2019-2020学年新人教A版必修二 平面向量 教案

平面向量的概念与表示课程目标知识提要平面向量的概念与表示向量的基本概念我们把既有方向，又有大小的量叫做向量（vector）．带有方向的线段叫做有向线段．我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以为起点、为终点的有向线段记做，起点写在终点的前面．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．向量可以用有向线段来表示．向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记做，长度为的向量叫做零向量（zero vector），记做．零向量的方向不确定．长度等于个单位的向量，叫做单位向量（unit vector）．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（parallel vectors），向量、平行，通常记做．规定零向量与任一向量平行，即对于任意向量，都有．相等向量与共线向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量（equal vector）．向量与相等，记做．任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量（collinear vectors）．精选例题平面向量的概念与表示1. 已知向量，是两个非零向量，，分别是与，同方向的单位向量，则①；②或；③；④，其中结论正确的序号为．【答案】④2. 把同一平面内所有模不小于，不大于的向量的起点移到同一点，则这些向量的终点构成的图形是．【答案】圆环面【分析】将平面中所有长度为的向量的起点移到同一点则该向量终点在以为圆心，以为半径的圆上，所以，所有长度不小于，不大于的向量将起点移到同一点，终点在一个内径为，外径为的圆环面上．3. 如图，四边形为正方形，为等腰直角三角形．图中与共线的向量有；图中与相等的向量有；图中与模相等的向量有；图中与相等的向量有．【答案】，，，，，，；，；，，，，，，，，；【分析】由平面中的位置关系及大小确定向量间的关系．4. 若向量则 | | ．【答案】5. "向量与是两平行向量"的正误是．【答案】正确6. 有以下个条件：①；②；③与的方向相反；④或；⑤与都是单位向量．其中能使成立的是．（填正确的序号）【答案】①③④【分析】共线向量是指向量所在的基线平行或重合，零向量与任何向量共线，故①③④正确．7. 一艘船以的速度出发向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的航行方向与水流成，则船的实际速度的大小为，水流速度的大小为．【答案】；8. 如图，是正三角形的中心；四边形和均为平行四边形，则与向量相等的向量有；与向量共线的向量有；与向量的模相等的向量有．（填图中所画出的向量）【答案】；，；，，，，【分析】因为是正三角形的中心，所以，所以结合相等向量及共线向量定义可知：与相等的向量有；与共线的向量有，；与的模相等的向量有，，，，．9. 若是的单位向量，则与的方向，且．【答案】相同；【分析】根据．10. 是正三角形，那么与的夹角是度．【答案】11. 在四边形中，，则这个四边形的形状是．【答案】平行四边形【分析】由可得且，所以四边形是平行四边形．12. 给出下列命题：①和的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量就是有向线段；④，⑤．其中正确的命题是．（填序号）【答案】①13. 向量：既有，又有的量叫向量．【答案】大小；方向14. 若，与反向，，则．【答案】【分析】，与反向，，则．15. "平行向量的方向一定相同"的正误是．【答案】错误【分析】平行向量的方向可以相同或相反．16. "当且仅当时，四边形是平行四边形"的正误是 .【答案】错误【分析】四边形是平行四边形；但时，这四点可能在一条线上，故反过来不正确．17. 向量的有关概念：（1）零向量：长度为的向量叫做零向量，记作．（2）单位向量：长度为的向量叫做单位向量．（3）相等向量：且的向量叫做相等向量．（4）平行向量（共线向量）：方向的向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量平行于，记作．②规定：零向量与平行．【答案】（1）；（2）（3）长度相等；方向相同（4）相同或相反；非零①②任一向量18. 给出下列命题：①若，则；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，，则；④的充要条件是且；⑤若，，则．其中正确的序号是．【答案】②③19. 如图，设是正六边形的中心，则图中与向量相等的向量是，与相等的向量是，与相等的向量是．【答案】，；，；，，20. 在四边形中，＝且＝，则四边形的形状为．【答案】菱形21. 如图，半圆的直径，是半圆上的一点，，分别是，上的点，且，，．(1)求证：向量；【解】由题意知，在中，，，，所以．又点为半圆上一点，则．所以，故．(2)求．【解】由知．所以，即．所以，即．22. 如图所示的方格纸由若干个边长为的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点，，点为小正方形的顶点，且．(1)画出所有的向量；【解】画出所有的向量如图所示．(2)求的最大值与最小值．【解】由所画的图知，当点位于点或时，取得最小值；当点位于点和时，取得最大值，所以的最大值为，最小值为．23. 如图所示，在梯形中，若、分别为腰、的三等分点，且，，求．【解】解：如图，过作，分别交、于点、，因为，所以．因为，所以．又、分别为腰、的三等分点，所以为的三等分点，所以，，所以，所以．24. 如图所示，点是正六边形的中心，则以图中，，，，，，七点中的任一点为起点，与该点不同的另一点为终点的所有向量中，设与向量相等的有个，与模相等的向量有个，与共线的向量有个，求，，的值．【解】与向量相等的向量有个，分别为，，，即；与向量模相等的向量共有个，即；与共线的向量共有个，即．25. 已知是坐标原点，点在第一象限，，，求向量的坐标．【解】设点，则，，即，所以．26. 如图所示，是正六边形的中心，且，，．(1)与的长度相等的向量有多少个？（只考虑图中能用字母表示的向量）【解】与的长度相等的向量有个．(2)与的长度相等且方向相反的向量有哪些？【解】与的长度相等且方向相反的向量有，，，．(3)与共线的向量有哪些？【解】与共线的向量有，，，，，，，，．(4)请一一列出分别与，，相等的向量．【解】与相等的向量有，，；与相等的向量有，，；与相等的向量有，，．27. 如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法．马可从跳到，也可以跳到，用向量，表示马走了"一步"．试在图中画出马在，处走了“一步”的所有情况．【解】马在处只有处可走，在处有处可走．图形中马的走法如下：28. 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图是中国象棋的半个棋盘，若马在处，可跳到，也可跳到，用向量，表示马走了“一步”，试在图中画出马在，处走了“一步”的所有情况．【解】如图所示．马在处有条路可走，在处有条路可走，而在处有条路可走，解题时应做到不重、不漏．29. 如图，已知＝＝．求证：(1)；【解】因为＝，所以＝，且．又因为不在上，所以．所以四边形是平行四边形．所以＝．同理＝＝．所以．(2)＝＝．【解】因为四边形是平行四边形，所以，且＝．所以＝．同理可证＝．30. 在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为．(1)试以为终点画一个向量，使＝；【解】根据相等向量的定义，所作向量与向量平行，且长度相等，如图．(2)在图中画一个以为起点的向量，使＝，并说出向量的终点的轨迹是什么？【解】由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．31. 如图，，，，是上的八个等分点，则在以，，，及圆心九个点中任意两点为起点与终点的向量中，(1)模等于半径的向量有多少个？【解】模等于半径的向量只有两类，一类是，共个；另一类是，也有个．两类合计共个．(2)模等于半径的倍的向量有多少个？【解】以，，，为顶点的的内接正方形有两个，一个是正方形；另一个是正方形．在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边（看成有向线段，每一边对应两个向量）的长度为半径的倍．所以模为半径的倍的向量共有个．32. 如图所示，是正六边形的中心，且＝＝＝．(1)与的模相等的向量有多少个？【解】与的模相等的向量有个．(2)与的长度相等，方向相反的向量有哪些？【解】与的长度相等且方向相反的向量有．(3)与共线的向量有哪些？【解】与共线的向量有．(4)请一一列出与相等的向量．【解】与相等的向量有；与相等的向量有；与相等的向量有．33. 某人从点出发向西走了到达点，然后改变方向向北偏西走了到达点．作出向量，，．【解】作出向量如图所示．34. 如图，在矩形中，，、分别为和的中点．（只考虑以、、、、、为起点和终点的所有向量）(1)与向量相等的向量有哪些？与向量相反的向量有哪些？【解】与向量相等的向量有，；向量的相反向量有，，．(2)与向量相等的向量有哪些？与向量相反的向量有哪些？【解】与向量相等的向量有，，；向量的相反向量有，，，．(3)长度为的相等的向量有几对？【解】长度为的相等的向量有与，与，与，与，共对．(4)长度为的相等的向量有几对？【解】长度为的相等的向量有对，其中与同向的有对，与反向的有对，与同向的有对，与反向的有对，共对．35. 如图，已知平面上一点和向量，作出同时满足下列三个条件的向量：（）以点为起点；（）与的长度相等；（）与平行．【解】如图，、即为所求．36. 如图所示，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形．(1)分别写出与，相等的向量；【解】与相等的向量为，，．与相等的向量为，，．(2)写出与共线的向量；【解】与共线的向量有，，，，，，，，．(3)写出与的模相等的向量．【解】与的模相等的向量为，，，，，，，，，，，，，，．37. 已知向量，，且，求，的值．【解】根据两向量相等的充要条件是对应坐标相等，可得到解得38. 一艘军舰从基地出发向东航行了到达基地，然后改变航线向东偏北航行了到达岛，最后又改变航线向西航行了到达岛．(1)试作出向量，，；【解】建立如图所示的直角坐标系，向量，，即为所求．(2)求．【解】根据题意，向量与方向相反，故向量．又，四边形为平行四边形，，（海里）．39. 如图，在等腰梯形中，，对角线与相交于点，是过点且平行于的线段．(1)写出图中与共线的向量；【解】图中与共线的向量有，，，．(2)写出图中与方问相同的向量；【解】图中与方向相同的向量有，，，．(3)写出图中与，的模相等的向量；【解】图中与的模相等的向量有，与的模相等的向量有．(4)写出图中与相等的向量．【解】图中与相等的向量为．40. 如图所示，的三边均不相等，、、分别是、、的中点．(1)写出与共线的向量；【解】因为、分别是、的中点，所以且．又因为是的中点，所以与共线的向量有：．(2)写出与的模大小相等的向量；【解】与模相等的向量有：．(3)写出与相等的向量．【解】与相等的向量有：与．课后练习1. 下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形．①把所有单位向量移到同一起点；②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．①；②；③．2. 四边形中，，．则四边形为．3. 已知在矩形中，，，则的模等于．4. （1）下图中，小正方形的边长为，则，，；（2）把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是．5. 对于下列命题：①相反向量就是方向相反的向量；②不相等的向量一定不平行；③相等的向量一定共线；④共线的单位向量一定相等；⑤共线的两个向量一定在同一条直线上．其中真命题的序号为．6. "向量与是共线向量，则四点必在同一直线上"的正误是．7. 若某人从点出发向东走至点，从点向北走至点，则点相对于点的位置向量为．8. 已知，则．9. " 与共线，与共线，则与也共线"的正误是．10. 判断题：（1）与是两平行向量．（2）若是单位向量，也是单位向量，则．（3）长度相等且方向相反的两个向量不一定是平行向量．（4）与任一向量都平行的向量为零向量．（5）四边形是平行四边形，当且仅当．（6）两向量相等，当且仅当它们的起点相同，终点也相同．（7）若，，则．（8）若，且，则四边形是菱形．（9）若与是共线向量，则，，，四点必在同一直线上．11. 如图所示，、分别为边、的中点，则与向量共线的向量有（将图中符合条件的向量全写出来）．12. 下列命题中，正确的是．（填序号）①；②；③；④．13. 若非零向量与互为相反向量，给出下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号为．14. 一架飞机向北飞行千米后，改变航向向东飞行千米，则飞行的路程为；两次位移的和的方向为，大小为千米．15. 若平面向量、满足，，且以向量、为邻边的平行四边形的面积为，则和的夹角的取值范围是．16. 在平面上下列各种情形中，各向量的终点的集合分别构成什么图形？请将答案填在横线上．（1）把所有单位向量的起点平移到同点；．（2）把平行于直线的所有单位向量的起点平移到直线上的点；．（3）把平行于直线的所有向量的起点平移到直线上的点．．17. ”单位向量不一定都相等“的正误是（填“正确”或“错误”）．18. 向量的几何表示：以为起点，为终点的向量记作．19. 给出下列命题：①若，则向量与的长度相等且方向相同或相反；②对于任意非零向量与，若，且与的方向相同，则；③非零向量与非零向量满足，则向量与方向相同或相反；④向量与是共线向量，则，，，四点共线；⑤若，且，则．其中正确命题的个数为．20. 已知为正六边形，若向量，则；（用坐标表示）．21. 判断下列各命题是否正确：(1)零向量没有方向；(2)若，则；(3)单位向量都相等；(4)向量就是有向线段；(5)若，，则；(6)若，，则；(7)若四边形是平行四边形，则，．22. 如图，已知矩形中，设点集，求集合且．23. 在单位圆中，是的中点，过且，，，则在向量，，，，，，，，中，(1)找出相等的向量；(2)找出单位向量；(3)找出与共线的向量；(4)求向量，的长度．24. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．(1)向量与是共线向量，则、、、四点必在同一条直线上；(2)单位向量都相等；(3)任一向量与它的相反向量不相等；(4)四边形是平行四边形，则；(5)如果一个向量的方向不确定，那么这个向量的长度一定为；(6)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．25. 判断正误，并简要说明理由．；；；；若，则对任一非零向量，有；若，则与中至少有一个为；若与是两个单位向量，则．26. 如图，四边形和都是平行四边形．(1)写出与向量相等的向量；(2)若，求．27. 一辆消防车从地去地执行任务，先从地向北偏东方向行驶千米到地，然后从地沿北偏东方向行驶千米到达地，从地又向南偏西方向行驶千米才到达地．(1)在如图所示的坐标系中画出，，，；(2)求地相对于地的位置向量．28. 判断下列命题的真假．(1)作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量；(2)数轴是向量；(3)温度是向量．。

1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算3.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.概念方法微思考1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.2．如何理解数乘向量？提示λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √ ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二 教材改编2．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________.(用a ，b 表示) 答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3．在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________． 答案 矩形解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →， 所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形． 题组三 易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案 12解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一 平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中真命题的序号是________． 答案 ③解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． 故填③.2．判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．题型二 平面向量的线性运算命题点1 向量加、减法的几何意义例1(2017·全国Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |>|b |答案 A解析 方法一 ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b . ∴a·b ＝0.∴a ⊥b . 故选A.方法二 利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知，|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b . 故选A.命题点2 向量的线性运算例2(1)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →等于( ) A.13a ＋23b B ．－13a －23bC ．－13a ＋23bD.13a －23b 答案 C解析 BF →＝23BE →＝23(BC →＋CE →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－13a ＋23b ， 故选C.(2)(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →等于( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 答案 A解析 作出示意图如图所示．EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →.故选A.命题点3 根据向量线性运算求参数例3 在锐角△ABC 中，CM →＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →，则x y＝________.答案 3解析 由题意得CA →＋AM →＝3(AB →－AM →)， 即4AM →＝3AB →＋AC →， 亦即AM →＝34AB →＋14AC →，则x ＝34，y ＝14.故x y＝3.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1(1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →等于( ) A.13a ＋512b B.13a －1312b C ．－13a －512bD ．－13a ＋1312b答案 C解析 DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA →＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b ，故选C.(2)(2018·威海模拟)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB →＝xAE →＋yAF→(x ，y ∈R )，则x －y ＝________. 答案 2解析 由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →，因为AB →＝xAE →＋yAF →，所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y2＝1，x2＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－23，所以x －y ＝2.题型三 共线定理的应用例4设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)解 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1. 引申探究1．若将本例(1)中“BC →＝2a ＋8b ”改为“BC →＝a ＋m b ”，则m 为何值时，A ，B ，D 三点共线？ 解 BC →＋CD →＝(a ＋m b )＋3(a －b )＝4a ＋(m －3)b ，即BD →＝4a ＋(m －3)b .若A ，B ，D 三点共线，则存在实数λ，使BD →＝λAB →. 即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )．所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝λ，m －3＝λ，解得m ＝7.故当m ＝7时，A ，B ，D 三点共线．2．若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？ 解 因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ<0)．所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，k λ＝1，所以k ＝±1.又λ<0，k ＝λ，所以k ＝－1. 故当k ＝－1时两向量反向共线．思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明 (1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)， ∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)， 即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线．又∵BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →， ∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)． 又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →， 即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.1．对于非零向量a ，b ，“a ＋2b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若a ＋2b ＝0，则a ＝－2b ，所以a ∥b . 若a ∥b ，则a ＋2b ＝0不一定成立， 故前者是后者的充分不必要条件．2．已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线 答案 B解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2AB →， ∴BD →与AB →共线，由于BD →与AB →有公共点B ， 因此A ，B ，D 三点共线，故选B.3.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上的一个靠近点B 的三等分点，那么EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → 答案 D解析 在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →. 因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 上的一个靠近点B 的三等分点，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D. 4．(2018·唐山模拟)在△ABC 中，点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ，使得OG →＝16BC →，且OA→＝mOB →＋nOC →，则m －n 等于( ) A ．2B ．－2C ．1D ．－1 答案 D解析 ∵GA →＋GB →＋GC →＝0， ∴OA →－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0，∴OG →＝13()OA →＋OB →＋OC →＝16BC →＝16()OC →－OB →，可得OA →＝－12OC →－32OB →，∴m ＝－32，n ＝－12，m －n ＝－1，故选D.5.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b 答案 D解析 连接OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b ，故选D.6.如图，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A.911 B.511 C.311 D.211答案 B解析 注意到N ，P ，B 三点共线， 因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1，所以m ＝511.7．若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝________. 答案 2 3解析 因为|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2， 所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|AB →＋AC →|为△ABC 的边BC 上的高的2倍， 所以|AB →＋AC →|＝2 3.8．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________． 答案 直角三角形解析 因为OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →， 所以|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|， 即AB →·AC →＝0，故AB →⊥AC →，△ABC 为直角三角形．9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且CM →＝3MB →，设AM →＝λAB →＋μAC →，则λ的值为________． 答案 34解析 由题设知CM MB＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ，则MN AC ＝BN BA ＝BM BC ＝14，从而AN AB ＝34，又AM →＝λAB →＋μAC →＝AN →＋NM →＝34AB →＋14AC →，所以λ＝34.10．(2019·钦州质检)已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________. 答案 －4解析 因为M ，N ，P 三点共线， 所以存在实数k 使得MN →＝kNP →， 所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)， 又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝k λ，－3＝6k ，解得λ＝－4.11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△ABC 与△AOC 的面积之比．解 取AC 的中点D ，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →， ∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点， ∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解 方法一 由D ，O ，C 三点共线， 可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)，同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →) ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，① 又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，②所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b ＝0.又a ，b 不共线， 所以⎩⎪⎨⎪⎧12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b .所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )．方法二 延长AO 交BC 于点E ，O 为△ABC 的重心，则E 为BC 的中点， 所以AO →＝23AE →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(a ＋b )．13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于( )A.58B.14C ．1D.516 答案 A解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →， 所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A.14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(1，2] D ．(－1,0)答案 B解析 设OC →＝mOD →，则m >1， 因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μmOB →，又知A ，B ，D 三点共线， 所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1，故选B.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2OA →＋12OB →＋12OC →，则点P 一定为△ABC 的( ) A ．BC 边中线的中点B ．BC 边中线的三等分点(非重心) C ．重心D ．BC 边的中点 答案 B解析 设BC 的中点为M ， 则12OC →＋12OB →＝OM →， ∴OP →＝13(OM →＋2OA →)＝13OM →＋23OA →，即3OP →＝OM →＋2OA →，也就是MP →＝2PA →， ∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点．16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题： ①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量． 其中真命题的序号是________． 答案 ②③解析 ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。

平面向量的概念教学设计一．教学内容分析：向量是近代数学中重要和基本的概念之一，向量理论具有丰富的物理背景，深刻的数学内涵。

向量既是代数的研究对象，也是几何的研究对象，是沟通几何和代数的一个桥梁，也是进一步学习和研究其他数学领域问题的一个基础，在解决实际问题中发挥着非常重要的作用，本章内容通过实际背景引入向量的概念，类比数的运算学习向量的运算及其性质，建立向量的运算体系，在此基础上，用向量的语言方法表述和解决现实中数学和物理中的一些问题。

二．学情分析：向量是本册书新引入的概念，学生对新概念的接受是比较困难的。

但是在生活中和物理学的学习过程中是经常用到的，所以对本节课应该从实际生活方面引入，激发学生的学习兴趣，让学生们都参与到积极探究新知识的学习过程中，激发学生的学习兴趣和求知欲。

三．教学目标设定【知识与技能】1.掌握向量的概念2.能正确进行平面向量的几何表示【过程与方法】通过学生对向量的学习，使学生对现实生活中向量和数量的概念有一定清楚的认识，培养学生分析问题和解决问题的能力。

【情感态度与价值观】1.激发学生的求知欲，培养学生良好的数学思维习惯以及勤于动脑的学习习惯。

2.学生在独立思考的基础上，主动参与到数学活动的过程中,感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性,增强学好数学的信心。

四．教学方法的选择1.结合本节课的内容特点和学情分析，本节课主要采用问题启发，任务驱动的教学方法;2.学生自主思考探究，小组交流讨论的学习方式。

五．教学媒体的选择教科书，黑板，粉笔，教师语言，手势，板书，多媒体计算机，PPT。

六．教学重难点【重点】向量的概念以及其几何表示【难点】对向量概念的理解七．教学过程（一）创设情景，导入新课情境导入--教师活动：在生活中，我们会遇到很多量。

其中一些量，在取定单位之后只用一个实数就能表示出来，比如长度，质量。

就像老师手里这支粉笔，长6cm，重0.6g。

还有一些量，则不是这样。

小船由A地向东南方向航行15n mile到达B地，如果仅指出由A地航行15n mile，不指明方向，小船一定能到达B地吗？学生活动：学生就教师提出的问题进行，思考，回答得出：不一定，如果小船向其他方向航行，则无法到达B地。

2019-2020年高中数学平面教案新课标人教版必修2(A)一、教学目标：1、知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力。

2、过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识。

3、情感与价值使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。

二、教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。

难点：平面基本性质的掌握与运用。

三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板四、教学思想（一）实物引入、揭示课题师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。

与此同时，教师对学生的活动给予评价。

师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。

（二）研探新知1、平面含义师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。

2、平面的画法及表示师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片） D CB A α β β课本P41 图 2.1-4 说明平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。

姓名，年级：时间：第六章平面向量及其应用6。

1 平面向量的概念教学设计一、教学目标1.通过对生活中力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景；2.理解向量的意义及几何表示；3.掌握相等向量与共线向量的意义.二、教学重难点1.教学重点掌握向量、相等向量、共线向量的概念及向量的几何表示。

2.教学难点对共线向量的理解及掌握.三、教学过程（一）新课导入师：我们在学习物理时，学过力、位移、速度，它们有什么共同属性呢？生：既有大小,又有方向.师：下面我们来学习这些量。

（二）探索新知1.问:我们对这些既有大小，又有方向的量给出一个定义，叫做向量，并且把只有大小，没有方向的量叫做数量.同学们来举出你知道的向量与数量的例子。

（学生举手回答）如，向量：作用力、反作用力、加速度等;数量：身高、体重、面积、质量等.2.问：数量可以用数轴上的点来表示吗？答：可以，因为数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可用数轴上的点表示,而且不同的点表示不同的数量。

问:如何表示向量呢？在表示位移的时候，若小船以A为起点,B为终点，我们可以用连接A，B两点的线段长度代表小船行进的距离，在终点B处加上箭头表示小船行驶的方向。

于是，这条“带有方向的线段"就可以用来表示位移.同样，我们可以用带箭头的线段来表示向量，线段的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。

在线段AB中,假设A为起点,B为终点,我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段。

通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作,线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作。

问:总结有向线段的几个要素。

有向线段的三要素：起点、方向、长度.向量可以用有向线段来表示，我们把这个向量记作向量.有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作。

长度为0的向量叫做零向量,记作.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.向量也可用字母a b c，，，…表示.例1（课本P3）3.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

第八章立体几何初步8.4.1 平面教学设计一、教学目标1.了解平面及平面的表示法。

2.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面三个典型问题。

3.熟悉符号语言、文字语言和图形语言之间的转换。

二、教学重难点1.教学重点平面的基本性质。

2.教学难点符号语言、文字语言和图形语言之间的转换。

三、教学过程1.新课导入在初中，我们已经对点和直线有了一定的认识，知道它们都是由现实事物抽象得到的。

生活中也有一些物体给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等。

几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的。

类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延伸的。

2.探索新知我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面。

当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向。

我们常用希腊字母等表示平面，如平面、平面、平面等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称。

下面，我们来研究平面的基本性质。

基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。

基本事实1给出了确定一个平面的依据，也就是说，不共线的三点确定一个平面。

直线上有无数个点，平面内有无数个点，直线、平面都可以看成是点的集合。

点A在直线l上，记作；点B在直线l外，记作；点A在平面内，记作；点P在平面外，记作。

基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。

利用基本事实2，可以判断直线是否在这个平面内。

平面内有无数条直线，平面可以看成是直线的集合。

如果直线l上所有的点都在平面内，就说直线l在平面内，记作；否则，就说直线l不在平面内，记作。

基本事实2也可以用符号表示为且。

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交于过这个公共点的一条直线。

《平面向量的概念》教学设计本课是《平面向量》这一章的起始课，具有核心地位、统领全局的作用。

在此之前，学生已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）。

另外，学生在物理学科中已经积累了很多向量模型，并且在三角函数的学习过程中接触到有向线段的概念，为本节课的学习提供了知识准备。

本节将学习平面向量的概念、表示及关系。

现实生活中的位移、力、速度是其物理背景，向量的概念就是从这些实际背景抽象而成；通常借用有向线段形象直观的表示向量及其运算。

（1）了解向量的实际背景，经历平面向量及其概念的形成过程，培养学生抽象问题的能力；（2）掌握向量的几何表示，理解平面向量、相等向量和共线向量的概念，体会数学研究的一般过程。

教学重点：本节的重点是向量概念的形成过程。

1．教学问题：（1）学习过程中，学生对脱离背景之后理解向量的概念，一时难以适应；（2）向量的几何表示与平面向量是学生学生的易混点。

2．教学支持条件：方格纸，科大讯飞问答系统。

【问题1】老鼠由A 向东北方向以每秒6米的速度逃窜， 如果猫由B 向正东方向以每秒10米速度追赶，那么猫能否抓到老鼠？为什么？【设计意图】创设情境，建构概念。

通过学生熟悉的问题情境引发学生思考。

只有大小，没有方向的量，并不能确定具体的位置，从而指出速度是一个既有大小、又有方向的量，凸◆教材分析 ◆教学目标◆教学重难点◆◆课前准备 ◆教学过程A B显向量的两大要素，同时引出向量的概念。

【预设师生活动】（1）学生：猫的速度虽然比老鼠的速度大，但方向不对，所以无法抓到老鼠。

（2）老师：你能否再举出一些既有大小、又有方向的量？（3）学生：重力、浮力、弹力、位移……（4）老师：生活中有没有只有大小、没有方向的量？（5）学生：年龄、身高、面积、体积等。

（6）老师：回顾学习数的概念，我们从一本书、一支笔、一棵树……中抽象出只有大小的数量“1”。

类似地，我们可以对力、位移……这些既有大小、又有方向的量进行抽象，形成一种新的量。

2019-2020年高中数学平面向量复习课精品教案集新人教A版一、教学目标1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。

2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。

4. 了解向量形式的三角形不等式：|||-||≤|±|≤||+||(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(||+||)=|－|+|+|.5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向量的坐标概念和坐标表示法7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）8. 数量积（点乘或内积）的概念，·=||||cos=xx+yy注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、知识与方法向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直三、典型例题例1.对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜(3)两个非零向量与共线时，①与同向，则+的方向与.相同且｜+｜=｜｜＋｜｜.②与异向时，则+的方向与模较大的向量方向相同，设||＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。

例2 已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设=，=，=，且||=2，||=1，| |=3，用与表示解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中, 是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-），也就是= －, =， =-3所以-3=3+|即=3－3例3.下面5个命题：①|·|=||·||②(·)=·③⊥(－)，则·=·④·=0，则|+|=|－|⑤·=0，则=或=，其中真命题是（）A①②⑤ B ③④C①③D②④⑤三、巩固训练1.下面5个命题中正确的有（）①=·=·；②·=·=；③·（+）=·+·；④·（·）=（·）·；⑤.A..①②⑤B.①③⑤C. ②③④D. ①③2.下列命题中，正确命题的个数为（A ）①若与是非零向量，且与共线时，则与必与或中之一方向相同；②若为单位向量，且∥则=||③··=|| ④若与共线，与共线，则与共线；⑤若平面内四点A.B.C.D，必有+=+A 1B 2C 3D 43.下列5个命题中正确的是①对于实数p,q和向量,若p=q则p=q②对于向量与，若||=||则=③对于两个单位向量与，若|+|=2则=④对于两个单位向量与，若k=，则=4.已知四边形ABCD的顶点分别为A(2,1)，B(5,4)，C(2,7)，D(-1,4),求证：四边形ABCD为正方形。

平面向量一、平面向量的实际背景与基本概念 1．（ P85例2）如图1，设O 是正六边形的中心，分别写出图中与OA u u u r 、OB u u u r 、OC u u u r相等的向量。

变式1：如图1，设O 是正六边形的中心，分别写出图中与OD u u u r 、DC u u u r共线的向量。

变式2：如图2，设O 是正六边形的中心，分别写出图中与DA u u u r的模相等的向量以及方向相同的向量。

二、平面向量的线性运算 2.（第96页例4）如图，在平行四边形ABCD 中，AB =u u u r a ，AD =u u u rb ，你能用a ，b 表示向量 AC u u u r ，DB u u u r吗？变式1：如图，在五边形ABCDE 中，AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，CD =u u u r c ，EA =u u u rd ， 试用a ，b ， c ， d 表示向量CE u u u r 和DE u u u r. 解：CE BE CB BA AE CB =+=++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r( a + b + d )()DE EA AB BC CD =-+++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r( d + a + b +c )变式2：如图，在平行四边形ABCD 中，若，OA =u u u r a ，OB =u u u rb 则下列各表述是正确的为（ ）A ．OA OB AB +=u u u r u u u r u u u r B ．OC OD AB +=u u u r u u u r u u u r C ．CD =-u u u r a + b D ．BC =-u u u r(a + b )正确答案：选D变式3：已知OA =a ，OB =b, OC =c ,OD =d , 且四边形ABCD 为平行四边形，则（ ）D EC ABC B AC O FD E图1图2A. a +b +c +d =0B. a －b +c －d =0C. a +b －c －d =0D. a －b －c +d =0正确答案：选A变式4：在四边形ABCD 中，若12AB CD =-u u u r u u ur ，则此四边形是( )A ．平行四边形B ．菱形C ．梯形D ．矩形 正确答案：选C变式5：已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a －b )垂直的 （ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件正确答案：选C变式6：在四边形ABCD 中，AB =a +2b ，BC =－4a －b ，CD =－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为（ ）A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形【解析】 ∵AD =CD BC AB ++=－8a －2b =2BC ，∴BC AD //.∴四边形ABCD 为梯形.正确答案：选C变式7：已知菱形ABCD ，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP 等于（ ） A.λ(AB +AD ),λ∈(0,1)B.λ(AB +BC ),λ∈(0,22) C.λ(AB －AD ),λ∈(0,1)D.λ(BC AB -),λ∈(0,22)【解析】 由向量的运算法则AC =AB +AD ，而点P 在对角线AC 上，所以AP 与AC 同向，且|AP |＜|AC |,∴AP =λ(AB +AD ),λ∈(0,1).正确答案：选 A变式8：已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC =a r ，CA =b r，AB =c r ,则下列各式： ①EF =21c r －21b r②BE =a r +21b r ③CF =－21a r +21b r④AD +BE +CF =0r其中正确的等式的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4 正确答案：选B 3．（第98页例6） 如图，已知任意两个非零向量a 、b ，试作OA =u u u r a + b ，OB =u u u ra + 2b ， baOC =u u u ra + 3b ，你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗？为什么？变式1：已知OA =u u u r a + 2b ，OB =u u u r 2a + 4b ，OC =u u u r3a + 6b (其中a 、b 是两个任意非零向量) ，证明：A 、B 、C 三点共线．证明：∵AB OB OA =-=u u u r u u u r u u u r a + 2b ，AC OC OA =-=u u u r u u u r u u u r2a + 4b ，∴ 2AC AB =u u u r u u u r所以，A 、B 、C 三点共线．变式2：已知点A 、B 、C 在同一直线上，并且OA =u u u r a + b ，(2)OB m =-u u u r a + 2b ，(1)OC n =+u u u ra+ 3b (其中a 、b 是两个任意非零向量) ，试求m 、n 之间的关系．解：(3)AB OB OA m =-=-u u u r u u u r u u u ra +b ，AC OC OA n =-=u u u r u u u r u u u r a + 2b 由A 、B 、C 三点在同一直线上可设AB k AC =u u u r u u u r，则 (3)21m kn k -=⎧⎨=⎩ 所以 1(3)2m n -= 即 260m n --=为所求．4．（第102页第13题）已知四边形ABCD ，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：EF HG =u u u r u u u r变式1：已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ，求证：2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r .证明：如图，连接EB 和EC ， 由EA AB EB +=u u u r u u u r u u u r 和EF FB EB +=u u u r u u u r u u u r 可得，EA AB EF FB +=+u u u r u u u r u u u r u u u r（1）由ED DC EC +=u u u r u u u r u u u r 和EF FC EC +=u u u r u u u r u u u r 可得，ED DC EF FC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r（2） （1）+（2）得， 2EA ED AB DC EF FB FC +++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（3）∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴0EA ED +=u u u r u u u r r ，0FB FC +=u u u r u u u r r，代入（3）式得，2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r三、平面向量的基本定理及坐标表示2.（第109页例6）已知a = (4，2)，b = (6，y )，且a // b ，求 y ． 变式1：与向量a = (12，5) 平行的单位向量为（ ）A ．1251313⎛⎫⎪⎝⎭，- B ．1251313⎛⎫- ⎪⎝⎭，-C ．1251313⎛⎫⎪⎝⎭， 或1251313⎛⎫- ⎪⎝⎭，- D ．1251313⎛⎫- ⎪⎝⎭， 或1251313⎛⎫ ⎪⎝⎭，-正确答案：选C变式2：已知a (1,2)=，b (),1x =，当a +2b 与2a －b 共线时，x 值为 （ ）A ．1B ．2C ．13 D ．12正确答案：选D 变式3：已知A (0,3) 、B (2,0) 、C (－1,3) 与AC AB 2+方向相反的单位向量是( )A ．(0,1)B ．(0,－1)C ． (－1,1)D ．(1,－1) 正确答案：选A变式4：已知a = (1，0)，b = (2，1) ．试问：当k 为何实数时， k a －b 与a +3b 平行, 平行时它们是同向还是反向？解：因为 k a －b ()21k =--，，a +3b ()73=，．由已知得，()3270k -+= 解得 13k =-，此时，k a －b 713⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，a +3b ()73=，，二者方向相反． 2.（第110页例8）设点P 是线段12PP 上的一点，1P 、2P 的坐标分别为()11y x ，，()22y x ，． (1) 当点P 是线段12PP 上的中点时，求点P 的坐标； (2) 当点P 是线段12PP 的一个三等分点时，求P 的坐标变式1：已知两点()3,2M ，()5,5N --，12MP MN =u u u r u u u u r，则P 点坐标是 （ ）A ．()8,1-B ．31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()8,1- 正确答案：选B变式2：如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点，若OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，则OP u u u r ＝ 133+b ，OQ u u u r ＝ 233+b (用a 、b 表示)四、平面向量的数量积5．（第116页例3）已知|a |＝6，|b | ＝4且a 与b 的夹角为60︒，求 (a + 2b)·(a 3-b ) ．变式1：已知()()3,4,223,a b a b a b ==++=r r r r r rg 那么a r 与b r 夹角为A 、60︒B 、90︒C 、120︒D 、150︒ 正确答案：选C变式2：已知向量a 和b 的夹角为60°，| a | ＝ 3，| b | ＝ 4，则（2a – b ）·a 等于 （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 正确答案：选B变式3：在△ABC 中，已知|AB |=4，|AC |=1，S △ABC =3，则AB ·AC 等于（ ）A.－2B.2C.±2D.±4 正确答案：选C变式4：设向量2172e e t +与向量21e t e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围. 解：∵0))(72(2121<++e t e e e t ，故071522<++t t ，解之217-<<-t ． 另有λλt t ==7,2，解之14,214-=-=λt ，∴)21,214()214,7(--⋃--∈t ．2.（第116页例4）已知|a |＝3，|b | ＝4且a 与b 不共线，k 为何实数时，向量a + k b 与a k -b 互相垂直？变式1：已知a ⊥b ，|a |＝2，|b | ＝3，且向量3a + 2b 与k a -b 互相垂直，则k 的值为（ ）A ．32-B ．32C ．32± D ．1正确答案：选B 变式2：已知|a |＝1，|b | ＝2且（a －b ）⊥a ，则a 与b 夹角的大小为 45º ． 2.（第119页 第11题）已知a = (4，2)，求与向量a 垂直的单位向量的坐标． 变式1：若i = (1,0), j =(0,1)，则与2i +3j 垂直的向量是 ( )A ．3i +2jB ．－2i +3jC ．－3i +2jD ．2i －3j 正确答案：选C变式2：已知向量)1,1(=a ，)3,2(-=b ，若b a k 2-与a 垂直，则实数k =（ ）A ．1B ．－1C ．0D ．2 正确答案：选B 变式3：若非零向量b a ,互相垂直，则下列各式中一定成立的是 （ ）A ．b a b a -=+B ．||||b a b a -=+C ．0))((=-+b a b aD ．0)(2=-b a 正确答案：选B变式4：已知向量a ＝（3，－4），b ＝（2，x ）， c ＝（2，y ）且a ∥b ，a ⊥c ．求|b －c |的值．解：∵ a ∥b ，∴ 3x ＋8＝0． ∴x ＝38-． ∴ b ＝（2， 38-） ． ∵ a ⊥c ， ∴ 6－4y ＝0． ∴ y ＝23． ∴ c ＝（2， 23）．而b －c ＝（2，38-）－（2，23）＝（0，－256），∴ |b －c |＝256．（第118页例5）已知A (1，2)，B (2，3)，C (2-，5)，试判断ABC ∆的形状，并给出证明．变式1：O 是ABC ∆所在的平面内的一点，且满足()()0OB OC OC OA -⋅-=u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABC ∆一定为（ ）A ．正三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．斜三角形 正确答案：选C变式2：已知A 、B 、C 三点不共线，O 是△ABC 内的一点，若OA ＋OB ＋OC ＝0，则O 是△ABC 的（ ） A ． 重心 B ． 垂心C ． 内心D ． 外心正确答案：选A变式3：已知02=+⋅AB BC AB ，则△ABC 一定是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形 正确答案：选B变式4：四边形ABCD 中，)3,2(),,(),1,6(--===CD y x BC AB （1）若DA BC //，试求x 与y 满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有BD AC ⊥，求y x ,的值及四边形ABCD 的面积。

平面向量的应用【第一课时】教学重难点教学目标核心素养向量在平面几何中的应用会用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题数学建模、逻辑推理向量在物理中的应用会用向量方法解决物理中的速度、力学问题数学建模、数学运算【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．利用向量可以解决哪些常见的几何问题？2．如何用向量方法解决物理问题？二、新知探究探究点1：向量在几何中的应用角度一：平面几何中的垂直问题例1：如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE ．证明：法一：设AD → ＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a·b ＝0，又DE → ＝DA → ＋AE → ＝－a ＋12b ，AF → ＝AB → ＋BF →＝b ＋12a ，所以AF → ·DE →＝(b ＋12a )·(－a ＋12b )＝－12a 2－34a ·b ＋12b 2＝－12|a |2＋12|b |2＝0．故AF → ⊥DE →，即AF ⊥DE ．法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A （0，0），D （0，2），E （1，0），F （2，1），AF → ＝（2，1），DE →＝（1，－2）．因为AF → ·DE →＝（2，1）·（1，－2）＝2－2＝0，所以AF → ⊥DE →，即AF ⊥DE ．角度二：平面几何中的平行（或共线）问题：如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AF FB ＝12．求证：点E ，O ，F 在同一直线上．证明：设AB → ＝m ，AD →＝n ，由CE ED ＝AF FB ＝12，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点，所以FO → ＝FA → ＋AO → ＝13BA → ＋12AC→ ＝－13m ＋12（m ＋n ）＝16m ＋12n ，OE → ＝OC → ＋CE → ＝12AC → ＋13CD → ＝12（m ＋n ）－13m ＝16m ＋12n ．所以FO → ＝OE → ．又O 为FO → 和OE →的公共点，故点E ，O ，F 在同一直线上．角度三：平面几何中的长度问题：如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解：设AD → ＝a ，AB → ＝b ，则BD → ＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD →|＝|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ＝2，所以5－2a ·b ＝4，所以a ·b ＝12，又|AC → |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋4＋2a ·b ＝6，所以|AC→|＝6，即AC ＝6．用向量方法解决平面几何问题的步骤向量在物理中的应用：（1）在长江南岸某渡口处，江水以12．5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25km/h ．渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？（2）已知两恒力F 1＝（3，4），F 2＝（6，－5）作用于同一质点，使之由点A （20，15）移动到点B （7，0），求F 1，F 2分别对质点所做的功．解：（1）如图，设AB → 表示水流的速度，AD → 表示渡船的速度，AC →表示渡船实际垂直过江的速度．因为AB → ＋AD → ＝AC →，所以四边形ABCD 为平行四边形．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，|DC → |＝|AB →|＝12．5．|AD →|＝25，所以∠CAD ＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°．（2）设物体在力F 作用下的位移为s ，则所做的功为W ＝F ·s ．因为AB →＝（7，0）－（20，15）＝（－13，－15）．所以W 1＝F 1·AB →＝（3，4）·（－13，－15）＝3×（－13）＋4×（－15）＝－99（焦），W 2＝F 2·AB →＝（6，－5）·（－13，－15）＝6×（－13）＋（－5）×（－15）＝－3（焦）．用向量方法解决物理问题的“三步曲”三、课堂总结1．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤”2．向量在物理学中的应用（1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决．（2）物理学中的功是一个标量，即为力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F ||s |cos θ（θ为F 与s 的夹角）．四、课堂检测1．河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为（ ）A ．10 m/sB ．226 m/sC ．46 m/sD ．12 m/s解析：选B ．由题意知|v 水|＝2 m/s ，|v 船|＝10 m/s ，作出示意图如图．所以小船在静水中的速度大小|v |＝102＋22＝226（m/s ）．2．已知三个力f 1＝（－2，－1），f 2＝（－3，2），f 3＝（4，－3）同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝（ ）A ．（－1，－2）B ．（1，－2）C ．（－1，2）D ．（1，2）解析：选D ．由物理知识知f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝－（f 1＋f 2＋f 3）＝（1，2）．3．设P ，Q 分别是梯形ABCD 的对角线AC 与BD 的中点，AB ∥DC ，试用向量证明：PQ ∥AB ．证明：设DC → ＝λAB → （λ＞0且λ≠1），因为PQ → ＝AQ → －AP → ＝AB → ＋BQ → －AP → ＝AB → ＋12（BD → －AC →）＝AB → ＋12[（AD → －AB → ）－（AD → ＋DC → ）]＝AB → ＋12（CD → －AB → ）＝12（CD → ＋AB → ）＝12（－λ＋1）AB → ，所以PQ → ∥AB →，又P ，Q ，A ，B 四点不共线，所以PQ ∥AB ．【第二课时】教学重难点教学目标核心素养余弦定理了解余弦定理的推导过程逻辑推理余弦定理的推论掌握余弦定理的几种变形公式及应用数学运算三角形的元素及解三角形能利用余弦定理求解三角形的边、数学运算角等问题【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．余弦定理的内容是什么？2．余弦定理有哪些推论？二、新知探究已知两边及一角解三角形：（1）（2018·高考全国卷Ⅱ）在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝（ ）A ．42B ．30C ．29D ．25（2）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3解析：（1）因为cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×(－35)＝32，所以AB ＝42，故选A ．（2）由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ，因为cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0，所以b ＝3(b ＝－13舍去)．故选D ．答案：（1）A （2）D 互动探究：变条件：将本例（2）中的条件“a ＝5，c ＝2，cos A ＝23”改为“a ＝2，c ＝23，cos A ＝32”，求b 为何值？解：由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以22＝b2＋（23）2－2×b×23×3 2，即b2－6b＋8＝0，解得b＝2或b＝4．规律方法：解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤（1）用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长．（2）再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．探究点2：已知三边（三边关系）解三角形：（1）在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝19，则最大角与最小角的和为（）A．90°B．120°C．135°D．150°（2）在△ABC中，若（a＋c）（a－c）＝b（b－c），则A等于（）A．90°B．60°C．120°D．150°解析：（1）在△ABC中，因为a＝3，b＝5，c＝19，所以最大角为B，最小角为A，所以cos C＝a2＋b2－c22ab＝9＋25－192×3×5＝12，所以C＝60°，所以A＋B＝120°，所以△ABC中的最大角与最小角的和为120°．故选B．（2）因为（a＋c）（a－c）＝b（b－c），所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝12．因为A∈（0°，180°），所以A＝60°．答案：（1）B（2）B已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．注意：若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解．探究点3：判断三角形的形状：在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状．解：将已知等式变形为b 2（1－cos 2C ）＋c 2（1－cos 2B ）＝2bc cos B cos C ．由余弦定理并整理，得b 2＋c 2－b 2(a 2＋b 2－c 22ab )2 －c 2(a 2＋c 2－b 22ac)2＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c 22ab，所以b 2＋c 2＝[（a 2＋b 2－c 2）＋（a 2＋c 2－b 2）]24a 2＝4a 44a 2＝a 2．所以A ＝90°．所以△ABC 是直角三角形．规律方法：（1）利用余弦定理判断三角形形状的两种途径①化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断．②化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断．（2）判断三角形时经常用到以下结论①△ABC 为直角三角形⇔a 2＝b 2＋c 2或c 2＝a 2＋b 2或b 2＝a 2＋c 2．②△ABC 为锐角三角形⇔a 2＋b 2＞c 2，且b 2＋c 2＞a 2，且c 2＋a 2＞b 2．③△ABC 为钝角三角形⇔a 2＋b 2＜c 2或b 2＋c 2＜a 2或c 2＋a 2＜b 2．④若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2．三、课堂总结1．余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号语言a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_Ab 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C2．余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ．3．三角形的元素与解三角形（1）三角形的元素三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．（2）解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．四、课堂检测1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝（ ）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°解析：选B ．cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋64－492×5×8＝12．所以B ＝60°，所以A ＋C ＝120°．2．在△ABC 中，已知（a ＋b ＋c ）（b ＋c －a ）＝3bc ，则角A 等于（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选B ．因为（b ＋c ）2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°．3．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足（a ＋b ）2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab ＝________．解析：因为C ＝60°，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°，即c 2＝a 2＋b 2－ab ．①又因为（a ＋b ）2－c 2＝4，所以c 2＝a 2＋b 2＋2ab －4．②由①②知－ab ＝2ab －4，所以ab ＝43．答案：434．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab＝0，通分得a 2（b 2＋c 2－a 2）＋b 2（a 2＋c 2－b 2）＋c 2（c 2－a 2－b 2）＝0，展开整理得（a 2－b 2）2＝c 4．所以a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2．根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．【第三课时】教学重难点教学目标核心素养正弦定理通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法逻辑推理【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？2．正弦定理的内容是什么？二、新知探究已知两角及一边解三角形：在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形．【解】因为A ＝45°，C ＝30°，所以B ＝180°－（A ＋C ）＝105°．由a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝102．因为sin 75°＝sin （30°＋45°）＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64，所以b ＝c sin B sin C ＝10×sin （A ＋C ）sin 30°＝20×2＋64＝52＋56．已知三角形的两角和任一边解三角形的思路（1）若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角．（2）若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．已知两边及其中一边的对角解三角形　已知△ABC 中的下列条件，解三角形：（1）a ＝10，b ＝20，A ＝60°；（2）a ＝2，c ＝6，C ＝π3．解：（1）因为b sin B ＝asin A ，所以sin B ＝b sin A a ＝20sin 60°10＝3>1，所以三角形无解．（2）因为a sin A ＝c sin C ，所以sin A ＝a sin C c ＝22．因为c ＞a ，所以C ＞A ．所以A ＝π4．所以B ＝5π12，b ＝ c sin B sin C＝6·sin 5π12sin π3＝3＋1．互动探究：变条件：若本例（2）中C ＝π3改为A ＝π4，其他条件不变，求C ，B, b ．解：因为a sin A ＝c sin C ，所以sin C ＝c sin A a ＝32．所以C ＝π3或2π3．当C ＝π3时，B ＝5π12，b ＝a sin B sin A ＝3＋1．当C ＝2π3时，B ＝π12，b ＝a sin B sin A ＝3－1．（1）已知两边及其中一边的对角解三角形的思路①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．（2）已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；②在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A 的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：A为钝角A为直角A为锐角a>b一解一解一解a＝b无解无解一解a>b sin A两解a＝b sin A一解a<b无解无解a<b sin A无解判断三角形的形状：已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若a cos B＝b cos A，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：由正弦定理得：a cos B＝b cos A⇒sin A cos B＝sin B cos A⇒sin（A－B）＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．答案：A互动探究：变条件：若把本例条件变为“b sin B＝c sin C”，试判断△ABC的形状．解：由b sin B＝c sin C可得sin2B＝sin2C，因为三角形内角和为180°，所以sin B＝sin C．所以B＝C．故△ABC为等腰三角形．判断三角形形状的两种途径注意：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．三、课堂总结1．正弦定理条件在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 结论a sin A ＝b sin B ＝c sin C文字叙述在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等■名师点拨对正弦定理的理解（1）适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．（2）结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．（3）揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．2．正弦定理的变形若R 为△ABC 外接圆的半径，则（1）a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；（2）sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；（3）sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；（4）a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ．四、课堂检测1．（2019·辽宁沈阳铁路实验中学期中考试）在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，B ＝60°，则cos C ＝（ ）A ．33B ．63C ．32D ．62解析：选B ．由正弦定理，得ABsin C ＝ACsin B ，即2sin C ＝3sin 60°，解得sin C ＝33．因为AB ＜AC ，所以C ＜B ，所以cos C ＝1－sin 2C ＝63．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝（ ）A ．1∶2∶3B ．3∶2∶1C ．2∶3∶1D ．1∶3∶2解析：选D ．在△ABC 中，因为A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，所以B ＝2A ，C ＝3A ，又A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，所以a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶3∶2．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝（2a －b ）cos A ，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D ．已知c －a cos B ＝（2a －b ）cos A ，由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以sin （A ＋B ）－sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，化简得cos A （sin B －sin A ）＝0，所以cos A ＝0或sin B －sin A ＝0，则A ＝90°或A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．【第四课时】教学重难点教学目标核心素养测量中的术语理解测量中的基线等有关名词、术语的确切含义直观想象测量距离、高度、角度问题会利用正、余弦定理解决生产实践中的有关距离、高度、角度等问题数学建模【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．什么是基线？2．基线的长度与测量的精确度有什么关系？3．利用正、余弦定理可解决哪些实际问题？二、新知探究测量距离问题：海上A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C岛和A 岛成75°的视角，则B 岛与C 岛间的距离是________．解析：如图，在△ABC 中，∠C ＝180°－（∠B ＋∠A ）＝45°，由正弦定理，可得BC sin 60°＝ABsin 45°，所以BC ＝32×10＝56（海里）．答案：56海里变条件：在本例中，若“从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角”改为“A ，C 两岛相距20海里”，其他条件不变，又如何求B 岛与C 岛间的距离呢？解：由已知在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝20，∠BAC ＝60°，即已知两边和两边的夹角，利用余弦定理求解即可．BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 60°＝102＋202－2×10×20×12＝300．故BC ＝103．即B ，C 间的距离为103海里．测量距离问题的解题思路求解测量距离问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．构造数学模型时，尽量把已知元素放在同一个三角形中．测量高度问题：如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m ．解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°．又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC ＝300 2 m ．在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006（m ）．答案：6互动探究：变问法：在本例条件下，汽车在沿直线AB 方向行驶的过程中，若测得观察山顶D 点的最大仰角为α，求tan α的值．解：如图，过点C ，作CE ⊥AB ，垂足为E ，则∠DEC ＝α，由例题可知，∠CBE ＝75°，BC ＝3002，所以CE ＝BC ·sin ∠CBE ＝2sin 75°＝2×2＋64＝150＋3．所以tan α＝DC CE ＝1006150＋1503＝32－63．测量高度问题的解题思路高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高度．测量角度问题：岛A 观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行（如图所示），观察站即刻通知在岛A 正南方向B 处巡航的海监船前往检查．接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C 处，随即以每小时103海里的速度前往拦截．（1）问：海监船接到通知时，在距离岛A 多少海里处？（2）假设海监船在D 处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间．解：（1）根据题意得∠BAC ＝45°，∠ABC ＝75°，BC ＝10，所以∠ACB ＝180°－75°－45°＝60°，在△ABC 中，由AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC，得AB ＝BC sin ∠ACB sin ∠BAC＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝56．所以海监船接到通知时，在距离岛A 5 6 海里处．（2）设海监船航行时间为t 小时，则BD＝103t ，CD ＝10t ，又因为∠BCD ＝180°－∠ACB ＝180°－60°＝120°，所以BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos 120°，所以300t 2＝100＋100t 2－2×10×10t ·(－12)，所以2t 2－t －1＝0，解得t ＝1或t ＝－12（舍去）．所以CD ＝10，所以BC ＝CD ，所以∠CBD ＝12（180°－120°）＝30°，所以∠ABD ＝75°＋30°＝105°．所以海监船沿方位角105°航行，航行时间为1个小时．（或海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1个小时）测量角度问题的基本思路（1）测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，在图形中标出相关的角和距离．（2）根据实际选择正弦定理或余弦定理解三角形，然后将解得的结果转化为实际问题的解．三、课堂总结1．基线在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线实际测量中的有关名称、术语名称定义图示仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°）南偏西60°（指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角）方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角四、课堂检测1．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的（）A．东偏北45°10′方向上B．东偏北45°50′方向上C．南偏西44°50′方向上D．西偏南45°50′方向上解析：选C．如图所示．2．如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD＝200米，点C位于BD上，则山高AB等于（）A．1002米B．50（3＋1）米C．100（3＋1）米D．200米解析：选C．设AB＝x米，在Rt△ACB中，∠ACB＝45°，所以BC＝AB＝x．在Rt△ABD中，∠D＝30°，则BD＝3AB＝3x．因为BD－BC＝CD，所以3x－x＝200，解得x＝100（3＋1）．故选C．3．已知台风中心位于城市A 东偏北α（α为锐角）度的150公里处，以v 公里/小时沿正西方向快速移动，2．5小时后到达距城市A 西偏北β（β为锐角）度的200公里处，若cos α＝34cos β，则v ＝（ ）A ．60B ．80C ．100D ．125解析：选C ．画出图象如图所示，由余弦定理得（2．5v ）2＝2002＋1502＋2×200×150cos（α＋β）①，由正弦定理得150sin β＝200sin α，所以sin α＝43sin β．又cos α＝34cos β，sin 2 α＋cos 2α＝1，解得sin β＝35，故cos β＝45，sin α＝45，cos α＝35，故cos （α＋β）＝1225－1225＝0，代入①解得v ＝100．4．某巡逻艇在A 处发现在北偏东45°距A 处8海里处有一走私船，正沿南偏东75°的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以123海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇的航行方向．解：设经过t 小时在点C 处刚好追上走私船，依题意：AC ＝123t ，BC ＝12t ，∠ABC ＝120°，在△ABC 中，由正弦定理得123tsin 120°＝12t sin ∠BAC，所以sin ∠BAC ＝12，所以∠BAC ＝30°，所以AB ＝BC ＝8＝12t ，解得t ＝23，航行的方向为北偏东75°．即巡逻艇最少经过23小时可追到走私船，沿北偏东75°的方向航行．。

平面向量的概念【教学重难点】【教学目标】【核心素养】平面向量的相关概念了解平面向量的实际背景，理解平面向量的相关概念数学抽象平面向量的几何表示掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念数学抽象相等向量与共线向量理解两个向量相等的含义以及共线向量的概念数学抽象、逻辑推理【教学过程】一、问题导入预习教材P2－P4的内容，思考以下问题：1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？3．两个向量（向量的模）能否比较大小？4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB → 与向量BA →是相等向量吗？二、新知探究1．向量的相关概念例1：给出下列命题：①若AB → ＝DC → ，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点；②在▱ABCD 中，一定有AB → ＝DC →；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ．其中所有正确命题的序号为________．解析：AB → ＝DC → ，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故①不正确；在▱ABCD 中，|AB → |＝|DC → |，AB → 与DC → 平行且方向相同，故AB → ＝DC →，故②正确；a ＝b ，则|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |，且b 与c 的方向相同，则a 与c 长度相等且方向相同，故a ＝c ，故③正确．答案：②③教师小结（1）判断一个量是否为向量的两个关键条件①有大小；②有方向．两个条件缺一不可．（2）理解零向量和单位向量应注意的问题①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．2．向量的表示例2：在如图所示的坐标纸上（每个小方格的边长为1），用直尺和圆规画出下列向量：（1）OA → ，使|OA → |＝42，点A 在点O 北偏东45°方向上；（2）AB → ，使|AB → |＝4，点B 在点A 正东方向上；（3）BC → ，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°方向上．解：（1）由于点A 在点O 北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA → |＝42，小方格的边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 的位置可以确定，画出向量OA → ，如图所示．（2）由于点B 在点A 正东方向上，且|AB → |＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 的位置可以确定，画出向量AB → ，如图所示．（3）由于点C 在点B 北偏东30°方向上，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 的位置可以确定，画出向量BC →，如图所示．教师小结：用有向线段表示向量的步骤3．共线向量与相等向量例3：如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA → ＝a ，OB →＝b ，在每两点所确定的向量中．（1）与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？（2）与a 共线的向量有哪些？解：（1）与a 的长度相等、方向相反的向量有OD → ，BC → ，AO → ，FE → ．（2）与a 共线的向量有EF → ，BC → ，OD → ，FE → ，CB → ，DO → ，AO → ，DA → ，AD →．互动探究：（1）变条件、变问法：本例中若OC →＝c ，其他条件不变，试分别写出与a ，b ，c 相等的向量．解：与a 相等的向量有EF → ，DO → ，CB → ；与b 相等的向量有DC → ，EO → ，FA → ；与c 相等的向量有FO → ，ED → ，AB → ．（2）变问法：本例条件不变，与AD → 共线的向量有哪些？解：与AD → 共线的向量有EF → ，BC → ，OD → ，FE → ，CB → ，DO → ，AO → ，DA → ，OA →．教师小结共线向量与相等向量的判断（1）如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量．（2）共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．（3）非零向量的共线具有传递性，即向量a ，b ，c 为非零向量，若a ∥b ，b ∥c ，则可推出a ∥c ．注意：对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．【课堂总结】1．向量的概念及表示（1）概念：既有大小又有方向的量．（2）有向线段①定义：具有方向的线段．②三个要素：起点、方向、长度．③表示：在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB → ．④长度：线段AB 的长度也叫做有向线段AB → 的长度，记作|AB →|．（3）向量的表示2．向量的有关概念（1）向量的模（长度）：向量AB → 的大小，称为向量AB → 的长度（或称模），记作|AB →|．（2）零向量：长度为0的向量，记作0．（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量．3．两个向量间的关系（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a ，b 是平行向量，记作a ∥b ．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a ．（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a ，b 是相等向量，记作a ＝b ．■名师点拨（1）平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．（2）共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．（3）平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．【课堂检测】1．如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，图中与AE →平行的向量的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ．图中与AE → 平行的向量为BE → ，FD → ，FC →共3个．2．下列结论中正确的是（ ）①若a ∥b 且|a |＝|b |，则a ＝b ；②若a ＝b ，则a ∥b 且|a |＝|b |；③若a 与b 方向相同且|a |＝|b |，则a ＝b ；④若a ≠b ，则a 与b 方向相反且|a |≠|b |．A ．①③B ．②③C ．③④D ．②④解析：选B ．两个向量相等需同向等长，反之也成立，故①错误，a ，b 可能反向；②③正确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等或者不同向且长度不相等．3．已知O 是正方形ABCD 对角线的交点，在以O ，A ，B ，C ，D 这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：（1）与BC → 相等的向量；（2）与OB → 长度相等的向量；（3）与DA →共线的向量．解：画出图形，如图所示．（1）易知BC ∥AD ，BC ＝AD ，所以与BC → 相等的向量为AD →．（2）由O 是正方形ABCD 对角线的交点知OB ＝OD ＝OA ＝OC ，所以与OB → 长度相等的向量为BO → ，OC → ，CO → ，OA → ，AO → ，OD → ，DO → ．（3）与DA → 共线的向量为AD → ，BC → ，CB → ．。

平面向量的基本定理与坐标表示1．了解平面向量的基本定理及其意义，了解基底的概念，会进行向量的正交分解及其坐标表示．2．理解平面向量坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算，会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．3．理解用坐标表示的平面向量共线的条件，能用向量的坐标形式判断两向量及三点是否共线．知识梳理1．平面向量的基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝ λ1e 1＋λ2e 2 ，我们把 不共线 的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内的所有向量的一组 基底 .2．正交分解把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量，叫做把向量正交分解． 3．向量的直角坐标在平面直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴 方向相同 的两个 单位 向量i ，j 作为基底，对于平面内的向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ， (x ，y ) 就叫做在基底i ，j 下的坐标．4．向量的直角坐标运算 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ＋b ＝ (x 1＋x 2，y 1＋y 2) ； (2)a －b ＝ (x 1－x 2，y 1－y 2) ；(3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝ (λx ，λy ) ； (4)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝ (x 2－x 1，y 2－y 1) . 5．平面向量共线的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(b ≠0)，则a ∥b 的充要条件是 x 1y 2－x 2y 1＝0 .1．若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0. 2．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，如果x 2，y 2≠0，则a∥b x 1x 2＝y 1y 2. 3．中点与重心的坐标公式(1)若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P (x ，y )为P 1P 2的中点，则点P 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)； (2)设三角形的三个顶点的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，重心G 的坐标为(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．热身练习1．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是(B) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)由题意知，A 选项中e 1＝0.C ，D 项中的两向量均共线，都不符合基底条件，故选B.事实上，a ＝(3,2)＝2e 1＋e 2.2．设i ，j 分别为与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，若a ＝2i ＋3j ，则向量a 的坐标为(A)A ．(2,3)B ．(3,2)C ．(－2，－3)D ．(－3，－2)由向量坐标的定义可知a 的坐标为(2,3)．3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c ＝(B) A ．－12a ＋32b B.12a －32b C ．－32a ＋12b D.32a ＋12b由平面向量的基本定理可知，可设c ＝x a ＋y b.即(－1,2)＝x (1,1)＋y (1，－1)．所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＝x ＋y ，2＝x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－32.所以c ＝12a －32b .4．(2018·长春二模)已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋2b|＝(A) A ．3 2 B ．3 C ．2 2 D ．5由题意a ＋2b ＝(－3，－3)，所以|a ＋2b|＝－32＋－32＝32.5．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝ －6 .因为a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ，所以－2m －4×3＝0，所以m ＝－6.平面向量基本定理的应用向量a ，b ，c 在正方形网中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.以向量a ，b 的公共点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，可得a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)， 因为c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)＝(－λ＋6μ，λ＋2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.4(1)平面内的任何向量都可由基底唯一表示出来，因此，若有c ＝λa ＋μb ，则可转化为确定待定参数λ，μ的问题，从而可通过建立方程组利用解方程的方法进行解决．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．1．(2018·洛阳三模)如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝(D)A ．2 B.83C.65D.85因为AC →＝λAM →＋μBN → ＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BC →＋CN →) ＝λ(AB →＋12AD →)＋μ(AD →－12AB →)＝(λ－12μ)AB →＋(12λ＋μ)AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1，12λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，所以λ＋μ＝85.向量的坐标运算(1)已知平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(1,0)，(0,2)，(－1，－2)，则顶点D 的坐标为__________．(2)向量a ＝(2，－9)，向量b ＝(－3，3)，则与a －b 同向的单位向量为( ) A ．(513，－1213) B ．(－513，1213)C ．(1213，－513)D ．(－1213，513)(1)设D 的坐标为(x ，y )，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB →＝DC →， 所以(0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x ，y )， 所以(－1,2)＝(－1－x ，－2－y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1－x ＝－1，－2－y ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－4，所以D 的坐标为(0，－4)．(2)由已知得a －b ＝(2，－9)－(－3,3)＝(5，－12)． 所以|a －b|＝52＋－2＝13，所以与a －b 同向的单位向量为113(a －b )＝(513，－1213)．(1)(0，－4) (2)A(1)向量相等就是两向量的坐标对应相等． (2)利用向量的坐标运算可将向量问题代数化． (3)注意如下结论的运用：①当向量的起点在原点时，P 点的坐标就是向量OP →的坐标； ②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)； ③与AB →同向的单位向量为AB →|AB →|.2．(1)(经典真题)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝(A) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)(2)(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝ 12.(1)设C (x ，y )，则AC →＝(x －0，y －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －0＝－4，y －1＝－3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，得C (－4，－2)，所以BC →＝(－4－3，－2－2)＝(－7，－4)． (2)由题易得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.向量共线、平面向量的基本定理的应用如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，试用向量方法求AC 和OB 交点P 的坐标．(方法一)由O ，P ，B 三点共线， 可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)， 因为AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)， 又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34，所以OP →＝λOB →＝34(4,4)＝(3,3)．(方法二)设P (x ，y )， 则OP →＝(x ，y )，OB →＝(4,4)，因为OP →，OB →共线，所以4x －4y ＝0，① 又CP →＝(x －2，y －6)，CA →＝(2，－6)，且向量CP →，CA →共线，所以－6(x －2)－2(y －6)＝0，② 解①和②组成的方程组得x ＝3，y ＝3， 所以P 的坐标为(3,3)．(1)本题运用向量共线的充要条件，求得了直线OB 和BC 方程，是向量在解析几何中的应用的体现．(2)解决向量共线(平行)的问题，可从两向量平行的几何表示出发，也可从坐标形式出发，一般来说，若坐标已知，采用坐标形式要简单些．3．(2018·三元区月考)如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交其对角线AC 于K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为(A)A.29B.27C.25D.23因为AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，所以AB →＝52AE →，AD →＝2AF →，因为AC →＝AB →＋AD →， AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →)＝λ(52AE →＋2AF →)＝52λAE →＋2λAF →， 由E ，F ，K 三点共线可得，52λ＋2λ＝1，解得λ＝29.1．平面向量的基本定理就是可以用一组基底表示平面内的任意一个向量，这种表示是唯一的，但基底的选择却不唯一．用向量解决几何问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．2．向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示，它使向量的运算完全化为代数运算，实现了形与数的紧密结合，为进一步用代数的方法研究向量及几何问题创造了条件．3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a∥b ⇔ x 1y 2－x 2y 1＝0.对共线的充要条件要注意：①a∥b 的充要条件不能表示成x 1y 1＝x 2y 2，因为y 1，y 2可能为0；②a∥b 的充分条件不能错记为x 1x 2－y 1y 2＝0，也不能与a⊥b 的充要条件x 1x 2＋y 1y 2＝0混淆．。

第六章平面向量及其应用6.4 平面向量的应用6.4.1 平面几何中的向量方法教学设计一、教学目标1.掌握用向量方法解决平面几何问题；2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用.二、教学重难点1.教学重点用向量方法解决实际问题的基本方法，向量法解决几何问题的“三步曲”.2.教学难点将实际问题转化为向量问题.三、教学过程（一）新课导入复习：（1）向量加法的三角形法则、平行四边形法则；（2）向量平行、垂直的判断方法；在之前向量的学习中，我们发现，平面几何图形的很多性质都可以用向量表示出来.因此平面几何中的许多问题都可以用向量运算的方法加以解决.下面我们通过例题，探究向量方法在平面几何中的应用. （二）探索新知例1 如图，DE是△ABC的中位线，用向量方法证明：，证明：如图，因为DE是△ABC的中位线，所以，.从而又，所以.于是，用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系.例2 如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：如图，取为基底，设，则，.第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：，. 上面两式相加，得.第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：.（三）课堂练习1. 已知P 是ABC △内的一点，1()3AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则ABC △的面积与ABP △的面积的比值为( ) A.32 B.2 C.3 D.6 答案：C解析：在ABC △中，设边BC 的中点为D ，则22ABC ABD ABP ABP S S AD S S AP==△△△△. 因为12()33AP AB AC AD =+=u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以32AD AP =u u u r u u u r ，所以3ABC ABP S S =△△.故选C. 2. 在ABC △中，2AB AC ==u u u r u u u r ，且2AB AC ⋅=u u u r u u u r ，则ABC △的形状是___________. 答案：等边三角形解析：因为cos 4cos 2AB AC AB AC A A ⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以1cos 2A =， 又A ∠为ABC △的内角，所以60A ∠=︒.又AB AC =u u u r u u u r ，所以ABC △为等边三角形.3. 已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒，点E F ，分别在边BC DC ，上，3BC BE DC DF λ==，，若1AE AF ⋅=u u u r u u u r ，则λ的值为__________.答案：2解析：如图， 13AE AB BE AB BC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 11AF AD DF AD DC BC AB λλ=+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 由题意知0λ≠，所以11()()3AE AF AB BC BC AB λ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22111(1)33AB BC AB BC λλ=+⋅++u u u u r u u u u r u u u r u u u r 14(1)22cos1201343λλ=+⨯⨯⨯︒++=， 解得2λ=.（四） 小结作业小结：1. 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”；2. 用向量方法解决平面几何问题的应用. 作业：四、板书设计6.4.1 平面几何中的向量方法用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.。

第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.3.1 平面向量基本定理教学设计1、教学目标1.理解平面向量基本定理及其意义；2.会用平面向量基本定理解决有关向量问题.2、教学重难点1.教学重点平面向量基本定理及其应用.2.教学难点平面向量基本定理的理解及应用.3、教学过程（一）新课导入1．复习：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使.(0)a a ≠ b b a λ= 2．根据这一定理，我们知道，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.那么，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？（2）探索新知已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力.如图，通过作平行四边形，可以将力分解为多组大小、方向不同的分力.F问题1 类比力的分解，能否通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量a a的和？问题2 如图（1），设是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的12e e ，a 12e e ，向量.如图（2），在平面内任取一点O ，作.将按的方向分解，能发12OA e OB e OC a === ，，a 12e e ，现什么？如图，过点C 作平行于直线OB 的直线，与直线OA 交于点M ；过点C 作平行于直线OA 的直线，与直线OB 交于点N ，则.由与共线，与共线可得，存在实数，OC OM ON =+ OM 1e ON 2e 12λλ，使得，所以.也就是说，与都不共线的向量都可以表示1221OM ON e e λλ== ，1122e e a λλ=+ 12e e ，a 成的形式.1212e e λλ+问题3 当是与或共线的非零向量时，是否也可以表示成的形式？当是零向a 1e 2e a 1212e e λλ+ a 量呢？（可以）平面内任一向量都可以按的方向分解，表示成的形式，而且这种表示形式是唯a 12e e ，1212e e λλ+ 一的.事实上，如果还可以表示成的形式，那么.可得a 1212e e μμ+ 12111222e e e e λλμμ=++ .假设，不全为0，不妨假设，则112221()()0e e λμλμ=-+- 11λμ-22λμ-110λμ-≠.由此可得共线.这与已知不共线矛盾，由此可推出，全为221121e e λμλμ=--- 12e e ，12e e ，11λμ-22λμ-0，即，.也就是说，有且只有一对实数，使.11λμ=22λμ=12λλ，1122e e a λλ=+ 平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量12e e ，，有且只有一对实数，使.a 12λλ，1122e e a λλ=+ 基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.12e e ，12{}e e ，任一向量都可以由同一个基底唯一表示.例1（课本P26）例2（课本P26）（三）课堂练习1.在中，，，若分别在边上，且，.则向量ABC △AB c = AC b = D E ，BC BA ，2BD DC = 2BE EA = 表示( )2133b c + A. B. C. D.AD CE DE ED答案：A解析：如图所示，AD AB BD =+ ，因为2BD DC = ，所以23BD BC = .所以222()()333BD BC AC AB b c ==-=- .所以221()333AD AB BD c b c b c =+=+-=+ .故选A.2.设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与.AD AB DA BC CA DC OD OB 其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④答案：B解析：①与不共线；②，则与共线；③与不共线；AD AB DA BC =- DA BC CA DC ④，则与共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基OD OB =- OD OB 底，故①③满足题意．故选B .3.已知平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M ，设，试用基底表示AB a AD b == ，a b ，和.MA MB MC ，，MD 答案：，，AC AB AD a b =+= +DB AB AD a b =-= -， 1111()2222MA AC a b a b ∴=-=-=-- +，1111()2222MB DB a b a b ===- -，111222MC AC a b ==+ .111222MD DB a b =-=-+ （四）小结作业小结：平面向量基本定理及其应用.作业：4、板书设计6.3.1 平面向量基本定理1.平面向量基本定理；2.基底.。

第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示教学设计一、教学目标1. 掌握用坐标表示平面向量的加、减运算；2. 理解用终点和起点坐标求向量坐标的方法.二、教学重难点1. 教学重点平面向量加、减运算的坐标表示.2. 教学难点对用坐标表示向量加、减运算的运用.三、教学过程（一） 新课导入问题1 已知11) (x a y =r ，，22) (x b y =r ，，怎样求a b a b +-r r r r ，的坐标？ （二）探索新知112212121212()()())(x i y j x i y j x i x i y j y j x x y j a i y b ++++++=++=+=+r r r r r r r r r r r r ， 即1212()x y y a b x ++=+r r ，.问题2 类比求a b +r r 坐标的方法，试求a b -r r 的坐标.112212121212()()())(x i y j x i y j x i x i y j y j x x y j a i y b ++----=--=+=+r r r r r r r r r r r r ， 即1212()x y y a b x --=-r r ，.两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.例4 已知(1)2a =r ，，3) 4(b -=r ，，求a b a b +-r r r r ，的坐标. 解：()(2135)1)(4a b +=+=--r r ，，，，()(2133)5)(4a b -=-=--r r ，，，. 问题3 如图，已知11()A x y ，，22()B x y ，，求AB u u u r 的坐标.如图，作向量OA OB u u u r u u u r ，，则 22112121))((().x y AB OB OAx y x x y y -=-=--=u u u r u u u r u u u r ，，，总结：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.例5 如图，已知ABCD Y 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别是2113()()(34)--，，，，，，求顶点D 的坐标.解法1：设顶点D 的坐标为()x y ，. 因为2(1()()3112)AB =---=-u u u r ，，，(34)x y DC =--u u u r ，， 又AB DC =u u u r u u u r ，所以(12)(34)y x =--，，. 即4132x y ⎧⎨=-=⎩-，，解得22x y ⎧⎨=⎩=，.所以顶点D 的坐标为(2)2，.解法2：如图，由向量加法的平行四边形法则可知1)(2()+(3(131)433)()1BD BA BC=+=------=--u u u r u u u r u u u r ，，，，而(13))(312)2(.OD OB BD=+=+--=u u u r u u u r u u u r ，，，所以顶点D 的坐标为(2)2，.（三）课堂练习1. 已知向量(12)(31)a b ==r r ，，，，则b a -=r r （ ） A. (21)-， B. (21)-， C. (20)， D. (43)， 答案：B解析：∵向量(12)(31)a b ==r r ，，，，∴(21)b a -=-r r ，.故选B ． 2. 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(24)(13)AB AC ==u u u r u u u r ，，，，则BD =u u u r （ ） A.(24)--， B.(35)--， C.(35)， D.(24)， 答案：B解析：∵AC AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，∴(11)AD AC AB =-=--u u u r u u u r u u u r ，，∴(35)BD AD AB =-=--u u u r u u u r u u u r ，.故选B. 3. 如图所示平面直角坐标系中，(23)CD =-u u u r ，，则点D 坐标为______________.答案：(41)，解析：设点D 坐标为()x y ，，则(24)(23)CD OD OC x y =-=--=-u u u r u u u r u u u r ，，，即2243xy-=⎧⎨-=-⎩，，解得41.xy=⎧⎨=⎩，所以点D的坐标是(41)，.（四）小结作业小结：平面向量加、减运算的坐标表示.作业：四、板书设计6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示1.平面向量加、减运算的坐标表示；2.用终点和起点坐标求向量坐标.。

教学设计课题向量的应用课型新授课一、内容及其解析1.内容运用向量方法解决平面几何、物理中的问题.2.内容解析学生已经学习了平面向量的概念、运算、基本定理以及坐标表示，借助向量的物理背景和平面向量运算的几何意义，进一步解决平面几何和物理中的问题，感受向量在解决数学和实际问题中的作用，同时归纳总结向量法解决平面几何和物理中的基本套路，基本步骤.向量具有明确的几何背景，向量的加法、减法的几何意义是平行四边形和三角形法则，向量的数乘的几何意义是平行（或共线），由此可以自然而然的利用向量来解决有关三角形、平行四边形、平面内两条直线平行或垂直关系及夹角的几何问题.向量有丰富的物理背景，即力、速度、加速度和位移，自然而然可以利用向量解决物理力学现象，最短航程或最短时间等问题.通过解决平面几何和物理中的问题，最终归结为平面几何问题.向量在平面几何和物理中应用，让学生深切体会到向量是工具，也是方法，更是一种数学思想.对后续选择性必修课程中空间向量在立体几何的应用具有启发性，类比向量的解析法学习解析几何做好准备.本课时研究向量的应用方法，借助向量的几何和物理背景，充分的体现向量的工具性、方法性和思想性.进一步让学生体会向量是代数和几何的完美结合，解决问题的一把利器.因而本课时的内容蕴含了数形结合、类比、化归与转化等数学思想方法，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数学建模等数学核心素养的极好载体.二、目标及其解析1.目标⑴经历几何元素转化的过程，能应用向量解决平面几何中的位置关系、长度和夹角等问题，纳出方法和步骤，体会化归与转化、数形结合的数学思想；⑵通过对实例的转化与建模，会应用向量解释物理现象或解决物理最优问题，归纳向量法解决物理问题的方法和步骤，提升数学建模、数学运算的核心素养.2.目标解析达成上述目标的标志是：⑴学生能从应用向量解决平面几何中的具体实例中，总结出向量的运算与相关的问题的对应关系.比如利用共线可以解决平行，利用数量积可以解决垂直和夹角问题，利用向量的模可以解决长度问题.从而进一步体会数形结合在解决问题的简洁性.并能够在教师的引导下，归纳向量法解决平面几何问题的“三步曲”；⑵学生能把物理问题转化成数学问题，即如何将物理量之间的关系转化成数学模型，同时能利用数学模型的解来解释问题中所反映的物理现象.并归纳总结出向量法解决物理问题的方法和步骤.三、教学问题诊断分析学生已经学习了平面向量的概念、运算以及平面向量的基本定理，初步体会到向量有其丰富的几何和物理背景，再从向量的运算中进一步认识到向量的几何意义，自然而然可以利用向量解决平面几何和生活中物理现象的相关问题.在平面几何中，有很多问题已经运用综合法给与解决，可现在又用向量方法再解决一次，学生会有一些困惑，通过教师采取比较法，让学生深刻感受向量法解决数学问题的简捷性.对于物理中的应用举例，如何将物理问题转化为数学模型，并利用数学模型的解来解释问题中反映的物理现象是学生可能会忽略的环节.四、教学重点与难点教学重点：用向量法解决平面几何问题、物理问题的方法和步骤.教学难点：如何把平面几何问题、物理问题转化为向量问题.五、教学支持条件分析问题驱动式，启发式，合作交流式，信息技术工具，多媒体技术支持.六、学习评价设计评价目标：1. 能将几何元素用向量元素来表示；2. 能将几何关系用向量运算来表示；3. 能用规范的数学语言叙述用向量法解决平面几何问题、物理问题的步骤.评价方式：1. 过程性评价：通过课堂教师提问、追问及求解相关问题，了解学生对用向量法解决平面几何、物理问题的理解情况；2. 作业、测试反馈：通过课后作业的完成情况及测试的正答率情况，判断学生的学习效果；3. 访谈反馈：通过面对面的交流，了解学生的困惑与问题.七、学习活动设计本课时教学流程图：旧知引入——对比感悟——解决问题——明确方法步骤——强化应用. （一）旧知引入（学习任务1）教师活动：1. 问题情境：我们可以发现前面学习过的向量线性运算和数量积运算都具有鲜明的几何背景，这就说明在平面几何图形中，如平行、垂直、长度、夹角等可以由向量相关知识表示出来.2. 驱动问题：大家回忆下怎么用向量及其运算表示表格中的平面几何元素？几何特性几何元素及其表示向量元素及运算表示平行ab垂直ba长度a角度ba学生活动：利用向量的线性运算和数量积运算公式及变形来表示. 预设： 几何特性 几何元素及其表示 向量元素及运算表示 平行 a b12210x y x y λ=⇔-=a b垂直 ba121200x x y y ⋅=⇔+=a b 长度 a22211||x y ==+a a角度 ba121222221122cos ,||||.x x y y x y x y +⋅<>==++a b a b a b 教师点评：⑴引导用向量形式和坐标形式表示不同几何元素.（二）探究新知（学习任务2） 教师活动： 1. 问题情境：之前我们研究平面几何常用的方法是综合法，它依据基本的逻辑原理，从公理、定理、性质等出发，通过演绎推理解决几何问题. 2. 驱动问题：已知平行四边形ABCD ，你能发现对角线AC 和BD 的长度与两条邻边AB 和AD 的长度之间的关系吗？学生活动： 1. 分析问题：提取材料中几何元素：直角三角形、直角边、对角线、斜边，思考这些元素间的联系. 2. 解决问题：应用勾股定理建立元素间的关系. 预设：2222()2AC DB AB AD +=+ 教师点评：分析提取数学知识时的准确性，建立联系，为下面做准备.设计意图：本环节旨在通过复习前几节所学知识，建立平面几何与向量间的联系，为向量在平面几何中的应用提供理论依据.教师活动： 1. 问题情境：矩形中存在直角，可以应用勾股定理进行逻辑推 理，一般地，将上述问题从矩形推广到平行四边形， 用综合法进行逻辑推理难度将加大. 2. 驱动问题：上述问题从矩形推广到平行四边形，这个结论还 成立吗？若成立，结论如何证明？ 学生活动： 1. 分析问题：⑴提取材料发现几何元素较少，利用综合法建立联系思维量较大； ⑵可否利用其他方法将几何元素转化为其他表示形式寻求联系. 2. 解决问题：用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. 预设：⑴2222()2AC DB AB AD +=+结论仍然成立；⑵归纳小结向量方法解决平面几何问题的“三步曲”；转 用向量表示问题中的几何元素，几何问题转化为向量问题运 通过向量运算研究几何元素之间的关系翻 把运算结果“翻译”成几何关系 ⑶教师点评：⑴对比感悟综合法与向量法在解决平面几何问题中的优劣； ⑵引导用规范语言概括总结用向量法解决平面几何问题的步骤.几何图形到向量恰当的向量运算 向量到几何关系 基底法 坐标法（三）运用新知（学习任务3） 教师活动： 1. 问题情境：通过课前填写的表格我们发现向量法也可以探究平面几何中的夹角问题，下面大家按照刚才我们总结的“三步曲”尝试解决下练习1. 2. 驱动问题：如图，在ABC ∆中，120BAC ∠=，3AB AC ==，点D 在线段BC 上，且12BD DC =,求：（1）AD 的长；（2）DAC ∠的大小. 学生活动： 1. 分析问题：⑴理解本任务与上一个学习任务的关系；⑵找到几何问题中长度、角与向量对应关系表示. 2. 解决问题：⑴选好基底向量表示AD ；⑵利用数形结合思想，用向量法按“三步曲”求解. 预设：⑴采用综合法解题会计算复杂；⑵明确长度、角与向量数量积的关系. 教师点评：⑴引导学生对比综合法与向量法，突出向量的强大工具性； ⑵按“三步曲”书写过程的逻辑性.（四）类比迁移（学习任务4） 教师活动： 1. 问题情境：通过章引言的学习，我们了解向量理论具有丰富的物理背景，同时通过本章的学习，我们可以用向量的语言、方法表述和解决现实生活、物理中的一些问题.向量加法的三角形法则的物理模型是位移的合成，向量加法的平行四边形的物理模型是力（速度）的合成与分解，向量的数量积的物理模型是力对物体所做的功. 2. 驱动问题：两位同学共提一桶水，两人拉力夹角越大越费 力，还是越小越费力？为什么？你能从数学的角度 解释吗？设计意图：本环节通过练习及时巩固、反馈，掌握用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，常常考虑用向量的数量积，同时也为之后运用正、余弦定理解决问题埋下伏笔，进一步体会向量方法解决几何问题的的优越性.设计意图：本环节通过引导学生从特殊图形出发，得出结论，再过渡到平行四边形，降低思维难度，体验特殊到一般的数学思想，感悟向量法较综合法的强大作用，经历解题过程学生归纳总结，由此体会向量解决几何问题可以按一定的运算程序进行操作，进而使学生明确用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”，使学生对所学知识系统化、条理化.学生活动： 1. 分析问题：⑴理解本任务与上一个学习任务的关系，类比向量法解决平面几何问题，尝试用向量法解决物理问题；⑵找到物理问题中分力、合力与向量对应关系表示. 2. 解决问题：通过直观想象将物理问题抽象为数学模型，用向量表示物理问题中的元素，数据分析建模、解模. 预设：⑴该物理问题是力的合成问题，可以用向量加法的平行四边形解决.设作用在水桶上的两个拉力分别为1F 、2F 其夹角为θ，不妨设2||||=1F F ，水桶所受的重力为G .由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识知1||||2cos2θ=G F ⑵因为[0,]θπ∈，所以[0,]22θπ∈，由余弦曲线可知，当2θ由2π逐渐变小到0，cos 2θ的值由小逐渐变大，此时1||F 由大逐渐变小，这就说明，1F 、2F 之间的夹角越大越费力.⑶归纳向量法解决物理问题的步骤.①问题的转化：把物理问题转化为数学问题； ②模型的建立：建立以向量为主体的数学模型； ③参数的获得：求出数学模型的有关解；④问题的答案：回到问题的初始状态，解决相关物理现象. 教师点评：⑴引导学生类比法来研究问题，总结归纳；⑵用信息技术工具GGB 验证结果，直观体现结论的准确性.（五）应用提升（学习任务5） 教师活动： 1. 问题情境：借助向量法解决物理问题的步骤小组研究速度合成的最优问题. 2. 驱动问题：一条河两岸平行，河的宽度500d m =，一艘船从河岸边的A 地出发，向河对岸航行.已知船的速度1v 的大小为||10/km h =1v ，水流速度2v 的大小为||2=2v /km h ，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间？ 学生活动：设计意图：本环节从学生身边的熟悉例子切入，学生更有切身体会，通过问题串让学生体会如何将物理问题转化为数学模型，通过向量运算求解模型的解解释物理现象，培养数学建模的核心素养，让学生总结解题方法和过程，提升学生对问题的归纳和总结能力，有效地建立知识框架．1. 分析问题：找到物理问题中合速度、船的速度、水流的速度与向量对应关系. 2. 解决问题：按照向量法解决物理问题的步骤求解. 预设：⑴船只要取垂直于河岸的方向行驶航程将最短；⑵行进方向是垂直对岸的，分清楚是合速度v 的方向还是1v 的方向； ⑶利用向量的平行四边形法则作出速度的合成； ⑷①问题的转化：“航程最短”问题 转化为向量问题；②模型的建立：建立以向量加法平行四边形法则为主体的数学模型； ③参数的获得：利用勾股定理求出直角三角形中直角边的长度，即合速度v 大小；22||||||46(/)km h =-=12v v v④问题的答案：回到问题的初始状态，通过河宽度求得航行最短时间，解决相关物理问题.0.56()||4846d t h ===v 教师点评：⑴向量表示分速度、合速度的准确性；⑵按向量知识解决物理问题的逻辑是否严谨.（六）课堂小结，总结提升 教师活动：根据本节课的学习，明确的研究平面几何问题和物理问题的方法，回顾归纳总结的步骤，并引导学生对向量法的工具性的作用加以评价. 学生活动：对自己本节课所有学习活动加以反思、评价和总结.九、板书设计1.向量法解决几何问题的“三步曲”2.向量法解决物理的步骤课题学习任务1、2、3 产生的问题解答学习任务4、5 产生的问题解答设计意图：引导学生梳理本节课所学内容，明确本节课内容的来龙去脉，形成对本节课内容的整体认识．设计意图：本环节通过练习及时巩固、反馈，让学生体会向量在解决物理问题中的工具性特点，用向量方法解决物理中运动学有关“速度的合成”等问题，加强数学的应用意识和逻辑推理及数学运算等核心素养．十.作业与拓展学习设计必做题：教材P40第3题，P41第1题，P52第2题. 拓展题：探索下列四个问题的过程.⑴O 为ABC ∆的重心(中线交点)OA OB OC ⇔++=0;⑵O 为ABC ∆的垂心(高线交点)OA OB OA OC OB OC ⇔⋅=⋅=⋅;⑶O 为ABC ∆的外心(中垂线交点)||||||OA OB OC ⇔==（或222OA OB OC ==）; ⑷O 为ABC ∆的内心(角分线交点)aOA bOB cOC ⇔++=0.设计意图：因材施教、分层教学，让不同的学生得到不同的发展.。

教学过程由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何意义，所以平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以用向量的线性运算及数量积表示出来，因此可以用向量方法解决平面几何中的一些问题。

本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用．（二）探索新知，整体认知证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD．求证：222222AC BD AB BC CD DA+=+++．分析：用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，我们常常要考虑向量的数量积．注意到AC AB AD=+，DB AB AD=-，我们计算2||AC和2||BD．证明：不妨设AB=a，AD=b，则AC=a+b，DB=a-b，2||AB=|a|2，2||AD=|b|2．∴2||AC AC AC=⋅=( a+b)·( a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2．①同理2||DB=|a|2-2a·b+|b|2．②①+②得2||AC+2||DB=2(|a|2+|b|2)=2(2||AB+2||AD)．所以，平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．师：你能用几何方法解决这个问题吗？生：（探索、研究得出本例的几何证法如右图）略．师：由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，他把一个思辨过程变成了一个算法过程，可以按照一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度.用向量方法解决平面几何问题，主要是下面三个步骤，⑴建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；⑵通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； ⑶把运算结果“翻译”成几何关系． 例2，如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？分析：由于R 、T 是对角线AC 上两点，所以要判断AR 、RT 、TC 之间的关系，只需要分别判断AR 、RT 、TC 与AC 之间的关系即可．解：设AB =a ，AD =b ，则AC =a +b ．∵ AR 与AC 共线∴ 存在实数m ，使得 AR =m (a +b )． 又 ∵ BR 与BE 共线∴ 存在实数n ，使得 BR =n BE = n (12b - a )． 由AR AB BR =+=AB + n BE ，得m (a +b )= a + n (12b - a )． 整理得 (1)m n +-a ＋1()2m n -b ＝0． 由于向量a 、b 不共线，所以有 10102m n m n +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1323m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以13AR AC =． 同理 13TC AC =． 于是 13RT AC =．所以 AR ＝RT ＝TC ．说明：本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，待定系数发誓用向量方法证明平面几何问题的常用方法． （三）初步应用，理论迁移例3：已知△ABC 三条高线AD 、BE 、CF ，求证：AD 、BE 、CF 交于一点． 分析：三角形的三条高分别与对应边互相垂直，我们可以借此建立平面直角坐标系，然后运用向量的坐标运算解决问题．解：如图，以BC 所在直线为x 轴，过点A 垂直于BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设A 、B 、C 三点的坐标分别为(0,)A a ，(,0)B b ，(,0)C c ，且BE 、CF 交于点(,)H x y ，则(,)BH x b y =-，(,)CH x c y =-，(,)AC c a =-，(,)AB b a =-．∵ BH AC ⊥，CH AB ⊥，∴ ()0()0c x b ay b x c ay --=⎧⎨--=⎩，解得 0x =．所以，点H 在y 轴上，即点H 在AD 上，AD 、BE 、CF 交于一点． (四)课堂练习，及时反馈练习：如图3，已知正方形ABCD ，P 为对角线AC 上任意一点，PE AB ⊥于点E ，PF BC ⊥于点F ，连结DP 、EF .那么，你能发现DP 与EF 关系吗？试证明你的结论.图3。