解直角三角形

解直角三角形

一、学习目标

1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；

2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．

二、重点难点

本节的重点：掌握解直角三角形的一般方法和步骤，在以后的学习和实际生活、生产中经常运用．

本节的难点：把实际生活、生产中存在的和平面图形计算的有关问题转化为解直角三角形问题．

在中考和高考中，经常出现或解决问题过程中经常用到解直角三角形．

三、典型例题

解直角三角形问题，常见的有以下几种类型：

1．已知直角三角形的两个元素（至少有一个是边），解直角三角形；

2．已知直角三角形的元素与元素的关系（至少有一个是边的关系），解直角三角形；

3．解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用；

4．解直角三角形在解决实际生活、生产问题中应用．

现举例分析如下：

1．已知直角三角形的两个元素（至少有一个是边），解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形，其中已知两个元素（至少有一个是边）求出所有未知元素的问题，是解直角三角形的最基本问题．这类问题包括：

（1）已知一个锐角和一条边长，解直角三角形；

（2）已知两条边的长，解直角三角形．

解直角三角形的主要依据是：

（1）两锐角之间的关系：A+B=90°．

（2）三边之间的关系：a2+b2=c2．

（3）边角之间的关系：

sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=，tanB=．

解直角三角形的思路，就是根据已知的边和角，正确地选用直角三角形中边角间的关系式，求出未知的边和角．

例1在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且c=287.4，∠B=42°6′，解这个三角形．

【分析】已知一个锐角，应先求另一个锐角，再根据已知的边长，恰当选用与已知边有关的已知角的三角函数类型，以便转化为用乘法求未知边长．

【解】∠A=90°-∠B=90°-42°6′=47°54′．

∵cosB=，

∴a=c·cosB≈287.4×0.7420≈213.3

∵sinB=，

∴b=c·sinB≈287.4×0.6704≈192.7

【点评】这里，求未知边长时，首选了已知的边长和已知角，再考虑选用比的前项为未知边、后项为已知边的已知角的三角函数类型，从而把未知边的计算转化为乘法，这是解本题的技巧，这样做可以避免近似结果的误差对所求结果的影响．

例2在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a=3，c=4，解这个三角形．

【分析】已知两边长，应先由勾股定理求另一边长，再根据已知的两边长，恰当选用由已知边表示的比值为有限小数的已知角的三角函数类型，求得未知角的三角函数值，用计算器求得这个角，再求另一个角．

【解法一】∵a2+b2=c2，

∴（或≈2.646）．

∵sinA===0.75，

∴∠A≈48°35′．

∴∠B=90°-∠A=90°-48°35′=41°25′．

【点评】这里是先求边，但需开方运算．也可以先求角，回避开方运算．

【解法二】∵sinA===0.75，

∴∠A≈48°35′．

∴∠B=90°-∠A=90°-48°35′=41°25′．

∵tanB=，

∴b=a·tanB=3×tan41°25′≈3×0.8821≈2.646．

【点评】与解法一比较，这里避免了开方运算，但计算未知边b时，用了角的近似结果．若用tanA=，求b时需用除法运算．

2．已知直角三角形的元素与元素的关系（其中至少有一个是边的关系）解直角三角形．

解这类问题是运用方程的思想方法，根据已知的元素与元素关系列方程（或方程组），解方程求得三角形的至少两个元素（其中至少有一边），转化为已知两个元素解直角三角形求其他元素．

例3如图，在△ABC中，∠C=90°，sinB=0.6，BC=10，求AB和tanB．

【分析】由已知，可转化为=sinB=0.6=．又知BC=10，可设AC=3x，AB=5x，依据勾股定理，列方程求x，从而求得AC、BC．

【解法一】∵sinB==，

设AC=3x，AB=5x，由勾股定理，有102+（3x）2=（5x）2．

解得x=或x=-（不合题意，舍去），

∴AB=5×=，AC=3×=．

∴tanB==．

【点评】这里题目只需求AB和tanB，通过解方程求得AC和AB，依据锐角三角函数的定义，求得tanB．实际上，还可以由sinB=0.6，求得∠B=36°52′，∠A=∠90°-36°52′=53°8′，从而解出三角形．

本题还可以由锐角的正弦和余弦的关系式求得cosB，从而求得问题的解．

【解法二】∵sin2B+cos2B=1，

∴cosB===0.8（必须取正值）．

∵cosB=，

∴AB===12.5．

∵AB2=AC2+BC2，

∴AC===7.5，

∴tanB===0.75．

【点评】这里运用了同角三角函数的平方关系式，若熟知同角三角函数的商数关系式，求tanB时，可直接用tanB===（或0.75）．

例4如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC中点，且AC=，AD=，求AB的长和sinB的值．

【分析】直接解Rt△ABC缺少条件．观察图形，在Rt△ACD中，已知AC和AD，由勾股定理可求出CD的长，则CB边可求．再利用勾股定理可求出AB的长，则sinB的值可求．

【解】∵∠C=90°，AC=，AD=，

∴CD===．

∴BC=2CD=．

∴AB===．

∴sinB==．

【点评】这是通过解一个直角三角形补充另一个直角三角形可解条件的典型例题．在解直角三角形时，若题中所给的条件不能直接解这个直角三角形时，可以根据已知解其中（或添辅助线构造）的另一个直角三角形，补充与完善这个直角三角形可解的条件．

3．解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用

非直角三角形的计算问题，可以转化为解直角三角形．例如，斜三角形可以添加一条高作辅助线，从而转化为两个直角三角形．梯形和平行四边形的问题关键在于如何添加辅助线，使得梯形和平行四边形化成直角三角形和矩形，因此高是应用直角三角形解决这类问题的桥梁．圆中的计算则常作出直径构造直角三角形，利用解直角三角形去解决．

例5如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，且AD=12，CE=8，求△ABC的面积．

【分析】由于已知△ABC两边上的高，所以要求△ABC的面积，只需求AB边或BC边的长即可．在图形中有四个直角三角形，而Rt△ABD和Rt△CBE有公共锐角B，因此，sinB==．再利用BC=2BD，就可得到Rt△ABD中两条边的比，可以求出AB或BC，从而求出△ABC的面积．

【解法一】在△ABD中，AD⊥BC，AD=12，

∴sinB==．

在△BCE中，CE⊥AB，CE=8，

∴sinB==．

∴=．

在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，

∴2BD=BC．

∴=．

∴AB=3BD．

又AB2=BD2+AD2，

∴AB2=．

∴8AB2=9×122．

∴AB=．

∴S△=××8=．

【点评】这里巧妙地用了同一个锐角B在两个直角三角形中的正弦三角函数，得到AB与BC的关系式，进而求得AB与BD的关系，于是问题转化为在直角三角形ABD中，∠ADB=90°，已知两边的关系和第三边的长，解直角三角形的问题，从而求得AB的长，进而求得△ABC的面积．

这个问题也可以利用三角形的面积计算的不同方法进行转化，求得AB和BC的关系．

【解法二】在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，

∴△ABC的面积为S△=AD·BC=CE·AB．

∵AD=12，CE=8，

∴12·BC=8·AB，

以下同解法一（略）．

【点评】这里巧妙地利用△ABC的面积不同的计算，得到AB和BC的关系．过程简单，但不易想到．

4．解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用

利用解直角三角形的知识解决实际生活、生产中的问题，包括工件的测量，工程技术及航海等许多方面．解决问题时，首先要从实际问题抽象出几何图形，把实际问题中的数量关系转化为直角三角形的边角之间的关系，从而通过解直角三角形使实际问题得到解决．

解这类应用题时，常要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位、跨度、方位角等概念．