题型2 专题2 反比例函数综合题

1

O

x y

1 -1

B A 一次函数、反比例函数、二次函数的综合题

【课前热身】

1．抛物线322xxy与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为________．

2．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的

长度不限）的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则

菜园的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关

系式为 ．（不要求写出自变量x的取值范围）

3．当路程s一定时，速度v与时间t之间的函数关系是（ ）

A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数

4．函数2ykx与kyx（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）

【考点链接】

1．点Aoyx,0在函数cbxaxy2的图像上.则有 .

2. 求函数bkxy与x轴的交点横坐标，即令 ，解方程

；

与y轴的交点纵坐标，即令 ，求y值

3. 求一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像的交点，解方程组 .

【典例精析】

例1 如右图，抛物线nxxy52经过点)0,1(A，与y轴交于点B.

（1）求抛物线的解析式；

（2）P是y轴正半轴上一点，且△PAB是等腰三角形，试求点P的坐标.

例2随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y与投资量x成正比例关系，如图（1）所示；种植花卉的利润2y与投资量x成二次函数关系，如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元）

⑴ 分别求出利润1y与2y关于投资量x的函数关系式；

⑵ 如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ A B C D

课题：反比例函数与一次函数、二次函数的综合

【学习目标】

1．会画一次函数、二次函数、反比例函数的图象．

2．掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质．

3．能根据条件确定函数的解析式．

4．能用函数解决实际问题．

【学习重点】

能根据条件确定函数的解析式．

【学习难点】

能用函数解决实际问题．

情景导入 生成问题

旧知回顾：

1．反比例函数的性质．

2．一次函数的性质．

3．二次函数的性质．

自学互研

生成能力

知识模块一 函数的性质

【自主探究】

如图，已知A(－1，m)与B(2，m＋33)是反比例函数y＝kx图象上的两个点，点C是直线AB与x轴的交点，则点C的坐标是C(1，0)．

【合作探究】

一次函数y＝ax＋b(a>0)，二次函数y＝ax2＋bx和反比例函数y＝kx(k≠0)在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为(－2，0)．下列结论中正确的是( B )

A．a>b>0 B．a>k>0

C．b＝2a＋k D．a＝b＋k

分析：根据函数图象可知，由一次函数图象所在象限可以确定a，b的符号，且直线与抛物线均经过点A，所以把点A的坐标代入一次函数及二次函数可以求得b＝2a，k的符号可以根据双曲线所在的象限进行判定．

知识模块二 利用性质解决实际问题

【自主探究】

已知二次函数y＝(t＋1)x2＋2(t＋2)x＋32在x＝0和x＝2时的函数值相等．

(1)求二次函数的解析式；

(2)若一次函数y＝kx＋6的图象与二次函数的图象都经过点A(－3，m)，求m和k的值．

解：(1)y＝－12x2＋x＋32；

(2)m＝－6，k＝4.

【合作探究】

已知二次函数y＝－2x2＋bx＋c图象的顶点M在反比例函数y＝－1x上，且与x轴交于A，B两点．

(1)若二次函数的对称轴为直线x＝12，则b＝－2，c＝32，AB＝52,.)

(2)若二次函数的对称轴在y轴左侧，与x轴的交点为N，当NO＋MN取最小值时，试求二次函数的解析式．

【例1】(2006年天津中考题)

反比例函数y＝k/x和一次函数y＝2x－1，其中一次函数图象经过(a，b)， (a＋1，b＋k)两点。

⑴求反比例函数的解析式；

⑵求出两函数在第一象限的交点A的坐标，在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的点P 的坐标都求出来；若不存在，请说明理由。

【例2】(2008义乌市中考)

已知：等腰三角形AOB在直角坐标系中的位置如图，点A的坐标为(-33，3)，点B的坐标为(-6，0)。

⑴若三角形AOB关于y轴的轴对称图形是三角形A′OB′,请直接写出A、B的对称点A′、B′的坐标；

⑵若将三角形AOB沿x轴向右平移a个单位，此时A点恰好落在反比例函数y＝63x

的图象上，求a的值；

⑶若三角形AOB绕点O按逆时针方向旋转α度(0＜α＜90)。当α＝30°时，点B恰好落在反比例函数y＝kx的图象上，求k的值。

反比例函数（二）：代几综合 【例3】

在平面直角坐标系中，A、B为反比例函数y＝4x(x＞0)的图象上两点，A点的横坐标与B点的纵坐标均为1，将y＝4x(x＞0)的图像绕原点O顺时针旋转90°，A点的对应点为A′，B点的对应点为B′。

⑴求旋转后的图像解析式；

⑵求A′、B′点的坐标

⑶连结AB′，动点M从点A出发，沿线段AB′以每秒一个单位长度的速度向终点B′运动；动点N同时从B′点出发，沿线段B′A′以每秒一个单位长度的速度向终点A′运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动。设运动时间为t秒，试探究：是否存在使△MNB′为等腰直角三角形的t值，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由。

【例4】

已知：对任意满足0≤x≤1的x，都有∣ax2＋x∣≤1成立，试求a的取值范围。

类型二 与几何图形结合

针对演练

1. (2018原创)如图，已知四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数y＝4x的图象经过点C，且与AB交于点E，连接OE，CE，若OD＝2，则△OCE的面积为( )

A. 2 B. 4 C. 22 D. 42

第1题图 第2题图

2. (2017威海)如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为(－4，0)，点B在y轴上，若反比例函数y＝kx(k≠0)的图象过点C，则该反比例函数的表达式为( )

A．y＝3x B．y＝4x C．y＝5x D．y＝6x

3. (2017荆门)已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△AOB的边长为6，点C在边OA上，点D在边AB上，且OC＝3BD.反比例函数y＝kx(k≠0)的图象恰好经过点C和点D.则k的值为( )

A. 81325 B. 81316 C. 8135 D.

8134

2 第3题图 第4题图

4. (2018原创)已知：如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为(10，0)，对角线OB、AC相交于D点，双曲线y＝kx(x>0)经过D点，交BC的延长线于E点，且OB·AC＝160，有下列四个结论：

①双曲线的解析式为y＝40x(x>0)；②E点的坐标是(5，8)；③sin∠COA＝45；④AC＋OB＝125.其中正确的结论有( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

5. (2017宿迁)如图，矩形ABOC的顶点O在坐标原点，顶点B、C分别在x、y轴的正半轴上，顶点A在反比例函数y＝kx(k为常数，k＞0，x＞0)的图象上，将矩形ABOC绕点A按逆时针方向旋转90°得到矩形AB′O′C′，若点O的对应点O′恰好落在此反比例函数图象上，则OBOC的值是________．