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研究所课程-有限元之弹性力学基础

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弹性力学基础及有限单元法

弹性力学基础及有限单元法

第一章1、弹性力学的任务是什么弹性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。

2、弹性力学的基本假设是什么？为什么要采用这些假设？(1) 假设物体是连续的——物体内部由连续介质组成，物体中没有空隙，因此物体中的应力、应变、位移等量是连续的•可以用坐标的连续函数表示。

实际上，所有的物体均由分子构成，但分子的大小及分子间的距离与物体的尺寸相比是很微小的，故可以不考虑物体内的分个构造。

根据这个假设所得的结果与实验结果是符合的。

(2) 假设物体是匀质的和各向同性的一一物体内部各点与各方向上的介质相同，因此，物体各部分的物理性质是相同的。

这样，物体的弹性常数(弹性模量、泊松比)不随位置坐标和方向而变化。

钢材由微小结晶体组成，晶体本身是各向异性的、但由于晶体很微小而排列又不规则，按其材料的平均性质，可以认为钢材是各向同性的。

木材不是各向同性的。

(3) 假设物体是完全弹性的一一物体在外加因家(裁荷、温度变化等)的作用下发生变形，在外加固素去除后，物体完全恢复其原来形状而没有任何剩余变形。

同时还假定材料服从胡克定律，即应力与形变成正比。

(4) 假设物体的变形是很小的——在载荷或温度变化等的作用下，物体变形而产生的位移，与物体的尺寸相比，是很微小的。

在研究物体受力后的平衡状态时，可以不考虑物体尺寸的改变。

在研究物体的应变时，可以赂去应变的乘积，因此，在微小形变的情况下弹性理论中的微分方程将是线性的。

(5) 假设物体内无初应力一一认为物体是处于自然状态，即在载荷或温度变化等作用之前，物体内部没合应力。

也就是说，出弹性理论所求得的应力仅仅是由于载荷或温度变化等所产生的。

物体中初应力的性质及数值与物体形成的历史有关。

若物体中有韧应力存在，则由弹性理论所求得的应力加上初应力才是物体中的实际应力。

上面基本假设中•假设(4)是属于几何假设，其他假设是属于物理假设。

第二章弹性力学基础

第二章弹性力学基础

+
¶ 2 x ¶ z2
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
y

y
q
q
sx
ͼ 1-1a
x 0
sx x
X方向应力情况对比
ͼ 1-1b
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
y q
y q
sx sy
ͼ 1-2a
平面截面假设
sx
sy
x
x
ͼ 1-2b
q
sy =q ͼ 1-2c
sx
Y方向应力情况对比
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
v
A
B u + ¶u dx
dx
¶x
0 ͼ 1-5
由于变形是微小的，所 以上式可将比单位值小 得多的 ¶u 略去，得
¶x
a = ¶v
¶x
同理，Y向线素AD的转角
b = ¶u
¶y
因此，剪应变为：
x

xy
=
a
+
b
=
¶v ¶x
+
¶u ¶y
应变分量与位移分量的关系
以上是考察了体素在XOY一个平面内的变形情况，
相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴 的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向 为正，沿坐标轴正方向为负。
二、 应力的概念
剪应力互等定律
作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两 面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也 相同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。
由力矩平衡得出 简化得
2 yz dXdZ
sz
xy
yz
zx
T
(1 - 2)

弹性力学与有限元完整版

弹性力学与有限元完整版
xy、 xz、 yx yz、 zx、 zy
Z面 X面
•②应力符号意义
•正应力： 由法线方向确定
x、 y、 z
•剪应力： xy
作用面
作用方向
•符号规定：
正面上与坐标轴正向一致，为正；
负面上与坐标轴负向一致，为正。
正面 负面
Z面
X面
•③剪应力互等定理
xy yx
相等
yz zy
xz zx
4. 完全弹性假设
应力和应变之间存在一一对应关系，与时间及变形历史无关。满 足胡克定理。
5. 小变形假设
在弹性体的平衡等问题讨论时，不考虑因变形所引起的几何尺寸 变化，使用物体变形前的几何尺寸来替代变形后的尺寸。采用这 一假设，在基本方程中，略去位移、应变和应力分量的高阶小量 ，使基本方程成为线性的偏微分方程组。
大小和方向不同。
体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X
、Y、Z表示，称为体力分量。
符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负
。 应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位
体积的力 。
体力的因次：[力]/[长度]^3
表示：F={X Y Z}
② 面力
与体力相似，在物体表面上任意一点P 所受面力的大小 和方向，在P点区域取微小面积元素△S ，
压力，物体之间的接触力等。
集中力——作用物体一点上的力。（在弹性力学中一
般所受体力的大小和方向，在P点区域取
一微小体积元素△V， 设△V 的体力合力为△F，则
△V 的平均体力为
当△V 趋近于0， 则为P点的体力
体力是矢量：一般情况下，物体每个点体力的
第一篇 弹性力学
第一章 弹性力学基本方程
1.1 绪论 1.2 弹性力学的基本假定 1.3 几个基本概念 1.4 弹性力学基本方程

有限元分析方法第二章弹性力学基础

有限元分析方法第二章弹性力学基础

2.4.3 材料物理方程
（二）对于平面应变问题 3、将E换成 ，μ换成 ，可将 两种平面问题的应力应变关系写成如 下简洁的矩阵形式 σ=Dε 平面应力问题：
E1=E，μ1=μ 平面应变问题：
51
2.4.4 边界条件
位移边界条件 给定位移边界 Su ，物体的位移分量必须
等于边界上的已知位移，即
x
41
2.4.2 几何方程
（二）建立几何方程 1、定义x方向的线应变
y u
v v dy y u dy y
B'' B
xy
B'
A'
yx
v dx x
dy P' v P o u dx A'' A
u u dx x
v
x
42
2.4.2 几何方程
（二）建立几何方程 2、定义y方向的线应变
52
2.4.4 边界条件
力边界条件 给定面力边界 Sσ ，应力分量与面力分量
应满足平衡关系，在力边界点即在该点 的分布面力的两个分量为
53
2.4.5 平面问题的基本解法
8个未知变量 u，v，εx，εy，γxy，σx，σy，τxy 8个独立方程 平衡微分方程
xy yx

18
2.2 弹性力学中的基本量
（三）应力 1、应力6分量
19
2.2 弹性力学中的基本量
（三）应力 2、应力分量的正负约定
当外法线方向与坐标轴正向一致时为正坐 标面，如图中所示。反之，为负坐标面。 正坐标面上的应力分量以沿坐标正方向为 正，负坐标面上的应力分量以沿坐标的负 向为正。 2 应力的量纲是[力/长度 ]

第2章_弹性力学基础及有限元法的基本原理1

第2章_弹性力学基础及有限元法的基本原理1

W U
当外力的形式是多样的时，外力的虚功等于：
W f Pc f Pv dV f Ps dS
T T T v s
• 1.4 平面问题定义
严格地讲，任何结构都是空间的。对于某些特殊情 况，空间问题可以转化为平面问题。
（1）平面应力问题 满足条件： 1）几何条件 厚度尺寸远远小于截面尺寸； 2）载荷条件 载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀 分布，而板平面不受任何外力作用。
1）位移函数 分片插值→ 假设一种函数来表示单元位移分布 一般选取多项式（简单而且易求导）
可用于离散的单元： • 三角形单元； • 矩形单元； • 不规则四边形单元。 DOF 节点的自由度：节点所具有的位移分量的数量。 一个单元所有节点的自由度总和称为单元自由度。 （1）单元参数只能通过节点传递到相邻单元 （2）单元和节点必须统一编号
2.2 单元分析（位移、应力、应变） 任务：形成单元刚度矩阵，建立单元特性方程 因此必须建立坐标系，如下图：
1D问题的弹性模量
E杨氏弹性模量
泊松比是指材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向 正应变的绝对值的比值，也叫横向变形系数，它是反映材 料横向变形的弹性常数。 若在弹性范围内加载，横向应变εx与纵向应变εy之间存 在下列关系： εx=- νεy 式中ν为材料的一个弹性常数，称为泊松比。泊松比是 量纲为一的量。 可以这样记忆：空气的泊松比为0，45#钢0.3，水的泊松 比为0.5，中间的可以推出。
• 未知数 应力 6个+应变 6个+位移 3个=15个 • 方程个数 平衡方程 3个+几何方程6个+物理方程6个=15个 原则上可以根据15个方程求出15个未知物理量 但实际求解时先求出一部分再通过方程求解剩下的。 目前有限元法主要采用的是位移法，以三个位移 分量为基本未知量。位移-应变-应力，应力和外力平衡

弹性力学及有限元

弹性力学及有限元

热传导案例
总结词
热传导是有限元分析中用于模拟物体内部热量传递规律的应用之一。
详细描述
在电子、机械、化工和材料等领域，热传导分析用于研究材料的热性能、热应力和热变形等。通过有 限元方法，可以模拟物体内部的热量传递过程，预测温度分布和热应力分布，优化材料和系统的热设 计。
06
结论展望
结论
01
02
有限元分析
有限元分析是一种数值分析方法，通过将复杂的物体或系统离散 化为有限个小的单元（或称为元素），并分析这些单元的应力、 应变和位移，从而对整个物体或系统的行为进行预测和分析。
主题的重要性
工程应用
弹性力学和有限元分析在工程领域中具有广泛的应用，如结 构分析、机械设计、航空航天、土木工程等。通过这些方法 ，工程师可以更准确地预测和分析结构的性能，优化设计， 提高安全性。
03
04
研究意义
弹性力学及有限元分析在工程 领域具有广泛应用，为复杂结 构的分析提供了有效方法。
主要成果
本文系统地介绍了弹性力学的 基本原理和有限元分析的方法 ，并通过实例验证了其有效性 。
研究限制
由于时间和资源的限制，本研 究未能涵盖所有相关领域，未 来研究可进一步拓展。
对实践的指导意义
本文为实际工程中的结构分析 提供了理论依据和实践指导， 有助于提高结构的安全性和稳 定性。
优势
有限元方法具有广泛的适用性，可以用于求解各种复杂的物理问题；能够处理 复杂的几何形状和边界条件；可以通过增加单元数目来提高解的精度；可以方 便地处理非线性问题和材料非均质性问题等。
局限性
有限元方法需要较大的计算资源和时间，尤其对于大规模问题；对于某些特殊 问题（如高速冲击、爆炸等），需要采用特殊处理方法；对于多物理场耦合问 题，需要采用多场耦合有限元方法等。

弹性力学基础

弹性力学基础

2-1 弹性力学简介
弹性力学进入发展阶段
而后，世界各国的一批学者相继进入弹性力学研究领域，使弹性力学进入发 展阶段。 �1856年，圣维南（ A.J.Saint-Venant）建立了柱体扭转和弯曲的基本理论； �1862年，艾瑞（G.B.Airy）发表了关于弹性力学的平面理论； �1881年，赫兹（H.Hertz）建立了接触应力理论； �1898年，基尔霍夫 (G.R.Kirchoff )建立了平板理论， G.R.Kirchoff) �1930年，苏联人发展了应用复变函数理论求解弹性力学问题的方法等。 �另一个理论上的重要成果是建立了各种能量原理，并且提出了一系列基于 )，乐 这些能量原理的近似计算方法。许多科学家，像拉格朗日 (grange grange) )，铁木辛柯(S.P.Timoshenko )做出了贡献。 甫(A.E.H.Love A.E.H.Love) S.P.Timoshenko) �中国科学家钱伟长，钱学森，徐芝伦， 胡海昌等在弹性力学的发展，特别 是在中国的推广应用做出了重要贡献。
2-1 弹性力学简介
3、研究的方法：有较大的区别
�相同点：
�静力学：脱离体力的平衡 �几何学：位移和应变的关系 �物理学：应力和应变的关系
2-1 弹性力学简介
�不同点： 材料力学： 对应变或应力情况作某些假定 材料力学是对构件的整个截面来建立静力学、几何学和物理学 条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假 设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近 似的，而不是精确的。 弹性力学 : 对应变或应力情况不作假定，弹性力学是对构件的 无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分 析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以 用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它 们的适用范围。

有限元法-c0引论-c1弹性力学基础

有限元法-c0引论-c1弹性力学基础

（1）研究对象 材力： 杆件（直杆、小曲率杆） 结力： 杆件系统（或结构） 弹力： 一般弹性实体结构： 三维弹性固体、板状结构、杆件等 （2）研究方法 材力： 借助于直观和实验现象作一些假定，如 平面假设等，然后由静力学、几何关系、 物理方程三方面进行分析。 结力： 与材力类同。 弹力： 仅由静力平衡、几何方程、物理方程三 方面分析，放弃了材力中的大部分假定。
x
五、边界条件(应力,位移) 应力
x x l xy m yz n y yxl y m yz n z zx l zy m z n
四、协调方程
2 2 2 x y xy zx xy yz 2 x , 2 yz y 2 x 2 xy x y z x 2 y 2 z 2 yz xy yz zx 2 y , 2 zx z 2 y 2 yz y z x y 2 2 z y 2 zx yz zx xy 2 z , 2 xy x 2 x 2 zx z x y z
五、应力边界条件 L 0 位移边界条件
表面外法线方 向余弦矩阵
l 0 0 m 0 n L 0 m 0 l n 0 0 0 n 0 m l
d d 0
（3）计算规格化（采用矩阵表示），便于计算
机编程。
理论--
ugh--The finite element method
起源: 50年代飞机结构矩阵分析Argyris,Turner ,Clough 60年代弹性力学平面问题,目前已涉及众多领域 实质: 对力学模型进行近似数值计算的方法 将无限自由度问题变成有限自由度问题

有限元分析理论（弹性力学）

有限元分析理论（弹性力学）
如果插值函数选得合适，单元分得越多、越细，得到的计算结果就越精确。当单元数趋于 无穷时，计算结果就收敛于精确解。但是，随着单元数、节点数的增加，计算工作量和存储信 息量就会迅速地增加，因此一般都是根据具体问题对精度的要求，只取一定数量(有限个)的单 元和节点进行分析。由于这种方法需要求解大型联立方程组，因此只是在解决了计算机的运算 速度和存储容量等问题后，这种方法才有实用意义并得到了迅速发展。
3)可以适应不连续的边界条件和载荷条件。 4)各单元的计算程式都相同，便于实现规范化和在计算机上统一编程，容易将程序编成模 块式结构。 5)有限元法最后得到的大型联立方程组的系数是一个稀疏矩阵，其中所有元素都分布在矩 阵的主对角线附近，且是对称的正定矩阵，方程间的联系较弱。这种方程计算工作量小，稳定 性好，便于求解，占用的计算机内存也少。 有限元法的这些特点，正好可以克服工程科学计算中所遇到的许多困难。对于已有方程的 物理问题，主要是因为集合形状复杂、边界条件复杂、本构关系复杂而解不出来。利用有限元 法离散化的手段，用各种小单元来适应这些复杂多变的因素，用分块近似插值函数来逼近全域 上的连续函数，问题就变得容易了。
目前，有限元法以远远超出了原有的应用范畴，已从弹性力学扩展到了弹塑性力学、岩石 力学、地质力学、流体力学、传热学、气动力学、计算物理学、海洋工程、大气污染等各种学 科和应用领域，取得了出人意料的成功。
在机械工程领域内，可以用有限元法解决的问题有： 1)包括杆、梁、板、壳、三维块体、二维平面、管道等各种单元的各种复杂结构的静力分 析。 2)各种复杂结构的动力分析，包括频率、振型和动力响应计算。 3)整机（如水压机、汽车、发电机、泵、机床）的静、动力分析。 4)工程结构和机械零部件的弹塑性应力分析及大变形分析。 5)工程结构和机械零件的热弹性蠕变、粘弹性、粘塑性分析。 6)大型工程机械轴承油膜计算等。

弹性力学及有限元基础全套PPT课件 431页

弹性力学及有限元基础全套PPT课件 431页

正负 面面 正负 向向
21
z
z
zx zy
o


y

yyzxxxzxzyyxyz xzxz xyxyz
y
y
x
22
位移
zC
，
P
w
u,v ,w
uP v
oA z
x yx
P 移动到P’，发 B 生位移 u,v,w 。
y
应变 x , y , z , xy , yz , zx
x
dx

xy

xy
x
dx

y

y
y
dy
由 Mc 0

xy
dy
1
dx 2

(
xy

xy
x
dx)
dy
1
dx 2

yxdx
1
dy 2

(
yx

yx
y
dy)
dx
1
dy 2

0
9
整理得： xy yx
由 Fx 0 :
x yx X 0
14
工科弹性力学教学
面向工程师的能力培养
知微观、重宏观， 知数学、重力学， 知计算、重概念。
教材：《弹性力学简明教程》（第四/三版）徐芝纶
参考书：
《Theory of Elasticity》
中文译本
S.Timoshenko
16
课堂要求：
认真听课，积极思考，踊跃讨论； 独立完成作业，认真思考思考题。
x
y
y
(等厚薄板 t 很小）

有限元第一讲 弹性力学基础理论

有限元第一讲 弹性力学基础理论


k
2 23
k323
kk111111
k112 k112
0 0
0
0 0
0 0 0
0
k
2 22

k
2 23

0

k
2 32
k
2 33

第一单元矩阵
第二单元矩阵
1.2.3.方程求解（约束条件的引入）
由前面可知，刚度矩阵是奇异阵，它的行列式值为0.矩阵的 逆不存在。故对应的线性方程组无定解，为什么？

FF43


1500 1500
11550000uu43

对弹簧1－2
对弹簧2－3
对弹簧3－4
1.2.5.实例
叠加这些方程为总的结构矩阵方程：
F1 ? 1200
FF32 F4
10 20 ?
答案是肯定的。
下面加以推导，每个弹簧单元的受力方程和单元 刚度矩阵如下：
FF12


ka ka
单元1
ka ka
uu12

FF32


kb kb
kb kb
uu32

单元2
1.2.2.组合弹簧的刚度矩阵
10 3000 20 1800
1800
3300

uu32

解得：u2＝0.0103603m；u3＝0.0117117m。将u1、u2、u3和u4代 入原方程可解得节点1和节点4处的作用力：
F1＝-12.432KN；F4＝-17.567KN
校核：F1＋F4＝-29.999KN＝30KN。

有限元分析第3章弹性力学基础知识2

有限元分析第3章弹性力学基础知识2

有限元分析Finite Element Analysis李建宇天津科技大学内容Chp.3 弹性力学基础知识2：补充内容1. 边界条件2. 弹性力学中的能量表示3. 弹性力学边值问题要求理解：弹性力学边界条件的提法了解：弹性力学边值问题的内涵掌握：弹性力学中的能量表述课后作业继续检索、阅读弹性力学基本文献有限元分析——弹性力学补充内容弹性力学的“三个基本”1、基本假定2、基本变量3、基本方程弹性力学的基本假定五个基本假定：1、连续性(Continuity)2、线弹性(Linear elastic)3、均匀性(Homogeneity)4、各向同性(Isotropy)5、小变形假定(Small deformation)弹性力学基本变量变形体的描述：在外部力和约束作用下的变形体位移的描述形状改变的描述力的描述材料的描述弹性力学基本变量材料参数位移物体变形后的位置物体的变形程度物体的受力状态物体的材料特性应变应力描述变形体的三类变量：dyxyzuvwdzdx(x,y,z)S uS pΩT位移（displacement）是指位置的移动。

它在x, y 和z轴上的投影用u, v和w。

dyxyzuvwdzdx(x,y,z)S uS pΩT微元体( Representative volume)应力张量（stress tensor ）x xy xz yx y yz zx zy z στττστττσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦应变张量（strain tensor ）dyuvwdzdx(x,y,z )xu x d d =εd xxσxσuu +d uτβαγ=α+βx xy xz yx y yz zx zy z εγγγεγγγε⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦弹性力学的基本方程应力应变位移几何方程物理方程平衡方程弹性力学三大方程上节回顾上节回顾弹性力学基本方程x y z xy yz zx u x v y w z u v y x v w z y w u x zεεεγγγ∂=∂∂=∂∂=∂∂∂=+∂∂∂∂=+∂∂∂∂=+∂∂几何方程00000000x y z xy yz zx x y u z v w y x z y zx εεεγγγ∂⎡⎤⎢⎥∂⎢⎥∂⎢⎥⎧⎫⎢⎥∂⎪⎪⎢⎥∂⎪⎪⎢⎥⎧⎫⎪⎪⎢⎥∂⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬∂∂⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎢⎥∂∂⎪⎪⎢⎥⎪⎪∂∂⎢⎥⎪⎪⎩⎭⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦Luε=L ：微分算子上节回顾弹性力学基本方程000yx x zx x xy y zyy yz xz z z b x y z b x y zb x y zτσττστττσ∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂平衡方程000000000x y x z y yx zzy xz x y z b b y x z b zyx σσστττ⎧⎫⎡⎤∂∂∂⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎢⎥⎧⎫⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎪⎪+=⎨⎬⎨⎬⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎣⎦⎩⎭A ：微分算子A b σ+=TA L=上节回顾弹性力学基本方程物理方程()()()111x x y z y y z x z z x y xyxy yzyz zxzx E EE GGGεσνσσεσνσσεσνσστγτγτγ⎡⎤=-+⎣⎦⎡⎤=-+⎣⎦⎡⎤=-+⎣⎦===()()()()()()1000111000111000111121120000021120000021120021x x y y z z xy xy yz yz zx zx E ννννννσεννσεννννσενντγννντγντγννν⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎧⎫⎧⎫⎢⎥--⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥---⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬-+-⎢⎥⎪⎪⎪⎪-⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪-⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦D ：弹性矩阵D σε=对称上节回顾弹性力学基本方程dyxyzuvwdzdx(x,y,z )S uS pΩT0Lu A b D σεσε+===弹性力学三大方程in Ω边界上呢？一、弹性力学的边界条件(Boundary condition)dyxyzuvwdzdx(x,y,z)S uS pΩT两类边界条件：S p：力的边界S u：位移边界一、弹性力学的边界条件1、位移边界条件边界上已知位移时，应建立物体边界上点的位移与给定位移相等的条件dyxyzuvwdzdx(x,y,z )S uS pΩTuu u v v on S w w =⎧⎪=⎨⎪=⎩一、弹性力学的边界条件以二维问题为例2、力的边界条件边界上给定面力时，则物体边界上的应力应满足与面力相平衡的力的平衡条件∑X=注意ds为边界斜边的长度，边界外法线n的方向余弦l＝dy/ds，m=dx/ds有：一、弹性力学的边界条件以二维问题为例Y =∑同理：M =∑一、弹性力学的边界条件以二维问题为例二维情形的力的边界条件00x x x y y yx y xy p n n n n p σστ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎪⎪⎩⎭其中：n x ＝l ；n y ＝m一、弹性力学的边界条件扩展到三维情形的力的边界条件00000000x y xy z x z y x z y xy zyx z yz zx n n n p n n n p n n n p σσστττ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭n ppon S σ=二、弹性力学中的能量表述功能原理的两个基本概念：功（work）：外力功；能量（energy）：如动能、势能、热能等弹性问题中的功和能量：外力功：施加外力在可能位移上所做的功应变能：变形体由于变形而储存的能量二、弹性力学中的能量表述1. 弹性力学中的外力功（work by force ）弹性力学中的外力包括：面力和体力，故外力功包括：Part 1：面力p i 在对应位移上u i 上的功（on S p ）Part 2：体力b i 在对应位移上u i 上的功（in Ω）外力总功为：()()d d pxyzxyzS W p u p v p w S b u b v b w Ω=+++++Ω⎰⎰二、弹性力学中的能量表述2. 弹性力学中的应变能(strain energy)设加载缓慢，系统功能可忽略，同时略去其它能量（如热能等）的消耗，则所做的功全部以应变能的形式储存于内部。

《弹性力学与有限元》第1章弹性力学的基础知识

《弹性力学与有限元》第1章弹性力学的基础知识

（五）小应变位移假设 物体在外加因素作用下，物体变形产生的位移与物体尺寸相比极其微小，因 而应变分量和转角均远小于 1。这样，在建立物体变形后的平衡方程时，可以不 考虑由于变形引起的物体尺寸和位置的变化；在建立几何方程和物理方程时，可 以略去应变、转角的二次幂或二次乘积以上的项，使得到的基本方程是线性偏微 分方程组。这个假设又称为几何线性的假设。
物体的弹性性质是客观存在的，人类很早就可以利用物体的弹性性质了，比 如在树枝上荡漾，古代的弓箭等等。
了解掌握弹性物体的客观规律，并形成弹性力学这样一门学科，则经过了三 个发展时期：
弹性力学的发展初期。17 世纪开始，主要是通过实践，尤其是通过实验来 探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于 1680 年分别独立地提 出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于 1687 年确立了力学三定律，奠定了力学的发展基础。
《弹性力学与有限元》
第 1 章 弹性力学的基础知识
第 1 章 弹性力学的基础知识
弹性力学(Elastic Mechanics)是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力 和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结 构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天 等工程领域。
材料力学的研究对象主要是杆状构件（一维弹性杆件），而且常采用一些关 于变形的近似假设，如“平面截面”的假设等等，使得计算简化。
而弹性力学的分析方法在一开始并不考虑平面截面的假设，而是从变形连续 性的观念出发列出几何方程，所谓变形连续性是指在变形前的连续物体在变形后 仍保持连续，物体的任一部分及单元体均保持连续。在保持变形连续的情况下， 平面界面变形以后可能不再保持平面，

2弹性力学及有限元法-弹性力学基础知识

2弹性力学及有限元法-弹性力学基础知识
由于工程实际问题的复杂性是由多方面因素构成的如果不分主次地考虑所有因素问题是十分复杂的数学推导将困难重重以至于不可能求根据问题性质建立力学模型时必须作出一些基本假设忽略部分可以暂时不予考虑的因素使研究的问题限制在一个方便可行的范围之内
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
第二章 弹性力学基本知识
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
1）任意斜截面上的应力
微四面体在应力矢量和体积力作用下 满足平衡条件，由x方向的平衡可得：
p x S x S l yx S m yx S m h S Fbx 0 3
对于微分四面体单元，h与单 元体棱边相关，为趋近于零的 极小量，因此 同理
8
2.1 弹性力学基本假设
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
6.无初应力假设
•——假设物体处于自然状态，即在外界因素（如外 力或温度变化等）作用之前，物体内部没有应力。 •弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生 的。
9
2.1 弹性力学基本假设
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
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5.主应力与主平面
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
2）主平面、应力主方向与主应力 1）切应力为零的微分面称为 主微分平面，简称主平面。 2）主平面的法线称为应力主 轴或者称为应力主方向。
3）主平面上的正应力称为主
应力。
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5.主应力与主平面
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
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2.1 弹性力学基本假设
第 二 章 弹 性 力 学 基 础 知 识
5.小变形假设
•——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的 影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于 高阶小量。 •在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形 所引起的尺寸变化。 •忽略应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程成 为线性的代数方程和微分方程。

有限元与弹性力学的基本原理

有限元与弹性力学的基本原理

区别:
▪ 平面应力： 只在平面内有应力，与该面垂直方向的应力可忽略，例如薄板拉压问题。
平面应变： 只在平面内有应变，与该面垂直方向的应变可忽略，例如水坝侧向水压问题。
▪ 具体说来： 平面应力是指所有的应力都在一个平面内，如果平面是OXY平面，那么只有正应力 σx，σy，剪应力τxy(它们都在一个平面内)，没有σz，τyz，τzx。 平面应变是指所有的应变都在一个平面内，同样如果平面是OXY平面，则只有正应
弹性力学的分类
平面问题的基本理论
直角坐标解答 极坐标解答 温度应力
空间问题的基本理论
理论弹性力学
薄板理论 薄壳理论
应用弹性力学
弹性体力学的基本概念简介
弹性体有四种形变：拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。 其实，最基本的形变有两种：拉伸压缩和剪切形变；扭转 和弯曲可以看作是由两种基本形变的组成。
弹性体的拉伸和压缩形变
有限元分析的基本原理
有限元与弹性力学的基本原理
之所以介绍弹性力学的有限元法的主要是:它概念浅显， 易于掌握，既可以从直观的物理模型来理解，也可以按 严格的数学逻辑来研究; 不仅能成功地分析具有复杂边界 条件、非线性、非均质材料、动力学等难题，而且还可 以推广到解答数学方程的其它边值问题，如热传导、电 磁场、流体力学等问题。
（1）平面应力问题:如梁，由于梁的厚度很小，而荷载 又都与Oxy平面平行，且沿z轴为均匀分布，因此可以认为 沿z轴方向的应力分量等于零。这种问题称为平面应力问题。
（2）平面变形问题:如一圆形隧洞的横截面。由于隧洞的 长度比直径大得多，而荷载又都与Oxy平面平行，且沿z轴为 均匀分布，因此可以认为，沿z轴方向的位移分量等于零。 这种问题称为平面变形问题。
弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、 应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性 力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等， 都可以从三大基本规律推导出来。
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YN
s
N
x ds l 1 yx ds m 1 X N ds 1 0 整理得： X N l x m yx (1-3) 又有： Fy 0, 则： y dx 1 xy dy 1 YN ds 1 0
整理得： YN m y l xy (1-4)

zy z 2
x
b
t
z
y
a
剪应力互等知
y
zx xz 0; zy yz 0
结论：平面应力问题只有3个应力分量， 且仅与X，Y有关：
x x ( x , y ) y y ( x , y ) xy yx xy ( x , y )
水坝
滚柱
x , u, 沿 z 方向都不变化，xy的函数。
厚壁圆筒
第一章 弹性力学简介
§1-4 平面应力问题与平面应变问题
(4) 应力应变特征 因为任一横截面均可视为对称面，则有 w 0所有各点的位移矢量都平行于 x y 水坝 平面。即为平面位移问题。则有： z 0 zy yz 0 zx xz 0 x x ( x, y) y y ( x, y ) 平面应变问题 xy yx xy ( x, y ) 注： (1)平面应变问题中 z 0 ，但是 z 0 z ( x y ) (2)平面应变问题中应力分量： x , y , z , xy ( zx zy 0) 仅为x,y函数． 可近似为平面应变的例子：隧道，煤矿坑道，大坝，挡土墙
第一章 弹性力学简介
§1-4 平面应力问题与平面应变问题
(3) 应力特征
如图选取坐标系，以板的 中面为xy 平面，垂直于中面的 任一直线为 z 轴。由于板面上 不受力，有 t z 0 z z 2 0 zx z t 0 外力在z方向不变 zx 0 2 t 0 整个板上各点均有 zy 0
P
P A
A B
dy
u
u y
u v
PB dy 则变形后
u v
u x v x
dx
u
u y v y
dy dy
A
B
dx
B
v
第一章 弹性力学简介
O
x
u
u x
dx
u
§1-7 平面问题的几何方程
u u dx u x u x dx
P
dx A
(1) 几何方程(续) dy PA 的正应变（单位伸缩）： B
dy
dy )dx 1 yx dx 1
Xdx dy 1 0 y
yx
y
y
两边同时除以dx,dy整理得： X 0 x y 由 Fy 0 y xy ( y dy )dx 1 y dx 1 ( xy dy )dx 1 则有 y x xy dy 1 Ydx dy 1 0 两边同时除以dx,dy整理得：
第一章 弹性力学简介
O P
§1-6 平面问题中一点的应力状态
y yx
dx dy ds A XN
x
x (1) 斜面上应力在坐标方向上的分量 设P点应力为： x , y , xy yx xy 已知斜面上的应力矢量为：S y B 斜面外法线 N 关于坐标轴的方向余弦为： cos( N , x) l dx ds m dy ds l cos( N , y ) m
由微元体平衡知： Fx 0, 则有： x dy 1 yx dx 1 X N ds 1 0
第一章 弹性力学简介
O P
§1-6 平面问题中一点的应力状态
y yx
dx dy ds A
x
x (2) 斜面上的正应力与剪应力 XN 如图斜面上的应力状态投影得： xy N N N lX N mYN y B s N YN N lYN mX N 将式(1-3)、(1-4)代入，并整理得： N l 2 x m2 y 2lm xy (1-5) —任意斜截面上 应力计算公式 N lm( y x ) (l 2 m2 ) xy (1-6) N的方向规定：将 N 转动90°而到达 N 的方向是顺时针 的，则该 N 为正；反之为负。 若AB面为物体的边界S，则 YN Y X N X 可得 l ( x ) s m( xy ) s X
第一章 弹性力学简介 讨论：
§1-7 平面问题的几何方程
(2) 刚体位移(续) 讨论： 当u 0, v 0时, (1) 0 0 (2) (3)
u u0 y v v0 x
D
Y
C
B
(1-1) (1-2)
yx
yx y
xy
dy
xy x
dx
dy
y
y y
说明：(1) 两个平衡微分方程，三个未知量： x , y , xy yx 为超静定问题，需找补充方程才能求解。 (2) 对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z 方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用； (3) 平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关； (4) 平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。
x
2! x
第一章 弹性力学简介
§1-5 平衡微分方程
由微元体PACB平衡，得
O
P
x
y
yx A
X
x
x x
dx
M
则有
xy x
D
0
y
yx
x
xy
D
Y
C
B
yx y
xy
dy
xy x
dx
dy
( xy
dx)dy 1
dx 2
xy dy 1
x
BC面：
x dx x 2 xy xy 1 xy 2 dx xy dx (dx) xy 2 x 2! x x y 注：体力为：X,Y；且计算时使 y dy y 用了小变形假定，以变形前的尺 yx 寸代替变形后尺寸。 yx dy y
yx y
dx 2
y
y y
( yx
dy )dx 1
1 yx 2 y
dy 2
dy
yx dx 1
dy 2
0
整理上式知 xy
1 xy 2 x
dx yx
当 dx 0, dy 0 时，有 xy yx 即验证了剪应力互等
即得
(a)
(b)
(c)
v f 2 ( x)
(d)
将(d)代入(c)得： df ( y ) df ( x) 1 2 0 dy dx第一章 弹性力学简介源自§1-7 平面问题的几何方程
(2) 刚体位移(续) df1 ( y ) df 2 ( x) 将上式改写成 dy dx 可见上式中左边为关于y的函数，右边为关于x的函数， 两边相等，则只能是常数。 则有 df 2 ( x) df1 ( y ) dy dx 积分上式可得： f1 ( y ) u0 y f 2 ( x) v0 x 其中，u0、v0为积分常数。 (x、y方向的刚体位移)，代 入(d)得: u u0 y (1-8) —刚体位移表达式 v v0 x
第一章 弹性力学简介
§1-4 平面应力问题与平面应变问题
3.习题 如图所示三种情形，试判断：是否都属平面问题？是平 面应力问题还是平面应变问题？ 平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
第一章 弹性力学简介
§1-5 平面问题平衡微分方程
O
P
y
yx A
x
x
x x
dx
x 在P点附近取微元体PACB, xy xy PA dx PB dy C B xy dx y Z方向取单位长度，设Ｐ点应力 x yx yx dy 为： x , y , xy yx y y 2 y dy 则AC面： x 1 x 2 y x dx (dx) 2
第一章 弹性力学简介
§1-7 平面问题的几何方程
(2) 刚体位移
物体无变形，只有刚体位移。 当 x 0, y 0, xy 0时,
x u 0 x y v 0 y xy v u 0 x y 由(a),(b)式知 u f1 ( y )
第一章 弹性力学简介
O
P
x
§1-5 平衡微分方程
由
y
F
x
0
y
yx
yx A
X
x
x x
dx
x
则有 x ( x dx)dy 1 x dy 1
( yx
xy
D
Y
C
B
x yx
y
yx y
xy
dy
xy x
dx
(1-7)
v
v y
dy u
u y
dy
说明：(1) 反映任一点的位移与该点应变间的关系的几何 方程，是弹性力学的基本方程之一。 (2) 当 u、v 已知，则 x , y , xy 可完全确定；反 之，已知 x , y , xy ，不能确定u、v。 ∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。 (3) xy 以两线段夹角减小为正，增大为负。
y y xy x Y 0
x
第一章 弹性力学简介
O
P
x
§1-5 平衡微分方程
由上述可得平面问题的 y 平衡微分方程：
x x xy x yx y y y X 0 Y 0