解直角三角形

第 1 页 共 10 页 解直角三角形

【问题探索】

问题：已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计高度h（如图）。你能求出斜面钢条的长度和倾角α吗？

变：已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计倾角α（如图）。

你能求出斜面钢条的长度和设计高度h吗？

【新课引入】

在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫解直角三角形.

在三角形中共有几个元素？

直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？

（1）三边之间关系：a2 +b2 =c2 （勾股定理）.

（2）锐角之间关系∠A+∠B=90°．

（3）边角之间关系：

正弦函数：sinAA的对边斜边

余弦函数：cosAA的邻边斜边

正切函数：tanAAA的对边的邻边

【精选例题】

（一）求直角三角形中的边和角

解直角三角形，只有下面两种情况：

（1）已知两条边；

（2）已知一条边和一个锐角（两个已知元素中至少有一条边）

例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边。解下列直角三角形：

（1）已知a=3，b=3，

（2）已知c=8，b=4，

（3）已知c=8，∠A=45°。

解析：

（1）已知两直角边的长，根据勾股定理可求斜边c=32，由三角函数公式可求sinA=22，推出A=45°，根据“直角三角形两锐角互余”可求B=45°；

（2）已知斜边和一直角边，由勾股定理求得另一直角边a=43，通过三角函数公式求角度sinA=32，可知A=60°，根据“直角三角形两锐角互余”得B=30°；

（3）已知斜边和一锐角，根据“直角三角形两锐角互余”得B=45°，由三角函数公式可知a=csin45°=42，b=ccos45°=42。

前思后想： 第 2 页 共 10 页 ①已知一锐角求另一锐角——“直角三角形两锐角互余”；

②已知直角三角形的两边求第三边——勾股定理；

③已知一边和一锐角——三角函数公式

三角函数公式可变形为：a=csinA，b=ccosA，a=btanA，

c=sinaA，c=cosbA，b=tanaA

例2 在RtABC中，90C， 6AC，D是AC上一点，若1tan2DBC，10AB，试求AD。

解析：

先由勾股定理求得BC=22ABAC=8，再根据三角函数可求DC=BCtan∠DBC=4，即可求出AD=AC—DC=2.

前思后想：

本题用方程求解也可，解题过程如下：

在RtABC中，由勾股定理得：BC=22ABAC=8，

设AD=x，则在RtDBC中，由三角函数可知：tanDBC=DCBC，12=68x。

解得：x=2，即：AD=2。

由方程求解时，列方程的依据是等量关系——三角函数公式。

牛刀小试：

1．已知直角三角形ABC中，斜边AB的长为m，40B，则直角边BC的长是（ ）

A．sin40m B．cos40m C．tan40m D．tan40m

2．在RtABC△中，90C，5BC，15AC，则A（ ）

A．90 B．60 C．45 D．30

3．在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a=3，b=3，解这个三角形．

4．如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心、EC为半径的半圆与以A 为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sinEAB的值为 。（写明理由）

答案：

1．B；

2．D； 第 3 页 共 10 页 3．在Rt△ABC中，由勾股定理得：C=22ab=23

sinA=ac=12，∠A=30°。∠B=60°。

4．设两圆半径分别为R和r，在Rt△ABE中，由勾股定理可知：

222()()RrRRr，4Rr。sinEAB=RrRr=35rr=35。

（二）构造直角三角形求边角

例3 如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为10米，

∠A=26°，求中柱BC（C为底边中点）和上弦AB的长。

（精确到0.01米，tan26º=0.4877,cos26º=0.8988）

解析：

先由等腰三角形的性质可知中柱BC垂直平分横梁（跨度），即可把等腰三角形分成两个全等的直角三角形；再运用三角函数解直角三角形ABC，即可。

解答：人字架是等腰三角形，BC是中柱，

BC垂直平分横梁

即：ABC是直角三角形，AC=5 m

26A

tanA=BCAC，cosA=ACAB

即：BC=ACtanA=50.48772.44

AB=cosACA=50.89885.56

答：中柱BC的长约为2.44米，上弦AB的长约为5.56米。

前思后想：

此题先要理解“中柱”的含义——底边上的中线，其次能立即想到等腰三角形“三线合一”的性质找出直角三角形，最后才能运用三角函数解直角三角形。

例4 已知△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，

且BD：CD=4：3，求sinB的值。

解析：

山穷水尽疑无路：首先想到“∠B是Rt△ABC的一个锐角，sinB=ACAB”，再苦思冥想AC、AB、BC三边之间的数量关系，总是不得其解。

回头是岸：前面思路是由于审题时急功近利，过多的关注问题，没有仔细分析题目的条件，把自己带入了死胡同。解题不能“狭路相逢——勇者胜”，应该及早醒悟，回头是岸！

柳暗花明又一村：AD是角平分线，哪个角的平分线？由它能想到哪些结论？（角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”），D点到AC边得距离是什么？与它相等的D点到AB的距离呢？图中又出现哪些直角三角形？∠B是哪些直角三角形的锐角？我们能推出该直角三角形哪些边的数量关系？ 第 4 页 共 10 页 正确解答：过D点作DEAB，垂足为E，

AD是∠BAC的角平分线，且∠C=90°

DE=DC

BD：CD=4：3

在Rt△BDE中，sinB=DEBD=DCBD=34

前思后想：

本题是根据角平分线的性质来构造新的直角三角形，求某个锐角的三角函数的。虽然题目给了我们一个直角三角形，但是它不能解决问题，此时就要及时回到已知条件，逐个条件进行推导，寻找新思路。

例5 如图，AB是半圆的直径，弦AD，BC相交于P，已知∠DPB＝60°，D是BC︵的中点，则tan∠ADC等于（ ）

（A）12 （B）2 （C）3 （D）33

解析：

错误思路：按照部分学生的解题思路，首先想到的就是在图形中找∠ADC所在的直角三角形，继而想到过C点作AD得垂线，但是又不符合垂径定理，结果发现无法进行下去。

正确思路：从已知条件出发，每个条件逐一推导，就能找到解决问题的方法。

解答：连接BD，

AB是半圆的直径

∠ADB=90°

∠DPB＝60°

∠PBD=30°

D是BC︵的中点

BD=CD

∠A=∠C=∠PBD=30°

∠ABD=60°

∠ADC=∠ABC=∠ABD—∠PBD=30°

tan∠ADC=tan30°=33

前思后想：

求一个角的三角函数值，寻找直角三角形是关键，但是也不是千篇一律，方法如下：

①没有直角三角形时，就要根据题目条件构造直角三角形；

②根据条件进行等角转移，求相等角的三角函数值；

③根据条件求出该角的度数，再由特殊角的三角函数值求解。 第 5 页 共 10 页 例6 小刚有一块含有30°角的直角三角板，他想测量其短直角边的长度，而手中另外只有一个量角器，于是他采用了如下的办法，并获得了相关数据：

第一步，他先用三角板标有刻度的一边测出量角器的直径AB的长度为9cm；

第二步，将三角板与量角器按如图所示的方式摆放，并量得∠BOC为80°（O为AB的中点）．

请你根据小刚测得的数据，求出三角板的短直角边AC的长．

（参考数据：sin80°＝0.98，cos80°＝0.17，tan80°＝5.67；sin40°＝0.64，cos40°＝0.77，tan40°＝0.84，结果精确到0.1cm．）

解析：

审题回答问题：①ABC是什么三角形？②∠BAC多少度？③在ABC中我们知道哪几个因素？④要咱们求什么因素？

解答：∠ACB是直角三角板的直角,ABC为直角三角形.

由题意可知：在RtABC中，AB=9，∠BAC=12∠BOC=40°.

cos∠BAC=ACAB,AC=AB cos∠BAC=90.776.9

答：直角三角板的短直角边长为6.9cm。

前思后想：

本题考察了“同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”、运用三角函数解直角三角形两个方面的知识，它是把问题放在具体的测量操作中进行考察的。解决此题的关键是读题，找到所求线段所在的直角三角形，从操作步骤中找出已知边的长度和已知角的度数。

牛刀小试：

1．等腰三角形的周长为32，腰长为1，则底角等于_________；

2．如图，∠1的正切值等于__________；

3．如图，两条宽度都是1的纸条交叉叠在一起，且它们

的夹角为，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）

A、sin1 B、cos1

C、sin D、1

4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的对边分别是a、b，且满足022baba，则tanA等于（ ）

A、1 B、152 C、152 D、152

5．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，AC的垂直平分线分别交AB，