第四节超静定结构的受力分析及特性一、超静定结构的特征及超静定次数超静定结构的几何特征是除了保证结构的几何不变性所必须的约束外，还存在多余约束。
超静定结构的静力特征是仅由静力平衡条件不能唯一地确定全部未知反力和内力。
结构的多余约束数或用静力平衡条件计算全部未知反力和内力时所缺少的方程数称为结构的超静定次数。
通常采用去除多余约束的方法来确定结构的超静定次数。
即去除结构的全部多余约束，使之成为无多余约束的几何不变体系，这时所去除的约束数就是结构的超静定次数。
去除约束的方法有以下几种：(一)切断一根两端铰接的直杆(或支座链杆)，相当于去除一个约束。
(二)切断一根两端刚接的杆件，相当于去除三个约束。
(三)切断——个单铰(或支座固定铰)，相当于去除二个约束；切断一个复铰(连接n根杆件的铰)，相当于去除2(n—1)个约束。
(四)将单刚结点改为单铰节点，相当于去除一个约束；将连接n个杆件的复刚节点改为复铰节点，相当于去除n—1个约束。
去除一个超静定结构多余约束的方法可能有几种，但不管采用哪种方法，所得超静定次数一定相同。
去除图4—1a所示超静定结构的多余约束的方法之一如图4—1b所示，去除六个多余约束后，就成为静定结构，故为超静定六次。
再用其他去除多余约束的方案确定其超静定次数，结果是相同的。
（a）（b）图4－1二、力法的基本原理(一)力法基本结构和基本体系去除超静定结构的多余约束，代以相应的未知力X i (i=1、2、…、n)，X i 称为多余未知力或基本未知力，其方向可以任意假定。
去除多余约束后的结构称为力法基本结构。
力法基本结构在各多余未知力、外荷载(有时还有温度变化、支座位移等)共同作用下的体系称为力法基本体系，它是用力法计算超静定结构的基础。
选取力法基本结构应注意下面两点：1．基本结构一般为静定结构，即无多余约束的几何不变体系。
有时当简单超静定结构的解为已知时，也可以将它作为复杂超静定结构的基本结构，以简化计算。
2．选取的基本结构应使力法典型方程中的系数和自由项的计算尽可能简便，并尽量使较多的副系数和自由项等于零。
(二)力法典型方程及其意义根据原结构在荷载、温度变化、支座位移等因素作用下产生的已知位移与基本结构在各多余未知力以及与原结构相同的荷载、温度变化、支座位移等因素作用下产生的位移必须相同的条件，由叠加原理，可得n次超静定结构的力法典型方程为(4—1)式中 X i 为多余未知力(i=1、2、…、，2)；δij钆为基本结构仅由X j=1为多余未知力(j=1、2、…、n)产生的沿X i 方向的位移、为基本结构的柔度系数；Δip、Δit、Δic分别为基本结构仅由荷载、温度变化、支座位移产生的沿X i 方向的位移，为力法典型方程的自由项；Δi为原超静定结构在荷载、温度变化、支座位移作用下的已知位移(如结构边界处的已知支座位移条件、杆件变形后的已知位移连续条件等)。
力法典型方程(4—1)也称为变形协调方程。
其中第一个方程表示基本结构在n个多余未知力、荷载、温度变化、支座位移等共同作用下，在X l作用点沿X l作用方向产生的位移，等于原结构的已知相应位移Δ1；第二个方程表示基本结构在n个多余未知力、荷载、温度变化、支座位移共同作用下，在X2作用点沿X2作用方向产生的位移，等于原结构的已知相应位移Δ2。
其余各式的意义可按此类推。
各多余未知力X i的大小和方向必须受力法典型方程的约束，多余约束力与变形协调条件是一一对应的，故满足力法典型方程的各多余未知力的解是唯一真实的解。
同一超静定结构，可以选取不同的基本体系，其相应的力法典型方程也就表达了不同的变形协调条件。
不管选取哪种基本体系，求得的最后内力总是相同的。
图4—2a所示体系为一次超静定结构，如取图4—2b所示的基本体系，则力法典型方程为δ11X1 +Δ1p=0；如取图4—2c所示的基本体系，则力法典型方程为δ11X1 +Δ1p= —X1l／EA。
图4－2对于图4—2d所示的一次超静定结构，如取图4—2e、f所示的基本体系，则相应的力法典型方程分别为δ11X1 +Δ1p=0、δ11X1 +Δ1p= —X1／k N。
图4—3a所示一次超静定结构的支座B有已知的竖向位移a，如取图4—3b所示的基本体系，力法典型方程为δ11X1 = －a；如取图4—3c所示的基本体系，力法典型方程为δ11X1 +Δ1C=0。
图4－3(三)系数和自由项的计算力法典型方程中的系数和自由项都是静定基本结构仅由单位力、实际荷载、温度变化、支座位移产生的位移，它们均可按上述各自的定义，用相应的位移计算公式计算。
力法典型方程中的系数δii称为主系数，它们恒为正值；δij（i ≠j)称为副系数，它们可为正值、负值、也可为零，根据位移互等定理有δij＝δji；各自由项的值可为正值、负值、也可为零。
(四)计算超静定结构的内力由力法典型方程求出各多余未知力X i 后，将X i 和原荷载作用在基本结构上，再根据求作静定结构内力图的方法，作出基本结构的内力图就是超静定结构的内力图。
或者也可通过下述叠加方法，计算结构的最后内力。
(4—2) 式中M i、V i、N i分别为X i＝1引起的基本结构的弯矩、剪力、轴力；M p、V p、N p分别为荷载引起的基本结构的弯矩、剪力、轴力。
对梁和刚架，通常的做法是先根据式(4—2)中的第一式求出各杆端弯矩，再用直杆弯矩图的叠加法作出各杆的弯矩图，然后根据弯矩图由静力平衡条件求出各杆端的剪力和轴力，并据此作出剪力图和轴力图。
三、超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算仍应用变形体系虚功原理和单位荷载法。
在具体计算时，为了使计算简便，其虚设状态(即单位力状态)可采用原超静定结构的任一静定基本结构。
位移计算的一般公式如下。
(一)荷载作用引起的位移计算公式（4—3）(二)温度变化引起的位移计算公式(4—4)(三)支座位移引起的位移计算公式（4—5）上面三式中的M i、N i、V i和R i为虚设状态(原超静定结构的静定基本结构)的弯矩、轴力、剪力和支座反力；M、N、V、M t、N t、V t、M c、N c、V c分别为原超静定结构在荷载、温度变化、支座位移作用下产生的弯矩、轴力、剪力。
与静定结构一样，在符合一定的条件时，超静定结构的位移计算也可采用简化(实用)计算公式，以及采用图形相乘法代替积分计算。
四、超静定结构内力图的校核超静定结构的内力图必须同时满足静力平衡条件和原结构的变形条件。
1．平衡条件校核根据求得的反力和内力，取整个结构或结构的任一部分为隔离体，校核其是否满足静力平衡条件。
2．变形条件校核根据已求得的内力计算超静定结构的位移，校核其是否与原结构的已知位移条件一致。
对于具有无铰闭合外形的结构，在荷载作用下，校核任一切断截面两侧的相对转角时，位移条件的校核公式可简化为(4—6)[例4－1] 图4－4a所示超静定刚架，受均布荷载q、温度变化t1＝1.5t0C，t2＝2.5t0C，支座A顺时针向转动φA等因素共同作用，试求作其M图，并按变形条件校核M图。
杆件横截面为矩形，高为h=l ／10，EI为常数，线膨胀系数为α。
图4－4[解](1)取图4—4b所示的力法基本体系。
(2)力法典型方程为δ11X1 +Δ1p+Δ1t+Δ1c=0(3)计算系数和自由项基本结构的M l、N l、M p图分别如图4—4c、d、e所示。
杆件轴线处的温度变化为t0=2t℃，杆件两侧的温度差为Δt=t℃。
于是由位移计算公式可求得(4)求基本未知力X l由力法典型方程得(5)作M图M如图4－4f所示。
(6)根据原结构的已知位移条件校核M图校核A截面的转角。
五、等截面直杆的转角位移方程(刚度方程)位移法是以杆件的转角位移方程作为计算基础的。
转角位移方程表示杆件两端的杆端力与杆端位移之间的关系式。
(一)平面桁架杆件(图4—5)图4－5(4—7) 式中u、N分别表示杆端的轴向位移和轴向力，沿杆轴方向自A向B时为正。
式(4—7)称为拉、压杆的刚度方程。
(二)两端固定的平面等截面直杆(图4—6a)(4—8) 式中 i = EI／l称为线刚度。
杆端截面转角θA、θB、弦转角β = ΔAB／l，杆端弯矩M AB、M BA，固端弯矩M AB F、M BA F均以顺时针向转动为正。
杆端剪力Q AB、Q BA，固端剪力Q AB F、Q BA F均以绕隔离体顺时针向转动为正。
图4—6所示杆端位移、杆端弯矩、杆端剪力的方向均为正号。
图4－6(三)一端固定另一端铰支的平面等截面直杆(图4－6b)(4—9)(四)一端固定另一端定向(滑动)支座的平面等截面直杆(图4－6c)(4—10)式(4—9)、(4—10)中各符号的意义及正、负号规定均与式(4—8)相同。
式(4—8)、(4—9)、(4—10)称为前述各相应杆件的转角位移方程，式中含有θA、θB、ΔAB的各项分别代表该项杆端位移引起的杆端弯矩和杆端剪力，其前面的系数称为杆件的刚度系数，它们只与杆件的长度l、支座形式和抗弯刚度EI有关，又称为形常数。
而固端弯矩、固端剪力则为仅由荷载产生的杆端弯矩、杆端剪力，它们均与荷载有关，几种常见荷载产生的固端弯矩和固端剪力见表4—1。
等截面直杆的固端弯矩和固端剪力表4—1六、位移法的基本未知量位移法以结构的刚结点的角位移和独立的结点线位移为基本未知量。
角位移数等于刚性结点的数目。
确定刚架独立的结点线位移数时，如果杆件的弯曲变形是微小的，且忽略受弯直杆的轴向变形，则刚架独立的结点线位移数就是刚架铰结图的自由度数(即运动的独立几何参数)。
所谓刚架的铰结图就是将刚架的刚结点(包括固定支座)都改成铰结点后所形成的体系。
如图4—7a所示刚架的结点角位移未知数等于7，在刚架铰结图的结点1、2、3处增设三根支杆后成为几何不变(图4—7b)，即该铰结图的自由度为3，故刚架的全部结点位移未知数等于10。
图4－7如果考虑杆件的轴向变形，则平面结构每个结点的独立线位移未知数为2。
如图 4—7a所示刚架的结点独立线位移未知数为2×7＝14。
图4—7c所示刚架，其横梁不能弯曲，当不考虑各杆轴向变形时，两个刚结点不能转动，只有一个独立的结点线位移未知量。
图4—7d所示结构，如果考虑柱顶轴力杆的轴向变形，而不计受弯杆柱子的轴向变形，则有两个独立的结点线位移未知量。
七、位移法的基本原理(一)位移法基本体系在结构的结点角位移和独立的结点线位移处增设控制转角和线位移的附加约束，使结构的各杆成为互不相关的单杆体系，称为原结构的位移法基本结构。
位移法基本结构在各结点位移、外荷载(有时还有温度变化、支座位移等)作用下的体系称为位移法基本体系。
图4—8a所示刚架的基本体系如图4—8b所示。
图4－8(二)位移法典型方程及其意义为了使基本体系与原结构的受力情况相同，可以根据基本结构在给定荷载、温度变化、支座位移和各基本未知节点位移共同作用下，各附加约束中的总约束力等于零的条件建立位移法典型方程。
