高中常见分段函数题型归纳
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提高兴趣增强自信对接高考分层教学 总结规律规范答题
分段函数常见题型及解法
分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数， 它是一个函数，
非几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集 .
与分段函数有关的类型题的求解， 在教材中只出现了由分段函数作出其图象的题型， 并未作深入说明，
因此，对于分段函数类型的求解不少同学感到困难较多，现举例说明其求解方法．
1．求分段函数的定义域和值域
2x 2 x [ 1,0];
1
f (x) x x (0, 2);
2
3 x [2, );
例 1.求函数 的定义域、值域 .
f (x) [ 1, )
解析：作图 , 利用“数形结合”易知 的定义域为 , 值
域为（-1，2]U ｛3｝.
例 2.求函数 的值域 .
2+1≥ 1；当 x<0 时， -x2<0.所以，原函数的值域是 [1,+ ∞∪) (-∞ ,0).
解析：因为当 x≥ 0时， x
2．求分段函数的函数值
| x 1| 2, (| x| 1)
f x
( ) 1
, (| x| 1)
2 f[ f (1 )]
1 x 例 1.已知函数 求 .
2
1 4 1 3
f [ f ( )] f ( )
2 2 3 2
1 1 3
f ( ) | 1| 2 1 ( ) 13
解析：因为 , 所以 .
2 2 2 2
例 2.已知函数 ，求 f{f[f(a)]} (a<0) 的值 .
分析 : 求此函数值关键是由内到外逐一求值， 即由 a<0, f(a)=2a，又 0<2a<1, ,
，所以， .
注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段．
x
e , x 0. 1
g( x)
g( g( ))
lnx , x 0.
2
练1.设则 __________
x 1
2e (x 2),
f (x)
2
log
练2.设则 __________
3
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3．求分段函数的最值
4x 3 ( x 0)
f (x) x 3 (0 x 1)
x 5 ( x 1)
例 1.求函数 的最大值 .
x fmax (x) f (0) 3 0 x 1 fmax (x) f (1) 4 x 1
0
解析：当 时, , 当 时, , 当 时,
x fmax (x) 4
5 1 5 4
, 综上有.
例 2.设a 为实数，函数 f(x)=x
分析：因为原函数可化为 2+|x-a|+1,x ∈R,求 f(x) 的最小值 .
所以，只要分别求出其最小值，再取两者较小者即可 .
解：当 x
2+1. 所以若 ，则函数 f(x) 在 (-∞,a]上单调递减，从而 f(x) 在(-∞,a]上的最小值为 f(a)=a
若 ，则函数 f(x) 在(-∞,a]上的最小值为 ，且 ；
当 x≥ a时，函数 ；
若 ，则函数 f(x) 在[a,+ ∞上) 的最小值为 ，且 .
若 ，则函数 f(x) 在[a,+ ∞上) 的最小值为 f(a)=a2+1.
综上，当 时，函数 f(x) 的最小值是 ；
2+1； 当 时，函数 f(x)的最小值是 a
当 时，函数 f(x) 的最小值是 .
注：分段函数最值求解方法是先分别求出各段函数的最值，再进行大小比较，从而达到求解的目的 .
4．求分段函数的解析式
y f (x) y g( x) y x
例 1.在同一平面直角坐标系中, 函数 和 的图象关于直线对称, 现将
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y g x x y
( )
的图象沿 轴向左平移 2 个单位 , 再沿 轴向上平移 1 个单位 , 所得的图象是由两条线段组成
f (x)
的折线（如图所示） , 则函数 的表达式为（ ）
A. f (x) 2x 2 ( 1 x 0)
x
2 (0 x 2)
2
B. f (x) 2x 2 ( 1 x 0)
x
2 2 (0 x 2)
C. f (x) 2x 2 (1 x 2)
x
2 1 (2 x 4)
D. f (x) 2x 6 (1 x 2)
x
2 3 (2 x 4)
1
x
[ 2,0] y 2 x 1 x y
解析： 当 时, , 将其图象沿 轴向右平移 2 个单位 , 再沿 轴向下平移 1 个
1 1
y 2 (x 2) 1 1 2 x 1 f (x) 2x 2 (x [ 1,0]) x [0,1]
单位, 得解析式为 , 所以 , 当 时 ,
y x x y
2 1
, 将其图象沿 轴向右平移 2 个单位 , 再沿 轴向下平移 1 个单位 , 得解析式
y 2(x 2) 1 1 2x 4 1
f (x) x 2 (x [0,2])
, 所以 , 综上可得
2
f (x) 2x 2 ( 1 x 0)
x
2 (0 x 2)
2
, 故选 A.
例 2.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从 2 月 1 日起的 300 天内，西红柿售价与上市时
间的关系用图 1 的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图 2 的抛物线段表示：
(I) 写出图 l 表示的市场售价与时间的函数关系式 P=f(t)，写出图 2 表示的种植成本与上市时间的函数关系
式 Q=g(t) ； (II) 认定市面上售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大 ?
解析：
(I) 由图 l 可得市场售价与时间的关系为 由图 2 可得种植成本与时间的函数关系为
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（0≤ t ≤ 30）0。
(II)设t 时间的纯收益为 h(t)，由题意得
h(t)=f(t)-g(t)
再求 h(t)的最大值即可。
注：观察图 1，知 f(t) 应是一个关于 t 的一次分段函数，观察图 2 可知 g(t)是关于 t 的二次函数，可设
为顶点式，即设g(t)=a(t-150) 2
+100。
5．作分段函数的图像
|ln | | 1|
x
y e x
例 1.函数 的图像大致是（ ）
y
1
x
O
1
B
y
y
1
1 x x
O 1
O 1
C D
例 2.已知函数 f(x)=|x 2-2x-3|的图象与直线y=a 有且仅有 3 个交点，求 a 的值 .
解：∵ f(x)=|(x-1) 2-4|=|(x+1)(x-3)|,
所以
由图象易知 a=4.
注：此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像，再根据数形结合的方法求出，不用写出函数
解析式，更简单.
例 3.已知函数 f(x)=|x2-2x-3| 的图象与直线y=a 有且仅有 3 个交点，求 a 的值 .
解：∵ f(x)=|(x-1)2-4|=|(x+1)(x-3)|, 提高兴趣增强自信对接高考分层教学总结规律规范答题
∴
由图象易知 a=4.
注：此题可以根据函数图像的对称性直接画出函数图像，再根据数形结合的方法求出，不用写出函数
解析式，更简单 .
6．求分段函数得反函数
例 1.求函数 的反函数 .
解：∵ f(x) 在 R 上是单调减函数，
∴ f(x) 在 R 上有反函数 .
∵ y=x2+1(x≤ 0)的反函数是 (x ≥ 1),
y=1-x(x>0) 的反函数是 y=1-x(x<1),
∴ 函数 f(x)的反函数是
注 ：求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可 .
x
y f x R x 0 ( ) 3 1
( ) f x f ( x)
例 2.已知 是定义在 上的奇函数 , 且当时, ,设得反函数为
y g( x) g (x)
, 求 的表达式 .
x
x x 0 f ( x) 3 1 f (x) R
0
解析：设,则, 所以 , 又因为是定义在 上的奇函数 , 所以
x
f ( x) f (x) f (0) 0 f (x) 1 3
, 且 , 所以 , 因此
x
3 1 (x 0) log (x 1) ( x 0)
3
f (x) 0 (x 0) g( x) 0 ( x 0)
x
1 3 (x 0) log (1 x) (x 0)
3
, 从而可得 .
例 3.已知 1
1
a f ( ),
－log3(x + 1)(x>6) 1 x
f (x) f ( ) f ( x)
9 ，若记为 的反函数，且 则
3x－6(x≤ 6)
f (a 4)
__________.
7．判断分段函数的奇偶性
2
x (x 1) (x 0)
