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一、(满分12分）设X X X n ,,,12为来自均匀分布θU (0,)的随机样本，θθ,ˆˆ12分别为未知参数θ的矩估计量和最大似然估计量。
(1)证明nT n =+θθ和ˆˆ112都是未知参数θ的无偏估计; (2)比较两个估计量的优劣性.二、(满分14分）设X 服从伽玛分布Γαβ(,),其特征函数为=−−βϕαt itX ()(1).(1) 利用特征函数法求X 的数学期望和方差； (2)设X X X n ,,,12是独立同分布的随机变量，其概率密度为，⎩≤⎨=>⎧λλx f x e x x 0,0.(),0-试用特征函数法证明：∑=Γ=λY X n i i n~(,)1 三、（满分14分）从两个独立的正态总体中抽取如下样本值： 甲(X ) 4.4 4.0 2.0 4.8 乙（Y ）5.01.03.20.4经计算得x s y s ====3.8, 1.547, 2.4, 4.45312*2*2，在显著性水平=α0.05下，能否认为两个总体同分布？ 四、(满分10分）设X X X ,,,129是总体μσX N ~(,)2的一个样本.记Y X Y X k k k k ∑∑===63,=,11171269SS X Y Z Y Y k k ∑=−=−=2(),12()7212229求统计量 Z 的分布。
五、（满分14分）设X X X n ,,,12是总体X 的一个样本，X 的密度函数为f x x x ⎩⎨=<<⎧−θθθ他其0,.(;),01,1>θ0求未知参数g =θθ()1的最大似然估计量gθ()ˆ,并求g θ()的有效估计量.六、 (满分20分）观测某种物质吸附量y 和温度x 时，得到数据如下：x i 1.5 1.8 2.4 3.0 3.5 3.9 4.4 4.8 5.0 y i4.85.77.08.310.912.413.113.615.3应用线性模型N y a bx ⎩⎨⎧=++εσε~(0,)2(1) 求a 和b 的最小二乘估计及回归方程；(2) 在显著性水平=α0.05下，检验原假设=H b :00；(3)在温度x =60时，求吸附量y 0的置信水平为α−=10.95的预测区间; (4) 若要使吸附量在5-10之间，温度应该如何控制（=α0.05）.七、 (满分16分) 为了观察燃烧温度是否对砖块的密度有显著性影响，今在4种温度下做试验，得砖块密度的观察值如下： 温度（摄氏度） 砖块密度100 21.8 21.9 21.7 21.6 21.7 125 21.7 21.4 21.5 21.4 150 22.9 22. 8 22.8 22.6 22.5 17521.9 21.7 21.8 21.4试问燃烧温度对砖块密度是否有显著影响？(=α0.01) 附注：计算中可能用到的数据如下：t r F F t F F ===Φ=====5(7) 2.3646,(7)0.6664,(1,7) 5.59,(1.96)0.976(3,3)15.5,(6) 2.4469,(2,15) 3.68,(3,14) 5.50.9750.050.950.9750.9750.950.99一、（满分12分）解：（1）总体X 的密度函数为总体X 的分布函数为0,0(),01,x x F x x x θθθθ≤⎧⎪⎪=<<⎨⎪≥⎪⎩；由于2θ=EX ，得X 2ˆ1=θθ的矩估计量为 1ˆ[2]2θθ===E E X EX ，故的无偏估计量。
第一卷（2011年）一、(12分)设两个独立样本X 1,…,X n , Y 1,…,Y n 分别来自总体N(μ1，σ2)和N(μ2，σ2)，令222211111111,,(),()11n n n n i i X i Y i i i i i X X Y Y S X X S Y Y n n n n =======-=---∑∑∑∑， 及2,11()()1n X Y i i i S X X Y Y n ==---∑。
(1)当n=17时，求常数k使得12(0.95P X Y μμ->-+=(2)求概率22(1)XYS P S >。
二、(15分)设总体X 的密度函数为(;)f x θ=,1θ>(1)求参数θ的矩估计量θ；(2)求参数()g θ=的极大似然估计g；(3)试分析g的无偏性、有效性和相合性。
三、(10分)某生产商关心PC 机用的电源的输出电压，假设输出电压服从标准差为0.25V 的正态分布N(μ,σ2)，(1)问样本容量n 为多大时，才能使平均输出电压的置信度为0.95的置信区间的长度不超过0.2V ；(2)设X 1,…,X n 是来自总体X~N(0,θ)的样本，()1max n i i nX X ≤≤=。
统计假设：H 0：θ≥3，H 1：θ＜3的拒绝域为{}0() 2.5n K X =<，求假设检验犯第Ⅰ类错误的最大概率max α。
四、(10分)一药厂生产一种新的止痛片，厂方希望验证服用新药片后至开始起作用的时间间隔较原止痛片至少缩短一片，因此厂方提出检验假设： 012112:2,:2H H μμμμ=>。
此处12,μμ分别是服用原止痛片和新止痛片后至开始起作用的时间间隔的总体均值。
设两总体均为正态分布且方差分别为已知值21σ和22σ，X 1,…,X n 和 Y 1,…,Y n 是分别来自两个总体分布的相互独立样本。
试分析上述假设检验的检验统计量和拒绝域。
{1,(0,1)0,(0,1)x x ∈∈五、(15分)设样本(,)(1,2,...,)i i x y i n =满足，01ln i i i y x ββε=++，且12,,...,n εεε相互独立。
2011年1月全国自考概率论与数理统计（经管类）试题全国2011年4月高等教育自学考试 概率论与数理统计(经管类)试题课程代码：04183一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A ，B ，C 为随机事件，则事件“A ，B ，C 都不发生”可表示为( ) A ．B.BC C ．ABCD.2．设随机事件A 与B 相互独立，且P(A)=，P(B)=，则P(A B)=( )A ． B.C ． D.3．设随机变量X ～B(3，0.4)，则P{X≥1}=( ) A.0.352 B.0.432 C.0.784 D.0.9364.已知随机变量X 的分布律为P{-2<X≤4 }=( )A.0.2 C.0.55 D.0.8 5.设随机变量X 的概率密度为f(x)=，则E(X)，D(X)分别为 ( )A.-3，B.-3，2C.3，D.3，26.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=则常数c=( )A. B.C.2D.47.设随机变量X~N(-1,22)，Y~N(-2,32)，且X 与Y 相互独立，则X-Y~( )A.N(-3，-5)B.N(-3,13)C.N (1，)D.N(1，13)8.设X,Y为随机变量，D(X)=4，D(Y)=16，Cov(X,Y)=2，则XY=( )A. B.C. D.9.设随机变量X~2(2)，Y~2(3)，且X与Y相互独立，则( )A.2(5)B.t(5)C.F(2，3)D.F(3,2)10.在假设检验中，H0为原假设，则显著性水平的意义是( )A.P{拒绝H0| H0为真}B. P {接受H0| H0为真}C.P {接受H0| H0不真}D. P {拒绝H0| H0不真}二、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
2010年10月真题讲解（一）单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞0,P（B）＞0，则（）A.P（B|A）＝0B.P（A|B）＞0C.P（A|B）＝P（A）D.P（AB）＝P（A）P（B）『正确答案』分析：本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。
解析：A：，因为A与B互不相容，，P（AB）＝0，正确；显然，B，C不正确；D：A与B相互独立。
故选择A。
提示：① 注意区别两个概念：事件互不相容与事件相互独立；② 条件概率的计算公式：P（A）＞0时，。
2.设随机变量X～N（1，4），F（x）为X的分布函数，Φ（x）为标准正态分布函数，则F（3）＝（）A.Φ（0.5）B.Φ（0.75）C.Φ（1）D.Φ（3）『正确答案』分析：本题考察正态分布的标准化。
解析：，故选择C。
提示：正态分布的标准化是非常重要的方法，必须熟练掌握。
3.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则P{0≤X≤}＝（）『正确答案』分析：本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。
解析：，故选择A。
提示：概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。
4.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则常数c＝（）A.－3B.－1C.－D.1『正确答案』分析：本题考察概率密度的性质。
解析：1＝，所以c＝－1，故选择B。
提示：概率密度的性质：1.f（x）≥0；4.在f（x）的连续点x，有F’（X）＝f（x）；5.5.设下列函数的定义域均为（－∞，＋∞），则其中可作为概率密度的是（）A.f（x）＝－e－xB. f（x）＝e－xC. f（x）＝D.f（x）＝『正确答案』分析：本题考察概率密度的判定方法。
解析：① 非负性：A不正确；② 验证：B：发散；C：，正确；D：显然不正确。
故选择C。
提示：判定方法：若f（x）≥0，且满足，则f（x）是某个随机变量的概率密度。
数理统计考试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是中心极限定理的主要内容？A. 样本均值的分布趋近于正态分布B. 样本方差的分布趋近于正态分布C. 样本中位数的分布趋近于正态分布D. 样本最大值的分布趋近于正态分布答案：A2. 假设检验中的两类错误是什么？A. 第一类错误和第二类错误B. 系统误差和随机误差C. 测量误差和估计误差D. 抽样误差和非抽样误差答案：A二、填空题1. 总体均值的估计量是_________。
答案：样本均值2. 在进行假设检验时，如果原假设被拒绝，则我们犯的是_________错误。
答案：第一类三、简答题1. 简述什么是置信区间，并说明其在统计分析中的作用。
答案：置信区间是指在一定置信水平下，用于估计总体参数的一个区间范围。
它的作用是在统计分析中提供对总体参数估计的不确定性度量，帮助我们了解估计值的可信度。
2. 解释什么是点估计和区间估计，并给出它们的区别。
答案：点估计是用样本统计量来估计总体参数的单个值。
区间估计是在一定置信水平下，给出总体参数可能落在的区间范围。
它们的区别在于点估计提供了一个具体的数值，而区间估计提供了一个包含该数值的区间，反映了估计的不确定性。
四、计算题1. 某工厂生产的零件长度服从正态分布，样本均值为50mm，样本标准差为1mm，样本容量为100。
求95%置信水平下的总体均值的置信区间。
答案：首先计算标准误差：\( SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} =\frac{1}{\sqrt{100}} = 0.1 \)。
然后根据正态分布的性质，95%置信水平下的置信区间为：\( \bar{x} \pm 1.96 \times SE \)。
计算得到：\( 50 \pm 1.96 \times 0.1 = (49.84, 50.16) \)。
2. 假设某公司员工的日均工作时长服从正态分布，样本均值为8小时，样本标准差为0.5小时，样本容量为36。
《应用数理统计》2010年期末考试试题参考答案1、 因为"NQlt) , Xn+1~N (内,且两者相互独立，所以 n-X-N(0,(l + ：)。
2),又因为 当~x?(n -1),且两者相互独立，由t 分布的定义 2、(2)计算0的矩估计：EX = e ,令8 =又，解得0 = X ； 1 1 计算0的极大似然估计：L(o) = n ：i f(xj = 1' Q ~2- X ⑴-x ^-0 + ?整理得 O others,i i L(0) = f(x J = 1, X(n ；1-2-0-X ⑴+ 2，从而e 的极大似然估计不唯一，取值 。
others,［X (n) - X (1) + ；］的任意统计量都是其极大似然估计； (3 )由上一问可知，T 为8的极大似然估计。
(1 ) E|XJ = 2 V 皋改=六(。
％一亲)广(T = JI 。
,从而有Ea = E (i BX ：］|XJ )=二 R弟 2。
=。
，故为无偏估计。
U - 94 - 1414 cor - 32 彳。
彳 - 94+141+92 ―。
6、Yi = ~ = 18.8 , y2 = 5 = 28.2 , Y3 = ~ = 18.4 , y =~ = 21.8 ,X = X"库](% - /言"冷国- 15评 =(1794 + 4259 + 1770)- 15 X 21.82=694.4 ,3 51=1j=l=5[(18.8 — 21.8)2 + (28.2 - 21.8)2 + (18.4 - 21.8)2]=307.6 , S e = Sy — S A = 694.4 — 307.6 = 386.8 ,Xjj+i 得到 但…一沁/。
；(呜) 丁舄四…)。
4、得到方差分析表如下:平方和自由度均方和组间307.6 2 153.8 组内386.8 12 32.23 总和694.4 14 检验统i+«4.772由于F=4.772>3.89 ,落入拒绝域,从而认为三种类型电路的响应时间有显著差异。
概率论与数理统计（经管类）真题试卷及答案全国2010年4月高等教育自学考试、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未 选均无分。
1. 设A 与B 是任意两个互不相容事件，则下列结论中正确的是( D )A . P(A)=1-P(B)B . P(A-B)=P(B) C. P(AB)=P(A)P(B)D . P(A-B)=P(A)2. 设A, B 为两个随机事件，且 B A,P(B) .0,则P(A|B)= ( A )A . 1C . P(B)3 . 下列函数中可作为随机变量分布函数的是（^1 0兰x 兰1;A . F1(X)= * 0,1其他.10,x c0; C . F 3（X ）x, 0 Wx £1；1,x ^1.4 .设离散型随机变量 X 的分布律为XB . P(A) D . P(AB)C )"-1,xc0;B . F 2(x)詔 x, 0 兰 xc1;1,xZ1. 0, 0：：:0;D . F 4 (x) = x, 0 込 x ：：:1;2,x _1.，贝U P{-1<X w 1}=-10 12A . 0.3 D . 0.75.设二维随机变量（X , Y ）的分布律为 且X 与Y 相互独立，则下列结论正确的是（B . 0.4C . 0.6B . a=-0.1 , b=0.9 D . a=0.6, b=0.2A. a=0.2, b=0.6 C . a=0.4, b=0.4'16.设二维随机变量(X, Y)的概率密度为f(x, y)=」4‘I 0,则 P{0<X<1 , 1 '4 3 4A . 5B . 7C . 11D . 139 . 设(X, Y)为二维随机变量，且 D (X)>0 , D (Y)>0 ,则下列等式成立的是(B)A . E(XY)二E(X) E(Y)B . Cov(X,Y) = 'XY D(X) , D(Y)C . D(X Y) =D(X) D(Y)D . Cov(2X,2Y) =2Cov(X,Y)10•设总体X 服从正态分布 N(〜二2),其中二2未知.X 1, X 2,…，X n 为来自该总体的样本, 本标准差，欲检验假设 H °:」=」0, H 1：0,则检验统计量为.n x 」0C.•. n -1(x - ‘0)、填空题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。
湖北大学知行学院2010 —2011学年度第二学期课程考试 试题纸（第1页 共3页）知行学院课程考试试题纸……………………………………………………………………………………………………1 2 3 4 5 6 7 8 9 10一、单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分。
在备选项中只有一项是符合题意的，请将其代码选出填写在题前的答题卡内，写在括号内的一律无效 ）1、 对数据实行标准化之后得到的z 分数 （ ）。
A ．没有计量单位 B ．服从正态分布 C ．取值在0-1之间 D ．取值在-1到1之间。
2、一个对称分布的峰度系数等于2.0，则该数据的统计分布（ ）。
A.为尖峰分布 B.为扁平分布 C.为左偏分布 D.为右偏分布3、在回归分析中可能存在异方差问题。
异方差指的是（ ）。
A.各个自变量的方差不相等B.各个自变量的方差不等于因变量的方差C.总体回归模型中随机误差项的方差不相等D.各个因变量的方差不相等 A.进行修正的目的是为了消除多重共线性B.目的是为了修正自变量个数对判定系数的影响C.修正的判定系数取值在0-1之间。
D.以上都不对5、下列指数中属于质量指数的有（ ）。
A.消费者价格指数B.总成本指数C.GDP 增长率D. 销售额指数6、我国的居民消费价格指数是采用（ ）计算的。
A.拉氏价格指数公式 B.帕氏价格指数公式 C.固定加权指数公式 D.简单指数公式7、在问卷设计中，以下哪个问题设计的最为合理？（ ）。
A.国家认为H1N1病毒是可防可治的，你认为呢？ B.你喜欢足球和篮球运动吗？ C.你经常上网吗？D.你上个月的总支出是多少？8、一元线性回归方程的表达式为y ˆ＝100+6.8x ，判定系数等于0.81，则x 与y 之间的相关系数为（ ）。
A.0.81B.0.9C.-0.9D.0.9或者-0.9 9、 帕氏价格指数的计算公式为（ ）。
A.001q p q p ∑∑ B.011q p q p ∑∑ C.010q p q p ∑∑ D.1011q p q p ∑∑10、某商场2008年12月的商品销售额为100万元，该月的季节指数等于125%(乘法模型)，在消除季节因素后该月的销售额为（ ）。
10-11Ⅰ概率论与数理统计试卷（A）参考答案| | | | | | | |装|| | | |订|| | | | |线| | | | | | | | |防灾科技学院2010~2011学年第⼀学期期末考试概率论与数理统计试卷（A ）使⽤班级本科各班适⽤答题时间120分钟⼀、填空题（每题3分，共21分）1、设A 、B 、C 是三个事件，4/1)(=A P ，3/1)(=A B P ，2/1)(=B A P ，则=)(B A P1/3 ；2、已知10件产品中有2件次品，在其中任取2次，每次任取⼀件，作不放回抽样，则其中⼀件是正品，⼀件是次品的概率为16/45 ；3、随机变量X 的分布函数是??≥<≤<=.1,110,,0,0)(2x x x x x F ，=)}({2X E X P e21；5、从1,2,3中任取⼀个数，记为X ，再从X ,,1 任取⼀个数，记为Y ，则==}2{Y P 5/18 ；6、设随机变量X 和Y 相互独⽴，且均服从区间[]1,0的均匀分布，则3/4 ；7、设样本4321,,,X X X X 为来⾃总体)1,0(N 的样本，243221)(X X X C X Y +++=，若Y 服从⾃由度为2的2χ分布，则=C 1/3 。
⼆、单项选择题（本⼤题共7⼩题，每题3分，共21分）1、某⼈向同⼀⽬标独⽴重复射击，每次射击命中⽬标的概率为p ，则在第4次射击时恰好第2次命中⽬标的概率为（ B ）(A) 22)1(4p p -； (B) 22)1(3p p -； (C) 22)1(2p p -； (D) 3)1(p p -； 2、设随机变量X 的概率分布律为,2,1,0,!}{===k k A k X P ，则参数=A （ D ）(A) 0 ； (B) 1； (C) e ； (D) 1-e ；3、设随机变量X 的分布函数为()F x ，则31Y X =+的分布函数为（ A ）（A ）11()33F y -；（B ） (31)F y +；（C ） 3()1F y +；（D 11()33F y -；4、设连续型随机变量X 的概率密度为?<≥=-.0,0,0,)(x x e x f x λλ，则=≥})({X D X P （ C ）(A) 0 ； (B) 1； (C) 1-e ； (D) e ；5、设随机变量X 与Y 相互独⽴，其概率分布分别为10.40.6XP 01（A ）1}{==Y X P ；（B ）0}{==Y X P ；（C ）52.0}{==Y X P ；（D ）5.0}{==Y X P ；6、若)2(,,,21≥n X X X n 为来⾃总体)1,0(N 的简单随机样本，X 为样本均值，2S为样本⽅差，则（C ）（A ）)1,0(~N X n ；（B ）)(~22n nSχ；（C ）)1(~/-n t nS X ；（D ）)1,0(~N X ；7、总体X 的分布律 ()1/,0,1,2,,1P X k N k N ===- .已知取⾃总体的⼀个样本为(6,1,3,5,3,4,0,6,5,2)，则参数N 的矩估计值是 ( A ))(A 8； )(B 7； )(C 6； )(D 5.（本⼤题共2⼩题，每题7分，共14分。
2010-2011学年第二学期武汉大学经济与管理学院《统计学》开卷学号 姓名 学院 专业 分数一、简答题（6选5，每小题4分，共20分） 1、分析假设检验中包含的基本思想。
2、如何理解权数的意义？在什么情况下，应用简单算术平均数和加权算术平均数计算的结果是一致的？3、方差分析的适用条件及基本假定。
4、多元回归分析的基本假定有哪些？5、分析动态指数和静态指数的适用范围。
6、一般时间序列中除包含长期趋势外，还包含循环波动因素与季节波动因素，请分析产生循环波动与季节波动的原因分别是什么？二、论述题（6选5，每小题6分，共30分）1、假设在武大门口要开一间超市，需要了解潜在客户的需求信息，请问从哪些渠道可以收集到你所需要的资料？2、试分析参数估计中置信水平、置信区间、估计精确性之间的关系。
3、在时间序列数据中经常通过计算发展速度和增长速度指标来反映不同时点上某一观察值的变化情况，为什么在有些情况下，不能单纯就速度论速度，要注意速度与绝对水平的结合分析，请分析原因。
4、请分析相关分析与回归分析之间的关系。
5、数据整理和显示的方法很多，假设你收集到你们全班统计学的成绩，请问你会用哪些图或表把统计学成绩的特征显示出来？6、请分析参数估计和假设检验的关系。
三、计算分析（6选5，每小题10分，共50分）1、某装配车间安装车门仍需人工操作，不同工人的装配时间不同，同一工人的装配时间也有差异，为测定安装车门所需时间，每隔一定时间抽选一个样本，共抽取了10个样本，其数据如下（单位：秒）：41 43 36 26 20 21 46 39 37 21（1）05.0=a 时，估计安装一个车门所需平均时间的置信区间，并说明在作出置信区间时对总体的分布作了什么假定？（2）若要求估计平均装配时间的误差不超过2秒，05.0=a ，应抽选多大的样本？2、某厂甲、乙两个工人班组，每班组有8名工人，每个班组每个工人的月生产量记录如下：甲班组：20、40、60、70、80、100、120、70 乙班组：67、68、69、70、71、72、73、70 （1）计算甲、乙两组工人平均每人产量；（2）计算甲、乙两组工人产量的全距，平均差、标准差，标准差系数；比较甲、乙两组的平均每人产量的代表性。
北 京 交 通 大 学2010~2011学年第一学期数理统计学期末考试试卷（A 卷）（闭卷部分）答案一．（本题满分10分）设总体X 存在二阶矩，()μ=X E ，()2v a r σ=X ，()n X X X ,,,21 是从中抽取的一个样本，X 是样本均值，2S 是样本方差．⑴ 计算()X var ；⑵ 如果()2,~σμN X ，计算()2var S ．解：⑴ ()()n n n n X nX n X ni ni in i i 22212212111var 11var var σσσ=⋅===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑===． ⑵ 因为总体()2,~σμN X ，()n X X X ,,,21 是取自总体X 中的一个样本，所以()()1~1222--n S n χσ．所以，()()()()()()121211v a r 111v a r v a r 42422242222-=-⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=n n n S n n S n n S σσσσσσ．二．（本题满分10分） 设总体()2,~σμN X ，()921,,,X X X 是取自总体X 中的一个样本，令∑==61161i i X Y ， ∑==97231i i X Y ，()∑=-=9722221i i Y X U ．计算统计量()U Y Y Z 212-=的分布（不需求出Z 的密度函数，只需指出Z 所服从的分布及其参数）． 解：由题设可知，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6,~21σμN Y ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛3,~22σμN Y ，所以有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0~221σN Y Y ．因此有()1,0~221N Y Y σ-． 又由()∑=-=9722221i i Y X U ，得()2~2222χσU ．因此由t 分布的构造，得 ()()2~21222222121t UY Y UY Y Z ⋅-=-=σσ．三．（本题满分10分） 设总体()θθ2,~U X ，其中0>θ是未知参数．()n X X X ,,,21 是从中抽取的一个样本．试求出θ的一个充分统计量． 证明：总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它021θθθx x p ．所以，样本()n X X X ,,,21 的联合密度函数为()nni i x p θθ11=∏=；，()()n i x i ,,2,1,2 =<<θθ()()θθθ211<≤<=n x x nI ．令()θθθθ221211,,<≤<=t t nI t t g ，()1,,,21≡n x x x h ，则有 ()()()n ni i x x x h t t g x p ,,,,,21211θθ=∏=；．因此由因子分解定理，知统计量()()()n X X T ,1=是未知参数θ的充分统计量．四．（本题满分6分） 设总体X 的密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它0022θθθx x x p其中0>θ是未知参数．()n X X X ,,,21 是从中抽取的一个样本．试求出θ的一个矩估计量．解：()()()3623122232032202θθθθθθθθθ=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==⎰⎰+∞∞-x x dx x x dx x xp X E ．得方程 ()3θ=X E ，解方程，得()X E 3=θ．将()X E 替换成X ，得未知参数θ的矩估计量X 3ˆ=θ． 五．（本题满分14分）⑴ 设总体X 等可能地取值1，2，3， ，N ，其中N 是未知的正整数．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本．试求N 的最大似然估计量．（10分）⑵ 某单位的自行车棚内存放了N 辆自行车，其编号分别为1，2，3，…，N ，假定职工从车棚中取出自行车是等可能的．某人连续12天记录下他观察到的取走的第一辆自行车的编号为12， 203， 23， 7， 239， 45， 73， 189， 95， 112， 73， 159，试求在上述样本观测值下，N 的最大似然估计值．（4分） 解：⑴ 总体X 的分布列为 {}Nx X P 1==， ()N x ,,2,1 =． 所以似然函数为 (){}n ni i i Nx X P N L 11===∏=， ()()n i N x i ,,2,1,1 =≤≤．当N 越小时，似然函数()N L 越大；另一方面，N 还要满足：()n i N x i ,,2,1,1 =≤≤，即{}()n n x x x x N =≥,,,max 21 ．所以，N 的最大似然估计量为()n X N =ˆ． ⑵ 由上面的所求，可知N 的最大似然估计值为()239ˆ==n x N ． 六．（本题满分14分） 设总体()2,~σμN X ，其中μ与2σ都是未知参数，+∞<<∞-μ，0>σ．()n X X ,,1 是取自该总体中的一个样本．试求：⑴ μ与2σ的最大似然估计量（10分）；⑵ ()5>=X P p 的最大似然估计量（4分）． 解：⑴ X 的密度函数为()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=-2221222exp 2,σμπσσμx x p ；，()+∞<<∞-x ． 所以，似然函数为 ()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--==∑∏=-=ni i nni ix x p L 1222212221exp 2,,μσπσσμσμ；． 取对数，得 ()()()∑=---=ni i x n L 12222212ln 2,ln μσπσσμ． 分别对μ与2σ求偏导数，并令其为0，得似然方程组()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=∂∂=-=∂∂∑∑==0212,ln 01,ln 124222122ni i n i i x n L x L μσσσμσμσσμμ ． 解方程组，得x x n n i i ==∑=11μ，()∑=-=n i i x x n 1221σ，因此得μ与2σ的最大似然估计量为X X n n i i ==∑=11ˆμ，()∑=-=n i i X X n 1221ˆσ． ⑵ 由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛n N X 2,~σμ，所以()()⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤--=≤-=>=n n n X P X P X P p σμσμσμ5151515， 所以()5>=X P p 的极大似然估计量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=n SXp 51ˆ． 七．（本题满分6分） 设总体()p B X ,1~，其中10<<p 是未知参数．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本，样本量2≥n ．试求待估函数()2p p g =一个无偏估计量． 解：令21X X T =，由于()()()()22121p X E X E X X E T E ===， 所以21X X T =就是()2p p g =的一个无偏估计量．八．（本题满分12分）设总体X 服从指数分布，其密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-001x x ex p xθθ，()n X X X ,,,21是取自该总体中的一个样本．⑴ 求出统计量()i n i X X ≤≤=11min 的密度函数()()x p 1，并指出该分布是什么分布（4分）？⑵ 求常数a ，使得i ni X a T ≤≤=1min 为θ的无偏估计（4分）；⑶ X 为样本均值，指出X 与T 哪一个更有效（4分）． 解：⑴ 由于总体X 的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-001x x ex p xθθ，因此其分布函数为 ()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤==-∞-⎰0100x ex dt t p x F x xθ ．所以()i ni X X ≤≤=11min 的密度函数为()()()()()θθθθθnx x n x n e n e e n x p x F n x p -----=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=11111，()0>x ． 即随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为nθ的指数分布．⑵ 由于随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为n θ的指数分布，所以()()()nX E X E i n i θ==≤≤11min ．所以，若使()()()θθ=⋅==≤≤na X aE X E i ni 11min ，只需取n a =即可．即若取n a =，即i ni X n T ≤≤=1min ，则T 是未知参数θ的无偏估计量．⑶ 由于()θ=T E 以及()θ=X E ，因此i ni X n T ≤≤=1min 与X 都是未知参数θ的无偏估计量．又由于随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为nθ的指数分布，因此()221min var n X i n i θ=≤≤，所以()()()2222121m i n v a r m i n v a r v a rθθ=⋅===≤≤≤≤n n X n X n T i ni i ni ，又 ()()nn X X 2v a r v a r θ==， 由于 ()()T nX v a r v a r 22=≤=θθ，所以X 比T 更有效．九．（本题满分8分）设总体()θ,0~U X ，其中0>θ是未知参数．()n X X X ,,,21 是从中抽取的一个样本．试验证()n X T =是参数θ的一个完备统计量． 解：()n X T =的密度函数为 ()nn n nx x p θ1-=，()θ<<x 0．设()n X T =的函数()()n X ϕ满足()()()0=n X E ϕ，即有 ()()()()()()001===⎰⎰-+∞∞-θϕθϕϕdx x x ndx x p x X E n nn n ，()0>θ． 则有 ()001=⎰-θϕdx x x n ．对θ求导，得()01=⋅-n θθϕ，()0>θ． 因此得 ()0≡θϕ，()0>θ．这表明，()()10==X P ϕ，因此()n X T =是参数θ的一个完备统计量．十．（本题满分10分） 设总体()p B X ,1~，其中10<<p 是未知参数．()n X X X ,,,21 是取自该总体中的一个样本．试求参数p 一致最小方差无偏估计量． 解：X 的分布列为 ()()xx p p x X P --==11，()1,0=x ．所以样本()n X X X ,,,21 的联合分布列为()()∑-∑====-=∏ni i n i ix n x ni i i p px X P 1111()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⋅-=∑=p p x p n i i n1ln exp 11令()()np p -=1α，()∑==ni i n x x x x T 121,,, ，()ppp -=1lnϕ，()1,,,21≡n x x x h ，则有 ()()()(){}()n n ni i i x x x h p x x x T p x X P ,,,,,,exp 21211ϕα⋅==∏=并且p 的定义域为()1,0，()ppp -=1lnϕ的值域为()∞+∞-,，都是一维开集， 所以()∑==ni i n X X X X T 121,,,是参数p 的充分完备统计量．又∑==ni i X n X 11是参数p 的无偏估计量，而且是()∑==ni i n X X X X T 121,,,的函数，因此∑==ni i X n X 11是参数p 的一致最小方差无偏估计量．。
xx师范大学2010–2011学年第二学期
期末考试试卷（B卷答案）
课程名称数理统计课程编号 xxxxxxxxxx 任课教师
题型填空题证明题计算题应用题总分
分值15 30 25 30 100
得分
一、填空题（共5题，每题3分，共15 分）
1、设总体～, 为其子样，和S2分别为其子样均值和子样方差，则
和S2相互独立，～；
2、设为来自总体的简单随机样本，，未知，则如下随机变
量，，中不是统计量的是；
3、设是来自总体分布为的简单随机样本，是参数的一实
值函数，若统计量是的一个无偏估计量，则= ；
4、设为来自总体的简单随机样本，～，当未知时，参数的
置信水平为的区间估计为；
5、在统计假设检验中，则检验犯第二类错误的概率=
；
二、证明题：（共2题，每题15 分，共30 分）
6、设总体～, 为其子样，和分别为其子样均值和子样方差总体，又与相互独立，证明～t。
n1
证明：由正态总体抽样基本定理：～，～，
且与相互独立，（5 分）由～，～，且与相互独立（8 分）。
武汉大学 20102011第二学期概率论与数理统计B 期末试题（54学时）一、（12 分）若B 和 A 为事件， ()0.5,()0.6,(|)0.8 P A P B P B A === 求 ⑴ () P A B È ；⑵ (()()) P A B A B -½È 。
二、（12 分） 某车间的零件来自甲、 乙、 丙三厂， 其各占比例为 5： 3： 2， 次品率分别为0.05,0.06,0.03；现从中任取一件，求 ：⑴它是次品的概率？⑵如果它是次品，它来自乙厂的概率？三、（12 分）随机变量X 的密度函数为 10 sin () 2x xf x p ì << ï = í ï î 其他。
A 表示事件“ 3X p³”⑴求 () P A ；⑵对X 进行 4 次独立观测，记A 出现的次数为Y ，求其概率分布及 2Y 的数学期望。
四、（14 分）若随机变量(,) X Y 的联合概率密度为 (2)2 (,) 0x y ef x y -+ ì = íî 0,0 x y >> 其他；⑴求随机变量X 和Y 的边缘概率密度 ();() x y f x f y ； ⑵ X 和Y 是否独立 ？（3）求 2 Z X Y =+ 的概率密度。
五、（12 分） 若随机变量 (,) X Y 在区域 2:01, D x x y x ££££ 上服从二维均匀分布， 求随机变量(,) X Y 的相关系数 xy r 。
六、（14 分）若 12 , n X X X K 为来自 2(0,) N s 的样本； X 为样本均值， i i Y X X =- 1,2 i n= K 求（1） i Y 的方差；（2） 1 ov(,) n C Y Y 。
（3）当a 为何值时， 2122223 naX F X X X = +++ L 服从F 分布？ 七、（12 分）若随机变量X 在区间(0,) q 服从均匀分布， 12 , n X X X K 是其样本，求（1）q 的矩估计和极大似然估计。
