3.2 简单三角恒等变换

§3.2 简单的三角恒等变换

学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.

2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．

知识点一 半角公式

sin α2＝±1－cos α2，

cos α2＝±1＋cos α2，

tan α2＝±1－cos

α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos

αsin α

.

思考 半角公式对任意角都适用吗？

答案 不是，要使得式子有意义的角才适用．

知识点二 辅助角公式

辅助角公式：

asin

x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋θ).其中tan θ＝ba

1．若α≠kπ，k∈Z，则tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin

α恒成立．( √ )

2．辅助角公式asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中φ所在的象限由a，b的符号决定，φ与点(a，b)同象限．( √

)

3．sin

x＋3cos x＝2sinx＋π6.( × )

提示 sin x＋3cos x＝212sin x＋32cos x＝2sinx＋π3.

题型一 应用半角公式求值

例1 已知sin θ＝45，5π2

题点 利用半角公式化简求值

解 ∵sin θ＝45，且5π2

∵5π4

tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.

反思感悟 利用半角公式求值的思路

(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．

(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．

(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin2α2＝1－cos α2，cos2α2＝1＋cos α2计算．

1

简单的三角恒等变换专题

一、选择题

1．已知sinα＝23，则cos(π－2α)＝( )

A．－53 B．－19 C.19 D.53

2．2cos10°－sin20°sin70°的值是( )

A.12 B.32 C.3 D.2

3．若sin76°＝m，用含m的式子表示cos7°为( )

A.1＋m2 B.1－m2 C．±1＋m2 D.1＋m2

4．若cos2αsinα＋7π4＝－22，则sinα＋cosα的值为( )

A．－22 B．－12 C.12 D.72

5．已知f(x)＝2tanx－2sin2x2－1sinx2cosx2，则fπ12的值为(

)

A．43 B.833 C．4 D．8

6．已知cosπ6－α＋sinα＝45，则cosα＋2π3的值是(

)

A．－25 B.25 C.4315 D．－4315

2

7．已知α，β∈0，π2，满足tan(α＋β)＝4tanβ，则tanα的最大值是( )

A.14 B.34 C.342 D.32

8．已知tanα＝4，则1＋cos2α＋8sin2αsin2α的值为(

)

A．43 B.654 C．4 D.233

1 例说常用三角恒等变换技巧

【摘要】 解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。本文结合三角函数问题中常见的“角的差异、函数名的差异和运算种类的差异”等特点，从“角变换技巧”、“名变换技巧”、“常数变换技巧”、“边角互化技巧”、“升降幂变换技巧”、

“公式变用技巧”、“辅助角变换技巧”、“换元变换技巧”、“万能置换技巧”九个方面解读三角恒等变换的常用技巧。

【关键词】 三角 公式 恒等变换 技巧

解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。三角恒等变换的公式很多，主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“和、差、倍、半角公式”、“辅助角公式（化一公式）”、“万能置换公式”等，这些公式间一般都存在三种差异，如角的差异、函数名的差异和运算种类的差异，只有灵活有序地整合使用这些公式，消除差异、化异为同，才能得心应手地解决问题，这是三角问题的特点，也是三角问题“难得高分”的根本所在。本文从九个方面解读三角恒等变换的常用技巧。

1 “角变换”技巧

角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。

例1 已知534cosx，4743x，求xxxtan1sin22sin2的值。

【分析】考虑到“已知角”是4x，而“未知角”是x和x2，注意到44xx，可直接运用相关公式求出xsin和xcos。

【简解】因为4743x，所以24x，

又因为0534cosx，所以2423x，544sinx

10274sin4cos4cos4sin44sinsinxxxx，

1 三角恒等变换专题复习（一）

2012-8-7

一、基本内容串讲

1． 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：

sin()sincoscossin; cos()coscossinsin;

tantantan()1tantan

对其变形：tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)，有时应用该公式比较方便。

2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：

sin2sincos. 2222cos2cossin2cos112sin.

22tantan21tan.

要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， 22cos1sin,22cos1cos22 这两个形式常用。

3.辅助角公式：

4.简单的三角恒等变换

（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。

（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。

（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。

（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。

5.常见题目类型及解题技巧（最后师生共同总结）

二、考点阐述

考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式。

1、sin20cos40cos20sin40的值等于（ ）

2、若tan3，4tan3，则tan()等于（ ）

考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式

3、cos5cos52的值等于（ ）

4、 已知02A，且3cos5A，那么sin2A等于（ ）

2

考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换

5、已知,41)4tan(,52)tan(则)4tan(的值等于（ 223 ）