2015-2016学年陕西省咸阳市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)

第1页（共10页） 2015-2016学年陕西省咸阳市高二（下）期末数学试卷（文科）

一、选择题：每小题为5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

1．（5分）已知i为虚数单位，则z＝在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．（5分）下列四个图象中，两个变量具有正相关关系的是（ ）

A

． B

．

C

． D

．

3．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0＝x0﹣1”的否定是（ ）

A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0＝x0﹣1

C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx＝x﹣1

4．（5分）下列函数求导正确的是（ ）

A．（sinx）′＝﹣cosx B．（cosx）′＝sinx

C．（2x）′＝x•2x﹣1 D．（）′＝﹣

5．（5分）设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6．（5分）命题“若x＝2，则x2﹣3x+2＝0”的逆否命题是（ ）

A．若x≠2，则x2﹣3x+2≠0 B．若x2﹣3x+2＝0，则x＝2

C．若x2﹣3x+2≠0，则x≠2 D．若x≠2，则x2﹣3x+2＝0

7．（5分）要证明不等式+＜2，可选择的方法有（ ）

A．分析法 B．综合法

C．反证法 D．以上三种方法均可

第2页（共10页） 8．（5分）为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系，

运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2＝8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关

系”的把握性约为（ ） P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001

k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A．0.1% B．1% C．99% D．99.9% 9．（5分）若实数m满足0＜m＜8，则曲线C1：﹣＝1与曲线C2：﹣＝1

的（ ）

A．焦距相等 B．实半轴长相等

C．虚半轴长相等 D．离心率相等

10．（5分）已知椭圆+＝1（m为实数）的左焦点为（﹣4，0），则该椭圆的离心率为

（ ）

A． B． C． D．

11．（5分）观察下列各式：＝2•，＝3，＝4•，…，

若＝9•，则m＝（ ）

A．80 B．81 C．728 D．729

12．（5分）函数f（x）的定义域为R，它的导函数y＝f′（x）的部分图象如图所示，则下

面结论正确的是（ ）

A．在（1，2）上函数f（x）为增函数

B．在（3，4）上函数f（x）为减函数

C．在（1，3）上函数f（x）有极大值

D．x＝3是函数f（x）在区间[1，5]上的极小值点

第3页（共10页） 二、填空题：每小题5分，共20分．

13．（5分）若输入a＝3，b＝4，则通过如图程序框图输出的结果是 ．

14．（5分）设i为虚数单位，则复数i2015的共轭复数为 ．

15．（5分）函数f（x）＝alnx+x在x＝1处取得极值，则a的值为 ．

16．（5分）设抛物线y2＝4x上的一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离

为 ．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．

17．（10分）已知函数f（x）＝x3+3x2﹣9x+3．求：

（Ⅰ）f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）f（x）的极值．

18．（12分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F位于直线x+y﹣1＝0上．

（Ⅰ）求抛物线方程；

（Ⅱ）过抛物线的焦点F作倾斜角为45°的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB

的中点C的横坐标．

19．（12分）已知数列{an}中，a1＝1，an+1＝（n∈N+）．

（Ⅰ）求a2，a3，a4的值，猜想数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）运用（Ⅰ）中的猜想，写出用三段论证明数列{}是等差数列时的大前提、小前

提和结论．

20．（12分）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为

了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量

与PM2.5的数据如表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五

车流量x（万辆） 50 51 54 57 58

PM2.5的浓度y（微克/立方米） 69 70 74 78 79

（1）根据表数据，请在下列坐标系中画出散点图；

（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；

第4页（共10页） （3）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时

PM2.5的浓度为多少（保留整数）？

21．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦距为2，长轴长为4．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）如图，过坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C交于A，B两点．设A（x1，

y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝﹣2x+m（m＞0），试求m的值．

22．（12分）已知函数f（x）＝+x在x＝1处的切线方程为2x﹣y+b＝0．

（Ⅰ）求实数a，b的值；

（Ⅱ）若函数g（x）＝f（x）+x2﹣kx，且g（x）是其定义域上的增函数，求实数k的

取值范围．

第5页（共10页） 2015-2016学年陕西省咸阳市高二（下）期末数学试卷（文

科）

参考答案与试题解析

一、选择题：每小题为5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

1．【解答】解：

所以z在复平面内对应的点为（1，﹣1）

位于第四象限

故选：D．

2．【解答】解：A中两个变量之间是函数关系，不是相关关系；

在两个变量的散点图中，若样本点成直线形带状分布，则两个变量具有相关关系，

对照图形：BD样本点成直线形带状分布，B是负相关，D是正相关，

C样本点不成直线形带状分布．

∴两个变量具有正相关关系的图是D．

故选：D．

3．【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，

故选：C．

4．【解答】解：（sinx）′＝cosx，（cosx）′＝﹣sinx，（2x）′＝ln2•2x，（）′＝﹣，

故选：D．

5．【解答】解：a，b是实数，如果a＝﹣1，b＝2则“a+b＞0”，则“ab＞0”不成立．

如果a＝﹣1，b＝﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立，

所以设a，b是实数，则“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件．

故选：D．

6．【解答】解：命题“若x＝2，则x2﹣3x+2＝0”的逆否命题是

“若x2﹣3x+2≠0，则x≠2”．

故选：C．

7．【解答】解：用分析法证明如下：要证明+＜2， 需证（+）2＜（2）2，

第6页（共10页） 即证10+2＜20， 即证＜5，即证21＜25，显然成立，

故原结论成立． 综合法：∵（+）2﹣（2）2＝10+2 ﹣20＝2（﹣5）＜0，∴+＜2． 反证法：假设+≥2通过两端平方后导出矛盾，从而肯定原结论．

从以上证法中，可知三种方法均可．

故选：D．

8．【解答】解：∵K2＝8.01＞6.635，对照表格： P（k2≥k0） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001

k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828

∴有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系．

故选：C．

9．【解答】解：当0＜m＜8，则0＜8﹣m＜8，16＜24﹣m＜24，

即曲线C1：﹣＝1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2＝24，b2＝8﹣m，c2＝32

﹣m，

曲线C2：﹣＝1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a′2＝24﹣m，b′2＝8，c′

2＝32﹣m，

即两个双曲线的焦距相等，

故选：A．

10．【解答】解：椭圆+＝1（m为实数）的左焦点为（﹣4，0），

即有a＝|m|，b＝3，c＝4，

由c2＝a2﹣b2，即16＝m2﹣9，

可得a＝|m|＝5，

可得离心率e＝＝．

故选：B．

第7页（共10页） 11．【解答】解：：＝2•＝2•，

＝3， ，＝4•＝4，

…， 所以， 所以＝9•＝9，

所以m＝93﹣1＝729﹣1＝728；

故选：C．

12．【解答】解：根据导函数图象知，x∈（1，2）时，f′（x）＞0，x∈（2，4）时，f′（x）

＜0，x∈（4，5）时，f′（x）＞0；

∴f（x）在（1，2），（4，5）上为增函数，在（2，4）上为减函数，x＝2是f（x）在[1，

5]上的极大值点，x＝4是极小值点；

∴A正确．

故选：A．

二、填空题：每小题5分，共20分．

13．【解答】解：模拟执行程序，可得

a＝3，b＝4

d＝9+16＝25，

c＝5，

输出c的值为5．

故答案为：5．

14．【解答】解：i2015＝（i4）503•i3＝﹣i，

∴它的共轭复数为i．

故答案为：i．

第8页（共10页） 15．【解答】解：由题意得f′（x）＝+1

因为函数f（x）＝alnx+x在x＝1处取得极值，

所以f′（1）＝0，即a+1＝0，所以a＝﹣1．

故答案为﹣1．

16．【解答】解：由于抛物线y2＝4x上一点P到y轴的距离是4，故点P的横坐标为4．

再由抛物线y2＝4x的准线为x＝﹣1，

以及抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，

故点P到该抛物线焦点的距离是4﹣（﹣1）＝5，

故答案为：5．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．

17．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝3x2+6x﹣9，解f′（x）≥0得：

x≥1，或x≤﹣3；

∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3]，[1，+∞）；

（Ⅱ）x＜﹣3时，f′（x）＞0，﹣3＜x＜1时，f′（x）＜0，x＞1时，f′（x）＞0；

∴x＝﹣3时f（x）取极大值30，x＝1时，f（x）取极小值﹣2．

18．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F位于直线x+y﹣1＝0上，

∴F（1，0）

∴抛物线方程为y2＝4x；

（Ⅱ）抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x＝﹣1，

直线AB的方程为y＝x﹣1，

设点A（x1，y1）、B（x2，y2）．

将y＝x﹣1代入y2＝4x得x2﹣6x+1＝0．

则x1+x2＝6，x1•x2＝1．

故中点C的横坐标为3．

19．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{an}中，a1＝1，an+1＝，

a2＝，a3＝，a4＝

猜想：an＝；

（Ⅱ）∵通项公式为an的数列{an}，若an+1﹣an＝d，d是常数，