第九章 超静定系统9-1 图示悬臂梁32750,3010.l mm EI N m ==⨯。
弹簧刚度317510/k N m =⨯。
若梁与弹簧的间隙 1.25mm δ=，求力450P N =作用时弹簧的受力。
解：若按一般悬臂梁，则有作用点处挠度32.11 1.253Pl f mm mm EIδ==>= 可见梁在实际变形下触及弹簧。
设弹簧的弹力为N ，问题一次超静定；挠度设为P δ，则弹簧被压缩量为P δδ-，对梁而言3()3P l P N EIδ=-； 对弹簧而言N=k(-)P δδ以上两式得3()3l NP N EI Kδ-=+，解得82.7N =牛顿 所以，弹簧受力为82.7牛顿。
题9-1图 题9-2图9-2 图示悬臂梁的自由端刚好与光滑斜面接触，求温度升高t ∆时梁的最大弯矩。
已知A a E I 、、、，且不计轴力对弯曲变形的影响。
解：斜面光滑，则B 处（自由端）所受力为垂直于斜面向上，以B R 代替。
问题一次超静定，协调条件为：垂直于斜面方向上的位移分量为0（沿B R 方向） 升温时，l t l α∆=∆⋅，则分量为cos45t l δ=∆⋅︒B R 作用下：(),cos45R B B BM x M Nl Ndx N R EI P EA R δ∂∂=⋅+⋅=⋅︒∂∂⎰362B B R R l R lEI EAδ=+ （沿B R 向斜上方），t δ与R δ方向相反，则：0R t δδ-=解出23B R t Al Iα=∆+，则max 23cos 453B EIAl M R l t Al I α=︒=∆+9-3 图示桁架中各杆的抗拉压刚度相同。
试求桁架各杆的内力。
解：假设1杆受拉力N 。
由于杆1实际上是连续的，因而切口处的相对位移应等于零。
于是变形协调条件为：10δ=。
应用莫尔定理01i i ii N N l EA δ=∑，11N N =，31N N =，5612N N N ==-，341N N P ==-，00131N N ==，00562N N ==-，0034N N ==∴116+(180N δ=-+=，31N N ==（拉力），56N N ==24N N ==q题9-3图 题9-4图 题9-5图9-4 设刚架的抗弯刚度EI 为常量。
试求刚架A 点和C 点的约束反力，并画出刚架的弯矩图。
解：问题一次超静定，解除C 处支反力()C R ↑则M 分布为：111()(0)C M x R x x a = ≤≤；2222()(0)2C qx M x R a x l =- ≤≤ 则C 处向上的位移22111200()2C a l C C C qx R a M x M R x dx x dx adx EI R EI EIδ-∂==+∂⎰⎰⎰ 积分得32336C C R a R a l ql a lC EI EI EI δ=+-，而0C δ=，求得32()26C ql R a al=↑+ 整体结构0Y =∑，求得32(),2(3)2A C A ql ql R R M a l =↓=-++（逆时针向） 9-5 悬臂梁的自由端用一根拉杆加固。
若杆横截面为直径10d mm =的圆形，梁的截面惯性矩41130I cm =，拉杆与梁的弹性模量都是200E GPa =。
试求拉杆的正应力。
解：设拉杆轴力为N ，原来的自由端的挠度为2430()283l qx Nx M x M ql Nl f dx xdx EI N EI EI EI -∂===+∂⎰⎰ 对拉杆而言 Nlf l EA=∆=建立方程得： 4383ql Nl NlEI EI EA+=， 其中424,5,1130,4l m L m I cm A d π====，代入后解得185,14.5NMPa N kN Aσ=== 9-6 多节链条的一环的受力情况如图所示，试求环内最大弯矩。
2P题9-6图解：分析C 截面上的内力情况，因为外载对称，C 处没有转角，可以取结构的14出来，C 处作固定约束处理，0,2B B PN Q ==，令1B M X =， 则变形协调条件为：11110R X δ+∆=B Q 引起：BE 段内，()sin 2P M R θθ=，EC 段内：2PR M = 则：2110011111()2a Rd dx E a EI EI EI ππδθ⋅⋅=+=⋅+⎰⎰22100sin 11221()22a R P PRR PR PRa Rd dx EI EI EI πθθ⨯∆=⋅⋅+=+⎰⎰ 代到正则方程中，求得12B R ax M PR R aπ+==-+ 则：BE 段 sin ()2B PR M M θθ=+；EC 段 ()2B PRM x M =+显然，有max ()2B R aM M PR R aπ+==-+Ð9-7 圆环受力如图所示。
试利用结构和载荷的对称性求圆环内A 点的弯矩。
M AA题9-7图解：若以过A 的直径为对称轴，载荷是对称的，则A 截面上的反对称内力0A Q =对于图示的ACB 段，B Q 同理也为零，由平衡条件可求出A B N N == 对于AC 段，由对称性可知0,0,0,02C C C C PM N Q θ=≠≠=≠，则以固定端代替。
以OA 半径为起始边，则有03πα<<，()(1cos )A M M αα=+- 3()1[(1cos )]10A A A M M ds M Rd EI M EIπαθαα∂==-⋅⋅=∂⎰⎰得到：1()032A M PR π-=，3(2A M PR π=（方向如图） 9-8 封闭刚架受力如图。
试求P 力作用点处的相对位移，并画出刚架的弯矩图。
2B P R =题9-8图解：以P 的作用线作截面，是对称结构上加反对称荷载，有轴力为0。
取四分之一结构：1,2B B PQ M X ==。
B 处转角为零，正则方程为：11110P X δ+∆= B M 引起：BC CA 、段均为B MB Q 引起：BC 段，11()(0);2P M x x x a CA =≤≤段，22()(0)22Pa l M x x = ≤≤ 则：2111200212111112laa ldx dx EI EI EI EI δ⋅⋅=+=+⎰⎰ 211200************l a P P Px a a l dx dx EI EI EI EI ∆=⋅+⋅=⋅+⋅⎰⎰ 解出：1111PB X M δ∆==-。
卡氏定理积分得2312212242B I la I Pa I EI a l I δ+=⋅+ 所以，23122122122ABB l I laPa I I EI a I δδ+==⋅+ABB4n E PlM =-()x M BEE)题9-9图9-9 折杆横截面为圆形，直径20,1,0.2d mm l m a m ===。
650N,E=200GPa P =，0.25μ=。
试求P 力作用点的竖直位移。
解：由结构及载荷的对称性可知，E 处的扭矩为零，截面转角0,E θ=而2E P Q = 分析一半结构：E M 是对y 轴的。
由图乘法或积分可得：0E θ=解得234E PlM =⨯（注意，有1/2E a G l ⋅⋅=），则BE 段B 处弯矩为1434E Pl PlM -=-⋅ 各段内力已知，求得 4.86()E f mm =↓9-10 试求两端固定梁B A 、端的约束反力（不计轴力）。
(a)CM M M B(b)题9-10图解：()a 在AB 段中间处取截面C ，对称性分析可知，0C Q =，略去轴力的影响，令1C X M =，有0C θ=，则正则方程为：1111P C X δθ+∆=232211100111,(1)2248l l P l qx ql dx dx EI EI EI EIδ⋅-==∆=⋅=-⎰⎰代入到正则方程中有2111124Pql X δ∆=-= 由静力平衡条件可解出：2(),()212A A ql ql R M EI -=↑=Ñ 由对称性：2(),()212B B ql ql R M EI =↑=-Ð ()b 问题是二次超静定的，去掉两端的转动约束有()0366A B A M l M l Pab l b EI EI EIl θ+=-+-=， ()0636A B B M l M l Pab l a EI EI EIlθ+=-++= 解得：2222,A B Pab Pa bM M l l=-=-。
再由静平衡分析，2233(2)(2)(),()A B Pb l a Pa l b R R l l ++=↑=↑9-11 试求解图示的超静定刚架。
B题9-11图解：从C 处断开，是在对称结构上施加反对称载荷，故1Q X =，两截面上相对位移0δ=。
左侧：221001()22la Qx l l dx Q Px dx EI EI δ=+⋅-⎰⎰3221()2444Ql Ql a Pla EI =+- (↓)同理求得 32221()()2444Ql Ql a Pla EI δ=+- ↑ 120,δδδ=+= 26(6)Pa Q l l a =+ （方向同图示） 进而由静力平衡条件可得263(),(),()(6)6A A A Pa l aY X P M Pa l l a l a +=- ↓=-←=++Ñ263(),(),()(6)6B B B Pa l a Y X P M Pa l l a l a+=↑=-←=++Ñ。
