函数的图象数学教案

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函数的图象数学教案1 教学目的

【知识与技能】

使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.

【过程与方法】

使学生经历探究二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经历,培养学生分析^p 、解决问题的才能.

【情感、态度与价值观】

使学生经历探究二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、考虑、归纳的良好思维品质.

重点难点

【重点】

使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.

【难点】

用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探究二次函数的性质. 第 2 页 共 30 页 教学过程

一、问题引入

1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么?

(一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.)

2.画函数图象的一般步骤是什么?

一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线).

3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质?

(运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析^p 并归纳得到二次函数的性质.)

二、新课教授

【例1】 画出二次函数y=x2的图象.

解:(1)列表中自变量x可以是任意实数,列表表示几组对应值.

(2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).

(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如下图.

考虑:观察二次函数y=x2的图象,考虑以下问题: 第 3 页 共 30 页 (1)二次函数y=x2的图象是什么形状?

(2)图象是轴对称图形吗?假如是,它的对称轴是什么?

(3)图象有最低点吗?假如有,最低点的坐标是什么?

师生活动:

老师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.

学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,老师评价.

函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.

由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.

【例2】 在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.

解:分别填表,再画出它们的图象.

考虑:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点? 第 4 页 共 30 页 师生活动:

老师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.

学生动手画图,观察、讨论并归纳,答复探究的思路和结果,老师评价.

抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.

探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。

师生活动:

学生在平面直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,观察、讨论并归纳.老师巡视学生的探究情况,假设发现问题,及时点拨.

学生汇报探究的思路和结果,老师评价,给出图形.

抛物线y=-x2、y=-x2、y=-2x2开口均向下,顶点坐标都是(0,0),函数y=-2x2的图象开口最窄,y=-x2的图象开口最大.

探究2:比照抛物线y=x2和y=-x2,它们关于x轴对称吗?抛物线y=ax2和y=-ax2呢?

师生活动: 第 5 页 共 30 页 学生在平面直角坐标系中画出函数y=x2和y=-x2的图象,观察、讨论并归纳.

老师巡视学生的探究情况,发现问题,及时点拨.

学生汇报探究思路和结果,老师评价,给出图形.

抛物线y=x2、y=-x2的图象关于x轴对称.一般地,抛物线y=ax2和y=-ax2的图象也关于x轴对称.

老师引导学生小结(知识点、规律和方法).

一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a0时,抛物线y=ax2的开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a0时,抛物线y=ax2的开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大.

从二次函数y=ax2的图象可以看出:假如a0,当x0时,y随x的增大而减小,当x0时,y随x的增大而增大;假如a0,当x0时,y随x的增大而增大,当x0时,y随x的增大而减小.

三、稳固练习

1.抛物线y=-4x2-4的开口向,顶点坐标是,对称轴是,当x=时,y有最值,是.

【答案】下 (0,-4) x=0 0 大 -4

2.当m≠时,y=(m-1)x2-3m是关于x的二次函数.

【答案】1

3.抛物线y=-3x2上两点A(x,-27),B(2,y),那么x=,y=. 第 6 页 共 30 页 【答案】-3或3 -12

4.抛物线y=3x2与直线y=kx+3的交点坐标为(2,b),那么k=,b=.

【答案】 12

5.抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴,且经过点(-1,-2),那么抛物线的表达式为.

【答案】y=-2x2

6.在同一坐标系中,图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是

A.y=x2B.y=x2

C.y=-2x2 D.y=-x2

【答案】C

7.抛物线y=4x2、y=-2x2、y=x2的图象,开口最大的是

A.y=x2 B.y=4x2

C.y=-2x2 D.无法确定

【答案】A

8.对于抛物线y=x2和y=-x2在同一坐标系中的位置,以下说法错误的选项是

A.两条抛物线关于x轴对称

B.两条抛物线关于原点对称

C.两条抛物线关于y轴对称 第 7 页 共 30 页 D.两条抛物线的交点为原点

【答案】C

四、课堂小结

1.二次函数y=ax2的图象过原点且关于y轴对称,自变量x的取值范围是一实在数.

2.二次函数y=ax2的性质:抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a0时,抛物线y=x2开口向上,顶点是抛物线的最低点,当a越大时,抛物线的开口越小;当a0时,抛物线y=ax2开口向下,顶点是抛物线的最高点,当a越大时,抛物线的开口越大.

3.二次函数y=ax2的图象可以通过列表、描点、连线三个步骤画出来.

教学反思

本节课的内容主要研究二次函数y=ax2在a取不同值时的图象,并引出抛物线的有关概念,再根据图象总结抛物线的有关性质.整个内容分成:(1)例1是根底;(2)在例1的根底之上引入例2,让学生体会a的大小对抛物线开口宽阔程度的影响;(3)例2及后面的练习探究让学生领会a的正负对抛物线开口方向的影响;(4)最后让学生比拟例1和例2,练习归纳总结.

函数的图象数学教案2 一、目的要求

1．使学生能画出正比例函数与一次函数的图象。 第 8 页 共 30 页 2．结合图象，使学生理解正比例函数与一次函数的性质。

3．在学习一次函数的图象和性质的根底上，使学生进一步理解正比例函数和一次函数的概念。

二、内容分析^p

1、对函数的研究，在初中阶段，只能是初步的。从方法上，是用初等方法，即传统的初等数学的方法，而不是用极限、导数等高等数学的根本工具，并且，比起高中对函数的研究，更多地依赖于图象的直观，从研究的内容上，通常，包括定义域、值域、函数的变化特征等方面。关于定义域，只是在开场学习函数概念时，有一个一般的简介，在详细学习几种数时，就不一一单独讲述了，关于值域，初中暂不涉及，至于函数的变化特征，像上升、下降、极大、极小，以及奇、偶性、周期性，连续性等，初中只就一次函数与反比例函效的升降问题略作介绍，其它，在初中都不做为根本教学要求。

2、关于一次函数图象是直线的问题，在前面学习13．3节时，利用几何学过的角平分线的性质，对函数y=x的图象是一条直线做了一些说明，至于其它种类的一次函数，那么只是在描点画图时，从直观上看出，它们的图象也都是一条直线，教科书没有对这个结论进展严格的论证，对于学生，只要求他第 9 页 共 30 页 们能结合y=x的图象以及其它一些一次函数图象的实例，对这个结论有一个直观的认识就可以了。

三、教学过程

复习提问：

1．什么是一次函数？什么是正比例函数？

2．在同一直角坐标系中描点画出以下三个函数的图象：

y=2x y=2x—1 y=2x+1

新课讲解：

1．我们画过函数y=x的图象，并且知道，函数y=x的图象上的点的坐标满足横坐标与纵坐标相等的条件，由几何上学过的角平分线的性质，可以判断，函数y=x，这是一个一次函数〔也是正比例函数〕，它的图象是一条直线。

再看复习提问的第2题，所画出的三个一次函数的图象，从直观上看，也分别是一条直线。

一般地，一次函数的图象是一条直线。

前面我们在画一次函数的图象时，采用先列表、描点，再连续的方法．如今，我们明确了一次函数的图象都是一条直线。因此，在画一次函数的图象时，只要在坐标平面内描出两个点，就可以画出它的图象了。

先看两个正比例项数，

y=0。5x 第 10 页 共 30 页 与 y=—0。5x

由这两个正比例函数的解析式不难看出，当x=0时，

y=0

即函数图象经过原点．〔让学生想一想，为什么？〕

除了点〔0，0〕之外，对于函数y=0。5x，再选一点〔1，0。5〕，对于函数y=—0。5x。再选一点〔1，一0。5〕，就可以分别画出这两个正比例函数的图象了。

实际画正比例函数y=kx〔k≠0〕的图象，一般按以以下三步：

〔1〕先选取两点，通常选点〔0，0〕与点〔1，k〕；

〔2〕在坐标平面内描出点〔0， O〕与点〔1，k〕；

〔3〕过点〔0，0〕与点〔1，k〕做一条直线．

这条直线就是正比例函数y=kx〔k≠0〕的图象．

观察正比例函数 y=0。5x 的图象．

这里，k＝0．5＞0．

从图象上看， y随x的增大而增大．

再观察正比例函数y＝—0．5x 的图象。

这里，k＝一0．5＜0

从图象上看， y随x的增大而减小

实际上，我们还可以从解析式本身的特点出发，考虑正比例函数的性质。