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分段函数的几种常见题型及解法--学生版

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本卷第1页（共4页） 分段函数的几种常见题型及解法

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下：

1．求分段函数的定义域和值域

例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);xxfxxxx的定义域、值域.

2．求分段函数的函数值

3．例2．（05年浙江理）已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1xxfxxx求12[()]ff.

3．求分段函数的最值

例3．求函数43(0)()3(01)5(1)xxfxxxxx的最大值.

4．求分段函数的解析式

例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()yfx和()ygx的图象关于直线yx对称, 现将()ygx的图象沿x轴向左平移2个单位, 再沿y轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）,

则函数()fx的表达式为（ ）

222(10).()2(02)xxxAfxx222(10).()2(02)xxxBfxx

222(12).()1(24)xxxCfxx226(12).()3(24)xxxDfxx

5．作分段函数的图像

例5．函数|ln||1|xyex的图像大致是（ ） -12131o-2yx本卷第2页（共4页） A11oyxByx11OCyxO11 DyxO11

6．求分段函数得反函数

例6已知()yfx是定义在R上的奇函数, 且当0x时, ()31xfx, 设()fx得反函数为()ygx,

求()gx的表达式.

7．判断分段函数的奇偶性例7．判断函数22(1)(0)()(1)(0)xxxfxxxx的奇偶性.

8．判断分段函数的单调性例8．判断函数32(0)()(0)xxxfxxx的单调性.

例9．写出函数()|12||2|fxxx的单调减区间.

9．解分段函数的方程

例10．（01年上海）设函数812(,1]()log(1,)xxfxxx, 则满足方程1()4fx的x的值为

10．解分段函数的不等式

例11．设函数1221(0)()(0)xxfxxx, 若0()1fx, 则0x得取值范围是（ ）

.(1,1)A .(1,)B .(,2)(0,)C .(,1)(1,)D 本卷第3页（共4页） 例12．设函数2(1)(1)()41(1)xxfxxx, 则使得()1fx的自变量x的取值范围为（ ）

A．(,2][0,10] B. (,2][0,1] C. (,2][1,10] D. [2,0][1,10]

必修一测试题

一. 选择题（每题4分，共64分）：

1. 若集合}8,7,6{A，则满足ABA的集合B的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 7 D. 8

2.方程062pxx的解集为M,方程062qxx的解集为N,且M∩N={2},那么p+q等于（ ）

A.21 B.8 C.6 D.7

3. 下列四个函数中,与y=x表示同一函数的是（ ）

A.2xy B.y=33x C.y=2x D.y=xx2

4.已知A={x|y=x,x∈R},B={y|2xy,x∈R},则A∩B等于（ ）

A.{x|x∈R} B.{y|y≥0} C.{(0,0),(1,1)} D.

5. 32)1(2mxxmy是偶函数，则)1(f，)2(f，)3(f的大小关系为（ ）

A. )1()2()3(fff B. )1()2()3(fff

C. )1()3()2(fff D. )2()3()1(fff

6. 已知函数0,30,log)(2xxxxfx，则)]41([ff的值是（ ）

A. 91 B. 9 C. 9 D. 91

7. 已知Aba53，且211ba，则A的值是（ ）

A. 15 B. 15 C. 15 D. 225

8、f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，则f(x)在(2，5)上是( )

A.增函数 B.减函数 C.有增有减 D.增减性不确定

9.函数 f(x)=x2-4x+5在区间 [0,m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是（ ）

A . ),2[ B .[2,4] C .(]2, D. [0,2]

10. 设10a，在同一直角坐标系中，函数xay与)(logxya的图象是（ ）

11.已知f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)= （ ）

A. 0 B.1 C. -1 D.不存在

12.已知f(x)=3X－x1 则f(x)是（ ）

A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D既不是奇函数也不是偶函数

二. 填空题（每题5分：共20分）

13． 函数23log32xy的定义域为______________ 本卷第4页（共4页） 14.24,02(),(2)2,2xxfxfxx已知函数则__________；若00()8,fxx则_________

15. 函数xay（0a，且1a）在]2,1[上的最大值比最小值大2a，则a的值是__________

16、函数xy3log（x>0），则其反函数是

三. 解答题（21、22各10分：23、24各12分；25、26各14分）

17.已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=1+x1，求：f(x)，g(x)解析式（10分）

18. 函数xxy22 x∈[2, 3].求：函数的最大值和最小值 （10分）

19. 设集合}023|{2xxxA，}02|{2mxxxB，若AB，求:实数m的值组成的集合（12分）

20. 已知全集U=}60|{xNx，集合A=｛}51|xNx，集合B＝}62|xNx

求（1）BA (2) (ACU)B (2) )()(BCACUU (12分)

21.设244)(xxxf，若10a，试求：

（1）)1()(afaf的值； （2）)40114010()40113()40112()40111(ffff的值； (13分)

22. 已知1222)(xxaaxf)(Rx，若)(xf满足)()(xfxf，

（1）求实数a的值；

（2）判断函数的单调性，并加以证明。 (13分)

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分段函数应用题

分段函数应用题

分段函数应用题

1，我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价×（20-10）=1（元），因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元．

（1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买？（2）写出该专卖店当一次销售x（只）时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？

2，某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元．经市场调研发现：甲种产品的销售单价为x（元），年销售量为y（万件），当35≤x＜50时，y与x之间的函数关系式为y=；当50≤x≤70时，y与x的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价，在25元（含）到45元（含）之间，且年销售量稳定在10万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元．

（1）当50≤x≤70时，求出甲种产品的年销售量y（万元）与x（元）之间的函数关系式．

（2）若公司第一年的年销售量利润（年销售利润=年销售收入-生产成本）为W（万元），那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？

（3）第二年公司可重新对产品进行定价，在（2）的条件下，并要求甲种产品的销售单价x（元）在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利（总盈利=两年的年销售利润之和-投资成本）不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m（元）的范围．

3，某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元）与月份x（1≤x≤9，且x取整数）之间的函数关系如下表：

分段函数的几种常见题型及解法

分段函数的几种常见题型及解法

分段函数的几种罕睹题型及解法之阳早格格创做

分段函数是指自变量正在二个或者二个以上分歧的范畴内, 有分歧的对付应规则的函数, 它是一个函数, 却又常常被教死误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它正在明白战掌握函数的定义、函数的本量等知识的程度的观察上有较佳的效率, 常常正在下考查题中“闪明”登场, 笔者便几种简曲的题型干了一些思索, 剖析如下：

1．供分段函数的定义域战值域

例1．供函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);xxfxxxx的定义域、值域.

【剖析】

做图, 利用“数形分离”易知()fx的定义域为[1,), 值域为(1,3].

2．供分段函数的函数值

例2．（05年浙江理）已知函数2|1|2,(||1)()1,(||1)1xxfxxx供12[()]ff.

【剖析】 11o322-1yx-1果为311222()|1|2f, 所以312223214[()]()1()13fff.

3．供分段函数的最值

例3．供函数43(0)()3(01)5(1)xxfxxxxx的最大值.

【剖析】当0x时, max()(0)3fxf, 当01x时,

max()(1)4fxf, 当1x时, 5154x, 综上有max()4fx.

4．供分段函数的剖析式

例4．正在共一仄里曲角坐标系中, 函数()yfx战()ygx的图象闭于曲线yx对付称, 现将()ygx的图象沿x轴背左仄移2个单位, 再沿y轴进与仄移1个单位, 所得的图象是由二条线段组成的合线（如图所示）, 则函数()fx的表白式为（ ）

【剖析】

当[2,0]x时, 121yx, 将其图象沿x轴背左仄移2个单位, 再沿y轴背下仄移1个单位, 得剖析式为1122(2)111yxx, 所以()22([1,0])fxxx, 当[0,1]x时,

第04讲(与分段函数有关的取值范围问题)(解析版)

第04讲(与分段函数有关的取值范围问题)(解析版)

1 第04讲（与分段函数有关的取值范围问题）

【目标导航】

1．理解含义抽象函数的求值问题、与分段函数有关的方程或不等式、分段函数的值域、分段函数的零点问题、分段函数中求参问题、分段函数奇偶性讨论等问题；

2．理解分段函数有关的取值范围等问题并能灵活运用．

【例题导读】

例1、若函数f(x)＝2x， x≤0f(x－2)，x＞0，则f(log23)＝ ．

【答案】．34

【解析】因为1＜2log3＜2，所以f(log23)＝f(log23－2)＝22log3log32223224.

例2、设函数cos,011,0xxfxfxx，则103f的值为_________

【答案】92

【解析】由fx解析式可知，只有0x，才能得到具体的数值，0x时只能依靠11fxfx向0x 正数进行靠拢。由此可得：

107412123433333fffff，而

221cos332f 10932f

例3、 已知函数f(x)＝log2（3－x），x≤0，2x－1，x>0，若f(a－1)＝12，则实数a＝________．

【答案】 log23

【解析】当a－1≤0，即a≤1时，f(a－1)＝log2(4－a)＝12，解得a＝4－2(舍)；当a－1>0，即a>1时，f(a－1)＝2a－1－1＝12，解得a＝log23.

例4、已知函数2220()20xxxfxxxx，≥，，， 则不等式()()fxfx的解集为 ．

【答案】(20)(2)U，，

2 【解析】：若0x，则22()2,()2fxxxfxxx，由()()fxfx得：

22222xxxxx，故2x.

分段函数(答案)

分段函数(答案)

分段函数

1．已知f(x)＝ 3x＋1， x≥0，x2， x<0，)则f(－2)＝( )

A．2 B．－2 C．32＋1 D．－32＋1

答案：A解析：∵－2<0，∴f(－2)＝2.

2．设函数f(x)＝ 1－x2， x≤1，x2＋x－2， x>1，)，则f1f2的值为( )

A.1516 B．－2716 C.89 D．18

答案：A解析：f(2)＝22＋2－2＝4，∴f1f2＝f14＝1－142＝1516.

3．函数y＝ x＋3， x≤1－x＋5， x>1)的最大值为( )

A．3 B．4 C．5 D．6

答案：B解析：由该函数的图象可知，当x＝1时，y的最大值为4.

4．函数f(x)＝ 2，0

A．[2,5] B．{2,4,5} C．(0,20) D．N

答案：B解析：f(x)的值域为{2}∪{4}∪{5}＝{2,4,5}．

5．函数f(x)＝x＋|x|x的图象是(

)

答案：A解析：f(x)＝ x＋1， x>0，x－1， x<0，)注意x≠0.

6．已知函数f(x)＝ x2＋4x＋3， x≤0，3－x， x>0，)则f(f(5))＝( ) A．0 B．－2C．－1 D．1

答案：C解析：f(5)＝3－5＝－2.∴f(f(5))＝f(－2)＝(－2)2＋4×(－2)＋3＝－1.

7．设函数f(x)＝ x－3，x≥10fx＋5，x＜10，则f(5)＝________.

答案：7