高考数学专题10线性规划与基本不等式(基础篇 )原卷版 Word版缺答案

2017年高考数学—线性规划（选择+填空+答案）1.（17全国1文7）设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．32.（17全国2理5） 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．93.（17全国3文5）设,x y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是A ．[-3，0]B ．[-3，2]C ．[0，2]D ．[0，3]4.（17北京理（4））若,x y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2x y +的最大值为（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）95.（17山东理（4））已知,x y 满足3035030x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩，则z =x +2y 的最大值是（A ）0 （B ） 2 （C ） 5 （D ）66.（17山东文（3））已知x,y 满足约束条件250,30,2,x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2z x y =+的最大值是A.-3B.-1C.1D.37.（17天津理（2））设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（A ）23 （B ）1 （C ）32（D ）38.（17浙江4）若,x y满足约束条件3020xx yx y≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y=+的取值范围是A．[0,6] B．[0,4] C．[6，+∞）D．[4,+∞）9.（17全国1理14）设,x y满足约束条件2121x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y=-的最小值为 .10.（17全国3理13）若,x y满足约束条件0,20,x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则34z x y=-的最小值为________．参考答案：1. D2. A 3．B 4.D 5.C 6.D 7. D 8．D 9．-5 10．1-。

线性规划常见题型及解法一．基础知识：(一)二元一次不等式表示的区域二元一次不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 某一侧的所有点组成的区域，把直线画成虚线表示不包括边界， 0≥++C By Ax 所表示的区域应包括边界，故边界要画成实线.由于在直线0=++C By Ax 同一侧的所有点（x,y ）,把它的坐标（x,y ）代入C By Ax ++，所得的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（0,0y x ），从C By Ax ++00的正负即可判断0≥++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域。

通常代特殊点（0，0）。

（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值. (5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解. 最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下常见题型。

简单的线性规划问题与基本不等式作业及答案一、选择题：1.(2009·福建高考)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 ( ) A ．－5 B ．1 C ．2 D ．3 解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0所围成的区域如图所示．则A (1,0)，B (0,1)，C (1,1＋a )且a >－1，∵S △ABC ＝2，∴12(1＋a )×1＝2，解得a ＝3. 答案：D2．已知D 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≥0，x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为 ( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.3π2解析：如图，l 1、l 2的斜率分别是k 1＝12，k 2＝－13，不等式组表示的平面区域为阴影部分．∵tan ∠AOB ＝12＋131－12×13＝1，∴∠AOB ＝π4，∴弧长＝π4·2＝π2. 答案：B3.(2009·天津高考)设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为 ( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．23解析：约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3表示的平面区域如图易知过C (2,1)时，目标函数z ＝2x ＋3y 取得最小值．∴z min ＝2×2＋3×1＝7. 答案：B 4．(2009·陕西高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则a 的取值范围是 ( ) A ．(－1,2) B ．(－4,2) C ．(－4,0] D ．(－2,4) 解析：可行域为△ABC ，如图当a ＝0时，显然成立．当a ＞0时，直线ax ＋2y －z ＝0的斜率k ＝－a2＞k AC ＝－1，a＜2.当a ＜0时，k ＝－a2＜k AB ＝2，∴a ＞－4. 综合得－4＜a ＜2.答案：B5.(2009·湖北高考)在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 ( ) A ．2 000元 B ．2 200元 C ．2 400元 D ．2 800元 解析：设需使用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，运输费用z 元，根据题意，得线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≥100，0≤x ≤4，0≤y ≤8，求线性目标函数z ＝400x ＋300y 的最小值．解得当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2时，z min ＝2 200. 答案：B6．(2009·四川高考)某企业生产甲、乙两种产品．已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元 .该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 ( ) A ．12万元 B ．20万元C ．25万元D ．27万元 解析：设该企业生产甲产品为x 吨，乙产品为y 吨，则该企业可获得利润为z ＝5x ＋3y ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝13，2x ＋3y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4.由图可知，最优解为P (3,4)， ∴z 的最大值为z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．答案：D7.设x 、y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为 ( ) A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．16解析：由32＋x ＋32＋y ＝1可得xy ＝8＋x ＋y . ∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)， 即xy －2xy －8≥0， 可解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16. 答案：D 8．(2009·天津高考)设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为 ( ) A ．8 B ．4 C ．1 D.14解析：∵3是3a 与3b 的等比中项，∴(3)2＝3a ·3b . 即3＝3a ＋b ，∴a ＋b ＝1. 此时1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋(b a ＋a b )≥2＋2＝4(当且仅当a ＝b ＝12取等号)． 答案：B9．已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 ( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 解析：(x ＋y )(1x ＋ay )＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥a ＋1＋2a ·x y ·y x ＝a ＋2 a ＋1，当且仅当a ·x y ＝yx等号成立， 所以(a )2＋2a ＋1≥9，即(a )2＋2a －8≥0，得a ≥2或a ≤－4(舍)， 所以a ≥4，即a 的最小值为4.答案：C10．设a 、b 是正实数， 以下不等式①ab >2ab a ＋b ；②a >|a －b |－b ；③a 2＋b 2>4ab －3b 2；④ab ＋2ab >2恒成立的序号为 ( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 解析：∵a 、b 是正实数，∴①a ＋b ≥2ab ⇒1≥2aba ＋b ⇒ab ≥2aba ＋b. 当且仅当a ＝b 时取等号， ∴①不恒成立；②a ＋b >|a －b |⇒a >|a －b |－b 恒成立； ③a 2＋b 2－4ab ＋3b 2＝(a －2b )2≥0，当a ＝2b 时，取等号，∴③不恒成立； ④ab ＋2ab ≥2ab ·2ab ＝2 2>2恒成立． 答案：D11.若a 是2－b 与2＋b 的等比中项，则2ab|a |＋|b |的最大值为 ( )A. 2 B ．1 C.24 D.22解析：∵a 是2－b 与2＋b 的等比中项， ∴a 2＝2－b 2⇒a 2＋b 2＝2.根据基本不等式知2ab|a |＋|b |≤2|a |·|b ||a |＋|b |≤a 2＋b 22＝1. 即2ab|a |＋|b |的最大值为1. 答案：B 12．若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，当且仅当a x ＝by 时取等号．利用以上结论，函数f (x )＝2x ＋91－2x(x ∈(0，12))取得最小值时x 的值为 ( )A ．1 B.15 C ．2 D.13解析：由a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y得，f (x )＝222x ＋321－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25.当且仅当22x ＝31－2x 时取等号，即当x ＝15时f (x )取得最小值25. 答案：B二、填空题：13．点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则a 的取值范围是________．解析：点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧， 说明将这两点坐标代入3x －2y ＋a 后，符号相反，所以(9－2＋a )(－12－12＋a )＜0， 解之得－7＜a ＜24. 答案：(－7,24) 14. 设m 为实数，若⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋5≥03－x ≥0mx ＋y ≥0⊆{(x ，y )|x 2＋y 2≤25}，则m 的取值范围是____________． 解析：由题意知，可行域应在圆内，如图：如果－m >0，则可行域取到x ＜－5的点，不能在圆内； 故－m ≤0，即m ≥0.当mx ＋y ＝0绕坐标原点旋转时，直线过B 点时为边界位置．此时－m ＝－43，∴m ＝43.∴0≤m ≤43. 答案：0≤m ≤4315．(2010·太原模拟)若直线ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)和函数f (x )＝a x ＋1＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过同一个定点，则当1a ＋1b 取最小值时，函数f (x )的解析式是________． 解析：函数f (x )＝a x ＋1＋1的图象恒过(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(12a ＋b )(1a ＋1b )＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋ 2.当且仅当b ＝22a 时取等号，将b ＝22a 代入12a ＋b ＝1得a ＝22－2，故f (x )＝(22－2)x ＋1＋1. 答案：f (x )＝(22－2)x ＋1＋116．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：因为x >a ，所以2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a ≥2 2(x －a )·2x －a＋2a＝2a ＋4，即2a ＋4≥7，所以a ≥32，即a 的最小值为32. 答案：32三、解答题：17．已知关于x 、y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0.(1)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值； (2)求函数z ＝x ＋2y ＋2的最大值和最小值． 解：(1)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0表示的平面区域，如图所示．由u ＝3x －y ，得y ＝3x －u ，得到斜率为3，在y 轴上的截距为－u ，随u 变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的C 点时，截距－u 最大，即u 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝4，x ＋2＝0，得C (－2,3)， ∴u min ＝3×(－2)－3＝－9.当直线经过可行域上的B 点时，截距－u 最小，即u 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，x －y ＝1，得B (2,1)， ∴u max ＝3×2－1＝5.∴u ＝3x －y 的最大值是5，最小值是－9. (2)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0表示的平面区域，如图所示．由z ＝x ＋2y ＋2，得y ＝－12x ＋12z －1，得到斜率为－12，在y 轴上的截距为12z －1，随z 变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的A 点时，截距12z －1最小，即z 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2＝0，得A (－2，－3)， ∴z min ＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.当直线与直线x ＋2y ＝4重合时，截距12 z －1最大，即z 最大，∴z max ＝4＋2＝6.∴z ＝x ＋2y ＋2的最大值是6，最小值是－6.18．某人上午7时乘摩托艇以匀速v km/h(4≤v ≤20)从A 港出发到距50 km 的B 港去，然后乘汽车以匀速w km/h(30≤w ≤100)自B 港向距300 km 的C 市驶去．应该在同一天下午4至9点到达C 市．设乘摩托艇、汽车去所需要的时间分别是x h 、y h ．若所需的经费p ＝100＋3(5－y )＋2(8－x )元，那么v 、w 分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费．解：依题意⎩⎪⎨⎪⎧4≤50x ≤2030≤300y ≤1009≤x ＋y ≤14x >0，y >0，考查z ＝2x ＋3y 的最大值，作出可行域，平移直线2x ＋3y ＝0，当直线经过点(4,10)时，z 取得最大值38.故当v ＝12.5、w ＝30时所需要经费最少，此时所花的经费为93元． 19．已知a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8.证明：∵a 、b 、c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1， ∴(1a －1)(1b －1)(1c －1)＝(1－a )(1－b )(1－c )abc＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号．20．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计． (1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：(1)设污水处理池的宽为x 米，则长为162x 米． 则总造价 f (x )＝400×(2x ＋2×162x )＋248×2x ＋80×162＝1 296x ＋1 296×100x＋12 960 ＝1 296(x ＋100x)＋12 960≥1 296×2 x ·100x＋12 960＝38 880(元)， 当且仅当x ＝100x(x >0)， 即x ＝10时取等号．∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元． (2)由限制条件知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤160<162x ≤16，∴1018≤x ≤16.设g (x )＝x ＋100x (1018≤x ≤16)， 由函数性质易知g (x )在[1018，16]上是增函数，∴当x ＝1018时(此时162x ＝16)， g (x )有最小值，即f (x )有最小值1 296×(1018＋80081)＋12 960＝38 882(元)．∴当长为16米，宽为1018米时，总造价最低，为38 882元．21.为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x 万件与投入技术改革费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2010年该产品的利润y 万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m 万元的函数；(2)该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意可知，当m＝0时，x＝1(万件)，∴1＝3－k，∴k＝2，∴x＝3－2m＋1，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2010年的利润y＝x·[1.5×8＋16xx]－(8＋16x)－m＝－[16m＋1＋(m＋1)]＋29(元)(m≥0)．(2)∵m≥0，∴16m＋1＋(m＋1)≥216＝8，∴y≤29－8＝21，当16m＋1＝m＋1，即m＝3，y max＝21.∴该企业2010年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大．。

高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。

2020 年高考数学（理）总复习：不等式、线性规划题型一不等式的解法【题型重点】 解不等式的常有策略(1) 解一元二次不等式，一是图象法：利用“三个二次 ”之间的关系，借助相应二次函数图象，确立一元二次不等式的解集；二是因式分解法：利用“同号得正，异号得负 ”这一符号法例，转变为一元一次不等式组求解．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把他们等价转变为整式不等式(一般为一元二次不等式 )求解．(3)解含 “f ”的函数不等式，第一要确立 f(x)的单一性，而后依据函数的单一性去掉“f ”转化为往常的不等式求解．(4) 解决含参数不等式的难点在于对参数的合适分类，重点是找到对参数进行议论的原由，确立好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．x －12e ， x<1【例 1】已知函数 f(x)＝，则 f(f(x))<2 的解集为 ()x 3 ＋x ， x ≥1A ． (1－ ln 2，＋ ∞)B ． (－ ∞， 1－ ln 2)C ．(1－ ln 2,1)D ． (1,1＋ ln 2)【分析】由于当3x－1等x ≥1时， f(x)＝ x ＋ x ≥2，当 x<1 时， f(x)＝ 2e <2，所以 f(f(x))<2x －1<1 ，解得 x<1－ ln 2，所以 f(f(x))<2 的解集为 (－∞，1－ ln 2) ，应选 B.价于 f( x)<1 ，即 2e【答案】B－ x 2＋ 2x ， x ≤0，【例 2】．已知函数 f(x)＝若|f(x)| ≥ax ，则 a 的取值范围是 ()ln x ＋ 1 ， x ＞ 0.A ．(－∞，0]B ． (－ ∞， 1]C ．[ －2,1]D ． [－ 2,0]【分析】 当 x ≤0时，f(x) ＝－ x 2＋ 2x ＝－ (x － 1) 2＋ 1≤0，所以 |f(x)| ≥ax 化简为 x 2－2x ≥ax ，即 x2≥(a＋ 2)x，由于所以 |f( x)| ≥ax 化简为式|f(x)| ≥ax 恒成立．x≤0，所以 a＋ 2≥x 恒成立，所以 a≥－ 2；当 x＞ 0 时，f(x)＝ ln(x＋ 1)＞0， ln( x＋ 1) ≥ax 恒成立，由函数图象可知 a≤0，综上，当－ 2≤a≤0时，不等【答案】 D题组训练一不等式的解法1．若不等式ax2－ bx＋ c>0 的解集是1 ,2 ，则以下结论中：①a>0；②b<0；③c>0；2④a＋ b＋ c>0；⑤ a－ b＋c>0，正确的选项是 ()A ．①②⑤B．①③⑤C．②③⑤D．③④⑤【分析】ax2－ bx＋ c>0 的解集是1,2 ，故 a<0，且 ax2－ bx＋c＝ 0 的两根为－1，2 22.由根与系数的关系得2－1＝b>0,2 × 1 ＝c<0，故 b<0，c>0. 所以，②③正确，①错误．设2 a 2 af(x)＝ ax2－ bx＋ c，依据 f(－ 1)<0，f(1)>0 ，可知 a＋ b＋ c<0 ，a－ b＋ c>0 ，故④错误，⑤正确．【答案】 C2．已知 f(x)是定义在R上的奇函数，且 f(x－ 2)＝ f(x＋ 2)，当 0＜ x＜ 2 时，f(x)＝1－ log2(x ＋1)，则当 0 ＜x＜ 4 时，不等式 (x－ 2)f(x) ＞0 的解集是 ( )A ． (0,1) ∪ (2,3) B． (0,1)∪ (3,4)C．(1,2) ∪(3,4) D． (1,2)∪ (2,3)【分析】当 0＜ x＜ 2 时，x－ 2＜ 0，不等式可化为x－ 2＜ 0，x－ 2＜ 0，即1－ log2 x＋1 <0 ，f x ＜ 0，解得 1＜ x＜2，x－ 2＞0，当 2＜x＜ 4 时， x－ 2＞ 0，不等式可化为f x ＞ 0，由函数 f(x)是奇函数，得f(－ x)＝－ f(x) ，又 f(x－ 2)＝ f(x＋2) ，则 f(x) ＝f(x－ 2＋2) ＝f(x－ 2－ 2)＝－ f(4－ x)，由于 0＜ 4－ x＜ 2，不等式可化为x－ 2＞ 0，，解得 2＜ x＜ 3，－1＋ log2 5－ x ＞0则原不等式的解集为(1,2)∪ (2,3)，应选 D.【答案】 D题型二简单的线性规划问题【题型重点】线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求地区面积；三是知最优解状况或可行域状况确立参数的值或取值范围．解决线性规划问题应特别关注以下三点：(1)第一要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的极点 (或界限上的点 )，但要注意作图必定要正确，整点问题要考证解决．(2)画可行域时应注意地区能否包括界限．(3)对目标函数z＝ Ax＋ By 中 B 的符号，必定要注意 B 的正负与z 的最值的对应，要结合图形剖析．x＋y≤4【例 3】已知 P(x， y)为不等式组x－y≤0表示的平面地区M 内随意一点，若目标函x－a≥0数 z＝ 5x＋ 3y 的最大值等于平面地区M 的面积，则a＝ ________.【分析】作出不等式组对应的平面地区如图：由 z ＝ 5x ＋3y 得 y ＝－ 5x ＋ z，3 35z平移直线 y ＝－ 3x ＋ 3，由图象知当直线 y ＝－5 z z 最大，x ＋ ，经过点 A 时，直线的截距最大，此时33x ＋y ＝ 4 由，解得 x ＝ y ＝2，即 A(2,2)，x －y ＝ 0此时 z ＝5×2＋ 3×2＝ 16，x ＋y ＝ 4 由.解得 x ＝ a ，y ＝ 4－ a ，即 B(a,4－a)，x ＝ax －y ＝ 0由，解得 x ＝ y ＝a ，即 C(a ， a)，x ＝a∴ BC ＝ 4－a － a ＝ 4－2a ， △ ABC 的高为 2－ a ，1 2∴ S △ABC ＝ 2×(2－ a)(4－ 2a)＝ (2－ a) ＝ 16，解得 a ＝－ 2， a ＝ 6(舍去 )，【答案】－ 2x ≥0，则x ＋2y ＋ 3的取值范围是 ()【例 4】．设 x ， y 知足拘束条件 y ≥x ，4x ＋ 3y ≤ 12， x ＋ 1A ． [1,5]B ． [2,6]C ．[3,10]D ． [3,11]【分析】依据拘束条件画出可行域如图暗影部分所示．∵x ＋2y ＋ 3＝ 1＋2 y ＋1，令 k ＝y ＋1，即为可行域中的随意点(x ，x ＋ 1 x ＋ 1 x ＋1y)与点 ( －1，－ 1)连线的斜率．由图象可知，当点 (x ，y)为 A(0,4)时， k最大，此时 x ＋ 2y ＋ 3的最大值为 11，当点 (x ，y)在线段 OB 上时， k 最x ＋ 1小，此时x ＋ 2y ＋ 3的最小值为 3.应选 D.x ＋ 1【答案】D题组训练二 简单的线性规划问题y ≤x － 1，则 x 21．已知实数 x 、y 知足 x ≤3的最小值是 () x ＋5y ≥4yA ． 1B ． 2C ．3D ． 4【分析】作出不等式组所对应的平面地区：2由图象可知 x ＞ 0，y ＞ 0，设 z ＝ x，则 x 2＝ zy ，对应y的曲线为抛物线，由图象可知当直线y ＝ x － 1 与抛物线相切时，此时 z 获得最小值，将 y ＝ x － 1 代入抛物线 x2＝ z y ，得 x 2－ zx ＋ z ＝ 0，由 ＝ 0? z ＝ 4， z ＝ 0(舍 )所以选择 D.【答案】 Dx ≥0，2．已知点 P(x ， y)知足条件 y ≤x ，若 z ＝ x ＋3y 的最大值为 8，则实数 k ＝2x ＋ y ＋ k ≤0，________.【分析】依题意 k<0 且不等式组表示的平面地区如下图．易得，Bkk113 , 3 .目标函数 z ＝x ＋ 3y 可看作直线 y ＝－ 3x ＋ 3z 在 y 轴上的截距的 3倍，明显当直线过点B 时截距最大，此时 z 获得最大值．所以 z max ＝－ k3＋ 3×k＝－4k3＝ 8，解得 k ＝－ 6.3【答案】－ 6题型三基本不等式的应用【题型重点】利用基本不等式求函数或代数式的最值应关注的三个方面(1)形式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式构造的函数以及含有两个变量的函数，特别适适用基本不等式求最值．(2)条件：利用基本不等式求最值需知足“正”(即条件要求中字母为正数 )、“定”(不等式的另一边一定为定值 )、“等”(等号获得的条件 )的条件才能应用，不然会出现错误．(3) 方法：使用基本不等式时，一般经过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的函数或代数式b化为ax＋x(ab＞0) 的形式，常用的方法是变量分别法和配凑法．【例 5】已知二次函数f(x)＝ ax2＋ bx＋c 的导数为 f′(x)， f′(0)＞ 0，对于随意的实数x 都有 f(x) ≥0，则f 1的取值范围是 ()f′0A. 3 , B． [2，＋∞)2C. 5 , D． [3，＋∞)2【分析】∵ f′(x)＝ 2ax＋ b，∴ f′(0)＝b＞ 0.又∵对于随意的实数x 都有 f(x) ≥0，∴ a＞0 且 b2－ 4ac≤0，∴ b2≤4ac，∴ c＞ 0，∴f 1 ＝f′0a＋ b＋ c a＋ c 2 acb ＝ b ＋ 1≥b＋ 1≥2.【答案】 B1＋2＝ 1，则 2 ＋1的最小值为 ()2．若正数 a， b 知足：a b a－ 1 b－ 23 2A ． 2 B. 253 2C.2D ．1＋ 4【分析】 由 a ，b 为正数，且 1＋ 2＝ 1，得 b ＝2a2 ＋ 1a ba － 1>0，所以 a － 1>0，所以 a － 1b － 2＝ 2 ＋ 1 ＝ 2 ＋ a －1 2a － 1＝2，当且仅当 2 ＝ a － 1和1＋ 2＝ 1 同时成 a － 1 2a － 2 a － 1 2 ≥2 a － 1 · 2 a － 1 2a b a － 1立，即 a ＝b ＝ 3 时等号成立，所以2 ＋ 1的最小值为 2，应选 A.a － 1b － 2【答案】 A题组训练三 基本不等式的应用1．若直线 l ： ax ＋ by ＋ 1＝0(a ＞ 0，b ＞ 0)把圆 C ： (x ＋ 4)2＋ (y ＋ 1)2＝ 16 分红面积相等的两部分，则当 ab 获得最大值时，坐标原点到直线l 的距离是 ( )A ． 4B ．8 178 17 C ．2D. 17【分析】由题意，圆心 (－4，－ 1)代入直线 l ： ax ＋by ＋ 1＝ 0，可得 4a ＋ b ＝ 1,4a ＋ b＝1≥4ab ，∴ ab ≤1 ，当且仅当 a ＝ 1，b ＝1时， ab 获得最大值，坐标原点到直线 l 的距离16 82是1＝8 17，应选 D.641＋1417【答案】D2．设正实数1，不等式 4x 2y 2≥m 恒成立，则 m 的最大值为 ()x ，y 知足 x> ，y>1＋2y － 1 2x － 1A ．2 2B ． 4 2C ．8D ． 162222【分析】依题意得， 2x － 1>0 ， y － 1>0，4x＋ y ＝ [ 2x － 1 ＋ 1] ＋ [ y －1 ＋1]y － 1 2x － 1 y － 12x － 14 2x－ 1 4 y－ 1 2x－ 1 y－ 1 2 2＝8，即4x ＋y ≥8，当且仅当≥＋≥ 4×2×y－1 2x－ 1 y－ 1 2x－ 1 y－ 1 2x－12x－ 1＝ 1y－ 1＝1 x＝ 1 2 2时，取等号，所以4x ＋y 的最小值是8， m≤8，m 的最，即2x－ 1 y－ 1 y＝ 2 y－ 1 2x－1y－ 1 ＝2x－ 1大值是8，选 C.【答案】 C题型四“点”定乾坤求解与线性规划相关的问题【题型重点】线性规划求目标函数的最值时，常用方法是数形联合判断所过的定点，也能够把界限端点的坐标代入目标函数，找寻最值，研究可行域与其余函数的关系时，可用界限端点确立出答案．x≥0，【例 7】记不等式组x＋ 3y≥4，所表示的平面地区为D，若直线 y＝ a(x＋ 1)与 D 有3x＋ y≤4公共点，则 a 的取值范围是________．3x＋ y＝ 4，【分析】法一：作出可行域，利用可行域的上下界，成立的不等式，由x＝ 0得(0,4) ，x＋3y＝ 4，由得 (1,1)．3x＋ y＝ 4地区 D 的上界为 (0,4)，下界为 (1,1)，∴ y＝ a(x＋ 1)与 D 有公共点，则有2a≥1，a≤41∴2≤a≤ 4.法二：直线y＝ a(x＋ 1)为经过定点P(－ 1,0)且斜率为a，作出可行域后数形联合可知．不等式组所表示的平面地区 D 为如下图暗影部分(含界限 )，且 A(1,1)，B(0,4) ，C4，0,31直线 y＝a(x＋ 1)恒过定点 P(－ 1,0)且斜率为a，由斜率公式可知k BP＝ 4， k AP＝2，若直线 y ＝a(x＋1)知地区 D 有公共点，数形联合可得12≤a≤ 4.【答案】1 ,4 2题组训练四“点”定乾坤求解与线性规划相关的问题3x＋ 4y－ 10≥0，已知不等式组x≤4，表示地区D，过地区 D 中随意一点P 作圆 x2＋y2＝1 的两y≤3条切线且切点分别为A， B，当∠ PAB 最小时， cos∠ PAB＝ ()3 B.1A. 2 23D．－1C．－2 23x＋ 4y－ 10≥0，【分析】作出不等式组x≤4，表示的平面地区D，如下图：y≤3要使∠ APB 最大，则∠ OPB 最大．∵sin∠ OPB＝|OB|＝1，|OP| |OP |∴只需 OP 最小即可，即点 P 到圆心 O 的距离最小即可．由图象可知当|OP|垂直于直线3x－ 4y－ 10＝0，|－ 10|此时 |OP|＝＝2，|OA|＝1.2 23 ＋ 4αα OA 1，设∠ APB＝α，则∠ APO＝，即 sin ＝＝2 2 OP 22 α此时 cos α＝ 1－ 2sin2＝1－2×122＝1－12＝12，即 cos∠ APB＝1，∴∠ APB＝60°， 21∴△ PAB 为等边三角形，此时对应的∠PAB＝ 60°为最小，且cos∠PAB＝2.应选 B.【答案】 B【专题训练】一、选择题1．已知一元二次不等式f(x) ＜ 0 的解集为x x1 1或 x3A ． { x|x＜－ 1 或 x＞－ ln 3} B．{ x|－ 1＜ x＜－ ln 3} C．{ x|x＞－ ln 3}D． { x|x＜－ ln 3}x的解集为 ()，则 f(e )＞ 01【分析】f(x)＞0 的解集为x1x3xx1则由 f(e )＞ 0 得－ 1＜ e ＜ ，解得 x ＜－ ln 3 ，即 f(e x )＞ 0 的解集为 { x|x ＜－ ln 3} ．【答案】 D2＋ 1＝ 1， x ＋ 2y ＞m 2－ 2m 恒成立，则 m 的取值范围是 ()2．已知 x ＞ 0， y ＞0， x y 3A ． [－ 6,4]B ． [－ 4,6]C ．( －4,6)D ． (－ 6,4)2 12 1 2 【分析】∵ x ＋ y ≥2 xy ，即3≥2xy， 解得 xy ≥72，∵ 2＋ 1＝ 1，∴ 6＋ 3＝ 1，xy 3x y1即 3x ＋6y ＝ xy ，∴ x ＋2y ＝ 3xy ≥ 24，∴ m 2－ 2m ＜24 恒成立，解不等式 m 2－2m －24＜ 0得－ 4＜ m ＜ 6.应选 C.【答案】 C3．设 x ， y 知足拘束条件x ＋ y ≥a 7，则 a ＝ ()，且 z ＝ x ＋ ay 的最小值为x － y ≤－1A ．－ 5B ． 3C ．－5或 3D ．5 或－ 3【分析】依据拘束条件画出可行域如图中暗影部分所示：可知可行域为张口向上的V 字型．在极点处 z 有最小值，极点为 a 1 , a 1 ，则 a－ 12 2 2＋a a 1＝7，解得 a＝ 3 或 a＝－ 5.当 a＝－ 5 时，如图 2，2图 2虚线向上挪动时 z 减小，故 z→－∞，没有最小值，故只有a＝ 3 知足题意．选 B. 【答案】 B4．已知 g(x)是R上的奇函数，当 x＜ 0x3， x≤0，时，g(x) ＝－ ln(1 － x)，函数 f(x)＝g x ，x＞0，若 f(2－ x2)＞ f(x)，则实数 x 的取值范围是 ( )A．(－∞，1)∪(2，＋∞ ) B． (－∞，－ 2)∪ (1，＋∞)C．(1,2) D． (－ 2,1)【分析】设 x＞0，则－ x＜ 0，所以 g(－ x)＝－ ln(1 ＋ x)，由于 g(x)是R上的奇函数，x3， x≤0，易知 f(x)是R上的单一递所以 g(x)＝－ g(－x)＝ln(1 ＋ x)，所以 f(x)＝ln 1＋ x ， x＞ 0，增函数，所以原不等式等价于2－ x2＞ x，解得－ 2＜ x＜ 1.应选 D.【答案】 D2x－ y≤0，5．已知实数x， y 知足x＋ y－ 5≥0，若不等式a(x2＋ y2) ≥(x＋ y)2恒成立，则实数a 的y－ 4≤0，最小值是 ________．【分析】可行域为一个三角形ABC 及其内部 (图略 )，此中 A(2,4)，B(1,4)，C5 ,10，3 3所以 y∈ [k OA ， k OB ] ＝ [2,4] ，由于 y ＋ x在 [2,4] 上单一递加，所以y ＋ x ∈5 ,17，不等式 a(x 2xxyx y2 422x y 299＋y ) ≥(x ＋ y) 恒成立等价于 a ≥ x2y 2 5? a min ＝ 5.max【答案】9 52x －y － 2≥06．已知实数 x ，y 知足 x ＋y － 1≤0 ，z ＝ mx ＋ y 的最大值为 3，则实数m 的值是 ( )y ＋ 1≥0A ．－ 2B ． 3C ．8D ． 22x － y － 2≥0【分析】由实数 x ， y 知足 x ＋ y － 1≤0 作出可行域如图，y ＋ 1≥02x － y － 2＝0 ，解得A1, 1，联立y ＋ 1＝ 0 22x － y － 2＝0，解得 B(1,0)，同理 C(2，－ 1)联立x ＋ y － 2＝0化目标函数 z ＝ mx ＋ y 为 y ＝－ mx ＋ z ，当直线 z ＝ mx ＋ y 经过 C 点时，获得最大值3；∴ 3＝ 2m － 1，解得 m ＝ 2.应选 D.【答案】 D1＋ 4的最小值为 ()7．已知函数 f(x) ＝cos πx(0<x<2)，若 a ≠b ，且 f(a)＝ f(b)，则 a b 9A. 2 B ． 9【分析】函数 f( x)＝ cosπx(0< x<2) ，轴为 x＝ 1，若 a≠b，且 f(a)＝ f( b)，所以 a＋ b＝ 2131 4＝1 4 1 1 b 4a所以＋a b (a＋ b) ×＝25ba b 2 a 1 9 2 4 1 ≥ (5＋ 4)＝，当 a＝，b＝时取等号，故a 2 2 3 3＋4b的最小值为92，应选 A.【答案】 A2x－ y＋ 6≥08．已知实数 x，y 知足 x＋ y≥0，若目标函数 z＝－ mx＋ y 的最大值为－ 2m＋ 10，x≤2最小值为－ 2m－ 2，则实数 m 的取值不行能是 ( )A ． 3 B． 2C．0 D．－ 12x－ y＋ 6≥0【分析】由拘束条件x＋ y≥0作出可行域如图，x≤2联立方程组求得A(－ 2,2)， B(2，－ 2)， C(2,10) ，化目标函数z＝－ mx＋ y 为 y＝ mx＋ z，若 m≥0，则目标函数的最大值为 2m＋ 2，最小值为－ 2m－2，－2m＋ 10＝2m＋2由，可知 m＝ 2；－2m－ 2＝－ 2m－ 2若 m＝ 0，则目标函数的最大值为 10，最小值为－ 2，切合题意；若 m＝－ 1，则目标函数的最大值为－ 2m＋ 10，最小值为－ 2m－ 2，切合题意．∴实数 m 的取值不行能是 3.应选 A.【答案】 A－ ln x－x， x＞ 0，1 ＜ ln 1－ 2 的解集为9．已知函数f(x)＝则对于 m 的不等式 f－ ln －x ＋ x， x＜ 0. m 2()A. 0,1B ． (0,2)2C.1,0 ∪ 0,1D ． (－ 2,0)∪ (0,2)22【分析】函数 f(x)的定义域 ( －∞， 0)∪ (0，＋ ∞)对于原点对称，∵ x ＞ 0 时，－ x ＜ 0，f(－ x)＝－ ln x － x ＝ f(x)，同理： x<0 时， f(－ x)＝ f(x) ，∴ f(x)为偶函数．∵ f(x)在(0 ，＋ ∞)上为减函数，且 f(2) ＝－ ln 2 － 2＝ ln 1 －2.2∴当 m ＞ 0 时，由 f1＜ ln 1－ 2，得 f 1 ＜ f(2)，m2m∴ 11m ＜0 时，得－1 ＞ 2，解得 0＜ m ＜ .依据偶函数的性质知当＜ m ＜ 0.m 22【答案】Cx ≥2，时，z ＝ x ＋ y10．已知 x ，y 知足 y ≥2， (a ≥b ＞ 0)的最大值为 2，则 a ＋ b 的最小值为 ()x ＋ y ≤8 a bA ．4＋2 3B ．4－2 3C ．9D ． 8x ≥2，【分析】由拘束条件y ≥2，作出可行域如图，x ＋ y ≤8x ＝ 2， 联立，x ＋ y ＝ 8解得 A(2,6)，化目标函数 x y bz ＝ ＋ 为 y ＝－ x ＋ bz ，a b ab由图可知，当直线y＝－a x＋ bz 过点 A 时，2 6直线在 y 轴上的截距最大，z 有最大值为＋＝2，即1＋3＝1. a b所以 a＋ b＝ (a＋ b) 1 3a bb ＋3a b 3a＝ 4＋b ≥4＋ 2 ·＝4＋2 3.a a b1＋3＝ 1，当且仅当 a b 即 a＝ 3＋ 1， b＝ 3＋3时取等号．b＝3a，【答案】 A11．若函数 f(x)＝ x4＋ 4x3＋ ax2－ 4x＋ 1 的图象恒在 x 轴上方，则实数 a 的取值范围是 () A．(2，＋∞ ) B． (1，＋∞)C．( 3－1，＋∞) D． (2－ 1，＋∞)2 2【分析】x4＋ 4x3＋ ax2－ 4x＋ 1>0 恒成立，当x＝ 0 时， a∈R，当 x≠0时， a> －x4＋ 4x3－ 4x＋ 1 2 4 1 2 2 1 x2 ＝－ (x ＋4x－x＋x2)＝－ (t ＋ 4t＋ 2) ＝－ (t＋ 2) ＋ 2，此中t＝ x－x∈R，由于－( t＋ 2)2＋ 2≤2，进而 a>2，所以实数 a 的取值范围是 (2，＋∞)，选 A.【答案】 A二、填空题2x＋ y－ 4≥012．已知点 M 的坐标 (x，y)知足不等式x－ y－ 2≤0，N为直线y＝－2x＋2上任一点，y－ 3≤0则|MN|的最小值是 ()5 2 5A. 5B. 5C. 5D. 5 102x ＋ y － 4≥0【分析】点 M 的坐标 ( x ， y)知足不等式组 x － y － 2≤0 的可行y －3≤0域如图： N 为直线 y ＝－ 2x ＋2 上任一点，则 |MN |的最小值，就是两条|－ 2＋4|25 平行线 y ＝－ 2x ＋ 2 与 2x ＋ y － 4＝0 之间的距离： d ＝＝，故选 B.【答案】Ba ba13．设 a>b>c>0 ，若不等式 log2018＋ log 2018 ≥dlog2018 对全部知足题设的 a ，b ， cbcc均成立，则实数 d 的最大值为 ____________．a b a lg2018 lg2018 lg2018【分析】log b 2018＋ log c 2018 ≥dlog c 2018?a ＋b ≥d a ，由于 a>b>c>0 ，lg b lg clg ca ba ab a 1 1)(x ＋ y)的最小值，所以 lg >0 ，lg>0，lg >0 ，设 x ＝ lg ，y ＝ lg ，则 lg＝ x ＋ y ，所以 d ≤(＋bccbccx y1 1 y x y xd ≤4，即实数 d 的而( ＋ )( x ＋ y)＝ 2＋＋ ≥2＋2·＝ 4，当且仅当 x ＝ y 时取等号，进而x y x yx y最大值为 4.【答案】 4x ＋y ≥2，14．已知点 O 是坐标原点，点A(－ 1，－ 2)，若点 M(x ， y)是平面地区 x ≤1，上y ≤2，→ → →1的一个动点， OA ·(OA －MA )＋ m ≤0恒成立，则实数 m 的取值范围是 ________．【分析】→ →由于 OA ＝ ( －1，－ 2)，OM ＝ (x ， y)，→ → → → →所以 OA ·(OA － MA )＝ OA ·OM ＝－ x － 2y.→ → → 1 1 1恒成立．所以不等式 OA ·(OA － MA )＋ ≤0恒成立等价于－ x － 2y ＋m≤0，即 ≤x ＋ 2ym m设 z ＝ x ＋ 2y ，作出不等式组表示的可行域如下图，当目标函数 z ＝ x ＋ 2y 表示的直线经过点 D(1,1)时获得最小值， 最小值为 1＋ 2×1＝3；当目标函数 z ＝ x ＋ 2y 表示的直线经过点B(1,2)时获得最大值，最大值1＋ 2×2＝ 5.1所以 x ＋2y ∈ [3,5] ，于是要使 m ≤x ＋ 2y 恒成立，只需 11m 的取值范围是 (－ ∞， 0)∪ 1≤3，解得m ≥ 或 m ＜0，即实数 ,m33【答案】 (－∞，0)∪1,3。

第11题 不等式性质、不等式解法、 线性规划与基本不等式【考法】本主题考题类型为选择题、填空题，以函数、不等式、三角函数等为载体，考查不等式的性质、简单不等式解法、简单线性规划解法和基本不等式（重要不等式）应用等，考查运算求解能力、数形结合思想，难度为基础题或中档题，分值为5至10分．【考前回扣】1．一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ＞0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小． 2．一元二次不等式的恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.3．分式不等式f (x )g (x )＞0(<0)⇔f (x )g (x )＞0(<0)； f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0. 4．基本不等式(1)a ＋b 2≥ab (a ，b ∈(0，＋∞))，当且仅当a ＝b 时取等号．(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”、“定”、“等”的条件． 5．线性规划(1)可行域的确定，“线定界，点定域”．(2)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得．(3)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个．【考前回扣】1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错．2．解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a＞0，a<0进行讨论．3．应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f(x)g(x)≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0. 4．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝x2＋2＋1x2＋2的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数y＝x＋3x(x<0)时应先转化为正数再求解．5．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．6．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y－2x＋2是指已知区域内的点(x，y)与点(－2，2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1,1)的距离的平方等．【考向】考向一不等关系与不等式的性质应用【解决法宝】1.判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，有时需要应用相关函数的性质，也可以用作差比较法或作商比较法．2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．例1【2019届河北衡水十三中质检（四)】设，，则下列不等式中不一定成立的是（）A．B．C．D．【分析】举反例否定D，而A,B,C可结合函数与不等式性质给予证明.【解析】因为在上是增函数，所以，因为-c在上是减函数，所以，因为,所以，当时,,所以D不成立，选D.考向二不等式的解法【解决法宝】(1)对于一元二次不等式，首先要看二次项系数a是否为正，若为负，则将其变为正数，再求相应一元二次方程的根，再利用大于0的不等式在两边，小于零的不等式在中间，写出一元二次不等式的解集．(2)对简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是分别利用实数运算性质、指数函数的单调性、对数函数的单调性等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．(3)对含参数不等式，常用分类讨论的方法，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．（4）解不等式与集合结合命题时，先解不等式确定集合，再按集合的关系与运算求解． （5）分段函数与不等式结合命题，应注意分段求解．（6）对函数不等式问题，先判断函数图像与性质，再借助函数图象与单调性，将函数不等式化为简单不等式求解，注意函数定义域.例2【河北省唐山市2018届上学期期末】已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，若()20f -=，则满足的x 的取值范围是( )A.B.C.D.【分析】由实数乘积符号法则知不等式等价于或，再由函数()f x 的性质，即可画出函数()f x 的图象，结合函数图象即可列出关于x 的不等式，即可解出x 的范围.考向三 不等式恒成立问题【解决法宝】不等式恒成立问题一般用分离参数法转化为函数最值求解或用赋值法讨论求解．注意区分几类问题的解法：①对任意x ∈A ，f(x)>M(或f(x)<M)恒成立；②存在x ∈A ，使f(x)>M(或f(x)<M)成立． 例3【2019届浙江省宁波市期末】已知不等式对任意正整数均成立，则实数的取值范围___【分析】首先利用转换思想把分式不等式转换为整式不等式，进一步利用赋值法和集合法求出实数的范围． 【解析】由，得：，记.，则或；或，或；或，当时，或，所求范围为.考向四 简单线性规划的应用【解决法宝】解简单线性规划的应用基本思路是：画、移、解、代.技巧是：往往在“角点”处取得最值，直接代入点的坐标即可；若目标为非线性，关键点是理解目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义：（1）表示点),(y x 与点),(b a 之间的距离；（2）表示),(y x 到直线距离的22B A +倍；（3）ax by --表示点),(y x 与点),(b a 连线的斜率. 例4【2019届贵州省遵义市绥阳中学模拟(一)】若实数，满足不等式组则的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】由约束条件作出可行域，再令，因此要取最大值只需取最小值，结合图像即可得出结果.【解析】由约束条件作出可行域如下，令，所以要取最大值只需取最小值，又可化为，所以表示直线在轴截距的相反数，由图像可得，直线过点时，截距最大，即最小，易得，所以，因此的最大值为4，故选D考向五简单线性规划”逆向”问题，确定参数的取值（范围）【解决法宝】1.当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域要意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.2.在线性规划问题可行域下的恒成立问题，一定要结合“可行域”将“恒成立”加以控制，使之转化为平面区域间关系的恒成立，再进行解答.3.在约束条件中的二元不等式若含有参数且给定了该参数的取值范围的问题，就意味着直线是“动直线”，则应将该动直线运动的“最大”“最小”位置固定下来，根据运动的趋势确定好不同情况下的可行域，再针对解答目标逐步分析方能获解.学-科网4.目标函数中含有参数时，要根据问题的实际意义注意转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论研究.例5.【2019届山东省菏泽市一模】已知实数满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则的值为（）A．-1 B．C．1 D．2【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.【解析】由约束条件作出可行域如图所示，其中，，，目标函数可化为，当直线过点时最大，所以，解得，故选C考向六基本不等式应用【解决法宝】利用基本不等式求最值时应注意：（1）在应用基本不等式求最值时，要把握三个方法，即“一正——各项（因式）都为正数；二定——和或积为定值；三相等——等号能取等号”，这三个方法缺一不可. （2）若无明显“定值”，则用配凑的方法，使和为定值或积为定值.当多次使用不等式时，一定要注意每次是否保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法. （3）必须掌握的三个不等式：（1）a ，b R ∈，则（当且仅当a b =时取等号）.（2）a ，b R ∈，则（当且仅当a b =时取等号）.（3）a ，b R +∈，则（当且仅当a b =时取等号）。

基本不等式与线性规划1.若x >0，y >0，且log 3x +log 3y =1，则11x y+的最小值是 .【答案】【解析】由log 3x +log 3y =1，得x ·y =3，所以1x +1y ≥.2.函数y2的最小值为 .【答案】52【解析】设tt ≥2)，易知y =t +1t 在[2，+∞)上是单调增函数，所以当t=2，即x =0时，y min =52.3.设x >1-，则函数()()521x x y x ++=+的最小值为.【答案】9【解析】y =27101x x x +++=x +1+41x ++5，因为x >-1，所以y =x +1+41x ++5≥9，当且仅当x =1时取等号.4.若实数x ，y 满足约束条件2022x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩的最小值为 .【解析】画出图象，可知最小值为原点到直线x+y-2=05.(1)设实数x，y满足x2+2xy-1=0，则x2+y2的最小值是.【分析】(1) 注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值.注意题中消去y较容易，所以应消去y.(2) 由所求的结论x2+y2想到将条件应用基本不等式，构造出x2+y2，然后将x2+y2求解出来.【答案】【解析】方法一：由x2+2xy-1=0得y=21-2xx，从而x2+y2=x2+221-2xx⎛⎫⎪⎝⎭=254x+214x-12≥2-12=，当且仅当x=.方法二：由x2+2xy-1=0得1-x2=2xy≤mx2+ny2，其中mn=1(m，n>0)，所以(m+1)x2+ny2≥1，令m+1=n，与mn=1联立解得m=，n=，从而x2+y2≥2=.(2)若a>0，b>0，且11121a b b+=++，则a+2b的最小值为.【答案】【解析】由已知等式得2a+2b+1=2ab+2a+b2+b，从而a=2-12b bb+，a+2b=2-12b bb++2b=12+32b+12b≥12=，故有最小值.(3)若实数x，y满足x>y>0，且log2x+log2y=1，则22x yx y+-的最小值为.【答案】4【解析】因为log2x+log2y=log2xy=1，所以xy=2.因为x>y>0，所以x-y>0，所以22-x y x y +=2(-)2-x y xy x y +=x -y +4-x y ≥，当且仅当x -y =2时取等号.(4)如图，已知函数y =a x +b (b >0)的图象经过点P(1，3)，则411a b+-的最小值为.(第5题)【答案】92【解析】方法一：(基本不等式法)由图可知a >1，点(1，3)在函数y =a x +b 的图象上，所以a +b =3，且1<a <3，0<b <2，所以4-1a +1b =12×241-1a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=12[(a -1)+b ]41-1a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=141521b a a b -⎛⎫++ ⎪-⎝⎭≥92.当且仅当4-1b a =-1a b ，即a =73，b =23时取等号.所以4-1a +192b的最小值为. 方法二：(三角代换法)由方法一可知a +b =3，且1<a <3，0<b <2，所以-12a +2b =1.令-12a =cos 2θ，2b =sin 2θ，所以4-1a +1b =22cos θ+212sin θ=2(1+tan 2θ)+21112tan θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=52+2tan 2θ+212tan θ≥92.以下同方法一.(5)设,0,5a b a b >+=,________.23(6) 已知,a b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为 . 222211211++=++++-++a b a b a b a b答案：23+(7)已知,x y 为正实数，且2x y +≤，则213x y x y++-的最小值为 .2121213222222+=+≥++-+++-+-x y x y x y y x y y y y答案：34+ (8)设,x y 均为正实数，且33122x y +=++，则xy 的最小值为 . 2,2x a y b +=+=, 则331a b+=，即3()ab a b =+(2)(2)2()44=--=-++=++xy a b ab a b a b答案：166(1).若x ，y 满足约束条件20020x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩则目标函数z =2x +y 的最大值为.(例2)【答案】6【解析】作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，则当目标函数过点A(4，-2)时，取得最大值z =2x +y =2×4-2=6.(2)若实数x ，y 满足x +y -4≥0，则z =x 2+y 2+6x -2y +10的最小值为.(变式1)【答案】18【解析】先作出不等式x +y -4≥0表示的平面区域如图所示，则z =(x +3)2+(y -1)2表示不等式x +y -4≥0表示的平面区域内的点(x ，y )与定点(-3，1)距离的平方，可求z min=2=18.(3).已知实数x ，y 满足 x 2+y 2≤1，则|2x +y -4|+|6-x -3y |的最大值是 .【答案】15【解答】当x ，y 满足x 2+y 2≤1时，2x +y -4<0，6-x -3y >0，设z =|2x +y -4|+|6-x -3y |，则z =-2x -y +4+6-x -3y =-3x -4y +10，即3x +4y +z -10=0.由题意可知，|-10|5z ≤1，即|z -10|≤5，所以5≤z≤15，故所求最大值为15. (4)（11年江苏14）设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=,若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________解析：当0m ≤时，集合A 是以（2，0）为圆心，以m 为半径的圆，集合B 是在两条平行线之间，(102m m +=+> ，因为,φ≠⋂B A 此时无解；当0m >时，集合A 是以（2，0m 为半径的圆环，集合B 是在两条平行线之间，必有m112m ≤≤.又因为2m 1,122m m ≤∴≤≤(5)【2012高考江苏14】（5分）已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ． 【答案】[] 7e ，。

简单的线性规划问题[学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题．知识点一 线性规划中的基本概念知识点二 线性规划问题 1．目标函数的最值线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是zb ，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．知识点三 简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A 、B 、C 三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一 求线性目标函数的最值例1 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1答案 B解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2，x －y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.题型二 非线性目标函数的最值问题例2 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，求(1)x 2＋y 2的最小值； (2)yx的最大值． 解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点的距离的平方．过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即⎝⎛⎭⎫45，85， 又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，得C ⎝⎛⎭⎫1，32， 所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |＝ 1＋⎝⎛⎭⎫322＝132， 所以，x 2＋y 2的最小值为134.(2)令v ＝yx ，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v＝y －0x －0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点C 时，v 最大， 由(1)知C ⎝⎛⎭⎫1，32， 所以v max ＝32，所以y x 的最大值为32.跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．答案 10解析 画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3,0)与可行域内点(x ，y )之间距离的平方．显然AC 长度最小，∴AC 2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x ＋3)2＋y 2的最小值为10. 题型三 线性规划的实际应用例3 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？解 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值， 最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800元．反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ， 把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎨⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫2007，2007.由⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎫25，752. 所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎫25，752， O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎭⎫25，752， 但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32D ．22．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z＝10x ＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．953．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．一、选择题1．若点(x, y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43 D ．43．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－∞，0]C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1)4．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．05．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c的值分别为( ) A ．－1,4 B ．－1，－3 C ．－2，－1 D ．－1，－26．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x ＋2y 的取值范围是________．8．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)．9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．10．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个．11．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，求a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m 3，五合板600 m 2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m 3，五合板2 m 2，生产每个书橱需要方木料0.2 m 3，五合板1 m 2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元． (1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？ (2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？ (3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1．答案 B 解析 如图，当y ＝2x 经过且只经过x ＋y －3＝0和x ＝m 的交点时，m 取到最大值，此时，即(m,2m )在直线x ＋y －3＝0上，则m ＝1. 2．答案 C解析 该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝⎛⎭⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.3．答案 12解析实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方， 故z min ＝⎝⎛⎭⎫122＝12.课时精练答案一、选择题 1．答案 A解析 画出可行域，如图所示，解得A (－2,2)，设z ＝2x －y ，把z ＝2x －y 变形为y ＝2x －z ， 则直线经过点A 时z 取得最小值； 所以z min ＝2×(－2)－2＝－6，故选A. 2．答案 D解析 作出可行域，如图所示．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移到(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4. 3．答案 D解析 作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1)．4．答案 C 解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C. 5．答案 D解析 由题意知，直线x ＋by ＋c ＝0经过直线2x ＋y ＝7与直线x ＋y ＝4的交点，且经过直线2x ＋y ＝1和直线x ＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.6．答案 D解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.二、填空题 7．答案 [2,6]解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]．8．答案 [3,8] 解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值z min ＝2×3－3×1＝3； 当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3,8]． 9．答案 4解析 由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.10．答案 13解析 |x |＋|y |≤2可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 (x ≥0，y ≥0)，x －y ≤2 (x ≥0，y ＜0)，－x ＋y ≤2 (x ＜0，y ≥0)，－x －y ≤2 (x ＜0，y ＜0)，作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个． 11．答案 21解析 作出可行域(如图)，即△ABC 所围区域(包括边界)，其顶点为A (1,3)，B (7,9)，C (3,1)方法一 ∵可行域内的点都在直线x ＋2y －4＝0上方， ∴x ＋2y －4＞0，则目标函数等价于z ＝x ＋2y －4，易得当直线z ＝x ＋2y －4在点B (7,9)处，目标函数取得最大值z max ＝21. 方法二 z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5， 令P (x ，y )为可行域内一动点，定直线x ＋2y －4＝0， 则z ＝5d ，其中d 为P (x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离． 由图可知，区域内的点B 与直线的距离最大， 故d 的最大值为|7＋2×9－4|5＝215.故目标函数z max ＝215·5＝21. 三、解答题12．解 z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l 0：2x －y ＝0平行的直线系l ，经上下平移，可得：当l 移动到l 1，即经过点A (5,2)时，z max ＝2×5－2＝8.当l 移动到l 2，即过点C (1,4.4)时，z min ＝2×1－4.4＝－2.4.13．解 先画出可行域，如图所示，y ＝a x 必须过图中阴影部分或其边界．∵A (2,9)，∴9＝a 2，∴a ＝3. ∵a ＞1，∴1＜a ≤3.14．解 由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x 张，可获得利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤90，2x ≤600，z ＝80x ，x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900，x ≤300，x ≥0⇒0≤x ≤300.所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)，即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元． (2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤90，1·y ≤600，z ＝120y ，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450，y ≤600，y ≥0⇒0≤y ≤450.所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)，即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元． (3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元， 则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0.把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600， 解得，点M 的坐标为(100,400)． 所以当x ＝100，y ＝400时，z max ＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。

专题十线性规划与基本不等式【背一背基础知识】1. 二元一次不等式(组)表示的平面区域2. 二元一次不等式表示的平面区域的确定：对于二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般来说有两种方法：（1）.是取不在直线上的点(x0，y0)作为测试点来进行判定，满足不等式的，则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．（2）.将“x”前系数变为正数，观察“y”前面的符号如果“y”前面的符号为正且不等号方向为“>”(或者 )则区域在直线上方，反之在直线下方.3. 线性规划中的基本概念成的不等式4.求目标函数的最值步骤：（1）作图—画出约束条件表示的平面区域；（2）平移—利用线性平移的方法找点使目标函数取得最值；（3）求值—求出目标函数的最值.【讲一讲基本技能】1. 必备技能：①.平面区域的确定.②.求目标函数最值对目标函数的处理：可按照如下的步骤进行，如果目标函数为z x y =+第一把目标函数整理成斜截式即y x z =-+这时候看z 前面的符号本例中z 前的符号为正那就是目标函数平移进可行域时截距最大的时候z 有最大值，截距最小时z 有最小值.第二令z=0画出目标函数.第三将目标函数平移进可行域找寻符合截距最大最小的最优解. 2. 典型例题例1【2017山东，文3】已知x ,y 满足约束条件250302x y x y -+≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则z =x +2y 的最大值是A.-3B.-1C.1D.3 【答案】D 【解析】例2【2017课标3，文5】设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y =-的取值范围是（ ） A ．[–3,0]B ．[–3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]【答案】B【练一练趁热打铁】1.若变量x y ，满足约束条件111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为( )A 、1-B 、0C 、1D 、2 【答案】A 【解析】由约束条111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩作出可行域如图，由图可知，最优解为A ，联立()100,111x y x A y x y +=⎧∴∴⎨-⎧=⎩⎨⎩＝＝ ,∴2z x y =-在点A 处取得最小值为1-．故选：A ．2.【2016高考山东】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是（ ）（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C基本不等式【背一背基础知识】1. 基本不等式ab ≤a ＋b2①．基本不等式成立的条件：a >0，b >0.②．等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2. 几个重要的不等式①.a 2＋b 2≥2ab(a ，b ∈R)；b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．②.ab≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R) 3. 算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4. 利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)【讲一讲基本技能】必备技能：1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 2．对于公式a ＋b ≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b的转化关系．3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b2≥ab(a ，b >0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b >0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．典型例题例1.【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 . 【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立. 例2【2017天津，文13】若a ，b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 .【答案】4 【解析】【练一练趁热打铁】1.【2017山东，文】若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞ 过点（1,2）,则2a +b 的最小值为 . 【答案】8 【解析】2.若直线220ax by -+=（0a >，0b >）经过圆222410x y x y ++-+=的圆心，则11a b+的最小值为___________． 【答案】4【解析】圆心坐标为 ()1,2-2224b aa b=++≥+=．一、选择题（12*5=60分）1．若0b a <<，则下列不等式不正确的是（ ）A. 22a b <B. 2ab b < C.11a b> D. a b < 【答案】C 【解析】A 项中，0b a <<， ()()220a b a b a b ∴-=-+<，故正确B 项中， 0b a <<， ()20ab b b a b ∴-=-<，故正确C 项中， 0b a <<， 11a b∴<，故错误 D 项中， 0b a <<，则a b <，故正确故选C .2．若,a b 是实数，则"2"a >是2"4"a >的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【解析】224a a >∴>，；取3a =- 24a >，满足，但推不出2a >，故反之推不到，所以"2"a >是2"4"a >的充分不必要条件，选A. 3．当时，不等式恒成立，则的取值范围是( ) A.B.C.D.【答案】A【解析】根据题意构造函数：，由于当时，不等式恒成立，即，解得，即，故选A.4．【2018届海南省高三二模】已知实数x ， y 满足1{210 3x x y x y ≥-+≤+≤，则3z x y =+的最大值是（ ）A. 4B. 7C. 8D. 173【答案】B【解析】作出可行域，如图所示：当直线经过点B ()12，时， 3z x y =+最大，即167z =+=， 故选：B.5．设变量x ，y 满足约束条件20{70 1x y x y x -+≤+-≤≥，则yx的最大值为（）A. 6B. 3C.85D. 1【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．yx表示可行域内的点(),M x y 与原点连线的斜率．结合图形可得，可行域内的点A 与原点连线的斜率最大． 由70{1x y x +-==，解得1{ 6x y ==，故得()1,6A ．所以max6OA y k x ⎛⎫==⎪⎝⎭．选A ． 6．已知实数,x y 满足20{0 0x y x y +-≤≥≥，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 4B. 3C. 0D. 2 【答案】A【解析】由已知不等式组，画出可行域如图所示，阴影部分AOB ∆，其中()()2,0,0,2A B ，令0z =有20x y +=表示经过原点的直线，由2z x y =+有1122y x z =-+，当直线的纵截距有最大值时， z 就有最大值，所以直线经过点B 时，纵截距有最大值， z 的最大值为0224z =+⨯=，选A.7．【2018届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测】某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时， B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时， B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A. 320千元 B. 360千元 C. 400千元 D. 440千元 【答案】B绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点()150,60B 处取得最大值： max 2215060360z x y =+=⨯+=千元. 本题选择B 选项.8．已知实数,x y 满足31{4 1y x x y y ≤-+≤≥，则目标函数z x y =-的最大值为（ ）A. 3-B. 3C. 2D. 2-【答案】C【解析】如图所示，当31x y ==，时， 目标函数z x y =-的最大值为312-= 故选C .9．【2018届河南省三门峡市高三上学期期末】若实数x ， y 满足20,{, ,x y y x y x b -≥≥≥-+且2z x y =+的最小值为4，则实数b 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 52D. 3 【答案】D【解析】作出不等式组对于的平面区域如图：∵z=2x+y 的最小值为4，即2x+y=4，且y=﹣2x+z ，则直线y=﹣2x+z 的截距最小时，z 也取得最小值， 则不等式组对应的平面区域在直线y=﹣2x+z 的上方，由24{ 20x y x y +=-=；，解得1{ 2x y ==， 即A （1，2），此时A 也在直线y=﹣x+b 上，即2=﹣1+b ，解得b=3，故选：D.10．已知0,0,1x y xy >>=，则21x y+的最小值为（ ）A. 2B. 4C. 3D. 【答案】D【解析】21x y +≥= 00x y >>，，当且仅当21x y=时成立， 故选D .11．【2018届浙江省台州市高三上学期期末】已知实数,x y 满足不等式组0,{20, 30,x x y x y ≥-≤+-≤则()()2212x y -++的取值范围是A. []1,5B. ⎤⎦C. []5,25D. []5,26 【答案】D【解析】画出0{20 30x x y x y ≥-≤+-≤表示的可行域，如图， ()()2212x y -++表示可行域内的动点(),x y 到()1,2-距离的平方，由图可知在()0,0处()()2212x y -++取最小值()()2201025-++=，在()0,3处取最大值()()22010226-++=，取值范围是[]5,26，故选D. 12．已知函数()321132f x ax bx x =+-（0a >， 0b >）在1x =处取得极小值，则14a b+的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 9 D. 10【答案】C二、填空题（4*5=20分）13. 若0x >，则28x x +的最小值为__________． 【答案】8 【解析】28x x +8≥= ,当且仅当12x =时取等号，即最小值为8. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14．已知0,0a b >>，并且111,,2a b 成等差数列，则9a b +的最小值为_________. 【答案】16【解析】由题可得： 111a b +=，故()119991916a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=+++≥ ⎪⎝⎭15．若()4log 4log a b +=a b +的最小值是__________．【答案】9【解析】因为()44log 4log log a b ab +=，所以4a b ab +=，化简得141b a+=，所以()1445549a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当6,3a b ==时等号成立，故填9. 16．若,x y 满足约束条件10,{20, 220,x y x y x y -+≤-≤+-≤则2x y +的取值范围为__________．【答案】(]0,2 【解析】画出如图可行域：设z=x+y,则y=-x+z 表示斜率为-1的一组平行线，显然如图当目标函数过A 时取得最大值1，无最小值，所以2x y +的取值范围为(]0,2。

<2021艺体生文化课-百日突围系列>专题10 线性规划与根本不等式利用线性规划求目标函数的最||值【背一背根底知识】1. 二元一次不等式(组)表示的平面区域2. 二元一次不等式表示的平面区域确实定：对于二元一次不等式所表示的平面区域确实定,一般来说有两种方法：(1 ).是取不在直线上的点(x0,y0)作为测试点来进行判定,满足不等式的,那么平面区域在测试点所在的直线的一侧,反之在直线的另一侧．(2 ).将"x〞前系数变为正数,观察"y〞前面的符号如果"y〞前面的符号为正且不等号方向为">〞(或者 )那么区域在直线上方,反之在直线下方.3. 线性规划中的根本概念4.求目标函数的最||值步骤： (1 ).作图 -画出约束条件表示的平面区域； (2 ). 平移 -利用线性平移的方法找点使目标函数取得最||值； (3 ).求值 -求出目标函数的最||值.【讲一讲根本技能】1. 必备技能：①.平面区域确实定 .②.求目标函数最||值对目标函数的处理：可按照如下的步骤进行 ,如果目标函数为z x y =+第|一把目标函数整理成斜截式即y x z =-+这时候看z 前面的符号本例中z 前的符号为正那就是目标函数平移进可行域时截距最||大的时候z 有最||大值 ,截距最||小时z 有最||小值.第二令z =0画出目标函数 .第三将目标函数平移进可行域找寻符合截距最||大最||小的最||优解. 2. 典型例题例1变量,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩,假设2z x y =-的最||大值为2 ,那么实数m等于 ( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2例2假设变量x y ，满足约束条件111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,那么2z x y =-的最||小值为( )A 、1-B 、0C 、1D 、2【练一练趁热打铁】1. 假设变量x ,y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,那么23z x y =+的最||大值为 ( )A ．10B ．8C ．5D ．22. x ,y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,那么y x z +-=2的最||大值是 ( )(A ) -1 (B ) -2 (C ) -5 (D )1根本不等式【背一背根底知识】1. 根本不等式ab ≤a ＋b2①．根本不等式成立的条件：a >0 ,b >0.②．等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2. 几个重要的不等式①.a 2＋b 2≥2ab(a ,b ∈R)；b a ＋ab ≥2(a ,b 同号)． ②.ab≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ,b ∈R)；⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ,b ∈R) 3. 算术平均数与几何平均数设a >0 ,b >0 ,那么a ,b 的算术平均数为a ＋b2 ,几何平均数为ab ,根本不等式可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4. 利用根本不等式求最||值问题 x >0 ,y >0 ,那么：(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时 ,x ＋y 有最||小值是2p .(简记：积定和最||小). (2)如果和x ＋y 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时 ,xy 有最||大值是p 24. (简记：和定积最||大)【讲一讲根本技能】必备技能：1.在应用根本不等式求最||值时 ,要把握不等式成立的三个条件 ,就是 "一正 - -各项均为正；二定 - -积或和为定值；三相等 - -等号能否取得〞 ,假设忽略了某个条件 ,就会出现错误．2．对于公式a ＋b ≥2ab ,ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 ,要弄清它们的作用和使用条件及内在联系 ,两个公式也表达了ab 和a ＋b 的转化关系．3．运用公式解题时 ,既要掌握公式的正用 ,也要注意公式的逆用 ,例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22；a ＋b 2≥ab (a ,b >0)逆用就是ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ,b >0)等．还要注意 "添、拆项〞技巧和公式等号成立的条件等．典型例题例1. 假设实数,a b满足12a b+= ,那么ab 的最||小值为( ) A、2 C 、、4 例2假设直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1) ,那么a b +的最||小值等于 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5例3.假设正数,x y 满足35x y xy += ,那么34x y +的最||小值是 ( )A ．245 B ．285C ．5D ．6 【练一练趁热打铁】1. 设函数1()21(0),f x x x x=+-< 那么()f x ( ) A ．有最||大值 B ．有最||小值 C ．是增函数 D ．是减函数 2.假设2x > ,那么12x x +-的最||小值为 ． 3.a ＞0 ,b ＞0 ,且a ＋2b 1a ＋1b 的最||小值为________．（一） 选择题 (12*5 =60分 )1. 点(－3 ,－1)和点(4 ,－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧 ,那么a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞ ,－7)∪(24 ,＋∞)D ．(－∞ ,－24)∪(7 ,＋∞)x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥ ,那么32z x y =-+的最||小值为( ) A ．2- B ．4- C ．6- D ．8-3.假设实数b a ,满足22=+b a 那么ba 39+的最||小值是 ( )A ．18B ．6C ．23D ．2434.假设变量,x y 满足约束条件3,212,21200x y x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ ,那么34z x y =+的最||大值是( )A 、12B 、26C 、28D 、335. 假设x,y 满足约束条件：x 2y 22x y 44x y 1+≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩ ,那么目标函数z=3x y -的取值范围是( )A 263⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， B 213⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， C []16- ， D 362⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 6. 假设变量x ,y 满足约束条件1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,那么3z x y =-的最||小值为 ( )7. 假设,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩；那么x y -的最||小值是 ( )()A 3- ()B 0 ()C 32()D 3 8．0<x ,函数4y x x=+的最||大值是 ( )A.9． 函数22(1)1x y x x +=>-的最||小值是 ( ) A．2 B．2 C． D ．22y x =上存在点(x ,y )满足约束条件30 230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩那么实数m 的最||大值为( )A ．－1B ．1 C.32D ．211.0a >,,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,假设2z x y =+的最||小值为1,那么a =( )A ．14B ．12C ．1D ．212．O 是坐标原点 ,点A (－1,1)．假设点M (x ,y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≥2x ≤1y ≤2上的一个动点 ,那么OA ·OM 的取值范围是 ( )A ．[－1,0]B ． [0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]（二） 填空题 (4*5 =20分 )13. 不等式224x x-<的解集为________.14. 假设,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩,那么y x 的最||大值为 .15. 0,0,8,a b ab >>= 那么当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最||大值.16. 假设,x y 满足约束条件13,1y x x y y -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩那么3z x y =+的最||大值为 .。

第12讲 线性规划及基本不等式一．选择题（共39小题）1．（2020秋•南岗区校级期末）设变量x 、y 满足约束条件为2600x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数3z x y =-的最大值为( )A ．0B ．3-C ．18D ．21【解析】解：作出变量x 、y 满足约束条件为2600x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩的可行域，如图所示的阴影部分，如图：由3z x y =-可得3y x z =-可得z -为该直线在y 轴上的截距，截距越小，z 越大， 作直线:30L x y -=，可知把直线平移到(6,0)A 时，z 最大， 故18max z =． 故选：C ．2．（2020秋•龙岗区期末）设实数x 、y 满足42y x x y y ⎧⎪+⎨⎪-⎩，则2z x y =+的最小值为( )A ．8-B ．6-C ．6D ．10【解析】解：由已知得到可行域如图：目标函数必须为2y x z =-+，当此直线经过图中(2,2)C --时z 最小，为226-⨯=-； 故选：B ．3．（2020•哈尔滨模拟）设x ，y 满足约束条件30320x x y y -⎧⎪+⎨⎪-⎩，则y x 的最大值为( )A ．0B ．23C ．32D ．2【解析】解：约束条件对应的区域如图：yx表示可行域中一点(,)x y 与坐标原点连线的斜率， 由23y x y =⎧⎨+=⎩解得(1,2)A ，由图形可知OA 的斜率取得最大值，即当1x =，2y =时yx取得最大值2． 故选：D ．4．（2020•漳州三模）已知变量x ，y 满足约束条件010x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】解：作出变量x ，y 满足约束条件010x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩对应的平面区域如图：由2z x y =+得2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点A 时，直线的纵截距最大，此时z最大，由1xy=⎧⎨=⎩，可知(1,0)A此时2102z=⨯+=，故选：C．5．（2020•河南模拟）设x，y满足约束条件13x yx yx-⎧⎪+⎨⎪⎩，则2z x y=-的最大值为()A．3-B．1C．2D．3【解析】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线2z x y=-过点A点时，目标函数2z x y=-的纵截距最小，此时z取得最大值，由13x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得(2,1)A时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值3．故选：D．6．（2020•柯桥区模拟）若实数x ，y 满足3102340220x y x y x y ++⎧⎪+-⎨⎪--⎩，则2x y +的最小值是( )A ．3-B ．1-C ．0D ．2【解析】解：由题中给出的三个约束条件，可得可行域为如图所示阴影部分，平移直线20x y +=，当直线经过可行域的C 时，目标函数的截距取得最小值， 此时2x y +取得最小值．由220310x y x y --=⎧⎨++=⎩解得(0,1)C -，2x y +的最小值为：1-，故选：B ．7．（2020•浙江模拟）若实数x ，y 满足约束条件203101x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩，则2z x y =+的最大值是( )A ．2B ．94C ．134D ．154【解析】解：画可行域如图，目标函数2z x y =+，2z可看成是直线2z x y =+的纵截距，20310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得1(4A ，7)4， 画直线2z x y =+，平移直线过A 点时，目标函数的纵截距取得最大值．此时z 有最大值17152444+⨯=． 故2z x y =+的最大值为：154． 故选：D ．8．（2020•来宾模拟）设实数x ，y 满足不等式组4,2,4,x y y x x +⎧⎪-⎨⎪⎩则11y z x +=+的最小值为( )A ．13B ．15C ．13-D ．12-【解析】解：作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示，由44x y x +=⎧⎨=⎩，解得(4,0)C ，11y x ++表示平面区域内的点(,)x y 与(1,1)D --连线的斜率， 则11y z x +=+的最小值为15CD k =．故选：B ．9．（2020•青羊区校级模拟）若实数x ，y 满足约束条件2040250x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩，则11y z x -=+的最大值为( )A ．1B ．2C ．12D ．3【解析】解：作出实数x ，y 满足约束条件2040250x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩所对应的可行域（如图阴影），11y z x -=+的几何意义是可行域内的点与定点D 连线的斜率，由图象知可知DA 的斜率最大，此时DA 与直线20x y -+=重合， 即z 的最大值为1， 故选：A ．10．（2020•江西模拟）若点(,)x y 在不等式组1010330x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩表示的平面区域内，则实数211y z x -=+的取值范围是( ) A ．[1-，1]B ．[2-，1]C ．1[2-，1]D ．[1-，1]2【解析】解：根据约束条件画出可行域，则实数1212211y y z x x --==++表示可行域内点Q 和点1(1,)2P -连线的斜率的最值的2倍， 当Q 点在原点C 时，直线PC 的斜率为12，当Q 点在可行域内的点B 处时，直线PQ 的斜率为14-，结合直线PQ 的位置可得，当点Q 在可行域内运动时，其斜率的取值范围是：1[2-，1]．故选：C ．11．（2020•浙江模拟）若实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩，则32z x y =-的最大值是( )A ．0B ．2C ．4D ．5【解析】解：实数x ，y 满足约束条件3403400x y x y x y -+⎧⎪--⎨⎪+⎩的可行域如图：340x y x y +=⎧⎨--=⎩解得(1,1)B -， 32z x y =-化为：322zy x =-，平行直线320x y -=，当直线经过B 时， 目标函数的纵截距最小，目标函数取得最大值， 32z x y =-的最大值是：5，故选：D ．12．（2020•镇海区校级模拟）设x ，y R ∈且满足约束条件24240x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩，则3(z x y =- )A ．有最大值16，最小值83-B ．有最大值16，最小值0C ．有最大值83，最小值0D ．有最大值83，最小值43-【解析】解：x ，y R ∈且满足约束条件24240x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪-⎩，的可行域如图：4(3A -，4)3-，(4,4)B -，4(3C ，4)3围成的阴影部分，平移3z x y=-，经过A时，函数3y x z=-的纵截距z-取得最大值，此时目标函数取得最小值，最小值83 -，经过B时，目标函数的截距取得最小值，此时目标函数取得最大值：16，故选：A．13．（2020•4月份模拟）实数x，y满足不等式组12222x yx yx y+⎧⎪--⎨⎪+-⎩，则目标函数2z x y=+的最大值为()A．3B．4C．5D．6【解析】解：由题意作出其平面区域，将2z x y=+化为2y x z=-+，z相当于直线2y x z=-+的纵截距，则由22010x yx y++=⎧⎨+-=⎩解得(4,3)A-，直线经过A时取得最大值．故2z x y =+的最大值是2435⨯-=， 故选：C ．14．（2020秋•双塔区校级期末）已知0a >，0b >，则28()()a b a b++的最小值为( )A ．4B ．8C ．12D ．18【解析】解：由282828()()1021018b a b a b a b a b a b++=++⨯=，当且仅当2b a =时取“=”．∴28()()a b a b++的最小值为18．故选：D ．15．（2020秋•咸阳期末）已知0a >，0b >且31a b +=，则28a b +的最小值为( )A ．B ．C ．6D ．8【解析】解：因为0a >，0b >且31a b +=，则28228a b a b +⋅==， 当且仅当132a b ==即12a =，16b =时取等号，故选：A ．16．（2020秋•如东县期末）已知0m >，0xy >，当2x y +=时，不等式492mx y+恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．1[,)2+∞B ．[1，)+∞C ．(0，1]D ．1(0,]2【解析】解：0xy >，且2x y +=，0x ∴>，0y >，∴4141411()()(4)(4(42222m m y mx x y m m m x y x y x y +=++=+++++=++，当且仅当4y mxx y=2y =时，等号成立，不等式492m x y +恒成立，∴19(422m ++，化简得，50m +，1，即1m ，m ∴的取值范围是[1，)+∞．故选：B ．17．（2020春•淮安期末）函数9()(2)2f x x x x =+>-的最小值为( ) A ．5B ．3C ．8D ．6【解析】解：99()222(2)28222f x x x x x x x =+=-++-+=---， 当且仅当922x x -=-，即5x =时，取等号． 所以函数()f x 的最小值为8． 故选：C ．18．（2019秋•淮安期末）函数22(1)1y x x x =+>-的最小值是( ) A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】解：因为22(1)1y x x x =+>-， 22(1)222(1)2611x x x x =-++-+=--， 当且仅当22(1)1x x -=-即2x =时取等号，此时取得最小值6． 故选：C ．19．（2020秋•宝安区期末）已知正数x ，y 满足2230x xy +-=，则2x y +的最小值是( ) A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】解：2230x xy +-=，232x y x-∴=，2233333332223222222x x x x x y x x x x x-+∴+=+==+⋅．当且仅当3322x x=即1x =时取等号． 故选：A ．20．（2020秋•鼓楼区校级期末）已知0x >，0y >，且91x y +=，则11x y+的最小值是( )A ．10B ．12C ．14D ．16【解析】解：0x >，0y >，且91x y +=，∴11119(9)()1061016y x x y x y x y x y+=++=++=+=， （当且仅当9y x x y =且91x y +=即112x =，14y =取等号） 故选：D ．21．（2020秋•建邺区月考）设0x >，0y >，且18x y +=，则xy 的最大值为( ) A ．80B ．77C ．81D ．82【解析】解：因为0x >，0y >， 所以182x y xy =+， 所以81xy ，当且仅当9x y ==时等号成立， 故选：C．22．（2020秋•雨花区校级月考）已知2x >，则函数1()24f x x x =+-的最小值为( )A ．2B ．2+C ．2D ．【解析】解：2x >，240x ∴->， 1111()(24)222(22242242f x x x x x =+=-++++--当且仅当11(24)224x x -=-时取得最小值2+故选：A ．23．（2020秋•辽源期末）已知2x >，那么函数42y x x =+-的最小值是( ) A ．5B ．6C ．4D ．8【解析】解：已知2x >，则20x ->， 函数444(2)2226222y x x x x x =+=+-+=---， 当且仅当4x =时“=”成立， 故函数的最小值是6， 故选：B ．24．（2020秋•梅州期末）已知0x >，0y >，则94x y x y+++的最小值为( )A ．B ．10C ．12D ．【解析】解：0x >，0y >，94949()()210x y x y x x y x y x ∴+++=+++⨯+， 当且仅当3x =，2y =时，取得最小值10． 故选：B ．25．（2020春•越秀区期末）若0a >，0b >，且240a b +-=，则ab 的最大值是( )A ．12B ．1C ．2D ．4【解析】解：0a >，0b >，且240a b +-=，4222a b ab ∴=+，即2，即24ab ，2ab ∴，当且仅当22a b ==时取“= “，ab ∴的最大值是2，故选：C ．26．（2020秋•镜湖区校级期中）已知m ，0n >，4m n mn +=，则m n +的最小值为( ) A ．72B ．7C ．8D ．9【解析】解：4m n mn +=，∴411n m+=． 0m >，0n >，4144()()()5()529m n m m n m n n m n m n ∴+=++=+++，（当且仅当4m nn m=取等号）． 故m n +的最小值为9． 故选：D ．27．（2020秋•三明期中）已知0x >，0y >，且4x y +=，则xy 最大值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：0x >，0y >，且4x y +=， 由基本不等式可得，2()42x y xy +=，当且仅当2x y ==时，等号成立， 故xy 最大值为4． 故选：D ．28．已知0a >，0b >，且124a b+=，46a b +的最小值是( )A ．4B ．4+C ．8+D ．4+【解析】解：已知0a >，0b >，且124a b +=，则有11142a b+=，所以1123246(46)()13424422a b a a b a b a b b a b +=++=+++++ 当且仅当232a b b a =且11142a b+=时取等号，则46a b +的最小值是的最小值是4+ 故选：B ．29．（2020秋•嘉兴期末）已知0a >，0b >，且121a b +=，则2b a+的最小值为( )A ．B ．3C ．8D ．9【解析】解：已知0a >，0b >，且121a b+=， 则22122()(2)421525229b b a ab ab ab a a b ab ab +=++=+++=+++， 当且仅当22ab ab=且121a b +=时取等号，则2b a+的最小值为9． 故选：D ．30．（2020秋•岳麓区校级期末）已知正数x ，y 满足2021x y xy +=，则2120x y+的最小值为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】解：由2021x y xy +=得20211y x+=， 2021202120()()22222421202120212021x y x y x y y x y x +=++=++++=， 当且仅当20212120x y y x=且20211y x +=时，等号成立． 故选：C ．31．（2020秋•浙江期中）已知正实数x ，y ，a 满足2x y axy +=，若2x y +的最小值为3，则实数a 的值为( )A ．1B ．3C ．6D ．9【解析】解：因为正实数x ，y ，a 满足2x y axy +=， 所以21a y x+=， 所以1211221292(2)()(5)(52)x y x y x y x y a y x a y x a a+=⨯++=+++=， 当且仅当22x y y x =且21a y x+=时取等号， 由题意可得，93a=， 解得，3a =， 故选：B ．32．（2020秋•西湖区校级期中）下列说法正确的是( ) A ．若a b <，则11a b> B ．若0a b c >>>，则b b ca a c+<+ C ．若a ，b R ∈，则2b a a b+ D ．若a ，b R ∈，则22a b aba b++ 【解析】解：A 当1a =-，1b =时，满足a b <，但是11a b<，A 不成立； 由0a b c >>>，则()0()()b bc ab bc ab ac c b a a a c a a c a a c ++----==<+++， 故b b ca a c+<+，B 成立； 当0ab <时，C 显然不成立，由a ，b R ∈，222()4()22()2()a b ab a b ab a b a b a b a b ++---==+++正负不确定，D 不成立． 故选：B ．33．（2020秋•文山州月考）若a ，b 为正实数，且1123a b+=，则3a b +的最小值为( ) A ．2B ．32C ．3D ．4【解析】解：1111313(3)()(11)(22)223232a b a b a b a b b a +=++=++++=，当且仅当33a b b a =时，即13a =，1b =时，取得最小值2， 故选：A ．34．（2020秋•秦淮区校级月考）已知正数a ，b 满足10ab =，则25a b +的最小值是( ) A ．10B ．20C ．15D ．25【解析】解：因为正数a ，b 满足10ab =，则2521020a b ab +=，当且仅当25a b =且10ab =即5a =，2b =时取等号， 故选：B ．35．（2020秋•玄武区校级月考）若正实数a ，b 满足10ab =，则25a b+的最小值为( )AB ．CD ．2【解析】解：因为正实数a ，b 满足10ab =， 所以251022a b ab +=，当且仅当25a b=且10ab =即5b =，2a =时取等号， 故选：D ．36．（2020秋•山东月考）若0x >，0y >，1x y +=，且14xm x y+>恒成立，则实数m 取值范围为( ) A ．(,3)-∞B ．(,6)-∞C ．(,5)-∞D ．(,9)-∞【解析】解：0x >，0y >，且1x y +=， 则14441125x x y x y x y m x y x y x y x ++=+=+++⨯>（当且仅当223y x ==取等号）， ∴成立的实数m 的取值范围是：5m <．故选：C ．37．（2020•浙江学业考试）已知实数x ，y 满足221x y +=，则xy 的最大值是( )A ．1BCD ．12【解析】解：因为221x y +=，则22122x y xy +=，当且仅当x y ==故选：D ．38．（2020•道里区校级四模）若正实数a ，b 满足112a b+ab 的最小值为( )AB ．C ．4D ．8【解析】解：正实数a ，b满足111222a b ab+=， 解可得，2ab ，当且仅当112a b=时取等号， 则ab 故选：A ．39．（2020春•安徽期末）已知0a >，0b >，且2a b +=，则22a b+的最小值是( ) A ．4B ．6C ．8D ．2【解析】解：由题意可得，222224a b a b b a b a b a b a b a b+++=+=+++=，当且仅当a b =时取等号， 故选：A ．二．多选题（共1小题）40．（2020秋•辽阳期末）已知1x >，则251x x +-的值可以为( ) A ．9B ．10C ．11D ．12【解析】解：由1x >，得10x ->， 所以2525(1)12(1)11111x x x x x +=-++-=--， 当且仅当2511x x -=-时等号成立， 故选：CD ．三．填空题（共4小题）41．（2020秋•太原期末）设变量x ，y 满足约束条件02360x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为 3 ．【解析】解：变量x ，y 满足约束条件02360x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪--⎩的可行域如图目标函数2z x y =+， 点(1,1)A ，3A z =， (2,0)B ，2204B z =⨯+=； (3,3)C ，2339C z =⨯+=，z 在点A 处有最小值：3，故答案为：3．42．（2020秋•黄埔区校级期末）已知3x <，则43x x +-的最大值为 1- ． 【解析】解：3x <，30x ∴-<，∴44(3)32(3133x x x x x +=+-+--=---， 当且仅当433x x =--即1x =时取等号， 故()f x 的最大值为1-， 故答案为：1-．43．（2020秋•朝阳区期末）已知0x >，0y >，且2x y +=，则xy 的最大值为 1 ． 【解析】解：因为0x >，0y >，且2x y +=， 所以由基本不等式可得，2()12x y xy +=， 当且仅当1x y ==时，等号成立， 故xy 最大值为1． 故答案为：1．44．（2020秋•唐山期末）当0x >时，函数2()1x f x x =+的最大值为 12． 【解析】解：0x >，∴211()11212x f x x x x x ===++⋅，当且仅当1x =时取“= “， 故答案为：12．。

学科教师辅导教案 学员 年 级高三 辅导科目数 学授课老师课时数2h第 次课授课日期及时段 2018年 月 日 ： — ：1．（2013文）设a ，b ，c R ∈，且a b >，则（ ）A ．ac bc >B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b > 【答案】D2．（2013沪春招）如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ） (A)11a b < (B) 2ab b < (C) 2ab a -<- (D) 11a b-<- 【答案】D3.(2014) 若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ） A 、a b c d > B 、a b c d < C 、a b d c > D 、a b d c< 【答案】D4．（2013理）不等式220x x +-<的解集为 . 【答案】(-2,1)5．（2012文）不等式x 2-5x+6≤0的解集为______. 【答案】{}23x x ≤≤6．（2012文）不等式的解集是___________。

【答案】(3,2)(3,)-⋃+∞ 4．（2013文）不等式021xx <-的解为 ． 【答案】(0,1/2)7.(2014新标1文) 设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值围是________【简解】作图象，得x ≤8历年高考试题集锦——基本不等式和线性规划20.(2012文) 设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数z=3x-2y 的最小值为（A ）-5 （B ）-4 （C ）-2 （D ）3【答案】B21.（2013）设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2 【答案】A22.(2013新标2文) 设x ，y 满足约束条件{ x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( ) A ．－7B ．－6C ．－5D ．－3【答案】B23.(2014新标2理) 设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 2 【答案】B24.(2014新标2文)设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（A ）8 （B ）7 （C ）2 （D ）1 【答案】B25．(2012) 若函数y ＝2x图象上存在点(x ，y )满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为( )A ．12B ．1C ．32D ．2【简解】作图，由图可知当直线x ＝m 经过函数y ＝2x的图象与直线x ＋y －3＝0的交点P 时取得最大值；即得2x＝3－x ，即x ＝1＝m ．选B 26．（2013文）某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为A ．31200元B ．36000元C ．36800元D ．38400元A ．10B ．8C ．5D ．2 【答案】C48.（2015年文科）变量,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数m 等于（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 【答案】C49.（2015年新课标1理科）若x,y 满足约束条件则yx的最大值为 . 【答案】350.（2015年新课标2文科）若x ,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则z =2x +y 的最大值为 ．【答案】851、（2016年高考）若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则x 2+y 2的最大值是（A ）4（B ）9（C ）10（D ）12 【答案】C52、（2016年高考）设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______. 【答案】)4,2(53、（2016高考）若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y -的最大值为____2-___.54．（2013文）若122=+yx，则y x +的取值围是（ ） A ．]2,0[ B ．]0,2[- C ．),2[+∞- D ．]2,(--∞ 【简解】用均值不等式，选D55.(2012文) 若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是 A.245B.285C.5D.6【简解】135y x +=，3x+4y=113131213(34)()()555x y x y y x y x +⋅+=++≥113236555⨯⨯+=.选C 56.（2015年文科）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】C57、（2016全国II 卷高考）若x ，y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为__________【答案】5-58、（2016全国III 卷高考）若,x y 满足约束条件210,210,1,x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则235z x y =+-的最大值为_____________. 【答案】10-59、（2016省高考）函数y =232x x --的定义域是 . 【答案】[]3,1-60、（2017全国I 卷文）设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ D ）A ．0B ．1C ．2D ．361.(2017年新课标Ⅱ文)设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( A )A.－15B.－9C.1D.962、（2017·）设变量x ，y 满足约束条件 ，则目标函数z=x+y 的最大值为（ D ）A、 B、1 C、 D、363、（2017•）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（ C ）A、0B、2C、5D、664、（2017•新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件，则z=3x﹣4y的最小值为____-1____。

第5节含参线性规划【典例讲解】例一：若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12【答案】D 【解析】可行域如图所示，当k >0时，知z ＝y －x 无最小值，当k <0时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，kx －y ＋2＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0，故z min ＝0＋2k ＝－4，即k ＝－12. 例二：已知变量,x y 满足约束条件 23110,480,20,x y x y x y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩若目标函数()0z x ay a =->的最大值为1，则.【答案】3【解析】约束条件所满足的区域如图所示，目标函数过B （4,1）点是取得最大值，所以141a =-⨯，所以3a =.【针对训练】1、已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则 （ ）（A ）3 （B ）2 （C ）-2 （D ）-3【答案】B2、若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y≤x，x ＋y≤4，y≥k，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.【答案】－2【解析】画出可行域，如图中阴影部分所示，不难得出z ＝2x ＋y 在点A (k ，k )处取最小值，即3k ＝－6，解得k ＝－2.3、若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y≥1，x －y≥－1，2x －y≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值． (2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解 (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1. ∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a 2<2，解得－4<a <2. 故所求a 的取值范围是(－4,2)．【练习巩固】1、若不等式组5002x y y a x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（ ）.A ．5a <B ．7a ≥C ．57a ≤<D ．5a <或7a ≥2、x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1【答案】D3、当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 4、已知a >0，x ，y 满足约束条件错误!若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2【解析】由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC 内部及边界部分，由目标函数z ＝2x ＋y 的几何意义为直线l ：y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距，知当直线l 过可行域内的点B (1，－2a )时，目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为1，则2－2a ＝1，a ＝12，故选B. 5、设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－53 【答案】C 【解析】在直角坐标系中画出可行域，如图所示，由题意可知，可行域内与直线x －2y ＝2有交点，当点(－m ，m)在直线x －2y ＝2上时，有m ＝－23，所以m<－23，故选C.6、．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y≥x，y≤mx，x ＋y≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为________．【解析】目标函数z ＝x ＋my 可变为y ＝－1m x ＋z m， ∵m >1，∴－1<－1m <0，z 与z m 同时取到相应的最大值，如图，当目标函数经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1时，取最大值，∴1m ＋1＋m2m ＋1<2，又m >1，得1<m <1＋ 2. 【答案】(1,1＋2)。

2021高考全国卷及自主招生数学高考真题线性规划专题真题整理〔附答案解析〕1.〔17全国卷I ，文数7〕设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩那么z =x +y 的最大值为〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D解析：如图，由图易知当目标函数z x y =+经过 直线33x y +=和0y =〔即x 轴〕的交点(3,0)A 时，z 能取到最大值，把(3,0)A 代入z =x +y 可得max 303z =+=，应选D.2.〔17全国卷I,理数14题〕设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，那么32z x y =-的最小值为 答案：5-解析：不等式组21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩表示的平面区域如下图。

由32z x y =-变形得322z y x =-。

要求z 的最小值， 即求直线322z y x =-的纵截距的最大值。

由右图，易知 当直线322z y x =-过图中点A 时，纵截距最大。

联立方程组2121x y x y +=-⎧⎨+=⎩，解得A 点坐标为(1,1)-，此时3(1)215z =⨯--⨯=-。

故32z x y =-的最小值是-5.3.〔17全国卷Ⅱ，文数7、理数5〕设x 、y 满足约束条件2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩ .那么2z x y =+的最小值是〔 〕A. -15B.-9C. 1 D 9答案：A解析：不等式组2+330233030x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩表示的可行域如下图，易知当直线2z x y =+过到213y x =+与3y =-交点()63--，时，目标函数2z x y =+取到最小值，此时有()()min 26315z =⨯-+-=-，故所求z 最小值为15-．4.〔17全国卷Ⅲ，文数5〕设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，那么z =x -y 的取值范围是( )A.[-3,0]B.[-3,2]C.[0,2]D.[0,3] 答案：B解析：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数 的几何意义可得目标函数z =x -y 在直线3260x y +-=与 直线0x =〔即x 轴〕的交点()0,3A 处取得最小值， 此时min 033z =-=-。

考纲解读明方向考点内容解读要求常考题型预测热度不等式的概念和性质了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景理解选择题★★☆分析解读 1.了解不等式的有关概念及其分类,掌握不等式的性质及其应用,明确各个性质中结论成立的前提条件.2.能利用不等式的相关性质比较两个实数的大小.3.利用不等式的性质比较大小是高考的热点.分值约为5分,属中低档题.考点内容解读要求常考题型预测热度1.平面区域问题①会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;②了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组理解选择题填空题★★★2.线性规划问题会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决理解选择题填空题★★★分析解读 1.多考查线性目标函数的最值问题,兼顾面积、距离、斜率等问题.2.能用线性规划的方法解决重要的实际问题,使收到的效益最大,耗费的人力、物力资源最少等.3.应重视数形结合的思想方法.4.本节在高考中主要考查与平面区域有关的范围、距离等问题以及线性规划问题,分值约为5分,属中低档题.考点内容解读要求常考题型预测热度利用基本不等式求最值①了解基本不等式的证明过程;②会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题掌握选择题填空题★★☆分析解读 1.掌握利用基本不等式求最值的方法,熟悉利用拆添项或配凑因式构造基本不等式形式的技巧,同时注意“一正、二定、三相等”的原则.2.利用基本不等式求函数最值、求参数范围、证明不等式是高考热点.本节在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查,分值约为5分.考点内容解读要求常考题型预测热度不等式的综合应用能够灵活运用不等式的性质求定义域、值域;能够应用基本不等式求最值;熟练掌握运用不等式解决应用题的方法掌握选择题填空题解答题★★★分析解读不等式的性质与函数、导数、数列等内容相结合,解决与不等式有关的数学问题和实际问题是高考热点.2022年高考全景展示1.【2022年天津卷文】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最大值为A. 6B. 19C. 21D. 45【答案】C【解析】分析：首先画出可行域，然后结合目标目标函数的几何意义确定函数取得最大值的点，最后求解最大值即可.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.2．【2022年文北京卷】设集合则A. 对任意实数a，B. 对任意实数a，（2,1）C. 当且仅当a<0时,（2,1）D. 当且仅当时,（2,1）【答案】D【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.3．【2022年浙江卷】若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．【答案】 -2 8【解析】分析:先作可行域，再平移目标函数对应的直线，从而确定最值.详解：作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点A(2,2)时取最大值8，过点B(4,-2)时取最小值-2.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即用数形结合的思想解题.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界处取得.4．【2022年天津卷文】已知，且，则的最小值为_____________.【答案】【解析】分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．5．【2022年文北京卷】若x,y满足，则2y−x的最小值是_________.【答案】3【解析】分析：将原不等式转化为不等式组，画出可行域，分析目标函数的几何意义，可知当时取得最小值.详解：不等式可转化为，即，满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为.点睛：此题考查线性规划，求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最大，在轴上截距最小时，值最小；当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.6．【2022年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【2022年全国卷Ⅲ文】若变量满足约束条件则的最大值是________．【答案】3【解析】分析：作出可行域，平移直线可得详解：作出可行域由图可知目标函数在直线与的交点（2，3）处取得最大值3，故答案为3.点睛：本题考查线性规划的简单应用，属于基础题。

重难点20 简单线性规划问题1、如何在直角坐标系中作出可行域：（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下三种情况：① 竖直线x a =或水平线y b =：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断② 一般直线()0y kx b kb =+≠：可代入()0,0点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域即为不等式表示区域，否则则为另一半区域。

例如：不等式230x y -+≤，代入()0,0符合不等式，则230x y -+≤所表示区域为直线230x y -+=的右下方③ 过原点的直线()0y kx k =≠：无法代入()0,0，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者利用象限进行判断。

例如：y x ≤：直线y x =穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧。

考虑第四象限的点0,0x y ><，所以必有y x ≤，所以第四象限所在区域含在y x ≤表示的区域之中。

（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件(),0F x y >（或(),0F x y <）边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件(),0F x y ≥（或(),0F x y ≤）边界能取值时，在图像中边界用实线表示 2、利用数形结合寻求最优解的一般步骤（1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域（2）确定目标函数z 在式子中的几何意义，常见的几何意义有：（设,a b 为常数） ① 线性表达式——与纵截距相关：例如z ax by =+，则有a zy x b b=-+，从而z 的取值与动直线的纵截距相关，要注意b 的符号，若0b >，则z 的最大值与纵截距最大值相关；若0b <，则z 的最大值与纵截距最小值相关。