柯西不等式高考题精选

1、(2008江苏)设a ，b ，c 为正实数，求证：333111abc+++abc ≥．2、（2010辽宁理数）已知c b a ,,均为正数，证明：36)111(2222≥+++++cbac b a ，并确定c b a ,,为何值时，等号成立。

3、（2012江苏理数）已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <． 4、（2013新课标Ⅱ）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.5、（2012福建）已知函数f (x )=m -|x -2|,m ∈R,且f (x +2)≥0的解集为[-1,1].(1)求m 的值; (2)若a ,b ,c ∈R,且1a + 12b + 13c =m ,求证:a + 2b +3c ≥96、（2011浙江）设正数z y x ,,满足122=++z y x . (1)求zx yz xy ++3的最大值； （2）证明：26125111113≥+++++xz yz xy 7. (2017全国新课标II 卷) 已知330,0,2a b a b >>+=。

证明： （1）55()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤。

8.(2017天津) 若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.9. 【2015高考新课标2，理24】设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：（Ⅰ）若ab cd >+>（Ⅱ）>是a b c d -<-的充要条件． 10. 【2015高考福建，理21】选修4-5：不等式选讲已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4． (Ⅰ)求a b c ++的值； (Ⅱ)求2221149a b c ++的最小值．11.【2015高考陕西，理24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．（I ）求实数a ，b 的值；（II ）求+的最大值． 【均值不等式】例题1：已知y x ,均为正数，且y x >，求证：3221222+≥+-+y yxy x x ． 例题2：已知z y x ,,均为正数．求证：zy x xy z zx y yz x 111++≥++． 变式：设z y x ,,为正数，证明：()()()()y x z z x y z y x z y x +++++≥++2223332． 【柯西不等式】例题1：若正数c b a ,,满足1=++c b a ，求121121121+++++c b a 的最小值．变式：若21,32x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭<例题2：已知z y x ,,是正数．()1若1=+y x ，求y y x x +++2222的最小值； ()2若1222=+++++z zy y x x ，求证：1222222≥+++++zz y y x x ． 变式1：设0,,>c b a ，1=++c b a ，求证：53222≥-+-+-c c b b a a ． 变式2：已知正数y x ,满足xyz z y x =++，求zxyzxy211++的最大值．【能力提升】1、 设c b a ,,均为正实数，求证：ba c a cbc b a +++++≥++111212121．。

柯西不等式高考题精选1.（2013年湖北）设,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,2314x y z ++=,则x y z ++=_______.【答案】31472.（2013年陕西）已知a, b, m, n 均为正数, 且a+b=1, mn=2, 则(am+bn)(bm+an)的最小值为_______.【答案】23.[2014·福建] 已知定义在R 上的函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a.(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ， 求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x＋1)－(x －2)|＝3， 当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a ＝3.(2)由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p ＋q ＋r)2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.4.[2014·陕西] A ．(不等式选做题)设a ，b ，m ，n∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．【答案】 55.[2014·浙江] (1)解不等式2|x －2|－|x ＋1|＞3；(2)设正数a ，b ，c 满足abc ＝a ＋b ＋c ，求证：ab ＋4bc ＋9ac ≥36，并给出等号成立条件．解：(1)当x≤－1时，2(2－x)＋(x ＋1)＞3，得x ＜2，此时x≤－1；当－1＜x≤2时，2(2－x)－(x ＋1)＞3，得x ＜0，此时 －1<x<0；当x>2时，2(x －2)－(x ＋1)＞3，得x>8，此时x>8. 综上所述，原不等式的解集是(－∞，0)∪(8，＋∞)．(2)证明：由abc ＝a ＋b ＋c ，得1ab ＋1bc ＋1ca＝1.由柯西不等式，得(ab ＋4bc ＋9ac)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1ab ＋1bc ＋1ca ≥(1＋2＋3)2， 所以ab ＋4bc ＋9ac≥36，当且仅当a ＝2，b ＝3，c ＝1时，等号成立．6.【2015福建】已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c 的最小值为4．(Ⅰ)求a b c 的值；(Ⅱ)求2221149a b c 的最小值． 【答案】(Ⅰ) 4；(Ⅱ)87． 【解析】(Ⅰ)因为(x)|x ||x ||(x )(x )||a |f a b c a b c b c ，当且仅当a x b 时，等号成立，又0,0ab ，所以|a b |a b ,所以(x)f 的最小值为a bc ,所以a b c 4．(Ⅱ)由(1)知a b c 4，由柯西不等式得()()22222114912+3+1164923a b a b c c a b c ⎛⎫⎛⎫++++≥⨯⨯⨯=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即222118497a b c .当且仅当1132231b a c ,即8182,,777a b c 时，等号成立 所以2221149a b c 的最小值为87. 【考点定位】1、绝对值三角不等式；2、柯西不等式．【点睛】当x 的系数相等或相反时，可以利用绝对值不等式求解析式形如()f x x a x b =+++的函数的最小值，以及解析式形如()f x x a x b =+-+的函数的最小值和最大值，否则去绝对号，利用分段函数的图象求最值．利用柯西不等式求最值时，要注意其公式的特征，以出现定值为目标．7.【2015陕西】已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．（I ）求实数a ，b 的值；（II ）求+的最大值．【答案】（I ）3a =-，1b =；（II ）4．故max 3+12+4t t .考点：1、绝对值不等式；2、柯西不等式.【点晴】本题主要考查的是绝对值不等式和柯西不等式，属于容易题．解题时一定要注意不等式与方程的区别，否则很容易出现错误．零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间，去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．用柯西不等式证明或求最值要注意：①所给不等式的形式是否与柯西不等式的兴致一致，若不一致，需要将所给式子变形；②等号成立的条件．。

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。

比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。

4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。

柯西不等式的练习题柯西不等式是数学中的一个重要定理，它在不等式证明和优化问题中有着广泛的应用。

本文将通过一些练习题来加深对柯西不等式的理解。

练习题一：设a、b、c、d为实数，求证：(a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1)≥(a+b+c+d)^2解答：根据柯西不等式，有：(a^2+b^2+c^2+d^2)(1+1+1+1)≥(a+b+c+d)^2化简得：4(a^2+b^2+c^2+d^2)≥(a+b+c+d)^2展开得：4a^2+4b^2+4c^2+4d^2≥a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 化简得：3a^2+3b^2+3c^2+3d^2≥2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd再次化简得：3(a^2+b^2+c^2+d^2)≥2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)由于平方数都是非负数，所以左边大于等于0，右边也大于等于0，因此不等式成立。

练习题二：设a、b、c为正实数，求证：(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)≥(a+b+c)^2根据柯西不等式，有：(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)≥(a+b+c)^2化简得：3(a^2+b^2+c^2)≥(a+b+c)^2展开得：3a^2+3b^2+3c^2≥a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc化简得：2a^2+2b^2+2c^2≥2ab+2ac+2bc再次化简得：a^2+b^2+c^2≥ab+ac+bc这是平方和的非负性质，所以不等式成立。

练习题三：设a、b、c为正实数，求证：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a+b+c)^2/ab+bc+c a解答：根据柯西不等式，有：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a+b+c)^2/ab+bc+ca化简得：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)/ab+bc+ca展开得：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a^2+b^2+c^2)/ab+bc+ca+2(ab+bc+ca)/ab+化简得：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)/ab+bc+ca 再次化简得：(a^2+b^2+c^2)(1/a+1/b+1/c)≥(a+b+c)^2/ab+bc+ca这是平方和的非负性质，所以不等式成立。

柯西不等式训练题一．选择题（共15小题）1．已知x，y，z，a∈R，且x2+4y2+z2=6，则使不等式x+2y+3z≤a恒成立的a的最小值为（）A．6B．C．8D．2．已知实数x、y、z满足2x﹣y﹣2z﹣6=0，x2+y2+z2≤4，则2x+y+z=（）A．B．C．D．23．若实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，则3ab﹣3bc+2c2的最大值为（）A．1B．2C．3D．44．已知x，y，z均为正数，且x+y+z=2，则++的最大值是（）A．2B．2C．2D．35．设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（）A．B．C．D．6．若a，b，c＞0且a（a+b+c）+bc=4﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1B．+1C．2﹣2D．2+27．用柯西不等式求函数y=的最大值为（）A．B．3C．4D．58．已知a2+b2+c2=1，若|对任意实数a，b，c，x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[8，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[8，+∞）D．[2，+∞）9．设a，b∈R+，a+b=1，则+的最小值为（）A．2+B．2C．3D．10．若2x+3y+5z=29，则函数μ=++的最大值为（）A．B．2C．2D．11．已知a，b，c∈R，则2a2+3b2+6c2=1是a+b+c∈[﹣1，1]的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件12．（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A．B．C．D．13．已知x2+4y2+kz2=36，且x+y+z的最大值为7，则正数k等于（）A．1B．4C．8D．914．已知实数a i，b i∈R，（i=1，2，…n），且满足a12+a22+…a n2=1，b12+b22+…b n2=1，则a1b1+a2b2+…+a n b n 的最大值为（）A．1B．2C．n D．215．已知正数a、b、c满足b2+ab+bc+ac=15，则5a+8b+3c的最小值为（）A．25B．30C．8D．32二．解答题（共15小题）16．（1）证明柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2；（2）若a，b∈R+且a+b=1，用柯西不等式求+的最大值．17．（1）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1（2）设x，y，z∈R，x2+y2+z2=4，试求x﹣2y+2z的最小值及相应x，y，z 的值．18．已知a b c∈R+，a+b+c=2，记a2+b2+c2的最小值为m．（Ⅰ）求实数rn；（Ⅱ）若关于x的不等式|x﹣3|≥m和x2+px+q≥0的解集相同，求p的值．19．已知关于x的不等式：|x﹣|≤（m∈Z），2是其解集中唯一的整数解．（1）求m的值；（2）已知正实数a，b，c满足a2+4b2+16c2=m，求a+2b+4c的最大值．20．已知实数x，y，z满足x2+y2+z2=1．（Ⅰ）求x+2y+2z的取值范围；（Ⅱ）若不等式|a﹣3|+≥x+2y+2z对一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．21．（1）设函数，求f（x）的最小值，（2）当a+2b+3c=m（a，b，c∈R）时，求a2+b2+c2的最小值．22．已知x，y∈R+，且x+y=2（Ⅰ）要使不等式+≥|a+2|﹣|a﹣1|恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求证：x2+2y2．23．（1）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|，求x的取值范围，使f（x）为常函数；（2）若x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，求m=x+y+z的最大值．24．已知实数a，b，c，d满足a＞b＞c＞d，求证：．25．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|﹣m（m∈R），不等式f（x）＜5的解集为（﹣4，2）．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）实数a，b，c满足a2++=m，求证：a+b+c≤．26．柯西不等式是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的．具体表述如下：对任意实数a1，a2，…，a n和b1，b2，…b n（n∈N+，n≥2），都有（a12+a22+…+a n2）（b12+b22+…b n2）≥（a1b1+a2b2+…+a n b n）2．（1）证明n=2时柯西不等式成立，并指出等号成立的条件；（2）若对任意x∈[2，6]，不等式3+2≤m恒成立，求实数m的取值范围27．已知不等式|x﹣2|＞3的解集与关于x的不等式x2﹣ax﹣b＞0的解集相同．（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）=a+b的最大值．28．（2014•福建）已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3．29．已知不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m2对任意t∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中实数m的最大值为λ，且3x+4y+5z=λ，其中x，y，z∈R，求x2+y2+z2的最小值．30．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．一．选择题（共15小题）1．B；2．B；3．C；4．C；5．A；6．C；7．C；8．B；9．D；10．C；11．A；12．C；13．D；14．A；15．B；二．解答题（共15小题）16.解：（1）证明：（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2．（2）由柯西不等式可得（12+12）[（）2+（）2]≥（+）2．∵a+b=1，∴（+）2≤10，∴+的最大值为．17．解：（1）当x＜0时，原不等式可化为﹣2x+1＜﹣x+1，解得x＞0，又x＜0，故x不存在；当0≤x＜时，原不等式可化为﹣2x+1＜x+1，解得x＞0，∴0＜x＜；当x≥时，x＜2，∴≤x＜2；综上所述，原不等式的解集为：{x|0＜x＜2}；（2）（x﹣2y+2z）2≤（x2+y2+z2）[12+（﹣2）2+22]=4×9=36，∴x﹣2y+2z的最小值为﹣6，此时====﹣，∴x=﹣，y=，z=﹣．18．解：（Ⅰ）由柯西不等式（a2+b2+c2）[12+（）2+（）2]≥（a+b+c）2=12，故a2+b2+c2≥2，当且仅当时取等号，∴a2+b2+c2的最小值m为2；（Ⅱ）不等式|x﹣3|≥m即不等式|x﹣3|≥2，解得x≥5或x≤1，∴x2+px+q≥0的解集为{x|x≥5或x≤1}，∴p=﹣（1+5）=﹣6．19．解：（1）由|x﹣|≤可得，∵m∈Z，2是其解集中唯一的整数解，∴m=4；（2）∵a2+4b2+16c2=4，由柯西不等式得：（a2+4b2+16c2）（1+1+1）≥（a+2b+4c）2，故有4≥（a+2b+4c）2．再根据a、b、c为正实数，∴a+2b+4c≤2，即a+2b+4c的最大值为2．20．解：（Ⅰ）由柯西不等式9=（12+22+22）•（x2+y2+z2）≥（1•x+2•y+2•z）2，即﹣3≤x+2y+2z≤3，当且仅当即，时，x+2y+2z取得最大值3．当且仅当即，时，x+2y+2z取得最小值﹣3，所以x+2y+2z的取值范围是[﹣3，3]．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，不等式对一切实数x，y，z恒成立，当且仅当成立，即或解得a≤0，或a≥4，21．解：（1）f（x）=，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）单调递减，当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，所以当x=0时，f（x）的最小值m=1．（2）由柯西不等式（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+c）2=1，故a2+b2+c2≥，当且仅当a=，b=，c ﹣时取等号∴a2+b2+c2的最小值为．22．解：（Ⅰ）∵x，y∈R+，且x+y=2，∴+=（+）•=1++≥2，当且仅当x=y=1时，取等号．要使不等式+≥|a+2|﹣|a﹣1|恒成立，只要2≥|a+2|﹣|a﹣1|．而|a+2|﹣|a﹣1|表示数轴上的a对应点到﹣2的距离减去它到1对应点的距离，而对应点到﹣2的距离减去它到1对应点的距离正好等于2，故不等式2≥|a+2|﹣|a﹣1|的解集为（﹣∞，）．（Ⅱ）证明：由柯西不等式得（x2+2y2）•（1+）≥（x+y）2=4，∴x2+2y2≥．23．解：（1）f（x）=|x﹣1|+|x+3|=，故当x∈[﹣3，1]时，f（x）为常数函数；（2）由柯西不等式可得，（x2+y2+z2）（++）≥（x+y+z）2；即（x+y+z）2≤9；故x+y+z≤3；故m=x+y+z的最大值为3．24．证明：因a＞b＞c＞d，故a﹣b＞0，b﹣c＞0，c﹣d＞0．故，…6分所以，．…10分．25．（Ⅰ）解：∵f（x）=|x﹣1|+|x+3|﹣m，∴当x＜﹣3时，由不等式﹣2x﹣2﹣m＜5，得x＞﹣．当﹣3≤x≤1时，4﹣m＜5．当＞1时，由不等式2x+2﹣m＜5，得x＜．∵不等式f（x）＜5的解集为（﹣4，2），∴{x|﹣＜x＜}={x|﹣4＜x＜2}，∴m=1．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，a2++=1，∴（a+b+c）2=（1×a+2×+3×）2≤（12+22+32）（a2++）=14∴a+b+c≤．26．（1）证明：构造函数f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2=（a12+a22）x2+2（a1b1+a2b2）x+（b12+b22）．注意到f（x）≥0，所以△=[2（a1b1+a2b2）]2﹣4（a12+a22）（b12+b22）≤0，即（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．（其中等号成立当且仅当a1x+b1=a2x+b2=0，即a1b2=a2b1．）（2）解：由（1）可得（3+2）2≤（32+22）[（）2+（）2]=52，∴（3+2）max=2，∵对任意x∈[2，6]，不等式3+2≤m恒成立，∴m≥．27．解：（1）不等式|x﹣2|＞3的解集为{x|x＜﹣1或x＞5}，所以不等式x2﹣ax﹣b＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞5}，所以﹣1，5是方程x2﹣ax﹣b=0的两根，所以，解得a=4，b=5．（2）函数f（x）=a+b的定义域为[3，44]，由柯西不等式得：[f（x）]2=（4+5）2≤[（16+25）（x﹣3+44﹣x）]2，．又因为f（x）≥0，所以f（x）≤4，当且仅当5=4时等号成立，即x=时，f（x）=41．所以函数f（x）的最大值为41．28．（1）解：∵|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，∴f（x）的最小值为3，即a=3；（2）由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2=（p+q+r）2=32=9，即p2+q2+r2≥3．29．解：（Ⅰ）∵|t+3|﹣|t﹣2|≤|（t+3）﹣（t﹣2）|=5，不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m2对任意t∈R恒成立，可得6m﹣m2≥5，求得1≤m≤5，或m≥5，即实数m的取值范围为{m|1≤m≤5}．（Ⅱ）由题意可得λ=5，3x+4y+5z=5．∵（x2+y2+z2）（32+42+52）≥（3x+4y+5z）2=25，当期仅当==时，等号成立，即x=，y=，z=时，取等号．∴50（x2+y2+z2）≥25，∴x2+y2+z2≥，即x2+y2+z2的最小值为，30．解：（Ⅰ）由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2）=3所以﹣≤a+b+c≤所以：|a+b+c|≤；（Ⅱ）同理，（a﹣b+c）2≤[12+（﹣1）2+12]（a2+b2+c2）=3若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，则|x﹣1|+|x+1|≥3，解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）。

《柯西不等式》微专题二维形式的柯西不等式：若,,,a b c d 都是实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 当且仅当a c =bd 时，等号成立。

ac bd ≥+ac bd ≥+柯西不等式的向量形式：设 ,αβ是两个向量，则αβαβ≤，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使得k αβ=时，等号成立。

三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++当且仅当0(1,2,3)i b i ==，或a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3时，等号成立。

一般形式的柯西不等式：222222212121122(+)(+)(+)n n n n a a a b b b a b a b a b ++++≥++………当且仅当0(1,2,n)i b i ==…，，或a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3=⋯=an b n时，等号成立。

例1 已知,a b 为实数，证明：4422332()()()a b a b a b ++≥+ 【证明】4422222222222332()()[()()]()()()a b a b a b a b a a b b a b ++=++≥⋅+⋅=+ 例2.求函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值．【思维导图】变形→构造柯西不等式的形式→巧拆常数→凑出定值 【解析】函数的定义域为{x |1≤x ≤5}．y ＝5x －1＋25－x ≤52＋2x －1＋5－x ＝27×2＝63，当且仅当55－x ＝2x －1，即x ＝12727时取等号，故函数的最大值为6 3.例3 已知3x 2＋2y 2＝6，求证：2x ＋y ≤11.【思维导图】观察结构→凑成柯西不等式的结构→利用公式得出结论【证明】由于2x ＋y ＝23(3x )＋12(2y )． 由柯西不等式(a 1b 1＋a 2b 2)2≤(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)得(2x ＋y )2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122(3x 2＋2y 2)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12×6＝116×6＝11，∴|2x ＋y |≤11， ∴2x ＋y ≤11.例4 设123,,x x x 为正数，求证：123123111()()9x x x x x x ++++≥ 【生】：动笔演算。

高中数学选修4-5柯西不等式习题(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高中数学·选修4-5·柯西不等式（1）一．选择题（共10小题）1．（2012•九江一模）设变量x，y满足|x﹣2|+|y﹣2|≤1，则的最大值为（）A．B．C．﹣D．2．（2014•孝感二模）已知x，y，z均为正数，且x+y+z=2，则++的最大值是（）A．2 B．2C．2D．33．（2014•湖北模拟）设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（）A．B．C．D．4．（2014秋•秦安县校级期中）已知a2+b2+c2=1，若|对任意实数a，b，c，x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[8，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[8，+∞）D．[2，+∞）5．（2014春•和平区期中）已知a，b，c∈R，且a+b+c=0，abc＞0，则++的值（）A．小于0 B．大于0 C．可能是0 D．正负不能确定6．（2015•安徽模拟）若实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，则3ab﹣3bc+2c2的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A．B．C．D．8．（2013春•永定区校级月考）函数（）A．6B．2C．5D．29．（2013•湖北一模）已知a，b，c∈R，则2a2+3b2+6c2=1是a+b+c∈[﹣1，1]的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．（2014•湖北模拟）实数a i（i=1，2，3，4，5，6）满足（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2=1则（a5+a6）﹣（a1+a4）的最大值为（）A．3 B．2C． D．1二．填空题（共10小题）11．（2013秋•福建月考）选修4﹣5：不等式选讲已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，试确定e的最大值．12．（2014•黄冈校级模拟）设，若x2+y2+z2=16，则的最大值为．13．（2014•荆门模拟）已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，则e的取值范围是．14．（2015•抚顺模拟）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，则++的最小值为．15．（2015•郴州模拟）己知x，y∈（0，+∞），若+3＜k恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是．16．（2015春•齐齐哈尔校级期末）若存在实数x使+＞a成立，求常数a的取值范围．17．（2013•惠州模拟）（不等式选讲选做题）已知实数a、b、x、y满足a2+b2=1，x2+y2=3，则ax+by的最大值为．18．（2014•宝鸡二模）已知实数x、y、z满足x+2y+3z=1，则x2+y2+z2的最小值为．19．（2014•天门模拟）（选修4﹣5：不等式选讲）已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，试求a的最值．20．（2015•龙泉驿区校级模拟）已知a1，a2，a3不全为零，设正数x，y满足x2+y2=2，令≤M，则M的最小值为．三．解答题（共10小题）21．（2014•泰州模拟）若不等式|a﹣1|≥x+2y+2z对满足x2+y2+z2=1的一切实数x、y、z恒成立，求a的取值范围．22．（2015•福建）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值为．23．（2015•福州校级模拟）已知正数a，b，c满足a2+b2+c2=6．（Ⅰ）求a+2b+c的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式|x+1|+|x+m|≥M恒成立，求实数m的取值范围．24．（2014•江苏模拟）选修4﹣5：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．25．（2015•上饶二模）（1）设函数，求f（x）的最小值，（2）当a+2b+3c=m（a，b，c∈R）时，求a2+b2+c2的最小值．26．（2015•咸阳三模）已知x，y∈R+，且x+y=2（Ⅰ）要使不等式+≥|a+2|﹣|a﹣1|恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求证：x2+2y2．27．（2015•南昌三模）已知关于x的不等式m﹣|x﹣2|≥1，其解集为[0，4]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足a+b=m，求a2+b2的最小值．28．（2015•兴庆区校级一模）（1）设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R，若关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值；（2）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，求++的最小值．29．（2015春•重庆校级期中）已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=m﹣2|x﹣4|，若2f（x）≥g（x）恒成立，实数m 的最大值为a．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）已知实数x，y，z满足x+y+z=a，求2x2+3y2+6z2的最小值．30．（2015•江西模拟）（1）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|，求x的取值范围，使f（x）为常函数；（2）若x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，求m=x+y+z的最大值．1．B 2．C 3．A 4．B 5．A 6．C 7．C 8．D 9．A 10．B11．12．13．14．18 15．k＞16．（-∞，8）17．18．19．20．。

柯西不等式练习一、单选题1．已知：221a b +=，221x y +=，则ax by +的取值范围是（）A ．[]0,2B ．[]1,1-C ．[]22-,D ．[]0,12．实数x 、y 满足223412x y +=，则2z x =+的最小值是（）A ．5-B ．6-C ．3D ．43．已知a ，0b >，5a b +=的最大值为（）A ．18B ．9C ．D ．4．设,,a b c R +∈，1a b c ++=，则下列选项中是假命题的是（）．A ．13ab bc ca ++≤B ．22213a b c ++≥C ．33313a b c ++≥D ．1119a b c++≥5．实数m ，n ，x ，y 满足22m n a +=，22()x y b a b +=≠，那么mx ny +的最大值为（）．A ．2a b +B C D ．26．若实数231x y z ++=，则222x y z ++的最小值为（）A ．14B ．114C ．29D ．1297．若222494x y z ++=，则3x y z ++的最大值（）A ．9B ．3C ．1D ．68．已知a ，b R ∈，224a b +=，求32a b +的取值范围为（）A ．324a b +≤B ．32a b -≤+≤C ．324a b +≥D ．不确定9．已知222121n a a a +++= ，222121n x x x +++= ，则1122n n a x a x a x +++ 的最大值是()A ．1B ．2C ．3D ．410．函数y =的最大值是()ABC ．3D ．5二、填空题11．已知实数,x y 满足()22241,x y y -+=则2x y +的最大值为________.12．已知1F ､2F 为椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 为1C 和2C 的一个公共点，且1213F PF π∠=，椭圆1C 和双曲线2C 的离心率分别为1e ，2e ，则1211e e +的最大值为________________.13．已知x ，y ∈R ，且3x y +=，则______.14．在平面直角坐标系中，A （2,0-），B （0,1），C 为221x y +=上的动点，则AC BC +的取值范围为_______.三、解答题15．设x ，y ，z 均为正实数，且24x y z ++=.（1）证明：22224x y z ++≥.（2）求+.16．设函数()2|1||3|f x x x =++-的最小值为t ．（1）求t 的值；（2）若正数,a b 满足a b t +=4．17．已知a ，b ，c 是非负实数，满足1a b c ++=.求()2323b c a b c a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭的最小值.18．已知0a >，0b >，0c >.（1）若2a b +=，求212a b a b +++的最大值M ；（2）若4a b c ++=，求22249a b c ++的最小值.19．设正数a ，b ，c 满足3a +2b +c =1，求1a +1a b ++1b c+的最小值.20．（1）已知函数 ()|1||2|f x x x =-+-，解不等式()2f x ；（2）已知正数x ，y ，z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值.。

2018年10月20日基本不等式和柯西不等式复习卷及答案第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一．选择题（共17小题）1．若直线过点（1，1），则4a+b的最小值为（）A．6B．8C．9D．102．已知a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．C．D．ab＜b23．下列命题正确的是（）A．若a＞b，则（a﹣b）c＞（b﹣a）c B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若ac＞bc，则D．若a＞b，则4．设x≥2，则y=1+3x+的最小值是（）A．4+3B．4+2C．8D．1+25．已知实数m＞0，n＞0，且m+n=2，则的最小值为（）A．4B．2C．4D．26．若实数x＞0，y＞0，且x+4y=xy，则x+y的最小值为（）A．7B．8C．9D．107．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，6）B．（﹣∞，6]C．（﹣∞，8]D．（﹣∞，8）8．已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．9．设x＞0．y＞0，若是9x与3y的等比中项，则+的最小值为（（）A．2B．8C．9D．1010．已知x＞0，y＞0，xy﹣2x﹣y=2，则x+y的最小值为（）A．5B．7C．9D．1011．如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且，则的最小值为（）A．B．18C．9D．2512．已知a，b∈R，a2+b2=15﹣ab，则ab最大值是（）A．15B．12C．5D．313．下列函数中，最小值为4的函数是（）A．B．C．y=2e x+2e﹣x D．14．若正数a，b满足：lga+lgb=lg（a+b），则的最小值为（）A．16B．9C．4D．115．设x＞0，y＞0且x+y=1，函数y=的最小值为（）A．10B．9C．8D．16．已知a＞0，b＞﹣1，且a+b=1，则+的最小值为（）A．B．C．D．17．当x＞1时，函数f（x）=2x+的最小值是（）A．2B．2+1C．2（+1）D．4+2第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明二．解答题（共1小题）18．已知数列{a n}的前n项和S n=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，n∈N*，求的前n项和T n．2018年10月20日克拉玛****高级中学的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1．若直线过点（1，1），则4a+b的最小值为（）A．6B．8C．9D．10【解答】解：∵直线过点（1，1），∴=1则4a+b=（4a+b）（）=5≥5+2=9∴4a+b的最小值为9故选：C．2．已知a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．C．D．ab＜b2【解答】解：a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，则a2=4，b2=1，a2＞b2，∴A错误；=﹣，=﹣1，＞，∴B错误；=，=2，＜，∴C正确；ab=2，b2=1，ab＞b2，∴D错误．故选：C．3．下列命题正确的是（）A．若a＞b，则（a﹣b）c＞（b﹣a）c B．若a＞b，c＞d，则ac＞bdC．若ac＞bc，则D．若a＞b，则【解答】解：利用排除法：对于选项A：当令c=0时，则：（a﹣b）c=（b﹣a）c故错误．对于选项B：若0＞a＞b，0＞c＞d，则：ac＜bd．故错误．对于选项D：当a=2，b=0时，不存在．故错误．故选：C．4．设x≥2，则y=1+3x+的最小值是（）A．4+3B．4+2C．8D．1+2【解答】解：y=1+3x+=3（x﹣1）++4．令x﹣1=t，t≥1．∴y=3t++4．当t时，函数是递增函数，∵t≥1，∴当t=1时，即x=2时，函数y=1+3x+取得最小值为8．故选：C．5．已知实数m＞0，n＞0，且m+n=2，则的最小值为（）A．4B．2C．4D．2【解答】解：实数m＞0，n＞0，且m+n=2，可得，则=（）（）=1+=2．当且仅当m=n=1时取等号．∴则的最小值为2；故选：B．6．若实数x＞0，y＞0，且x+4y=xy，则x+y的最小值为（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：根据题意，实数x＞0，y＞0，若x+4y=xy，则+=1，x+y=（x+y）（+）=++5≥2+5=9，当且仅当x=2y时等号成立，即x+y的最小值为9；故选：C．7．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＞m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，6）B．（﹣∞，6]C．（﹣∞，8]D．（﹣∞，8）【解答】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（）（x+2y）=4+，当且仅当x=2y=4时取等号．若x+2y＞m恒成立，∴m＜8，∴实数m的取值范围是（﹣∞，8）．8．已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵a＞b＞0，∴a﹣b+﹣=（a﹣b）+=（a﹣b）（1+）＞0，故a+＞b+，故A正确，B，D错误，同理可证明C错误，故选：A．9．设x＞0．y＞0，若是9x与3y的等比中项，则+的最小值为（（）A．2B．8C．9D．10【解答】解：x＞0．y＞0，若是9x与3y的等比中项，则：，即：2x+y=1，所以：=4+1+≥5+4=9．（当且仅当x=等号成立）故选：C．10．已知x＞0，y＞0，xy﹣2x﹣y=2，则x+y的最小值为（）A．5B．7C．9D．10【解答】解：已知x＞0，y＞0，xy﹣2x﹣y=2，所以，由x＞0，得到y＞2时，x+y==+y=≥3+4=7，故函数x+y的最小值为7．故选：B．11．如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且，则的最小值为（）A．B．18C．9D．25【解答】解：在△ABC中，点D是线段BC上的动点，且，则x+y=1．所以：==4+9+≥13+12=25（当且仅当x=，y=等号成立），故选：D．12．已知a，b∈R，a2+b2=15﹣ab，则ab最大值是（）A．15B．12C．5D．3【解答】解：a2+b2=15﹣ab≥2ab，即3ab≤15，可得ab≤5，当且仅当a=b=±时，取得等号，则ab的最大值为5．故选：C．13．下列函数中，最小值为4的函数是（）A．B．C．y=2e x+2e﹣x D．【解答】解：对于A：当x＜0时，A显然不满足条件．对于B：当sinx＜0，B 显然不满足条件．∵e x＞0，∴2e x+2e﹣x≥4，当且仅当e x=1时，即x=0时取等号，故有C 满足条件；对于D：∵0＜x＜1，则log3x＜0时，D显然不满足条件．故选：C．14．若正数a，b满足：lga+lgb=lg（a+b），则的最小值为（）A．16B．9C．4D．1【解答】解：由lga+lgb=lg（a+b），可得lg（ab）=lg（a+b），所以，ab=a+b，则ab﹣a﹣b+1=1，即a（b﹣1）﹣（b﹣1）=1，所以，（a﹣1）（b﹣1）=1，由基本不等式可得，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为4，故选：C．15．设x＞0，y＞0且x+y=1，函数y=的最小值为（）A．10B．9C．8D．【解答】解：∵x＞0，y＞0且x+y=1，所以，，当且仅当，即当时，等号成立，因此，函数y=的最小值为9，故选：B．16．已知a＞0，b＞﹣1，且a+b=1，则+的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解法一：∵a＞0，b＞﹣1，且a+b=1，∴+====f（a），0＜a＜2，∴f（a）=[a+（2﹣a）]（+）=（2+++1）=（+3）≥（2+3）=．当且仅当时取等号，故+的最小值为．故选：A．解法二：∵a＞0，b＞﹣1，且a+b=1，∴+====f（a），0＜a＜2，∴f′（a）=﹣+=，令f′（a）＞0，得4﹣2＜a＜2，f（a）单调递增，令f′（a）＜0，得0＜a＜4﹣2，f（a）单调递减，∴当且仅当a=4﹣2时函数f（a）取得极小值即最小值，f（4﹣2）==．ξ故选：A．17．当x＞1时，函数f（x）=2x+的最小值是（）A．2B．2+1C．2（+1）D．4+2【解答】解：∵x＞1，即x﹣1＞0，∴f（x）=2x+=+2=2+2，当且仅当x=1+时等号成立．即f（x）的最小值为2（+1），故选：C．二．解答题（共1小题）18．已知数列{a n}的前n项和S n=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，n∈N*，求的前n项和T n．【解答】解：（1）当n≥2时，由a n=S n﹣S n﹣1=1﹣﹣1+=，当n=1时，a1=，所以a n=，n∈N*；（2）由（1）及=log（）=n，所以==﹣，故的前n项和T n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．。

高一数学柯西不等式试题1.若a＜b＜c，x＜y＜z，则下列各式中值最大的一个是（）A．ax+cy+bz B．bx+ay+czC．bx+cy+az D．ax+by+cz【答案】D【解析】根据条件：a＜b＜c，x＜y＜z，结合排序不等式：反序和≤乱序和≤同序和，即可得出同序和ax+by+cz最大．解：∵a＜b＜c，x＜y＜z，排序不等式：反序和≤乱序和≤同序和，得：同序和ax+by+cz最大．故选D．点评：本题主要考查了不等关系与不等式、排序不等式等基本知识，解答关键是利用不等关系与不等式的性质：反序和≤乱序和≤同序和．2.已知n个正整数的和是1000，求这些正整数的乘积的最大值．【答案】22×3332．【解析】n个正整数x1，x2，x3，…，xn中，不可能有大于或等于5的数，也不可能有三个或三个以上的2，因此n个数的最大积只可能是由332个3及2个2的积组成．解：n个正整数x1，x2，x3，…，xn满足x1+x2+x3+…+xn=1000，x 1，x2，x3，…，xn中，不可能有大于或等于5的数，这是因为5＜2×3，6＜3×3，…也不可能有三个或三个以上的2，这是因为三个2的积小于两个3的积，因此n个数的最大积只可能是由332个3及2个2的积组成，最大值为22×3332．点评：本题考查正整数的乘积的最大值的求法，是中档题，解题时要注意排序不等式的合理运用．3.设a，b，c为正数，利用排序不等式证明a3+b3+c3≥3abc．【答案】见解析【解析】由排序原理：顺序和≥反序和，结合基本不等式，即可得到结论．证明：不妨设a≥b≥c＞0，∴a2≥b2≥c2，由排序原理：顺序和≥反序和，得：a3+b3≥a2b+b2a，b3+c3≥b2c+c2b，c3+a3≥a2c+c2a三式相加得2（a3+b3+c3）≥a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）．又a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca．所以2（a3+b3+c3）≥6abc，∴a3+b3+c3≥3abc．当且仅当a=b=c时，等号成立．点评：本题考查排序原理：顺序和≥反序和，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4.函数（）A．6B．2C．5D．2【答案】D【解析】函数可化为=，利用柯西不等式，即可求得最大值．解：由柯西不等式可得=≤=2当且仅当，即x=时，函数取得最大值2故选D．点评：本题考查函数的最值，考查柯西不等式的运用，考查计算能力，属于中档题．5.（2014•湖北模拟）设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】运用柯西不等式：（a2+b2+c2）（d2+e2+f2）≥（ad+be+cf）2，当且仅当等号成立．解：∵x、y、z是正数，x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，∴（22+22+12）（x2+4y2+9z2）=9×4≥（2x+4y+3z）2=36，∴可设，（k为常数），代入2x+4y+3z=6，得k=，∴x+y+z==．故选A．点评：本题考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，是一道基础题．6.二维形式的柯西不等式可用（）表示．A．a2+b2≥2ab（a，b∈R）B．（a2+b2）（c2+d2）≥（ab+cd）2（a，b，c，d∈R）C．（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）D．（a2+b2）（c2+d2）≤（ac+bd）2（a，b，c，d∈R）【答案】C【解析】二维形式的柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d∈R 均为实数，则（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2其中等号当且仅当ad=bc时成立．解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2故选C点评：本小题主要考查二维形式的柯西不等式等基础知识．属于基础题．7.设a，b∈R+，a+b=1，则+的最小值为（）A．2+B．2C．3D．【答案】D【解析】利用二维形式的柯西不等式求得的最小值为10，可得+的最小值．解：∵a，b∈R+，a+b=1，∴a2+b2=1﹣2ab，又∵=a2+b2+5+2≥6﹣2ab+2=6﹣2ab+2（ab+2）=10，∴+≥，当且仅当=时，等号成立，故+的最小值为，故选：D．点评：本题主要考查利用二维形式的柯西不等式求函数的最小值，属于基础题．8.（2014•长安区三模）己知x，y∈（0，+∞），若+3＜k恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是．【答案】k＞．【解析】由柯西不等式可得（+3）2≤（x+y）（1+9），即+3＜10结合条件，即可得出结论．解：由柯西不等式可得（+3）2≤（x+y）（1+9），∴+3＜10∵+3＜k恒成立，∴k＞．故答案为：k＞．点评：本题考查柯西不等式，考查学生的计算能力，正确运用柯西不等式是关键．9.（2014•陕西模拟）函数的最大值是．【答案】10．【解析】由函数的特点，利用柯西不等式，即可得到结论．解：由于．当且仅当即时等号成立．故函数的最大值是 10．故答案为：10．点评：本题考查了柯西不等式求函数最值，关键是对所给函数解析式灵活变形，再应用柯西不等式，此类型是函数中两个根式变量的系数不互为相反数（互为相反数时可用基本不等式），但是符号相反，注意先求函数的定义域，验证等号成立的条件．10.（2014•黄冈模拟）设a、b、c为正数，a+b+9c2=1，则++c的最大值是，此时a+b+c= ．【答案】．【解析】由条件利用柯西不等式求得++c的最大值、以及此时对应的a+b+c的值．解：∵a、b、c为正数，a+b+9c2=1，由柯西不等式可得≤[++（3c）2]•[12+12+]=1×=，∴++c的最大值是=，此时，且a+b+9c2=1，即 a=b=，c=时，取等号，故此时，a+b+c=++=，故答案为：．点评：本题考查了柯西不等式的应用，考查了变形能力和计算能力，属于中档题。

高中数学一般形式的柯西不等式练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 1. 设a，b，c为正数，a+b+9c2=1，则√a+√b+√3c的最大值是()A.7 3B.53C.√213D.√1532. 设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+ cz=20，则a+b+cx+y+z=（）A.1 4B.13C.12D.343. 已知实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，则(2x−y)2+(2y−z)2+(2z−x)2的最大值是（）A.12B.20C.28D.364. 函数y=5√x−1+√9−3x()A.6√3B.2√3C.5√2D.2√145. n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是()A.1B.nC.n2D.1n6. 已知x，y，z均为正数，且x+y+z=1，则x21+x +y21+y+z21+z的最小值为________．7. （不等式选做题）已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则(am+bn)(bm+an)的最小值为________．8. 若正数a，b，c满足a+b+4c=1，则√a+√b+√2c的最大值为________．9. 已知实数a，b，c满足a+2b−c=1，则a2+b2+c2的最小值是________．10. 函数y=√x−4+√25−5x的最大值为________．11. 已知x+2y+3z=1，则2x2+2y2+z2的最小值为________．12. 已知空间的点P(x, y, z)(x, y, z∈R)到原点O(0, 0, 0)的距离为3，则式子x+2y+ 2z的最大值与最小值的差是________．13. 已知：x，y，z∈R，x2+y2+z2＝1，则x−2y−3z的最大值为________√14．14. 设a，b，c均为正数，且a+b+c=12，则1a +9b+25c的最小值为________．15. 已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，则a的取值范围是________．16. （1）a、b为非负数，a+b=1，x1，x2∈R+，求证：(ax1+bx2)(bx1+ax2)≥x1x2； 16.（2）已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5试求a的最值．17. （I）在极坐标系内，已知曲线C1的方程为ρ2−2ρ(cosθ−2sinθ)+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为{5x=1−4t5y=18+3t（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程以及曲线C2的普通方程；（2）设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，求这条切线长的最小值． 17.（II）已知f(x)=m−|x−2|，且不等式f(x+2)≥0解集为[−1, 1]．（1）求正实数m的大小；（2）已知a，b，c∈R，且1a +12b+13c=m，求a+2b+3c的最小值．18. 已知|x+2y+3z|≥4(x, y, z∈R)（1）求x2+y2+z2的最小值；（2）若|a+2|≤72(x2+y2+z2)对满足条件的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．19. 已知|x+2y+3z|≥4(x, y, z∈R)．（1）求x2+y2+z2的最小值；（2）若|a+2|≤72(x2+y2+z2)对满足条件的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．20. 已知f(x)=|2x+1|+|x+5|.(1)解不等式f(x)<9;(2)若a，b，c均为正数，且f(a)+f(b)+f(c)=24，证明：b2a +c2b+a2c≥2.21. 已知函数f(x)=2|x|+|x−2|的最小值为m．(1)求m的值；(2)若实数a，b满足a2+b2=m，求11+a2+12+b2的最小值．22. 已知关于x的不等式|x−1|−|x+2|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．(1)求实数m的取值范围；(2)正数a，b，c满足a+2b+2c=M，求证：1a+b +3b+c+4c+a≥9．23. 已知大于1的正数x，y，z满足x+y+z=3√3．（1）求证：x 2x+2y+3z +y2y+2z+3x+z2z+2x+3y≥√32．（2）求1log3x+log3y +1log3y+log3z+1log3z+log3x的最小值．24. 已知a，b，c是正实数，且满足a+b2+c3=1．(1)是否存在满足已知条件的a，b，使得ab=12，试说明理由；(2)求√a+√b+√c的最大值．25. 已知函数f (x )=|x −2|−2|x| . (1)求不等式f (x )>1的解集；(2)若正数a ，b ，c 满足a +4b +9c =f (13)+2，求1a +4b +9c 的最小值．26. 已知函数f (x )=|x −4|+|1−x|，x ∈R ． (1)解不等式：f (x )≤5；(2)记f (x )的最小值为M ，若正实数a ，b 满足a +b =M ，试求：1a+2+1b+1的最小值．27. 已知a ，b ，c >0，a 21+a 2+b 21+b 2+c 21+c 2=1，证明．αbc ≤√24．28. a 2+b 2+c 2+x 2+y 2=16√21，求证：(ax +by)2+(bx +cy)2≤2016．29. （选做题）已知x 2+3y 2+4z 2=2，求证：|x +3y +4z|≤4．30. 设x ，y ，z ∈R ，且x +y +z =1． (1)求(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值；(2)若(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2≥13成立，证明：a ≤−3或a ≥−1．31. 已知x +y +z =1，求证x 2+y 2+z 2≥13．32. 不等式选讲：已知x ，y ，z ∈R ，且x −2y −3z =4，求x 2+y 2+z 2的最小值．33. 已知实数a ，b ，c ，d 满足a +b +c +d =3，a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5，求a 的取值范围．34. （选做题）已知a ，b ，c ∈(0, +∞)，且1a +2b +3c =2，求a +2b +3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．35. 已知：x，y，x是正实数，且x+2y+3z=1，(1)求1x +1y+1z的最小值；(2)求证：x2+y2+z2≥114．参考答案与试题解析高中数学一般形式的柯西不等式练习题含答案一、 选择题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ） 1.【答案】 C【考点】 柯西不等式一般形式的柯西不等式 【解析】由柯西不等式可得[(√a)2+(√b)2+(3c)2][12+12+(√33)2]≥(1⋅√a +1⋅√b +√33⋅3c)2，代入数据变形可得． 【解答】解：由柯西不等式可得[(√a)2+(√b)2+(3c)2][12+12+(√33)2] ≥(1⋅√a +1⋅√b +√33⋅3c)2，∴ 代入数据变形可得√a +√b +√3c ≤√2+13=√213， 当且仅当√a 1=√b 1=√33且a +b +9c 2=1，即a =b =37，c =√721时取等号， ∴ √a +√b +√3c 的最大值是√213. 故选C .2.【答案】 C【考点】一般形式的柯西不等式 【解析】 此题暂无解析 【解答】(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2)=10×40≥(ax +by +cz)2=202． 取等条件是ax =by =cz =12， 所以a+b+cx+y+z =12． 3. 【答案】 C【考点】由题意实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，可以将(2x−y)2+(2y−z)2+(2z−x)2，用x2+y2+z2和(xy+yz+xz)表示出来，然后根据完全平方式的基本性质进行求解．【解答】解：∵实数x、y、z满足x2+y2+z2=4，∴(2x−y)2+(2y−z)2+(2z−x)2=5(x2+y2+z2)−4(xy+yz+xz)=20−2[(x+y+z)2−(x2+y2+z2)]=28−2(x+y+z)2≤28∴当x+y+z=0时(2x−y)2+(2y−z)2+(2z−x)2的最大值是28．故选C．4.【答案】D【考点】一般形式的柯西不等式【解析】函数可化为y=5√x−1+√9−3x=5√x−1+√3×√3−x，利用柯西不等式，即可求得最大值．【解答】由柯西不等式可得y=5√x−1+√9−3x=5√x−1+√3×√3−x≤√(25+3)(x−1+3−x))=2√14当且仅当√3=√x−1√3−x，即x=3914时，函数取得最大值2√145.【答案】C【考点】一般形式的柯西不等式【解析】此题暂无解析【解答】解：由柯西不等式，得(x1+x2+⋯+x n)(1x1+1x2+⋯+1x n)≥(√x11√x√x2×1√x⋯+√x n1x n)2=(1+1+⋯+1)2=n2，当且仅当x1=x2=⋯=x n时取等号.故选C.二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）6.【答案】14【考点】此题暂无解析 【解答】解：∵ x ，y ，z 均为正数，∴ (x 21+x +y 21+y +z 21+z )(1+x +1+y +1+z)≥(x +y +z)2， ∵ x +y +z =1， ∴x 21+x+y 21+y+z 21+z≥14，当且仅当x =y =z =13时，取等号， ∴x 21+x+y 21+y +z 21+z的最小值为 14.故答案为：14. 7.【答案】 2【考点】一般形式的柯西不等式 【解析】利用二维形式的柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d ∈R 均为实数，则(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd)2其中等号当且仅当ac =bd 时成立，即可求出(am +bn)(bm +an)的最小值． 【解答】解：根据二维形式的柯西不等式的代数形式：(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd)2可得(am +bn)(bm +an)≥(√am ⋅√an +√bn ⋅√bm)2=mn(a +b)2=2×1=2，当且仅当aman =bnbm 即m =n 时，取得最小值2． 故答案为：2． 8. 【答案】√102【考点】一般形式的柯西不等式 【解析】直接利用柯西不等式(a 2+b 2+c 2)(m 2+n 2+p 2)≥(am +bn +cp)2进行求解即可． 【解答】解：由柯西不等式可知（(√a)2+(√b)2+(√4c)2）(12+12+(√22)2)≥(√a ×1+√b ×1+√4c ×√22)2∴ 52(a +b +4c)≥(√a +√b +√2c)2即√a +√b +√2c ≤√102故答案为：√1029.【答案】16【考点】一般形式的柯西不等式【解析】利用条件a+2b−c=1，构造柯西不等式(a+2b−c)2≤(12+22+12)(a2+b2+ c2)进行解题即可．【解答】解：由柯西不等式得(a+2b−c)2≤(12+22+12)(a2+b2+c2)，∵a+2b−c=1，∴1≤(12+22+12)(a2+b2+c2)，∴a2+b2+c2≥16，当且仅当a1=b2=c1取等号，则a2+b2+c2的最小值是16故答案为：16．10.【答案】√6【考点】一般形式的柯西不等式【解析】先将函数变为y=1×√x−4+√5×√5−x，再利用柯西不等式，即可得到结论．【解答】解：∵y=√x−4+√25−5x∴y=1×√x−4+√5×√5−x≤√(1+5)(x−4+5−x)=√6故答案为：√611.【答案】223【考点】一般形式的柯西不等式【解析】利用题中条件：“x+2y+3z=1”构造柯西不等式：(2x2+2y2+z2)×(12+2+9)≥(x+2y+3z)2进行计算即可．【解答】解：构造柯西不等式：(2x2+2y2+z2)×(12+2+9)≥(x+2y+3z)2已知x+2y+3z=1，∴2x2+2y2+z2≥223，则2x2+2y2+z2的最小值为223，故答案为：223．12.【答案】18【考点】一般形式的柯西不等式【解析】根据可得|x+2y+2z|≤9，从而得到x+2y+2z的最大值为9，最小值为−9．由此可得最大值与最小值的差．【解答】解：∵|OP|2=x2+y2+z2=9，∴根据柯西不等式，得|x+2y+2z|≤√(12+22+22)(x2+y2+z2)=9，由|x+2y+2z|≤9，得−9≤x+2y+2z≤9当且仅当x=1，y=z=2时，x+2y+2z有最大值9，当x=−1，y=z=−2时，x+2y+2z有最小值−9．最大最小值的差为18故答案为：1813.【答案】√14【考点】一般形式的柯西不等式【解析】首先分析题目已知x2+y2+z2＝1，求x−2y−3z的最大值，可以联想到柯西不等式(a2+b2+c2)(e2+f2+g2)≥(ae+bf+cg)2的应用，构造出柯西不等式即可得到答案．【解答】由已知x，y，z∈R，x2+y2+z2＝1，和柯西不等式(a2+b2+c2)(e2+f2+g2)≥(ae+bf+cg)2则构造出[12+(−2)2+(−3)2](x2+y2+z2)≥(x−2y−3z)2．即：(x−2y−3z)2≤14即：x−2y−3z的最大值为√14．14.【答案】27【考点】一般形式的柯西不等式【解析】利用条件a+b+c=12，构造柯西不等式(1+3+5)2≤(a+b+c)(1a +9b+25c)进行解题即可． 【解答】解：由柯西不等式得(1+3+5)2≤(a +b +c)(1a +9b +25c)，∵ a +b +c =12， ∴ (1+3+5)2≤12(1a +9b +25c)，∴ 1a +9b +25c≥274，当且仅当1aa=9bb=25cc取等号，则1a +9b +25c的最小值为274． 故答案为：274． 15.【答案】[1, 2] 【考点】一般形式的柯西不等式 【解析】由柯西不等式得(12+13+16)(2b 2+3c 2+6d 2)≥(b +c +d)2，从而得到关于a 的不等关系：5−a 2≥(3−a)2，解之即a 的取值范围． 【解答】解：由柯西不等式得(12+13+16)(2b 2+3c 2+6d 2)≥(b +c +d)2 即2b 2+3c 2+6d 2≥(b +c +d)2将条件代入可得5−a 2≥(3−a)2，解得1≤a ≤2． 当且仅当√2b√2=√3b√3=√6d√6时等号成立，可知b =12，c =13，d =16时a 最大=2， b =1，c =23，d =13时，a 最小=1，所以：a 的取值范围是[1, 2]． 故答案为：[1, 2]．三、 解答题 （本题共计 20 小题 ，每题 10 分 ，共计200分 ） 16.【答案】 解：（1）∵ (ax 1+bx 2)(bx 1+ax 2)=(ax 1+bx 2)(ax 2+bx 1)≥(a √x 1x 2+b √x 1x 2)2=(a +b)2x 1x 2=x 1x 2 (∵ a +b =1)．（2）解：由柯西不等式得，有(2b 2+3c 2+6d 2)(12+13+16)≥(b +c +d)2； 即2b 2+3c 2+6d 2≥(b +c +d)2 由条件可得，5−a 2≥(3−a)2；解得，1≤a≤2当且仅当√2b√12=√3c√13=√6d√16时等号成立，代入b=1,c=13，d=16时，a max=2b=1,c=23，d=13时a min=1．【考点】一般形式的柯西不等式【解析】（1）将y1、y2代入乘积y1y2展开，化简出x1x2的表达式，判断其大小，即可．（2）由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2)(12+13+16)≥(b+c+d)2；结合条件可得，5−a2≥(3−a)2；从而求得a的最值．【解答】解：（1）∵(ax1+bx2)(bx1+ax2)=(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥(a√x1x2+b√x1x2)2=(a+b)2x1x2=x1x2 (∵a+b=1)．（2）解：由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2)(12+13+16)≥(b+c+d)2；即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2由条件可得，5−a2≥(3−a)2；解得，1≤a≤2当且仅当√2b√12=√3c√13=√6d√16时等号成立，代入b=1,c=13，d=16时，a max=2b=1,c=23，d=13时a min=1．17.【答案】解：(I)(1)对于曲线C1的方程为ρ2−2ρ(cosθ−2sinθ)+4=0，可化为直角坐标方程x2+y2−2x+4y+4=0，即(x−1)2+(y+2)2=1；对于曲线C2的参数方程为{5x=1−4t5y=18+3t（t为参数），可化为普通方程3x+4y−15=0．（2）过圆心(1, −2)点作直线3x+4y−15=0的垂线，此时切线长最小，则由点到直线的距离公式可知，d=√32+42=4，则切线长为√16−1=√15．(II)(1)因为f(x+2)=m−|x|≥0，所以|x|≤m，所以m≥0，−m≤x≤m．又f(x+2)≥0的解集是[−1, 1]，故m=1．（2）由（1）知1a +12b+13c=1，a，b，c∈R+，由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)(1a +12b+13c)≥(1+1+1)2=9．∴a+2b+3c的最小值为9．【考点】一般形式的柯西不等式参数方程与普通方程的互化【解析】(I)(1)参数方程、极坐标化为直角坐标方程，可得结论．（2）根据圆的切线性质、点到直线的距离公式求得这条切线长的最小值．(II)(1)由条件可得|x|≤m ，求得−m ≤x ≤m ．再根据f(x +2)≥0的解集是[−1, 1]，求得m 的值． （2）由（1）知1a +12b+13c=1，a ，b ，c ∈R +，由柯西不等式求得a +2b +3c 的最小值．【解答】解：(I)(1)对于曲线C 1的方程为ρ2−2ρ(cos θ−2sin θ)+4=0，可化为直角坐标方程x 2+y 2−2x +4y +4=0，即(x −1)2+(y +2)2=1；对于曲线C 2的参数方程为{5x =1−4t5y =18+3t （t 为参数），可化为普通方程3x +4y −15=0．（2）过圆心(1, −2)点作直线3x +4y −15=0的垂线，此时切线长最小， 则由点到直线的距离公式可知，d =√32+42=4，则切线长为√16−1=√15．(II)(1)因为f(x +2)=m −|x|≥0，所以|x|≤m ，所以m ≥0，−m ≤x ≤m ． 又f(x +2)≥0的解集是[−1, 1]，故m =1． （2）由（1）知1a +12b+13c=1，a ，b ，c ∈R +，由柯西不等式得a +2b +3c =(a +2b +3c)(1a+12b+13c)≥(1+1+1)2=9．∴ a +2b +3c 的最小值为9． 18.【答案】 解：（1）∵ (x +2y +3z)2≤(12+22+32)(x 2+y 2+z 2)，且|x +2y +3z|≥4(x, y, z ∈R)．∴ x 2+y 2+z 2≥87，当且仅当x1=y2=z3时取等号． 即x 2+y 2+z 2的最小值为87．（2）∵ x 2+y 2+z 2的最小值为87． ∴ |a +2|≤72×87=4， ∴ −4≤a +2≤4， 解得−6≤a ≤2，即a 的取值范围为[−6, 2]． 【考点】一般形式的柯西不等式 基本不等式【解析】（1）利用柯西不等式即可得出；（2）由（1）可得x 2+y 2+z 2的最小值为87．因此|a +2|≤4，解出即可．【解答】 解：（1）∵ (x +2y +3z)2≤(12+22+32)(x 2+y 2+z 2)，且|x +2y +3z|≥4(x, y, z ∈R)．∴ x 2+y 2+z 2≥87，当且仅当x1=y2=z3时取等号． 即x 2+y 2+z 2的最小值为87． （2）∵ x 2+y 2+z 2的最小值为87．∴ |a +2|≤72×87=4， ∴ −4≤a +2≤4， 解得−6≤a ≤2，即a 的取值范围为[−6, 2]． 19.【答案】 解：（1）由柯西不等式可得，(x +2y +3z)2≤(12+22+32)(x 2+y 2+z 2)， 由|x +2y +3z|≥4， 则x 2+y 2+z 2≥87， 即x 2+y 2+z 2的最小值为87；（2）由于|a +2|≤72(x 2+y 2+z 2)对满足条件的一切实数x ，y ，z 恒成立，且x 2+y 2+z 2的最小值为87，则|a +2|≤4， 则有−4≤a +2≤4 则−6≤a ≤2，即a 的取值范围为[−6, 2]． 【考点】一般形式的柯西不等式绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）由柯西不等式可得，(x +2y +3z)2≤(12+22+32)(x 2+y 2+z 2)，结合条件即可得到最小值；（2）由恒成立思想，结合（1）可得|a +2|≤4，解不等式即可得到． 【解答】 解：（1）由柯西不等式可得，(x +2y +3z)2≤(12+22+32)(x 2+y 2+z 2)， 由|x +2y +3z|≥4，则x 2+y 2+z 2≥87，即x 2+y 2+z 2的最小值为87；（2）由于|a +2|≤72(x 2+y 2+z 2)对满足条件的一切实数x ，y ，z 恒成立，且x 2+y 2+z 2的最小值为87， 则|a +2|≤4， 则有−4≤a +2≤4 则−6≤a ≤2，即a 的取值范围为[−6, 2]． 20. 【答案】解：(1)∵ f(x)=|2x +1|+|x +5|={−3x −6,x ≤−5,−x +4,−5<x <−12,3x +6,x ≥−12,∴ {−3x −6<9,x ≤−5,或{−x +4<9,−5<x <−12,或{5x +6<9,x ≥−12, 解得：x 无解，或−5<x <−12，或−12≤x <1， 综上可得：不等式f (x )<9 的解集为(−5,1).(2)∵ a ，b ，c 均为正数， ∴ 3a +3b +3c +18=24， 即：a +b +c =2， ∴ 由柯西不等式可得：(b 2a+c 2b+a 2c)(a +b +c )≥(b +c +a )2， ∴ b 2a +c 2b+a 2c≥2.【考点】绝对值不等式的解法与证明 柯西不等式一般形式的柯西不等式【解析】(1)分情况讨论去掉绝对值，再分别解不等式即可；(2)由于化简得到a +b +c =2，与要证的结论能构成柯西不等式模型，故直接用柯西不等式证明即可. 【解答】解：(1)∵ f(x)=|2x +1|+|x +5|={−3x −6,x ≤−5,−x +4,−5<x <−12,3x +6,x ≥−12,∴ {−3x −6<9,x ≤−5,或{−x +4<9,−5<x <−12,或{5x +6<9,x ≥−12,解得：x 无解，或−5<x <−12，或−12≤x <1，综上可得：不等式f (x )<9 的解集为(−5,1). (2)∵ a ，b ，c 均为正数， ∴ 3a +3b +3c +18=24， 即：a +b +c =2， ∴ 由柯西不等式可得：(b 2a +c 2b+a 2c)(a +b +c )≥(b +c +a )2，∴ b 2a +c 2b+a 2c≥2.21.【答案】解：(1)f (x )=|x|+|x|+|x −2|≥|x|+|x −(x −2)|=|x|+2≥2，当且仅当x =0时等号成立， 故m =2 .(2)由(1)知 ，a 2+b 2=2，由柯西不等式得(11+a 2+12+b 2)(1+a 2+2+b 2)≥(1+1)2 ，当且仅当a 2=32,b 2=12时等号成立， ∴ 11+a +12+b ≥4a +b +3=45， 故11+a 2+12+b 2的最小值为45． 【考点】一般形式的柯西不等式 绝对值三角不等式 【解析】【解答】解：(1)f (x )=|x|+|x|+|x −2|≥|x|+|x −(x −2)|=|x|+2≥2， 当且仅当x =0时等号成立， 故m =2 .(2)由(1)知 ，a 2+b 2=2，由柯西不等式得(11+a 2+12+b 2)(1+a 2+2+b 2)≥(1+1)2 ， 当且仅当a 2=32,b 2=12时等号成立， ∴ 11+a 2+12+b 2≥4a 2+b 2+3=45，故11+a2+12+b2的最小值为45．22.【答案】解：(1)|x −1|−|x +2|≤|(x −1)−(x +2)|=3， "=”当x =−2时成立．若不等式|x −1|−|x +2|≥|m +1|有解， 则满足|m +1|≤3，解得−4≤m ≤2 ∴ 实数m 的取值范围是[−4,2]． (2)由(1)知M =2，故正数a,b,c 满足a +2b +2c =2， ∴ 1a+b +3b+c +4c+a =(a +b )+(3b +3c )+(c +a )4(1a +b +93b +3c +4c +a)≥(√1+√9+√4)24=9.【考点】 绝对值不等式一般形式的柯西不等式 绝对值不等式的解法与证明【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)|x −1|−|x +2|≤|(x −1)−(x +2)|=3， "=”当x =−2时成立．若不等式|x −1|−|x +2|≥|m +1|有解， 则满足|m +1|≤3，解得−4≤m ≤2 ∴ 实数m 的取值范围是[−4,2]． (2)由(1)知M =2，故正数a,b,c 满足a +2b +2c =2， ∴1a+b+3b+c+4c+a=(a +b )+(3b +3c )+(c +a )4(1a +b +93b +3c +4c +a )≥(√1+√9+√4)24=9.23.【答案】解：（1）由柯西不等式得，(x 2x +2y +3z +y 2y +2z +3z +z 2z +2x +3y )[(x +2y +3z)+(y +2z +3x)+(z +2x +3y)]≥(x +y +z)2=27 得：x 2x+2y+3z +y 2y+2z+3x +z 2z+2x+3y ≥√32；（2）∵1log3x+log3y +1log3y+log3z+1log3z+log3x=1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx)，由柯西不等式得：(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))（log3(xy)+log3(yz)+log3(zx)），由柯西不等式得：(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))（log3(xy)+log3(yz)+log3(zx)）≥9所以，(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))≥9(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx))=92log3(xyz)，又∵ 3√3=x+y+z≥3√xyz3．∴xyz≤3√3．∴log3xyz≤32．得92log3xyz≥92×23=3所以，1log3x+log3y +1log3y+log3z+1log3z+log3x≥3当且仅当x=y=z=√3时，等号成立．故所求的最小值是3．【考点】一般形式的柯西不等式平均值不等式在函数极值中的应用【解析】（1）可以将不等式左边乘以）[(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)]然后利用柯西不等式进行放缩求解；（2）根据对数函数的性质，然后再利用柯西不等式进行放缩，注意不等式取等号的条件进行证明；【解答】解：（1）由柯西不等式得，(x2+y2+z2)[(x+2y+3z)+(y+2z+3x)+(z+2x+3y)]≥(x+y+z)2=27得：x 2x+2y+3z +y2y+2z+3x+z2z+2x+3y≥√32；（2）∵1log3x+log3y +1log3y+log3z+1log3z+log3x=1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx)，由柯西不等式得：(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))（log3(xy)+log3(yz)+log3(zx)），由柯西不等式得：(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))（log3(xy)+log3(yz)+log3(zx)）≥9所以，(1log3(xy)+1log3(yz)+1log3(zx))≥9(log3(xy)+log3(yz)+log3(zx))=92log3(xyz)，又∵ 3√3=x+y+z≥3√xyz3．∴xyz≤3√3．∴log3xyz≤32．得92log3xyz≥92×23=3所以，1log3x+log3y +1log3y+log3z+1log3z+log3x≥3当且仅当x=y=z=√3时，等号成立．故所求的最小值是3．24.【答案】解：(1)由条件0<a+b2<1，从而ab=2a⋅b2≤2(a+b22)2<2×(12)2=12，∴不存在满足已知条件的a，b，使得ab=12．(2)由柯西不等式可得：(√a+√b+√c)2=(1⋅√a+√2.√b2+√3⋅√c3)2，≤[12+(√2)2+(√3)2]⋅(a+b2+03)=6，∴√a+√b+√c≤√6，等号成立的条件为√a1=√b2√2=√c3√3，结合a+b2+a3=1，可知a=16，b=23，c=32，∴√a+√b+√c的最大值为√6．【考点】基本不等式一般形式的柯西不等式【解析】【解答】解：(1)由条件0<a+b2<1，从而ab=2a⋅b2≤2(a+b22)2<2×(12)2=12，∴不存在满足已知条件的a，b，使得ab=12．(2)由柯西不等式可得：(√a+√b+√c)2=(1⋅√a+√2.√b2+√3⋅√c3)2，≤[12+(√2)2+(√3)2]⋅(a+b2+03)=6，∴√a+√b+√c≤√6，等号成立的条件为√a1=√b2√2=√c3√3，结合a+b2+a3=1，可知a =16，b =23，c =32，∴ √a +√b +√c 的最大值为√6． 25.【答案】解：(1)①当x ≤0时，f(x)=2−x −(−2x)=x +2， 由f(x)>1，即x +2>1， 解得x >−1，又x ≤0， 所以−1<x ≤0；②当0<x <2时，f(x)=2−3x ， 由f(x)>1，即2−3x >1， 解得x <13，又0<x <2，所以0<x <13；③当x ≥2时，f(x)=−x −2， 由f(x)>1，得x ∈⌀，综上，不等式f(x)>1的解集为(−1,13)． (2)因为f (13)=|13−2|−2×|13|=1，故a +4b +9c =3，所以1a +4b +9c =13(a +4b +9c)(1a +4b +9c ) 因为a, b, c >0，所以由柯西不等式：上式=13[(√a)2+(2√b)2+(3√c)2]⋅[(√1a)2+(2√1b)2+(3√1c)2]≥13(√a ⋅√1a +2√b ⋅2√1b +3√c ⋅3√1c )2 =13(1+4+9)2 =1963，当且仅当a =b =c =314时，等号成立.【考点】一般形式的柯西不等式绝对值不等式的解法与证明【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)①当x ≤0时，f(x)=2−x −(−2x)=x +2， 由f(x)>1，即x +2>1， 解得x >−1，又x ≤0， 所以−1<x ≤0；②当0<x <2时，f(x)=2−3x ， 由f(x)>1，即2−3x >1， 解得x <13，又0<x <2， 所以0<x <13；③当x ≥2时，f(x)=−x −2， 由f(x)>1，得x ∈⌀，综上，不等式f(x)>1的解集为(−1,13)． (2)因为f (13)=|13−2|−2×|13|=1， 故a +4b +9c =3，所以1a+4b+9c=13(a +4b +9c)(1a+4b+9c)因为a, b, c >0，所以由柯西不等式：上式=13[(√a)2+(2√b)2+(3√c)2]⋅[(√1a )2+(2√1b )2+(3√1c )2] ≥13(√a ⋅√1a +2√b ⋅2√1b +3√c ⋅3√1c )2 =13(1+4+9)2=1963，当且仅当a =b =c =314时，等号成立.26. 【答案】解：(1)由题意得f (x )={5−2x,x ≤1,3,1<x <4,2x −5,x ≥4.∵ f (x )≤5，∴ {5−2x ≤5,x ≤1,或{3≤5,1<x <4,或{2x −5≤5,x ≥4,∴ 0≤x ≤5 ，∴ 不等式解集为{x|0≤x ≤5}.(2)由(1)知，f (x )在(−∞,1)上单调递减， (4,+∞)上单调递增， ∴ f (x )min =3， ∴ M =3．解法1：a +b =3 ，∴ (a +2)+(b +1)=6， ∴ 1a+2+1b+1=16(1a +2+1b +1)[(a +2)+(b +1)]=16(2+b+1a+2+a+2b+1)≥16(2+2)=23． 解法2：由柯西不等式得，1a +2+1b +1=16(1a +2+1b +1)[(a +2)+(b +1)] ≥16(√a +2√a +2+√b +1√b +1)2=46=23，当且仅当{a +2=b +1,a +b =3,时，即 a =1，b =2时，1a+2+1b+1的最小值为23． 【考点】绝对值不等式的解法与证明 基本不等式在最值问题中的应用 一般形式的柯西不等式 【解析】 无 无 【解答】解：(1)由题意得f (x )={5−2x,x ≤1,3,1<x <4,2x −5,x ≥4.∵ f (x )≤5，∴ {5−2x ≤5,x ≤1,或{3≤5,1<x <4,或{2x −5≤5,x ≥4,∴ 0≤x ≤5 ，∴ 不等式解集为{x|0≤x ≤5}.(2)由(1)知，f (x )在(−∞,1)上单调递减， (4,+∞)上单调递增， ∴ f (x )min =3， ∴ M =3．解法1：a +b =3 ，∴ (a +2)+(b +1)=6， ∴1a+2+1b+1=16(1a +2+1b +1)[(a +2)+(b +1)] =16(2+b+1a+2+a+2b+1)≥16(2+2)=23． 解法2：由柯西不等式得，1a +2+1b +1=16(1a +2+1b +1)[(a +2)+(b +1)] ≥16(√a +2√a +2+√b +1√b +1)2=46=23，当且仅当{a +2=b +1,a +b =3,时，即 a =1，b =2时，1a+2+1b+1的最小值为23．27.【答案】证明：根据柯西不等式(n =3)得，[(1+a 2)+(1+b 2)+(1+c 2)]•(a 21+a +b 21+b +c 21+c )≥(a +b +c)2， 即a 2+b 2+c 2+3≥(a +b +c)2， 整理得，ab +bc +ac ≤32，再由基本不等式：ab +bc +ac ≥3√ab ⋅bc ⋅ac 3， 两边立方得，a 2b 2c 2≤(ab+bc+ac 3)3≤18，所以，abc ≤√18=√24， 即abc ≤√24，证毕． 【考点】一般形式的柯西不等式 不等式的证明 【解析】先用柯西不等式得出ab +bc +ac ≤32，再用基本不等式ab +bc +ac ≥3√ab ⋅bc ⋅ac 3，得出abc ≤√24． 【解答】证明：根据柯西不等式(n =3)得，[(1+a 2)+(1+b 2)+(1+c 2)]•(a 21+a 2+b 21+b 2+c 21+c 2)≥(a +b +c)2， 即a 2+b 2+c 2+3≥(a +b +c)2， 整理得，ab +bc +ac ≤32，再由基本不等式：ab +bc +ac ≥3√ab ⋅bc ⋅ac 3， 两边立方得，a 2b 2c 2≤(ab+bc+ac 3)3≤18，所以，abc ≤√18=√24， 即abc ≤√24，证毕． 28.【答案】证明：只需考虑a ，b ，c ，x ，y ≥0的情况即可，由对称性，不妨设x ≥y ，当a ≥c 时，[(ax +by)2+(bx +cy)2]−[(ay +bx)2+(by +cx)2] =(a 2−c 2)(x 2−y 2)≥0，此时前者更大，故又只需考虑a ≥c 的情况． 此时，由柯西不等式及均值不等式，可得(ax +by)2+(bx +cy)2=(ax √2⋅√2y)2+(√2⋅√2x +cy)2+≤(a 2+b 22)(x 2+2y 2)+(b 22+c 2)(2x 2+y 2)=32(x 2+y 2)(a 2+b 2+c 2)−12(x 2−y 2)(a 2−c 2) ≤32(x 2+y 2)(a 2+b 2+c 2) ≤32•(x 2+y 2+a 2+b 2+c 22)2=32⋅16×16×214=2016．故不等式得证．【考点】 不等式的证明一般形式的柯西不等式【解析】只需考虑a ，b ，c ，x ，y ≥0的情况即可，由对称性，不妨设x ≥y ，当a ≥c 时，[(ax +by)2+(bx +cy)2]−[(ay +bx)2+(by +cx)2]=(a 2−c 2)(x 2−y 2)≥0，此时前者更大，故又只需考虑a ≥c 的情况．此时，由柯西不等式及均值不等式，化简整理，即可得证． 【解答】证明：只需考虑a ，b ，c ，x ，y ≥0的情况即可，由对称性，不妨设x ≥y ， 当a ≥c 时，[(ax +by)2+(bx +cy)2]−[(ay +bx)2+(by +cx)2] =(a 2−c 2)(x 2−y 2)≥0，此时前者更大，故又只需考虑a ≥c 的情况． 此时，由柯西不等式及均值不等式，可得(ax +by)2+(bx +cy)2=(ax √2⋅√2y)2+(√2⋅√2x +cy)2+≤(a 2+b 22)(x 2+2y 2)+(b 22+c 2)(2x 2+y 2)=32(x 2+y 2)(a 2+b 2+c 2)−12(x 2−y 2)(a 2−c 2) ≤3(x 2+y 2)(a 2+b 2+c 2) ≤32•(x 2+y 2+a 2+b 2+c 22)2=32⋅16×16×214=2016．故不等式得证． 29.【答案】证明：因为已知x 2+3y 2+4z 2=2根据柯西不等式(ax +by +cz)2≤(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2)构造得：即(x +3y +4z)2≤(x 2+3y 2+4z 2)(12+√32+22)≤2×8=16 故：|x +3y +4z|≤4．【考点】一般形式的柯西不等式 【解析】分析题目已知x 2+3y 2+4z 2=2，求证：|x +3y +4z|≤4．考虑到应用柯西不等式(ax +by +cz)2≤(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2)，首先构造出柯西不等式求出(x +3y +4z)2的最大值，开平方根即可得到答案． 【解答】证明：因为已知x 2+3y 2+4z 2=2根据柯西不等式(ax +by +cz)2≤(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2)构造得：即(x +3y +4z)2≤(x 2+3y 2+4z 2)(12+√32+22)≤2×8=16 故：|x +3y +4z|≤4． 30.【答案】(1)解：由于[(x −1)+(y +1)+(z +1)]2=(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2+2[(x −1)(y +1)+(y +1)(z +1)+(z +1)(x −1)]≤3[(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2]，故由已知得(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43，当且仅当x =53，y =−13，z =−13时等号成立；(2)证明：由于[(x −2)+(y −1)+(z −a)]2=(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2+2[(x −2)(y −1)+(y −1)(z −a)+(z −a)(x −2)]≤3[(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2]， 由已知得，(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2≥(2+a)23，当且仅当x =4−a 3，y =1−a 3，z =2a−23时等号成立，因此(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2的最小值为(2+a)23，由题设知(2+a)23≥13，解得a ≤−3或a ≥−1.【考点】一般形式的柯西不等式 【解析】（1）运用柯西不等式可得(12+12+12)[(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2]≥(x −1+y +1+z +1)2＝4，可得所求最小值；（2）运用柯西不等式求得(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2的最小值，由题意可得13不大于最小值，解不等式可得所求范围． 【解答】(1)解：由于[(x −1)+(y +1)+(z +1)]2=(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2+2[(x −1)(y +1)+(y +1)(z +1)+(z +1)(x −1)]≤3[(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2]，故由已知得(x −1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43， 当且仅当x =53，y =−13，z =−13时等号成立； (2)证明：由于[(x −2)+(y −1)+(z −a)]2=(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2+2[(x −2)(y −1)+(y −1)(z −a)+(z −a)(x −2)]≤3[(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2]， 由已知得，(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2≥(2+a)23，当且仅当x =4−a 3，y =1−a 3，z =2a−23时等号成立，因此(x −2)2+(y −1)2+(z −a)2的最小值为(2+a)23，由题设知(2+a)23≥13，解得a ≤−3或a ≥−1. 31.【答案】解：∵ x 2+y 2≥2xy ，x 2+z 2≥2xz ，y 2+z 2≥2yz ， ∴ 2x 2+2y 2+2z 2≥2xy +2xz +2yz ．∴ 3x 2+3y 2+3z 2≥x 2+y 2+z 2+2xy +2xz +2yz ∴ 3(x 2+y 2+z 2)≥(x +y +z)2=1∴ x 2+y 2+z 2≥13．原不等式得证． 【考点】一般形式的柯西不等式 【解析】先利用基本不等式a 2+b 2≥2ab ，同时变形利用x +y +z =1，即(x +y +z)2=1即可证得结论． 【解答】解：∵ x 2+y 2≥2xy ，x 2+z 2≥2xz ，y 2+z 2≥2yz ， ∴ 2x 2+2y 2+2z 2≥2xy +2xz +2yz ．∴ 3x 2+3y 2+3z 2≥x 2+y 2+z 2+2xy +2xz +2yz ∴ 3(x 2+y 2+z 2)≥(x +y +z)2=1∴ x 2+y 2+z 2≥13． 原不等式得证． 32.【答案】解：由柯西不等式，得[x +(−2)y +(−3)z]2≤[12+(−2)2+(−3)2](x 2+y 2+z 2)， 即(x −2y −3z)2≤14(x 2+y 2+z 2)，… 即16≤14(x 2+y 2+z 2)．所以x 2+y 2+z 2≥87，即x 2+y 2+z 2的最小值为87．…【考点】一般形式的柯西不等式 【解析】利用题中条件：“x −2y −3z =4”构造柯西不等式：[x +(−2)y +(−3)z]2≤[12+(−2)2+(−3)2](x 2+y 2+z 2)，利用这个条件进行计算即可． 【解答】解：由柯西不等式，得[x +(−2)y +(−3)z]2≤[12+(−2)2+(−3)2](x 2+y 2+z 2)， 即(x −2y −3z)2≤14(x 2+y 2+z 2)，… 即16≤14(x 2+y 2+z 2)．所以x 2+y 2+z 2≥87，即x 2+y 2+z 2的最小值为87．… 33. 【答案】解：由柯西不等式得(12+13+16)(2b 2+3c 2+6d 2)≥(b +c +d)2即2b 2+3c 2+6d 2≥(b +c +d)2将条件代入可得5−a 2≥(3−a)2，解得1≤a ≤2 当且仅当√2b√12=√3c√13=√6d√16时等号成立，可知b =12，c =13，d =16时a 最大=2， b =1，c =23，d =13时，a 最小=1，所以：a 的取值范围是[1, 2]． 【考点】一般形式的柯西不等式 【解析】先由柯西不等式得(12+13+16)(2b 2+3c 2+6d 2)≥(b +c +d)2从而得到关于a 的不等关系：5−a 2≥(3−a)2，解之即a 的取值范围． 【解答】解：由柯西不等式得(12+13+16)(2b 2+3c 2+6d 2)≥(b +c +d)2即2b 2+3c 2+6d 2≥(b +c +d)2将条件代入可得5−a 2≥(3−a)2，解得1≤a ≤2 当且仅当√2b√12=√3c√13=√6d√16时等号成立，可知b =12，c =13，d =16时a 最大=2， b =1，c =23，d =13时，a 最小=1，所以：a 的取值范围是[1, 2]． 34. 【答案】解：由于(1a +2b +3c )(a +2b +3c)=[(√1a )2+(√2b )2+(√3c )2][(√a)2+(√2b)2+(√3c)2]≥(√1a √a +√2b √2b +√3c √3c)2=36又1a +2b +3c =2，∴ a +2b +3c ≥18，当且仅当a =b =c =3时等号成立当a =b =c =3时，a +2b +3c 取得最小值18 【考点】一般形式的柯西不等式 【解析】利用柯西不等式，即可求得a +2b +3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值． 【解答】解：由于(1a+2b+3c)(a +2b +3c)=[(√1a)2+(√2b)2+(√3c)2][(√a)2+(√2b)2+(√3c)2]≥(√1a √a +√2b √2b +√3c √3c)2=36又1a +2b +3c =2，∴ a +2b +3c ≥18，当且仅当a =b =c =3时等号成立当a =b =c =3时，a +2b +3c 取得最小值18 35.【答案】(1)解：∵ x ，y ，x 是正实数，且x +2y +3z =1， ∴ 1x +1y +1z =(1x +1y +1z )(x +2y +3z) =6+2y x +3z x +x y +3z y +x z +2y z =6+(2y x +x y )+(3z x +x z )+(3z y +2y z) ≥6+2√2+2√3+2√6，当且仅当x =√2y =√3z 时取等号.即1x+1y+1z的最小值为6+2√2+2√3+2√6.(2)证明：由柯西不等式可得1=(x +2y +3z)2≤(x 2+y 2+z 2)(12+22+32)=14(x 2+y 2+z 2)， ∴ x 2+y 2+z 2≥114，当且仅当x =2y =3z 时， 即x =13，y =16，z =19时取等号． 故x 2+y 2+z 2≥114．【考点】一般形式的柯西不等式基本不等式在最值问题中的应用 【解析】（1）由题意整体代入可得1x +1y +1z =6+(2yx +xy )+(3zx +xz )+(3zy +2y z)，由基本不等式可得；（2）由柯西不等式可得1=(x +2y +3z)2≤(x 2+y 2+z 2)(12+22+32)=14(x 2+y 2+z 2)，由不等式的性质可得．【解答】(1)解：∵ x ，y ，x 是正实数，且x +2y +3z =1， ∴ 1x+1y+1z=(1x+1y+1z)(x +2y +3z)=6+2y x +3z x +x y +3z y +x z +2y z =6+(2y x +x y )+(3z x +x z )+(3z y +2y z) ≥6+2√2+2√3+2√6，当且仅当x =√2y =√3z 时取等号.即1x+1y+1z的最小值为6+2√2+2√3+2√6.(2)证明：由柯西不等式可得1=(x +2y +3z)2≤(x 2+y 2+z 2)(12+22+32)=14(x 2+y 2+z 2)， ∴ x 2+y 2+z 2≥114，当且仅当x =2y =3z 时，即x =13，y =16，z =19时取等号． 故x 2+y 2+z 2≥114．。

高中数学·选修4-5·柯西不等式（1）一．选择题（共10小题）1．（2012•九江一模）设变量x，y满足|x﹣2|+|y﹣2|≤1，则的最大值为（）A．B．C．﹣D．2．（2014•孝感二模）已知x，y，z均为正数，且x+y+z=2，则++的最大值是（）A．2 B．2C．2D． 33．（2014•湖北模拟）设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（）A．B．C．D．4．（2014秋•秦安县校级期中）已知a2+b2+c2=1，若|对任意实数a，b，c，x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[8，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[8，+∞）D．[2，+∞）5．（2014春•和平区期中）已知a，b，c∈R，且a+b+c=0，abc＞0，则++的值（）A．小于0 B．大于0 C．可能是0 D．正负不能确定6．（2015•安徽模拟）若实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，则3ab﹣3bc+2c2的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则=（）A．B．C．D．8．（2013春•永定区校级月考）函数（）A．6 B．2C．5D．29．（2013•湖北一模）已知a，b，c∈R，则2a2+3b2+6c2=1是a+b+c∈[﹣1，1]的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件10．（2014•湖北模拟）实数a i（i=1，2，3，4，5，6）满足（a2﹣a1）2+（a3﹣a2）2+（a4﹣a3）2+（a5﹣a4）2+（a6﹣a5）2=1则（a5+a6）﹣（a1+a4）的最大值为（）A．3 B．2C．D．1二．填空题（共10小题）11．（2013秋•福建月考）选修4﹣5：不等式选讲已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，试确定e的最大值．12．（2014•黄冈校级模拟）设，若x2+y2+z2=16，则的最大值为．13．（2014•荆门模拟）已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，则e的取值范围是．14．（2015•抚顺模拟）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，则++的最小值为．15．（2015•郴州模拟）己知x，y∈（0，+∞），若+3＜k恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是．16．（2015春•齐齐哈尔校级期末）若存在实数x使+＞a成立，求常数a的取值范围．17．（2013•惠州模拟）（不等式选讲选做题）已知实数a、b、x、y满足a2+b2=1，x2+y2=3，则ax+by的最大值为．18．（2014•宝鸡二模）已知实数x、y、z满足x+2y+3z=1，则x2+y2+z2的最小值为．19．（2014•天门模拟）（选修4﹣5：不等式选讲）已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a2+2b2+3c2+6d2=5，试求a的最值．20．（2015•龙泉驿区校级模拟）已知a1，a2，a3不全为零，设正数x，y满足x2+y2=2，令≤M，则M的最小值为．三．解答题（共10小题）21．（2014•泰州模拟）若不等式|a﹣1|≥x+2y+2z对满足x2+y2+z2=1的一切实数x、y、z恒成立，求a的取值范围．22．（2015•福建）已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值为．23．（2015•福州校级模拟）已知正数a，b，c满足a2+b2+c2=6．（Ⅰ）求a+2b+c的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若不等式|x+1|+|x+m|≥M恒成立，求实数m的取值范围．24．（2014•江苏模拟）选修4﹣5：不等式选讲若正数a，b，c满足a+b+c=1，求的最小值．25．（2015•上饶二模）（1）设函数，求f（x）的最小值，（2）当a+2b+3c=m（a，b，c∈R）时，求a2+b2+c2的最小值．26．（2015•咸阳三模）已知x，y∈R+，且x+y=2（Ⅰ）要使不等式+≥|a+2|﹣|a﹣1|恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求证：x2+2y2．27．（2015•南昌三模）已知关于x的不等式m﹣|x﹣2|≥1，其解集为[0，4]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b均为正实数，且满足a+b=m，求a2+b2的最小值．28．（2015•兴庆区校级一模）（1）设函数f（x）=|x﹣|+|x﹣a|，x∈R，若关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值；（2）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，求++的最小值．29．（2015春•重庆校级期中）已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=m﹣2|x﹣4|，若2f（x）≥g（x）恒成立，实数m的最大值为a．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）已知实数x，y，z满足x+y+z=a，求2x2+3y2+6z2的最小值．30．（2015•江西模拟）（1）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|，求x的取值范围，使f（x）为常函数；（2）若x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，求m=x+y+z的最大值．1．B 2．C 3．A 4．B 5．A 6．C 7．C 8．D 9．A 10．B11．12．13．14．18 15．k＞16．（-∞，8）17．18．19．20．。