2019-2020学年高中数学 专题四 指数对数幂函数复习学案苏教版必修2.doc

4.4 幂函数学习目标1.通过具体问题,了解幂函数的概念.2.从描点作图入手,画出y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1的图像,总结出幂函数的共性,巩固并会加以应用.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征,能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.自主预习1.一般地,幂函数的表达式为,其特征是以幂的为自变量,为常数.2.幂函数的图像及性质(1)在同一坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1的图像如图.结合图像,填空.(1)所有的幂函数图像都过点,在(0,+∞)上都有定义.(2)当α>0时,幂函数图像过点,且在第一象限内单调;当0<α<1时,图像上凸,当α>1时,图像.(3)若α<0,则幂函数图像过点,并且在第一象限内单调,在第一象限内,当x从+∞趋向于原点时,函数在y轴右方无限地逼近于y轴,当x趋于+∞时,图像在x轴上方无限逼近x轴.(4)当α为奇数时,幂函数图像关于对称;当α为偶数时,幂函数图像关于对称.(5)幂函数在第象限无图像.课堂探究例1(1)下列函数:①y=x3;②y=(12)x;③y=4x2;④y=x5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x;⑦y=a x(a>1).其中幂函数的个数为()A.1B.2C.3D.4(2)已知y=(m2+2m-2)x x2-2+2n-3是幂函数,求m,n的值.跟踪训练1(1)已知幂函数f(x)=k·xα的图像过点(12,√22),则k+α等于()A.12B .1C.32D.2(2)已知f (x )=ax 2a+1-b+1是幂函数,则a+b 等于( )A.2B.1C.12D.0例2 比较下列各题中两个值的大小.(1)2.31.1和2.51.1;(2)(x 2+2)-13和2-13.跟踪训练2 比较下列各组数的大小. (1)(25)0.5与(13)0.5;(2)(-23)-1与(-35)-1.例3 讨论函数y=x 23的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图像,并根据图像说明函数的单调性.核心素养专练1.以下结论正确的是( )A.当α=0时,函数y=x α的图像是一条直线 B.幂函数的图像都经过(0,0),(1,1)两点C.若幂函数y=x α的图像关于原点对称,则y=x α在定义域内y 随x 的增大而增大 D.幂函数的图像不可能在第四象限,但可能在第二象限 2.下列不等式成立的是( ) A.(13)-12>(12)-12B.(34)23<(23)23C.(23)2>(32)2D.8-78<(19)783.函数y=x -3在区间[-4,-2]上的最小值是 .4.若幂函数f (x )=(m 2-m-1)x x2-2x -3在(0,+∞)上是减函数,则实数m= .参考答案自主预习1.y=x α底数 指数2.(1)(1,1) (2)(0,0),(1,1) 递增 下凸 (3)(1,1) 递减 (4)原点(0,0) y 轴 (5)四 课堂探究例1 (1)B解析:幂函数有①⑥两个. (2)由幂函数定义求参数值.解:由题意得{x 2+2x -2=12x -3=0,解得{x =-3,x =32或{x =1,x =32. 所以m=-3或1,n=32.跟踪训练1 (1)C解析:由幂函数的定义知k=1.又f (12)=√22,所以(12)x =√22,解得α=12,从而k+α=32.(2)A解析:因为f (x )=ax2a+1-b+1是幂函数,所以a=1,-b+1=0,即a=1,b=1,则a+b=2.例2 (1)考查幂函数y=x 1.1,因为在其区间[0,+∞)上是增函数,而且2.3<2.5,所以2.31.1<2.51.1. (2)考查幂函数y=x -13,因为其在区间(0,+∞)上是减函数,而且a 2+2≥2,所以(a 2+2)-13≤2-13.跟踪训练2 解:(1)因为幂函数y=x 0.5在(0,+∞)上是单调递增的, 又25>13,所以(25)0.5>(13)0.5.(2)因为幂函数y=x -1在(-∞,0)上是单调递减的, 又-23<-35,所以(-23)-1>(-35)-1.例3 因为y=x 23=√x 23,所以不难看出函数的定义域是实数集R .记f (x )=x 23,则f (-x )=(-x )23=√(-x)23=√x 23=x 23=f (x ),所以函数y=x 23是偶函数,因此,函数图像关于y轴对称.通过列表描点,可以先作出y=x 23在x ∈[0,+∞)时的函数图像,再根据对称性,可作出它在x ∈(-∞,0]时的图像,如图.由图像可以看出,函数在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增. 核心素养专练1.D2.A3.-18解析:因为函数y=x-3=1x3在(-∞,0)上单调递减,所以当x=-2时,y min=(-2)-3=-18.4.2解析:由题意,得m2-m-1=1,得m=2或m=-1.当m=2时,m2-2m-3=-3,符合要求.当m=-1时,m2-2m-3=0不符合要求.故m=2.学习目标1.掌握幂函数的概念、图像和性质.2.熟悉α=1,2,3,12,-1时的五类幂函数的图像、性质及其特点.3.能利用幂函数的图像与性质解决综合问题.自主预习1.在关系式N=a b(a>0,a≠1)中.①如果把b作为自变量,N作为因变量,这是什么函数?②如果把N作为自变量,b作为因变量,这是什么函数?③如果把a作为自变量,N作为因变量,这是什么函数?2.观察函数y=x,y=x2,y=x12,y=x-3,这几个函数有什么共同特点?把这几个函数的解析式改写成统一的形式.幂函数的定义:3.给出下列函数,其中是幂函数的有.①y=3x2②y=x2-1③y=-1x ④y=1x2⑤y=x-13⑥y=2x课堂探究1.问题①:给出下列函数:y=x,y=x12,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,是否为指数函数?问题②:根据问题①,如果让我们起一个名字的话,你将会给它们起个什么名字呢?请给出一个一般性的结论.2.问题③:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢?问题④:根据函数y=x12,y=x3的性质画出图像.问题⑤:画出y=x,y=x12,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图像,通过对以上五个函数图像的观察,你能类比出一般的幂函数的性质吗?3.例题讲解例1已知y=(m2+2m-2)x x2-1+2n-3是定义域为R的幂函数,求m,n的值.例2比较下列各题中两个值的大小.(1)2.31.1,2.51.1;(2)(a2+2)-13,2-13.变式训练1比较下列各组的大小.(1)-8-78和-(19)78;(2)(-2)-3和(-2.5)-3;(3)(1.1)-0.1和(1.2)-0.1;(4)(4.1)25,(3.8)-23和(-1.9)34.例3讨论函数y=x23的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图像,并根据图像说明函数的单调性.变式训练2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.(1)y=x25;(2)y=x-34;(3)y=x-2.核心素养专练1.(多选题)给出下列说法,其中正确的是()A.幂函数的图像均过点(1,1)B.幂函数的图像都在第一象限内出现C.幂函数在第四象限内可以有图像D.任意两个幂函数的图像最多有两个交点2.已知幂函数f(x)的图像经过点(8,4),则f(127)的值为()A.19B.9 C.13D.33.已知a=243,b=425,c=2513,则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b4.若幂函数y=(m2-3m+3)x m-2的图像不过原点,则()A.1≤m≤2B.m=1或m=2C.m=2D.m=15.(开放性题)(1)已知函数f(x)=xα的定义域为[0,+∞),则满足条件的α可以是.(写出两个满足条件的α值)(2)已知幂函数f(x)=xα的图像经过点(0,0),(1,1),(-1,1),(4,2)中的三个点,则满足条件的α可以是.6.如图所示是6个函数的图像,则图中的a,b,c,d从大到小排列为.7.已知幂函数f(x)=xα的图像经过点(2,18),则α=,若f(a+1)<f(3-2a),实数a的取值集合为.8.求出下列函数的定义域,并判断函数的奇偶性.(1)f(x)=x2+x-2;(2)f(x)=x+3x23(3)f(x)=x3+x13;(4)f(x)=2x4+x-12.9.在同一个直角坐标系中,作出下列函数的图像,并总结出一般规律.(1)y=x-3,y=x-13,(2)y=x94,y=x49.参考答案自主预习略 课堂探究1.略2.略3.例1 m=-3,n=32例2 (1)2.31.1<2.51.1 (2)(a 2+2)-13≤2-13变式训练1 (1)-8-78<-(19)78(2)(-2)-3<(-2.5)-3(3)(1.1)-0.1>(1.2)-0.1(4)(-1.9)34<(3.8)-23<(4.1)25例3 通过列表描点,可以先作出y=x 23在x ∈[0,+∞)时的函数图像,再根据对称性,可作出它在x ∈(-∞,0]时的图像.作图略.由图像可以看出,函数y=x 23在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增.变式训练2 (1)定义域为R,是偶函数,在[0,+∞)单调递增,在(-∞,0]上单调递减. (2)定义域为(0,+∞),非奇非偶函数,在(0,+∞)上单调递减.(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),是偶函数,在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减. 核心素养专练1.AB2.D3.A4.B5.(1)α=12或α=34 (2)2或12 6.d>b>c>a 7.-3 (-∞,-1)∪(23,32)8.(1){x|x ≠0},偶函数 (2)R,非奇非偶函数 (3)R,奇函数 (4){x|x>0},非奇非偶函数 9.作图略.(1)幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图像都通过点(1,1). (2)如果α>0,则幂函数的图像过点(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数. (3)如果α<0,则幂函数的图像过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数.。

4．2.2 对数运算法则【课程标准】理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．新知初探·自主学习——突出基础性教材要点知识点一对数的运算性质若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：(1)log a(MN)＝____________，＝____________，(2)log a MN(3)log a M n＝____________(n∈R).状元随笔对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立 . 例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．知识点二对数换底公式log a b＝____________(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0).特别地：log a b·log b a＝________(a＞0，a≠1，b＞0，b≠1)．状元随笔对数换底公式常见的两种变形＝log b a ，此公式表示真数与底数互换，所得的对数值与(1)log a b·log b a＝1，即1log a b原对数值互为倒数 .log N M，此公式表示底数变为原来的n次方，真数变为原来的m次方，所(2)log N n M m＝mn得的对数值等于原来对数值的mn 倍．基础自测1．下列等式成立的是( ) A ．log 2(8－4)＝log 28－log 24 B ．log 28log 24＝log 284C ．log 28＝3log 22D ．log 2(8＋4)＝log 28＋log 24 2.log 49log 43的值为( )A ．12B ．2C ．32D ．923．2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1C ．2D ．44．已知ln2＝a ，ln3＝b ，那么log 32用含a ，b 的代数式表示为________.课堂探究·素养提升——强化创新性题型1 用已知对数表示其他对数[经典例题] 例1 用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： (1)lg (xyz )； (2)lg xy 2z；(3)lg xy 3z； (4)lg√xy 2z. 方法归纳用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： (1)增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； (2)巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； (3)注意一些派生公式的使用．跟踪训练1 如果lg2＝m ，lg3＝n ，则lg 12lg 15等于( ) A ．2m+n 1+m+n B ．m+2n1+m+n C ．2m+n1−m+nD ．m+2n1−m+n题型2 对数运算性质的应用[经典例题] 逆用对数的运算法则合并求值．例2 (1)计算lg2＋lg5＋2log 510－log 520的值为( ) A ．21 B ．20 C ．2 D ．1(2)求值：log 2√748＋log 212－12log 242.方法归纳(1)对于同底的对数的化简，常用方法是：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).(2)对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式，要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg2＋lg5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪训练2 (1)计算：lg 52＋2lg2－(12)−1＝________． 利用对数运算性质化简求值． (2)求下列各式的值． ①log 53＋log 513；②(lg5)2＋lg2·lg50；③lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.题型3 对数换底公式的应用[经典例题]例3 (1)已知2x＝3y＝a ，1x＋1y＝2，则a 的值为( )A ．36B ．6C ．2√6D ．√6(2)计算：log 89·log 2732.(3)已知log 189＝a ，18b＝5，用a ，b 表示log 3645.状元随笔(1)利用换底公式化简．(2)利用对数运算性质化简求值．方法归纳(1)换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n为底的换为a为底．(2)换底公式的派生公式：log a b＝log a c·log c b；log a n b m＝mnlog a b.跟踪训练3 (1)式子log916·log881的值为( )A．18 B．118C．83D．38(2)已知log62＝p，log65＝q，则lg5＝________；(用p，q表示)(3)①已知log147＝a，14b＝5，用a，b表示log3528；②设3x＝4y＝36，求2x ＋1y的值．状元随笔(1)方法一对数式化为指数式，再利用对数运算性质求值．方法二先求出a、b，再利用换底公式化简求值．(2)利用换底公式化简求值．4．2.2 对数运算法则新知初探·自主学习知识点一(1)log a M＋log a N(2)log a M－log a N(3)n log a M知识点二log c b log c a1[基础自测]1．解析：由对数的运算性质易知C 正确． 答案：C2．解析：原式＝log 39＝2. 答案：B3．解析：原式＝log 5102＋log 5 ＝log 5(102×0.25)＝log 525＝2. 答案：C4．解析：log 32＝ln 2ln 3＝ab . 答案：ab 课堂探究·素养提升例1 【解析】 (1)lg (xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z . (2)lg xy 2z＝lg (xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z .(3)lg 3√z＝lg (xy 3)－lg √z ＝lg x ＋3lg y －12lg z . (4)lg√x y 2z ＝lg √x －lg (y 2z )＝12lg x －2lg y －lg z . 跟踪训练1 解析：因为lg2＝m ，lg3＝n ， 所以lg 12lg 15＝2lg 2+lg 3lg 3+lg 5＝2m+nn+1−lg 2＝2m+nn+1−m . 答案：C例2 【解析】 (1)lg2＋lg5＋2log 510－log 520 ＝1＋log 510020＝1＋1＝2.(2)原式＝12(log 27－log 248)＋log 23＋2log 22－12(log 22＋log 23＋log 27)＝12log 27－12log 23－12log 216＋12log 23＋2－12log 27－12＝－12.【答案】 (1)C (2)见解析跟踪训练2 解析：(1)lg 52＋2lg2－(12)−1＝lg5－lg2＋2lg2－2＝(lg5＋lg2)－2＝1－2＝－1.(2)①log 53＋log 513＝log 5(3×13)＝log 51＝0. ②(lg5)2＋lg2·lg50 ＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2 ＝(lg5)2＋lg2＋lg2·lg5 ＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2 ＝lg5＋lg2＝lg10＝1.③原式＝lg25＋lg 823＋lg 102·lg (10×2)＋(lg2)2＝lg25＋lg4＋(lg10－lg2)(lg10＋lg2)＋(lg2)2＝lg100＋(lg10)2－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3. 答案：(1)－1 (2)见解析例3 【解析】 (1)因为2x ＝3y＝a ， 所以x ＝log 2a ，y ＝log 3a ， 所以1x+1y＝1log 2a+1log 3a＝log a 2＋log a 3＝log a 6＝2，所以a 2＝6，解得a ＝±√6. 又a ＞0，所以a ＝√6. (2)log 89·log 2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝lg 32lg 23·lg 25lg 33＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝109.(3)方法一 因为log 189＝a ，所以9＝18a. 又5＝18b，所以log 3645＝log 2×18(5×9)＝log 2×1818a ＋b＝(a ＋b )·log 2×1818.又因为log 2×1818＝1log 18(18×2)＝11+log 182＝11+log 18189＝11+1−log 189＝12−a ，所以原式＝a+b2−a. 方法二 ∵18b＝5，∴log 185＝b .∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(4×9)＝log185+log 1892log182+log 189＝a+b2log 18189+log 189＝a+b2−2log189+log 189＝a+b2−a. 【答案】 (1)D (2)(3)见解析跟踪训练3 解析：(1)原式＝log 3224log 2334＝2log 32·43log 23＝83.(2)lg5＝log 65log 610＝qlog62+log 65＝qp+q. (3)①∵log 147＝a ，14b＝5，∴b ＝log 145. ∴log 3528＝log 1428log 1435＝log 141427log14(5×7)＝log 14142−log 147log 145+log 147＝2−aa+b .②∵3x＝36，4y＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436， ∴1x ＝1log336＝1log 3636log 363＝log 363， 1y ＝1log436＝1log 3636log 364＝log 364， ∴2x+1y＝2log 363＋log 364＝log 36(9×4)＝1.答案：(1)C (2)qp+q (3)见解析。

第2课时　指数函数的图象与性质(2)教材要点要点一　比较幂的大小一般地，比较幂大小的方法有(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用____________的单调性来判断．(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用__________的变化规律来判断．(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过______来判断．要点二　解指数方程、不等式简单指数不等式的解法(1)形如a f(x)＞a g(x)的不等式，可借助y＝a x的________求解．(2)形如a f(x)＞b的不等式，可将b化为________________，再借助y＝a x的________求解．(3)形如a x＞b x的不等式，可借助两函数y＝a x，y＝b x的图象求解．要点三　指数型函数的单调性一般地，有形如y＝a f(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有________的定义域．(2)当a＞1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有__________的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)的单调性________．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)y＝a x(a＞0且a≠1)的最小值为0.( )(2)y＝21－x是R上的增函数．( )(3)若0.1a＞0.1b，则a＞b.( )(4)由于y＝a x(a＞0，且a≠1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也构不成具有奇偶性的函数．( )2．下列函数中是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增的是( )A．y＝1xB．y＝|x|C．y＝2x D．y＝x33．下列判断正确的是( )A．1.51.5＞1.52B．0.52＜0.53C．e2＜√2eD．0.90.2＞0.90.54．函数y＝2|x|的单调递减区间是________．题型1　指数函数单调性的应用角度1　比较大小例1　(1)(多选)下列各组数的大小比较不正确的是( )A．1.52.5＜1.53.2B．0.6－1.2＞0.6－1.5C．1.50.3＞0.81.2D．0.30.4＜0.20.5(2)比较下列各值的大小：(43)13，223，(−23)3，(34)12.方法归纳比较指数幂的大小时，主要应用指数函数的单调性以及图象的特征，或引入中间数进行比较．角度2　解简单的指数不等式例2　(1)不等式3x－2＞1的解集为________．(2)若a x＋1＞(1a)5−3x(a＞0且a≠1)，求x的取值范围．方法归纳解与指数相关的不等式的策略底数不同的先要化同底，底数统一后直接利用单调性转化为一元一次、一元二次不等式求解，底数不确定的讨论单调性后转化求解．跟踪训练1　(1)已知a＝20.1，b＝0.33，c＝0.30.1，则a、b、c的大小关系为( ) A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．b＜c＜a D．a＜c＜b(2)解不等式(13)x2−2≤3.题型2　与指数函数有关的复合函数的单调性例3　(1)函数y＝31x的单调递减区间是( )A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)C．(0，＋∞) D．(－∞，0)和(0，＋∞)(2)求函数y＝a x2＋2x－3的单调区间．方法归纳(1)关于指数型函数y＝a f(x)(a＞0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a＞1还是0＜a＜1；二是f(x)的单调性，它由两个函数y＝a u，u＝f(x)复合而成．(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u ＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，求出y＝f(φ(x))的单调性．跟踪训练2　已知函数f(x)＝(13)x2−2x，判断函数f(x)的单调性．题型3　指数函数性质的综合应用(2b－6＜x＜b)是奇函数．例4　已知函数f(x)＝1－a·3x3x+1(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)是区间(2b－6，b)上的减函数；(3)若f(m－2)＋f(2m＋1)＞0，求实数m的取值范围．方法归纳解决指数函数性质的综合问题的注意点(1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧．(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行．(3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论．跟踪训练3　已知函数f(x)＝(12x−1+12)·x3.(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)证明：f(x)＞0.易错辨析　忽视对指数函数的底数分类讨论致误例5　若函数y＝a x(a＞0，且a≠1)在[1，2]上的最大值与最小值的差为a2，则a的值为( )A．12 B．32C．23或2 D．12或32解析：当a＞1时，y＝a x在[1，2]上的最大值为a2，最小值为a，故有a2－a＝a2，解得a＝32或a＝0(舍去)．当0＜a＜1时，y＝a x在[1，2]上的最大值为a，最小值为a2，故有a－a2＝a2，解得a＝12或a＝0(舍去)．综上，a＝32或a＝12.答案：D易错警示课堂十分钟1．已知a＝40.1，b＝0.40.5，c＝0.40.8，则a，b，c的大小关系正确的是( )A．c＞b＞a B．b＞a＞cC．a＞b＞c D．a＞c＞b2．设f(x)＝(12)|x|，x∈R，那么f(x)是( )A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数3．若函数f(x)＝a x(a＞0且a≠1)在[−2，1]上的最大值为4，最小值为m，实数m 的值为( )A．12B．14或12C．116D．12或1164．不等式23－2x＜0.53x－4的解集为________．5．已知函数f(x)＝2－x2＋2x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在[0，3]上的值域．第2课时　指数函数的图象与性质(2)新知初探·课前预习要点一(1)指数函数　(2)指数函数图象　(3)中间值要点二(1)单调性　(2)以a为底的指数幂　单调性要点三(1)相同　(2)相同　相反[基础自测]1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．解析：y＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以排除A；y＝|x|是偶函数，所以排除B；y＝2x为非奇非偶函数，所以排除C.答案：D3．解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.2，所以0.90.2＞0.90.5.答案：D4．解析：函数y＝2|x|的图象如图．由图可知，函数y＝2|x|的单调递减区间是(－∞，0].答案：(－∞，0]题型探究·课堂解透例1　解析：(1)A中，函数y＝ 1.5x在R上是增函数，∵2.5<3.2，∴1.52.5<1.53.2，A正确；B中，函数y＝0.6x在R上是减函数，∵－1.2>－1.5，∴0.6－1.2<0.6－1.5，B不正确；C中，由指数函数的性质，知1.50.3>1.50＝1，而0.81.2<0.80＝1，∴1.50.3>0.81.2，C正确；D中，在同一直角坐标系内，画出y＝0.3x，y ＝0.2x两个函数的图象，由图象得0.30.4>0.20.5，D不正确．故选BD.(2)先根据幂的特征，将这4个数分类：①负数：(−23)3；②大于1的数：(43)13，223；③大于0且小于1的数：(34)12.也可在同一平面直角坐标系中，分别作出y=(43)x，y=2x的图象，再分别取x=13，x=23，比较对应函数值的大小，如图)故有(−23)3<(34)12<(43)13<223.答案：(1)BD　(2)(−23)3<(34)12<(43)13<223例2　解析：(1)3x－2＞1⇒3x－2＞30⇒x－2＞0⇒x＞2，所以解集为(2，＋∞)．(2)因为a x＋1＞(1a)5−3x，所以当a＞1时，y＝a x为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.当0＜a＜1时，y＝a x为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)．答案：(1)(2，＋∞)　(2)见解析跟踪训练1　解析：(1)因为函数y＝x0.1在(0，+∞)上为增函数，则a＝20.1>0.30.1＝c，指数函数y＝0.3x为R上的减函数，则b＝0.33<0.30.1＝c.因此，b<c<a.(2)(13)x2−2＝32−x2≤3，∵y＝3x是R上的增函数，∴2－x2≤1，解得x≥1或x≤－1，∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}．答案：(1)C　(2)见解析例3　解析：(1)设u＝1x，则y＝3u，对任意的0<x1<x2，有u1>u2.又因为y＝3u在R上是增函数，所以y1>y2，所以y＝31x在(0，＋∞)上是减函数．对任意的x1<x2<0，有u1>u2，又因为y＝3u在R上是增函数，所以y1>y2，所以y＝31x在(－∞，0)上是减函数．所以函数y＝31x的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．故选D.(2)设y＝a u，u＝x2＋2x－3，由u＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，得u在(－∞，－1)上为减函数，在[－1，＋∞)上为增函数．当a>1时，y关于u为增函数；当0<a<1时，y关于u为减函数，∴当a>1时，原函数的增区间为[－1，＋∞)，减区间为(－∞，－1)；当0<a<1时，原函数的增区间为(－∞，－1)，减区间为[－1，＋∞)．答案：(1)D　(2)见解析跟踪训练2　解析：令u＝x2－2x，则原函数变为y＝(13)u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y＝(13)u 在(－∞，＋∞)上单调递减，∴y ＝(13)x 2−2x在(－∞，1)上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．例4　解析：(1)函数f (x )＝1－a·3x 3x +1(2b －6＜x ＜b )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )恒成立，即1－a·3−x 3−x +1＝－1＋a·3x 3x +1，整理得(a －2)(3x ＋1)＝0，所以a ＝2，因为2b －6＋b ＝0，解得b ＝2，所以a ＝2，b ＝2.(2)证明：由(1)得f (x )＝1－2·3x 3x +1，x ∈(－2，2)，设任意取x 1，x 2∈(－2，2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(1−2·3x 13x 1+1)−(1−2·3x 23x 2+1)＝2(3x 2−3x 1)(3x 1+1)(3x 2+1)，因为x 1＜x 2，所以3x 1<3x 2，所以3x 2−3x 1＞0，而3x 1+1>0，3x 2＋1＞0，所以2(3x 2−3x 1)(3x 1+1)(3x 2+1)>0，所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )是区间(2b －6，b )上的减函数．(3)f (m －2)＋f (2m ＋1)＞0，所以f (m －2)＞－f (2m ＋1)，因为函数f (x )是奇函数，所以f (m －2)＞f (－2m －1)，因为函数f (x )是区间(－2，2)上的减函数，所以{m−2<−2m−1−2<m−2<2−2<2m +1<2，解得0＜m ＜13，所以实数m的取值范围是(0，13).跟踪训练3　解析：(1)由题意得2x－1≠0，即x≠0，∴f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)．(2)由(1)知，f(x)的定义域关于原点对称．令g(x)＝12x−1+12＝2x+12(2x−1)，φ(x)＝x3，则f(x)＝g(x)·φ(x)．∵g(－x)＝2−x+12(2−x−1)＝1+2x2(1−2x)＝－g(x)，φ(－x)＝(－x)3＝－x3＝－φ(x)，∴f(－x)＝g(－x)·φ(－x)＝[－g(x)]·[－φ(x)]＝g(x)·φ(x)＝f(x)，∴f(x)＝(12x−1+12)·x3为偶函数．(3)证明：当x>0时，2x>1，∴2x－1>0，∴12x−1+12>0.∵x3>0，∴f(x)>0.由偶函数的图象关于y轴对称，知当x<0时，f(x)>0也成立．故对于x∈(－∞，0)∪(0，+∞)，恒有f(x)>0.[课堂十分钟]1．解析：因为40.1>1，0.40.8<0.40.5<1，所以a>b>c.答案：C2．解析：因为f(－x)＝(12)|−x|＝(12)|x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数．又当x＞0时，f(x)＝(12)x在(0，＋∞)上是减函数，答案：D3．解析：函数f(x)＝a x在[−2，1]上：当0<a<1时，f(x)单调递减，最大值为f(－2)＝a－2＝4，最小值f(1)＝a＝m，即有m＝12；当a>1时，f(x)单调递增，最大值为f(1)＝a＝4，最小值f(－2)＝a－2＝m，即有m＝116；综上，有m＝12或m＝116.答案：D4．解析：原不等式可化为23－2x<24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以3－2x<4－3x，解得x<1，则解集为{x|x<1}．答案：{x|x<1}5．解析：(1)函数y＝2－x2＋2x的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1].(2)由(1)知f(x)在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，且f(0)＝1，f(1)＝2，f(3)＝18，所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(3)＝18，所以f(x)的值域为[18，2].。

2.4 幂函数知道幂函数也是一类函情况和性质二、 预习指导 1. 预习目标(1)了解幂函数的概念，会画出幂函数2132,1,,,x y xy x y x y x y ===== 的图象，根据上述幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质.(2)了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式值的大小.(3)进一步体会数形结合的思想. 2. 预习提纲(1)阅读课本P72,了解幂函数的概念，区别幂函数与指数函数.(2)结合课本P72例1，在同一坐标系中作出函数2132,1,,,x y xy x y x y x y =====的图象.观察上述图象填写下表：(3)结合(2)中图象与表格，归纳幂函数αx y =的一般性质. 3. 典型例题 (1)幂函数的概念xyO例1 已知221()(2),mm f x m m x m +-=+为何值时，()f x 是幂函数？分析：根据幂函数的概念，建立关于m 的方程求解． 解：由题得：221m m +=，解得：1m =-点评：形如“y x α=(α为常数)”的函数叫幂函数，这是一个形似概念，x α的系数是1. 例2 若幂函数()y f x =的图象经过点19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，求(25)f 的值. 分析：先用待定系数法求出幂函数的解析式，再求(25)f 的值. 解：设()f x x α=，因为()f x 的图象经过点19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以193α=， 即1233α-=，12α∴=-，12()f x x -∴=，121(25)255f -∴==.点评：注意193α=中，α的求法. (2)幂函数的图象与性质例2 判断幂函数是否具有下列性质：(1) 都过(0，0)点； (2) 都过(1，1)点；(3) 不是奇函数就是偶函数； (4) 至少在(0，+∞)上有定义； (5) 不可能是R 上的减函数；(6) (0，+∞)是幂函数()y x Q αα=∈值域的子集. 分析：画出幂函数的图象，观察图象，逐一判断． 解：图略幂函数具有性质⑵ ⑷ ⑸性质⑴的反例为1y x -=；性质⑶的反例为12y x =；性质⑹的反例为0(0)y x x =≠. 点评：要熟记幂函数在第一象限的图象与性质，其它象限根据奇偶性来定. 例3 画出23y x =的图形，并讨论23y x =的定义域、值域、奇偶性、单调性. 分析：根据作出的23y x =的图形“看图说话”. 解：由题得：23y x =的定义域为R ；值域为[0,)+∞；偶函数；在[0,)+∞上单调递增，在(,0]-∞点评：研究幂函数的性质要充分依靠幂函数的图象. 例4 已知幂函数223*()mm y x m N --=∈分析：结合幂函数图象建立m 的方程，但注意0(0)y x x =≠解：由题得：2223023m m m m ⎧--≤⎨--⎩①②为偶数，由①解得：13m -≤≤，又*m N ∈，∴1,2,3m m m ===或或， 分别代入②检验得：1, 3.m m ==或 点评：容易遗漏0α=的情形. 例5 比较下列各组数的大小(1)1,7.1,5.13131； (2)3432321.1,)710(,)22(----；(3)535232)8.1(,9.3,8.3---； (4)5.14.15,3.分析：(1)考察幂函数13y x =；(2)考察幂函数23y x-=；(3)(4)都可插入中间量.解：(1)3111= ，15.17.1>>且31x y =在R 上单调递增，31313115.17.1>>∴.(2)32343232323221.11.1,)107()710(,)22()22(-----==-=-，32-=x y 在),0(+∞上单调递减，且21.122107<<，32323221.1)22()107(--->>∴，即22433310()( 1.17--->>. (3)利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0)8.1(,19.3,,18.30535232<-><<--533252)8.1(8.39.3--->>∴(4)它们的底和指数都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数5.13，利用幂函数和指数函数的单调性得5.15.14.1533<<点评：比较幂形式的两个数的大小，一般思路是：(1)若能化为同指数，则用幂函数的单调性；(2)若能化为同底数，则用指数函数的单调性；(3)若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需找一个恰当的数作为桥梁来比较大小. 4. 自我检测(1)下列函数中是幂函数的有__________．①23x y =；②2x y =+1；③x y 1-=；④xy 1=；⑤32x y =；⑥x y 2=．(2)已知幂函数:①3x y =；②21x y =；③ 1-=x y ；④32x y =； 其中定义域是R 的函数有__________；是偶函数的有__________． (3)幂函数)(x f y =的图象过点(4，2)，则=)8(f __________． (4)幂函数1-=x y 在[1，2]上的最大值是__________．(5)已知函数①x y =；②2x y =；③2-=x y ；④xy 2=其中定义域是R 且在R 上单调递增的有__________．(6)函数22)33()(++-=m x m m x f 是幂函数，且函数)(x f 为偶函数，则=m __________．三、课后巩固练习A 组1．在以下四个函数：232334,,y x y x y x y x -====与中，定义域为R 的函数为__________． 2．(1)函数122(2)y x x -=-的定义域为_________．(2)2324()(log 1)f x x =-的定义域为_________．3．在以下四个函数：212332,,y x y x y x y x -====与中，值域为[0,)+∞的函数共_____个． 4． 函数13y x =的图象是( )5．已知函数12()f x x =，若()1f b <，则实数b 的取值范围是___________ ．6.(1)设1{1,1,,3}2α∈-，则使函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为________．(2)已知幂函数223()()m m f x x m Z --=∈的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，则m =___________ ．7．在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v (单位：s cm /3)与管道半径r (单位：cm )的四次方成正比，若气体在半径为3cm 的管道中，流量速率为400s cm /3，(1)求该气体通过半径为r 的的管道时，流量速率v 的表达式；(2)若气体通过的管道半径为5cm ，计算气体的流量速率(精确到1s cm /3)．B 组8．给出下列四个命题：① 幂函数的图象都通过(0，0)，(1，1)两点；② 当α<0时，幂函数y x α=的值在定义域内随x 的增大而减少； ③ 幂函数的图象不可能出现在第四象限；④ 当幂函数y x α=的图象是一条直线时，α=0或α=1． 其中正确的命题共有__________个．9．如图所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，24比较1,,,,,04321αααα的大小关系为___________． 10.(1)函数234()()mm f x x m Z --=∈是幂函数，当0x >时，()f x 是减函数，则m 的取值的集合为___________． (2)已知幂函数23()mm f x x --=为奇函数，且在区间()0,+∞上是减函数()2m N m *∈≥且，则(2011)f -_______(2012)f -(填写“>”、“=”或“<”) ． 11．求函数23(2)y x -=+的定义域、值域，并讨论其单调性. ．12．比较大小：(1) 若0a <，比较12,(),0.22aa a的大小； (2) 若10a -<<，比较1333,,a a a 的大小． 13．x y -+=31的简图，并写出单调区间．C 组14．已知1155(3)(12)a a ---<+，求a 的取值范围．幂四、 学习心得五、 拓展视野并非危言耸听公元1972年尼克松再次当选为美国总统后，建议美苏两国联合攻克癌症，美方赠送了23种致癌病毒，苏方回赠了六名癌症患者的癌细胞标本.翌年一月，美国癌症研究中心将赠送的癌细胞标本分送给几位科学家研究，其中一份送到了加州细胞培养实验所所长尼尔森芮斯博士手上.尼尔森芮斯经过几番周折，终于弄清楚了苏方赠送的六个标本全是二十多年前死去的美国黑人拉克丝的细胞.拉克丝于1951年10月死于一种罕见的子宫颈癌，这种特殊的癌细胞具有极强的繁殖力和生命力，拉克丝从被发现第一个病灶到死亡，整个过程不足8个月.科学家们提取这种细胞加以培养，发现它竟以x A y 20⋅=(0A 为原始数量，x 为天数)这样的指数曲线疯狂生长，每24小时便增加一倍.就这样这种新发现的癌细胞被命名为“海拉”，并被严格控制于实验室. “海拉”在不足一个月的时间里便能增加数千万倍，这使过去一直认为的健康细胞“自发”转变为癌细胞的神秘现象得到了新的解释，原来所谓“自发”的转变，只不过是癌细胞消灭健康细胞并占领了整个培养物！事隔二十多年，“海拉”不仅没有死亡，而且还出现在了莫斯科，于是尼尔森芮斯博士撰文向全世界敲响了警钟：“如果听任‘海拉’无抑制生长，它们很可能已经占领整个世界！”这是危言耸听吗？不！这是科学的结论.如果任其生长，一年后其数量为36502⋅=A y ，这个数字有多大？我们利用对数来计算一下：=+=36502lg lg lg A y ≈+2lg 365lg 0A 3010.0365lg 0⨯+A865.109)lg(0=∴A y，从而01090865.10910328.710A A y ⨯≈=这么多的细胞不必说占领地球，就是占领整个宇宙也不算过分！好在人类已经学会了对生物的有效控制，才制止了这种有害生物指数般的生长和繁殖.具有讽刺意味的是：人类虽然很早就注意控制生物，却迟迟才注意控制自己，世界人口依然按一条可怕的指数曲线在增长着！公元初地球上的人口不足2亿5千万，公元1650年世界人口才达5亿，我们可以计算这段时间内世界人口的增长率P ：165088)1(105.2105P +⨯=⨯ ，1650)1(2P +=∴)1lg(16502lg P +=，0001824.016503010.0)1lg(=÷=+P ， 042.0,00042.11==+∴P P %这就是说公元后的1650年里，世界人口平均每年只增长万分之四多一些.然而，从公元1650年到公元1800年仅一个半世纪，世界人口又翻了一番，可算出这段时间增长率为%46.0，比前面高了10倍！而从1800年到1930年，世界人口再次翻番，达20亿.1960年达30亿，1975年达40亿，1987年达50亿，------世界人口沿着一条越来越陡峭的曲线直指上升！科学家告诉我们，我们赖以生存的地球最多只能养活(80～100)亿人口，但是按目前人口的增长速度，2000年已达65亿，2025年将突破100亿！再这样下去，地球将无法承受，人类将最终毁灭自己！这是危言耸听吗？不！这是科学向人类发出的警告！。

4．5 增长速度的比较问题导学预习教材P38－P40的内容，思考以下问题： 1．平均变化率是如何定义的？ 2．如何用平均变化率描述增长速度？3．线性增长、指数增长、对数增长有什么关系？1．平均变化率我们已经知道，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2](x 1<x 2时)或[x 2，x 1](x 1>x 2时)上的平均变化率为Δf Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1. 也就是说，平均变化率实质上是函数值的改变量与自变量的改变量之比，这也可以理解为：自变量每增加1个单位，函数值平均将增加ΔfΔx 个单位．因此，可用平均变化率来比较函数值变化的快慢．2．几类不同增长的函数模型 (1)一次函数模型一次函数模型y ＝kx (k >0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型指数函数模型y ＝a x(a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“爆炸式增长”．(3)对数函数模型对数函数模型y ＝log a x (a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型当x >0，n >1时，幂函数y ＝x n是增函数，且当x >1时，n 越大其函数值的增长速度就越快．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型．( ) (2)对任意的x ＞0，kx ＞log a x .( ) (3)对任意的x ＞0，a x＞log a x .( )(4)在指数函数模型、对数函数模型、一次函数模型中增长速度较慢的函数模型是对数函数模型．( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是( ) A ．y ＝e xB ．y ＝ln xC ．y ＝3xD ．y ＝e －x答案：A函数f (x )＝x 从0到2的平均变化率为( ) A.22B ．1C ．0D ．2解析：选A.由题意可知，函数f (x )＝x 从0到2的平均变化率为f （2）－f （0）2－0＝22，故选A.平均变化率的比较(1)在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①(2)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图像如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速率分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________．【解析】 (1)Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx ＝－1013.所以k 3＞k 2＞k 1＞k 4，故应选B.(2)v 1＝s （t 1）－s （t 0）t 1－t 0＝k OA ，v 2＝s （t 2）－s （t 1）t 2－t 1＝k AB ，v 3＝s （t 3）－s （t 2）t 3－t 2＝k BC ，又因为k BC ＞k AB ＞k OA ， 所以v 3＞v 2＞v 1.【答案】 (1)B (2)v 3＞v 2＞v 1求平均变化率的主要步骤(1)求Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)求Δx ＝x 2－x 1.(3)求平均变化率Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1.1．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( )A ．k 1＜k 2B ．k 1＞k 2C ．k 1＝k 2D ．无法确定解析：选D.k 1＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝2x 0＋Δx ，k 2＝f （x 0）－f （x 0－Δx ）Δx＝2x 0－Δx ，又Δx 可正可负且不为零，所以k 1，k 2的大小关系不确定，选D.2.如图显示物体甲、乙在时间0到t 1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是________．①在0到t 0范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率； ②在0到t 0范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率； ③在t 0到t 1范围内，甲的平均速率大于乙的平均速率； ④在t 0到t 1范围内，甲的平均速率小于乙的平均速率． 解析：由图像知，0～t 0范围：v 甲＝v 乙＝s 0t 0；t 0～t 1范围：v 甲＝s 2－s 0t 1－t 0，v 乙＝s 1－s 0t 1－t 0.因为s2－s0＞s1－s0，t1－t0＞0，所以v甲＞v乙．所以③正确．答案：③函数模型增长差异的比较甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程f i(x)(i ＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，有以下结论：①当x＞1时，甲走在最前面；②当x＞1时，乙走在最前面；③当0＜x＜1时，丁走在最前面，当x＞1时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，那么最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为________．【答案】③④⑤常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝a x(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝log a x(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．1．下列函数中，增长速度越来越慢的是( )A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x2D．y＝6x解析：选B.D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．2.“红豆生南国，春来发几枝”．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是( )A．指数函数y＝2tB．对数函数y＝log2tC．幂函数y＝t3D．二次函数y＝2t2解析：选A.根据已知所给的关系图，观察得到图像在第一象限，且从左到右图像是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数拟合最好，故选A.不同增长函数模型的图像特征函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．(1)指出图中C1，C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．【解】(1)由函数图像特征及变化趋势，知曲线C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，曲线C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)＞f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)＜f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)＞f(x)．g(x)呈直线增长，函数值变化是均匀的，f(x)随着x的增大而逐渐增大，其函数值变化得越来越慢．由图像判断指数函数、对数函数和一次函数的方法根据图像判断增长型的指数函数、对数函数和一次函数时，通常是观察函数图像上升得快慢，即随着自变量的增大，图像最“陡”的函数是指数函数；图像趋于平缓的函数是对数函数；图像增长速度不变的是一次函数．1．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：解析：从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图像(图略)，可知变量y1呈指数函数变化．答案：y12.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比，药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中所提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少要经过________小时后，学生才能回到教室．解析：(1)由图像可知，当0≤t ≤0.1时，y ＝10t ；当t ＞0.1时，由1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1160.1－a，得a ＝0.1，则当t ＞0.1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －110.故y ＝⎩⎨⎧10t ，0≤t ≤110，⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －110，t ＞110. (2)由题意可知，⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －110＜0.25，得t ＞0.6.答案：(1)y ＝⎩⎨⎧10t ，0≤t ≤110，⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －110，t ＞110(2)0.61．函数y ＝2x 在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为( ) A ．x 0＋Δx B ．1＋Δx C ．2＋ΔxD ．2解析：选D.由题意，可得平均变化率f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝2（x 0＋Δx ）－2x 0Δx＝2，故选D.2．下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝log 2xC ．y ＝2xD ．y ＝2x答案：D3．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：则x ，y ) A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋b D ．y ＝a ＋b x答案：B4．现测得(x ，y )的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型，甲：y ＝x2＋1，乙：y ＝3x －1，若又测得(x ，y )的一组对应值为(3，10.2)，则应选用________作为函数模型．答案：甲[A 基础达标]1．函数y ＝x 2＋1在[1，1＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．2 B ．2x C ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2解析：选C.依题意，所求平均变化率为（1＋Δx ）2－12Δx ＝2＋Δx ，故选C.2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43D ．0.44解析：选B.Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2＋0.1)－f (2)＝(2.1)2＋1－(22＋1)＝0.41.故选B.3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图像是( )解析：选C.小明匀速运动时，所得图像为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：) A ．y ＝2x －2 B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．y ＝log 2xD ．y ＝12(x 2－1)解析：选D.法一：相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5，3.5，4.5，6，基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D.法二：比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x ＝4，经检验易知选D. 5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f (x )的图像大致是( )解析：选 D.设该林区的森林原有蓄积量为a ，由题意知，ax ＝a (1＋0.104)y，故y ＝log 1.104x (x ≥1)，所以y ＝f (x )的图像大致为D 中图像．6．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________． 解析：当x 变大时，x 比ln x 增长要快， 所以x 2要比x ln x 增长得快． 答案：y ＝x 27.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y (℃)随着时间t (min)变化的情况由计算机记录后显示的图像如图所示．现给出下列说法：①前5 min 温度增加的速度越来越快；②前5 min 温度增加的速度越来越慢；③5 min 以后温度保持匀速增加；④5 min 以后温度保持不变．其中正确的说法是________．解析：因为温度y 关于时间t 的图像是先凸后平，所以前5 min 每当t 增加一个单位，相应的增量Δy 越来越小，而5 min 后y 关于t 的增量保持为0，则②④正确．答案：②④8．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图像，A 对应________；B 对应________；C 对应________；D 对应________．解析：A 容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B 容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C ，D 容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C 容器细，D 容器粗，故水高度的变化为C 容器快，与(3)对应，D 容器慢，与(2)对应．答案：(4) (1) (3) (2)9．同一坐标系中，画出函数y ＝x ＋5和y ＝2x的图像，并比较x ＋5与2x的大小．解：根据函数y ＝x ＋5与y ＝2x的图像增长差异得： 当x ＜3时，x ＋5＞2x， 当x ＝3时，x ＋5＝2x ， 当x ＞5时，x ＋5＜2x .10．某国2016年至2019年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：(1) (2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较； (3)利用关系式预测2033年该国的国内生产总值． 解：(1)画出函数图像，如图所示．从函数的图像可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．把直线经过的两点(0，8.206 7)和(3，10.239 8)代入上式，解得k ＝0.677 7，b ＝8.206 7.所以函数关系式为y ＝0.677 7x ＋8.206 7.(2)由得到的函数关系式计算出2017年和2018年的国内生产总值分别为 0．677 7×1＋8.206 7＝8.884 4(万亿元)， 0．677 7×2＋8.206 7＝9.5621(万亿元)． 与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．(3)2033年，即x ＝17时，由(1)得y ＝0.677 7×17＋8.206 7＝19.727 6， 即预测2033年该国的国内生产总值约为19.727 6万亿元．[B 能力提升]11．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I 与电线半径r 的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为( )A ．60安B ．240安C ．75安D ．135安解析：选D.由已知，设比例常数为k ，则I ＝k ·r 3.由题意，当r ＝4时，I ＝320，故有320＝k ×43，解得k ＝32064＝5，所以I ＝5r 3.故当r ＝3时，I ＝5×33＝135(安)．故选D.12．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y (万公顷)关于年数x (年)的函数关系较为近似的是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x )C ．y ＝2x10D ．y ＝0.2＋log 16x解析：选C.将x ＝1，2，3，y ＝0.2，0.4，0.76分别代入验算．13．某品牌汽车的月产能y (万辆)与月份x (3＜x ≤12且x ∈N )满足关系式y ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3＋b .现已知该品牌汽车今年4月、5月的产能分别为1万辆和1.5万辆，求该品牌汽车7月的产能为多少万辆．解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝1，14a ＋b ＝1.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，则y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －4＋2， 当x ＝7时，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋2＝1.875. 故该品牌汽车7月的产能为1.875万辆．[C 拓展探究]14．某鞋厂从今年1月份开始投产，并且前四个月的产量分别为1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．由于产品质量好，款式受欢迎，前几个月的产品销售情况良好．为了使推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量．以这四个月的产品数据为依据，用一个函数模拟产品的月产量y 与月份x 的关系，模拟函数有三个备选：①一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，②二次函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，③指数型函数m (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b ＞0，b ≠1)．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人，假如你是厂长，将会采用什么办法估计以后几个月的产量？解：将已知前四个月的月产量y 与月份x 的关系记为A (1，1)，B (2，1.2)，C (3，1.3)，D (4，1.37)．①对于一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，将B ，C 两点的坐标代入，有f (2)＝2k ＋b ＝1.2，f (3)＝3k ＋b ＝1.3，解得k ＝0.1，b ＝1，故f (x )＝0.1x ＋1.所以f (1)＝1.1，与实际误差为0.1，f (4)＝1.4，与实际误差为0.03.②对于二次函数g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，将A ，B ，C 三点的坐标代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1.2，9a ＋3b ＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.05，b ＝0.35，c ＝0.7，故g (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.所以g (4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3，与实际误差为0.07.③对于指数型函数m (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b ＞0，b ≠1)，将A ，B ，C 三点的坐标代入，得 ⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝1.2，ab 3＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4.故m(x)＝－0.8×0.5x＋1.4.所以m(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35，与实际误差为0.02.比较上述3个模拟函数的优劣，既要考虑到剩余点的误差值最小，又要考虑生产的实际问题，比如增产的趋势和可能性，可以认为m(x)最佳，一是误差值最小，二是由于新建厂，开始随着工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量明显上升，但到一定时期后，设备不更新，那么产量必然要趋于稳定，而m(x)恰好反映了这种趋势，因此选用m(x)＝－0.8×0.5x ＋1.4来估计以后几个月的产量比较接近客观实际．。

引入复习1、有理指数幂的意义及其运算性质2、指数函数、对数函数的概念、图象及性质（1,0≠>a a ）过定点 单调性3、幂函数的图象与性质4、课前练习⑴、求值： nnan n a )( 625lg 20lg 2lg 50lg 5lg -⋅-⋅⑵、已知31=+-aa ，求22-+aa ，33-+aa，2121-+aa,2121--aa的值。

例题剖析 例1、⑴、比较大小：2133231)43(,)32(,2,)34(-比较大小：9.0log ,7.0log ,7.0log2.032比较大小：9.0log ,1.2,3.0log ,32312.031⑵、函数)1,0(312≠>-=-a a a y x 的图象必经过定点_________；函数)1,0(3)12(log ≠>--=a a x y a的图象必经过定点_________； 函数)21(312≠-=-a x y a 的图象必经过定点_________；⑶、若指数函数xa y )12(-=在R 上是单调增函数,则a 的取值范围是________若对数函数x y a )12(log +=在),0(+∞上是单调减函数，则a 的取值范围是_____若幂函数12+=a x y 在定义域上是单调减函数,则a 的取值范围是_____例2、求函数的定义域⑴、118-=x y ⑵、x y )31(1-=⑶、521log 2--=x x y ⑷、4321)3()1(--+-=x x y例3、求函数的值域 ⑴、1216-=x y ⑵、1762)21(+-=x x y ⑶、)8(log25+-=x y例4、已知函数)(322Z n x y n n ∈=--的图象与两坐标轴均无交点，且其图象关于y 轴对称。

⑴、求出n 的值； ⑵、画出函数图象的示意图。

课后作业班级：高一( ）班 姓名__________一、基础题 1、化简：⑴、65212121132)(ba bab a ⋅⋅⋅⋅--- ⑵、4223ba ab b a2、计算：⑴、1412121)32(10)427()23(10)3001(---⨯-⨯⨯+⑵、)21)(21)(21)(21)(21(214181161321-----+++++3、已知322=+-x x，求x x -+44，x x -+88，x x )22()2(+，x x 33)22()2(+的值。

第四章 指数函数、对数函数与幂函数——高一数学人教B 版(2019)必修第二册单元检测卷（B 卷）【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若函数是指数函数，则( ).A.或 B. C. D.且2.已知，是方程的两个实根，则( )A.2B.4C.6D.83.已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则( )D.4.已知，，，则( )A. B. C. D.5.幂函数，，，在第一象限的图象如图所示，则下列不等关系成立的是( )A. B. C. D.6.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天的“退步”率都是，一2(2)x y a a =-1a =3a =1a =3a =0a >1a ≠lg a lgb 22410x x -+=2lg()lg a ab b ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭()2()1m f x m m x =+-(2)f =2log 3a =0.10.8b =3log 5c =c a b>>b c a>>a b c>>a c b>>a y x =b y x =c y x =d y x =b c a d >>>a d c b >>>b c b b c d a >>>b b ca dbc >>>365(11%)+1%3651.0137.7834≈365(11%)-1%年后是倍.那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过( )（参考数据：，，）A.70天B.80天C.90天D.100天7.若x 满足不等式，则函数的值域是( )A. B. C. D.8.已知是奇函数，若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的值域为( )A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若幂函数是奇函数，则m 的值为( )A.1B.2C.3D.410.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.设，用表示不超过x 的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数的叙述正确的是( )A.是偶函数 B.是奇函数C.在R 上是增函数D.的值域是11.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹3650.99≈1482≈lg101 2.0043≈lg 99 1.9956≈lg 20.3010≈221139x x -+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭2x y =1,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦[2,)+∞21()log 1f x x a ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭()g x ()f x y x =()g x 11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭(,2)(2,)-∞-+∞ (2,2)-()2231()69m m f x m m x -+=-+x ∈R []x []y x =[ 3.5]4-=-[2.1]2=e ()1e x x f x =+()[()]x f x =()g x ()f x ()f x ()g x {1,0,1}-组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：圆O 的圆心在原点，若函数的图象将圆O 的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O 的一个“太极函数”.下列说法正确的有( )A.对于圆O ，其“太极函数”只有1个B.函数是圆O 的一个“太极函数”C.函数是圆O 的“太极函数”D.函数是圆O 的一个“太极函数”三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数，则_________.13.若幂函数在上单调递增，则实数_________.14.设函数则不等式的解集为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数，且的图象经过点，.（1）求函数的解析式；（2）设函数，求函数的值域.16.已知函数，.（1）若是偶函数，求实数a 的值及函数的值域；（2）若函数在区间上单调递增，求实数a 的取值范围.17.已知幂函数，且.()x f x b a =⋅(0a >1)a ≠(1,4)A (3,16)B ()f x ()()()(2)g x f x f x x =--≥()g x a ∈R ()f x ()f x ()f x 22,0,(),0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩3()3f x x x =-)()lnf x x =+2()4log x f x x =+12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()22211mm y m m x --=--[0,)+∞m =242,1,()log (3),1,x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩1()24f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭()22()log 2f x x ax =-+[]2,3()21()713m f x m m x -=-+()()f x f x =-（1）求函数的解析式；（2）若，求的最小值.18.在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长.某地区2021年底新能源汽车保有量为1500辆，2022年底新能源汽车保有量为2250辆，2023年底新能源汽车保有量为3375辆.（1）设从2021年底起经过x 年后新能源汽车保有量为y 辆，根据以上数据，试从（，且）和（，且）两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势并说明理由，求出新能源汽车保有量y 关于x 的函数关系式；（2）2021年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，且传统能源汽车保有量每年下降，若每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.（参考数据：，，）19.已知定义在R 上的函数满足：对任意都有，且当时，.（1）求的值，并证明：为奇函数；（2）证明：函数在R 上单调递增；（3）若对任意恒成立，求实数k 的取值范围.()f x ()g x =()()1g a g b +=()()f a f b +x y a b =⋅0a >0b >1b ≠log b y a x =⋅0a >0b >1b ≠2%lg 20.30≈lg 30.48≈lg 70.85≈()f x ,x y ∈R ()()()f x y f x f y +=+0x >()0f x >(0)f ()f x ()f x ()()124820x x x x f k f +⋅+-->[1,2]x ∈-答案以及解析1.答案：C解析：由指数函数的概念知，解得.2.答案：B解析：由已知，得，即.又，故选B.3.答案：C解析：因为为幂函数，所以，即，解得或，则或.又因为的图象与坐标轴没有公共点，所以，则4.答案：D解析：因为，.故选D.5.答案：C解析：由图可知，，，所以，所以，又，，所以.故选C.6.答案：B，即，两边同时取对数得，化简得，所以.故当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过80天.故选B.2(2)10 1 a a a ⎧-=⎨>≠⎩且3a =lg lg 2a b +=lg()2ab =lg lg a b ⋅=222lg()lg 2(lg lg )2[(lg lg )4lg lg ]a ab a b a b a b b ⎛⎫⋅=-=+-⋅ ⎪⎝⎭212242242⎛⎫=⨯-⨯=⨯= ⎪⎝⎭()f x 211m m +-=22(2)(1)0m m m m +-=+⋅-=2m =-1m =2()f x x -=()f x x =()f x 2()f x x -=2(2)2f -==22log 3log >0.100.81<=331log 5log <<=233log 3log 512>>>>c b >>0a <01d <<1b c >>b c d a >>>b c b c >1c c >01b d <<0b c b b c d a >>>>5=101599x⎛⎫= ⎪⎝⎭101lg lg 599x ⎛⎫= ⎪⎝⎭101101lg lg (lg101lg 99)lg 59999xx x ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭lg 51lg 210.301080lg101lg 99lg101lg 99 2.0043 1.9956x --==≈≈---7.答案：B解析：由可得，因为在R 上单调递增，所以，即，解得，所以，即函数的值域是，故选B.8.答案：A解析：因为可得或，所以的定义域为或.因为是奇函数，定义域关于原点对称，所以，解得所以的定义域为.因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以与互为反函数，故的值域即为的定义域.故选A.9.答案：BD解析：因为函数是幂函数，所以，解得或.当时，函数，此时函数为奇函数，满足题意；当时，函数，此时函数为奇函数，满足题意.故选BD.10.答案：BC解析：，，即，，则函数既不是奇函数也不是偶函数，A 错误；依题意，的定义域为R ，()2231()69mm f x m m x -+=-+2m =2m =()f x 4m =5()f x x =()f x ()f x 221139x x -+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭212(2)33xx +--≤3x y =2124x x +≤-+2230x x +-≤31x -≤≤31222x -≤≤2x y =1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦21()log 1f x x a ⎛=+ +⎝110x a x a ++=>+1x a <--x a >-()f x {1x x a <--∣}x a >-()f x 1a a --=a =()f x 11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()g x ()f x y x =()g x ()f x ()g x ()f x 11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2691m m -+=4m =11()f x x x-==e 1(1)[(1)]01e 2g f ⎡⎤==-=⎢⎥+⎣⎦11(1)[(1)]1e 12g f ⎡⎤-=-=-=-⎢⎥+⎣⎦(1)(1)g ≠-(1)(1)g g ≠--()g x e 11()1e 22x x f x =-=+因为，所以是奇函数，B 正确；因为函数在R 上单调递增，所以上是增函数，C 正确；因为，所以，则，则，D 错误.故选BC.11.答案：BD解析：对于A 选项，圆O 的“太极函数”不止1个，故A 错误；对于B 选项，函数当时，，当时，，故为奇函数，画出函数的简图如图所示，可知函数为圆O 的一个“太极函数”，故B 正确；对于C 选项，函数的定义域为R ，，也是奇函数，画出函数的简图如图所示，当且仅当函数图象与圆O 只有两个交点时，为圆O 的一个“太极函数”，故C 错误；e 111()()1e 21e 2x x x f x f x ---=-=-=-++()f x 1e x y =+y =1()2f x =-()f x ()f x ()f x 3()3()f x x x f x -=-+=-()f x ()f x e 0x >1e 1x +>1011e x <<+1()2f x -<<()[()]{1,0}g x f x ==-22,0,(),0,x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩0x >2()()f x x x f x -=-+=-0x <2()()f x x x f x -=+=-对于D 选项，函数的定义域为R ，，故为奇函数，，在上均单调递增，所以在R 上单调递增，画出函数的简图如图所示，可知函数是圆O 的一个“太极函数”，故D正确.故选BD.12.答案：1解析：因为，所以.13.答案：解析：由题意可得，解得或.若，则在上单调递减，不符合题意；若，则在上单调递增，符合题意.综上所述，.14.答案：解析：函数的大致图象如图所示，由图可知，函数是R 上的增函数，当时，))()lnln()f x x x f x -===-+=-ln y x =y =y x =(0,)+∞)()lnf x x =+()f x )()ln f x x =+2()4log xf x x =+122114log 21122f ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭1-211m m --=2m =1m =-2m =1y x -=(0,)+∞1m =-2y x =[0,)+∞1m =-7,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x ()f x 1x >.（1）当时，（2）当，，不等式成立.（3）当时，.综上所述，不等式的解集为.15.答案：（1）（2）解析：（1）将点，代入函数的解析式中，得，解得，，，，.（2），令，则()(1)2f x f >=114x ->x >1x <≤2()log (3)2f x x =+>114243044f x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1()24f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭1x ≤11()4242244f x f x x x ⎛⎫⎛⎫+-=-+--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1x <≤1()24f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭7,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1()2x f x +=15,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(1,4)A (3,16)B ()f x 3416ab ba =⎧⎨=⎩24a =0a > 2a ∴=2b =1()2x f x +=11()()()22x x g x f x f x +-+=--=-2x t =2x -=，，则上是递增函数，函数的值域为.16.答案：（1）；函数的值域是（2）解析：（1）若是偶函数，则，即，则，即恒成立，所以.经验证，时，为R 上的偶函数，符合题意.因为，所以，故函数的值域是.（2）因为函数在区间上单调递增，且为定义域上的增函数，所以在上单调递增，且时，，所以解得.故实数a 的取值范围是.17.答案：（1）（2）2解析：（1）幂函数，则，解得或.当时，，是偶函数，满足题意；当时，，是奇函数，不满足题意，舍去.故.()f x [1,)+∞(,3)-∞()f x ()()f x f x -=()()2222log 2log 2x ax x ax ++=-+2222x ax x ax ++=-+20ax =2x ≥ 4t ∴≥2y t =)+∞284y ≥-= ∴()g x 15,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭0a =0a =0a =()22()log 2f x x =+222x +≥()222()log 2log 21f x x =+≥=()f x [1,)+∞()f x []2,32log y t =22t x ax =-+[]2,3[2,3]x ∈220x ax -+>22,22220,a a ⎧≤⎪⎨⎪-+>⎩3a <(,3)-∞2()f x x =()21()713m f x m m x -=-+⋅27131m m -+=3m =4m =3m =2()f x x =4m =3()f x x =2()f x x =（2），.，时等号成立，故的最小值为2.18.答案：（1）（2）2030年底新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车的保有量解析：（1）由于新能源汽车保有量每年增长得越来越快，因此应该选择指数模型，应选函数模型是（，且），由题意得解得所以.（2）设从2021年底起经过x 年后传统能源汽车保有量为m 辆，则有，令，即，化简得，解得，故从2021年底起经过9年后，即2030年底新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车的保有量.19.答案：（1），证明见解析（2）证明见解析315002xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭0a >1b ≠1500,3,2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩50000(12%)x m =⨯-2398723100(12%)1001002100100x x x x ⎛⎫⨯⎛⎫⎛⎫⨯>⨯-=⨯=⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22()()1()11f x x g x f x x ===-++2211()()11111g a g b a b +=-+-=++2111b+=+()()2222222211()()11211211f a f b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=+=+++-=+++⋅+- ⎪⎣⎦++⎝⎭222211211b a a b ++=+≥=++=1b ==()()f a f b +x y a b =⋅0b >011500,2250,a b a b ⎧⋅=⎨⋅=⎩315002x y ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭3150050000(12%)2xx ⎛⎫⨯>⨯- ⎪⎝⎭lg 3(lg 3lg 2)2(2lg 7lg 22)x x +->++-2lg 38.442lg 32lg 22lg 7x ->≈+--(0)0f =（3）解析：（1）令，可得，可得.因为函数的定义域为R ，在等式中，令，有，所以，所以为奇函数.（2）证明：令，，则，设，则，所以.所以，即，所以函数在R 上单调递增.（3）因为，所以，又函数在R 上单调递增，所以，则.令，则，于是，当且仅当时，取最大值1，所以实数k 的取值范围为.(1,)+∞0x y ==(0)2(0)f f =(0)0f =()f x ()()()f x y f x f y +=+y x =-()()(0)0f x f x f +-==()()f x f x -=-()f x 1x x =2y x =-()()()()()121212f x x f x f x f x f x -=+-=-12x x >120x x ->()120f x x ->()()()12120f x f x f x x -=->()()12f x f x >()f x ()()124820x x x x f k f +⋅+-->()()()112482824x x x x x x x f k f f ++⋅>---=+-()f x 12824x x x x k +⋅>+-4142x x k >+-⋅2x t =1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦22414241(2)31x x t t t +-⋅=-+=--≤4t =2(2)3y t =--(1,)+∞。

4.2.1对数运算4.2.2对数运算法则课后篇巩固提升夯实基础1.若ln x-ln y=a,则ln-ln等于()A. B.a C. D.3a-ln=3-=3(ln x-ln2-ln y+ln2)=3(ln x-ln y)=3a.2.已知a>0,a≠1,x>y>0,n∈N+,下列各式:①(log a x)n=n log a x;②log a x=-log a;③=log a;④log a x;⑤log a x=log a;⑥log a x=lo x n;⑦.log a-=-log a-其中成立的有()A.3个B.4个C.5个D.6个②⑤⑥⑦正确.①式中n log a x=log a x n;③式中log a=log a x-log a y;④式中log a x=log a.3.(多选)已知函数f(x)=若f(a)=,则x的可能取值为()A.-1B.C.D.2a>0时,由log2a=,得a=,故C正确;当a≤ 时,由3a=,得a=-1,故A正确.4.如果关于lg x的方程lg2x+(lg 2+lg 3)lg x+lg 2lg 3=0的两根为lg x1,lg x2,那么x1x2的值为()A.lg 2·lg 3B.lg 2+lg 3C. D.-6由已知,得lg x1+lg x2=-(lg2+lg3)=-lg6=lg,又∵lg x1+lg x2=lg(x1x2),∴lg(x1x2)=lg.∴x1x2=.5.已知f(x5)=lg x,则f(2)等于()A.lg 2B.lg 32C.lgD.lg 2方法一)令x5=2,则x=,∴f(2)=lg lg2.(方法二)令x5=t,则x=,∴原函数可转化为f(t)=lg lg t,即f(x)=lg x,∴f(2)=lg2.6.若2a=3b=6,则=()A.2B.3C.D.12a=3b=6,∴a=log26,b=log36.∴=log62+log63=1.7.若3α=2,则log38-2log36用含a的代数式可表示为()A.a-2B.3a-(1+a)2C.5a-2D.3a-a23a=2,∴a=log32,log38-2log36=3log32-2(log33+log32)=log32-2=a-2.8.已知log32=a,则2log36+log30.5=.2=2log3(2×3)+log3=2(log32+log33)-log32=log32+2=a+2.9.log56·log67·log78·log89·log910=.=.10.若a=log43,则2a+2-a=,+1=.log312a=log43=log2,∴2a+2-a=-.∵=log34,1=log33,∴+1=log34+log33=log312.11.已知a,b,c为正数,且lg(ac)lg(bc)+1=0,则lg的取值范围是.-∞,-2]∪[2,+∞)lg c的一元二次方程有解问题进行处理.∵由题意,得(lg a+lg c)(lg b+lg c)+1=0,∴有(lg c)2+(lg a+lg b)lg c+lg a lg b+1=0.设lg c=t,则t2+(lg a+lg b)t+lg a lg b+1=0,t∈R,则关于t的方程t2+(lg a+lg b)t+lg a lg b+1=0有根,∴Δ=(lg a+lg b)2-4(lg a lg b+ )≥ .整理,得(lg a-lg b)2≥∴≥ .∴lg≥ 或lg≤-2,即lg的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).12.计算:log28+lg+ln-+(lg 5)2+lg 2lg 50.=3-3++2÷+(lg5)2+lg2(lg5+1)=+(lg5)2+(1-lg5)(1+lg5)=.能力提升1.设a>0,a≠1,x,y满足log a x+3log x a-log x y=3.(1)用log a x表示log a y;(2)当x取何值时log a y取得最小值?由题意得log a x+=3,∴=log a x+-3.∴log a y=(log a x)2-3log a x+3.(2)设log a x=t,t∈R,则有log a y=t2-3t+3=-(t∈R),∴当t=时,log a y取得最小值,此时log a x=,x=,即当x=时,log a y取得最小值.2.(1)已知5a=3,5b=4,求a,b,并用a,b表示log2512.(2)求值:2-(-π)0+log3.因为5a=3,5b=4,所以a=log53,b=log54.所以log2512=(log53+log54)=.(2)原式=-1+(-1)+2=-1-1+2=.3.甲、乙两人解关于x的方程log2x+b+c log x2=0,甲写错了常数b,得到两个根;乙写错了常数c 得到两个根,64.求这个方程真正的根.log2x+b+c·=0,即(log2x)2+b log2x+c=0.因为甲写错了常数b得到两个根,所以c=log2·log2=6.因为乙写错了常数c得到两个根,64,所以b=-=-5.故原方程为(log2x)2-5log2x+6=0.解得log2x=2或log2x=3.所以x=4或x=8,即方程真正的根为4,8.4.已知2y·log y4-2y-1=0,·log5x=-1,问是否存在一个正整数P,使P=-?2y·log y4-2y-1=0,∴2y-=0.又∵2y>0,∴log y4=.∴y=16.由·log5x=-1得=-log x5>0,∴log x=(log x5)2.∴log x5x=(log x5)2.∴2(log x5)2-log x5-1=0,即(2log x5+1)(log x5-1)=0,∴log x5=-或log x5=1.∵-log x5>0,∴log x5<0.∴log x5=1(舍去).∴log x5=-,即-=5.∴x=.∴=25.∴P=--=3.即存在正整数P=3,使P=-.。

2019-2020学年高一数学 指数函数、对数函数、幂函数导学案 苏教版学习目标1、进一步巩固指数、函数，幂函数的基本概念。

2、能运用指数函数，对数函数，幂函数的性质解决一些问题。

3、掌握图象的一些变换。

4、能解决一些函数的单调性、奇偶性等问题。

例1、已知f(x)=x 3·(21121+-x )； (1)判断函数的奇偶性；(2)证明：f(x)>0.例2、已知f(x)=),(1222·R x a a x x ∈+-+若f(x)满足f(－x)=－f(x). (1)求实数a 的值；(2)判断函数的单调性。

例3、已知f(x)=log 2 (x+1)，当点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动时，点(23y ，x )在函数y=g(x)的图象上运动。

(1)写出y=g(x)的解析式；(2)求出使g(x)>f(x)的x 的取值范围；(3)在(2)的范围内，求y=g(x) －f(x)的最大值。

例4、已知函数f(x)满足f(x 2－3)=lg .622x x (1)求f(x)的表达式及其定义域；(2)判断函数f(x)的奇偶性；(3)当函数g(x)满足关系f[g(x)]=lg(x+1)时，求g(3)的值.1、函数y=a x 在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则a=( ) A.21 B.2 C.4 D.41 2、函数y=2x 与y=x 2的图象的交点个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个3、已知函数y=log a (3－ax)在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围是( )A.(0，1)B.(1，3)C.(0，3 )D.[3，+∞)4、y=log 2|ax －1|(a ≠0)的图象的对称轴为x=2，则a 的值为( ) A.21 B.－21 C.2 D.－2 5、若函数f(x)=log a x (其中a>0，且a ≠1)在x ∈[2，+∞)上总有|f(x)|>1成立，求a 的取值范围。

江苏省灌云县第一中学2013-2014学年高中数学 专题四 指数对数幂函数复习学案（无答案）苏教版必修2一、复习要点1.分数指数幂，方根，幂的运算性质, 指数函数；2.对数，对数运算性质，对数换底公式, 对数函数；3.幂函数；4.函数的零点.二、填空题1、2)3(π-=2、a a a （a>0）用分数指数幂表示为3、指数函数y=（a-1）x 是R 上的单调减函数，则a4、已知幂函数()y f x =经过点1(2,2,5、已知函数y=log a （x+b ）的图象如图所示，则6、要得到函数y=2x 的图象，只需将函数 的图象向右平移3个单位即可。

7、某人2009年1月1日到银行存入一年期存款a 元，若按年利率为x ，并按复利计算，到2012年1月1日可取回款 元8、如图，已知函数y=a x ，y=b x ，y=c x ，y=d x 的图象分别是曲线C 1，C 2，C 3，C 4，则a ，b ，c ，d 的大小关系用“<”连接为9、下列各式正确的题目序号有①222log 6log 3log 3-= ②14lg 2lg 16lg = ③3log 93= ④ log 0.72.1>log 0.71.9 ⑤1.50.3>0.81.2 10、设,9.0log ,2,9.029.02===c b a 则a ，b ，c 由大到小的顺序为11、已知log 0.5（x-1）+a ≤0在x ∈[45，5]上恒成立，则a 的取值范围为 12、已知定义在实数集R 上的偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上是单调减函数，若f （1）<f （lgx ），则x 的取值范围为13、（lg2）2+lg5·lg20=14、设函数()221,0()log 1,0x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩ 如果()01f x <，求0x 的取值范围为 . 三、解答题15、（1）计算：323log 396415932log 4log 55-⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-（2）求不等式()12log 311x ->的解16、已知)0(12121>=--a a a，求：（1）1-+a a 的值； （2）2323--a a 的值。

2019-2020学年高中数学 30《幂函数》学案 苏教版必修1【学习目标】1．巩固幂函数的概念和一些简单幂函数图象并了解它们的图形特征； 2．掌握判断某些简单函数奇偶性的方法；3．培养学生判断推理的能力，加强数形结合思想，化归转化能力的培养． 【课前导学】 【复习回顾】1． 幂函数的定义：一般地，形如y x α=()a R ∈的函数称为幂函数，其中α为常数.2．幂函数性质：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x=）；（2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+)∞上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）；特别地，当α＞1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =图象的下方，α越大，下凸的程度越大； 当0<α＜1时，x ∈（0，1），y x α=的图象都在y x =的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大．（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴.【课堂活动】 一．应用数学：例1 证明幂函数12()f x x =在[0,)+∞上是增函数． 分析：直接根据函数单调性的定义来证明．【解】证：设120x x ≤<，则11221212()()f x f x x x -=-==，12xx <，120x x ∴-<， 0>， 12()()0f x f x ∴-< 即12()()f x f x <． ∴此函数在[0,)+∞上是增函数．例2已知,,,abcdy x y x y x y x ====的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是 ．【思路分析】 重点掌握幂函数在第一象限的图象特征，它是判断一些问题的法宝，当自变量x＞1时，幂指数大的函数的函数值大．解：由幂函数的性质，当自变量x ＞1时，幂指数大的函数的函数值较大，故有c ＞a ＞b ＞d ． 【解后反思】通过这道题，使学生体会不仅仅是“形式上”掌握幂函数的概念、图象和性质，更重要的是真正的理解，例如需要掌握幂函数在第一象限的图象特征，这在今后的学习中也应注意．例3 如果函数2223()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且在区间(0,)+∞上是减函数，求满足条件的实数m 的集合．【思路分析】 我们从题中得到两条信息：一是幂函数，二是此函数在(0,)+∞上是减函数．由幂函数定义：形如y x α=的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．x α的系数只能是１，从而得到211m m --=；又由于该幂函数在(0,)+∞上是减函数，由幂函数的性质可知，0α<，即2230m m --<．由以上两条可求出满足所求的m 的范围．解： 据题意得 211m m --= 且 2230m m --<． 解得 m=2 或 m= -1 （舍去）∴ m=2．【解后反思】要注意最简单的概念和性质的熟练运用． 例4 已知1133(3)(12)x x ---<+，求x 的取值范围．【思路分析】由于对幂函数的概念和性质的不理解，就可能在解题过程中出现一些错误．错解１ 根据函数13y x-=在其定义域内单调减，得312x x ->+．4343x x ⇒<-⇒<-为所求． 错解２ 根据函数13y x -=在(,0)-∞和(0,)+∞上均为减函数得：312120x x x ->+⎧⎨+>⎩…⑴， 31230x xx ->+⎧⎨-<⎩…⑵解得：4x <-为所求．【反思】错解１是函数性质运用错误，函数13y x-=在(,0)-∞和(0,)+∞上为减函数，但函数在整个定义域上没有单调性．错解２是没考虑不等式两边的底数一个大于０另一个小于０的情况． 解：因为13y x-=在(,0)-∞和(0,)+∞上为减函数，0x >时，0y >；0x <时，0y <．原不等式可以化为：312120x x x ->+⎧⎨+>⎩…⑴， 31230x x x ->+⎧⎨-<⎩…⑵， 12030x x +>⎧⎨-<⎩…⑶． ⑴无解； ⑵的解为4x <-； ⑶的解是132x -<<． 所以所求的x 的取值范围为1{|43}2x x x <--<<或．【解后反思】本题实质上是解不等式1133(3)(12)x x ---<+，由于不等式的左右两边的幂指数都是13-，因此可借助于幂函数13y x -=的图象性质来求解． 要注意数形结合思想的运用，考虑问题要细致全面． 例5 已知幂函数y ＝x23212++-p p (p ∈Z )，在(0，＋∞)内，y 随x 增大而增大，且在定义域内图象关于y 轴对称．⑴ 求p 值及相应的f (x )；⑵ 对于⑴中所求函数f (x )，设函数()(())(21)()1g x qf f x q f x =-+-+， 问是否存在)0(<q q ，使得g(x)在区间(]4,-∞-上是减函数且在区间（-4 ，0）上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．【思路分析】抓住题目里所给的信息,分析解决题目结论的方法，是找到解决问题途径的关键所在．解： ⑴ f (x )在(0，＋∞)内，y 随x 的增大而增大．则－21p 2＋p ＋23＞0，解之－1＜p ＜3，又p ∈Z ，∴p ＝0，1，2；又f (x )图象关于y 轴对称．∴－21p 2＋p ＋23是偶数，∴p ＝1，f (x )＝x 2．⑵ 本问题有一定难度，留给同学们作为探究．（解法略）【解后反思】本题需要透彻理解幂函数的一般性质并能灵活运用，要求高于考纲，对提高同学的思维能力有一定的帮助． 二．理解数学：1． ⑴求函数y ＝(x ＋2)－2的定义域．值域．讨论当x 增大时，函数值如何变化？并画出图象；⑵问上述函数的图象与函数y ＝x －2的图象有何关系？ 解⑴{}2x |－且≠∈R x x ；R ＋．当x ＜－2时，函数值y 随x 的增大而增大，当x ＞－2时，y 随x 的增大而减小．⑵将2y x -=的图象向左平移2个单位，即得到y=(x+2)-2图象．2．求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域． 解：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3．当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋)∞ 【课后提升】 １．函数122(2)y x x -=-的定义域是 (,0)(2,)-∞+∞ ．2．函数122(1)y x =-的值域是 ［0，1］ ． 3．函数25y x =的单调递减区间为 (,0)-∞ ． 4．若a 21＜a21－，则a 的取值范围是 01a << ．5．函数y ＝32)215(x x －＋的定义域是 [3,5]- ．6．函数y ＝221m m x－－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是___－1_____．7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 21有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图象关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点（0，0）（1，1）；⑥两个函数互为反函数．其中正确的有___①②⑤______． 8．已知函数y ＝42215x x －－． （1）求函数的定义域．值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．解：这是复合函数问题，利用换元法令t ＝15－2x －x 2，则y ＝4t ，（1）由15－2x －x 2≥0得函数的定义域为［－5，3］， ∴t ＝16－（x －1）2∈［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．（2）∵函数的定义域为［－5，3］，且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．（3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x ＝1，∴x ∈［－5，1］时，t 随x 的增大而增大；x ∈（1，3）时，t 随x 的增大而减小．又∵函数y ＝4t 在t ∈［0，16］时，y 随t 的增大而增大，∴函数y ＝42215x x －－的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3）．。

章末复习提升课[学生用书P74]）［学生用书P74])1．根式的性质（1)n ，0＝0（n ∈N ＊）．（2)(错误!）n ＝a (n ∈N *)（3)错误!＝a （n 为奇数，n ∈N *)．错误!＝|a ｜＝错误!(n 为偶数，n ∈N *）．2．分数指数幂(1）a 错误!＝错误!(a 〉0，m ，n ∈N ＊,且n 〉1)．(2）a －m n＝错误!＝错误!（a 〉0，m ，n ∈N *，且n >1)．（3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．3．对数的运算性质已知a>0，b〉0，a≠1，M>0，N>0，m≠0.(1)log a M＋log a N＝log a(MN)．(2）log a M－log a N＝log a错误!.（3）log错误!b n＝错误!log a b.4．换底公式及常用结论已知a〉0,a≠1，b〉0，b≠1，N〉0,m>0，m≠1，c>0，c≠1。

（1)log a N＝错误!；（2)log a b＝错误!＝log an b n；（3)a log a N＝N；(4）log a b·log b a＝1;（5）log a b·log b c·log c a＝1.5．指数函数的图象与底数的关系（1)底数的取值与图象“升降”的关系：当a〉1时，图象“上升”；当0〈a〈1时，图象“下降”．(2)底数的大小决定图象位置的高低：在y轴右侧“底大图高"；在y轴左侧“底大图低”，如图所示有a>b〉1〉c〉0.6．对数函数的图象与底数的关系(1)对于底数都大于1的对数函数，底数越大,函数图象向右的方向越接近x轴；对于底数都大于0而小于1的对数函数，底数越大，函数图象向右的方向越远离x轴．（2）作直线y＝1与各图象交点的横坐标即各函数的底数的大小，如图，a>b〉1>c>d>0.7．f(a)·f（b）〈0与函数y＝f（x)在区间（a，b)内零点个数的关系（1）函数y＝f（x)在区间［a，b］内若不连续,则f(a)·f(b）<0与函数y＝f(x）在区间(a，b)内的零点的个数没有关系(即：零点存在性定理仅对连续函数适用)．（2）连续函数y＝f(x）若满足f(a)·f(b)〈0，则在区间(a，b)内至少有一个零点；反过来函数y＝f（x)在区间(a,b)内有零点不一定有f（a)·f(b）〈0,若y＝f（x)为单调函数，则一定有f(a)·f（b)〈0.1．对数的运算应注意的问题（1)注意对数运算性质和换底公式的灵活应用,还要注意a log a N ＝N的应用．(2)注意真数的变化和运算符号，以及公式运用过程中范围的变化．2．判断y＝a f(x)(或y＝log a f(x））型函数单调性需要注意的问题(1)研究u＝f（x)的单调性时，定义域是x的取值集合，即y＝a f（x)(或y＝log a f（x））的定义域．(2)研究y＝a u(或y＝log a u)的单调性，要注意定义域是u的取值集合，即u＝f(x)的值域．3．求对数函数定义域应注意的问题求对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念,若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.有关指数、对数的运算问题［学生用书P75］计算下列各式:（1)7错误!－3错误!－6错误!＋错误!；(2)log3错误!·log5［4错误!log210－（3错误!）错误!－7log72］．[解] （1）原式＝7×3错误!－3×3错误!×2－6×3－错误!＋（3×3错误!)错误!＝3错误!－2×3错误!＋3错误!＝2×3错误!－2×3错误!＝0.（2)原式＝log3错误!·log5[2log210－(3错误!）错误!－7log72]＝错误!·log5(10－3－2)＝错误!·log55＝－错误!.指数与对数函数综合问题［学生用书P75]已知函数f（x）＝log2（2x＋1)．(1)求证:函数f(x）在(－∞，＋∞）内单调递增；(2)若g(x）＝log2(2x－1)(x>0),且关于x的方程g（x）＝m＋f(x)在［1,2]上有解，求m的取值范围．［解］（1）证明：任取x1〈x2,则f（x1)－f(x2）＝log2（2x1＋1)－log2（2x2＋1）＝log2错误!，因为x1〈x2，所以0〈2x1＋1〈2x2＋1，所以0〈错误!<1,所以log2错误!〈0，所以f（x1)〈f(x2)，即函数f（x)在（－∞，＋∞)内单调递增．（2）由g（x）＝m＋f(x）得m＝g（x)－f(x)＝log2（2x－1)－log2(2x＋1)＝log2错误!＝log2错误!,当1≤x≤2时，25≤错误!≤错误!,所以错误!≤1－错误!≤错误!，所以m的取值范围是错误!.函数的零点与方程根的关系及应用[学生用书P76]根据函数零点的定义，函数y＝f（x)的零点就是方程f（x）＝0的根,判断一个函数是否有零点，有几个零点,就是判断方程f（x）＝0是否有实根，有几个实根．从图象上说，函数的零点就是函数y＝f（x）的图象与x轴的交点的横坐标．函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点三者之间有着内在的本质联系,利用它们之间的关系,可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，思考时要多加注意．(1）若方程｜ax｜＝x＋a(a>0）有两个解，则a的取值范围是________．(2）已知函数f (x ）＝|ln x ｜，g (x ）＝错误!则方程｜f (x ）＋g (x )｜＝1实根的个数为________．［解析］ （1）分三种情况，在同一坐标系中画出y ＝｜ax ｜和y ＝x ＋a 的图象如图．结合图象可知方程｜ax |＝x ＋a 有两个解时，有a 〉1.（2）①当0〈x ≤1时,方程为－ln x ＝1，解得x ＝1e. ②当1〈x 〈2时,f （x )＋g (x )＝ln x ＋2－x 2单调递减，值域为(ln 2－2，1），方程f （x )＋g （x ）＝1无解，方程f (x ）＋g (x ）＝－1恰有一解．③当x ≥2时，f （x ）＋g (x )＝ln x ＋x 2－6单调递增，值域为[ln 2－2，＋∞），方程f （x ）＋g (x )＝1恰有一解,方程f （x )＋g (x ）＝－1恰有一解．综上所述，原方程有4个实根．［答案] (1)(1，＋∞） (2）41．若函数f （x )＝错误!是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为（）A．(－∞，－1）B．(－1，0)C．（0,1) D．（1,＋∞)解析：选C.f(－x）＝错误!＝错误!，由f(－x）＝－f(x)得错误!＝－错误!，即1－a·2x＝－2x＋a,化简得a·（1＋2x）＝1＋2x，所以a＝1，f(x）＝错误!.由f（x)〉3得0〈x〈1.故选C。

教学目标：使学生认识到幕函数同样也是一种重要的函数模型，掌握从特殊到一般地去进行类比研究幕函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习.教学重点：幕函数的定义和图象.教学难点：幕函数的图象.教学过程：I .复习引入幕函数的定义n.讲授新课问题1:我们知道，分数指数幕可以与根式相互转化.把下列各函数先化成根式形式，再指出它的定义域和奇偶性•利用计算机画出它们的图象，观察它们的图象，看有什么共同点？(1)y=; (2)y二；(3) y二；(4)y二.思路：先将各式化为根式形式，函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x的集合；奇偶性直接利用定义进行判断.(1)定义域为］0,+), (2) (3) (4)定义域都是R其中(1)既不是奇函数也不是偶函数，(2)是奇函数，(3) (4)是偶函数.它们的图象都经过点(0, 0)和(1, 1)，且在第一象限内函数单调递增.问题2：仿照问题1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象看有什么共同点？—1 —2(1)y=x ； (2) y=x ； (3) y=； (4) y=.思路：先将负指数幕化为正指数幕，再将分数指数幕化为根式，函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；(1) (2) (4)的定义域都是｛X|X M 0｝，(3)的定义域是(0，+) ；(1) (4)是奇函数，(2)是偶函数，(3)既不是奇函数也不是偶函数.它们的图象都经过点(1，1)，且在第一象限内函数单调递减，并且以两坐标轴为渐近线.总结：研究幕函数时，通常先将负指数幕化为正指数幕，再将分数指数幕化为根式(幕指数是负整数时化为分式)；根据得到的分式或根式研究幕函数的性质.函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；奇偶性和单调性直接利用定义进行判断.问题1和问题2中的这些幕函数我们要记住它们图象的变化趋势，有利于我们进行类比.［例1］讨论函数丫=的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图.思路：函数y二是幕函数.(1)要使y == 5X2有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R2(2)v xR,：x >0.二y>0.(3) f (-x)= 5 (-x) 2=扳2= f (x), •••函数y =是偶函数；2(4)v n= >0, •幕函数y =在［0,+］上单调递增.5由于幕函数y二是偶函数，•幕函数丫=在(—巴0) 上单调递减.(5)其图象如右图所示.［例2］比较下列各组中两个数的大小：(1) 1.5 , 1.7 ; (2) 0.7 1.5, 0.6 1.5; (3) (—1.2 ), (—1.25).解析：(1)考查幕函数丫=的单调性，在第一象限内函数单调递增，••• 1.5 V 1.7 • 1.5 V 1.7(2)考查幕函数y =的单调性，同理0.71.5>0.61.5.(3)先将负指数幕化为正指数幕可知它是偶函数，•••(— 1.2 )= 1.2 , (— 1.25 )= 1.25，又 1.2 > 1.25• (— 1.2 )> (— 1.25 )点评：比较幕形式的两个数的大小，一般的思路是：(1)若能化为同指数，则用幕函数的单调性；(2)若能化为同底数，贝U用指数函数的单调性；(3)若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小.［例3］求函数y =+ 2x + 4 (x> —32)值域.解析：设t = x,v x> —32,：t > —2,则y = t2+ 2t + 4=(t + 1) 2+ 3.当t =一 1 时，『min = 3.•函数y= + 2x + 4 (x> —32)的值域为］3,+x).点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法.川.课堂练习课本P73 1, 2IV.课时小结［师］通过本节学习，大家能熟悉并掌握幕函数的图象，提高数学应用的能力. V .课后作业课本P 73习题1, 2, 3, 42019-2020年高中数学幂函数教案北师大版必修 1一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把1. 下列函数中既是偶函数又是（ ）A. B .C .D .2.函数在区间上的最大值是（ ）A.B .C .D .3.下列所给出的函数中，是幕函数的是（ ）A .B .C .D .5.下列命题中正确的是（ ）A .当时函数的图象是一条直线B. 幕函数的图象都经过（0, 0）和（1,1）点正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）(C. 若幕函数是奇函数，则是定义域上的增函数D .幕函数的图象不可能出现在第四象限6. 函数和图象满足（）A .关于原点对称C .关于轴对称B. 关于轴对称D. 关于直线对称A .B .C .D .如图1—9所示，幕函数在第一象限的图象，「 比较的大小（）A . : j ::： ：：： 0：：： >4 ：：：〉2 ：：：1 B . 0 ：：： 〉1 ：：： 〉2 ：：： ：' 3 ：：： 〉4 ::: 1C . 〉2 ”二4 ::: 0 ” ％：：：1"*D .一:込：：.2 ::: 0 ：：： / 4::: 1 ：：： : j对于幕函数，若，则,大小关系是（）C .D .无法确定填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 6分，共24分）.函数的定义域是幕函数f （x ）的图象过点（3,427），则f 」（x ）的解析式是 ______________ .是偶函数，且在是减函数，则整数的值是（4k n幕函数y =x m（m,n,k ・N*, m,n 互质）图象在一、二象限，不过原点，则的奇偶性为 _____________ .解答题：解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤（共76分）.（12分）比较下列各组中两个值大小6655(1) 0.617与 0.717 ； ( 2) (-088)^与(-0.89)3.7. 8 9.10._ 、11.12. 13. 14.三、15.16.函数，满足A .是奇函数又是减函数 C. 是奇函数又是增函数 函数的单调递减区间是B .是偶函数又是增函数 D .是偶函数又是减函数 （ ）（12分）已知幕函数f（x）=x m Pz（m，Z）的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y轴对称，试确定的解析式.17. （12分）求证：函数在 R 上为奇函数且为增函数18. （12分）下面六个幕函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关3 1 2(1)y =x 2；( 2)y =x 3；( 3 y=x^；(4) y = x 2; (5) y=x^;(6) y=x 2.为），涨价后，商品卖出个数减少bx 成，税率是新定价的a 成，这里a,b 均为20. （14分）利用幕函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）参考答案（8）一、 CCBAD DCADA 二、 11. ;12.; 13. 5; 14.为奇数，是偶数；6_三、 15. 解：（1） * 函数y = x 11 在（0「：）上是增函数且 0 ：：： 0.6 ：：： 0.7 ：：：=（2）函数上增函数且19. (E ) (F )E (即上涨率正常数，且a<10,设售货款扣除税款后，剩余y 元，要使y 最大，求x 的值.(1) x 2 +2x +2 卄厂2厂15(2) y =(x -2)乜-1 .\ -亠使其定价比原定价上涨丄m 2 —2m -3 三016.解：由m 2 -2m -3是偶数m 二Z4m =_1和3时解析式为f (x) =x , m =1时解析式为f (x) =x-.17 .解： 显然 f (_x) =(_X )3- _x令，则 f (x 1)- f (X 2) =x 「一X 23=(% —x 2)(x 「+x<,x 2 +x 22),其中，显然,=，由于，，且不能同时为0,否则，故. 从而.所以该函数为增函数.18.解：六个幕函数的定义域，奇偶性，单调性如下：(1)定义域［0,,既不是奇函数也不是偶函数，在［0，是增函数;1(2) y =x 3=3x 定义域为R ,是奇函数，在［0,；)是增函数；2⑶y =x 3=3x 2定义域为R ,是偶函数，在［0,；)是增函数；(4) y=丄定义域R UR 堤偶函数，在(0,二)是减函数；x ⑸y =x ° = 1定义域R UR 堤奇函数，在(0, ■：：)是减函数；x1(6) y 定义域为R 既不是奇函数也不是偶 函数，在(0,；)< x上减函数.通过上面分析，可以得出(1)㈠(A ), (2)㈠(F ), (3)㈠(E ), (4)㈠ (C ), (5)( D ), (6)(B ).19. 解：设原定价A 元，卖出B 个，则现在定价为A(1 + ),555.0.883：：：0.893. -0.88^ 5 5 5.-0.893,即.(—0.88)3 ：：：二_f(x)，奇函数;现在卖出个数为B(1 —)，现在售货金额为A(1 + ) B(1 -)=AB(1+)(1 -), 应交税款为AB(1+)(1 -) •剩余款为y= AB(1 + )(1 - )= AB ,所以时y最大要使y最大，x的值为.1个单位, 20.解：（1）y =x2么2 _ 1 i _ 1i把函数的图象向左平移x2+2x +1 x2+2x +1 （X +1）2再向上平移1个单位可以得到函数的图象•（2）的图象可以由图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位而得到•图象略。

新教材高中数学学案含解析北师大版必修第二册：4.4 幂函数学 习 任 务核 心 素 养(教师独具)1．掌握幂函数的概念、图像和性质．(重点)2．熟悉α＝1,2,3，12，－1时的五类幂函数的图像、性质及其特点．(易错点)3．能利用幂函数的图像与性质解决综合问题．(难点)1．通过幂函数概念与图像的学习，培养数学抽象素养． 2．借助幂函数性质的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.给出下列五个问题：①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付p ＝w 元，这里p 是w 的函数．②如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S ＝a 2，这里S 是a 的函数． ③如果正方体的棱长为a ，那么正方体的体积V ＝a 3，这里V 是a 的函数．④如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长a ＝S 12，这里a 是S 的函数．⑤如果某人t s 内骑车行进了1 m ，那么他骑车的平均速度v ＝t －1 m/s ，这里v 是t 的函数． 问题：(1)上述5个问题中，若自变量都用x 表示，因变量用y 表示，则对应的函数关系式分别是什么？(2)你能根据指数运算的定义，把问题1中的五个函数改写成统一形式吗？ [提示] (1)①y ＝x ，②y ＝x 2，③y ＝x 3，④y ＝x ，⑤y ＝1x .(2)①y ＝x ，②y ＝x 2，③y ＝x 3，④y ＝x 12，⑤y ＝x －1．知识点1 幂函数的概念及五个常见的幂函数 1．幂函数的概念一般地，函数y ＝x α称为幂函数，其中α是常数．幂函数y ＝x α与指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)有什么样的区别？[提示] 幂函数y ＝x α的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y ＝a x 中，底数是常数，指数是自变量．2．五个常见幂函数的图像1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数y ＝x －45是幂函数． ( ) (2)函数y ＝2－x 是幂函数．( )(3)幂函数的图像都不过第二、四象限． ( )[提示] (1)√.函数y ＝x －45符合幂函数的定义，所以是幂函数． (2)×.幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－x 不是幂函数． (3)×.幂函数y ＝x 2过第二象限． [答案] (1)√ (2)× (3)×2.下列函数中不是幂函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝x 3C ．y ＝2xD ．y ＝x －1C [形如y ＝x α的函数为幂函数，只有C 不是．] 知识点2 幂函数的图像特征及性质(1)幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y 轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上分布．(2)当α＞0时，图像过点(1,1)，(0,0)，且在第一象限随x 的增大而上升，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数．(3)当α＜0时，幂函数的图像，过点(1,1)，且在第一象限随x 的增大而下降，函数在区间(0，＋∞)上是单调减函数，且向右无限接近x 轴，向上无限接近y 轴．(4)当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．3.幂函数y ＝x α(α∈R )的图像一定不经过( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限A [由幂函数的图像可知，其图像一定不经过第四象限．]4.已知幂函数f (x )的图像经过点(2，2)，则f (4)＝________.2 [设f (x )＝x α，∴α＝12，∴f (4)＝412＝2.]类型1 幂函数的概念【例1】 函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．[解] 根据幂函数定义得，m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－1时，f (x )＝x －3，在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．∴f (x )的解析式为f (x )＝x 3.如何判断一个函数是幂函数？[提示] (1)只有形如y ＝x α(其中α为任意实数，x 为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数．(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1．形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5，…，形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．[跟进训练] 1．已知f (x )＝(m 2＋2m )xm 2＋m －1，m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数？(2)反比例函数？ (3)二次函数？(4)幂函数？[解] (1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝1．(2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1． (3)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，所以m ＝－1±2.类型2 幂函数的图像和性质【例2】 (1)幂函数y ＝x m 2－3m －4(m ∈Z )的图像如图所示，则m 的值为( )A ．－1＜m ＜4B ．0或2C ．1或3D ．0,1,2或3(2)已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋3)－m 5<(5－2a )－m 5的a 的取值范围．[思路探究] (1)根据幂函数的图像特征与性质确定m 的值；(2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m 的值，再利用幂函数的单调性求解关于a 的不等式．(1)D [(1)因为幂函数图像在第一象限内为减函数，所以m 2－3m －4＜0，解得－1＜m ＜4，又图像关于y 轴对称说明m 2－3m －4为偶数，又m ∈Z ，所以m 的值为0,1,2或3.](2)[解] 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m <3，又m ∈N *，所以m ＝1,2.因为函数的图像关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1，则原不等式可化为(a ＋3)－15<(5－2a )－15.因为y ＝x －15在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋3>5－2a >0或5－2a <a ＋3<0或a ＋3<0<5－2a ，解得23<a <52或a <－3，所以a 的取值范围为(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫23，52.解决幂函数图像问题应把握的两个原则(1)依据图像高低判断幂的指数大小，相关结论为：①在(0,1)上，幂的指数越大，幂函数图像越靠近x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，幂的指数越大，幂函数图像越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图像确定幂的指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y ＝x －1或y ＝x 12或y ＝x 3)来判断．[跟进训练]2．(1)函数f (x )＝x －12的大致图像是( )A BC D(2)如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图像，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12(1)A (2)B [(1)因为－12＜0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，排除选项B ，C ；又f (x )的定义域为(0，＋∞)，故排除选项D ．(2)根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图像当n >0时，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12，当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2，故选B ．]类型3 幂值的大小比较1．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的单调性与实数a 有什么关系？幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？[提示] 当a >1时，函数y ＝a x 单调递增；当0<a <1时，函数y ＝a x 单调递减．当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减．2.23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？[提示] 23.1和23.2可以看作函数f (x )＝2x 的两个函数值，因为函数f (x )＝2x 单调递增，所以23.1＜23.2.3.2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？[提示] 2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f (x )＝x－0.2的两个函数值，因为函数f (x )＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.【例3】 (对接教材P 35例1)比较下列各组数中两个数的大小．[思路探究] (1)利用函数y ＝x 0.5的单调性比较大小； (2)利用函数y ＝x－1的单调性比较大小；(3)借助中间量⎝⎛⎭⎫2323比较大小．[解] (1)∵幂函数y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，∴⎝⎛⎭⎫250.5>⎝⎛⎭⎫130.5. (2)∵幂函数y ＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1.(3)∵函数y 1＝⎝⎛⎭⎫23x 为R 上的减函数， 又34>23，∴⎝⎛⎭⎫2323>⎝⎛⎭⎫2334. 又∵函数y 2＝x 23在[0，＋∞)上是增函数，且34>23，∴⎝⎛⎭⎫3423>⎝⎛⎭⎫2323，∴⎝⎛⎭⎫3423>⎝⎛⎭⎫2334.利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法[跟进训练]3．比较下列各组数的大小： (1)3－52与3.1－52； (2)0.70.8与0.80.7； (3)4.125，3.8－23和(－1.9)35.[解] (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数． ∵3＜3.1，∴3－52＞3.1－52.(2)∵y ＝x 0.8在[0，＋∞)上是增函数，0.7＜0.8， ∴0.70.8＜0.80.8.又∵y ＝0.8x 在R 上是减函数，0.7＜0.8， ∴0.80.8＜0.80.7.∴0.70.8＜0.80.8＜0.80.7，即0.70.8＜0.80.7.(3)∵幂函数y ＝x 25在[0，＋∞)上为增函数，且4.1＞1， ∴4.125＞1，又幂函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，且3.8＞1， ∴0＜3.8－23＜1．而幂函数y ＝x 35在(－∞，0)上为增函数，且－1.9＜0， ∴(－1.9)35＜0.故有4.125＞3.8－23＞(－1.9) 35.1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) A ．y ＝x 13 B ．y ＝x －12 C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23D [A 中定义域和值域都是R ；B 中定义域和值域都是(0，＋∞)；C 中定义域和值域都是R ；D 中定义域为R ，值域为[0，＋∞)．]2．函数y ＝x 53的图像大致是图中的( )A B C DB [∵函数y ＝x 53是奇函数，且α＝53＞1，∴函数图像为B ．]3．若幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x 1－m是偶函数，则实数m ＝( )A ．－1B ．2C ．3D ．－1或2A [因为f (x )＝(m 2－m －1)x 1－m为幂函数，所以m 2－m －1＝1解得m ＝－1或2，又f (x )是偶函数，则1－m 为偶数．故m ＝－1．]4．在函数y ＝1x 4，y ＝3x 2，y ＝x 2＋2x ，y ＝1中，幂函数的个数为________．1 [函数y ＝1x4＝x －4为幂函数；函数y ＝3x 2中x 2的系数不是1，所以它不是幂函数；函数y ＝x 2＋2x 不是y ＝x α(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；函数y ＝1与y ＝x 0＝1(x ≠0)不相等，所以y ＝1不是幂函数．]5．给出下列说法： ①幂函数图像均过点(1,1)；②幂函数的图像均在两个象限内出现； ③幂函数在第四象限内可以有图像； ④任意两个幂函数的图像最多有两个交点． 其中说法正确的有________(填序号)．① [根据幂函数的图像特征可知①正确，②③④错误．]回顾本节内容，自我完成以下问题： 1．简单幂函数的性质有哪些？[提示] (1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f (1)＝1．(2)α＞0时，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．(3)α＜0时，幂函数在x ＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数． 2．本节课的易错点是什么？[提示] 本节课的易错点是对幂函数的图像掌握不准而致错．(教师独具)“对勾”函数图像与性质探究学习了幂函数的图像，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂函数也进行了相关运算，得到了新的函数f (x )＝x ＋1x，利用计算机软件，我们绘制出它的图像，如图．1．参考幂函数的性质，探究函数f (x )＝x ＋1x 的性质．[提示] (1)定义域：∵x ≠0，∴函数f (x )＝x ＋1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)值域：函数f (x )＝x ＋1x的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(3)奇偶性：∵f (－x )＝－x －1x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝－f (x )，∴函数f (x )＝x ＋1x 为奇函数． (4)单调性：由函数f (x )＝x ＋1x 的图像可知，函数f (x )＝x ＋1x 在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)，(0,1)上单调递减．2．试探究函数f (x )＝x ＋ax (a ＞0)的性质，并画出它的简图．[提示] (1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)值域：(－∞，2a ]∪[2a ，＋∞)． (3)奇偶性：奇函数．(4)单调性：函数f (x )＝x ＋ax (a ＞0)在(－∞，－a )和(a ，＋∞)上为增函数，在[－a ，0)和(0，a ]上为减函数．证明：任取x 1，x 2∈(0，a ]，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－ax 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2. 因为0＜x 1＜x 2≤a ， 所以x 1－x 2＜0,0＜x 1x 2＜a ， 所以a x 1x 2＞1，所以1－ax 1x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)． 所以f (x )在(0，a ]上为减函数． 任取x 1，x 2∈(a ，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－a x 1x 2. 因为x 1－x 2＜0，x 1x 2＞a ， 所以a x 1x 2＜1，所以1－ax 1x 2＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0， 所以f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在(a ，＋∞)上为增函数．同理，f (x )在(－∞，－a )上为增函数，在[－a ，0)上为减函数． 其图像如图所示．3．试探究函数f (x )＝x ＋ax (a ＜0)的性质，并画出它的简图．[提示] (1)定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)值域：R .(3)奇偶性：奇函数．(4)函数f (x )在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增．- 11 - 证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－ax 1x 2，因为0＜x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，又a ＜0，所以1－ax 1x 2＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增；同理可知，函数f (x )在区间(－∞，0)上单调递增． 其简图如图所示．。