整式的加减(1)--合并同类项

2.2(1)整式的加减--同类项、合并同类项一．【知识要点】1.同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项. 注意：①“两相同”同类项中要注意到两个相同：字母相同及相同的字母的指数也相同；②“两无关”是指同类项与（系数）和（字母)的顺序无关； ③所有的常数项都是同类项。

2.把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变. 进行合并同类项的一般步骤： （1）先用相同的划线找到同类项；（2）利用加法交换律与加法结合律把同类项放在一起； （3）利用有理数的加减混合运算，进行系数相加； （4）字母与字母的系数不变. 二．【经典例题】 1．下列几组式子：(1)3y x 2与–3y x 2 (2)0.2b a 2与0.22ab (3)11abc 与9bc (4)224b a 和224n m(5)4332n m 与–3423m n (6)4z xy 2与4yz x 2 (7)6与6π (8)22和2a其中是同类项的是：_________________________________________.2.合并下列多项式中的同类项： （1）2a 2b －3a 2b+12a 2b ； （2）a 3－a 2b+ab 2+a 2b －ab 2+b 3.3．若25y x n -与m y x 2312是同类项，则=m ，=n 4.已知()2210a b -++=,求22222133542a b ab a b ab ab ab a b +-++-+的值5.已知0123=++y xb na b ma （m 、n 均不为0），求y x nm+-2的值。

6. 已知关于x,y 的单项式2322+-m n y x y ax与的和等于0，求a+m+n 的值为_______.7．(2020年绵阳期末第5题）若单项式﹣2m 2b n 3a﹣2与n a +1m b﹣1可以合并，则代数式2b ﹣a＝（ ） A ．B ．C ．D ．三．【题库】 【A 】1.化简：（1）3x －x ＝_____；（2）－2y 2x ＋3y 2x ＝______；（3）－22x －32x ＋y －2y ＝______.2.在代数式4x 2+4xy －8y 2－3x+1－5x 2+6－7x 2中，4x 2的同类项是 ，6的同类项是 .3.若2x k y k+2与3x 2y n 的和为5x 2y n ，则k= ，n= .4.若-3xm -1y4与13x2yn+2是同类项，求m,n.5.合并同类项：（1）3x 2-1-2x -5+3x -x 2;（2）-0.8a 2b -6ab -1.2a 2b+5ab+a 2b.6.下列判断中正确的个数为（ ）①23a 与23b 是同类项；②85与58是同类项；③x 2-与2x-是同类项；④4321y x 与347.0y x -是同类项A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7.若b a M 22=，23ab N =，b a P 24-=，则下面计算正确的是（ ）A ．235b a N M =+B ．ab P N -=+C ．b a P M 22-=+D ．b a P N 22=- 8.若323y xm-与n y x 42是同类项，则n m -的值是（ ）A ．0B ．1C ．7D ．-19.合并同类项22227435ab ab ab ab b a -+--＝_______________ 10.求多项式3x 2+4x －2x 2－x+x 2－3x －1的值，其中x=－3. 11．下列计算正确的是（ ）A.2x ＋3y ＝5xyB.－3x －x ＝－x C.－xy ＋6x y ＝5x y D.5ab －b a ＝ab 2232252232227223212．已知单项式b a xy －y x +-431321与是同类项，那么b a ,的值分别是（ ） A ．⎩⎨⎧==.1,2b a B ．⎩⎨⎧-==.1,2b a C ．⎩⎨⎧-=-=.1,2b a D ．⎩⎨⎧=-=.1,2b a13．若单项式﹣35a b 与2m a b 是同类项，则常数m 的值为（ ） A.﹣3 B.4 C.3 D.2 14.合并下列各式中的同类项（1）b a ab b a ab b a 2228.44.162.0++--- （2）222614121x x x --（3）222234422xy y x xy xy xy y x -++-- （4）2238347669a ab a ab +-+-+-15.下列各组中的两式是同类项的是（ ） A ．()32-与()3n - B ．b a 254-与c a 254- C ．2-x 与2- D ．n m 31.0与321nm - 16.若12x a -1y 3与-3x -b y 2a+b 是同类项，那么a,b 的值分别是（ ） A.a=2, b=－1. B.a=2, b=1. C.a=－2, b=－1. D.a=－2, b=1. 17.指出下列多项式中的同类项：（1）3x －2y+1+3y －2x －5；（2）3x 2y －2xy 2+13xy 2－32yx 2.18. 下列合并同类项正确的是（ ）A. B. C. D. 19. 如果－13mx y 与221n x y +是同类项，则m=_______，n=________． 20．下列各组中的两项是同类项的为（ ）A ．3m 3n 2和-3m 2n 3B ．12xy 与22xy C ．53与a 3D ．7x 与7y21.下列运算正确的是（ ）A. 42232a a a =+B. b a b a +=+2)(2C. 2323a a a =-D. 22223a a a =- 22. 判断（1）4abc 与 4ab 不是同类项 （ ）325a b ab +=770m m -=33622ab ab a b +=-+=a b a b ab 222(2) 325n m - 与 232m n 不是同类项 （ ） (3) y x 23.0- 与 2yx 是同类项 （ ） 23.若y x 25与 n m y x 1-是同类项，则m=( ) ,n=( )【B 】1.若单项式－5x m y 3与4x 3y n能合并成一项，则m n=( ) A.3 B.9 C.27 D.62. 若3231+a y x 与是同类项，求2222223612415b a ab b a ab b a ---+的值。

整式的加减（一）——合并同类项（提高）【学习目标】1．掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；2. 掌握同类项的有关应用；3. 体会整体思想即换元的思想的应用．【要点梳理】要点一、同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．要点诠释：(1)判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．要点二、合并同类项1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．要点诠释：合并同类项的根据是乘法的分配律逆用，运用时应注意：(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄；(2)系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)．【典型例题】类型一、同类项的概念 1． 判别下列各题中的两个项是不是同类项：(1)-4a 2b 3与5b 3a 2；(2)2213x y z -与2213xy z -；(3)-8和0；(4)-6a 2b 3c 与8ca 2． 【答案与解析】 (1)-4a 2b 3与5b 3a 2是同类项；(2)不是同类项；(3)-8和0都是常数，是同类项；(4)-6a 2c 与8ca 2是同类项．【总结升华】辨别同类项要把准“两相同，两无关”，“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；“两无关”是指：①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序无关．此外注意常数项都是同类项.2．315212135m n m n x y x y --+-若与是同类项，求出m, n 的值. 【答案与解析】因为315212135m n m n x y x y --+-与是同类项， 所以 315,21 1.m n -=⎧⎨-=⎩ ， 解得：2,1.m n =⎧⎨=⎩所以2,1m n ==【总结升华】概念的灵活运用.举一反三：【变式】若单项式2122m ab +与2334m n a b +-是同类项，则m+n ＝________． 【答案】6 类型二、合并同类项3．合并同类项：()221324325x x x x -++--；()2222265256a b ab b a -++-；()2223542625yx xy xy x y xy -+-+++;()()()()()2323431215141x x x x -----+- （注：将“1x -”或“1x -”看作整体）【思路点拨】同类项中，所含“字母”，可以表示字母，也可以表示多项式，如（4）．【答案与解析】（1）()()()22232234511x x x x x x =-+-++-=+-=+-原式（2） ()()2222665522a a b b ab ab -+-++=原式=（3）原式=()()222562245x y x y xy xy xy -++-+++2245x y xy =++（4）()()()()()()223323315121412161x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=---+----=----⎣⎦⎣⎦原式【总结升华】无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄.举一反三：【变式1】化简：（1） 32313125433xy x y xy x ---+ （2） (a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b)【答案】原式3323211231123()()53345334xy xy x x y xy x y =-+--=-+--3221.1512xy x y =---（2） (a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b)=(a-2b)2-2(a-2b)2+4(a-2b)-(a-2b)=(1-2)(a-2b)2+(4-1)(a-2b)=-(a-2b)2+3(a-2b).4.（2010烟台）若523m x y +与3n x y 的和是单项式，则n m =【思路点拨】两个单项式的和仍是单项式，这说明523m x y +与3n x y 是同类项．【答案】4【解析】523m x y +与3n x y 的和是单项式，可得：523m x y +与3n x y 是同类项，所以：53,2m n +==解得：2,2m n =-=，所以2(2)4n m =-=【总结升华】要善于利用题目中的隐含条件．举一反三： 【变式】若35x a b 与30.2y a b -可以合并，则x = ，y = ．【答案】3,3±±类型三、化简求值5. 化简求值：（1）当1,2a b ==-时，求多项式3232399111552424ab a b ab a b ab a b --+---的值．（2）若243(32)0a b b +++=，求多项式222(23)3(23)8(23)7(23)a b a b a b a b +-+++-+的值．【答案与解析】（1）先合并同类项，再代入求值：原式=32391911()(5)52244a b ab a b -++----=32345a b a b ---将1,2a b ==-代入，得：3233234541(2)1(2)519a b a b ---=-⨯⨯--⨯--=-（2）把(23)a b +当作一个整体，先化简再求值：原式=22(28)(23)(37)(23)10(23)10(23)a b a b a b a b +++--+=+-+由243(32)0a b b +++=可得：430,320a b b +=+=两式相加可得：462a b +=-，所以有231a b +=-代入可得：原式=210(1)10(1)20⨯--⨯-=【总结升华】此类先化简后求值的题通常的步骤为：先合并同类项，再代入数值求出整式的值．举一反三：【变式】3422323323622已知与是同类项，求代数式的值a b x y xy b a b b a b +----+.【答案】()()()3422323223323323231,2 4.2, 6.362232624,2,66426228.a b x y xy a b a b b a b b a b b b a b a b b a b a b +--∴+=-=∴=-=--+=-+-+=-∴=-==-⨯-⨯=解：与是同类项，当时，原式类型四、综合应用6. 若多项式-2+8x+(b-1)x 2+ax 3与多项式2x 3-7x 2-2(c+1)x+3d+7恒等，求ab-cd.【答案与解析】法一：由已知ax 3+(b-1)x 2+8x-2≡2x 3-7x 2-2(c+1)x+(3d+7)∴ 2,17,82(1),237.a b c d =⎧⎪-=-⎪⎨=-+⎪⎪-=+⎩ 解得：2,6,5,3.a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=-⎩ ∴ab-cd=2×(-6)-(-5)×(-3)=-12-15=-27.法二：说明：此题的另一个解法为：由已知(a-2)x 3+(b+6)x 2+[2(c+1)+8]x-(3d+9)≡0. 因为无论x 取何值时，此多项式的值恒为零.所以它的各项系数皆为零，即从而解得解得： 【总结升华】若等式两边恒等，则说明等号两边对应项系数相等；若某式恒为0，则说明各项系数均为0；若某式不含某项，则说明该项的系数为0．举一反三：【变式1】若关于x 的多项式-2x 2+mx+nx 2+5x-1的值与x 的值无关，求(x-m)2+n 的最小值.【答案】 -2x 2+mx+nx 2+5x-1=nx 2-2x 2+mx+5x-1=(n-2)x 2+(m+5)x-1∵ 此多项式的值与x 的值无关，∴ 20,50.n m -=⎧⎨+=⎩ 解得: 25n m =⎧⎨=-⎩当n=2且m=-5时， (x-m)2+n=[x-(-5)]2+2≥0+2=2.∵(x-m)2≥0，∴当且仅当x=m=-5时，(x-m)2=0，使(x-m)2+n 有最小值为2.【变式2】若关于,x y 的多项式：2223332m m m m x y mx y nx y x y m n ----++-++，化简后是四次三项式，求m+n 的值．【答案】分别计算出各项的次数，找出该多项式的最高此项：因为22m x y -的次数是m ，2m mx y -的次数为1m -，33m nx y -的次数为m ，32m x y --的次数为2m -，又因为是三项式 ,所以前四项必有两项为同类项，显然2233m m xy nx y --与是同类项，且合并后为0，所以有5,10m n =+= ，5(1)4m n +=+-=．20,60,2(1)80,(39)0.a b c d -=⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪-+=⎩2,6,5,3.a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=-⎩。

8.2 整式的加减 第一课时（刘绍中）——合并同类项一、教学目标（一）学习目标1.理解同类项的概念，会判断同类项.2.掌握合并同类项的法则，并能正确合并同类项.3.能在合并同类项的基础上进行化简求值.（二）学习重点会判断同类项并能正确合并同类项.（三）学习难点同类项的定义，合并同类项法则的形成过程和应用.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做 同类项 ，几个常数项也是同类项．（2）把多项式中的同类项 合并成一项 叫做合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的 和 ，字母连同它的指数 不变 .（3）观察：b a 22，2a b ，2ba 的共同点是所含 字母 相同，并且 相同字母的指数也相同 ，它们 是 （填“是”或“不是”）同类项．2.预习自测（1）下列各组中的两项，是同类项的组数为( ） ①213x y 与231xy ； ②xy 31与yx 33； ③25与2a ； ④72与27． A ． 1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组【知识点】同类项的概念.【解题过程】解：①虽含相同字母，但相同字母的指数不同，故错.②所含字母相同且相同字母的指数也相同，故正确.③一个是常数项，一个含有字母，所以不是同类项.④都是常数项，所以是同类项.故选B.【思路点拨】按照同类项两相同两无关的特征判定即可.【答案】B.（2）已知n ab 4与42b a m -是同类项，则有（ ）A ．1m =，2n =B ．1m =，4n =C ．4m =，2n =-D ．2m n ==【知识点】同类项的概念.【解题过程】解：因为n ab 4与42b a m -是同类项，所以1m =，4n =,故选B.【思路点拨】根据同类项定义的特征逆向思维即可.【答案】B.（3）下列计算正确的是（ ）A ．23a b ab +=B ．2221a b a b -=C ．22222(2)0a a --=D ．2242a a a +=【知识点】合并同类项发则.【解题过程】解：A 中不是同类项，不能合并，故错；B 中虽是同类项，但是系数相加，字母和字母指数不能改变，故错；C 正确；D 中是同类项，但是字母和字母指数不能改变，故错.故选C.【思路点拨】合并同类项发则是系数相加所得结果作为和的系数，字母和字母指数不变.【答案】C.（4）如果773+y x n m 与3254n m x +-的和是单项式，那么x ，y 的值是（ ）.A ．1x =,4y = B. 1x =-,4y = C ．1x =,4y =- D ．4y =-,4y =-.【知识点】同类项和合并同类项的概念.【解题过程】解：因为773+y x n m 与3254n m x +-的和是单项式，所以773+y x n m 与3254n m x +-是同类项，所以752x x =+，73y +=，所以1x =，4y =-,故选C.【思路点拨】因为只有同类项才可以合并，由和是单项式，则说明它们是同类项，根据同类项两相同特征建立方程即可.【答案】C.(二)课堂设计1.知识回顾（1）单项式的定义：数与字母的乘积形式.（2）单项式的系数：单项式中的数字因数，注意包括前面的符号.（3）单项式的次数：所含字母的指数和.2.问题探究探究一 同类项的定义 同类项的特征★▲●活动① （回顾旧知，感受分类的作用）师问：在一次“送温暖、献爱心”活动中,我们班同学非常积极,其中一位同学把储钱罐捐出来,满满的一罐硬币里有一元、五角、一角,你能以最快的方式统计一下这罐硬币共有多少钱吗? 学生抢答.师问：（1）分类需要什么样的标准？（2）分类的作用又是什么？师归纳：生活中处处有分类的现象，我们可以把具有相同特征的事物归为一类，利用好分类将会给我们的生活和学习带来便利.【设计意图】让学生感知分类需要标准，以及分类的数学思想，为同类项概念的学习作准备. ●活动② （整合旧知，探究同类项的定义和特征）师问：游戏一:找朋友，并说明你的分类标准是什么？(1) 325x y ；(2) 3223x y -；(3) 32x y z ；(4) 2315zy x ；(5)-125；(6)12；(7) 3a -； (8) 35a -. 生答：学生通过小组的讨论和交流，学生代表展示，按照所含的字母相同以及相同字母的指数相同为标准判断的（1）与（2）；（3）与（4）；（5）与（6）；（7）与（8）.注意：老师在肯定学生众多的答案中，最后确定（1）与（2）；（3）与（4）；（5）与（6）；（7）与（8）.师问：每一对“朋友”具有哪些相同的特征？生答：所含的字母相同，相同字母的指数也相同.总结：凡是所含的字母相同，相同字母的指数也相同的几个单项式就叫同类项.几个常数项也是同类项.师问：对于这个概念我们应抓住哪几个关键词理解？生答：①所含字母相同，②相同字母的指数也相同.师问：同类项与系数和字母的顺序有关吗？生答：无关.归纳：同类项的特征是“两相同，两无关”.二相同：字母相同，相同字母的指数也相同；二无关：与系数无关，与字母的顺序无关.游戏二:同类项速配.师问：先判断每一组是同类项吗？为什么？如果不是的,为前者配一个同类项.(1) 22x y 与23x y -；(2) 2abc 与2ab ；(3) 3pq -与3qp ；(4) 24x y -与25xy .生答：（1）是同类项，因为所含字母相同且相同字母的指数也相同；（2）不是同类项，因为所含字母不同，配的同类项为12abc ；（3）是同类项，因为所含字母相同且相同字母的指数也相同；（4）不是同类项，因为相同字母的指数不同，配的同类项为2x y -.总结：同类项的识别：二相同：字母相同，相同字母的指数也相同，这两条件缺一不可；二无关：与系数无关，与字母的顺序无关.不要忘记几个常数项也是同类项.【设计意图】强化同类项的概念以及基本特征“二相同和二无关”，从而能准确识别同类项.探究二 ★▲●活动① （大胆猜想，探究合并同类项法则）.师问：类比数的运算，我们如何化简式子100252t t +呢？（1）运用有理数的运算律计算10022522⨯+⨯= ；100(2)252(2)⨯-+⨯-= .师问：你运用了有理数的哪些运算律？生答：逆用了乘法的分配律.师问：你能根据（1）中的方法完成下面的运算吗？并说明其中的道理.生答：100252t t +=(100252)t +⨯=352t ,逆用了乘法的分配律.归纳：事实上它们都有相同的结构，都是两个数分别与同一个数乘积的和，所以如果把t 看着数2或-2，根据乘法分配律运算就有100252t t +=(100252)t +⨯=352t 师问：填一填：并说明理由.100252t t -=（ ）t ；2232x x +=（ ）2x ；2234ab ab -=（ ）2ab . 生答：100252t t -=（100-252）t ；2232x x +=（3+2）2x ；2234ab ab -=（3-4）2ab师问：上述运算中式子的左边有什么共同特点？右边式子具有什么特征？你能从中得出什么规律？学生举手抢答.总结：左边多项式中各项都是同类项，右边是单项式，几个同类项可以合并为单项式.【设计意图】类比观察从而发现规律，都可以运用乘法的分配律分别合并为一个单项式，通过互动让学生初步知道合并的依据，理解数式的通性，掌握类比的数学思想.●活动② （集思广益，发现合并同类项的法则）.师问：由上可知具有什么特征的几个单项式才可以合并成一个单项式？生答：同类项.师问：什么叫合并同类项？生答：把几个同类项合并成一个单项式，叫做合并同类项.师问：合并同类项的依据是什么？生答：乘法分配律.师问：观察上述式子的运算，合并同类项时,几个同类项中的哪部分在参与运算，哪部分不变？ 生答：系数在相加所得的和作为结果的系数，而字母和字母的指数不变，简记“一加二不变”. 师问：不是同类项能不能合并？生答：不能.师问：下列合并同类项对吗?不对的,说明理由.①2a a +=； ②325a b ab +=；③22245x y x y x y -=-；④235325x x x +=；⑤ 53a a a a +-= . 生答：①错，因为字母和字母指数部分没有了；②错，因为他们不是同类项；③对；④错，因为他们不是同类项；⑤错，因为系数相加时符号错了.总结：合并同类项法则:几个同类项相加，系数相加所得结果作为结果的系数，字母和字母的指数不变.简记为 “一加二不变”【设计意图】在互动过程中凸显同类项系数相加，字母和指数不变，便于学生发现总结合并同类项的法则，设计一个互动是让学生巩固合并同类项法则.探究三 ★▲●活动① （基础性例题）师问：本节课学习了什么法则生答：我们学习了同类项以及合并同类项法则.师问：利用同类项以及合并同类项法则可以解决什么？生答：整式的化简或求值.例1.化简：222227498667ab a b ab a b ab -+-+--；【知识点】合并同类项.【解题过程】解：原式=222227746968ab ab a b a b ab --++--（用不同的符号划出多项式中的同类项）.=222227764968ab ab a b a b ab -+-+--（加法交换律，注意交换时连同符号交换走）. =22222(77)(64)(96)8ab ab a b a b ab -+-+--（加法结合律）.=222(77)(64)(96)8ab a b ab -+-+--（乘法分配律）.=2220238ab a b ab ++-=222283a b ab -+（注意升降幂排列）.【思路点拨】按照同类项概念确定出多项式中同类项，再合并，注意每一步的依据.【答案】222283a b ab -+.师归纳：通常把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大（小）到小（大）的顺序排列叫做降（升）幂排列常数项视作字母指数为0.师问：多项式的化简实际就是合并多项式中的同类项，化简步骤是什么？生答：先用不同标记确定同类项，再运用加法交换律结合律把同类项结合在一起，第三按照合并同类项法则合并，第四把结果进行升降幂排列.师问：在化简过程中应注意哪几点？生答：交换项的位置时注意项的符号跟着交换走，合并时注意系数相加，子母和字母的指数不变.总结：交换项的位置时注意连同符号交换走，没有同类项的项连同符号写下来，合并时注意“一加二不变”的原则，最后结果应从新升幂或降幂排列.练习：化简：222243244a b ab a b ++--【知识点】同类项的识别和合并.【解题过程】解：222243244a b ab a b ++--=222244342a a b b ab -+-+（加法交换律）=2222(44)(34)2a a b b ab -+-+（结合律）=22(44)(34)2a b ab -+-+（分配律）=22b ab -+【思路点拨】按照同类项概念确定出多项式中同类项，再合并，注意每一步的依据.【答案】22b ab -+.【设计意图】通过例习题的学习使学生熟练掌握同类项的特征，熟练合并同类项，让学生明白数学学习必须弄清算理.例2.求多项式22225432x x x x x -++--的值，其中12x =. 【知识点】多项式的化简求值【解题过程】解：22225432x x x x x -++--=22223542x x x x x +--+-=222(23)(54)2x x x x x +----=2(213)(54)2x x +----=2x -- 当12x =时，原式=15222=--=-. 【思路点拨】先化简，再代入求值，这样更简单. 【答案】52-. 师追问：直接把12x =代入计算又如何？ 师问：哪种方法更简单？体会合并同类项的作用.总结：求多项式的值时，一般先化简，再代入指定的数值进行计算，合并时注意系数是负数的情况，必要时要正确使用括号，强调化简求值的格式书写.练习：2222748387y x xy y xy x ---+-，其中21=x ，21-=y ．【知识点】化简求值.【解题过程】解：2222748387y x xy y xy x ---+-=2222743788x x y y xy xy -+---=2222(74)(37)(88)x x y y xy xy -+--+=22(74)(37)(88)x y xy -+--+=223164x xy y --当21=x ，21-=y 时 原式=2211113()16()4()2222⨯-⨯⨯--⨯- =1134444⨯+-⨯ =3414+- =154【思路点拨】先化简再求值更简单且不易出错. 【答案】154. 【设计意图】让学生熟练的掌握合并同类项法则，弄清书写格式和步骤，初步理解代数的值得含义.●活动2 （提升型例题）例3．把()x y -当作一个因式,对223()7()8()5()x y x y x y x y ---+---合并同类项.【知识点】合并同类项进行多项式的化简.【数学思想】整体思想.【解题过程】解：223()7()8()5()x y x y x y x y ---+---=223()8()7()5()x y x y x y x y -+-----=[]223()8()7()5()x y x y x y x y ⎡⎤-+---+-⎣⎦=2(38)()(75)()x y x y +--+-=211()12()x y x y ---【思路点拨】把()x y -看作整体，按照多项式的化简步骤依据进行即可.【答案】211()12()x y x y ---练习：22()3()4()5()x y y x y x x y -----+-【知识点】合并同类项进行多项式的化简.【数学思想】整体思想.【解题过程】22()3()4()5()x y y x y x x y -----+-=22()3()4()5()x y x y x y x y -+---+-=22()4()3()5()x y x y x y x y ---+-+-=2(14)()(35)()x y x y --++-=23()8()x y x y --+-【思路点拨】注意()x y -与()y x -互为相反数，()()x y y x -=--，22()()x y y x -=-．【答案】23()8()x y x y --+-．【设计意图】通过例习题的学习使学生熟练掌握同类项的特征，熟练合并同类项. 掌握()()x y y x -=--，22()()x y y x -=-的变形，渗透整体的数学思想.●活动3 （探究型例题）例4．若单项式4252+m b a 与832b a n -的和仍是单项式，则m 与n 的值分别是（ ）.A ．2，4B ．4，2C ．1，1D ．1，3【知识点】同类项的概念.【解题过程】4252+m b a 与832b a n -的和仍是单项式，所以523n =-，248m +=所以4n =，2m =，选A.【思路点拨】由和是单项式确定这两个单项式是同类项，按照两相同特征列出方程解之即可.【答案】A.练习：若347--n b a 与171+m ba 是同类项，求100)(n m - 的值．【知识点】同类项的概念．【解题过程】解：347--n b a 与171+m ba 是同类项，所以31n -=，14m +=所以4n =，3m =，100100()(34)1m n -=-=.【思路点拨】注意同类项两相同两无关的特征.【答案】1.【设计意图】通过例习题的学习，熟练掌握同类项的特征，准确判断识别.3. 课堂总结知识梳理（1）所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项，两相同、两无关.（2）几个同类项合并成一项叫合并同类项，合并同类项法则是系数相加，字母和字母的指数不变.（3）多项式的化简实际就是合并同类项.重难点归纳（1）同类项的特征：两相同、两无关.（2）合并同类项的法则.（3）多项式的化简求值及步骤.（三）课后作业基础型 自主突破1.下列不是同类项的是（ ）A.－25和1B.224z xy -和224yz x -C.y x 2和2yx -D.3a -和34a【知识点】同类项的定义.【解题过程】解：A.都是常数项，故是同类项.B.虽所含字母相同，但相同字母的指数不相同，故不是同类项.C.所含字母相同且相同字母的指数也相同，与顺序无关，故是同类项.D.所含字母相同且相同字母的指数也相同，与系数无关，故是同类项.【思路点拨】根据同类项的定义判断.【答案】B.2.下列合并同类项正确的是（ ）①325a b ab +=；②33a a -=；③532523x x x =+；④770ab ba -=；⑤32323254y x y x y x -=-；⑥235--=-；A ．①②③④B ．③④⑤C ．③④⑤⑥D ．④⑤⑥【知识点】合并同类项.【解题过程】解：①多项式各项不是同类项，不能合并，故错；②各项是同类项，但应是系数相加，字母及指数不能变，故错；③多项式各项不是同类项，不能合并，故错；④系数是相反数的同类项合并为0，故对；⑤各项是同类项，系数相加仍是系数，字母及指数不变，故对；⑥是常数项，故对；所以选D.【思路点拨】按照合并同类项的法则逐一判断排除.【答案】D.3. 若单项式22m x y 与313n x y -是同类项,则m n +的值是 . 【知识点】同类项定义．【解题过程】解：单项式22m x y 与313n x y -是同类项,所以2n =，3m =，所以235m n +=+=.【思路点拨】根据同类项的定义逆向思维求出m 和n 的值，代入m n +计算即可.【答案】5.4. 化简：（1）22318115a b ab a b ab +--+-；（2）223()4()8()5()x y x y y x y x ---+---．【知识点】多项式的化简.【解题过程】解：（1）22318115a b ab a b ab +--+-=22381151a b a b ab ab --+-+=2(31)(811)(51)a b ab -----=2234a b ab +-；（3）223()4()8()5()x y x y y x y x ---+---=223()4()8()5()x y x y x y x y ---+-+-=223()8()4()5()x y x y x y x y -+---+-=211()()x y x y -+-．【思路点拨】根据合并同类项的法则，进行计算即可．合并同类项的法则是系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．x y -与y x -是互为相反数的，注意()x y y x -=--，22()()x y y x -=-的变形.【答案】（1）2234a b ab +-；（2）211()()x y x y -+-.5.当4x =-, 2y =时,求代数式2232233333x y xy x x y xy y -+++--的值.【知识点】化简求值.【解题过程】解：2232233333x y xy x x y xy y -+++--=2222333333x y x y xy xy x y -++-+-=33x y -当4x =-, 2y =时,原式=33(4)2--=648--=72-.【思路点拨】先化简，在代入求值.【答案】72-.6.已知x 和y 的多项式22222ax bxy x x xy y +--++合并后不含二次项，求34a b -的值．【知识点】多项式的化简求值.【解题过程】解：22222ax bxy x x xy y +--++=2(1)(22)2a x b xy x y -++-+，又知合并后不含二次项，故1a =，1b =-，即34314(1)7a b -=⨯-⨯-=．【思路点拨】根据题意关于x 和y 的22222ax bxy x x xy y +--++不含二次项，由此可解出a ，b 的值，将其代入34a b -即可求解．【答案】7.能力型 师生共研1.若 2313a x y +与140.4b x y -是同类项，求2222221152346a b ab a b ab a b +---的值. 【知识点】多项式的化简求值 【解题过程】解：2313a x y +与140.4b x y -是同类项， 所以12b -=，34a +=，即1a =，1b =-.2222221152346a b ab a b ab a b +--- =2222221152346a b a b a b ab ab --+- =2211(523)()46a b ab --+- =112ab 当1a =，1b =-时，原式=11(1)12⨯⨯-=112-. 【思路点拨】根据同类项的定义求出a ，b 的值，再化简多项式后代入求值. 【答案】112-. 2..若当1x =时,多项式31ax bx ++的值为5,则当1x =-时,求多项式311122ax bx ++的值. 【知识点】多项式的化简求值.【数学思想】整体思想.【解题过程】解：因为31ax bx ++的值为5，即31ax bx ++=5，所以34ax bx +=当1x =时，4a b +=当1x =-，311122ax bx ++=1()12a b --+=1()12a b -++=-1. 【思路点拨】先根据当1x =时,多项式31ax bx ++的值为5，求出4a b +=，再求出当1x =-时，1()12a b -++，整体代入求值. 【答案】-1.探究型 多维突破1.有这样一道题：当0.35a =,0.28b =-时,求333337636310a a b a a b a -++--的值.小明说:本题中0.35a =,0.28b =-是多余的条件,小强马上反对说:这多项式中每一项都含有a 和b ,不给出a ,b 的值怎么能求出多项式的值呢?你同意哪位同学的观点?请说明理由.【知识点】多项式的化简求值.【解题过程】解：同意小明的说法，理由如下：333337636310a a b a a b a -++--=333337310663a a a a b a b +--+-=-3化简后不含有a 和b 的项，所以多项式的值就与a 和b 的取值无关.【思路点拨】先把多项式进行化简，看最后的结果是否含有a 和b .【答案】同意小明的说法. 2.(1)水库水位第一天连续下降了ah ，每小时平均下降2cm ，第二天连续上升了a h ，每小时平均上升了0.5cm ，这两天水位的变化情况如何？(2)某商店原有5袋大米，每袋重：r kg .上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋.商店现有大米多少千克？【知识点】整式表示数量关系.【解题过程】（1）解：∵水库中水位第一天连续下降了a 小时，每小时平均下降2cm ， ∴第一天水位的变化量是：2a -cm ，∵第二天连续上升了a 小时，每小时平均上升0.5 cm ，∴第二天水位的变化量是：0.5a cm ，∴这两天水位的总变化量为： 2a -cm +0.5a cm = 1.5a -cm ，即水位下降了1.5a cm(2)∵商店原有5袋大米，每袋重r kg ，上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋 ∴商店现有大米=534r -+（） =6r kg【思路点拨】（1）分别求出第一天水位的变化量，第二天水位的变化量，相加即可；（2）原有的大米减去上午卖出的大米加上下午购进的大米数量等于商店现有的大米数量.【答案】（1） 1.5a -cm ；（2）6r kg .自助餐下列各式中，是23x y 的同类项的是（ ）A ．23a bB ．22xy -C ．2x yD ．3xy【知识点】同类项的定义.【解题过程】解：A.字母不同， 不是同类项，故A 不符合题意；B.相同字母的指数不同，不是同类项，故B 不符合题意；C.23x y 的同类项的是2x y ；D.相同字母的指数不同不是同类项，故D 不符合题意；故选：C ．【思路点拨】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案．注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关.【答案】C.2.合并同类项正确的是（ ）．A ．2222x x x +=B ．2244x x x +=C ．2222x x -=D ．2222x x x -=【知识点】合并同类项【解题过程】解：A.系数相加字母及指数不变，故A 正确；B.系数相加字母及指数不变，故B 错误；C.系数相加字母及指数不变，故C 错误；D.系数相加字母及指数不变，故D 错误；故选：A ．【思路点拨】根据合并同类项的法则把系数相加即可.【答案】A.3.若24m m n x y +与623x y -的和是单项式，则mn = ．【知识点】单项式定义和合并同类项发则.【解题过程】解：∵24m m n x y +与623x y -的和是单项式，∴26m =，2m n +=，∴3m =，1n =-，∴3mn =-，故答案为﹣3．【思路点拨】根据同类项的概念列出方程求得m ，n 的值即可．【答案】﹣3.4．已知多项式224223mx xy x x nxy y +--+-合并后不含二次项，则m n 的值是 ．【知识点】同类项的定义.【解题过程】解：原式=2(2)(24)3m x n xy x y -++--由于不含二次项，故20m -=，240n +=，∴2m =，2n =-∴2(2)4m n =-=，故答案为：4.【思路点拨】先合并同类项，然后令二次项的系数为0即可．【答案】4.5.合并同类项：（1）22318115a b ab a b ab +--+-；（2）2222222a ab b a ab b -+++-；（3）223()7()8()5()x y y x y x x y -+---+-．【知识点】合并同类项【解题过程】解：（1）22318115a b ab a b ab +--+-=2(31)(811)(15)a b ab ---+-=2234a b ab +-；（2）2222222a ab b a ab b -+++-=23a ；（3）223()7()8()5()x y y x y x x y -+---+-=223()7()8()5()x y x y x y x y -----+-=2(38)()(75)()x y x y -----=25()2()x y x y ----【思路点拨】根据合并同类项的法则，进行计算即可．合并同类项的法则是系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．【答案】（1）2234a b ab +-；（2）23a ；（3）25()2()x y x y ----．6.对于代数式22222735x xy y x kxy y +++-+，老师提出了两个问题，第一个问题是：当k 为何值时，代数式中不含xy 项，第二个问题是：在第一问的前提下，如果2x =，1y =-，代数式的值是多少？（1）小明同学很快就完成了第一个问题，也请你把你的解题写在下面吧．（2）在做第二个问题时，马小虎同学把1y =-，错看成1y =，可是他得到的最后结果却是正确的，你知道这是为什么吗？【知识点】整式表示数量关系.【解题过程】解：（1）因为22222735x xy y x kxy y +++-+=2222(2)(35)(7)x x y y xy kxy ++++-=2238(7)x y k xy ++-所以只要70k -=，这个代数式就不含xy 项，即7k =时，代数式中不含xy 项．（2）因为在第一问的前提下原代数式化简为：2238x y +当2x =，1y =-时，原式=2238x y +22328112820=⨯+⨯=+=（-）．马小虎同学的计算过程应该为：当2x =，1y =时，原式=2238x y +22328112820=⨯+⨯=+=． 因为1±的平方都等于1，所以马小虎的最后结果是正确的．【思路点拨】（1）代数式中不含xy 项就是合并同类项以后xy 项得系数等于0，据此即可求得；（2）把2x =，1y =-和2x =，1y =-代入（1）中的代数式求值即可判断．【答案】（1）7k =；（2）当2x =，1y =-时，原式=2238x y +22328112820=⨯+⨯=+=（-）．马小虎同学的计算过程应该为：当2x =，1y =时，原式=2238x y +22328112820=⨯+⨯=+=． 所以马小虎的最后结果是正确的．。

整式加减的一般步骤整式的加减是初中代数中重要的知识点，掌握整式加减的一般步骤对于解决各种代数问题以及拓展后续知识具有重大意义。

本篇文章将介绍整式加减的一般步骤。

一、整式的定义。

整式是由常数、变量和它们的积以及幂次构成一个分式，其相邻项及其系数常数都不同。

例如，$3某^2-2y某$就是一个整式。

二、整式加减的一般步骤。

在进行整式加减运算之前，我们需要调整被加减式子的次数，使它们的幂次相同，以此来实现整式的运算。

整式加减的一般步骤如下：1.合并同类项。

同类项指的是幂次相同的变量的积及其系数。

例如，3某和-2某就是同类项，也可以写成(3-2)某或某。

要完成整式的加减必须先将同类项合并成为更简化的整式。

2.找到各项的系数。

整式中的每一项都有一个系数，就如同$某^2$的系数是2、找到所有项的系数是整数加减的重要一步。

3.将同类项的系数相加或相减。

当学习整式的加减时，你需要掌握系数的加减，包括如何处理正负号。

例如，(3某+2)+(-2某-4)可以合并成3某-2。

4.化简得到最终的整式结果。

将前面的步骤执行完后，将同类项合并并且系数相加或相减之后，再进行化简。

简化后就是整式的加减结果。

三、整式加减的例题分析。

1.求解并化简(3某-5)+(4某+2)。

第一步：先将各项系数相加得到，(3某+4某)+(-5+2)=7某-3。

第二步：不需要化简得到最终的结果，整式加减得出的结果为7某-3。

2.求解并化简(2某$^2$+5某-1)+(5某-3某$^2$+2)。

第一步：先将各项系数相加，(2某$^2$-3某$^2$)+(5某+5某)+(-1+2)=-某$^2$+10某+1。

第二步：不需要化简得到最终的结果，整式加减得出的结果为-某$^2$+10某+1。

四、总结。

整式加减其实很简单，就是先将各项的系数相加，然后化简得到最终的结果。

然而，这一过程常常需要做的烦琐且枯燥，所以灵活运用各种代数方法是解决化简难题的关键。

在中学奥数的探索中，整式的加减是不可缺少的核心知识点，希望通过本文的介绍，可以帮助你彻底理解整式加减的步骤和方法。

第二章整式的加减整式的加减——合并同类项掌握的知识点：1．同类项概念：所含字母________，并且相同字母的指数也________的项叫做____________．2．合并同类项的概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做________________．3．合并同类项法则：把同类项的________相加，所得的结果作为系数，且字母部分不变．4．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的________，且字母连同它的指数________．知识点一同类项的概念例1下列各式不是同类项的是()A．12a2b与－a2b B．12x与－3x C．15ab2与－13a2b D．14xy与－yx知识点二合并同类项例2计算：(1)15x－20x＝________；(2)x＋8x－5x＝________；(3)－5a＋0.6a－2.4a＝________；(4)13y－23y＋2y＝________；(5)－6ab＋ba＋8ab＝________；(6)10y2－0.5y2＝________.知识点三合并同类项在整式的化简求值中的运用☞例3求下列各式的值：(1)3a＋2b－5a－b，其中a＝－2，b＝1；(2)3x－4x2＋7－3x＋2x2＋1，其中x＝－3.练习：变式1 下列各组中的两式是同类项的是( )A ．(－2)3与(－n )3B ．－45a 2b 与－45a 2c C ．x －2与－2 D ．0.1m 3n 与－12nm 3 变式2 直接写出下列各题结果：(1)3x －x ＝________；(2)－4a 2＋2a 2＝________；(3)－m 2－m 2＝________；(4)－37x 2－47x 2＝________； (5)8xy －5xy －7xy ＝________；(6)7a ＋b －2a －2b ＝________．变式3 先化简再求值：(1)2x 2－5x ＋x 2＋4x －3x 2－2，其中x ＝－1；(2)2a 3＋3a 2b －ab 2－3a 2b ＋ab 2＋b 3，其中a ＝3，b ＝2.加强练习：1．计算2a－3a，结果正确的是()A．－1 B．1 C．－a D．a2．如果2x a＋1y与x2y b－1是同类项，那么ab的值是()A．12B．32C．1 D．33．下列运算正确的是()A．3a＋2a＝5a2B．3a＋3b＝3abC．2a2bc－a2bc＝a2bc D．a5－a2＝a34．若单项式a m－1b2与a2b n的和仍是单项式，则n m的值是()A．3 B．6 C．8 D．9 5．(2019·怀化)合并同类项：4a2＋6a2－a2＝________．6．已知多项式2x2＋3kxy－y2－12xy＋10中不含xy项，则k＝________．7．合并同类项：(1)2a2b－3a2b＋12a2b；(2)3x2y－4xy2－3＋5x2y＋2xy2＋5；(3)3x2＋4x－2x2－x＋x2－3x－1.8．我们知道1＋2＋3＋…＋100＝5 050，于是m＋2m＋3m＋…100m＝5 050m，那么合并同类项m＋2m＋3m＋…51m的结果是()A．1 570m B．1 576m C．1 326m D．1 323m9．把x－y看成一个整体，合并同类项：5(x－y)＋4(x－y)－8(x－y)＝________．10．若单项式－2x m＋1y2与－13x5－n y2m是同类项，则(－m)n＝________．11．若关于a的式子2a＋ab－5，无论a为何值，该式的值恒不变，则b的值为________．12．某农贸公司有A，B，C三种农产品，且三种农产品的质量之比为5∶2∶7.若B种农产品有m吨，则三种农产品共有________吨(用含m的式子表示)．13．已知将3x4－2x3＋5x2＋kx3＋mx2＋4x＋5－7x合并同类项后不含有x3和x2项，求m k的值．14．小芳在小丽的典型习题摘抄本上看到这样一道题：当x＝－14，y＝0.78时，求多项式6x3－5x3y＋2x2y＋2x3＋5x3y－2x2y－8x3＋7的值．小芳对小丽说：“题目中给出的条件x＝－14，y＝0.78是多余的”．小芳说得有道理吗？为什么？。