平行四边形性质专题一、平行四边形的性质1、 平行四边形的性质2、 扩展性质二、平行四边形的面积法使用① 如图ABCD S =AB DE BC DF ⋅=⋅也就是ABCD S ah =,其中a 可以是平行四边形的任何一边,h 必须是a 边到其对边的距离,即对应的高.② 同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等.如图:平行四边形ABCD 与平行四边形EBCF 有公共边BC,则ABCD S EBCF S .拓展知识:两条平行线间的距离处处相等.总结:（1）平行四边形的性质和扩展性质要能够理解并灵活运用.（2）平行四边形中对角线是常用辅助线.例题1 如图,在平行四边形ABCD 中,AD ＝2AB,CE 平分∠BCD 交AD 边于点E,且AE ＝3,则AB 的长为（ ）A 、 4B 、 3C 、 25 D 、 2 解析:根据平行四边形性质得出AB ＝DC,AD∥BC ,推出∠DEC＝∠BCE ,求出∠DEC＝∠DCE ,推出DE ＝DC ＝AB,得出AD ＝2DE 即可.答案:解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ＝DC,AD∥BC ,∴∠DEC＝∠BCE ,∵CE 平分∠DCB ,∴∠DCE＝∠BCE ,∴∠DEC＝∠DCE ,∴DE＝DC ＝AB,∵AD＝2AB ＝2CD,CD ＝DE,∴AD＝2DE,∴AE＝DE ＝3,∴DC＝AB ＝DE ＝3,故选B.点拨:本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义,等腰三角形的性质和判定的应用,关键是求出DE ＝AE ＝DC.例题2 如图,平行四边形ABCD 中,AE 平分∠BAD ,交BC 于点E,且AB ＝AE,延长AB 与DE 的延长线交于点 F.下列结论中:①△ABC≌△E AD；②△ABE是等边三角形；③AD＝AF；④S△ABE＝S△CDE；⑤S△ABE＝S△CEF.其中正确的是（）A、①②③B、①②④C、①②⑤D、①③④解析:由四边形ABCD是平行四边形,可得AD∥BC,AD＝BC,又因为AE平分∠B AD,可得∠BAE＝∠DAE,所以可得∠BAE＝∠BEA,得AB＝BE,由AB＝AE,得到△ABE是等边三角形,则∠ABE＝∠EAD＝60°,所以△ABC≌△E AD（SAS）；因为△FCD与△ABD等底（AB＝CD）等高（AB 与CD间的距离相等）,所以S△FCD＝S△ABD,又因为△AEC与△DEC同底等高,所以S△AEC＝S△DEC,所以S△ABE＝S△CEF.答案:解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD＝BC,∴∠EAD＝∠AEB,又∵AE平分∠BAD,∴∠BAE＝∠DAE,∴∠BAE＝∠BEA,∴AB＝BE,∵AB＝AE,∴△ABE是等边三角形；②正确；∴∠ABE＝∠EAD＝60°,∵AB＝AE,BC＝AD,∴△ABC≌△EAD （SAS）；①正确；∵△F CD与△ABC等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离相等）,∴S△FCD＝S△ABC,又∵△AEC与△DEC同底等高,∴S△AEC＝S△DEC,∴S△ABE ＝S△CEF；⑤正确.∵AD与AF不一定相等,∴③不一定正确；∵BE不一定等于CE,∴④不一定正确.故选C.点拨:本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质.此题比较复杂,注意将每个问题仔细分析.平行四边形的面积问题例题如图,已知四边形ABDE是平行四边形,C为边BD延长线上一点,连接AC、CE,使AB＝AC.（1）求证:△BAD≌△AC E ；（2）若∠B＝30°,∠ADC＝45°,BD ＝10,求平行四边形ABDE 的面积.解析:（1）根据平行四边形的性质得出,再利用全等三角形的判定方法得出即可；（2）首先根据勾股定理得出BG ＝3x,进而利用BG －DG ＝BD 求出AG 的长,进而得出平行四边形ABDE 的面积.答案:（1）证明:∵AB＝AC,∴∠B＝∠ACB .又∵四边形ABDE 是平行四边形,∴AE∥BD ,AE ＝BD,∴∠ACB＝∠CAE＝∠B ,在△DBA 和△E AC 中,AB CA B EAC BD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝,∴△DBA≌△E AC （SAS ）；（2）解:过A 作AG⊥BC ,垂足为G.设AG ＝x,在Rt△AGD 中,∵∠ADC＝45°,∴AG＝DG ＝x,在Rt△AGB 中,∵∠B＝30°,∴BG＝3x ,又∵BD＝10.∴BG－DG ＝BD,即3x −x ＝10,解得AG ＝x ＝1310-＝53＋5,∴S 平行四边形ABDE ＝BD•AG＝10×（53＋5）＝503＋50.平行四边形中的折叠例题 如图,在平行四边形ABCD 中,点E 、F 分别在边DC 、AB 上,DE ＝BF,把平行四边形沿直线EF 折叠,使得点B 、C 分别落在B′,C′处,线段EC′与线段AF 交于点G,连接DG 、B′G .求证:（1）∠1＝∠2； （2）DG ＝B′G.解析:（1）根据平行四边形得出DC∥AB,推出∠2＝∠FEC,由折叠得出∠1＝∠FEC＝∠2,即可得出答案；（2）求出EG＝B′G,推出∠DEG＝∠EGF,由折叠求出∠B′FG＝∠EGF,求出DE＝B′F,再证△DEG≌△B′FG即可.答案:证明:（1）∵在平行四边形ABCD中,DC∥AB,∴∠2＝∠FEC, 由折叠得:∠1＝∠FEC,∴∠1＝∠2；（2）∵∠1＝∠2,∴EG＝GF,∵AB∥DC,∴∠DEG＝∠EGF,由折叠得:EC′∥B′F,∴∠B′FG＝∠EGF,∴∠DEG＝∠B FG',∵DE＝BF＝B′F,∴DE＝B′F,在△DEG和△B FG'中,GE GFDEG B FGDE B F=⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩∴△DEG≌△B′FG（SAS）,∴DG＝B′G.（答题时间:45分钟）一、选择题1、如图,平行四边形ABCD的对角线交于点O,且AB＝5,△OCD的周长为23,则平行四边形ABCD的两条对角线的和是（）A、 18B、 28C、 36D、 462、如图,在Rt△AB C中,∠B＝90°,AB＝3,BC＝4,点D在BC上,以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中,DE的最小值是（）A、 2B、 3C、 4D、 5*3、如图,在平行四边形ABCD中,AB＞AD,按以下步骤作图:以A 为圆心,小于AD的长为半径画弧,分别交AB、AD于E、F；再分别以E、F 为圆心,大于21EF 的长为半径画弧,两弧交于点G ；作射线AG 交CD 于点H.则下列结论:①AG 平分∠DAB ,②CH＝21DH,③△ADH 是等腰三角形,④S △ADH ＝21S 四边形ABCH .其中正确的有（ ）A 、 ①②③B 、 ①③④C 、 ②④D 、 ①③**4、 如图,平行四边形ABCD 中,AB:BC ＝3:2,∠DAB＝60°,E 在AB 上,且AE:EB ＝1:2,F 是BC 的中点,过D 分别作DP⊥AF 于P,DQ⊥CE 于Q,则DP:DQ 等于（ ）A 、 3:4B 、13:25C 、 13:26D 、 23:13**5、 如图,四边形ABCD 是平行四边形,BE 平分∠ABC ,CF 平分∠BCD ,BE 、CF 交于点G.若使EF ＝41AD,那么平行四边形ABCD 应满足的条件是（ ）A 、 ∠ABC＝60°B 、 AB:BC ＝1:4 C 、 AB:BC ＝5:2D 、 AB:BC ＝5:8**6、 如图,在平行四边形ABCD 中,分别以AB 、AD 为边向外作等边△ABE、△ADF ,延长CB 交AE 于点G,点G 在点A 、E 之间,连接CE 、CF 、EF,①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF 是等边△；④CG⊥AE .则四个结论一定正确的是（ ）A、只有①②B、只有①②③C、只有③④D、①②③④二、填空题*7、如图,过平行四边形ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH,那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是.**8、在平行四边形ABCD中,∠DAB的平分线分对边DC为3cm和5cm两部分,则平行四边形ABCD的周长为.**9、如图,平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,∠AEB ＝45°,BD＝2,将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内,若点B的落点记为B′,则DB′的长为 .三、解答题*10、如图,在平行四边形ABCD中,点E是AB边的中点,DE与CB 的延长线交于点F.（1）求证:△ADE≌△BFE；（2）若DF平分∠ADC,连接CE.试判断CE和DF的位置关系,并说明理由.**11、如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD＝32°.分别以BC、CD 为边向外作△BCE和△DCF,使BE＝BC,DF＝DC,∠EBC＝∠CDF,延长AB 交边EC于点G,点G在E、C两点之间,连接AE、AF.（1）求证:△ABE≌△FDA；（2）当AE⊥AF时,求∠EBG的度数.**12、（黑龙江）在△ABC中,AB＝AC,点P为△ABC所在平面内一点,过点P分别作PE∥AC交AB于点E,PF∥AB交BC于点D,交AC于点F.若点P在BC边上（如图1）,此时PD＝0,可得结论:PD＋PE＋PF ＝AB.请直接应用上述信息解决下列问题:当点P分别在△ABC内（如图2）,△ABC外（如图3）时,上述结论是否成立？若成立,请给予证明；若不成立,PD、PE、PF与AB之间又有怎样的数量关系,请写出你的猜想,不需要证明.1、 C 解析:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB＝CD ＝5,∵△OCD 的周长为23,∴O D ＋OC ＝23－5＝18,∵BD＝2DO,AC ＝2OC,∴平行四边形ABCD 的两条对角线的和＝BD ＋AC ＝2（DO ＋OC ）＝36,故选C.2、 B 解析:∵在Rt△ABC 中,∠B＝90°,AB ＝3,BC ＝4,∴AC＝22BC AB +＝5.∵四边形ADCE 是平行四边形,∴OD＝OE,OA ＝OC ＝2、5.∴当OD 取最小值时,DE 线段最短,此时OD⊥BC .∴OD＝21AB ＝1、5,∴ED＝2OD ＝3.故选B.3、 D 解析:根据作图的方法可得AG 平分∠DAB ,故①正确；∵AG 平分∠DAB ,∴∠DAH＝∠BAH ,∵CD∥AB ,∴∠DHA＝∠BAH ,∴∠DAH＝∠DHA ,∴A D ＝DH,∴△ADH 是等腰三角形,故③正确；故选D.4、 D 解析:如图,连接DE 、DF,过F 作FN⊥AB 于N,过C 作CM⊥AB 于M,∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得:S △DEC ＝S △DFA ＝21S平行四边形ABCD ,即21AF ·DP ＝21CE ·DQ,∴AF·DP ＝CE ·DQ,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC ,∵∠DAB ＝60°,∴∠CBN ＝∠DAB ＝60°,∴∠BF N ＝∠BCM ＝30°,∵AB :BC ＝3:2,∴设AB ＝3a,BC ＝2a,∵AE :EB ＝1:2,F 是BC 的中点,∴BF＝a,BE ＝2a,BN ＝21a,BM ＝a,由勾股定理得:FN ＝23a,CM ＝3a,AF ＝22)23()213(a a a ++＝13a,CE ＝22)3()3(a a +＝23a,∴13a•DP＝23a•DQ ,∴DP :DQ ＝23:13.故选D.5、 D 解析:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC ,AB ＝CD,AD ＝BC,∴∠AEB＝∠C BE,又BE 平分∠ABC ,∴∠ABE＝∠C BE,∴∠ABE＝∠AEB,∴AB＝AE,同理可得:DC ＝DF,∴AE＝DF,∴AE－EF ＝DF －EF,即AF ＝DE,当EF ＝41AD 时,设EF ＝x,则AD ＝BC ＝4x,∴AF＝DE ＝21（AD －EF ）＝1、5x,∴AE＝AB ＝AF ＋EF ＝2、5x,∴AB :BC ＝2、5:4＝5:8.故选D.6、 B 解析:如图,∵△ABE、△ADF 是等边三角形,∴FD＝AD,BE ＝AB,∵AD＝BC,AB＝DC,∴FD＝BC,BE＝DC,∵∠ABC＝∠ADC,∠FDA＝∠ABE,∴∠CDF＝∠EBC,∴△CDF≌△EBC,故①正确；∵∠FAE＝∠FAD ＋∠EAB＋∠BAD＝60°＋60°＋（180°－∠CDA）＝300°－∠CDA,∠FDC＝360°－∠FDA－∠ADC＝300°－∠CDA,∴∠CDF＝∠EAF,故②正确；同理可得:∠CBE＝∠F AE＝∠F DC,∵BC＝AD＝AF,BE ＝AE,∴△EAF≌△EBC,∴∠AEF＝∠BEC,∵∠AEF＋∠FEB＝∠BEC＋∠FEB＝∠AEB＝60°,∴∠FEC＝60°,∵CF＝CE,∴△ECF是等边三角形,故③正确；在等边三角形ABE中,∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段,∴如果CG⊥AE,则G是AE 的中点,∠ABG＝30°,∠ABC＝150°,题目缺少这个条件,CG⊥AE不能求证,故④错误.故选B.7、S1＝S2 解析:如图,∵四边形ABCD是平行四边形,EF∥BC,HG∥AB,∴AD＝BC,AB＝CD,AB∥GH∥CD,AD∥EF∥BC,∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形,在△ABD和△CDB中；∵AB＝CD BD ＝DB DA＝CB,∴△ABD≌△CDB,即△ABD和△CDB的面积相等；同理△BEM和△MHB的面积相等,△GMD和△FDM的面积相等,故四边形AEMG 和四边形HCFM的面积相等,即S1＝S2.8、 22cm或26cm 解析:如图,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD ＝BC,AB＝CD,AB∥CD,∴∠2＝∠3,∵AE是∠DAB的平分线,∴∠1＝∠2,∴∠1＝∠3,∴AD＝ED,∵∠DAB的平分线分对边DC为3cm和5cm 两部分,如果DE＝3cm,则AD＝BC＝3cm,AB＝CD＝8cm,∴平行四边形ABCD的周长为22cm；如果DE＝5cm,则AD＝BC＝5cm,AB＝CD＝8cm,∴平行四边形ABCD的周长为26cm；∴ABCD的周长为22cm或26cm.9、2 解析:如图,∵四边形ABCD 是平行四边形,BD ＝2,∴BE ＝21BD ＝1.如图2,连接BB′.根据折叠的性质知,∠AEB＝∠AEB′＝45°,BE ＝B′E .∴∠BEB′＝90°,∴△BB′E 是等腰直角三角形,则BB′＝2BE ＝2.又∵BE＝DE,B′E⊥BD ,∴DB′＝BB′＝2.故答案是:2. 10、（1）证明:如图,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC .又∵点F 在CB 的延长线上,∴AD∥CF ,∴∠1＝∠2.∵点E 是AB 边的中点,∴AE＝BE.∵在△ADE 与△BFE 中,12 DEA FEB AE BE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝,∴△ADE≌△BFE（AAS ）；（2）解:CE⊥DF .理由如下:如图,连接CE.由（1）知,△ADE≌△BFE ,∴DE＝FE,即点E 是DF 的中点,∠1＝∠2.∵DF 平分∠ADC ,∴∠1＝∠3,∴∠3＝∠2,∴CD＝CF,∴CE⊥DF .11、（1）证明:如图,在平行四边形ABCD 中,AB ＝DC,又∵DF＝DC,∴AB＝DF.同理EB ＝AD.在平行四边形ABCD 中,∠ABC＝∠ADC ,又∵∠EBC＝∠CDF ,∴∠ABE＝360°－∠ABC－∠EBC ,∠ADF＝360°－∠ADC －∠CDF ,∴∠ABE ＝∠FDA.∴△ABE≌△FDA （SAS ）.（2）∵△ABE≌△FDA ,∴∠AEB＝∠FAD.∵∠EBG＝∠EAB＋∠AEB ,∴∠EBG ＝∠FAD ＋∠EAB ,∵AE⊥AF ,∴∠EAF＝90°.∵∠BAD＝32°,∴∠EAF －∠DAB＝90°－32°＝58°.∴∠EBG＝58°.12、证明:如图2,过点P作MN∥BC分别交AB、AC于M、N两点,∵PE∥AC,PF∥AB,∴四边形AEPF是平行四边形,∵MN∥BC,PF∥AB,∴四边形BDPM是平行四边形,∴AE＝PF,∠EPM ＝∠ANM＝∠C,∠EMP＝∠B,∵AB＝AC,∴∠EMP＝∠EPM,∴PE＝EM,∴PE＋PF＝AE＋EM＝AM.∵四边形BDPM是平行四边形,∴MB＝PD.∴PD＋PE＋PF＝MB＋AM＝AB,即PD＋PE＋PF＝AB.图3结论:PE＋PF－PD＝AB.。
