《火线100天》2015中考数学复习第18讲锐角三角函数

- 1 - 第18讲 锐角三角函数

考点1 锐角三角函数的概念

在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，则∠A的

正弦

sinA=A的对边斜边=ac

余弦

cosA=A的邻边斜边=bc

正切

tanA=AA的对边的邻边=ab

考点2 特殊角三角函数值

三角函数 30° 45° 60°

sinα 12 22 32

cosα 32 22

12

tanα 33 1 3

考点3 解直角三角形

解直角三角形常用的关系：

在Rt△ABC中，∠C=90°，则 三边关系 a2+b2=c2

两锐角关系 ∠A+∠B=90°

边角关系 sinA=cosB=ac

cosA=sinB=bc

tanA=ab

1.特殊角的三角函数的记忆可借助一副三角板：含30°角的三角板三边比为1∶3∶ - 2 - 2;含45°角的三角板三边比为1∶1∶2.

2.在运用三角函数的定义建立方程时，选好三角函数是关键，选好三角函数的一般规律是：“有斜用弦(正、余弦)，无斜用切(正切)”.

命题点1 锐角三角函数的意义

例1 (2014·广州)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=(

)

A. 35 B. 45 C. 34 D. 43

方法归纳：解答本题的关键是结合网格特征正确理解锐角三角函数的概念.

1.(2014·汕尾)在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=35,则cosB的值是( )

A. 45 B. 35 C. 34 D. 43

2.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则sinB的值是( )

A. 45 B. 35 C. 34 D. 43

3.如图，在正方形网格中，∠AOB的正切值是 .

命题点2 特殊角的三角函数值

例2 (2014·舟山)计算：8+(12)-2-4cos45°. - 3 - 【解答】

方法归纳：解答本题的关键是熟记特殊角的三角函数值和实数运算法则.

1.(2014·白银)△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA=32,cosB=12,则∠C= .

2.(2013·孝感)式子2cos30°-tan45°-2)160(tan的值是( )

A.23-2 B.0 C.23 D.2

命题点3 解直角三角形

例3 (2014·济宁)如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，则AB的长为 .

【思路点拨】结合题中条件，本题通过过点C作CD⊥AB，把它转化为直角三角形问题,运用解直角三角形知识来求解.

方法归纳：在一个直角三角形中，已知一边和一锐角，可以运用已知锐角的三角函数求出未知边的长.

1.(2013·牡丹江)在Rt△ABC中，CA=CB，AB=92，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=13，则BD的长为 .

2.(2014·重庆B卷)如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tanA=32,求sinB+cosB的值.

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3.(2013·常德)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°，sinB= 13，AD=1.求BC的长.

命题点4 解直角三角形的应用

例4 (2014·自贡)如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看塑像头顶D的仰角为45°，看塑像底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度.(最后结果精确到0.1米，参考数据：3=1.7)

【思路点拨】要求CD的长，必须求出DE、CE的长，可以通过过B点作BE⊥DC于点E，分别构造Rt△BCE和Rt△BDE，又因为∠CBE=30°，∠DBE=45°，BE=2.7米，所以可以运用解直角三角形来解答.

【解答】

方法归纳：通过作垂线将实际问题构造双直角三角形问题，然后利用解直角三角形得知识来解决实际问题.

1.(2014·湘潭)如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道.为了加快施工进度，想在小 - 5 - 山的另一侧同时施工.为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线l，过点B作一直线(在山的旁边经过)，与l相交于D点，经测量∠ABD=135°，BD=800米，求直线l上距离D点多远的C处开挖？(2≈1.414，精确到1米)

2.(2014·荆门)钓鱼岛自古以来就是中国的领土.如图，我国甲、乙两艘海监执法船某天在钓鱼岛附近海域巡航，某一时刻这两艘船分别位于钓鱼岛正西方向的A处和正东方向的B处，这时两船同时接到立即赶往C处海域巡查的任务，并测得C处位于A处北偏东59°方向、位于B处北偏西44°方向.若甲、乙两船分别沿AC、BC方向航行，其平均速度分别是20海里/小时、18海里/小时，试估算哪艘船先赶到C处？(参考数据：cos59°≈0.52,sin46°≈0.72)

3.(2014·资阳)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，测得A在C的北偏西45°的方向上(其中A、B、C在同一个平面上).求这个标志性建筑物的底部A到岸边BC的最短距离. - 6 -

1.(2013·天津)tan60°的值等于( )

A.1 B. 2 C. 3 D.2

2.(2013·温州)如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是( )

A. 34 B. 43 C. 35 D. 45

3.(2014·丽水)如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1∶3 (坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，坝高BC=3 m，则坡面AB的长度是( )

A.9 m B.6 m C.63 m D.33 m

4.(2014·湖州)如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4,tanA=12,则BC的长是( )

A.2 B.8 C.25 D.45 - 7 -

5.(2014·滨州)在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA=35，cosA=45，tanA=34，则BC的长为( )

A.6 B.7.5 C.8 D.12.5

6.(2014·巴中)在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=513，则tanB的值为( )

A. 1213 B. 512 C. 1312 D. 125

7.(2014·温州)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则tanA的值是 .

8.(2013·杭州)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=32；②cosB=12；③tanA=33；④tanB=3，其中正确的结论是 .(只需填上正确结论的序号)

9.(2014·嘉兴)如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为

米(用含α的代数式表示).

10.(2014·襄阳)如图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5 m，则大树的高度为

m(结果保留根号).

- 8 - 11.(2014·内江)计算：2tan60°-|3-2|-27+(13)-1.

12.(2014·重庆A卷)如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=34，求sinC的值.

13.(2014·昆明)如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°,AC为22米，求旗杆CD的高度.(结果精确到0.1米.参考数据：sin32°=0.53,cos32°=0.85,tan32°=0.62)

14.(2014·日照)如图某天上午9时,向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时 - 9 - 观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离？(参考数据：sin36.9°≈35，tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈125)

15.(2014·巴中)如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度.(精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)

16.(2014·威海)如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是( )

A. 31010 B. 12 C. 13 D. 1010