《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》(第1学时共3学时)

第三章 三角恒等变换

3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、选择题

1．cos750cos150 - sin750sin150 的值是（ ）

A．21 B．-21

C．23 D．0

2．在△ABC中，已知5cos13A，3sin5B，

则cosC的值为（ ）

A． 1665 B． 5665

C． 1665或5665 D． 1665

3． 已知02，4cos()65，则

sin()（ ）

A.33410 B.33410

C.33410 D.33410

4．已知∈(2,)，sin=53,则tan(4)等于（ ）

A.71 B.7

C. -71 D. -7

5．若2≤x≤2，则()3sincosfxxx

的取值范围是（ ）

A．[1,2] B．[1,1]

C．[3,2] D．[3,3]

6．已知tan2，则 22sinsincos2cos（ ）

A.43 B.54

C.34 D.45

7．下列各式中值等于12的是（ ）

A．sin15cos15

B.2tan22.51tan22.5

C.22cossin1212

D.1cos32

8. 已知tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且α，β∈（－π2，π2），则α＋β等于（ ）

A．－23π B．－23π或π3

C．－π3或23π D．π3

两角和与差的正切公式

解析：

两角和、差的正切公式：

两角和、差的正弦公式

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

记忆方式：异名同号

正弦的展开肯定就是以正弦开头，然后满足异名，正弦配余弦，符号就和我们要求的符号相同。

两角和、差的余弦公式

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

记忆方式：同名异号

余弦的展开肯定就是以余弦开头，然后满足同名，余弦配余弦，正弦配正弦，符号就和我们要求的符号相异。

三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

归纳与技巧：两角和与差的正弦、余弦和正切公式

基础知识归纳

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；

(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；

(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；

(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；

(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；

(6)T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；

(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

(3)T2α：tan 2α＝2tan α1－tan2α.

3．常用的公式变形

(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；

(2)cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2；

(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，

1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，

sin α±cos α＝2sinα±π4.

基础题必做

1． 若tan α＝3，则sin 2αcos2α的值等于( )

A．2 B．3

C．4 D．6

解析：选D sin 2αcos2α＝2sin αcos αcos2α＝2tan α＝2×3＝6.

2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) A．－22 B.22

C.32 D．1

解析：选B 原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22.

河北武中·宏达教育集团教师课时教案

备课人 授课时间

课题 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）

课标要求 两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用

教

学

目

标 知识目标 两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用

技能目标 体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.

情感态度价值观 使学生体验科学探索的过程

重点 两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用

难点 两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.

教

学

过

程

及

方

法 问题与情境及教师活动 学生活动

（一）复习式导入：（1）大家首先回顾一下两角差的余弦公式：coscoscossinsin． （2）cos？

（3）cossin？（二）新课讲授问题：由两角差的余弦公式，怎样得到两角差的正弦公式呢？探究1、让学生动手完成两角和与差正弦公式.sincoscoscoscossinsin2222 sincoscossin．

sinsinsincoscossinsincoscos探究2、让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）

sinsincoscossintancoscoscossinsin．

探究3、通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan、tan的形式呢？

学生完成

1 河北武中·宏达教育集团教师课时教案

教

学

过

程

及

方

法 问题与情境及教师活动 学生活动

（分式分子、分母同时除以coscos，得到tantantan1tantan．

注意：,,()222kkkkz