T 和地球的半径rC.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离rD.月球绕地球运动的周期T 和轨道半径r 例题2、如图21所示，a 、b 、c 是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是(D)A ．b 、c 的线速度大小相等，且大于a 的线速度；B ．b 、c 的向心加速度大小相等，且大于a 的向心加速度；C ．c 加速可追上同一轨道上的b ，b 减速可等候同一轨道上的c ；D ．a 卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大。

例题3、某一物体在地球表面时，由弹簧测力计测得重160N ，把此物体放在航天器中，若航天器以加速度2ga =（g 为地球表面的重力加速度）垂直地面上升，这时再用同一弹簧测力计测得物体的重力为90N ，忽略地球自转的影响，已知地球半径R ，求此航天器距地面的高度。

解析：物体在地球表面时，重力为=mg 160N ①根据万有引力定律，在地面附近有2RGMm mg =②在距地面某一高度h 时，由牛顿定律得ma g m F N ='- ③根据万有引力定律，得2)(h R GMm g m +=' ④①②③④式并代入数据解得R h 3=。

万有引力和航天第一节：计算天体的质量和密度基础知识填空1、卡普勒第一定律是： ；卡普勒第二定律是： ；卡普勒第三定律是： ，其表达式是 ，当把轨道近似看作圆时，表达式可改写为 ，其中常数k 由 决定。

2、通过计算推导可得太阳对行星的引力F ∝2m r （m 是行星质量），由于太阳与行星间相互作用，两者的地位是相同的，既然太阳吸引行星，行星也必然吸引太阳，所以可推得行星对太阳的引力F’（设太阳质量为M ）满足 ，而根据作用力和反作用力的关系，F 和F’的大小是相等的，所以我们可以推得太阳与行星间的引力满足 ，加入比例系数G ，写成等式就是 ，这就是 定律的表达式，（其中G 是 ，由 通过著名的 实验测量得到的）根据等式，该定律可表述为 。

3、不考虑地球自转时，万有引力等于 ，公式表达为 ，化简后得到黄金代换式 。

4、环绕模型算中心天体质量： 提供向心力，表达式写作=F n ，若向心力表达式用2n F m r ω=，则中心天体质量M = ，若向心力表达式用22n F m r T π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则中心天体质量M = ，若向心力表达式用2n v F m r=，则中心天体质量M = 。

若该天体的半径为R ，则以上3种表达式下中心天体的密度可分别写作 ， ，。

（请区分环绕半径r 和星球半径R ）练习题（多选为7、8、9）1、在力学理论建立的过程中有许多伟大的科学家做出了贡献，下列有关科学家和他们的贡献说法错误的是（ ）A ．卡文迪许通过实验测出了引力常量GB ．惯性定律是可以被实验直接验证的C ．伽利略斜面实验合理外推解释了自由落体是匀变速运动D ．开普勒发现了行星运动的规律2、宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发现A 、B 两颗均匀球形天体，两天体各有一颗靠近其表面飞行的卫星，测得两颗卫星的周期相等，以下判断正确的是（ ）A.天体A 、B 的质量一定相等B.两颗卫星的线速度一定相等C.天体A 、B 表面的重力加速度一定相等D.天体A 、B 的密度一定相等3、已知引力常量为G，根据下列所给条件不能估算出地球质量的是（）A．月球绕地球的运行周期T和月球中心到地球中心间距离RB．人造地球卫星在地面附近运行的速度v和运行周期TC．地球绕太阳运行的周期T和地球中心到太阳中心的距离RD．地球半径R和地球表面重力加速度g4、据报道，一颗来自太阳系外的彗星于2014年10月20日擦火星而过．如图所示，设火星绕太阳在圆轨道上运动，运动半径为r，周期为T．该彗星在穿过太阳系时由于受到太阳的引力，轨道发生弯曲，彗星与火星在圆轨道的A点“擦肩而过”．已知万有引力恒量G，则（）A.可计算出彗星的质量B.可计算出彗星经过A点时受到的引力C.可计算出彗星经过A点的速度大小D.可确定彗星在A点的速度大于火星绕太阳的速度5、2008年9月25日21时10分，载着翟志刚、刘伯明、景海鹏三位宇航员的“神舟七号”飞船在中国酒泉卫星发射中心发射成功．如果“神舟七号”飞船在离地球表面h高处的轨道上做周期为T的匀速圆周运动，已知地球的半径为R，引力常量为G，在该轨道上，关于“神舟七号”飞船，下列说法中正确的是（）A．运行的角速度为ω2RB．地球表面的重力加速度大小可表示为C．运行时的向心加速度大小为D．运行的线速度大小为6、绕地球做匀速圆周运动的两颗卫星a、b，已知a的轨道半径大于b的轨道半径，则对于两颗卫星下列说法正确的是（）A．a周期大 B．a角速度变大C．a速度大 D．a向心加速度大7、已知引力常量是G，在下列各组物理数据中，能够估算月球质量的是（）A．月球绕地球运行的周期及月、地中心距离B．绕月球表面运行的飞船的周期及月球的半径C．绕月球表面运行的飞船的周期及线速度D．月球表面的重力加速度8、宇航员在宇宙飞船中测出自己绕地球做圆周运动的周期为T，离地高度为H，地球半径为R，则根据T、H、R和引力常量G，能计算出的物理量是（）A．地球的质量和飞船的质量 B．地球的平均密度C．飞船线速度的大小 D．飞船所需的向心力9、假如一颗做匀速圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增加为原来的2倍，仍做匀速圆周运动，则（）A．根据公式F=，可知地球提供的向心力将减小为原来的B．根据公式v=，可知卫星运动的线速度将减小为原来的C．根据公式a=rω2可知卫星的向心力加速度将减小为原来的D．根据公式F=m rω2，可知地球提供的向心力将增大为原来的2倍10、2003年10月15日，我国神舟五号载人飞船成功发射.标志着我国的航天事业发展到了一个很高的水平.飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h的圆形轨道.已知地球半径为R，地面处的重力加速度为g，引力常量为G,求：⑴地球的质量；⑵飞船在上述圆形轨道上运行的周期T.11、对某行星的一颗卫星进行观测，已知运行的轨迹是半径为r的圆周，周期为T，已知万有引力常量G，求：（1）该行星的质量多少？（2）测得行星的半径为卫星轨道半径的，则此行星表面重力加速度为多大？12、物体在月球表面上的重力加速度等于地球表面上重力加速度的，将物体以10m/s的初速度竖直上抛，（g地取10m/s2）求：（1）物体上升的最大高度是多少？（2）物体落回地面的时间是多少？13、一艘宇宙飞船绕一个不知名的、半径为R的行星表面飞行，环绕一周飞行时间为T （万有引力常量为G），求：该行星的质量M和平均密度ρ14、宇航员站在星球表面上某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t小球落回星球表面，测得抛出点和落地点之间的距离为L．若抛出时的速度增大为原来的2倍，则抛出点到落地点之间的距离为L．已知两落地点在同一水平面上，该星球半径为R，已知引力常量为G，求该星球的质量及其表面的重力加速度大小．15、2005年10月12日，我国继“神舟”五号载人宇宙飞船后又成功地发射了“神舟”六号载人宇宙飞船.飞船入轨运行若干圈后成功实施变轨进入圆轨道运行，经过了近5天的运行后，飞船的返回舱于10月17日凌晨顺利降落在预定地点，两名宇航员安全返回祖国的怀抱.设“神舟”六号载人飞船在圆轨道上绕地球运行n圈所用的时间为t，若地球表面的重力加速度为g，地球半径为R.求：（1）飞船的圆轨道离地面的高度；（2）飞船在圆轨道上运行的角速度.计算天体的质量和密度参考答案1、【答案】B2、【答案】D3、【答案】C4、【答案】D5、【答案】C6、【答案】A7、【答案】BC8、【答案】BC9、【答案】AB10、【答案】（1）2gRMG=（2）32()2R hTgRπ+=11、【答案】（1）该行星的质量是．（2）测得行星的半径为卫星轨道半径的，则此行星表面重力加速度为12、【答案】（1）物体上升的最大高度为30m；（2）物体落回地面的时间为12s13、【答案】该行星的质量M是，平均密度是14、【答案】该星球的质量为，其表面的重力加速度大小为．15、【答案】（1）飞船的圆轨道离地面的高度是﹣R；（2）飞船在圆轨道上运行的角速度是.。

例析黄金代换式在解题中的用法黄金代换式在解天体问题中占有很大的比重。

用之，可使问题分析变得更加简捷。

不少学生对此式如何使用、在什么时候使用不清楚，本文通过实例对黄金代换式的用法进行归类分析，以示引导，更好地提高学生分析解决问题的能力。

一、对公式的理解二、用法归类（一）用于求解中心天体的质量与密度已知星球半径时，只要求出表面重力加速度，可直接利用黄金代换式求出星球质量，再由密度公式即可求出星球的平均密度.例1半径为20000 km的某星球表面的重力加速度为6.7m/s2，求：（1）此星球的质量；（2）此星球的密度。

解析在天体类问题中，只要提到重力加速度，均会用到黄金代换式。

方法迁移宇航员站在一星球表面上的某高度处，沿水平方向抛出一个小球。

经过时间T，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L若抛出时的初速度增大到2倍，则（二）用于求解物体距天体表面的高度当问题牵涉到地面不同高度或不同星球表面上重力加速度时常用比例法，可以简化方法迁移一物体在地球表面重16 N，它在以5 m/s2的加速度加速上升的火箭中的视重为9N，则此火箭离地球表面的距离为地球半径的（）A.2倍B.3倍C.4倍D.一半答案B（三）用于代换中心天体的质量在不知中心天体质量的情况下，可用其半径和表面重力加速度来代换。

如求解卫星的速度、加速度、周期等。

例3地球半径为R，地表重力加速度为g，求第一宇宙速度（即近地卫星的速度）。

方法迁移一星球密度和地球密度相同，它的表面重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，则该星球质量是地球质量的（忽略地球、星球的自转）（）A.2倍B.4倍C.8倍D.16倍答案C巩固训练1.一个登月的宇航员，能否用一个弹簧秤和一个质量为m的砝码，估测出月球的质量和密度？如果能，说明估测方法并写出表达式。

设月球半径为R，弹簧秤示数为F。

2.某星球质量是地球的10倍，半径是地球的2倍，太空人在星球上跳起的高度是地球的多少倍（设人跳起的初速度相同）？。

高考物理备考微专题精准突破专题2.6 中心天体质量密度的计算问题【专题诠释】中心天体质量和密度常用的估算方法【高考领航】【2019·新课标全国Ⅰ卷】在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。

在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a–x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。

已知星球M的半径是星球N的3倍，则（）A ．M 与N 的密度相等B ．Q 的质量是P 的3倍C ．Q 下落过程中的最大动能是P 的4倍D ．Q 下落过程中弹簧的最大压缩量是P 的4倍 【答案】AC【解析】A 、由a –x 图象可知，加速度沿竖直向下方向为正方向，根据牛顿第二定律有：mg kx ma -=，变形式为：k a g x m =-，该图象的斜率为km-，纵轴截距为重力加速度g 。

根据图象的纵轴截距可知，两星球表面的重力加速度之比为：00331M N a g g a ==；又因为在某星球表面上的物体，所受重力和万有引力相等，即：2Mm G m g R '='，即该星球的质量2gR M G=。

又因为：343R M πρ=，联立得34g RG ρπ=。

故两星球的密度之比为：1:1NM M N N MR g g R ρρ=⋅=，故A 正确；B 、当物体在弹簧上运动过程中，加速度为0的一瞬间，其所受弹力和重力二力平衡，mg kx =，即：kxm g=；结合a –x 图象可知，当物体P 和物体Q 分别处于平衡位置时，弹簧的压缩量之比为：00122P Q x x x x ==，故物体P 和物体Q 的质量之比为：16p N P Q Q M x g m m x g =⋅=，故B 错误；C 、物体P 和物体Q 分别处于各自的平衡位置（a =0）时，它们的动能最大；根据22v ax =，结合a –x 图象面积的物理意义可知：物体P 的最大速度满足2000012332P v a x a x =⋅⋅⋅=，物体Q 的最大速度满足：2002Qv a x =，则两物体的最大动能之比：222212412Q QkQ Q Q kPP P P P m v E m vE m v m v ==⋅=，C 正确；D 、物体P 和物体Q 分别在弹簧上做简谐运动，由平衡位置（a =0）可知，物体P 和Q 振动的振幅A 分别为0x 和02x ，即物体P 所在弹簧最大压缩量为20x ，物体Q 所在弹簧最大压缩量为40x ，则Q 下落过程中，弹簧最大压缩量时P 物体最大压缩量的2倍，D 错误；故本题选AC 。

第二十天：万有引力理论的成就万有引力定律的内容的考点：1、预言彗星的回归，发现未知天体；2、根据已知量计算出天体的质量；3、计算中心天体的质量和密度；4、已知近地表运行周期求密度；5、已知地月/卫系统常识可以求出的物理量；6、不同纬度的重力加速度；7、其他星球表面的重力加速度；8、在地球上空距离地心r=R+h 处的重力加速度； 9、天体自转对自身结构及表面g 的影响；10、不计自转，万有引力与地球表面的重力加速度。

知识点1：万有引力理论的成就一、“称量”地球的质量解决思路：若不考虑地球自转的影响，地球表面的物体的重力等于地球对物体的引力。

解决方法：mg ＝G mm 地R2。

得到的结论：m 地＝gR 2G ，只要知道g 、R 、G 的值，就可计算出地球的质量。

知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量。

二、计算天体的质量解决思路：质量为m 的行星绕阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力。

解决方法：Gmm 太r 2＝m 4π2T2r 。

得到的结论：m 太＝4π2r 3GT 2，只要知道引力常量G ，行星绕太阳运动的周期T 和轨道半径r 就可以计算出太阳的质量。

已知引力常量G ，卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量。

运用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量。

以地 球质量，月球的已知量为例，介绍几种计算天体质量的方法。

海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。

1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”。

这就是海王星。

其他天体的发现：海王星的轨道之外残存着太阳系形成初期遗留的物质，近100年来，人们发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。

五、预言哈雷彗星回归英国天文学家哈雷计算了1531年、1607年和1682年出现的三颗彗星的轨道，他大胆预言这三颗彗星是同一颗星，周期约为76年，并预言了这颗彗星再次回归的时间。

求天体的加速度、质量、密度一．知识聚焦1. 加速度：万有引力与航天）基础知识：一、研究对象：绕中心天体的行星或卫星总结：线速度v、角速度ω（周期T 、频率f、转速n）、轨道半径r，这三个物理量中，任意组合二个，一定能求出中心天体的质量M。

或者说：中心天体的质量M、及三个物理量中，只要知道其中的两个，可求出其它物理量。

表面上MmG M R m2mg 得g G R M2R非表面Mmma 得aGMMm mv22rr2vr（已知线速度与半径）MmG 2 mrr2r3（已知角线速度与半径）Mm2rmr(2T)2(2 )2r3T2G（已知周期与半径）Mm 2 mv v2R（已知线速度与半径）GR2RMGGMmmR22R3 R（已知角线速度与半径）2MR2G4G已知角速、研究对象：绕中心天体表面运行的行星或卫星度）32四、研究对象：地球表面的物体，万有引力等于重力4 GRMmR 2mR(2T ) 2(2 )2 R 3T 2G（已知周期与半径 ）GT 2 （已知周期 ）如果绕中心天体表面运转，中心天体的密度与周期的平方即： 任何因数都无关。

23T 是一个常量，与 G三、研究对象：距离地面 h 高处的物体，万有引力等于重力（已知某高度处的重力加速度与距离 ）MmR 2mgM gR2G 3g（ 已知中心天体表面的重力加速度与半径 ）训练题(真题)1 宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间表面，测得抛出点与落地点之间的距离为 L ，若抛出时的初速度增大到地点间的距离为 3 L ，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为 R ，引力常量为G ，求该星球的质量 M 和密度ρ［解析 ］此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密 度．12根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为 y 1 gt 2 2设初始平抛小球的初速度为 v ，则水平位移为 x=vt ．有 (1 gt 2) 2 (vt)2 L 2 ○11当以 2v 的速度平抛小球时， 水平位移为 x'= 2vt ．所以有 (1 gt 2)2 (2vt)2 ( 3L)22 在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有 mg=G Mm 2 ③R 2160N ，把此物体放在航天器中，若航天器以加速度 a g ( g 为地球表面的重力加速度)垂直地面上升，这时再用同一弹簧测力计2测得物体的重力为 90N ，忽略地球自转的影响， 已知地球半径 R ，求此航天器距地面的高度。

天体表面重力加速度问题与天体质量和密度的估算一、天体表面上的重力加速度问题重力是由于物体受到地球的万有引力而产生的，严格说重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下认为重力约等于万有引力，即mg＝GMmR2，这样重力加速度就与行星质量、半径联系在一起，高考也多次在此命题。

计算重力加速度的方法(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝GmMR2，得g＝GMR2(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝GmMR＋h2，得，g′＝GMR＋h2所以gg′＝R＋h2R2(3)其他星球上的物体，可参考地球上的情况做相应分析．【典例1】宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。

若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为()A．0 B.GMR＋h2C.GMmR＋h2D.GMh2【解析】飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即GMmR＋h2＝mg，得g＝GMR＋h2，选项B正确。

【答案】 B【典例2】假设有一火星探测器升空后，先在地球表面附近以线速度v环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后以线速度v′在火星表面附近环绕火星飞行。

若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7。

设火星与地球表面的重力加速度分别为g′和g。

下列结论正确的是()A．g′∶g＝1∶4 B．g′∶g＝7∶10C．v′∶v＝528D．v′∶v＝514【答案】 C【典例3】若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶7。

已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R 。

由此可知，该行星的半径约为( )A.12RB.72R C ．2R D.72R 【答案】 C【解析】 做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，即x ＝v 0t ，在竖直方向上做自由落体运动，即h ＝12gt 2，所以x ＝v 02hg ，两种情况下，物体抛出的速度相同，高度相同，所以g 行g 地＝74，根据公式G Mm R 2＝mg 可得g ＝GMR 2，故g 行g 地＝M 行R 行2M 地R 地2＝74，解得R 行＝2R ，故C 正确。

计算中心天体质量密度的问题1、“嫦娥五号”探测器由轨道器、返回器和着陆器等多个部分组成。

探测器预计在2017年由“长征五号”运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空,自动完成面样品采集,并从月球起飞,返回地球,带回约2kg 月球样品某同学从网上得到地球和月球的半径之比为4:1、地球表面和月球表面的重力加速度之比为6:1,则可判断地球和月球的密度之比为( ) A.2:3B.3:2C.4:1D.6:12、2018年7月28日,月全食现身天宇,出现十余年一遇的“火星大冲”。

通过对火星的卫星观测,可以推算出火星的质量。

假设卫星绕火星做匀速圆周运动,引力常量G 已知,若要估算出火星的质量,则还需要知道的物理量是() A.卫星的周期与角速度 B.卫星的周期和轨道半径 C.卫星的质量和角速度D.卫星的密度和轨道半径3、科学家发现太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1200 年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100 倍。

假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量是（ ） A.恒星与太阳质量之比 B.恒星与太阳密度之比C.行星与地球质量之比D.行星与地球表面的重力加速度之比4、根据我国载人登月工程规划，我国有可能在现航天员登月计划。

若航天员在月球表面附近高h 处以初速度0v 水平抛出一个小球,测出小球运动的位移大小为L 。

已知月球半径为R ,引力常量为G ,则下列说法错误的是( )A.月球表面的重力加速度222=hv g L 月B.月球的质量2222=hR v m GL月C.月球的第一宇宙速度v =D.月球的平均密度20232πhv GRLρ= 5、两颗互不影响的行星1P 、2P ,各有一颗近地卫星1S 、2S 绕其做匀速圆周运动。

图中纵轴表示行星周围空间某位置的引力加速度a ,横轴表示某位置到行星中心距离r 平方的倒数,21a r -关系如图所示,卫星1S 、2S 的引力加速度大小均为0a 。

物理万有引力知识点8篇物理万有引力学问点11.万有引力定律：引力常量G=6.67×N?m2/kg22.适用条件：可作质点的两个物体间的互相作用;若是两个匀称的球体,r应是两球心间距.(物体的尺寸比两物体的距离r小得多时，可以看成质点)3.万有引力定律的应用：(中心天体质量M,天体半径R,天体外表重力加速度g)(1)万有引力=向心力(一个天体绕另一个天体作圆周运动时)(2)重力=万有引力地面物体的重力加速度：mg=Gg=G≈9.8m/s2高空物体的重力加速度：mg=Gg=G<9.8m/s24.第一宇宙速度----在地球外表四周(轨道半径可视为地球半径)绕地球作圆周运动的卫星的线速度,在全部圆周运动的卫星中线速度是最大的。

由mg=mv2/R或由==7.9km/s5.开普勒三大定律6.利用万有引力定律计算天体质量7.通过万有引力定律和向心力公式计算环绕速度8.大于环绕速度的两个特别放射速度：其次宇宙速度、第三宇宙速度(含义)物理万有引力学问点2期，K：常量(与行星质量无关，取决于中心天体的质量)｝2.万有引力定律：F=Gm1m2/r2 (G=6.67×10-11Nm2/kg2，方向在它们的连线上)3.天体上的重力和重力加速度：GMm/R2=mg;g=GM/R2 {R：天体半径(m)，M：天体质量(kg)｝4.卫星绕行速度、角速度、周期：V=(GM/r)1/2;ω=(GM/r3)1/2;T=2π(r3/GM)1/2{M：中心天体质量｝5.第一(二、三)宇宙速度V1=(g地r地)1/2=(GM/r 地)1/2=7.9km/s;V2=11.2km/s;V3=16.7km/s6.地球同步卫星GMm/(r地+h)2=m4π2(r地+h)/T2{h≈36000km，h：距地球外表的高度，r地：地球的半径｝注：(1)天体运动所需的向心力由万有引力供应，F向=F万;(2)应用万有引力定律可估算天体的质量密度等;(3)地球同步卫星只能运行于赤道上空，运行周期和地球自转周期相同;(4)卫星轨道半径变小时，势能变小、动能变大、速度变大、周期变小(一同三反);(5)地球卫星的最大环绕速度和最小放射速度均为7.9km/s。

求天体的加速度、质量、密度一．知识聚焦 1.加速度：表面上 mg Mm G =2R得2g R GM=非表面 ()ma R MmG=+2h 得)(2R a h GM +=万有引力与航天 ）基础知识：一、研究对象：绕中心天体的行星或卫星r mv rMm G 22= G r v M 2= (已知线速度与半径)22ωmr rMm G = G r M 32ω= (已知角线速度与半径)22)2(T mr rMm G π= G T r M 232)2(π= (已知周期与半径) 总结：线速度vr ，这三个物理量中，任意组合二个，一定能求出中心天体的质量M 。

或者说：中心天体的质量M 、及三个物理量中，只要知道其中的两个，可求出其它物理量。

二、研究对象：绕中心天体表面运行的行星或卫星R mv RMm G 22= G R v M 2= (已知线速度与半径)22ωmR RMm G = G R M 32ω= (已知角线速度与半径)G πωρ432=（已知角速度）22)2(T mR R Mm G π=(已知周期与半径) 已知周期)任何因数都无关。

三、研究对象：距离地面h 高处的物体，万有引力等于重力mg h R MmG =+2)( G h R g M 2)(+= (已知某高度处的重力加速度与距离)四、研究对象：地球表面的物体，万有引力等于重力mg RMmG =2 G gR M 2= (已知中心天体表面的重力加速度与半径)GRgπρ43=训练题（真题）1宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t ，小球落在星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为3L ，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，引力常量为G ，求该星球的质量M 和密度ρ.[解析]此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密度．根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为221gt y =设初始平抛小球的初速度为v ，则水平位移为x=vt ．有2222)()21(L vt gt =+ ○1当以2v 的速度平抛小球时，水平位移为x'= 2vt ．所以有2222)3()2()21(L vt gt =+ ②在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有mg=G 2RMm③联立以上三个方程解得22332Gt LR M =而天体的体积为334R V π=，由密度公式VM=ρ得天体的密度为R Gt L 223πρ=。

环绕法公式
天体运动的公式可以分成两条线，第一条线绕中心天体运行的卫星类公式：GMm/r^2=mv^2/r=mω^2r=ma=m(2π/T)^2r，其中M表示中心天体质量，m表示环绕天体质量,G - 引力常数，r表示环绕天体的轨道半径。

如果题目中给出星球半径R和星球表面的重力加速度g的话，应该用到黄金代换。

有时和密度公式结合，求中心天体密度。

第二条线一般是放在赤道的物体跟着地球一起转时：一般物体受到的万有引力近似等于重力。

GMm/R^2=mg，可求星球表面的重力加速度g=GM/R^2，离地一定高度处的重力加速度
g‘=GM/(R+h)^2。

其中h是物体的离地高度。

如果和密度公式结合，也可以求密度
所以, 知道引力就可以从上式求出你需要的天体质量, 再根据天体体积(应该已知)即得到天体密度
设天体质量为M，表面重力加速度为a，半径为R。

假设表面有一个物体，质量为m
万有引力定律为（GMm）/（R^2）=mg，
（GM）=（gR^2）,M=4/3πR^3乘以密度，
所以(4/3πGR^3乘以密度)/R^2=g
故密度为(3g)/(4πRG)。

专题02：中心天体质量和密度的估算模块一：知识点归纳1、中心天体质量和密度常用的估算方法2、应用公式时注意区分“两个半径”和“两个周期”(1)天体半径和卫星的轨道半径,通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于等于天体的半径．(2)自转周期和公转周期,自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间．自转周期与公转周期一般不相等．模块二：典型例题1、为了研究某彗星，人类先后发射了两颗人造卫星．卫星A在彗星表面附近做匀速圆周运动，运行速度为v，周期为T；卫星B绕彗星做匀速圆周运动的半径是彗星半径的n倍．万有引力常量为G，则下列计算不正确的是( )A ．彗星的半径为vT2π B ．彗星的质量为v 3T4πGC ．彗星的密度为3πGT2 D ．卫星B 的运行角速度为2πT n32、我国计划于2019年发射“嫦娥五号”探测器，假设探测器在近月轨道上绕月球做匀速圆周运动，经过时间t (小于绕行周期)，运动的弧长为s ，探测器与月球中心连线扫过的角度为θ(弧度)，引力常量为G ，则( )A ．探测器的轨道半径为 θtB ．探测器的环绕周期为 πt θC ．月球的质量为 s 3Gt 2θD ．月球的密度为 3θ24Gt模块三：针对训练1、通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。

假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。

这两个物理量可以是( )A ．卫星的速度和角速度B ．卫星的质量和轨道半径C ．卫星的质量和角速度D ．卫星的运行周期和轨道半径2、近年来，人类发射了多枚火星探测器，对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。

如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T ，则火星的平均密度ρ的表达式为(k 是一个常数)( ) A ．ρ＝kTB ．ρ＝kTC ．ρ＝kT2D ．ρ＝k GT 23、火星成为我国深空探测的第二颗星球，假设火星探测器在着陆前，绕火星表面匀速飞行(不计周围其他天体的影响)，宇航员测出飞行N 圈用时t ，已知地球质量为M ，地球半径为R ，火星半径为r ，地球表面重力加速度为g 。

第16点 计算天体质量的两条思路1．根据重力加速度求天体质量忽略天体自转的影响，物体的重力近似等于物体所受的万有引力，即mg ＝G Mm R 2，得M ＝R 2g G.(式中M 、g 、R 分别表示天体的质量、天体表面的重力加速度和天体的半径)． 2．根据天体的圆周运动求中心天体的质量选绕天体运动的另一星体(或人造星体)为研究对象．将星体的运动视为匀速圆周运动，星体绕天体做匀速圆周运动所需的向心力由天体对星体的万有引力提供，利用牛顿第二定律得G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝mr 4π2T 2 若已知星体的轨道半径r 和星体的运行线速度v 、角速度ω或周期T ，可求得中心天体的质量为M ＝r v 2G ＝ω2r 3G ＝4π2r 3GT 2对点例题 已知太阳光从太阳射到地球需500 s ，光的传播速度为3×108 m/s ，地球公转轨道可近似看成圆轨道，一年有365天，地球半径约为6.4×106 m ，地球表面重力加速度g 取10 m/s 2，试估算太阳质量M 与地球质量m 之比为多少？(取一位有效数字) 解题指导 设日地距离为r ，则r ＝ct ＝3×108×500 m ＝1.5×1011 m.设地球公转周期为T ，则T ＝365×24×60×60 s ≈3.15×107 s.太阳对地球的引力提供地球公转所需的向心力：GMm r 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r . 已知地球半径R ＝6.4×106 m ．设地球表面上物体的质量为m ′，忽略地球的自转，则：m ′g ＝Gmm ′R 2，两式联立并代入数据得：M m ＝4π2r 3R 2gT 2≈3×105. 答案 3×105宇航员在某星球表面的某一高度处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t 落到星球表面，测出抛出点与落地点距离为L ，若抛出的初速度变为原来的2倍，测出抛出点与落地点间距离为3L ，已知两落地点在同一平面，该星球半径为R ，引力常量为G ，求星球质量．答案 2 3 LR 23Gt 2解析 设星球的质量为M ，物体平抛的高度为h ，平抛的初速度为v 0.根据位移关系： L 2＝(v 0t )2＋h 2( 3 L )2＝(2v 0t )2＋h 2根据运动学公式：h ＝12gt 2 根据牛顿第二定律有：GMm R 2＝mg 代入数据解得M ＝23LR 23Gt 2.。

第05讲：万有引力理论成就、各种卫星（双星）及其变轨问题[知识点精辟归纳]考点一：天体质量与天体的密度1．求天体质量的思路绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动，做圆周运动的天体(或卫星)的向心力等于它与中心天体的万有引力，利用此关系建立方程求中心天体的质量．2．计算天体的质量下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法：(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，半径为r ，根据万有引力等于向心力，即 GM 地·m 月r 2＝m 月⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，可求得地球质量M 地＝4π2r 3GT 2.(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r 和月球运行的线速度v ，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得G M 地·m 月r 2＝m 月v 2r ，解得地球的质量为M 地＝r v 2G .(3)若已知月球运行的线速度v 和运行周期T ，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得G M 地·m 月r 2＝m 月·v ·2πT ，G M 地·m 月r 2＝m 月v 2r以上两式消去r ，解得M 地＝v 3T2πG .(4)若已知地球的半径R 和地球表面的重力加速度g ，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得mg ＝G M 地·m R 2，解得地球质量为M 地＝R 2g G . 3．计算天体的密度若天体的半径为R ，则天体的密度ρ＝M43πR 3，将M ＝4π2r 3GT 2代入上式得ρ＝3πr 3GT 2R 3.技巧归纳：天体质量和密度的计算方法于天体与物体间的万有引力：mg ＝G Mm R2G Mm r 2＝m (2πT)2r (以T 为例) 天体 质量 天体质量：M ＝gR 2G中心天体质量：M ＝4π2r 3GT2天体 密度ρ＝M 43πR 3＝3g 4πRG ρ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3 说明g 为天体表面重力加速度，未知星球表面重力加速度通常利用实验测出，例如让小球做自由落体、平抛、上抛等运动这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量 T 为公转周期 r 为轨道半径 R 为中心天体半径考点二：天体运动问题1．解决天体运动问题的基本思路一般行星或卫星的运动可看做匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：G MmR 2＝ma ，式中a 是向心加速度．2．四个重要结论设质量为m 的天体绕另一质量为M 的中心天体做半径为r 的匀速圆周运动 (1)由G Mmr 2＝m v 2r 得v ＝ GMr ，r 越大，天体的v 越小． (2)由G Mmr 2＝mω2r 得ω＝GMr 3，r 越大，天体的ω越小．(3)由G Mm r 2＝m (2πT )2r 得T ＝2πr 3GM ，r 越大，天体的T 越大．(4)由G Mm r 2＝ma n 得a n ＝GMr 2，r 越大，天体的a n 越小． 以上结论可总结为“越远越慢，越远越小”．考点三：双星问题的分析方法宇宙中往往会有相距较近、质量相当的两颗星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定点O 做同周期的匀速圆周运动．这种结构叫做双星模型(如图6-4-1所示)．图6-4-1双星的特点1．由于双星和该固定点O 总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必然相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必然相等，因此周期也必然相等．2．由于每颗星球的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，即m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2，又r 1＋r 2＝L (L 是双星间的距离)，可得r 1＝m 2m 1＋m 2L ，r 2＝m 1m 1＋m 2L ，即固定点离质量大的星球较近． 考点四：变轨问题概述(1)稳定运行卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，即G Mmr 2＝m v 2r .(2)变轨运行卫星变轨时，先是线速度大小v 发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r 发生变化.①当卫星减速时，卫星所需的向心力F 向＝m v 2r 减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做近心运动，向低轨道变轨.②当卫星加速时，卫星所需的向心力F 向＝m v 2r 增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力，卫星将做离心运动，向高轨道变轨. 2.实例分析 (1)飞船对接问题①低轨道飞船与高轨道空间站对接时，让飞船合理地加速，使飞船沿椭圆轨道做离心运动，追上高轨道空间站完成对接(如图甲所示).②若飞船和空间站在同一轨道上，飞船加速时无法追上空间站，因为飞船加速时，将做离心运动，从而离开这个轨道.通常先使后面的飞船减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度，如图乙所示.(2)卫星的发射、变轨问题如图发射卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，在Q 点点火加速做离心运动进入椭圆轨道2，在P 点点火加速，使其满足GMmr 2＝m v 2r，进入圆轨道3做圆周运动.[考点题型精辟归纳]考点题型一：根据已知量计算天体质量1．（2021·甘肃·武威第八中学高一期末）2021年6月17日上午9点22分我国“神舟”十二号载人飞船发射圆满成功，不久前我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（）A．核心舱的质量和绕地半径B．核心舱的质量和绕地周期C．核心舱的绕地角速度和绕地周期D．核心舱的绕地线速度和绕地半径2．（2021·陕西商洛·高一期末）2021年3月12日，我国用“长征七号”改遥二运载火箭将一颗地球同步卫星——“试验九号”卫星顺利送入预定轨道。