市北资优八年级分册 第23章 23.3 特殊的平行四边形+杨晨光

23.3特殊的平行四边形1.矩形特殊的平行四边形是从平行四边形的边或角所具有的特征来定义的.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.因为矩形是特殊的平行四边形,所以它具有平行四边形的所有性质.另外,它还有自己特有的性质.我们仍然从边、角、特殊线段（对角线）、对称性的角度进行研究.从边的角度分析，由矩形的定义可知，它的边没有特殊的性质.从角的角度分析，也由矩形的定义可知，它有一个角是直角.如图23.3.1，四边形ABCD是矩形，∠A是直角.因为矩形ABCD是平行四边形，所以∠A=∠C，AB∥CD，所以∠A+∠D=∠B+∠C=180°.因此，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.由此，我们有了矩形的关于角的一个特殊性质.矩形的性质定理1矩形的四个角都是直角.如图23.3.1，用数学语言表达：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°（矩形的四个角都是直角）.D图23.3.1例1已知：如图23.3.2，在矩形ABCD中，∠ODA=∠OAD=14∠BOC.求证：OB=OC=AB.图23.3.2证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC（平行四边形的对边相等），∠BAD=∠CDA=90°（矩形的四个角都是直角）.设∠OAD=x.∵∠ODA=∠OAD=14∠BOC，∴OA =OD ，且∠BAO =∠CDO =90°－x ，∠BOC =4x ，∠AOD =180°－2x .∴△AOB ≌△DOC .∴∠AOB =∠DOC .∵∠AOD =180°－2x ，∠BOC =4x ，∴∠AOB =∠COD =()1360180242x x ︒-︒--⎡⎤⎣⎦=90°－x . ∴∠BAO =∠AOB =∠COD =∠DOC .∴AB =OB ，DC =OC .∵AB =CD ，∴OB =OC =AB .从对角线的角度分析，如图23.3.3，因为四边形ABCD 是矩形，所以∠ABC =∠DCB =90°，AB =CD .因为BC =BC ，所以Rt △ABC ≌Rt △DCB ，因此AC =BD .由此，我们有了矩形的关于对角线的一个特殊性质.矩形的性质定理2 矩形的对角线相等.如图23.3.3，用数学语言表达：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC =BD （矩形的对角线相等）.图23.3.3矩形的性质定理3 矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴是每组对边的垂直平分线. 例2 已知：如图23.3.4，在矩形ABCD 中，PO ⊥BD ，交BC 于点P，AB，BC .求证：PD 垂直平分OC .图23.3.4证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AO =OC =12AC ,B 0=DO =12BD （平行四边形的对角线互相平分），AC =BD （矩形的对角线相等）. ∴OC =OD .∵∠ABC =∠DCB =90°（矩形的四个角都是直角），∴222AB BC AC +=.∵AB，BC，∴AC ===.∴12AB AC =. ∴∠ACB =30°.∵∠BCD =90°，∴∠OCD =60°.∵OC =OD ，∴△OCD 是等边三角形.∴OD =DC ，∠DOC =60°.∵PO ⊥BD ，∴∠POC =30°=∠OCP .∴OP =CP .∵DC =DO ，OP =CP ，∴点D 在OC 的垂直平分线上，点P 在OC 的垂直平分线上.∴PD 垂直平分OC .练习23.3（1）1.已知点E 为矩形ABCD 的边CD 上的一点，且AB =AE =4，BC =2，则∠BEC = °.2.在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE ⊥BD ，垂足为点E ，∠DAE ：∠BAE =3:1，则∠EAC = °.3.已知矩形的两对角线的一个夹角为120°，一条对角线与较短边的和为18，则对角线的长为 .4.已知：如图，在矩形ABCD 中，E 是CB 延长线上一点，且CE =AC ，F 是AE 的中点.求证：DF ⊥FB.E(第4题)除了通过矩形的定义来判断一个四边形是否是矩形，我们还能不能找到其他的证明一个四边形是矩形的方法呢？如图23.3.5，在四边形ABCD 中，如果有三个角是直角，那么第四个角一定是直角，因此这样的四边形一定是平行四边形，而且是矩形.于是，我们有了矩形的判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形.如图23.3.5，用数学语言表达：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.图23.3.5例3已知：如图23.3.6，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，交BC于点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.求证：四边形ADCE是矩形.N图23.3.6证明：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，即∠ADC=90°.∵CE⊥AN，垂足为点E，∴∠CEA=90°.∵AD是∠BAC的平分线，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠BAD=∠CAD，∠MAN=∠CAN.∵∠BAD+∠CAD+∠MAN+∠CAN=180°，∴2∠CAD+2∠CAE=180°，即∠EAD=90°.∴∠ADC=∠DAE=∠AEC=90°.∴四边形ADCE是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.我们知道“矩形的对角线相等”，那么对角线相等的四边形是矩形吗？如图23.3.7，画任意两条相等且相交的线段AC、BD，再顺次联结A、B、C、D，得到的四边形ABCD 对角线相等，但显然不一定是矩形.对角线相等的平行四边形是矩形吗？D图23.3.7 图23.3.8已知：23.3.8，在ABCD中，AC=BD.求证：ABCD是矩形.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC=12AC，BO=DO=12BD（平行四边形的对角线互相平分）.∵AC=BD，∴AO=OC=OB.∴∠OAB=∠OBA，∠OCB=∠OBC.∵2∠ABO+2∠CBO=180°,即∠ABC=90°.∴ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.由此，我们有了矩形的判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形.如图23.3.8，用数学语言表达：在ABCD中，∵AC=BD，∴ABCD是矩形.例4已知：如图23.3.9，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE∥DC，BD=DC，DE平分∠BDC.求证：四边形ABCD是矩形.C图23.3.9证明：∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形（平行四边形的定义）.∴AE=CD，AD=CE（平行四边形的对边相等）.∵BD=DC，DE平分∠BDC，∴BE=CE=AD.∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形.∵BD=CD，AE=CD，∴BD=AE.∴ABED是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.练习23.3（2）1.已知：如图，点M 是ABCD边AD的中点，且MB=MC.求证：ABCD是矩形.2.已知：如图，点O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是矩形.3.已知：如图，点G在四边形ABCD的边BC的延长线上，CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，EF∥BC交CD于点O.若点O为CD的中点.求证：四边形DECF是矩形.B G2.菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.因为菱形时特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.另外，它还有自己特有的性质.我们仍然从边、角、特殊线段（对角线）、对称性的角度进行研究.从角的角度分析，由菱形的定义可知，它的角没有特殊的性质.从边的角度分析，由菱形的定义以及平行四边形的对边相等，可知菱形的四条边都相等.于是，我们有了菱形的性质定理1菱形的四条边都相等.如图23.3.10，用数学语言表达：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA（菱形的四条边都相等）.图23.3.10例5如图23.3.11，在菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，BF=FC，求∠EDF的度数.图23.3.11解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD（菱形的四条边都相等）.∵BF=FC，∴FC=12BC=12CD.∵DF⊥BC，∴∠FDC=30°.∴∠C=60°.∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD（平行四边形的对边平行）.∴∠B+∠C=180°.∴∠B=180°－∠C=180°－60°=120°.∵DE⊥AB，DF⊥BC，且∠B+∠BED+∠EDF+∠DFB=360°（四边形的内角和是360°），∴∠EDF=360°－∠BED－∠BFD－∠B=360°－90°－90°－120°=60°.从对角线的角度分析，如图23.3.12，在菱形ABCD中，对角线AC于BD相交于点O.因为四边形ABCD 是菱形，所以AB=AD，BO=DO，所以AO⊥BD，∠BAO=∠DAO.同理，∠ABO=∠CBO, ∠BCO=∠DCO, ∠CDO=∠ADO.于是，我们有了菱形的性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角戏平分一组对角. 如图23.3.12，用数学语言表达：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∠BAO=∠DAO ，∠ABO=∠CBO ，∠BCO=∠DCO ，∠CDO=∠ADO （菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角）.图23.3.12菱形的性质定理3 菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线.例6 如图23.3.13，在菱形ABCD 中，AB =13cm ，AC =24cm ，求菱形ABCD 的面积.图23.3.13解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AO =OC =12AC ，BO =DO =12BD （平行四边形的对角线互相平分），AC ⊥BD （菱形的对角线互相垂直）.∵AC =24cm ，∴AO =12AC =12cm . ∵222AO BO AB +=,AB =13cm，∴BO =（cm ）.∴BD =2BO =10cm . ∴=ABC ADC ABCD S S S +菱形 =1122AC BO AC DO ⋅+⋅ =()12AC BO DO ⋅+ =12AC BD ⋅=124102⨯⨯=120（cm ²） 由此可见，菱形的面积等于对角线的积的一半.练习23.3（3）1.若一个菱形的两相邻内角之比为1:2，周长为16cm ，则面积等于 .2.若菱形ABCD 的对角线AC =10，BD =24，AC 、BD 相交于点O ，则菱形的高为 .3.设菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 的周长为3ABC =60°，则菱形的面积为 .4.已知：四边形ABCD 是菱形，AC 、BD 是它的对角线，∠ABC =30°.求证：2AB AC BD =⋅.5.如图，以等腰Rt △ABC 的斜边AB 为边作菱形ABDE ，使D 、E 、C 三点在同一直线上，求∠CAE .A除了通过菱形的定义来判断一个四边形是不是菱形，我们还能不能找到其他的证明一个四边形是菱形的方法呢？如图23.3.14，如果四边形ABCD 中的四条边都相等，那么它的两组对边当然相等，四边形ABCD 一定是平行四边形，而且四边形ABCD 也一定是菱形.于是，我们有了菱形的判定定理1 四条边都相等的四边形是菱形.如图23.3.14，用数学语言表达：∵AB =BC =CD =DA ，∴四边形ABCD 是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）.DB图23.3.14例7已知：如图23.3.15，在△ABC中，BD平分∠ABC，AF⊥BD于点F，延长AF交BC于点E，∠GAF=∠DAF，联结EG、ED.求证：四边形AGED是菱形.C图23.3.15证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD.∵AF⊥BD于点F，∴∠AFB=∠EFB=90°.∵BF=BF，∴△ABF≌△EBF.∴AF=EF.∵AF⊥BD，∴BD垂直平分AE.∴AG=GE=DE=AD.同理可得，△AFG≌△AFD，AG=AD.∴AG=GE=DE=AD.∴四边形AGED是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）.对角线互垂直的平行四边形是菱形吗？如图23.3.16，在ABCD中，BO=DO.若AC⊥BD，则AC垂直平分BD，因此AB=AD，所以ABCD 是菱形.于是，我们有了菱形的判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形.如图23.3.16，应数学语言表达：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.D图23.3.16例8已知：如图23.3.17，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和F.求证：四边形BEDF是菱形.图23.3.17证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC(平行四边形的定义),OB=OD(平行四边形的对角线互相平分).∴∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB.∴△OED≌△OFB.∴DE=BF.又∵DE∥BF,∴四边形BEDF是平行四边形.∵EF⊥BD,∴四边形BEDF是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).练习23.3(4)1.已知:如图,在四边形ABCD中, ∠ABC=∠ADC=90°,点M是AC的中点,BN∥MD,且MN⊥BD,垂足为点O.求证:四边形BNDM是菱形.D2.已知:如图,在ABCD中,AD=2AB,AE=AB=BF,EC、FD分别交AD、BC于点M、N，联结MN.求证：四边形DMNC是菱形.3.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点M，AN平分∠DAC，交BC于点N，BE、AN相交于点O.求证：四边形AMNE是菱形.3.正方形有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.正方形是特殊的菱形，也是特殊的矩形.正方形具有菱形与矩形的所有性质.正方形的性质定理1正方形的四条边相等，四个角都是直角.正方形的性质定理2正方形的对角线相等，并且互相垂直，每条对角线平分一组对角.正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形.它的对称中心是对角线交点，对称轴是对角线所在直线及各边的垂直平分线.例9如图23.3.18，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,点E是BO的中点，DG⊥CE于点G，交OC于点F.若正方形ABCD边长为10cm，求EF的长度.图23.3.18解：∵四边形ABCD是正方形，∴AO =CO =12AC ，BO =DO =12BD （平行四边形的对角线互相平分），AC =BD （正方形的对角线相等）. ∴OC =OD .∵AC ⊥BD （正方形的对角线互相垂直），∴∠EDC =∠FOD =90°.∴∠OEC +∠OCE =90°.∵DG ⊥CE ，∴∠OEC +∠EDG =90°.∴∠OCE =∠EDG ，即∠OCE =∠ODF .又∵OC =OD ，∠EOC =∠FOD ，∴△EOC ≌△FOD .∴OE =OF .∴BC =CD =10cm （正方形的四条边相等），∠BCD =90°（正方形的四个角都是直角），∴222221010200BD BC CD =+=+=（cm ²）.∴BD =.∴BO =.∵点E 是BO 的中点，∴OF =OE =OB=2cm .∴222222522EF OE OF ⎛⎛=+=+= ⎝⎭⎝⎭（cm ²）.∴EF =5cm .例10 如图23.3.19，点M 、N 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，△MCN 的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求∠MAN 的度数.E M图23.3.19分析 由题意可知，MN =BM +DN ，因此考虑延长ND 至点E ，使DE =BM ，则可使条件MN =BM +DN 得到利用，有NE =MN .又可证△ADE ≌△ABM ，以及△AMN ≌△AEN ，可知∠MAN =45°.解： 延长线ND 至点E ，使DE =BM ，联结AE .∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC =CD =AD （正方形的四条边都相等）.∵△MCN 的周长等于正方形ABCD 周长的一半，∴CM+MN+NV=BC+CD=CM+BM+NC+DN.∴MN=BM+DN=DE+DN=EN.∵∠B=∠ADC=∠DAB=90°（正方形的四个角都是直角），∴∠ADE=180°－∠ADC=90°=∠B.∵AD=AB，DE=BM，∴△ADE≌△ABM.∴AE=AM，∠EAD=∠MAB.∴∠EAM=∠DAB=90°.∵NE=NM，AN=AN，∴△ANE≌△ANM.∴∠MAN=∠EAN=12∠EAM=45°.例10的解法，相当于将△ABM绕点A旋转至△ADE的位置.由于正方形的两条邻边AB、AD相等，因此这样的方法是可行的，而且在本题的题设下这种方法也是有效的.这种方法在其他有两条邻边相等的多边形（如等腰三角形、菱形、正方形等）中也可以运用.练习23.3（5）1.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OB延长线上一点，CE=BD，求∠ECB的度数.2.如图，正方形ABCD的边长为12，点P在BC上，BP=5，EF⊥AP，垂足为Q，与AB、CD分别相交于点E、F,求EF的长度.3.已知：如图，在正方形ABCD中，点P在BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E、F.求证：AP=EF.由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形.例11已知：如图23.3.20，在Rt△ABC中，∠A=90°,点D是BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E、F，且BE=CF.求证：四边形AEDF是正方形.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°.∵∠A=90°，∴四边形AEDF是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.∵点D是BC边上的中点，∴BD=CD.又∵BE=CF，∴Rt△BED≌Rt△CFD.∴DE=DF.∴四边形AEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.例12已知：如图23.3.21，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BD延长线上的点,且△ACE是等边三角形，∠AED=2∠EAD.求证：四边形ABCD是正方形.图23.3.21证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO（平行四边形的对角线互相平分）.∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC，即DB⊥AC.∴平行四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.∵△ACE是等边三角形，∴∠AEC=60°.∵EO⊥AC，∴∠AEO=∠AEC=30°.∵∠AED=2∠EAD，∴∠EAD=15°.∴∠ADO=∠EAD+∠AED=45°.∴四边形ABCD是菱形，∵∠ADC=2∠ADO=90°，∴四边形ABCD是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.练习23.3（6）1.已知：如图，四边形ABCD是正方形，AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形.G2.已知：如图，矩形ABCD的外角平分线围成四边形EFGH.求证：四边形EFGH 是正方形.GE3.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，BC =2AD ，AD AB ，DE ⊥BC ，垂足为点F ，且点F 是DE 的中点，联结AE ，交边BC 于点G .求证：四边形DGEC 是正方形.E答案：练习23.3（1）1. 752. 453. 124. 提示：联结CF .由于CE =AC ，F 是AE 的中点，则CF ⊥AE .因为四边形ABCD 为矩形，所以AD =BC ，∠ABC =∠DAB =90°.在Rt △ABE 中，F 为AE 中点，则AF =12AE =BF ，从而有∠F AB =∠FBA ,于是∠F AD =∠FBC ，所以△F AD ≌△FBC ，于是∠BFC =∠AFD .因为∠AFC =90°，所以∠DFB =90°，即DF ⊥FB.E练习23.3（2）1. 提示：可证△AMB≌△DMC，所以∠A=∠D.又因为AB∥CD，所以∠A+∠D=180°，所以∠A=∠D=90°，所以ABCD是矩形2. 提示：由矩形ABCD可知，AO=BO=CO=DO.因为AE=BF=CG=DH，所以EO=FO=GO=HO，所以四边形EFGH是平行四边形，且EG=FH.所以四边形EFGH是矩形3. 提示：因为CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，所以∠BCE=∠DCE，∠DCF=∠GCF.因为EF∥BC，所以∠BCE=∠FEC，∠EFC=∠GCF.从而∠DCE=∠FEC, ∠EFC=∠DCF，所以OE=OC，OF=OC，从而OE=OF.而点O为CD的中点，所以OD=OC.又OE=OF，从而四边形DECF是平行四边形.又因为CE平分∠BCD，CF平分∠GCD，从而∠DCE=12∠BCD，∠DCF=12∠DCG，从而∠DCE+∠DCF=12（∠BCD+∠DCG）=90°，即∠ECF=90°，所以四边形DECF是矩形练习23.3（3）1. ²2. 120 133.4. 提示：作AE⊥BC，垂足为点E（如图）.因为∠ABC=30°，所以AE=12AB.又因为四边形ABCD是菱形，所以AB=BC，且1122ABCDS AC BD BC AE BC AB=⋅=⋅=⋅菱形，所以2AB AC BD=⋅D5. 15°. 提示：过点C作CF⊥AB，垂足为点F；过点E作EG⊥AB，垂足为点G，则有矩形CFGE，因此CF=GE.因为CF是等腰Rt△ABC的底边上的高，所以CF=12AB，所以EG=12AB.由菱形ABDE可知，AB=AE，所以EG=12AE，从而∠BAE=30°.由等腰Rt△ABC可知∠BAC=45°，所以∠CAE=15°1. 提示：易证BM=12AC=DM.又MN⊥BD，所以MN垂直平分BD，因此BN=DN.易证△DOM≌△BON，所以BN=DM，所以BM=BN=DM=DN，所以四边形BNDM是菱形2. 提示：易证△AEM≌△DCM，所以DM=AM=12 AD.同理可得CN=BN=12BC，则DM=CN，且DM∥CN，因此四边形DMNC是平行四边形.又因为DM=12AD=AB=CD，所以四边形DMNC是菱形3. 提示：由于AD⊥BC，则∠BDA=90°.因为∠BAC=90°，所以∠ABC+∠C=90°，∠ABC+∠BAD=90°，从而∠BAD=∠C.因为AN平分∠DAC，所以∠CAN=∠DAN.又因为∠BAN=∠BAD+∠DAN，∠BNA=∠C+∠CAN，所以∠BAN=∠BNA，从而AB=NB.因为BE平分∠ABC，所以BE⊥AN，OA=ON，同理OM=OE，所以四边形AMNE是平行四边形，所以平行四边形AMNE是菱形练习23.3（5）1. 15°. 提示：如图，联结AE.由正方形ABCD可知AC=BD，则AC=CE.又因为BD垂直平分AC，所以AE=CE=AC，因此△ACE是等边三角形，∠ACE=60°.因为∠ACB=45°，所以∠ECB=15°2. 13. 提示：如图，过B作BG∥EF，交CD于点G.易证△ABP≌△BCG，则AP=BG.易证四边形BGFE是平行四边形，所以EF=BG=AP=133. 提示：如图，联结CP.易证△APD≌△CPD，则AP=CP.又可证四边形CFPE为矩形，所以CP=EF，因此AP=EF1. 提示：易证△AHE ≌△BEF ≌△CFG ≌△DGH ，则EH =FE =GF =HG ，∠AEH =∠BFE .所以四边形EFGH 是菱形.因为∠BFE +∠BEF =90°，所以∠AEH +∠BEF =90°,所以∠FEH =90°，因此四边形EFGH 是正方形2. 提示：由矩形ABCD 可知，AD =BC ，∠ADC =∠DCB =∠CBA =∠BAD =90°.因此结合外角平分线可知，∠GAD =∠GDA =45°，则AG =DG ，∠G =90°.同理可得，∠E =∠F =90°，所以四边形EFGH 是矩形.易证△DCF ≌△ABH ，所以AH =DF ，所以GF =GH ，因此四边形EFGH 是正方形3. 联结BE 、AC ，∵DE ⊥BC ，且点F 是DE 的中点，∴DC =EC ，于是∠DCF =∠ECF .又∵AD ∥BC ，AB =CD ，∴∠B =∠DCF ，AB =EC ，∴∠B =∠ECF ，∴AB ∥EC .又∵AB =EC ，∴四边形ABEC 是平行四边形，∴BG =CG =12BC . ∵BC =2AD ，∴AD =BG .又∵AD ∥BG ，∴四边形ABGD 是平行四边形.∵四边形ABGD 是平行四边形，∴AB ∥DG ，AB =DG .∵AB ∥EC ，AB =EC ，∴DG ∥EC ，DG =EC .∴四边形DGEC 是平行四边形.又∵DC =EC ，∴四边形DGEC 是菱形.∴DG =DC .由ADAB ，得CGDCDG .∴222DG DC CG +=，∴∠GDC =90°，∴四边形DGEC 是正方形23.3 特殊的平行四边形练习23.3（1）1. 在矩形ABCD 中，AB =3，BC =8，M 是BC 的中点，DE ⊥AM ，E 为垂足，则DE = .2. 在矩形ABCD 中，点E 为边AB 的中点，过点E 作直线EF 交对边CD 于点F ，若AEFD S ：BCEF S =2:1，则DF ：FC 的值为 .3. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，DE 平分∠ADC ，交BC 于点E ，∠BDE =15°，则∠COD = °，∠COE = °.4. 从矩形的一个顶点向对角线引垂线，此垂线分对角线所成两部分之比为1:3，已知两对角线交点到矩形较长边的距离为3，则矩形对角线长为 ，周长为 .5. 已知：如图，从矩形ABCD 顶点C 作对角线BD 的垂线，垂足为点E ，与∠BAD 的平分线相交于点F .求证：AC =CF .练习23.3（2）1. 已知：如图，在等腰三角形ABC中，D是底边BC上的中点，四边形DCAE是平行四边形..求证：四边形AEBD是矩形2. 如图，点M是ABCD的边AD的中点，点P是边BC上的一个动点，PE∥MB，PF∥MC，分别交MC于点E，交MB于点F.若AB：AD=1:2，试判断四边形PEMF的形状，并说明理由.3. 已知：如图，在ABCD 中，以AC为斜边作Rt△AEC，∠BED=90°.求证：ABCD是矩形.4. 已知：如图，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，P是BC延长线上的一点，过P分别作AB、AC的垂线PE、PF，垂足分别为点E、F.求证：DE=DF，且DE⊥DF.P练习23.3（3）1. 若从菱形的一个顶点到对边距离等于边长的一半，则菱形的最大的内角是°.2. 设菱形的边长是一个两位数，对调这个两位数的个位数与十位数字的位置得到的新数恰好为该菱形的一条对角线长的一半.若该菱形的另一条对角线长为整数，求该菱形的边长.3. 已知：如图，延长菱形ABCD一边DC至点E，使CE=DC，点F、G在BC上，且BF=GC，又∠F AB=1 4∠DAB，AF交对角线BD于点H. 求证：∠FHC=2∠CEG.E4. 已知：在菱形ABCD 中，∠BAD =120°，M 为BC 上一点，N 为CD 上一点.求证：若△AMN 有一个内角等于60°，则△AMN 为等边三角形.练习23.3（4）1. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AD 是∠A 的平分线交BC 于点D ，CH 是边AB 上的高，交AD 于点F ，DE ⊥AB 于点E .求证：四边形CDEF 是菱形.B2. 已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，∠BAE =∠DAF .联结AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM =OA ，联结EM 、FM .求证：四边形AEMF 是菱形.3. 如图，点D为等腰直角△ABC边BC上一点，AD的垂直平分线EF分别交AC、AD、AB于点E、O、F，BC=2.（1）当CD时，求AE；（2）当CD=2时，证明：四边形AEDF是菱形.E4. 已知：以菱形ABCD的各边向外作正△ABE、正△BCF、正△CDG、正△DAH，联结AF、CE、AG、CH，AF与CE相交于点M，AG与CH相交于点N.求证：四边形AMCN也是菱形.练习23.3（5）1. 如图，正方形ABCD的边长为1，M、N分别为BC、CD上的点，若△AMN是等边三角形，则△AMN的边长为 .N2. 已知：如图，在正方形ABCD中，F是DC的中点，E为BC上一点，且EC=14BC.求证：AF⊥EF.3. 已知：如图，在正方形ABCD中，过点C作直线EF∥BD，在EF上取一点N，使BN=BD，联结BN、DN交CD于点M.求证：DM=DN..4. 已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为BC、CD上的点，且∠EAF=45°.求证：EF=BE+DF练习23.3（6）1. 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l2于点M，DN⊥l2于点N.直线MB、ND分别交l1于点Q、P.求证四边形PQMN为正方形.2. 已知:如图,若在ABCD各边上向平行四边形的外侧作正方形,四个正方形对角线的交点分别是点S、R、Q、P.求证：四边形PQRS为正方形.3. 已知:如图,点E是正方形ABCD的边BC的中点,F是边CD上的一点,AE平分∠BAF.求证:AF=BC+CF.4. 如图,点P 在正方形ABCD 内,若P A :PB :PC =1:2:3,求∠APB 的度数.B答案：练习23.3（1）1. 245. 提示：由2ADM ABCD S S =矩形，可知AM DE AB BC ⋅=⋅，所以245AB BC DE AM ⋅== 2. 53. 60,75. 提示：由四边形ABCD 是矩形，可知OC =OD ，∠BCD =∠ADC =90°.因为ED 平分∠ADC ，所以∠EDC =45°.因为∠ODE =15°，所以∠ODC =60°，因此△OCD 是等边三角形，∠COD =∠OCD =60°，∠OCE =30°.因为∠EDC =45°，∠BCD =90°，所以∠DEC =45°，EC =CD =OC .所以∠COE =()1180302︒-︒=75° 4. 12,12+5. 因为四边形ABCD 是矩形，所以∠BAD =90°，AC =BD ，AO =OC =12AC ，BO =OD =12BD ，从而AO =DO ，所以∠OAD =∠ODA .因为AF 平分∠BAD ，所以∠F AD =12∠BAD =45°.设∠CAF =α，则∠OAD =∠ODA =45°－α.所以∠DOC =∠OAD +∠ODA =90°－2α.又因为EF ⊥BD ，所以∠ECO =90°－∠DOC =2α.而∠ECO =∠CAF +∠CF A ，所以∠CF A =α=∠CAF ，因此AC =CF练习23.3（2）1. BD =CD =AE ，BD ∥AE ，则四边形AEBD 为平行四边形.所以ED =AC =AB ，因此四边形AEBD 是矩形2. 四边形PEMF 是矩形.理由如下：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB =CD ，AB ∥CD .从而∠A +∠D =180°.因为点M 是AD 的中点，所以AM =DM .又因为AB ：AD =1:2，所以AM =DM =AB =CD ，从而∠ABM =∠BMA ，∠DCM =∠DMC .又因为∠A +∠ABM +∠BMA =∠D +∠DCM +∠DMC =180°，所以∠ABM +∠BMA +∠DCM +∠DMC =180°，即2∠BMA +2∠CMD =180°，即∠BMA +∠CMD =90°.而∠BMA +∠BMC +∠DMC =180°，所以∠BMC =90°,即∠FME =90°.又因为PE ∥MB ，PF ∥MC ，所以四边形PEMF 是平行四边形，因此四边形PEMF 是矩形3. 如图，联结BD ，交AC 于点O ；联结EO .因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AO =OC =12AC ，BO =DO =12BD . 因为Rt △AEC 为斜边，∠BED =90°，所以EO =12AC ，EO =12BD ，从而AC =BD . 又因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以ABCD 是矩形D4. 提示：如图，联结AD .可证四边形AFPE 是矩形，则AE =PF .又由等腰直角三角形ABC ，点D 是BC 的中点，可知AD =CD ，∠DAC =∠ACD =45°，所以∠PCF =45°，PF =CF =AE .又∠DAE =∠DCF =135°，所以△DAE ≌△DCF .所以DE =DF ，∠ADE =∠CDF .因此∠FDE =∠CDA =90°练习23.3（3）1. 1502. 65. 设菱形的边长为（10a +b ），则其一对角线的一半为（10b +a ），依题意有10a +b ＞10b +a ，即a ＞b .而()()221010a b b a +-+=9×11（a +b ）（a －b ）为完成平方数，且a 、b 为1、2、3、…、9，则a +b =11，经推算a =6，b =53. 如图，联结AC .因为四边形ABCD 是菱形，所以∠BAC =12∠BAD . 又因为∠F AB =14∠BAD ，所以∠BAF =∠F AC . 因为BD 垂直平分AC ，所以AH =CH .于是∠FHC =∠HAC +∠HCA =2∠HAC =2∠F AB .又AB ∥CD ，有∠ECG =ABF 且CG =BF ，CE =CD =AB ，所以△CEG ≌△BAF ，从而∠CEG =∠BAF .因此∠FHC =2∠CEGE4. 如图，联结AC ，则易证△ABC 与△ADC 都为等边三角形.有以下两种证法：（1）若∠MAN =60°，则△ABM ≌△CAN ，从而AM =AN .而MAN =60°，所以△AMN 为等边三角形.（2）若∠AMN =60°，则过M 作CA 的平行线交AB 于点P .因为∠BPM =∠BAC =60°，∠B =60°，所以△BPM 为等边三角形，从而BP =BM .而BA =BC ，所以AP =MC .又∠APM =120°=∠MCN ，∠P AM =∠AMC －∠B =∠AMC －60°=∠AMC －∠AMN =∠CMN ，所以△P AM ≌△CMN ，所以AM =MN .又因为∠AMN =60°，所以△AMN 为等边三角形B练习23.3（4）1. 因为CH ⊥AB ，DE ⊥AB ，所以∠CHB =∠DEB =90°，从而DE ∥CH ，所以∠ADE =∠CFD . 因为AD 是角平分线，BC ⊥AC ，DE ⊥AB ，所以CD =DE ，∠CAD =∠BAD .又因为∠ACB =∠AED =90°，所以∠ADC =∠ADE .又因为FD =FD ，所以△FCD ≌△FED ，从而CF =EF .又因为∠CFD =∠ADC ，所以CD =CF ，从而CF =EF =DE =CD .所以四边形CDEF 是菱形2. 因为四边形ABCD 为正方形，所以AB =AD ，∠B =∠D =90°.又因为∠BAE =∠DAF ，所以△ABE ≌△ADF ，从而BE =DF ，AE =AF .因为四边形ABCD 为正方形，所以∠BAC =∠DAC .又因为∠BAE =∠DAF ，所以∠EAO =∠F AO .所以EO =FO ，AO ⊥EF .因为OM =OA ，所以四边形AEMF 是平行四边形.因为AO ⊥EF ，所以四边形AEMF 是菱形3.（1）设AE =x ，则EC =2－x .又EF 垂直平分AD ，所以ED =EA =x .在Rt △ECD 中，根据勾股定理，有()2222x x =-+.解得x =32，即AE =32（2）当CD=2时，设AE =x .根据勾股定理，有222CE CD DE +=，即()()22222x x =-+， 解得x=4-EC =2－x=2.所以EC =CD ，从而∠CED =∠CAB =45°，所以ED ∥AB ，因此∠AFE =∠FED .又EF 垂直平分AD ，有AF =DF ，∠EFD =∠AFE =∠FED ，所以ED =FD .于是AE =ED =FD =AF ，所以四边形AEDF 是菱形4. 如图，联结AC .因为四边形ABCD 为菱形，所以∠BAC =∠ACD ，从而∠EAC =∠ACG ，所以AE ∥CG .又因为AE =AB =CD =CG ，所以四边形AECG 为平行四边形，从而EC ∥AG .同理AF ∥HC ，所以四边形AMCN 为平行四边形.又因为∠EBC =∠EBA +∠ABC =∠FBC +∠ABC =∠ABF ，EB =BF ，BC =BA ，所以△EBC ≌△FBA .从而∠BEC =∠BF A ，所以∠MEA =∠MFC .又因为∠EMA =∠FMC ，AE =CF ，所以△EMA ≌△FMC ，从而MA =MC .所以四边形AMCN 为菱形练习23.3（5）1.. 提示：易证△AMB ≌△AND ，设BM =x ，则CM =CN =1－x .因此AM=，MN由等边三角形AMN 可知，AM =MN2x =-所以△AMN 2. 联结AE （如图）.设正方形边长为4，则BE =3，CE =1，CF =DF =2.由勾股定理得，AE =5，EF AF ，所以222AE EF AF =+，因此AF ⊥EFF3. 提示：如图，过点N作NG⊥BD，垂足为点G；过点C作CH⊥BD，垂足为点H，则CH=12BD.易证四边形CNGH为矩形，所以GN=CH=12BD=12BN，因此∠DBN=30°，∠BDN=∠BND=75°.因为∠BDC=45°，所以∠NDM=30°，所以∠DNM=75°=∠DMN，因此DM=DN4. 如图，延长CD至点G，使DG=BE，联结AG，则△ADG≌△ABE.因此∠GAD=∠EAB，于是∠GAF=∠EAB+∠DAF=45°=∠EAF，所以△AFG≌△AFE，则EF=GF=GD+DF=BE+DFG练习23.3（6）1. 提示：△DAP≌△ABQ≌△CDN≌△BCM，所以AP=DN=BQ=CM，DP=NC=MB=QA，从而NP=PQ=QM=MN.又∠QMN=90°，所以四边形PQMN是正方形2. 提示：易证QC BC AD=SD，∠DCB+∠ADC=180°，∠EDN+∠ADC=360°－∠EDC－∠NDA=180°，因此∠DCB=∠EDN，所以∠QCR=∠QCB+∠BCD+∠DCR=∠BCD+90°=∠EDN+90°=∠SDR.又因为RC=RD，所以△QCR≌△SDR，因此QR=RS.同理QP=QR，PQ=PS，即PQ=QR=RS=SP，所以四边形PQRS为菱形.又因为∠QRC=∠SRD，所以∠QRS=∠QRD+∠DRS=∠QRD+∠QRC=∠DRC=90°，所以四边形PQRS为正方形3. 如图，过点E 作EG ⊥AF 于点G ，联结EF .因为四边形ABCD 是正方形，所以∠B =∠C =90°.因为EG ⊥AF ，所以∠EGF =∠AGE =90°=∠B .又因为AE 平分∠BAF ，所以∠BAE =∠GAF .又因为AE =AE ，所以△ABE ≌△AGE ，从而AB =AG ，BE =EG .因为BC =AB ，所以BC =AG .因为点E 是BC 中点，所以BE =EC ，从而EG =EC .又因为EF =EF ，所以Rt △EFG ≌Rt △EFC ，从而CF =GF .所以AF =AG +GF =BC +CFF4. 135° 提示：在正方形ABCD 的外部，作∠CBP ’=∠ABP ，且BP ’=BP .联结CP ’、PP ’,则△CBP ’≌△ABP .设AP =k ，则BP =BP ’=2k ,PC =3k ，P ’C =k .在△BPP ’中，∠PBP’=90°，所以PP ’=，229PC k =,22222''89PP P C k k k +=+=,可知∠PP ’C =90°.在Rt △BPP ’中，∠BP ’P =∠BPP ’=45°，所以∠BP ’C =90°+45°=135°，从而∠BP A =∠BP ’C =135°。

22.3（1）特殊的平行四边形教学目标：通过三角形知识的学习路径，类比学习平行四边形，构建知识树；经历从平行四边形到矩形、菱形的研究过程，理解矩形、菱形的概念，体验“从一般到特殊”的研究方法；通过猜想、验证、归纳的过程，掌握矩形、菱形的性质定理，感悟类比思想；在小组探究中，提高主动探究的习惯和合作交流的意识；通过理解特殊平行四边形之间的内在联系，强化数学的辩证观点.教学重点：理解矩形、菱形的性质，知道它们与平行四边形之间的区别和联系.教学难点：自主探究“菱形小档案”.教学过程设计意图一、知识的联想与建构回顾三角形的学习路径引入的特殊的平行四边形——矩形、菱形定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形揭示课题：特殊的平行四边形——矩形、菱形类比学习三角形学习路径探究平行四边形的知识内容二、新知的探究与归纳问题1：回顾平行四边形的性质活动1：探究矩形的性质提出你的猜想，并证明你的猜想要求：复习平行四边形性质，为研究矩形、菱形性质做铺垫探究矩形的特殊性质1、学生独立思考2、师生共同交流3、总结归纳矩形的性质活动2：小组合作探究菱形的性质要求：1、学生独立思考2、小组交流讨论3、小组分享成果4、总结归纳菱形的性质教师给出研究图形性质的范例，学生自主研究菱形性质三、新知的运用与联系1、判断题：（1）矩形的对角线互相平分且相等（）（2）菱形的对角线互相平分且垂直（）（3）矩形的两条对角线把矩形分成四个直角三角形（）（4）菱形的两条对角线把菱形分成四个直角三角形（）2、已知四边形ABCD是矩形，（1）若AO=5，那么OD= ，OB= ；（2）若AO=5，AB=6，那么BC= ；（3）若AO=5，∠COB=120°，那么AB= .3、已知四边形ABCD是菱形，（1）若∠BAC=26°，复习巩固矩形菱形的性质，深入研究矩形菱形与直角三角形、等腰三角形之间的内在联系教案设计说明：单元设计背景下的特殊平行四边形教学的再认识特殊的平行四边形这节课是在上海沪教版教材八年级第二学期第二十二章《四边形》。

东方龙学校《初三专用教程第主讲特殊的平行四边形一、【温故知新】特殊平行四边形之间的关系；正方形的性质与判定。

二、【重点难点】平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定，以及通过添加适当的辅助线把它转化为三角形全等来解决的数学化归思想.注重考查同学们的动手操作、观察、猜想、探究等活动的能力以及对知识的理解能力等.三、【授课过程】【课前热身】1.对角线互相垂直、平分的四边形一定是（）.A.矩形B.菱形C.等腰梯形D.直角梯形2.把一张长方形的纸片按如图7所示的方式折叠，EM, FM为折痕，折叠后的C点落在MB'或MB'的延长线上，那么ZEMF的度数是（）.A. 85°B. 90°C.D图73.如图8所示，在四边形4BCD中，AB=BC=CD=DA,对角线AC BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是止方形，则述需要增加的一个条件是_________ .4.在四边形ABCD中，给出四个条件：®AB=CD, ®AD//BC,③AC丄BD,④AC平分ZBAD,由其中三个条件可推出四边形ABCD是菱形，你认为这三个条件是_______________ .（写四个条件的不得分，只填序号）5.如图9,已知菱形ABCD中，ZB=60° , A3=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为___________________ . 【例题讲解】例1在矩形纸片ABCD中，AB = 3羽,BC = 6,沿EF折叠后，点C落在边上的点P处, 点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H, ZBPE = 30 .（1）求BE、0F的长；（2）求四边形PEFH的面积.例2如图2,己知正方形ABCD,把一个直角与正方形重合，使直角顶点与A重合，两边分别与AB、AD重合.将直角绕点A按顺时针方向旋转，当直角的一边与BC相交于E点，另一边与CD的延长线相交于F点时，作ZEAF的平分线相交于G,连结EG. 求证：(1) BE=DF；(2) BE+DG 二EG.例3己知：如图3,在z\ABC中，D是AB边上的一点，且BD = BC, BE±CD 于E,交AC于点F,请再添加一个条件，例4 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,加相交于点O, AF丄BD CE丄BD,垂足分别为F, E,(1)连接AE, CF,得四边形AFCE,试判断四边形AFCE是下列图形屮的哪一种？①平行四边形；②菱形；③矩形(2)请证明你的结论.【拓展】以正方形为背景的探索题A图3例1如图1,是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD, 小明从顶点A沿着花坛间小路直到走到长边中点0, 再从中点0走到正方形0CDF的中心0,再从中心Oi走到正方形O】GFH的中心又从中心0?走到正方形@1町的屮心6,再从屮心6走到正方形OKJP 的中心0“ 一共走了31、佢m,则长方形花坛ABCD的周长是((A) 36 (B) 48 B(C) 96 (D) 60例2己知止方形ABCD的边长AB二k（k是止整数），止Z\PAE 的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上,且AE=1,将PAE 在正方形内按图2中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、……连续地翻转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置.（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一条直线上，那么这一翻转过程可以看作是APAE在直线上作连续的翻转运动.图5是k二1时，APAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图.请你探索：若k二1时，则APAE沿止方形的边连续翻转的次数n二—时，顶点P 第一次回到原来的起始位置.（2）若k二2,则n二_时，顶点P第一次回到原来的起始位置；若23,则n二___________________ 时，顶点P第一次回到原来的起始位置.将这块空地按如下要求分成四块：⑴分割后的整个图形必须是中心对称图形；⑵四块图形的形状相同;⑶四块图形的面积相等.（结果用n表示），设计如图6—1所示的几何图形.（1）请你利用这个几何图形求i的值为2（2）请你利用图7—2,再设计一个能求+ ••• + —的值的几何图形.T四、【课下作业】1._____________________________________________ 顺次连结矩形的各边中点，所构成的四边形是.2._______________________________________________________ 如图1,延长正方形ABCD的边AB到E,使BE二AC,则ZE二____________________________________________ .3.如图2,菱形ABCD的一条对角线BD上一点O到菱形一边AB的距离为2,那么点O到另一边BC的距离为_____ .（3）请你猜测:使顶点P第一次回到起始位置n与k Z间的关系（请用含有k的代数式表示n）例3为美化环境，某单位需要在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草，计划1111 1亍歹+尹己+…+1111请按照上述三个要求，分别在下面的正方形中给出4种不同的分割方法.例4在数学活动中，小明为了求£ + * + * +亍1+•••+丄的值5. _______________________________________________________________________ 如图4,EF 是ZVIBC 的屮位线,BD 平分ZABC 交EF 于£>,若DC2,则FB= _________________________________ .6. 如图5, LJABCD 中，AE 、CF 分别是ZBAD 和ZBCD 的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是 __________ (只需写岀一个即可，图中不能再添加 别的“点”和“线”).7. 下列命题中正确的是 【 】.(A)对角线互相平分的四边形是菱形(B)对角线互相平分且相等的四边形是菱形(C)对角线互相垂直的四边形是菱形 (D)对角线互相垂直平分的四边形是菱形&要测量一个门框是否是矩形,下列方法中正确的是 【】.(A)测量对角线是否平分(B)测量上下边是否相等(C)测量一组对角是直角(D)测量三个角是直角9.如果等腰梯形两底差的一半等于它的高，则这个梯形的一个底角等于 【】.(A)30°(3)45° (C)60° (£))75° 1 0.如图7,在菱形ABCD 中，E 是A3的中点，作EF//BC,交AC 于点如果£F=4,那么菱形的 周长为 【 】. (A) 22 (B) 24(C) 32 (£» 40 1 1 .已知：如图9,在矩形ABCD 中，点E 、F 在CB 上,且BE 二CF, AF. DE 交于点M.求证： AM=DM.1 2 .已知：如图1(),四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别为CD 、CB 延长线上的点，且DE=BF.求 证：ZAFE=ZAEF.C D 4. 如图3,已知正方形纸片ABCD, M 、/V 分别是AD. BC 的中点,把3C 边向上翻折，使点C 恰好落在MN 上的P 点处，BQ 为折痕，则ZPBQ 二 ______ 度. DQC。

特殊平行四边形的判定与性质定理---八年级数学上册
1. 定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
2. 平行四边形的性质
（1）边：平行四边形的对边平行且相等．
（2）角：平行四边形的对角相等．
（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（4）对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心．
3. 平行四边形的判定方法
（1）定义识别：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）用平行四边形的判定定理识别：
判定定理①：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
判定定理②：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
判定定理③：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
4. 三角形中位线
（1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．每个三角形都有三条中位线．
（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，
且等于第三边的一半．
5. 直角三角形特殊性质
（1）斜边上的中线等于斜边的一半。

（2）300所对的直角边等于斜边的一半。

（3）射影定理，勾股定理，面积不变定理。

《特殊的平行四边形》新知识（填空补充）
平行四边形是学习几何图形知识的基础，同时对提升同学们的空间概念也很重要。

其实数学的题型很多时候都是换汤不换药，只要同学们掌握这些题目，相信你们考试成绩一定不会差到哪里去。

特殊的平行四边形教学目标：1、掌握特殊平行四边形的判定及其性质，能灵活运用特殊四边形的知识解一些实际问题．2、通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力．教学重点：特殊平行四边形的定义、性质及判定教学难点：特殊平行四边形的性质及判定方法的运用四、探究开放题1.已知：AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件---------？2.若四边形ABCD为平行四边形，请补充条件_________________使得四边形ABCD为菱形.3.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=2∠BOC，若对角线AC=6cm，则你能求什么？4.如图，菱形ABCD的边长为8㎝，∠BAD=120°，你可以求什么？5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为平行四边形（矩形，菱形，正方形），并说明理由。

我发现：1)顺次连接对角线既不相等也不垂直的四边形各边中点得----------形(2)顺次连接对角线相等但不垂直的四边形各边中点得-------------形(3)顺次连接对角线互相垂直但不相等的四边形各边中点得------------形(4)顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点得-------------------形6.如图，菱形ABCD 的对角线的长分别为2和5，P 是对角线AC 上任一点（点P 不与点A 、C 重合）且PE ∥BC 交AB 于E ，PF ∥CD 交AD 于F ，则阴影部分的面积是 .7.如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过点D 作DP ∥OC ，且DP=OC ，连结CP ，试判断四边形CODP 的形状.如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点，过点D 作DP ∥OC ，且 DP=OC ，连结CP ，试判断四边形CODP 的形状.AB DCOP如果题目中的矩形变为菱形(图一)，结论应变为什么？如果题目中的矩形变为正方形(图二)，结论又应变为什么？8.以△ABC 的边AB 、AC 为边的等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，四边形ADFE 是平行四边形. （1）当∠BAC 等于时，四边形ADFE 是矩形；（2）当∠BAC 等于时，平行四边形ADFE 不存在；（3）当△ABC 分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形.FDA EB C五、课堂练习1、在□ABCD中，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线相交于点O，则∠BOC的度数为2、如图，在菱形ABCD中，AB=BD=5，求：（1）∠BAC的度数；（2）求AC的长。

北师大版八年级下册章节提优测试特殊平行四边形（满分100分，考试时间60分钟）学校班级姓名一、选择题（每小题 4 分，共32 分）1.关于平行四边形ABCD 的叙述，正确的是（）A.若AB⊥BC，则平行四边形ABCD 是菱形B.若AC⊥BD，则平行四边形ABCD 是正方形C.若AC=BD，则平行四边形ABCD 是矩形D.若AB=AD，则平行四边形ABCD 是正方形2.如图，小明在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B为圆心，大于1AB 的长为半径画弧，两弧相交于C，D 两点，直线CD 即为2所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法确定第2 题图第3 题图3.如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点连线EF 为边的正方形EFGH 的周长为（）A.12B. 2C. 4 D．24.如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，AD= 2A．2，DE=2，则四边形OCED 的面积为（）B．4 C．4 D．82 23335.如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ）A ．∠ABC =∠ADC ，∠BAD =∠BCDB ．AB =BCC ．AB =CD ，AD =BCD ．∠DAB +∠BCD =180°第 5 题图第 6 题图6.如图，在菱形 ABCD 中，AB =4 cm ，∠ADC =120°，点 E ，F 同时从 A ，C 两点出发，分别沿 AB ，CB 方向向点 B 匀速运动（到点 B 为止），点 E 的速度为 1 cm/s ，点 F 的速度为 2 cm/s ，经过 t 秒△DEF 为等边三角形，则 t 的值为 （ ）A.1B.31C.21D.347. 在□ABCD 中，AB =3，BC =4，当□ABCD 的面积最大时，下列结论：①AC =5； ②∠A +∠C =180°；③AC ⊥BD ；④AC =BD ．其中正确的有（ ） A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④8. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 1，∠EAF =45°，AE =AF ．下列结论： ①∠1=∠2=22.5°；②点 C 到 EF 的距离是 1；③△ECF 的周长为 2； ④BE +DF ＞EF ．其中正确结论的个数是（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个二、填空题（每小题 4 分，共 24 分） 9.如图，在平行四边形 ABCD 中，延长 AD 到点 E ， 使 DE =AD ，连接 EB ，EC ，DB ，请你添加一个条件，使四边形 DBCE 是矩形．23 10.如图是一个菱形衣挂的平面示意图，每个菱形的边长为 16 cm ，当锐角 ∠CAD =60°时，把这个衣挂固定在墙上，两个钉子 CE 之间的距离是cm ．（结果保留根号）11. 如图，在菱形 ABCD 中，∠DAB =60°，AC =12，P 是菱形的对角线 AC 上的一个动点，M ，N 分别是菱形 ABCD 的边 AB ，BC 的中点，则 PM +PN 的最小值为．第 11 题图第 12 题图12.如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，E 为 BC 上一点， CE =5，F 为 DE 的中点．若△CEF 的周长为 18，则 OF 的长为．13. 如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC = 2 ，E 为 BC 边上一点，BC =3BE ，将矩形 ABCD 沿 AE 所在的直线折叠，B 点恰好落在对角线 AC 上的 B′处，则AB =．14. 如图，在菱形 ABCD 中，AB =2，∠BAD =60°，点 P 是对角线 AC 上的一个动点（不与 A ，C 两点重合），过点 P 作 EF ⊥AC 分别交 AD ，AB 于点 E ，F ，将△AEF 沿 EF 折叠，点 A 落在点 A′处，当△A′BC 是等腰三角形时，AP 的长为．5 三、解答题（本大题共 4 个小题，满分 44 分）15.（9 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB ∥DC ，AB =AD ，对角线 AC ，BD 交于点 O ，AC 平分∠BAD ，过点 C 作 CE ⊥AB ，交 AB 的延长线于点 E ，连接OE ．（1） 求证：四边形 ABCD 是菱形； （2） 若 AB = ，BD =2，求 OE 的长．16. （10 分）在 Rt △ABC 中，∠BAC =90°，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 AF ∥BC 交 BE 的延长线于点 F ．（1） 求证：四边形 ADCF 是菱形；（2） 若 AC =4，AB =5，求菱形 ADCF 的面积．17.（12 分）如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，BC=2，动点P 从点B 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿射线BC 运动，同时动点Q 从点C 出发，以相同的速度沿射线BC 运动，当点P 出发后，过点Q 作QE⊥BD，交直线BD 于点E，连接AP，AE，PE，QD，设运动时间为t（秒）．（1）请直接写出动点P 运动过程中，四边形APQD 是什么四边形？（2）请判断AE，PE 之间的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）设△EPB 的面积为y，求y 与t 之间的函数关系式．18. （13 分）在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点 D 为直线 BC 上一动点（点D 不与 B ，C 重合），以 AD 为边在 AD 的右侧作正方形 ADEF ，连接 CF ．（1） 观察猜想如图 1，当点 D 在线段 BC 上时， ①BC 与 CF的位置关系为： ；②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为： ．（将结论直接写在横线上）（2） 数学思考如图 2，当点 D 在线段 CB 的延长线上时，结论①②是否仍然成立？若成立， 请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3） 拓展延伸如图 3，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，延长 BA 交 CF 于点 G ，连接 GE ． 已知 AB = 2 ，CD =1，请求出 GE 的长．图 1图 2图 32参考答案：1-5CBBAD 6-8DBC17、。