点击分段函数常见题型
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图２ 而得 到 ， 因此 一 ≤ａ＜ ， １ ０ 所 上， ａ的取 值 范 围 为 ４ ≤ａ＜ 。 ８ 以本题答案为 一 ≤。＜ 。 １ ０ 点 评 要判 断分 段 函数 的单 调 性 ， 先 应 该 判 断 各 段 首 点评 本题考查图像 的平移 、 函数与方程 的关系 以及 函数 的单 调 性 ， 每 一 段 函数 单 调 性 一 致 ， 判 断 分 界 点 若 再
Ｄ 只有① ．
２ 高中 ６ 生之友・ 上半月刊９２ １ ／ ２ ０
责周 数 学 慧ｍ 编 １ ６Ｉ ３ 售 ＿ 皿 ｃ ｏ
责编 周 ￣ ／ｚｚ ｚ ｙ ｇｓ ｙ ｙ ＠
解析
解 决 本 题 需 要 充 分 应 用 “ 负 ” 定 义 进 行 判 倒 的
解析
本 题 是分 段 函数 ， 及 指 数 函数 、 数 函数 ， 涉 对 又
求 分 段 函数 的值 时 ， 定要 认 真 分 析 自变 量 所 一
在 的 区问 ， 因为 各段 上 的 解析 式 是 不相 同的 。
三 、 段 函数 的零 点 ｔ题 分 ＇ ． － Ｊ
ｌ ） 例 ３ 已 知 函数 ， ）＝ Ｉ ＋ｌ ＋ （ ≤。 有 三 个 不 （ ｘ ａ
，
所 ＿ ＝ ÷ ＝ 一（ ， 以厂 （ ÷） 一 一 ： ， ）
…
（ ＜１ ０＜ ）
１则 ａ＝ ， — —
。
÷ …１ Ｉ ＝， 中 ；｛ ③ ０ （ 满
一
，Leabharlann 解析分段 函数求值 时， 要特别注意要代入哪个解析
（ ＞１ ）
倒 变换 的 函数是 （ ） 式 。分段 函数 问题 通 常需 要 分 步进 行 计 算 或 判 断 ， 从 ＝１ 足 “ 负 ” Ａ ①② ． Ｂ ①③ ． Ｃ ②③ ． 算 起 是解 答 本 题 的突 破 口。
一
ｙ
０即 ｌ ， ＜ａ＜８ 画 出 该 分 段 。
ｒ １
三个不同零点， 只有当 ≤０ 时， 函数的图像 与 轴有两
个交 点即可 ， Ｙ ｘ １ ＋ 而 ＝Ｉ ＋ ｌ
函数 图 像 （ １ ， 图 像 可 图 ）由
＼／ ／
１０
ｔ
得 ， 函 数还 必 须满 足 ： （ ａ ）×１＋ ， ０ ４ 该 ０ ≥ ４一＿ 『 ２ 即 ＞ 。综 ａ 由 Ｙ＝Ｉ ＋１上 下 平 移 １ 是 Ｉ
Ｉ
． ．
、
例 ， ｛一）２≤是 上单 若（ （÷ ＋ １ Ｒ的调 ４ （ ）
递 增 函数 ， 则实 数 ａ的取 值 范 围为 — 解析 因为 ， ） （ 是定 义
ｙ
—
。
同零 点 ， 则实 数 ａ的取 值 范 围 为— — 。 解 析 如 图 ２ 画 出 ｇ ）＝ 【ｘ ＋ ｌｌ ， （ ｌ ‘ Ｉ
例 ４ 具有 性 质 （ ）＝ 一 （ 的 函 数 ， 们 称 为 满 、 ， ） 我
ｒ ｌ ＞０
二 、 段 函数 求值 分
足 “ 负 ” 换 的 函数 ， 列 函数 ： 倒 交 下
， ，
例 设 ｌ ｆｔ ２ ）｛ ＩＺ ｄ 十 ＋ ３ｔ
Ｌ 』０
＝
ｕ ，（） （） 若，
。
图像
，
在 Ｒ 上 的 增 函 数 ， Ｙ＝ａ 故
和 Ｙ＝（ ） ＋２均 为 增 ４一
二
（
则 当
＞ ０时 （ 的 图像 与 轴 只有 一 个交 点 ， 使 函数 厂 ） 要
＝
函数 ， 以 ０＞１且 ４一— ＞ 所
二
／
０ １
ｊ
｛ 嚣 有 ’
满足“ 负” 倒 变换 ； 解 决 问题 。
０＜ ≤２ 函数， ） （ 的最值 ， 再根据 ｙ＝ｌ ／ ０ ‘ ｇ
的单调
ｘ ＠（ ÷ ”１ ）一 ； Ｃ Ｊ ） ＋＝ ≠ ） Ｔ ｉ＝ ＝ 。
所 以不 满 足 “ 负 ” 换 ； 倒 变
由于 ＿ ） 奇 函数 ， 一 ≤ ０时 厂 为 （ 当 ２ ＜
断， ①② 可以直接进行判断 ， 需要结合 分段 函数 的性 质 考 查 函数 的奇 偶 性 、 调 性 ， 决 本 题 首 先 根 据 奇 函 数 的 ③ 单 解
分 段 进行 判 断 。
性 质得 到 一２≤ ＜０时 ｆ（ ）的 最 值 ， 而 可 以 转 化 到 从
对 ① 戈＝ 一＝ （ ÷ ＝＿） 以 性 确定 当 ＝２时 ， ／（ 与 ｇ（ 同 时取 得 最大 值 ， 而 于 ÷ — 一 一 ）一 ， ｝ ） 厂 所 （ 函数 ） ） 从
处 函数值 的关 系 ， 符 合 单 调 性 定 义 ， 该 函数 在 整 个 定 利 用 数形 结 合 解决 分 段 函数 的零 点 问题 。 若 则 四 、 段 函数 新 定 义题 分 义域 上 单调 递 增 或 递 减 ， 不 符 合 ， 必 须 分 开 说 明 单 调 若 则
性。
，
）＝ ｘ有最 小 ２
值 为 － 一 ）＝ ～ ＝＿＿故 当 ０＜ 厂 ２ ２ （ １ ≤２时 ，（ 厂 ＿ ）＝ｇ ）一 （ ｌ５ ／ 。 ｇ
：ｌ ＋ 。 （ 厕 ｇ
对 于 ③ ， ０＜ 当 ＜１ ，１ ＞１ 时 一 ，
有最 大 值 为 ２ ）＝ 一 １ 而 当 ０＜ ≤２时 ， ｙ
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。 刘 国 飞
分 段 函数 是 自变量 在 不 同的 取 值 范 围 内 ， 对 应 法 则 其 也 不相 同 的 函数 。分段 函数 是 一 类 表 达 形 式 特 殊 的 函数 ，
因 为 ＝１ ０ 所 以 － １ ｌｌ ０ 又 因 为 ＞ ， 厂 ）＝ ｇ ＝ ， （
对分段 函数的考查是 高考数学考 查热点之一 。下 面举 例 说明分段函数 的常见类 型与解题方法 ， 希望对同学们有所
帮助。
一
） ＋ ３ ｃ ＝ 』 ＝＋， ｚ ３
所 以 厂Ｏ ＝ 所 以 ａ １ 即 ａ 。 （） ａ， ＝ ， ＝１
点评
分段 函数 的 单调 性
ｒ ＞１ ， ｎ（ ）
Ｄ 只有① ．
２ 高中 ６ 生之友・ 上半月刊９２ １ ／ ２ ０
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解析
解 决 本 题 需 要 充 分 应 用 “ 负 ” 定 义 进 行 判 倒 的
解析
本 题 是分 段 函数 ， 及 指 数 函数 、 数 函数 ， 涉 对 又
求 分 段 函数 的值 时 ， 定要 认 真 分 析 自变 量 所 一
在 的 区问 ， 因为 各段 上 的 解析 式 是 不相 同的 。
三 、 段 函数 的零 点 ｔ题 分 ＇ ． － Ｊ
ｌ ） 例 ３ 已 知 函数 ， ）＝ Ｉ ＋ｌ ＋ （ ≤。 有 三 个 不 （ ｘ ａ
，
所 ＿ ＝ ÷ ＝ 一（ ， 以厂 （ ÷） 一 一 ： ， ）
…
（ ＜１ ０＜ ）
１则 ａ＝ ， — —
。
÷ …１ Ｉ ＝， 中 ；｛ ③ ０ （ 满
一
，Leabharlann 解析分段 函数求值 时， 要特别注意要代入哪个解析
（ ＞１ ）
倒 变换 的 函数是 （ ） 式 。分段 函数 问题 通 常需 要 分 步进 行 计 算 或 判 断 ， 从 ＝１ 足 “ 负 ” Ａ ①② ． Ｂ ①③ ． Ｃ ②③ ． 算 起 是解 答 本 题 的突 破 口。
一
ｙ
０即 ｌ ， ＜ａ＜８ 画 出 该 分 段 。
ｒ １
三个不同零点， 只有当 ≤０ 时， 函数的图像 与 轴有两
个交 点即可 ， Ｙ ｘ １ ＋ 而 ＝Ｉ ＋ ｌ
函数 图 像 （ １ ， 图 像 可 图 ）由
＼／ ／
１０
ｔ
得 ， 函 数还 必 须满 足 ： （ ａ ）×１＋ ， ０ ４ 该 ０ ≥ ４一＿ 『 ２ 即 ＞ 。综 ａ 由 Ｙ＝Ｉ ＋１上 下 平 移 １ 是 Ｉ
Ｉ
． ．
、
例 ， ｛一）２≤是 上单 若（ （÷ ＋ １ Ｒ的调 ４ （ ）
递 增 函数 ， 则实 数 ａ的取 值 范 围为 — 解析 因为 ， ） （ 是定 义
ｙ
—
。
同零 点 ， 则实 数 ａ的取 值 范 围 为— — 。 解 析 如 图 ２ 画 出 ｇ ）＝ 【ｘ ＋ ｌｌ ， （ ｌ ‘ Ｉ
例 ４ 具有 性 质 （ ）＝ 一 （ 的 函 数 ， 们 称 为 满 、 ， ） 我
ｒ ｌ ＞０
二 、 段 函数 求值 分
足 “ 负 ” 换 的 函数 ， 列 函数 ： 倒 交 下
， ，
例 设 ｌ ｆｔ ２ ）｛ ＩＺ ｄ 十 ＋ ３ｔ
Ｌ 』０
＝
ｕ ，（） （） 若，
。
图像
，
在 Ｒ 上 的 增 函 数 ， Ｙ＝ａ 故
和 Ｙ＝（ ） ＋２均 为 增 ４一
二
（
则 当
＞ ０时 （ 的 图像 与 轴 只有 一 个交 点 ， 使 函数 厂 ） 要
＝
函数 ， 以 ０＞１且 ４一— ＞ 所
二
／
０ １
ｊ
｛ 嚣 有 ’
满足“ 负” 倒 变换 ； 解 决 问题 。
０＜ ≤２ 函数， ） （ 的最值 ， 再根据 ｙ＝ｌ ／ ０ ‘ ｇ
的单调
ｘ ＠（ ÷ ”１ ）一 ； Ｃ Ｊ ） ＋＝ ≠ ） Ｔ ｉ＝ ＝ 。
所 以不 满 足 “ 负 ” 换 ； 倒 变
由于 ＿ ） 奇 函数 ， 一 ≤ ０时 厂 为 （ 当 ２ ＜
断， ①② 可以直接进行判断 ， 需要结合 分段 函数 的性 质 考 查 函数 的奇 偶 性 、 调 性 ， 决 本 题 首 先 根 据 奇 函 数 的 ③ 单 解
分 段 进行 判 断 。
性 质得 到 一２≤ ＜０时 ｆ（ ）的 最 值 ， 而 可 以 转 化 到 从
对 ① 戈＝ 一＝ （ ÷ ＝＿） 以 性 确定 当 ＝２时 ， ／（ 与 ｇ（ 同 时取 得 最大 值 ， 而 于 ÷ — 一 一 ）一 ， ｝ ） 厂 所 （ 函数 ） ） 从
处 函数值 的关 系 ， 符 合 单 调 性 定 义 ， 该 函数 在 整 个 定 利 用 数形 结 合 解决 分 段 函数 的零 点 问题 。 若 则 四 、 段 函数 新 定 义题 分 义域 上 单调 递 增 或 递 减 ， 不 符 合 ， 必 须 分 开 说 明 单 调 若 则
性。
，
）＝ ｘ有最 小 ２
值 为 － 一 ）＝ ～ ＝＿＿故 当 ０＜ 厂 ２ ２ （ １ ≤２时 ，（ 厂 ＿ ）＝ｇ ）一 （ ｌ５ ／ 。 ｇ
：ｌ ＋ 。 （ 厕 ｇ
对 于 ③ ， ０＜ 当 ＜１ ，１ ＞１ 时 一 ，
有最 大 值 为 ２ ）＝ 一 １ 而 当 ０＜ ≤２时 ， ｙ
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。 刘 国 飞
分 段 函数 是 自变量 在 不 同的 取 值 范 围 内 ， 对 应 法 则 其 也 不相 同 的 函数 。分段 函数 是 一 类 表 达 形 式 特 殊 的 函数 ，
因 为 ＝１ ０ 所 以 － １ ｌｌ ０ 又 因 为 ＞ ， 厂 ）＝ ｇ ＝ ， （
对分段 函数的考查是 高考数学考 查热点之一 。下 面举 例 说明分段函数 的常见类 型与解题方法 ， 希望对同学们有所
帮助。
一
） ＋ ３ ｃ ＝ 』 ＝＋， ｚ ３
所 以 厂Ｏ ＝ 所 以 ａ １ 即 ａ 。 （） ａ， ＝ ， ＝１
点评
分段 函数 的 单调 性
ｒ ＞１ ， ｎ（ ）
