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1 G(s)H (s) 1 Kg
i 1 n
0
(s poj )
j 1
(4.3)
根轨迹法：根据开环传函(开环零点、极点)，找出开环
增益(或别的某个参数)由0→∞变化时，闭环系统特征根的 轨迹。
根轨迹法的基本思想：开环传函等于-1的s值，必为特
征根。
4.2 根轨迹的基本概念
6
幅角条件与幅值条件
特征方程(4.1)即为
j (s)
1 Kg
j 1
或
n
m
(s poj ) Kg (s zoi ) 0
j 1
i1
(4.7) (4.10)
考察Kg: 0→∞(Kg≥0), 闭环系统特征根的轨迹。
4.3 绘制根轨迹的基本规则
15
规则1：根轨迹是连续的，且对称于实轴；
规则2：根轨迹起始于开环极点，终止于开环 零点；根轨迹的分支数(条数)为max{n,m}， n为 开环(有限)极点数， m为开环(有限)零点数；
K由0→1变化时,特征根 s1,s2: K= 0， s1= 0 , s2 = -2；
K= 1， s1 = s2 = -1 ( = 1)； 0<K<1，( >1), s1,s2:为两个实根
K
:
0
1.ss12
: 0 1; : 2 1;
4.2 根轨迹的基本概念
11
1 < K < ∞, (0 < < 1),
1948年，W.R.Evans提出了根轨迹法：
当开环增益或别的某个参数变化时特征根的轨迹
图——找特征根的简单的图解法。
返回
4.2 根轨迹的基本概念
4
反馈控制系统的闭环传函
T(s) Y(s) G(s) R(s) 1 G(s)H (s)
特征方程 开环传函
1 G(s)H(s) 0
m
G(s)H
(s)
2) 根轨迹上各点的Kg值可由幅值条件确定。
由(4.8)和(4.9)也反映了根轨迹的几何意义。故在 分析和绘制根轨迹时，幅角和幅值应可进行图 解测量，故：
横坐标和纵坐标采用同样的尺度等分
4.2 根轨迹的基本概念
10
<例4.1>:绘制某二阶系统
的根轨迹图；
特征方程: s2 2s K s2 2 n n2 0 特征根: s1, s2 n n 2 1 1 1 K
4.2 根轨迹的基本概念
7
将特征方程写成：
m
P(s) Q(s)
i 1 n
(s (s
zoi ) poj )
A(s)e
j (s)
1 Kg
幅角条件
j 1
(4.7)
(s) G(s)H (s)
m
n
(s zoi ) (s poj ) 180(2k 1)
i 1
j 1
(4.8)
(s zoi ) i，开环有限零点到 s的矢量的幅角；
s1,s2:为共轭复根：
s1, s2 1 j K 1 此时,根轨迹为过(－1,0)点的垂线
K
:1
.ss12
: 1 : 1
1 1
j; j;
4.2 根轨迹的基本概念
根轨迹上的任何一点均满足幅角条件：
对于任意一点 s1 , 显然 ∠ s1＋ ∠ (s1＋2)＝180°
对于s1= -1+ j, 对应的K 值：
(s poj ) j，开环有限极点到 s的矢量的幅角；
(矢量的幅角以逆时针方 向为正)
4.2 根轨迹的基本概念
8
将特征方程写成：
m
P(s) Q(s)
i 1 n
(s (s
zoi ) poj )
A(s)e
j (s)
1 Kg
幅值条件
j 1
(4.7)
m
A(s)
i 1 n
|s |s
zoi poj
m
G(s)H (s)
Kg
P(s) Q(s)
Kg
(s zoi )
i 1 n
(s poj )
j 1
特征方程
P(s) 1 G(s)H (s) 1 Kg Q(s) 0
(4.2)
4.3 绘制根轨迹的基本规则
14
特征方程写成： m
P(s) Q(s)
i 1 n
(s (s
zoi ) poj )
A(s)e
s(s 2) 1 2 K s s1
1, s1 1 j1, K 2 2, s1 1 j2, K 5
12
返回
4.3 绘制根轨迹的基本规则
13
开环传函 (开环零点、极点) →闭环系统根轨迹
根轨迹性质→作图规则→特殊点→根轨迹(手工绘制 根轨迹概略图)
绘制根轨迹时，将开环传递函数写成：
西南交通大学 电气工程学院
2009
第四章 根轨迹法
2
4.1 引言 4.2 根轨迹法的基本概念 4.3 绘制根轨迹的基本规则 4.4 绘制根轨迹举例 4.5 参数根轨迹 本章小结
4.1 引言
3
系统的稳定性 ← 闭环极点(系统的特征根) 系统响应特性 ← 闭环极点和零点
系统的稳定性 闭环极点决定了
系统响应的大致特性
| |
1 Kg
j 1
(4.9)
| s zoi | li，开环有限零点到 s的矢量长度之积
| s poj | L j，开环有限极点到 s的矢量长度之积
4.2 根轨迹的基本概念
9
由(4.8)和(4.9)给出了根轨迹的基本原理： 1) 以Kg为可变参数，s平面上满足幅角条件的点构
成的曲线就是根轨迹；
G(s)H (s) 1
(4.4)
开环传函G(s)H(s)为复数，故由(4.4),有
幅角条件 : G(s)H (s) (2k 1)180,k 0,1,2, (4.5)
幅值条件 : G(s)H (s) 1
(4.6)
满足幅角条件、幅值条件的 s 值就是特征方程的 根，即闭环极点。幅角条件和幅值条件构成根轨 迹的基本条件。
起点: Kg= 0, 由(4.7), s = -poj , j=1,…,n; 即Kg= 0时，闭环极点 = 开环极点
终点: Kg →∞,由(4.7), s = -zoi , i=1,…,m; 即Kg →∞时，闭环极点 = 开环零点
4.3 绘制根轨迹的基本规则
16
n>m时,
m个开环有限零点决定了m个闭环极点的位置; 另(n - m)个闭环极点趋向于无穷远(开环无限零点).
Kg
P(s) Q(s)
Kg
(s zoi )
i 1 n
(s poj )
j 1
(4.1) (4.2)
Kg : 传递系数(开环根轨迹增益)
－zoi : 开环(传函的)零点, i=1,2,…,m.
－poj : 开环(传函的)极点, j=1,2,..,n.
4.2 根轨迹的基本概念
5
于是，Байду номын сангаас征方程
m
(s zoi )
注: 如果包括无限零点,则G(s)H(s)的零点数和极点数相
等.
P(s) s m bm1s m1 b1s b0
