解直角三角形

解直角三角形大题及答案

直角三角形是初中数学中比较基础而重要的知识点，下面给出几道解直角三角形的大题及答案。

大题一

已知直角三角形的一条直角边为6cm，另一条直角边为8cm，求斜边长。

解析：根据勾股定理可以求出斜边长，即$c=\sqrt{a^2+b^2}$。带入数据得$c=\sqrt{6^2+8^2}=10$，所以斜边长为10cm。

答案：10cm

大题二

如图，直角边AC长为12cm，BC长为16cm，连接AB并延长线段交CD于点D，且CE垂直于BD，求CE的长。

解析：首先要求出BD的长度。由$AC^2+BC^2=BD^2$可得$BD=\sqrt{12^2+16^2}=20$。然后根据相似三角形CC’E、B’BD可以列出比例$\frac{CE}{BD}=\frac{BC}{B'D}$，即$\frac{CE}{20}=\frac{16}{28}$，解之得$CE=\frac{80}{7}$。

答案：$\frac{80}{7}$cm

大题三

已知一艘轮船从岸边出发，航向为东北偏东，速度为20km/h，船行了300km到达目的地。试画出向量图，并求出船行的时间。

解析：如图所示，$\vec{v}=(20\cos45\degree,20\sin45\degree)=(10\sqrt{2},10\sqrt{2})$。由船行了300km可得船行时间为$\frac{300}{\|\vec{v}\|}=\frac{300}{20}=15$小时。

答案：15小时

大题四

如图，正方形ABCD中，P点在BC边上，$\angle

PAD=45\degree$，PD=2，BP=4，则AP长为多少？

解析：如图所示，由正方形ABCD的对称性可得$\angle

PAD=\angle BCA=45\degree$，则$\triangle PAD$与$\triangle

PBC$相似。设$AP=x$，则$\frac{x}{4}=\frac{2}{x}$，解之得$x=2\sqrt{2}$。

【基本知识点】

知识点1：解直角三角形

1．如图解直角三角形的公式：

（1）三边关系（即勾股定理）：__________________．

公式的变形：a2 =c2-b2，b2 =c2-a2 .

（2）角关系：∠A+∠B＝_____，

（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______． cosB=____，

tanA=_____ ，tanB=_____．

2．如图（2）仰角是____________,俯角是____________．

3．如图（3）方向角：OA：____ _，OB：_______，OC：_______，OD：________．

4．如图（4）坡度：AB的坡度（或坡比）iAB＝_______，∠α叫_____，tanα＝i＝____．

5. 特殊角30°，45°，60°的三角函数值列表如下：

α sinα cosα tanα cotα

30° 12 33

45° 22 1

60° 12 33

知识点2：解直角三角形的类型

根据求解的条件分类，利用边角关系可有如下基本基本类型及其解法： ACB45南北西东60ADCB70O O A B

C

cbaACB A B

C

图7 x y

O （1）已知两边：

①两条直角边a、b．其解法：c=22ba，用tanA= ,求得∠A，∠B=90°－∠A．

②斜边和一条直角边c、a．其解法：b=22ac，用sinA= ，求得∠A，∠B=90°－∠A．

（2）一边和一锐角：

①一条直角边a和锐角A：∠B=90°－∠A；用tanA=ba,求得b= ；用sinA=ca，求得c= ．

②斜边c和锐角A：∠B=90°－∠A；用sianA=ca,求得a= ；用cosA=cb,求得b= ．

知识点3：解直角三角形的应用

解直角三角形

1、如图，一艘巡逻艇航行至海面B处时，得知正北方向上距B处20海里的C处有一渔船发生故障，就立即指挥港口A处的救援艇前往C处营救．已知C处位于A处的北偏东45°的方向上，港口A位于B的北偏西30°的方向上．求A、C之间的距离．(结果精确到0.1海里，参考数据≈1.41，≈1.73)

2、已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后达到C处，现测得C处位于A观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长(精确到0.1km)．(参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，≈1.41，≈2.24)

3、如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα=，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，求小山岗的高AB（结果取整数：参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）．

4、丁丁想在一个矩形材料中剪出如图阴影所示的梯形，作为要制作的风筝的一个翅膀．请你根据图中的数据帮丁丁计算出BE、CD的长度（精确到个位，≈1.7）．

5、如图，一艘货轮在A处发现其北偏东45°方向有一海盗船，立即向位于正东方向B处的海警舰发出求救信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此时距货轮200海里，并测得海盗船位于海警舰北偏西60°方向的C处．

（1）求海盗船所在C处距货轮航线AB的距离．

（2）若货轮以45海里/时的速度向A处沿正东方向海警舰靠拢，海盗以50海里/时的速度由C处沿正南方向对货轮进行拦截，问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮？（结果保留根号）

6、如图，2012年4月10日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦查发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民，此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民， 能不能及时赶到？（≈1.41，≈1.73，=2.45）．

解直角三角形总结

解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。

1、明确解直角三角形的依据和思路

在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的。因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（以下字母同），则解直角三角形的主要依据是

（1）边角之间的关系：

sinA＝cosB＝ac， cosA＝sinB＝bc，tanA＝cotB＝ab，cotA＝tanB＝ba。

（2）两锐角之间的关系：

A＋B＝90°。

（3）三条边之间的关系：

。 以上每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，就是根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。

2、解直角三角形的基本类型和方法

我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形，而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？

事实上，解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形，即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。四种基本类型和解法列表如下：

已知条件 解法

一边及

一锐角 直角边a及锐角A B＝90°-A，b＝a·tanA，c=sinaA