绝对值不等式题型解法练习(

第10课 绝对值不等式 ◇考纲解读 ①理解不等式a b a b a b -≤+≤+②掌握解绝对值不等式等不等式的基本思路，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；◇知识梳理1.绝对值的意义 ①代数意义：___,(0)___,(0)___,(0)a a a a >⎧⎪= =⎨⎪ <⎩②几何意义：a 是数轴上表示a 的点____________。

2. 含绝对值的不等式的解法①0a >时，|()|f x a >⇔____________；|()|f x a <⇔____________；②去绝对值符号是解绝对值不等式的常用方法；③根据绝对值的几何意义，通过数形结合解绝对值不等式．◇基础训练1.函数|||3|y x x =--的最大值为 ___________.2．(2008惠州调研) 函数46y x x =-+-的最小值为 .3.(2008珠海质检)已知方程20x ax b -+=的两根分别为1和2，则不等式1ax b -≤的解集为 ____________ （用区间表示）.4.(2008广州二模)不等式21<-+x x 的解集是 ．◇典型例题例1 .解不等式512x x +>-例2. 解不等式125x x -++>变式1：12x x a -++<有解，求a 的取值范围变式2：212x x a -++<有解，求a 的取值范围变式3：12x x a -++>恒成立，求a 的取值范围◇能力提升1.（2008湛江二模）若关于x 的不等式||2x a a -<-的解集为{}42|<<x x ，则实数=a .2.（2008韶关二模）不等式4|2||12|<++-x x 的解集为3．(2008揭阳调研)若()5f x x t x =-+-的最小值为3, 则实数t 的值是________.4. (2008汕头一模) 若不等式121x a x+>-+对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是_________________。

1．若a >0，且|x |>a ，则____________；若a >0，且|x |<a ，则____________.2．|ax ＋b |>c (c >0)型不等式的解法：3.解下列不等式．(1)|2x ＋5|<7.(2)|2x ＋5|>7＋x .(3)|x 2－3x ＋1|<5.(4)|2x －1|<2－3x .(5)1<|2－x |≤7.(6)1<|x －2|≤34.集合A ＝{x ||2－x |<5}，B ＝{x ||x ＋a |≥3}，且A ∪B ＝R ，求a 的取值范围|x －a |＋|x －b |≥c|x －a |＋|x －b |≤c5.解不等式（1）|x －1|＋|x －2|>2.（2）|x ＋2|－|x －1|<2|（3）x ＋2|－|x －1|<2x6.恒成立问题(1)对任意x ∈R ，若|x －3|＋|x ＋2|>a 恒成立，则实数a 的取值范围 ．(2)关于x 的不等式a >|x －3|＋|x ＋2|的解集非空，则实数a 的取值范围 ．(3)关于x 的不等式a >|x －3|＋|x ＋2|在R 上无解，则实数a 的取值范围 ．(4)若不等式|x ＋3|－|x －5|<m 对x ∈R 恒成立，则m 的取值范围为________(5)求使不等式|x －4|＋|x －3|<a 有解的a 的取值范围 ．7.|mx －1|<3的解集为(－1,2)，则m 的值是( )(A)2或－4 (B)2或－1(C)2或－4或－1 (D)28.若关于x 的不等式|a|≥|x＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是 .9.不等式⎪⎪⎪⎪x －2x >x －2x 的解集是________．10.．已知函数f (x )＝|x ＋2|－|x －1|，则f (x )的值域是________． 11. 对于x ∈R ，不等式||x ＋10－||x －2≥8的解集为______12.设函数f(x)＝|3x －1|＋x ＋2.(1)解不等式f(x)≤3；(2)若不等式f(x)>a 的解集为R ，求a 的取值范围.。

含绝对值的不等式解法1.不等式｜8-3x ｜≤0的解集是( )A. ∅B. RC. {(1,-1)}D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧382.设A ={x | |x -2|＜3}，B ={x | |x -1|≥1}，则A ∩B 等于( )A. {x |-1＜x ＜5}B. {x |x ≤０或x ≥2}C. {x |-1＜x ≤0}D. {x |-1＜x ≤0或2≤x ＜5}3.设集合}110 {-≤≤-∈=x Z x x A 且，}5 {≤∈=x Z x x B 且，则B A Y 中的元素个数是( )A. 11B. 10C. 16D. 154.不等式｜x +2｜＜3的解集是 ，5.不等式｜2x -1｜≥3的解集是 .6.不等式1211<-x 的解集是_________________.7.解不等式 1.02122<--x x 8.解不等式3≤|x －2|＜99.解不等式：842x x ---> 10.解不等式52312≥-++x x11.解下列不等式(1)512≥-+-x x ; (2) .512≤++-x x(3)5.515≤++-x x (4)5111≥++-x x绝对值不等式的证明1.若()5f x x t x =-+-的最小值为3, 则实数t 的值是________.2.. 已知|x-4|+|3-x|<a（1）若不等式的解集为空集，求a 的范围（2）若不等式有解，求a 的范围3．利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式34-+-x x <a 有解，a 要满足什么条件？4、证明 c b c a b a -+-≤-5、已知 2,2cb y ca x <-<-，求证 .)()(c b a y x <+-+6、已知.2,2cb B ca A <-<-求证：cb a B A <---)()(。

7、已知.6,4cb y ca x <-<-求证：cb a y x <+--3232。

绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。

b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。

x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。

分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。

绝对值不等式一、绝对值三角不等式1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤a x＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔a x＋b≥c或a x＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．二、绝对值不等式的解法(1)|a x＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c ；(2)|a x＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c .3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．1．不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.2．|x－a|＋|x－b|≥c表示到数轴上点A(a)，B(b)距离之和大于或等于c的所有点，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．例4：若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．解：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以只需a≤3即可．若本题条件变为“∃x∈R使不等式|x＋1|＋|x－2|<a成立为假命题”，求a的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x∈R，|x＋1|＋|x－2|≥a恒成立，故a≤(|x＋1|＋|x－2|)min，又|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴a≤3.例5：不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．解：由绝对值的几何意义知：|x－4|＋|x＋5|≥9，则log3(|x－4|＋|x＋5|)≥2所以要使不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则需a<2.例6：某地街道呈现东——西，南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(－2,2)，(3,1)，(3,4)，(－2,3)，(4,5)，(6,6)为报刊零售点，请确定一个格点(除零售点外)________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短．解：设格点(x，y)(其中x，y∈Z)为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短，即使(|x＋2|＋|y－2|＋(|x－3|＋|y－1|)＋(|x－3|＋|y－4|)＋(|x＋2|＋|y－3|)＋(|x－4|＋|y－5|)＋(|x－6|＋|y－6|)＝[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|)＋2|x－3|]＋[|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|]取得最小值的格点(x，y)(其中x，y∈Z)．注意到[(|x＋2|＋|x－6|)＋(|x＋2|＋|x－4|) ＋2|x－3|]≥|(x＋2)－(x－6)|＋|(x＋2)－(x－4)|＋0＝14，当且仅当x＝3取等号；|y－1|＋|y－2|＋|y－3|＋|y－4|＋|y－5|＋|y－6|＝(|y－1|＋|y－6|)＋(|y－2|＋|y－5|＋(|y－3|＋|y－4|)≥|(y－1)－(y－6)|＋|(y－2)－(y－5)|＋|(y－3)－(y－4)|＝9，当且仅当y＝3或y＝4时取等号．因此，应确定格点(3,3)或(3,4)为发行站．又所求格点不能是零售点，所以应确定格点(3,3)为发行站．1．对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．2．该定理可以强化为：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．3．对于求y＝|x－a|＋|x－b|或y＝|x＋a|－|x－b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更简洁、方便.例7：设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的例9：已知关于x的不等式|2x＋1|＋|x－3|＞2a－32恒成立，求实数a的取值范围．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＋2，x ＜－12，x ＋4，－12≤x ＜3，3x －2，x ≥3，∴当x ＝－12时，y ＝|2x ＋1|＋|x －3|取最小值72，∴72＞2a －32，即得a ＜52. 例10：已知f (x )＝1＋x 2，a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.解：∵|f (a )－f (b )|＝|1＋a 2－1＋b 2|＝|a 2－b 2|1＋a 2＋1＋b 2＝|a －b ||a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2， 又|a ＋b |≤|a |＋|b |＝a 2＋b 2<1＋a 2＋1＋b 2，∴|a ＋b |1＋a 2＋1＋b 2<1.∵a ≠b ，∴|a －b |>0.∴|f (a )－f (b )|<|a －b |.例11：已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a |2|a |≥|a |2－|b |2. 证明：①若|a |＞|b |，则左边＝|a ＋b |·|a －b |2|a |＝|a ＋b |·|a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b |·|a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝11|a ＋b |＋1|a －b |. ∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |，∴1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |.∴左边≥|a |－|b |2＝右边，∴原不等式成立． ②若|a|＝|b|，则a 2＝b 2，左边＝0＝右边，∴原不等式成立．③若|a|＜|b|，则左边＞0，右边＜0，原不等式显然成立．综上可知原不等式成立．证明：|f(x)－f(a)|＝|x 2－x ＋43－a 2＋a －43|＝|(x －a)(x ＋a －1)|＝|x －a|·|x ＋a －1|.∵|x －a|＜1， ∴|x|－|a|≤|x －a|＜1.∴|x|＜|a|＋1.∴|f(x)－f(a)|＝|x －a|·|x ＋a －1|＜|x ＋a －1|≤|x|＋|a|＋1＜2(|a|＋1)． 例13：已知函数f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－a )．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的最小值；(2)当函数f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围．解：函数的定义域满足|x －1|＋|x －5|－a >0，即|x －1|＋|x －5|>a .(1)当a ＝2时，f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－2)，设g (x )＝|x －1|＋|x －5|，则g (x )＝|x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －6，x ≥5，4，1<x <5，6－2x ，x ≤1，g (x )min ＝4，f (x )min ＝log 2(4－2)＝1.(2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4，|x －1|＋|x －5|－a >0，∴a <4.∴a 的取值范围是(－∞，4)． x －4|－|x －2|＞1.解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2， x ＞4，－2x ＋6， 2≤x ≤4，2， x ＜2.则函数y ＝f (x )的图像如图所示．(2)由函数y ＝f (x )的图像容易求得不等式|x －4|－|x －2|>1的解集为5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭。

绝对值不等式的解法例题
绝对值不等式的解法一般有两种，一种是利用数轴的方法，另一种是利用定义式进行分析。

下面我们来看一道绝对值不等式的解法例题。

例题：求解|2x-3|<5。

解法一：数轴法
首先我们可以画出数轴，然后在数轴上标出2x-3的位置。

接着我们需要找出满足绝对值小于5的所有x的可能位置。

由于绝对值的定义是非负数，所以|2x-3|<5等价于-5 < 2x-3 < 5，即-2 < x < 4。

最后我们将答案标在数轴上即可。

解法二：定义式法
我们可以将绝对值的定义式进行分析，即|a|<b等价于-b<a<b。

将该式代入原不等式中，得到-5<2x-3<5。

接着我们可以将不等式两边加上3，得到-2<2x<8，再将不等式两边除以2，得到-1<x<4。

最后我们得到了和解法一相同的答案。

综上所述，绝对值不等式的解法可以通过数轴法和定义式法两种方法进行。

对于不同的题目，我们可以根据实际情况选择适合的解法。

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绝对值不等式的解法例题
绝对值不等式是初中数学中的重要知识点，它在解决实际问题中有着广泛的应用。

下面我们来看一个绝对值不等式的解法例题。

例题：求解不等式 |2x-3|<5
解法：首先，我们可以将不等式拆分成两个部分：
2x-3<5 以及 2x-3>-5
解得：
2x<8 以及 2x>-2
x<4 以及 x>-1
因此，不等式的解集为：-1<x<4。

解释：当|2x-3|<5时，2x-3的绝对值小于5，即-5<2x-3<5。

将其拆分成两个不等式，即2x-3<5和2x-3>-5。

解出这两个不等式，得到x<4和x>-1。

因此，不等式的解集为-1<x<4。

总结：解绝对值不等式的关键是将其拆分成两个部分，然后分别解出
每个部分的不等式，最后将其合并得到不等式的解集。

在解题过程中，需要注意绝对值的性质，即|a|<b等价于-b<a<b。

高中数学-绝对值不等式的解法练习一、选择题1．如果1x ＜2和|x |＞13同时成立，那么实数x 的取值范围是( )A ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－13＜x ＜12B ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12或x ＜－13C ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12D ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－13，或x ＞13解析：解不等式1x ＜2，得x ＜0或x ＞12.解不等式|x |＞13，得x ＞13或x ＜－13.∴实数x 的取值范围为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12或x ＜－13.答案：B2．不等式2＜|2x ＋3|≤4的解集为( )A ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－72＜x ＜－52或－12＜x ≤12B ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－72＜x ＜－52或－12＜x ＜12C ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－72≤x ＜－52或－12＜x ≤12D ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－72≤x ≤－52或－12＜x ≤12解析：由2＜|2x ＋3|≤4，可得2＜2x ＋3≤4或 －4≤2x ＋3＜－2.解得－12＜x ≤12或－72≤x ＜－52.答案：C3．关于x 的不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax －1x ＞a 的解集为集合M ，且2∉M ，则实数a 的取值范围为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析：因为2∉M ，所以2∈∁R M .所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －12≤a ，即－a ≤2a －12≤a .解得a ≥14.答案：B4．不等式|3－x |＋|x ＋4|＞8的解集是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－92 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞72 C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－92或x ＞72 D ．R解析：|3－x |＋|x ＋4|＞8⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－4，3－x －x －4＞8或⎩⎪⎨⎪⎧－4＜x ＜3，3－x ＋x ＋4＞8或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x －3＋x ＋4＞8⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－4，－1－2x ＞8或⎩⎪⎨⎪⎧－4＜x ＜3，7＞8或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，2x ＞7.∴x ＜－92或x ＞72.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－92或x ＞72.答案：C 二、填空题5．若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－53＜x ＜13，则a ＝________. 解析：由原不等式的解集，可知－53，13为原不等式对应的方程|ax －2|＝3的根，即⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪－53a －2＝3，⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a －2＝3.解得a ＝－3. 答案：－36．已知函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3，若f (x )≤5，则实数x 的取值范围是________. 解析：由已知，有|2x －1|＋x ＋3≤5，即|2x －1|≤2－x .所以x －2≤2x －1≤2－x ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≤2－x ，2x －1≥x －2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≥－1.所以－1≤x ≤1.答案：[－1,1]三、解答题7．已知一次函数f (x )＝ax －2. (1)当a ＝3时，解不等式|f (x )|＜4； (2)解关于x 的不等式|f (x )|＜4；(3)若关于x 的不等式|f (x )|≤3对任意x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝3时，f (x )＝3x －2，所以|f (x )|＜4⇔|3x －2|＜4⇔－4＜3x －2＜4⇔ －2＜3x ＜6⇔－23＜x ＜2.所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23＜x ＜2. (2)|f (x )|＜4⇔|ax －2|＜4⇔－4＜ax －2＜4⇔－2＜ax ＜6.当a ＞0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －2a ＜x ＜6a ； 当a ＜0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪6a ＜x ＜－2a . (3)|f (x )|≤3⇔|ax －2|≤3⇔－3≤ax －2≤3⇔－1≤ax ≤5⇔⎩⎪⎨⎪⎧ax ≤5，ax ≥－1.因为x ∈[0,1]， 所以－1≤a ≤5.所以实数a 的取值范围为[－1,5]．8．已知对区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，54内的一切实数a ，满足关于x 的不等式|x －a |＜b 的x 也满足不等式|x －a 2|＜12，试求实数b 的取值范围．解：设A ＝{x ||x －a |＜b }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪|x －a 2|＜12， 则A ＝{x |a －b ＜x ＜a ＋b ，b ＞0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a 2－12＜x ＜a 2＋12. 由题意，知当0＜a ≤54时，A ⊆B ．所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ≥a 2－12，a ＋b ≤a 2＋12，0＜a ≤54.所以b ≤－a 2＋a ＋12且b ≤a 2－a ＋12.因为0＜a ≤54，所以－a 2＋a ＋12＝－a －122＋34∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤316，34，a 2－a ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1316.所以b ≤316且b ≤14.从而b ≤316.故实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，316.一、选择题1．设集合A ＝{x ||x －a |＜1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |＞2，x ∈R }，若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b |≤3B ．|a ＋b |≥3C ．|a －b |≤3D ．|a －b |≥3解析：由|x －a |＜1，得a －1＜x ＜a ＋1. 由|x －b |＞2，得x ＜b －2或x ＞b ＋2. ∵A ⊆B ，∴a －1≥b ＋2或a ＋1≤b －2. ∴a －b ≥3或a －b ≤－3.∴|a －b |≥3. 答案：D2．若关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －4|≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52C ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－92 D ．(－∞，－5] 解析：设F (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ＜－12，3x －3，－12≤x ≤4，x ＋5，x ＞4.如图所示，F (x )min ＝－32－3＝－92.故m ≤F (x )min ＝－92.答案：C二、填空题3．已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则实数a 的取值范围是________.解析：∵关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，∴Δ＝12－4⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≥0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14.根据绝对值的几何意义，知0≤a ≤14.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 4．若函数f (x )是R 上的减函数，且函数f (x )的图像经过点A (0,3)和B (3，－1)，则不等式|f (x ＋1)－1|＜2的解集是________.解析：∵|f (x ＋1)－1|＜2，∴－2＜f (x ＋1)－1＜2，即－1＜f (x ＋1)＜3.∴f (3)＜f (x ＋1)＜f (0)．∵函数f (x )在R 上是减函数， ∴0＜x ＋1＜3.解得－1＜x ＜2. 答案：{x |－1＜x ＜2} 三、解答题5．如图所示，点O 为数轴的原点，A ，B ，M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点．设x 表示点C 与原点的距离，y 表示点C 到点A 的距离的4倍与点C 到点B 的距离的6倍之和．(1)将y 表示为x 的函数；(2)要使y 的值不超过70，实数x 应该在什么范围内取值？ 解：(1)依题意，得y ＝4|x －10|＋6|x －20|,0≤x ≤30. (2)由题意，得x 满足⎩⎪⎨⎪⎧4|x －10|＋6|x －20|≤70，0≤x ≤30.(*)当0≤x ≤10时，不等式组(*)化为 4(10－x )＋6(20－x )≤70，解得9≤x ≤10. 当10＜x ＜20时，不等式组(*)化为 4(x －10)＋6(20－x )≤70，解得10＜x ＜20. 当20≤x ≤30时，不等式组(*)化为 4(x －10)＋6(x －20)≤70，解得20≤x ≤23. 综上，实数x 的取值范围是[9,23]． 6．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若关于x 的不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若关于x 的不等式f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：法一 (1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3. 解得a －3≤x ≤a ＋3.又关于x 的不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5.解得a ＝2.(2)由(1)，得a ＝2，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ＜－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x ＞2.所以当x ＜－3时，g (x )＞5； 当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x＞2时，g(x)＞5.综上，函数g(x)的最小值为5.从而若关于x的不等式f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为(－∞，5]．法二(1)同法一．(2)由(1)，得a＝2，f(x)＝|x－2|.设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，得函数g(x)的最小值为5.从而若关于x的不等式f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为(－∞，5]．。

含绝对值不等式的解法练习题高一数学（含解析）含绝对值不等式的解法练习题高一数学含绝对值不等式的解法练习题1.不等式1|2x-1|2的解集是( )A.(- ,0)(1, )B.(- ,0)][1, ])C.(- ,0)[1, ]D.(-,- )[1, ]答案：B解析：原不等式等价于-2-1或12.解得-2.假如a0,那么下列各式中错误的是( )A. B.a+cb+c C.adbd D.a-cb-c答案：C解析：反例可举d=0.3.已知a1,则不等式|x|+a1的解集是( )A.{x|a-1C. D.R答案：D解析：由|x|+a1,得|x|1-a.∵a1,1-a0.故该不等式的解集为R.4.在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是( )A.{x|-2C.{x|-22}D.{x|x2或x-2}答案：C解析：由绝对值的几何意义易知.5.关于任意实数x,不等式|x|m-1恒成立,则实数m的取值范畴是_______ __________.答案：m1解析：|x|m-1对一切实数x恒成立,则m-1应不大于|x|的最小值,即m-10,得m1.6.|x-1||x+1|的解集是______________.答案：{x|x0}解析：原不等式可化为(x-1)2(x+1)2,解得x0.7.已知集合A={x||x+7|10},B={x|?|x-5|?2c},又AB=B,求实数c的范畴.解：先解|x+7|10,得x+710或x+7-10,有x3或x-17,即A={x|x3若x-17}.由AB=B得B A,对B讨论如下情形:(1)B= 有c(2)B 有c0,解|x-5|2c,得-2c解得c-11或c1.取c1,即0由(1)(2)知实数c的取值范畴是{c|c{c|0能力提升踮起脚,抓得住!8.已知集合M={x| 1},P={x|x-t0},要使MP= ,则t的取值范畴是( )A.{t|t1}B.{t|t1}C.{t|t1}D.{t|t1}答案：A解析：M={x|-11},P={x|xt},由MP= 知t1.9.若|x-4|+|x-3|A.aB.aC.aD.a3或a-4答案：B解析：由几何意义:|x-4|+|x-3|的最小值为1,则当a1时,原不等式的解集为空集.10.不等式|6-|2x+1||1的解集是________________.答案：{x|x-4或-3解析：原不等式等价于6-|2x+1|1或6-|2x+1|-1,又等价于-55或2x+17或2x+1-7.解之可得.11.不等式|x-2|+|x-3|9的解集是________________.答案：{x|-2解析：当x3时,原不等式为x-2+x-39,解得x7,即有3当23时,为x-2+3-x9,即19成立,即有2当x2时,为2-x+3-x9,解得x-2,即有-2综合得原不等式的解集为{x|37}{x|23}{x|-212.设A={x||2x-1|1},B={x||2x-a|1},AB= ,AB=R,求实数a的值.解：|2x-1|1 2x-11或2x-1-1,即x1或x0,即A={x|x1或x解|2x-a|1,得-11,即,即B={x| }.由AB= ,AB=R,图示如下:可得解得a=1.13.关于实数x的不等式|x- | 与|x-a-1|a的解集依次记为A与B,求使A B的a的取值范畴.解：由|x- | ,得- ,因此2aa2+1.由|x-a-1|a,得-ax-a-1a,则12a+1,要使A B,就必须即故a的取值范畴为2.拓展应用跳一跳，够得着!14.已知aR,则(1-|a|)(1+a)0的解集为( )A.|a|B.aC.|a|D.a1且a-1答案：D解析：(1)a0时,(1-|a|)(1+a)=(1-a)(1+a)a(2)a0时,(1+a)(1+a)=(1+a)20,且a-1.综合知a1,且a-1.15.已知关于x的不等式|x+2|+|x-3|答案：a5解析：∵|x+2|+|x-3|5恒成立,当a5时,|x+2|+|x-3|故要使|x+2|+|x-3|16.设不等式|x+1|-|x-2|k的解集为R,求实数k的取值范畴.解法一：依照绝对值的几何意义,|x+1|能够看作数轴上点P(x)到点A(-1)的距离|PA|,|x-2|能够看作是数轴上点P(x)到点B(2)的距离|PB|,则|x+1|-|x-2|=| PA|-|PB|.如图所示:当点P在线段AB上时,-3|PA|-|PB|3,当P在A点左侧时,|PA|-|PB|=-3,当P在B点右侧时,|PA|-|PB|=3,则不等式-3|x+1|-|x-2|3恒成立.故使原不等式的解集为R的实数k的取值范畴是k-3.解法二:令y=|x+1|-|x-2|课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。

含绝对值不等式的解法例1 解绝对值不等式｜x+3｜>｜x-5｜．解：由不等式｜x+3｜>｜x-5｜两边平方得>｜x-5｜｜x+3｜22,x-5）即（x+3）>（．x>1x>1｝．原不等式的解集为｛∴ x｜22，可在22，两边平方脱去绝对于两边都含“单项”绝对值的不等式依据｜x｜＝x评析对值符号．当然，此例可按绝对值定义讨论脱去绝对值符号，但解题繁琐．的取值范围是｜x-2｜>k恒成立，则实数k例2 对任意实数x，若不等式｜x+1｜-）（ C．k≤3 A．k<3 B．k<-3．k≤-3 D｜的最小值x-2x>k对任意实数恒成立，只要｜x+1｜-｜x+1分析要使｜｜-｜x-2｜2-1x到的距离，｜x-2｜的几何意义为点x到大于k．因｜x+1｜的几何意义为数轴上点-3，与2的距离的差，其最小值为-1x+1的距离，｜｜-｜x-2｜的几何意义为数轴上点x到．选B ∴ k<-3,∴此例利用绝对值的几何意义使问题迅速得解，若采用其他方法则解答过程冗评析长．>x+3．3例解不等式｜3x-1｜两种情况讨论．分析解此类不等式，要分x+3≥0和x+3<0x≥两种情况求解：和x+3≥0，即x≥-3时，原不等式又要分-3≤x< 解：当- ;①-，此时不等式的解为3≤x<，即当-3≤x< 时，-3x+1>x+3x<-x≥时，3x-1>x+3，即x>2，此时不等式的解为x>2．②当又当x+3<0，即x<-3时，不等式是绝对不等式．③取①、②、③并集知不等式的解集为x<-，或x>2｝．x｛｜2x+3｜-｜｜<1解不等式例4｜x-5- 分别使上式两个绝对值中代数式的值为零，它们将数轴分成三段：5和x＝解：x＝于是，原不等式变为（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）<x≤5， x<-7，解（Ⅱ）得解（Ⅰ）得x>5；解（Ⅲ）得x> ｝即为原不等式的解集．x｜x<-7或（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的并集｛说明解这类绝对值不等式（仅限绝对值符号里面是一次式）可分如下几个步骤：第一步令每个绝对值号里的一次因式等于零求出相应的根；第二步把这些根按从小到大的顺序排号并把数轴分成相应的若干个区间；第三步根据所分区间去掉绝对值符号，组成若干个不等式组，最后分别解每个不等式组，取结果的并集就是原不等式的解．例5解不等式1≤｜2x-1｜<5．原不等式等价于解法一：或②①1≤x<3;解①得 -2<x≤0．解②得原不等式的解集为∴｛x｜-2<x≤0或1≤x<3｝．解法二：原不等式等价于1≤2x-1<5，或 -5<2x-1≤-1，即 2≤2x<6，或 -4<2x≤0，解得 1≤x<3，或 -2<x≤0．∴原不等式的解集为｛x｜-2<x≤0，或1≤x<3｝．评析比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是｜≤ba≤x≤b，或-b≤x≤-a（a≥0）．a≤｜x这一规律对我们今后解题很有作用，要在理解的基础上加以记忆．本例亦可用图像法求解，不妨一试．例6 解不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8．分析这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论．解法一：由代数式｜x+3｜、｜x-3｜知，-3和3把实数集分为三个区间：x<-3,-3≤x<3，x≥3．当x<-3时，-x-3-x+3>8，即x<-4，此时不等式的解为x<-4；①当-3≤x<3时，x+3-x+3>8，此时无解；②当x≥3时，x+3+x-3>8，即x>4，此时不等式的解为x>4．③取①、②、③的并集得原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．点评解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根；（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；求出它们的解集；解这些不等式，由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，）3（．（4）取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．模仿例1，我们还有解法二：不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8表示数轴上与A（-3），B（3）两点距离之和大于8的点，而A，B两点距离为6．因此线段AB上每一点到A、B的距离之和都等于6．如下图，要找到A，B距离之和为8的点，只须由点B向右移1个单位（这时距离之和增加2个单位），即移到点B（4），或由点A向左移1个单位，即移到点A（-4）．11可以看出，数轴上点B（4）向右的点或者点A（-4）向左的点到A、B两点的距离之11和均大于8．∴原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．解法三：分别画出函数y＝｜x+3｜+｜x-3｜和y＝8的图像，如下图．21＝y1不难看出，要使y>y，只须x<-4，或x>4．21∴原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．点评对于形如｜x-a｜+｜x-b｜>c，或｜x-a｜-｜x-b｜<c的不等式，利用不等式的几何意义或者画出左、右两边函数的图像去解不等式，更为直观、简捷．这又一次体现了数!形结合思想方法的优越性．。

含绝对值的不等式解法一、选择题1.已知a ＜-6，化简26a -得( ) A. 6-a B. -a -6C. a +6D. a -62.不等式｜8-3x ｜≤0的解集是( ) A. ∅B. RC. {(1,-1)}D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧38 3.绝对值大于2且不大于5的最小整数是( ) A. 3B. 2C. -2D. -54.设A ={x | |x -2|＜3}，B ={x | |x -1|≥1}，则A ∩B 等于( )A. {x |-1＜x ＜5}B. {x |x ≤０或x ≥2}C. {x |-1＜x ≤0}D. {x |-1＜x ≤0或2≤x ＜5}5.设集合}110 {-≤≤-∈=x Z x x A 且，}5 {≤∈=x Z x x B 且，则B A 中的元素个数是( ) A. 11 B. 10 C. 16 D. 156.已知集合M ={R x x x y y ∈-+=,322},集合N ={y ︱32≤-y }，则M ∩N （ ） A. {4-≥y y } B. {51≤≤-y y } C. {14-≤≤-y y } D. ∅7.语句3≤x 或5>x 的否定是（ ）A. 53<≥x x 或B. 53≤>x x 或C. 53<≥x x 且D. 53≤>x x 且 二、填空题1.不等式｜x +2｜＜3的解集是 ，不等式｜2x -1｜≥3的解集是 .2.不等式1211<-x 的解集是_________________. 3.根据数轴表示a ,b ,c 三数的点的位置，化简|a +b |+|a +c |-|b -c |= ___ .三、解答题1.解不等式 1.02122<--x x 2.解不等式 x 2 - 2｜x ｜-3＞03.已知全集U = R , A ={x ｜x 2- 2 x - 8＞0}, B ={x ｜｜x +3｜＜2},求：(1) A ∪B , C u （A ∪B ） (2) C u A , C u B , （C u A ）∩（C u B ）4.解不等式3≤|x －2|＜9 7.解不等式|3x －4|＞1+2x .5.画出函数|21|x-||x y ++=的图象，并解不等式| x +1|+| x －2|<4.6.解下列关于x 的不等式：1＜| x - 2 |≤77.解不等式2≤｜5-3x ｜＜9 11.解不等式｜x -a ｜＞b8.解关于x 的不等式：|4x -3|>2x +19.解下列关于x 的不等式：021522≤---x x x含绝对值的不等式解法答案一、选择题(共7题，合计35分) 1.1760答案：B 2.1743答案：D 3.1744答案：D 4.1773答案：D 5.2075答案：C 6.4109答案：B 7.1672答案：D二、填空题(共5题，合计21分)1.1539答案：｛-5＜x ＜1｝，｛x ｜x ≥2或x ≤-1｝2.1725答案：｛x ｜0＜x ＜4｝3.1602答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-3434x x4.1728答案：a <35.1788答案：0三、解答题(共19题，合计136分) 1.1510答案：｛x ｜x ＞10或x ＜-10｝2.1502答案：{}33-<>x x x 或3.1509答案：(1) A ∪B = {x ｜x ＜-1或x ＞4＝, C U （A ∪B ）= {x ｜-1≤x ≤4}(2) C U A = {x ｜-2≤x ≤4}, C U B = {x ｜x ≤-5或x ≥-1}, (C U A ）∩(C U B ） = {x ｜-1≤x ≤4}4.1535答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<317x x x 或5.1597答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2721x x x 或6.1598答案：{x |-7＜x ≤-1或5≤x ＜11}7.1599答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧><553x x x 或8.1600答案：2523<<-x9.1538答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<032x x x 或 10.1554答案：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤≤<-31437134x x x 或 11.1536答案：当b ＜0时，解集为R ；当b =0时，解集为｛x ｜x ∈R 且x ≠a ｝；当b ＞0时，解集为｛x ｜x ＜a -b 或x ＞a +b ｝.12.1601答案：a 的取值范围为a >5 13.1721答案：-5≤x ＜1或3＜x ≤9.14.1722答案：x >2或x <1/3.15.1723答案：|x -1|+|x -2|<3⇔0<x <1或1≤x ＜2或2≤x ＜3⇔0＜x ＜3.16.1724答案：当m >0时，原不等式的解集是{x |-3m <x <2m }；当m =0时，原不等式的解集是∅；当m <0时,原不等式的解集是{x |2m <x <-3m }. 17.1726答案：x <-1/2或0<x <4.18.1727答案：x ≤-3或2＜x ≤519.4121答案：21<a <32。

例1 不等式|8－3x|＞0的解集是[ ]A B RC {x|x }D {83}．．．≠．∅83 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 83答 选C ．例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ]A ．3B ．2C ．－2D ．－5分析 列出不等式．解 根据题意得2＜|x|≤5．从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ．例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形．解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤．3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ．分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为2＜|2x －6|＜5即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62⎧⎨⎩ 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4⎧⎨⎩解之得＜＜或＜＜．4x x 211212因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}．说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么[ ]A ．|a －b|＜|a|＋|b|B ．|a ＋b|＞|a －b|C ．|a ＋b|＜|a －b|D ．|a －b|＜||a|＋|b||分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ．例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为[ ]A ．a ＝1，b ＝3B ．a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1，b ＝－3D a b ．＝，＝1232分析 解不等式后比较区间的端点．解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得．a b 1a b 2a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．⎧⎨⎩1232 答 选D ．说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论．解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 112式的解集为；∅若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12x ＜m ．综上所述得：当≤时原不等式解集为；当＞时，原不等式的解集为m m 1212∅{x|1－m ＜x ＜m}．说明：分类讨论时要预先确定分类的标准．例解不等式－＋≥．8 3212||||x x分析 一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去分母．解 注意到分母|x|＋2＞0，所以原不等式转化为2(3－|x|)≥|x|＋2，整理得|x|x {x|x }≤，从而可以解得－≤≤，解集为－≤≤．4343434343说明：分式不等式常常可以先判定一下分子或者分母的符号，使过程简便．例9 解不等式|6－|2x ＋1||＞1．分析 以通过变形化简，把该不等式化归为|ax ＋b|＜c 或|ax ＋b|＞c 型的不等式来解．解 事实上原不等式可化为6－|2x ＋1|＞1①或 6－|2x ＋1|＜－1②由①得|2x ＋1|＜5，解之得－3＜x ＜2；由②得|2x ＋1|＞7，解之得x ＞3或x ＜－4．从而得到原不等式的解集为{x|x ＜－4或－3＜x ＜2或x ＞3}． 说明：本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论．例10 已知关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －3|＜a 的解集是非空集合，则实数a 的取值范围是________．分析 可以根据对|x ＋2|＋|x －3|的意义的不同理解，获得多种方法．解法一 当x ≤－2时，不等式化为－x －2－x ＋3＜a 即－2x ＋1＜a 有解，而－2x ＋1≥5，∴a ＞5．当－2＜x ≤3时，不等式化为x ＋2－x ＋3＜a 即a ＞5．当x ＞3是，不等式化为x ＋2＋x －3＜a 即2x －1＜a 有解，而2x －1＞5，∴a ＞5．综上所述：a ＞5时不等式有解，从而解集非空．解法二 |x ＋2|＋|x －3|表示数轴上的点到表示－2和3的两点的距离之和，显然最小值为3－(－2)＝5．故可求a 的取值范围为a ＞5．解法三 利用|m|＋|n|＞|m ±n|得|x ＋2|＋|x －3|≥|(x ＋2)－(x －3)|＝5． 所以a ＞5时不等式有解．说明：通过多种解法锻炼思维的发散性． 例11 解不等式|x ＋1|＞2－x ．分析一 对2－x 的取值分类讨论解之． 解法一 原不等式等价于：①－≥＋＞－或＋＜－2x 0x 12x x 1x 2⎧⎨⎩或②－＜∈2x 0x R⎧⎨⎩由①得≤＞或＜－x 2x 1212⎧⎨⎪⎩⎪ 即≤＞，所以＜≤；x 2x x 21212⎧⎨⎪⎩⎪ 由②得x ＞2．综合①②得＞．所以不等式的解集为＞．x {x|x }1212分析二 利用绝对值的定义对|x ＋1|进行分类讨论解之．解法二 因为|x 1| x 1x 1x 1x 1＋＝＋，≥－－－，＜－⎧⎨⎩原不等式等价于：①≥＞或②＜＞x x x x x x++-⎧⎨⎩+---⎧⎨⎩10121012 由①得≥＞即＞；x x -⎧⎨⎪⎩⎪11212 x由②得＜－－＞即∈．x 112 x ⎧⎨⎩∅所以不等式的解集为＞．{x|x }12例12 解不等式|x －5|－|2x ＋3|＜1．分析 设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分区间讨论，事实上，由于＝时，－＝，＝－时＋＝．x 5|x 5|0x |2x 3|032所以我们可以通过－，将轴分成三段分别讨论．325x解当≤－时，－＜，＋≤所以不等式转化为 x x 502x 3032－(x －5)＋(2x ＋3)＜1，得x ＜－7，所以x ＜－7；当－＜≤时，同理不等式化为32x 5－(x －5)－(2x ＋3)＜1，解之得＞，所以＜≤；x x 51313当x ＞5时，原不等式可化为x －5－(2x ＋3)＜1，解之得x ＞－9，所以x ＞5．综上所述得原不等式的解集为＞或＜－．{x|x x 7}13说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略． 例13 解不等式|2x －1|＞|2x －3|．分析 本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝对值，但这样比较复杂．如果采取两边平方，即根据＞＞解|a||b|a b 22之，则更显得流畅，简捷．解 原不等式同解于(2x －1)2＞(2x －3)2，即4x 2－4x ＋1＞4x 2－12x ＋9， 即8x ＞8，得x ＞1．所以原不等式的解集为{x|x ＞1}．说明：本题中，如果把2x 当作数轴上的动坐标，则|2x －1|＞|2x －3|表示2x 到1的距离大于2x 到3的距离，则2x 应当在2的右边，从而2x ＞2即x ＞1．。

解“含纽对值的不等成”专題练习册级学号一•选择題:1.不等衣|x + 2|<3的解集是()(A) - 5<x<1 ( B ) x< - 5 或x>1 ( C ) x< - 5 ( D ) x>12.不等衣|2z-1 |>2的解集是()1 3 1 3(A ) x> 1 或x<- 1 ( B ) A <一一或A > - ( C ) --<x<- ( D ) - 1 <x<32 2 2 23•不等衣3v|2x —l|v5的解集为()A. {x|2<x<31B. {x|-2<x<-1}C. {x|-2<x<-1 或2<x<3}D. {x|-2<x<3}4•不等S0<|2x-l|<5的解集为( )A. {x|-2<x<3}B. {x|-2<x<2} C・(x|x<-2 或x>3} D. {x|-2<x<3 fl -}25•不等衣I2x —5I>3的解集是()(A) {x I x > 4} (B){xl 1 <x< 4}(C) {x I x<一1弧 > 4)(D) {x\x< 1 或兀 > 4)6•关于x的不等氏叱vO(“ + 〃vO)的瞬集是()b_x(A) {x\x< -a} (B){x I x < > /?}(C) {x I x < /?或x: > -a} (D){xl/?<x< -a}7•不等itlx2-xl<2的解集是( )(A) {x \ x < -lgJcx > 2) (B) {x I -1 v x v 2} (C)x e 7? (D)08•不等式(l + x)(l-lxl) >0的解集是()A. {xIOSxvl} B・{xlx vO,xH-l}C. {xl-1 <x< l)D.{xlx<9•已知集合A={x卜2<x<4},B=(x|xMa},若AnB=4>, fl AuB中不含元素5,则下列值中a可能是A. 3B. 4C. 5D. 6 ( )10•若不等直丄v2和卜|>抑时应立，呱x的取值X围是()A. —丄vxvlB. x> 丄或vv-丄C. x>-D. x> -2 3 2 3 2 3 211.设集合P={X|X2-4X-5<0},Q = {X^x\-a>0}, i 能便PflQ = 0 成立的a 的值是( ) A. {a\a>5} B. {a|a>5}C. {d|-lva<5}D. ^a\a > 1}12•不等衣奸¥+凶》0的解集是( )A. {x|-2<x<2}B. 0或0K2}C. {x|-2<x<0«lc0<J<2)D. {x|-辰x<0或0W>/T}13.E »a>o,不等此卜一 4|+卜一 3|<“在实数集R 上的解集不是空集,剧“的取值X 围是（ A. a >0B. a > 1 C ・ a>\ D. a >22、•一］14 •设集合4 = {人•卜一牛2}, 3 =杯二卜若A^B 9収的収值X 围是（x I 2A. {切0<«< ljB. {切0<a<\}C. {G |0 va v 1} D ・{a|0<a<\} 二填空題: 15•不等S|X +1|+|X-1|<2的解集是 ______________________17•不等贰|x+1 |+|x-11>2的解集是 ___________________________ ・1&若a>O,be/?,般不等j{\-3x + b\< "的解集是 _____________________ .19•不等jt|x +1|-|x-1>a 的解集是R,则a 的取值集合 __________________________________ 20•不等氏/-5^|+6<0.的解集是 _________________ 21•巳知集合 A={x||x+2>5EB={x|-屮+6乂・ 5>0},M AuB=三.解笞題：22. 解下列不等衣 （1）|1-2x>2⑵（x-1 ） 2<100(3)解不等 S X 2-9<X +3 (4)解不等式 |x-|2x+1||>1.16.x 2 +3x JV + 2>卞的解集是 -----------------------(5)l3x + 2lvlxl(6) I x2 -4x+2 | >-；2 (7 ) | x+3 | - | x - 3 | >3.23.BflA = {x||x-a|<4}1B = {x|x2-4x-5>0}, fl AuB=R.XX 数a 的取值X 围.24.M BlA = {xllx-ll<c,c>O},B = {xllx-3l>4},KAn^ = 0» 求C 皿值的XU。

含绝对值不等式的解法例1? 解绝对值不等式｜x+3｜>｜x-5｜．解：由不等式｜x+3｜>｜x-5｜两边平方得｜x+3｜2>｜x-5｜2，即（x+3）2>（x-5）2,x>1．∴? 原不等式的解集为｛x｜x>1｝．评析? 对于两边都含“单项”绝对值的不等式依据｜x｜2＝x2，可在两边平方脱去绝对值符号．当然，此例可按绝对值定义讨论脱去绝对值符号，但解题繁琐．例2? 对任意实数x，若不等式｜x+1｜-｜x-2｜>k恒成立，则实数k的取值范围是（??? ）A．k<3????? ???? B．k<-3????? ??????? C．k≤3????? ??????? D．k≤-3分析? 要使｜x+1｜-｜x-2｜>k对任意实数x恒成立，只要｜x+1｜-｜x-2｜的最小值大于k．因｜x+1｜的几何意义为数轴上点x到-1的距离，｜x-2｜的几何意义为点x到2的距离，｜x+1｜-｜x-2｜的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离的差，其最小值为-3，∴? k<-3,∴? 选B．评析? 此例利用绝对值的几何意义使问题迅速得解，若采用其他方法则解答过程冗长．例3? 解不等式｜3x-1｜>x+3．分析? 解此类不等式，要分x+3≥0和x+3<0两种情况讨论．解：当x+3≥0，即x≥-3时，原不等式又要分-3≤x< 和x≥ 两种情况求解：当-3≤x< 时，-3x+1>x+3，即x<- ，此时不等式的解为-3≤x<- ;①当x≥ 时，3x-1>x+3，即x>2，此时不等式的解为x>2．②又当x+3<0，即x<-3时，不等式是绝对不等式．③取①、②、③并集知不等式的解集为｛x｜x<- ，或x>2｝．例4? 解不等式? ｜x-5｜-｜2x+3｜<1解：x＝5和x＝- 分别使上式两个绝对值中代数式的值为零，它们将数轴分成三段：于是，原不等式变为（Ⅰ）?或（Ⅱ）或（Ⅲ）解（Ⅰ）得? x<-7，解（Ⅱ）得<x≤5，解（Ⅲ）得? x>5；（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的并集｛x｜x<-7或x> ｝即为原不等式的解集．说明? 解这类绝对值不等式（仅限绝对值符号里面是一次式）可分如下几个步骤：第一步令每个绝对值号里的一次因式等于零求出相应的根；第二步把这些根按从小到大的顺序排号并把数轴分成相应的若干个区间；第三步根据所分区间去掉绝对值符号，组成若干个不等式组，最后分别解每个不等式组，取结果的并集就是原不等式的解．例5? 解不等式1≤｜2x-1｜<5．解法一：原不等式等价于① 或②解①得? 1≤x<3;解②得? -2<x≤0．∴? 原不等式的解集为｛x｜-2<x≤0或1≤x<3｝．解法二：原不等式等价于1≤2x-1<5，? 或? -5<2x-1≤-1，即? 2≤2x<6，? 或? -4<2x≤0，解得? 1≤x<3，? 或? -2<x≤0．∴? 原不等式的解集为｛x｜-2<x≤0，或1≤x<3｝．评析? 比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是a≤｜x｜≤b a≤x≤b，或-b≤x≤-a（a≥0）．这一规律对我们今后解题很有作用，要在理解的基础上加以记忆．本例亦可用图像法求解，不妨一试．例6 解不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8．分析? 这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论．解法一：由代数式｜x+3｜、｜x-3｜知，-3和3把实数集分为三个区间：x<-3,-3≤x<3，x≥3．当x<-3时，-x-3-x+3>8，即x<-4，此时不等式的解为x<-4；①当-3≤x<3时，x+3-x+3>8，此时无解；②当x≥3时，x+3+x-3>8，即x>4，此时不等式的解为x>4．③取①、②、③的并集得原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．点评? 解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根；（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；（3）由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；（4）取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．模仿例1，我们还有解法二：不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8表示数轴上与A（-3），B（3）两点距离之和大于8的点，而A，B两点距离为6．因此线段AB上每一点到A、B的距离之和都等于6．如下图，要找到A，B距离之和为8的点，只须由点B向右移1个单位（这时距离之和增加2个单位），即移到点B1（4），或由点A向左移1个单位，即移到点A1（-4）．可以看出，数轴上点B1（4）向右的点或者点A1（-4）向左的点到A、B两点的距离之和均大于8．∴? 原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．解法三：分别画出函数y1＝｜x+3｜+｜x-3｜和y2＝8的图像，如下图．y1＝不难看出，要使y1>y2，只须x<-4，或x>4．∴? 原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．点评? 对于形如｜x-a｜+｜x-b｜>c，或｜x-a｜-｜x-b｜<c的不等式，利用不等式的几何意义或者画出左、右两边函数的图像去解不等式，更为直观、简捷．这又一次体现了数形结合思想方法的优越性!。

一、几种常见的含绝对值不等式的解法1．类型一：形如a x f a x f ><)(,)(型不等式 (1)当0>a 时a x f a a x f <<-⇔<)()( a x f a x f >⇔>)()(或a x f -<)( (2)当0=a 时 a x f <)(，无解⇔>a x f )(使()0)()(≠=x f x f y 成立的x 的解集 (3)当0<a 时 a x f <)(，无解^⇔>a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集例1（2009年安徽理科第2题5分）若集合{}21|21|3,0,3x A x x B x x ⎧+⎫=-<=<⎨⎬-⎩⎭则A ∩B 是（ ）A.11232x x x ⎧⎫-<<-<<⎨⎬⎩⎭或 B.{}23x x << C.122x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D.112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭分析：要解决这个题，就是解两个不等式，其中312<-x 即为含绝对值的不等式，这是形如a x f <)(型的绝对值不等式，其中0>a ，则a x f a <<-)(。

解：因为312<-x ,所以3123<-<-x ，即解得)2,1(-∈x 解0312<-+x x 得，3>x 或21-<x 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-=211x x B A ，故答案选D.二,形如)0()(>><<a b b x f a 型不等式b x f a a b b x f a <<⇔>><<)()0()(或a x f b -<<-)(。

<例2不等式311<+<x 的解集为（ ）A.（0,2）B.)4,2()0,2( - C .)0,4(-D.)2,0()2,4( --分析：原不等式是形如)0()(>><<a b b x f a 型不等式，需将原不等式转化为以下的不等式求解：113311-<+<-<+<x x 或，这样就转化为解简单的不等式问题。