asgAAA万有引力计算天体的质量和密度

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求天体的质量(密度，加速度）1．根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力,由天体表面上的重力加速度和天体的半径求天体的质量由mg=G 2RMm得 G g R M 2=。

(式中M 、g 、R 分别表示天体的质量、天体表面的重力加速度和天体的半径．）2．根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径,求中心天体的质量卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得222224Tmr mr r v m r Mm G πω===若已知卫星的轨道半径r 和卫星的运行周期T 、角速度ω或线速度v ，可求得中心天体的质量为G r GT r G rv M 3223224ωπ===1。

下列几组数据中能算出地球质量的是(万有引力常量G 是已知的）（ ) A.地球绕太阳运行的周期T 和地球中心离太阳中心的距离r B 。

月球绕地球运行的周期T 和地球的半径rC 。

月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r D.月球绕地球运动的周期T 和轨道半径r[解析］解此题关键是要把式中各字母的含义弄清楚，要区分天体半径和天体圆周运动的轨道半径．已知地球绕太阳运行的周期和地球的轨道半径只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量,所以A 项不对．已知月球绕地球运行的周期和地球的半径，不知道月球绕地球的轨道半径,所以不能求地球的质量，所以B 项不对．已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径，由22ωmr rMm G =可以求出中心天体地球的质量,所以C 项正确．由2224T mr r Mm G π=求得地球质量为2324GT r M π=，所以D 项正确2。

万有引力的应用之一： 计算天体的质量
方法一 通过重力近似等于万有引力这一条件
基本思路：
物体在行星表面所受到的万有引力近似 等于物体的重力
mg
G
Mm R2
gR 2 M
G
M gR2 G
9.86 .(6 6 7 .3 7 1 0 1 1 0 16)2kg5.961024kg
如何测量月球的质量呢？
万有引力的应用之一： 计算天体的质量 在月球的表面测量重力加速度的方法
若月球围绕地球做匀速
m
圆周运动的周期为T，月球中
心到地球中心的距离为r，地
球的半径为R，试求出地球
的质量M 。
r R HM
能否算出地球的密度呢？ 能否算出月亮的质量呢？
万有引力的应用之一： 计算天体的质量 方法二 通过万有引力充当向心力这一条件
基本思路：
环绕天体
天体运动视为圆周运动，万有引力充当 着向心力的作用。
M
4 2r 3
GT 2
条件： 已知环绕天体的轨道半径R和 运行周期T
高中阶段研究天体运动的基本方法： 近似把一个天体环绕另一个天体的运动看作
是匀速圆周运动，万有引力提供天体做圆周运动 的向心力
作业：
一、寻找万有引力定律还有哪些应用。 二、课后习题第1题。
自由落体运动 平抛运动 重力与质量的比值
竖直方向抛体运动 斜抛运动 ……
万有引力的应用之一： 计算天体的质量 方法二 通过万有引力充当向心力这一条件
基本思路：
将天体视为圆周运动，万有引 力充当向心力
mr
GM r2 mm vr2m r2m r(2 T )2
M
万有引力的应用之一： 计算天体的质量
动动手： 计算地球的质量

2020 年
期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
全国2卷第15题
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3
D．5×1018 kg/m3
三、巩固练习
2 r
R
四、小结
天体自身： R、T自转测质量和密度
原理： G
Mm R2
K
•G
Mm R2
m
4 2
T自2
二、考点分析
问题：
例2、(2018·全国卷Ⅱ·16)2018年2月，我国500 m口径 何为稳定自传？
射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”， 其自转周期T＝5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球
为何密度有最小值？
体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周
万有引力测量天体质量和密度
晏克建 2020.10.18
洋县中学 晏克建
一、测量天体质量和密度的两种方法
● 方法一：根据天体自身参数测天体的质量和密度。
已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体
的引力，GMR2mmg解得M 地
gR2 G
(同理可以测量其它天体
的质量)
密度： 地
条件扩展
中心天体
根据万有引力等于向心力得：
G Mm m 4 2 r M 4 2r3
r2
T2
GT 2
由于
M V
4 2r 3
GT 2
3
4R3
3
GT 2
.
r3 R3
T
已知: r V M中和中
w
若将月球换成近地卫星 （r R）,

0.4，故 B 正确。
7．(2020·全国卷Ⅲ)“嫦娥四号”探测器于 2019 年 1 月在月球背面成功着陆，着
陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径
的 K 倍。已知地球半径 R 是月球半径的 P 倍，地球质量是月球质量的 Q 倍，地球
表面重力加速度大小为 g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为( )
F
F 7F
万有引力为 8，故剩余部分对质点 P 的万有引力为 F－8＝ 8 ，C 正确。
4．(万有引力定律的应用)理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体
的万有引力为零。假设地球是一个半径为 R、质量分布均匀的实心球体，O 为球
心，以 O 为原点建立坐标轴 Ox，如图所示。一个质量一定的小物体(可视为质
宏观性 巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
（2）应用万有引力定律的注意事项 在以下三种情况下可以直接使用公式 F＝Gmr1m2 2计算： ①求两个质点间的万有引力：当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质 点，公式中的 r 表示两质点间的距离。 ②求两个质量分布均匀的球体间的万有引力：公式中的 r 为两个球心间的距离。 ③一个质量分布均匀球体与球外一个质点间的万有引力：r 指质点到球心的距离。 (3)对于两个不能看成质点的物体间的万有引力，不能直接用万有引力公式求解，切不可 依据 F＝Gmr1m2 2得出 r→0 时 F→∞的结论，违背公式的物理含义。
知月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离，可计算出地球的质量，
C 能；已知地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离只能求出太阳的
质量，不能求出地球的质量，D 不能。
例 2.(2021 全国乙卷 18，6 分) 科学家对银河系中心附近的恒星 S2 进行了多年的持续观测， 给出 1994年到 2002年间 S2 的位置如图所示。科学家认为 S2 的运动轨迹是半长轴约为1000AU （太阳到地球的距离为1AU ）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获

M
万有引力的应用之一： 计算天体的质量
动动手： 计算地球的质量
若月球围绕地球做匀速 圆周运动的周期为T，月球 中心到地球中心的距离为r，
m
r R M
H
地球的半径为R，试求出地
球的质量M 。
能否算出地球的密度呢？ 能否算出月亮的质量呢？
万有引力的应用之一： 计算天体的质量 方法二 通过万有引力充当向心力这一条件
通过发射人造卫星
万有引力的应用之一： 计算天体的质量 例题：利用下列哪组数据，可以计算出 地球质量 （ ） A、已知地球的半径R和地面的重力加速 度g B、已知卫星绕地球做匀速圆周运动的 半径r和周期T C、已知地球绕太阳做匀速圆周运动的 半径r和周期T D、已知卫星绕地球做匀速圆周运动的 半径r和线速度v E、已知卫星绕地球做匀速圆周运动的 周期T和角速度ω
万有引力的应用之一： 计算天体的质量 方法一 通过重力近似等于万有引力这一条件
基本思路：
Mm mg G 2 R
gR 2 M G
物体在行星表面所受到的万有引力近似 等于物体的重力
gR 2 M G
9.8 (6.37 106 )2 24 kg 5.96 10 kg 11 6.67 10
基本思路：
天体运动视为圆周运动，万有引力充当 着向心力的作用。 环绕天体
m
Mm v 2 2 2 G 2 m mr mr ( ) r r T
2
r
M
4 r M 2 GT
2 3
中心天体
只能计算中型天体的质量 不能计算中型天体的质量
万有引力的应用之一： 计算天体的质量 计算天体质量需要的条件
1.已知天体表面的重力（g）加速度和 天体半径（R），可求天体质量（M）。

即mg海＝G
可得 g海＝
同理地球表面的重力加速度g地＝
因g海≈g地，所以G ＝G
M海＝16M地＝9.6×1025 kg.
9
例题2 在某行星上宇航员用弹簧秤测质量为m的物体的重力为F，乘宇宙飞船在靠 近该行星的空间飞行，测得其环绕周期为T，根据这些数据求该星球的质量．
解题思路：在行星表面的物体的重力等于行星对它的万有引力， 在行星附近飞行的飞船，由万有引力提供其做圆周运动的向心力．
3
得

3 r3
GT 2R3
.
特别提醒 要注意R、r的区分.R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径.若绕近地轨道运行，则有R=r.
23
24
25
M＝ 根据数学知识星球的体积V＝πR3. 所以天体的密度ρ＝＝＝. 若卫星距天体表面高为h处运行，则有 G＝m(R＋h)
3
(3)若已知月球运行的线速度v和运行周期T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运 动的向心力，根据牛顿第二定律，得
G
＝m月·v·
以上两式消去r，解得
G
＝m月.
M地＝v3T/(2πG)． (4)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的 引力，得
mg＝G ，
解得地球质量为M地＝ .
4
由以上论述可知，在万有引力定律这一章中，求天体质量的方法主要有两种：一种方法是根 据天体表面的重力加速度来求天体质量，即g＝G ，则M＝ ，另一种方法是根据天体的 圆周运动，即根据天体做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，列出方程： G ＝m r＝m ＝mω2r来求得质量M＝ ＝ ＝ 用第二种方法只能求出圆心处天体质量(即中心天体)．
21

万有引力与航天考点微专题3 天体质量和密度的计算一 知能掌握1、解决天体(卫星)运动问题的基本思路 （1）把天体的椭圆运动看做匀速圆周运动（2）是天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即222r v m r Mm G =＝r Tm 224πr m 2ω=；（3）地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，由于地球自转缓慢，所以大量的近似计算中忽略了自转的影响，认为地球表面处物体所受到的地球引力近似等于其重力，即G 2R mM＝mg (g 表示天体表面的重力加速度)． 2．天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ， 天体密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3g 4πGR.(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r3GT 2；②若已知天体半径R ，则天体的平均密度 ρ＝M V ＝M 43πR3＝3πr3GT 2R 3；③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度．3.估算天体质量和密度时应注意的问题(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量．(2)区别天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近的卫星才有r ≈R ；计算天体密度时，V ＝43πR 3中的R 只能是中心天体的半径． 4. 天体质量、密度的计算方法汇总二 探索提升【典例1】地球可近视为一个R=6400km 的球体，在地面附近的重力加速度g=9.8m/s 2，试估算地球的平均密度ρ。

【答案】33/105.54334m kg GRgGR g ⨯===πρρπ【典例2】1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人．若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径R ，地球上一个昼夜的时间T 1(地球自转周期)，一年的时间T 2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳中心的距离L 2.你能计算出( )A ．地球的质量m 地＝gR 2GB ．太阳的质量m 太＝4π2L 32GT 22C ．月球的质量m 月＝4π2L 31GT 21D ．可求月球、地球及太阳的密度【答案】AB【解析】对地球表面的一个物体m 0来说，应有m 0g ＝Gm 地m 0R 2，所以地球质量m 地＝gR 2G，选项A 正确．对地球绕太阳运动来说，有Gm 太m 地L 22＝m 地4π2T 22L 2，则m 太＝4π2L 32GT 22，B 项正确．对月球绕地球运动来说，能求地球的质量，不知道月球的相关参量及月球的卫星的运动参量，无法求出它的质量和密度，C 、D 项错误． 【典例3】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。

万有引力定律的应用
——计算天体的质量和密度
【知识回顾】 1、天体运动可以简化为匀速圆周运动，其向心 力由 万有引力 提供。 2、求天体质量的常用思路有2种： 1）已知环绕天体（行星或卫星）的轨道半径R和 2 2 公转周期T的情况下，根据方程式： G Mm mR( ) 2
4 可求中心天体的质量为： M R 2 GT 2)已知所求天体自身的半径R和其表面的重力加 速度g的情况下，根据方程式： mg G Mm 2 R gR 2 可求这个天体的质量为： M G
2 Mm 2 2 4 3 F万 F向 G 2 mr ( ) M r 2 r T GT M 3 4 3 又 V r 2 V GT 3 3 2 A GTA TB 2 2 3 B TA 2 GTB
训练3、若在相距甚远的两颗行星A与B的表面附 近各发射一颗卫星a和b，测得卫星a绕行星 A的周期为Ta，卫星b绕行星B的周期为Tb，则 这两颗行星的密度之比 A : B 多少？ 解：近地卫星所受向心力由万有引力提供
3
Mm 2 2 G 2 mr ( ) r T 4 3 又 V R 3 2
训练1、在天文观察中，测出某行星的半径R及这 颗行星的一颗近地卫星的周期T，求这颗行星的 平均密度．（近地卫星：其圆周运动的轨道半径 和该行星的半径近似相等） 解：卫星与行星间的万有引力给卫星提供向心力
F万 F向
2 3
RTຫໍສະໝຸດ 【新课学习】 ◎计算天体密度的基本思路： 1、天体运动可以简化为匀速圆周运动，由万有 引力提供向心力。即： Mm 2 2 2 2 G 2 =mv /r （或=mrω 或=m （ ) r或=mg′) T r g′指在离地心r处的重力加速度。 可以计算天体的质量M M 2、依据 可以求出天体的密度。（其中 V体

以跟赤道平面垂直，也可以跟赤道平面成任意角度．轨道平
面一定过地心，如下图．
2．人造卫星的线速度、角速度、周期、加速度与半径的 关系． v2 Mm 1 (1)由 G 2 ＝m 得 v＝ GM/r.即 v∝ ，说明卫星的运 r r r 动轨道半径越大，其运行线速度就越小． Mm 1 2 3 (2)由 G 2 ＝mrω 得 ω＝ GM/r ，即 ω∝ 3，说明卫星 r r 的运动轨道半径越大，角速度越小． Mm 4π2 r3 (3)由 G 2 ＝m 2 r 得 T＝2π ，即 T ∝ r3 ，说 r T GM 明卫星运动的轨道半径越大，其运行周期越长． Mm GM 1 (4)由 G 2 ＝ma 得 a＝ 2 .即 a∝ 2，说明卫星运动的轨 r r r 道半径越大，其加速度越小．
例1.假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫 星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的周期为T1，已知 万有引力常量为G，则该天体的密度是多少？若这颗卫星距该 天体表面的高密度又是多少？
解析：设卫星的质量为 m，天体的质量为 M.卫星贴近天 Mm 4π2 4π2R3 体表面运行时有 G 2 ＝m 2 R，得 M＝ R T1 GT12 4 3 根据数学知识可知天体的体积 V＝ πR 3 M 故该天体密度 ρ＝ ＝ V 4π2R3 3π ＝ 2 4 GT 1 GT12·πR3 3
3．人造卫星环绕地球运转的速率v＝
2 gR，其中 g为地面处的重 r
力加速度，R为地球半径，r为卫星离地球中心的距离．下列说法正确的
是( A )
A．从公式可见，环绕速度与轨道半径的平方根成反比 B．从公式可见，把人造卫星发射到越远的地方越容易 C．上面环绕速度的表达式是错误的 D．以上说法都错误
4．(双选)已知地球的质量为M，月球的质量为m，月球绕地球运行 的轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G，则月球绕地球运转轨道

4/3
B
2
g1 T1 g 2 T2
2
g1 T2 g 2 T1
练7：已知太阳到地球与地球到月球的距离的 比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27 天.利用上述数据以及日常的天文知识，可估 算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比 值约为 A.0.2 B.2 C.20 D.200
例2：已知月球的半径为R，某登月飞船在接近 月球表面的上空做匀速圆周运动时，周期为T. 飞船着陆后，宇航员用绳子拉着质量为m的仪 器箱在平坦的“月面”上运动，已知拉力大小 为F，拉力与水平面的夹角为θ，箱子做匀速直 线运动．引力常量为G，求： (1)月球的质量． (2)箱子与“月面”间的动摩擦因数μ.
4 2 r 3 M 2 GT
2．天体密度的计算
gR M G
2
3g 4RG
3r GT 2 R 3
3
4 r M 2 GT
2 3
3 当R r时， GT 2
例1：在万有引力常量G已知的情况下，已知下 列哪些数据，可以计算出地球质量 ( ) A．地球绕太阳运动的周期及地球离太阳 的距离 B．人造地球卫星在地面附近绕行的角速 度和运行周期 C．月球绕地球运行的周期及地球半径 D．若不考虑地球自转，已知地球半径和 地球表面的重力加速度
练1：1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力 常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的 人．若已知万有引力常量G，地球表面处的重力加速 度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自 转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到 月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2.你 能计算出 ( )
万有引力定律的应用
一、天体的质量和密度的计算 1.天体质量的计算： (1)“自力更生法”： 若已知天体(如地球)的半径R和表面的重力加速 度g，根据物体的重力近似等于天体对物体的 引力，因g、R是天体自身的参量，故称“自力 更生法”

物理天体运动的基本公式
1.开普勒第三定律：T2/R3=K(=4π2/GM){R:轨道半径，T:周期，K:常量(与行星质量无关，取决于中心天体的质量)｝
2.万有引力定律：F=Gm1m2/r2 (G=6.67×10-11Nm2/kg2，方向在它们的连线上)
3.天体上的重力和重力加速度：GMm/R2=mg;g=GM/R2 {R:天体半径(m)，M：天体质量(kg)｝
4.卫星绕行速度、角速度、周期：V=(GM/r)1/2;ω=(GM/r3)1/2;T=2π(r3/GM)1/2{M：中心天体质量｝
5.第一(二、三)宇宙速度V1=(g地r地)1/2=(GM/r地)1/2=7.9km/s;V2=11.2km/s;V3=1
6.7km/s
6.地球同步卫星GMm/(r地+h)2=m4π2(r地+h)/T2{h≈36000km，h:距地球表面的高度，r地:地球的半径｝
强调:
(1)天体运动所需的向心力由万有引力提供,F向=F万;
(2)应用万有引力定律可估算天体的质量密度等;
(3)地球同步卫星只能运行于赤道上空，运行周期和地球自转周期相同;
(4)卫星轨道半径变小时,势能变小、动能变大、速度变大、周期变小;
(5)地球卫星的最大环绕速度和最小发射速度均为7.9km/s。

第23讲应用万有引力定律估算天体质量和密度1．（2021·全国）卡文迪许用扭秤实验测定了引力常量，以实验验证了万有引力定律的正确性。

应用引力常量还可以计算出地球的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”。

已知引力常量G ＝6.67×10﹣11N •m 2/kg 2，地面上的重力加速度g ＝9.8m/s 2，地球半径R ＝6.4×106m ，则地球质量约为（ ）A ．6×1018kgB ．6×1020 kgC ．6×1022 kgD ．6×1024 kg2．（2021·乙卷）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。

科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU （太阳到地球的距离为1AU ）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。

这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。

若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M ，可以推测出该黑洞质量约为（ ）A ．4×104MB ．4×106MC ．4×108MD ．4×1010M 一.知识回顾1．万有引力定律F ＝G m 1m 2r 2，式中G 为引力常量，在数值上等于两个质量都是1 kg 的质点相距1 m 时的相互吸引力。

引力常量由英国物理学家卡文迪什在实验室中比较准确地测出。

测定G 值的意义：①引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据；②使万有引力定律有了真正的实用价值。

（1）．万有引力的特点（2）应用万有引力定律的注意事项在以下三种情况下可以直接使用公式F ＝G m 1m 2r2计算：①求两个质点间的万有引力：当两物体间距离远大于物体本身大小时，物体可看成质点，公式中的r 表示两质点间的距离。

②求两个质量分布均匀的球体间的万有引力：公式中的r 为两个球心间的距离。

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2
• (1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力等于向心力，
•即
＝m月 r2，可求得地球质量M地＝ .
• (2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运动的线速度v，由于地球对月球的引 力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得
•G
＝m月 .
• 所以天体的密度ρ＝M/V ＝ • 若卫星距天体表面高为h处运行，则有
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13
• 本课小结
动力学分析
计算方法
典型例题
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14
下节课 再见
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15
• 一、计算天体的质量
• 1．地球质量的计算

• 利用地球表面的物体，若不考虑地球自转，质量为m的物体的重力等于地球对物体的万有
量．
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17
• 一、天体质量的估算（以地球质量的计算为例） • 1.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，
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18
• 二、天体密度的估算
• 1.密 度M公式，
•
4 R3 3
只要先得出天体的质量和半径就可代入此式计算天体的密度.
• 2.计算天体密度的两种常用方法
• 联立以上两式得
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11
• 例题3 假设在半径为R的某天体上发射了一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的 表面做匀速圆周运动的周期为T0.已知万有引力常量为G，则该天体的平均密度是多 少？若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T，则 该天体的密度又是多少？
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• （1）由由天m体g表面G的M重m力和 加速M度g和半4径RR求3， 此天体的密度.