2015-2016年江苏省淮安市淮阴中学高一上学期数学期末试卷(解析版)

江苏省淮阴中学2015—2016学年度第一学期期末考试高二数学试卷一、填空题（每小题5分，共计70分）.1.命题“若1x ≤，则21x ≤”的逆否命题为 ．2.双曲线2214y x -=的两条渐近线方程为 ． 3.某人从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，9，7，则该组数据的方差2s = ． 4.函数()1sin f x x =+在点()0,1处的切线方程为 ．5.观察下列式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，…，根据以上式子可以猜想2221111232015++++<… ．6.执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ．7.盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中都为奇数的概率为 （用分数作答）．8.“1a ≥”是“直线0x y -=与直线10ax y ++=垂直”的 条件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”中，选择适当的一种填空）．9.在平面直角坐标系xOy 中，设D 是由不等式组10,10,0x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，若向E 中随机投一点，则所投点落在D 中的概率是 ． 10.已知函数321()3f x x ax x =+-()a R ∈，若()y f x =在区间[]2,1--上是单调减函数，则实数a 的最小值为 ．11.已知圆()()222x a y b r -+-=的圆心为抛物线24y x =的焦点，且与直线3420x y ++=相切，则该圆的方程为 ． 12.已知函数21()23f x ax ax a =-++()0a >，324()227g x bx bx bx =-+-()1b >，则函数(())y g f x =的零点个数为 ．13.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，若1260F PF ∠=︒，则这一对相关曲线中椭圆的离心率是 ． 14.设函数()3()33x x f x e x x ae x =-+--，e 为自然对数的底数，若不等式()0f x ≤在[)2,x ∈-+∞有解，则实数a 的最小值为 ．二、解答题15.（本题满分14分）已知复数z 满足()125z i i +=（i 为虚数单位）． （1）求复数z ，以及复数z 的实部与虚部；（2）求复数5z z+的模．16.（本题满分14分）已知命题p ：“关于x ，y 的方程22222540x ax y a a -++-+=表示圆（a R ∈）”，17.(本题满分14分)从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)40,50，[)50,60，…，[]90,100后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列命题：（1）求分数在[)70,80内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）根据上面补充完整的频率分布直方图用组中值估计出本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[)40,60的学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少1人在分数段[)50,60的概率．18.（本题满分16分）为治理雾霾，环保部门加大对企业污染物排放的监管力度，某企业决定对一条价值60万元的老旧流水线进行升级改造，既要减少染污的排放，更要提高该流水线的生产能力，从而提高产品附加值，预测产品附加值y （单位：万元）与投入改造资金x （单位：万元）之间的关系满足： ①y 与2(60)x x -成正比例； ②当30x =时，90y =； ③改造资金x 满足不等式02(60)xt x ≤≤-，其中t 为常数，且[]0,3t ∈．（1）求函数()y f x =的解析式，并求出其定义域； （2）问投入改造资金x 取何值时，产品附加值y 达到最大？19.（本题满分16分）已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，两点1(1,0)F -w ，2(1,0)F 为椭圆C 的焦点，点P 在椭圆C 上，且1212||||2||PF PF F F +=． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图已知椭圆C 的内接平行四边形ABCD 的一组对边分别过椭圆的焦点1F 、2F ，求该平行四边形ABCD 面积的最大值．20.（本题满分16分）设函数()2()2(1)ln *kf x x x k N =--∈，'()f x 表示()f x 的导函数．（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）当k 为偶数时，若函数()f x 的图象恒在函数2()(12)g x a x =-的上方，求实数a 的取值范围； （3）当k 为奇数时，设1'()2n b f n n =-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明不等式11(1)n n b e b ++>对一切正整数n 均成立，并比较20142S -与ln 2014的大小．理科附加题21.（本题满分10分）已知函数2()ln(1)2'(0)2f x x x f x =+--+． （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的减区间．22.（本题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥AC ，2AB =，4AC =，13AA =，D 是BC 的中点，求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值．23.（本题满分10分）在数列{}n a 中，已知11a =121n nn a a +=+（*n N ∈）． （1）求2a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明．24.（本题满分10分）已知抛物线22y px =()0p >上点()3,T t 到焦点F 的距离为4．（1）求t ，p 值；（2）设A ，B 是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点，且5OA OB ⋅=u u u r u u u r（其中O 为坐标原点）．求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标．江苏省淮阴中学2015—2016学年度第一学期期末考试高二数学试卷答案一．填空题（每小题5分，共计70分） 1．若21x >，则1x > 2．2y x =± 3．24．1y x =+ 5．40292015 6．47．49 8．必要不充分9．1π 10．3411.()2211x y -+=12.4314.11e-二．解答题 15．解：（1）55(12)(12)212(12)(12)i i i z i i i i i i -===-=+++-，实部为2，虚部为1； （2）552422z i i z i +=-+=-+，∴225||4(2)25z z+=+-=． 16．解：（1）若p 为真命题，则222()54x a y a a -+=-+-， 故2540a a -+->，∴14a <<．（2）若q 为真命题，则2(1)40a ∆=-->，即3a >或1a <-． 由题意若命题p q ∧为真命题，则p 、q 都是真命题， ∴14,31,a a a <<⎧⎨><-⎩或即34a <<，故若p ，q 都是假命题时，3a ≤或4a ≥． 17.解：（1）分数在[)70,80内的频率wield 1(0.0100.0150.0150.0250.005)10-++++⨯10.70.3=-=， 又0.30.0310=，补出的图形如图所示． （2）平均分为：450.1550.15650.15x =⨯+⨯+⨯750.3+⨯850.25+⨯950.0571+⨯=．答：估计这次考试的平均分是71分．（3）由题意，[)40,50分数段的人数为0.10606⨯=人；[)50,60分数段的人数为0.15609⨯=人；在[)40,60的学生中抽取一个容量为5的样本，在[)40,50分数段抽取2人，分别记为m ，n ；[)50,60分数(),a c ，(),b c 共9种，所以()90.910P A ==． 18.解：（1）设2(60)y k x x =-，则由②可得1300k =，21(60)300y x x =-． 02(60)xt x ≤≤-，其中t 为常数，且[]0,3t ∈，∴1200,12t x t ⎡⎤∈⎢⎥+⎣⎦，其中t 为常数，且[]0,3t ∈， 故函数21(60)300y x x =-，其定义域为1200,12t t ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，其中t 为常数，且[]0,3t ∈． （2）1'()(1203)300f x x =⨯-，令'()f x =0，可得0x =或40x =， 当1204012tt≥+，即13t ≤≤时，()0,40x ∈，'()0f x >，()f x 单调递增； 120(40,)12tx t∈+，'()0f x <，()f x 单调递减，∴40x =时，max 3203y =；当1204012t t <+，即01t ≤<时，120(0,]12t x t ∈+，'()0f x >，()f x 单调递增； ∴12012t x t=+时，2max 32880(12)t y t =+． 综上：当13t ≤≤时，投入改造资金40x =时，产品附加值max 3203y =； 当01t ≤<时，投入改造资金12012tx t=+时，产品附加值2max 32880(12)t y t =+．19.解：（1）依题意，椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>．∵12122||||2||4a PF PF F F =+==，2a =． 又由焦点()11,0F -、()21,0F 知1c =， ∴222413b a c =-=-=，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）当直线AD 的斜率不存在时，直线AD 的方程为1x =，解方程组221,431,x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得3(1,)2A ，3(1,)2D -， ∴平行四边形ABCD 的面积6S =．当直线AD 的斜率存在时，设其方程为(1)y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得2222(34)4120k x k x k +-+-=， ∴2122834k x x k+=+，212241234k x x k -=+，∴||AD ==， 又1(1,0)F -到AD的距离d =，∴平行四边形ABCD的面积||S AD d =⋅==6=<， 综上，符合条件的椭圆内接平行四边形ABCD 的面积最大值为6． 20.解：（1）函数的定义域为()0,+∞，又22(1)1''()22(1)kkx y f x x x x⎡⎤--⎣⎦==--=． ①当k 为奇数时，22(1)'()x f x x+=，∵()0,x ∈+∞，∴'()0f x >在()0,+∞恒成立，即()f x 的单调递增区间为()0,+∞；②当k 为偶数时，()()22112(1)'()x x x f x x x+--==，又()0,x ∈+∞，∴10x +>，由'()0f x >，得10x ->，∴1x >，即()f x 的单调递增区间为()1,+∞．综上所述，当k 为奇数时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞；当k 为偶数时，()f x 的单调递增区间为()1,+∞．（2）当k 为偶数时，2()2ln f x x x =-． 由题意知：222ln (12)x x a x ->-恒成立，即2ln xa x>恒成立． 设2ln ()xh x x=，则[]max ()a h x >，由312ln '()0xh x -==，得x ='()h x ，()h x 随x 的变化情况如下表：∴()h x 在x =即[]max 1()2h x he ==，故实数a 的取值范围为12a e>． （3）证明：由（1）知，当k 为奇数时，1'()2()f x x x=+，∴1'()2n b f n n =-1n=，111123n S n =++++…．由已知要证11(1)n e n ++>，两边取自然对数，即证11ln(1)1n n +>+，设11t n +=，则()111n t t =>-，即证不等式()1ln 11t t t>->成立．构造函数()1()ln 11t t t t ϕ=+->，下面证明()t ϕ在()1,+∞上恒大于0．∵1t >，∴211'()0t t tϕ=->，∴()t ϕ在()1,+∞上单调递增，∴()(1)0t ϕϕ>=，即1ln 1t t >-，∴11ln(1)1n n +>+，∴11(1)n e n++>， 即11(1)n n b e b ++>成立， 由11ln1n n n +>+，得111231ln ln ln 23112n n n++++<++++……ln(1)n =+，即11ln(1)n S n +-<+，当2013n =时，20141ln 2014S -<．理科附加题答案21.解：（1）1()22'(0)1f x f x x =--+，所以0x =，得'(0)1f =-， ∴2()ln(1)22f x x x x =+-++．（2）2121'()2211x f x x x x -=+-=++， 由'()0f x <，得2222x -<<， ∴()f x 的减区间为22()． 22.解：以{}1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,4,0C ，()1,2,0D ，()10,0,3A ，()12,0,3B ，1(0,4,3)C ，1(1,2,3)A D =-u u u u r，()110,4,0AC =u u u u r ．设平面11AC D 的法向量为(,,)n x y z =r ，∵1230n A D x y z ⋅=+-=r u u u u r ，1140n AC y ⋅==r u u u u r ， ∴3x z =，0y =，令1z =，得3x =，()3,0,1n =r． 设直线1DB 与平面11AC D 所成角为θ，∵()11,2,3DB =-u u u u r， ∴1|310213|335sin |cos ,|1014DB n θ⨯+⨯-+⨯=<>==⨯u u u u r r ．∴直线1DB 与平面11AC D所成角的正弦值为35． 23.解：（1）由已知得214a =，319a =，4116a =． （2）猜想：21n a n =()*n N ∈． 下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，11a =结论成立；②假设当n k =（2k ≥，*k N ∈）时，结论成立，即21k a k =， 则当1n k =+21211k k k k =++=-++=+，即121(1)k a k +=+， 故当1n k =+时结论轮成立，根据①②可得，21n a n =()*n N ∈成立． 24.（1）由抛物线定义得，342p+=，即2p =，所以抛物线方程为24y x =，代入点(3,)T t，可解得t =±．（2）设直线AB 的方程为x my n =+，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ， 联立24,y x x my n⎧=⎨=+⎩，消元得2440y my n --=，则124y y m +=，124y y n =-，由5OA OB ⋅=u u u r u u u r ，得()21212516y y y y +=，所以1220y y =-或124y y =（舍去）， 即420n -=-，即5n =，所以直线AB 的方程为5x my =+， 所以直线AB 过定点()5,0P ．。

江苏省淮阴中学2015-2016学年高一上学期期末考试化学试题说明：1、考试时间：100 分钟；本卷满分： 1 0 0 分2、请将答案填写在答案卷上，考试结束后只交答案卷。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 S 32 Cl35.5 Fe 56 Cu 64Ne 20 Na 23 Mg 24 K 39 Al 27 Ca 40第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意）1．下列有关化学与环境保护的说法正确的是A．就地在田间焚烧秸秆，减少运输成本B．烧煤进行脱硫、脱硝处理，减少空气污染C．推广和鼓励多使用私家车出行D．做好空气质量预报工作，以使污染程度高是好预防2．下列物质不属于混合物的是A．铝热剂B．水玻璃C．胆矾D．漂白粉3．成语是中华民族灿烂文化中的魂宝，许多成语中蕴含着丰富的化学原理，下列成语中涉及氧化还原反应的是A．木已成舟B．蜡炬成灰C．铁杵成针D．滴水成冰4．下列有关物质的用途正确的是A．NaHCO3可以用于治疗胃酸过多B．浓硝酸具有强氧化性，因此浓硝酸可以作为漂白剂C．SiO2可以用于生产太阳能电池D．在FeCl3饱和溶液里通入足量NH3可制取Fe(OH)3胶体5．设N A为阿伏加罗常数的值，下列说法正确的是A．标准状况下，22.4LCH4中含有氢原子数目为4N AB．1molNa2O2中含有的阴离子和阳离子的数目为2N AC．0.1mol/LCu(NO3)2溶液中含有的NO3-数目为0.2N AD．28gN2中所含的原子数目为N A6．已知侯氏制碱的主要反应原理：NH3+CO2+H2O+NaCl═NaHCO3↓+NH4Cl，利用下列装置制取碳酸氢钠粗品，实验装置正确且能达到实验目的的是A．用装置甲制取氨气B．用装置乙制取二氧化碳C．用装置丙制取碳酸氢钠D．用装置丁分离碳酸氢钠与母液7．常温下，下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是A．加入酚酞呈红色的溶液中：CO32-、NH4+、NO3-、K+B．含有大量NO3-的溶液中：H+、Na+、Fe2+、Cl-C．强酸性溶液中：Fe3+、NH4+、Cl-、SCN-D．含有NaHSO4的溶液中：NH4+、Cu2+、Cl-、NO3-8．同温同压下，等物质的量的NO和NO2具有相同的A．氧原子数B．质量C．原子数D．体积9．类推的思维方法在化学学习与研究中有时会产生错误结论，因此类推的结论最终要经过实践的检验，才能决定其正确与否。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作扬州市2015—2016学年度第一学期期末调研测试试题高 一 数 学2016．1（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．已知集合}1,0{=A ，}1,1{-=B ，则AB = ▲ ．2．幂函数)(x f 的图象过点)2,4(，则(2)f = ▲ ． 3．函数()tan(2)4f x x π=+的最小正周期为 ▲ ．4．已知扇形的圆心角为3π，半径为2，则该扇形的面积为_____▲____． 5．已知点P 在线段AB 上，且||4||AB AP =，设AP PB λ=，则实数λ= ▲ ． 6．函数1)(-=x xx f 的定义域为 ▲ ． 7．求值：2(lg 5)lg 2lg 50+⨯= ▲ ． 8．角α的终边经过点),3(y P -，且54sin =α，则y = ▲ ． 9．方程121124x x -+=+的解为x = ▲ ．10．若||1,||2a b ==，且()a a b ⊥-，则向量a 与b 的夹角为 ▲ ．11．若关于x 的方程0sin cos 2=+-a x x 在],0[π内有解，则实数a 的取值范围 是 ▲ ．12．下列说法中，所有正确说法的序号是 ▲ ．①终边落在y 轴上的角的集合是{|,}2k k Z παα=∈； ②函数)4cos(2π-=x y 图象的一个对称中心是)0,43(π；③函数tan y x =在第一象限是增函数； ④为了得到函数-=x y 2sin(3π)的图象，只需把函数sin 2y x =的图象向右平移6π个单位长度.13．若函数2()log (1)(0a f x x ax a =-+->且1)a ≠有最大值，则实数a 的取值范围是 ▲ ．14．已知22,0(),0x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，若对任意的1x ≥有(2)()0f x m mf x ++>恒成立，则实数m的取值范围是 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题14分）已知集合{|11}A x a x a =-<<+，{|03}B x x =<<． ⑴若0=a ，求A B ；⑵若B A ⊆，求实数a 的取值范围．16．（本小题14分）如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，点F 在边CD 上．⑴若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF AB AD λμ=+，求λμ+的值； ⑵若3,2AB BC ==，当1AE BF ⋅=时，求DF 的长．17．（本小题15分）已知向量(sin ,cos 2sin ),(1,2)a b θθθ=-=，其中πθ<<0． ⑴若a //b ，求θθcos sin ⋅的值； ⑵若||||b a =，求θ的值．18．（本小题15分） 已知函数)0,0)(3sin()(>>+=ωπωA x A x f 的部分图象如图所示．⑴求A 和ω的值；⑵求函数()y f x =在],0[π的单调增区间；⑶若函数()()1g x f x =+在区间(,)a b 上恰有10个零点，求a b -的最大值．19．（本小题16分）扬州瘦西湖隧道长3600米，设汽车通过隧道的速度为x 米/秒(017)x <<．根据安全和车流的需要，当06x <≤时，相邻两车之间的安全距离d 为()x b +米；当617x <<时，相邻两车之间的安全距离d 为2(2)63a xx ++米（其中,a b 是常数）．当6x =时，10d =，当16x =时，50d =．⑴求,a b 的值；⑵一列由13辆汽车组成的车队匀速通过该隧道（第一辆汽车车身长为6米，其余汽车车身长为5米，每辆汽车速度均相同）．记从第一辆汽车车头进入隧道，至第13辆汽车车尾离开隧道所用的时间为y 秒． ①将y 表示为x 的函数；②要使车队通过隧道的时间y 不超过280秒，求汽车速度x 的范围． 20．（本小题16分）已知2()x f e ax x =-，a R ∈． ⑴求()f x 的解析式；⑵求(0,1]x ∈时，()f x 的值域； ⑶设0a >，若()[()1]l x h x f x a e =+-⋅对任意的3112,[,]x x e e --∈，总有121()()3h x h x a -≤+恒成立，求实数a 的取值范围.2015—2016学年度第一学期高一数学期末试卷参 考 答 案2016．1一、填空题1. {1,0,1}- 2．2 3. 2π 4.23π 5. 13 6. {|0x x ≥且1}x ≠7. 1 8. 4 9. 2- 10.4π11. [1,1]- 12. ②④13. (2,)+∞ 14. 1(,)4-+∞二、解答题15⑴若0=a ，则}11|{<<-=x x A ，A ∩B }10|{<<=x x ……7分⑵1013a a -≥⎧⎨+≤⎩，则12a ≤≤，所以实数a 的取值范围是12a ≤≤ ……14分16⑴EF EC CF =+，因为E 是BC 边的中点，点F 是CD 上靠近C 的三等分点，所以1123EF BC CD =+， 在矩形ABCD 中，,BC AD CD AB ==-，所以1132EF AB AD =-+， 即11,32λμ=-=，则111326λμ+=-+=； ……7分⑵设DC m DF =)0(>m ，则DC m CF )1(-=，所以1122AE AB BC AB AD =+=+，(1)(1)BF CF BC m DC BC m AB AD =+=-+=-+，又0AB AD ⋅=，所以1()[(1)]2AE BF AB AD m AB AD ⋅=+⋅-+ 221(1)2m AB AD =-+=3(1)21m -+=解得23m =，所以DF 的长为233． ……14分注：也可以建立平面直角坐标系，表示出AE 与BF 的坐标，阅卷根据情况酌情给分.17⑴因为//a b ，所以2sin cos 2sin θθθ=- ……3分显然cos 0θ≠，所以1tan 4θ=． ……5分 所以θθcos sin ⋅=θθθθ22cos sin cos sin +⋅1tan tan 2+=θθ174=……8分 ⑵因为||||a b =，所以22sin(cos 2sin )5θθθ+-= ……11分所以0cos sin cos 2=+θθθ，0cos =θ或θθcos sin -=． 又πθ<<0，所以2πθ=或34πθ=． ……15分18⑴2,A =ωπππ421234=-=T ，2=ω 所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……4分 ⑵令πππππk x k 223222+≤+≤+-，Z k ∈得ππππk x k +≤≤+-12125 ……7分又因为∈x ],0[π，所以函数()y f x =在],0[π的单调增区间为]12,0[π和],127[ππ……9分 注：区间端点可开可闭，都不扣分． ⑶()2sin 213f x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 得512x k ππ=+或3()4x k k Z ππ=+∈ ……11分函数()f x 在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期， ……13分 所以a b -最大值为217533T ππ+=． ……15分19⑴当6x =时，610d x b b =+=+=，则4b =，当16x =时，22162162506363a x a d x =++=⨯++=，则1a =； 所以1,4a b ==． ……4分 ⑵①当06x <≤时，651212(4)3600371412x xy x x +⨯++++==， 当617x <<时，221651212(2)360024369063xx x x y x x+⨯++++++==所以2371412,06243690,617xx xy x x x x +⎧<≤⎪⎪=⎨++⎪<<⎪⎩……10分②当06x <≤时，min 37141262806y +⨯=>，不符合题意，当617x <<时，2243690280x x y x++=≤ 解得15123x ≤<，所以1517x ≤< ……16分 答⑴1,4a b ==．⑵①2371412,06243690,617xx xy x x x x +⎧<≤⎪⎪=⎨++⎪<<⎪⎩②汽车速度x 的范围为1517x ≤<．注：不答扣一分20⑴设xe t =，则ln 0x t =>，所以2()(ln )ln f t a t t =-所以2()(ln )ln (0)f x a x x x =->； ……3分 ⑵设ln (0)x m m =≤，则2()()f x g m am m ==-当0a =时，()()f x g m m ==-，()g m 的值域为[0,)+∞ 当0a ≠时，2211()()()(0)24f x g m am m a m m a a==-=--≤ 若0a >，102a >，()g m 的值域为[0,)+∞ 若0a <，102a <，()g m 在1(,]2a -∞上单调递增，在1[,0]2a上单调递减，()g m 的值域为1(,]4a-∞- ……7分综上，当0a ≥时()f x 的值域为[0,)+∞当0a <时()f x 的值域为1(,]4a-∞-； ……8分 ⑶因为(1)()ln 1ln a h x a x x -=-+对任意3112,[,]x x e e --∈总有121()()3h x h x a -≤+所以()h x 在31[,]e e --满足max min 1()()3h x h x a -≤+ ……10分设ln ([3,1])x s s =∈--，则1()()1ah x r s as s-==+-，[3,1]s ∈--当10a -<即1a >时()r s 在区间[3,1]--单调递增 所以1(1)(3)3r r a ---≤+，即8412()333a a ----≤+，所以35a ≤(舍) 当1a =时，()1r s s =-，不符合题意 ……12分 当01a <<时， 若11a a -≤即112a ≤<时，()r s 在区间[3,1]--单调递增 所以1(1)(3)3r r a ---≤+，则1325a ≤≤ 若113a a -<<即11102a <<时()r s 在1[3,]a a ---递增，在1[,1]a a ---递减 所以11()(3)311()(1)3a r r a a a r r a a ⎧----≤+⎪⎪⎨-⎪---≤+⎪⎩，得11102a <<若13aa-≥即110a<≤时()r s在区间[3,1]--单调递减所以1(3)(1)3r r a---≤+，即8412333a a--+≤+，得111110a≤<……15分综上所述：13115a≤≤. ……16分。

XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。

1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。

$\{1\}$ B。

$\{3,5\}$ C。

$\{1,3,4,5\}$ D。

$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。

$22$ B。

$10$ C。

$8$ D。

$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。

$-\frac{3}{4}$ B。

$-\frac{4}{3}$ C。

$\frac{3}{4}$ D。

$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{4}$ B。

$\frac{\pi}{3}$ C。

一、填空题（每小题5分，共70分）1．三角形的三个内角的度数之比为1:2:3，其最小内角的弧度数为 .2．集合{}{}3,2,,aA B a b ==，若{}2A B = ，则a+b= .3．函数()lg 4y x =-的定义域为 .4．从集合A 到集合B 的映射2:1f x x →+，若A={-2，-1,0,1,2}，则B 中至少有 个元素；5．角β的终边和角α=-1035°的终边相同，则cos β= . 6．扇形的半径为2，圆心角为3π，则此扇形的面积为 . 7．设0x 是函数()2xf x x =+的零点，且()0,1x k k ∈+，k Z ∈，则k= . 8．如图，点P 从(1,0)出发，沿单位圆按顺时针方向运动3π弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 .9．函数()f x =的单调减区间是 .10．已知关于x 的2220x ax a -++=的两个实数根是α，β，且有1<α<2<β<3，则实数a的取值范围是 .11．下列幂函数中：①12y x =；②2y x -=；③43y x =；④13y x =；其中既是偶函数，又在区间()0,+∞上单调递增的函数是 .（填相应函数的序号）.12．已知函数()()log 10,1a y x a a =->≠的图象过定点A ，若点A 也在函数()2xf x b =+的图象上，则()2log 3f = .13.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当x <0时，()2f x x =+，那么不等式()210f x -<的解集是 .14．已知函数()3|log |,034,3x x f x x x <≤⎧=⎨-+>⎩，若a <b <c 且()()()f a f b f c ==，则()2cab +的取值范围是 . 二、解答题（共90分）15．(本小题满分14分)已知tan α是关于x 的方程2210x x --=的一个实根，且α是第三象限角. (1)求2sin cos sin cos αααα-+的值；(2)求cos sin αα+的值.16．(本小题满分14分)设集合U=R ，{}{}2||1|1,|20A x x B x x x =-<=+-<；(1)求：A B ，()U C A B ；(2)设集合{}|2C x a x a =-<<，若()C A B ⊆ ，求a 的取值范围.17．(本小题满分14分)计算题(1)求值：222log 332231272log log 3log 48--⨯+⨯(2)求不等式的解集：①332x -< ②()51log 12x -<18．(本小题满分16分)某投资公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资量成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）(1)分别将A ，B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式；(2)该公司已有10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？19．(本小题满分16分)已知()231xf x m =++，m 是是实常数， (1)当m =1时，写出函数()f x 的值域；(2)当m =0时，判断函数()f x 的奇偶性，并给出证明； (3)若()f x 是奇函数，不等式()()()0ff x f a +<有解，求a 的取值范围.20．(本小题满分16分)已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>的定义域为，值域为；设()()g x f x x=.(1)求a ，b 的值； (2)若不等式()220x xf k -⋅≥在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数k 的取值范围；(3)若()2|21|30|21|xx f k k -+⋅-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.高一数学参考答案：一． 填空题：（每题5分）1.6π 2. 3 3. [-2，4) 4. 3 5. 26. 23π7. -1 8. 1,2⎛⎝⎭9.（2,3） 10. 112,5⎛⎫⎪⎝⎭ 11.③ 12. -1 13. 35,[0,)22⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 14.（27,81） 二．解答题：15．解：∵2210x x --=，∴121,12x x =-=，∴1tan 2α=-或tan 1α=，又α是第三象限角，………………………………………………………………………………………4分(1)2sin cos 2tan 12111sin cos tan 1112αααααα--⨯-===+++.…………………………………………9分(2)∵22sin tan 1cos sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩且α是第三象限角，∴sin 2cos 2αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴sin cos αα+=14分16．解：{}(){}()|1110,2,|212,1A x x B x x =-<-<==-<<=-…………………2分()0,1A B = ，(,0][2,)U C A =-∞+∞ ，()(,1][2,)U C A B =-∞+∞ ……………8分（2）()2,2A B =- ，………………………………………………………………………9分 i) C =∅时，2,1a a a -≥≤，…………………………………………………………11分ii) C ≠∅时，222,122a aa a a -<⎧⎪-≥-<≤⎨⎪≤⎩，综上：2a ≤.…………………………………14分17.解：(1) 222log 332231272log log 3log 48--⨯+⨯()()223332lg32lg 2353log 2lg 2lg3-=---⨯+⨯()9253325=--⨯-+=-.…………………………………………………………………5分(2) ① 332x-<，∴3log 2333x -<，∴33log 2x -<，∴33log 2x >-，解集为()33log 2,-+∞.………………………………………………………………………………9分② ()51log 12x -<，∴()55log 1log x -<01x <-11x <，解集为()1.………………………………………………………………………………14分 18．解：(1)设投资为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元，由条件知：()()1,f x k x g x k ==2分 由图知()115f =，故115k =；又()4 1.6g =，∴245k =从而()()())10,05f x x x g x x =≥=≥……………………………………………6分 (2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10-x 万元，设企业利润为y 万元，()())1100105y f x g x x x =+-=≤≤…………………………………10分令t =210x t =-+，则()2210411425555t y t t -=+=--+……………13分 当2t =时，max 142.85y ==，此时x =6. …………………………………………………15分 答：A 产品投入6万元，B 产品投入4万元，利润最大为2.8万元. …………………16分 19．解：(1)当m =1时，()2131x f x =++，定义域为R ，()()2311,,0,231xx +∈+∞∈+，()()211,331xf x =+∈+，即函数的值域为(1,3). ……3分 (2) ()f x 为非奇非偶函数. ………………………………………………………………5分 当m =0时，()()()22123,1,113142213xf x f f ===-==++，因为()()11f f -≠，所以()f x 不是偶函数；又因为()()11f f -≠-，所以()f x 不是奇函数；即()f x 为非奇非偶函数. ………………………………………………………………………………………8分 (3)因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-恒成立，即223131x x m m +=--++对x R ∈恒成立，化简整理得232221331x x x m ⨯-=+=++，即1m =-.……………………10分 (若用特殊值计算m ，须验证，否则，酌情扣分。

江苏省南京师大附中、淮阴中学高一数学上册期末试卷一、选择题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,3,5A =，集合{}2,4,5B =，则集合()U A B =（ ） A ．{}2,4,5,6 B ．{}5C ．{}1,3,5,6D ．{}2,42．函数1()ln(1)f x x =+ ）． A ．[1,0)(0,1]-⋃B ．(1,0)(0,1]-⋃C ．[]1,1-D ．(]1,1-3．225︒化为弧度是（ ） A ．34π B ．54π C ．43π D ．76π 4．在平面直角坐标系中，角a 的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()P ，则()sin a π-=（ ）A ．12-B ．12C ．D 5．若函数1()ln f x x a x=-+在区间(1,)e 上存在零点，则常数a 的取值范围为（ ） A ．01a <<B ．11a e<<C ．111a e-<<D ．111a e+<<6．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了（ ）(lg 20.3010)≈ A ．10%B ．30%C ．60%D ．90%7．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()()3f m n f m f n +=+-，且0x >时，()3f x <，则下列说法不正确的是（ ） A ．()()6f x f x +-=B ．()y f x =在R 上单调递减C ．若()10f =，()()22190f x x f x ++--->的解集()1,0-D ．若()69f =-，则123164f ⎛⎫= ⎪⎝⎭8．已知函数()()cos 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数.若将曲线()2y f x =向左平移12π个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到曲线()y g x =，若关于x 的方程()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[)0,3C ．[)2,3D ．)1,3二、填空题9．已知函数()22,023,0x x x f x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩，则（ ）A ．()13f f -⎡⎤⎣=-⎦B ．若()1f a =-，则2a =C ．()f x 在R 上是减函数D ．若关于x 的方程()f x a =有两解，则(]0,3a ∈ 10．下列说法中正确的是（ ） A ．函数2()ln(1)f x x x=+-只有一个零点，且该零点在区间(0,1)上 B ．若()f x 是定义在R 上的奇函数，()()11f x f x -=+，且当(1,0)x ∈-时，22()log f x x =，则322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．已知()f x 的定义域为R ，且(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数，则(7)f x +一定是奇函数D ．实数(1,0)a ∈-是命题“2,210x R ax ax ∃∈+-”为假命题的充分不必要条件 11．若0a b >>，则（ ） A ．a c b c -<-B ．22a b >C ．ac bc >D ．11a b< 12．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数关于函数()D x 有以下四个命题，其中真命题有（ ）A ．()D x 既不是奇函数也不是偶函数B ．()(),r Q D x r D x ∀∈+=C ．()(),D 1x R D x ∀∈=D ．()()(),,x y R D x y D x D y ∃∈+=+三、多选题13．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22xg x =-，若同时满足条件：①对于任意x ∈R ，()0f x <或()0g x <成立； ②存在(),4x ∈-∞-，使得()()0f x g x ⋅<成立． 则m 的取值范围是______________________．14．已知3()2f x x x a =+-在区间（1，2）内存在唯一一个零点，则实数a 的取值范围为_____________．15．已知定义在R 上的奇函数y =f (x )，当x >0时，()21x f x x =+-，则关于x 的不等式()22()f x f x -<的解集为___________.16．已知函数()(21)ln(1)f x x a x a =-+++的定义域为(1,)a --+∞， 若()f x ≥0恒成立，则a 的值是______．四、解答题17．已知函数()()()34f x x m x m =-++. （1）若1m =，求不等式()12f x >-的解集；（2）记不等式()0f x ≤的解集为A ，若4A -∉，求m 的取值范围．18．已知函数2())2cos1(0,0)2x f x x ωϕωϕωϕπ+++-><<为偶函数，且()f x 图象的相邻两个最高点的距离为π．（1）当5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．求函数()g x 在区间,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．19．已知函数()2f x x x =-和函数()πcos 523xg x a a =+-（0a ≠）. （1）判断函数()f x 在()0,∞+的单调性，并用定义法证明；（2）若对于任意[]11,2x ∈总存在[]21,3x ∈，使得()()21g x f x =成立，求a 的取值范围. 20．十九大以来，国家深入推进精准脱贫，加大资金投入，强化社会帮扶，为了更好的服务于人民，派调查组到某农村去考察和指导工作.该地区有200户农民，且都从事水果种植，据了解，平均每户的年收入为3万元.为了调整产业结构，调查组和当地政府决定动员部分农民从事水果加工，据估计，若能动员()0x x >户农民从事水果加工，则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高4%x ，而从事水果加工的农民平均每户收入将为()33050x a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭万元.（1）若动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，要使这200户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a 的最大值.21．已知函数()()sin 20,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最大值为2，其图象与y 轴交点为()0,1.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]0,π上的单调增区间；（3）对于任意的0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()240f x mf x -+≥恒成立，求实数m 用的取值范围.22．已知函数()33x xf x -=+，函数()()()26g x f x mf x =-+.（1）填空：函数()f x 的增区间为___________（2）若命题“(),0x R g x ∃∈≤”为真命题，求实数m 的取值范围；（3）是否存在实数m ，使函数()()()3log m h x g x -=在[]0,1上的最大值为0？如果存在，求出实数m 所有的值.如果不存在，说明理由.【参考答案】一、选择题 1．D 【分析】进行交集和补集的运算即可． 【详解】{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,4,5B =，{}2,4,6∴=U A ，(){}2,4U A B ⋂=．故选：D ． 2．B 【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不等于0，根式内部的代数式大于等于联立不等式组得答案． 【详解】解：因为1()ln(1)f x x =+()21010ln 10x x x ⎧-≥⎪+>⎨⎪+≠⎩，解得11x -<≤且0x ≠，即函数的定义域为(1,0)(0,1]-⋃ 故选：B 3．B 【分析】根据角度制与弧度制的相互转化，计算即可. 【详解】 52252251804ππ︒=⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查了角度制化为弧度制的应用问题，属于基础题. 4．B 【分析】由任意角的三角函数的定义求出sin a ，再由诱导公式求出()sin a π-． 【详解】∵角a终边过点()P ，∴||2r OP == ∴1sin =2y a r =， 故()1sin =sin 2a a π-=．故选：B ． 【点睛】(1) 三角函数值的大小与点P （x ,y ）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；(2) 当角的终边在直线上时，或终边上的点带参数必要时，要对参数进行讨论． 5．C 【分析】先利用导数判断出函数()f x 在区间()1,e 上为增函数，再解不等式(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>，即得解.【详解】 由题得211()0f x x x '=+>在区间()1,e 上恒成立， 所以函数1()ln f x x a x=-+在区间()1,e 上为增函数， 所以(1)ln110f a =-+<，1()ln 0f e e a e=-+>，可得111a e-<<.故选：C. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 6．A 【分析】依题意当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，()122log 11000log 1000C W W =+=；()222log 12000log 2000C W W =+=，利用换底公式可得211.1C C ≈，可得C 大约增加了10%. 【详解】1000SN=时，()122log 11000log 1000C W W =+=； 2000SN=时，()222log 12000log 2000C W W =+=， 2212log 2000lg 20003lg 2= 1.1log 1000lg10003C W C W +==≈，则C 大约增加了10%. 故选：A 7．D 【分析】构造函数()()3g x f x =-，验证函数()g x 的奇偶性可判断A 选项的正误；判断函数()g x 的单调性可判断B 选项的正误；利用函数()g x 的单调性解不等式()()22190f x x f x ++--->，可判断C 选项的正误；计算出()24g =-，求出116g ⎛⎫⎪⎝⎭的值，可求得116f ⎛⎫⎪⎝⎭的值，可判断D 选项的正误.【详解】构造函数()()3g x f x =-，由()()()3f m n f m f n +=+-可得()()()g m n g m g n +=+. 对于A 选项，取0m n ==，可得()()020g g =，()00∴=g ，取n m =-，则()()()00g g m g m =+-=，()()g m g m ∴-=-，则函数()g x 为奇函数， 所以，()()()()60g x g x f x f x +-=+--=，可得()()6f x f x +-=，A 选项正确； 对于B 选项，由已知条件可知，当0x >时，()()30g x f x =-<.任取1x 、2x R ∈且12x x >，所以，()()()()()1212120g x x g x g x g x g x -=+-=-<，()()12g x g x ∴<，所以，函数()()3g x f x =-为R 上的减函数，所以，函数()f x 为R 上的减函数，B 选项正确； 对于C 选项，()10f =，可得()()1133g f =-=-，由()()22190f x x f x ++--->，可得()()22130g x x g x ++--->，即()()()21311g x x g g +->=-=-，211x x ∴+-<-，可得20x x +<，解得10x -<<.C 选项正确；对于D 选项，()()()()()663124232g f g g g =-=-=+=，()24g ∴=-， ()()112214324216g g g g ⎛⎫⎛⎫=====- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111316168fg ⎛⎫⎛⎫∴-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，123168f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，D 选项错误.故选：D. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设1x 、2x 是所给区间上的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差()()12f x f x -的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值→作差→变形→定号→下结论. 8．C 【分析】本题首先可根据函数()f x 是偶函数得出33f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过计算得出1a =-，然后通过转化得出()2sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，通过图像变换得出()2sin 213g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最后根据正弦函数对称性得出52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦且232x ππ-≠，通过求出此时()g x 的值域即可得出结果. 【详解】因为函数()()cos 33f x a x x a ππ⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 是偶函数，所以33f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22cos 00cos 33a a ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1322a a =--，解得1a =-，()cos 33f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()1cos 2cos 33323f x x x x x ππππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=---⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2sin 32sin 62x x πππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，则()22sin 22y f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，向左平移12π个单位长度后，得到2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 向上平移1个单位长度，得到()2sin 213y g x x π⎛⎫- ⎝=+⎪⎭=，当70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数对称性易知，()g x m =在70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个不相等实根，则52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦且232x ππ-≠，此时()[)2,3g x ∈，实数m 的取值范围是[)2,3， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图像变换、正弦函数性质、偶函数的性质的应用以及两角差的正弦公式，能够根据偶函数的性质求出1a =-是解决本题的关键，考查计算能力，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题.二、填空题9．ABD 【分析】根据函数解析式，代入数据可判断A 、B 的正误，做出()f x 的图象，可判断C 、D 的正误，即可得答案. 【详解】对于A ：由题意得：2(1)(1)2(1)3f -=--⨯-=， 所以()(3)23331f f f -==-⨯+=-⎡⎤⎣⎦，故A 正确；对于B ：当0a <时，2()21f a a a =-=-，解得a =1，不符合题意，舍去 当0a ≥时，()231f a a =-+=-，解得2a =，符合题意，故B 正确； 对于C ：做出()f x 的图象，如下图所示：所以()f x 在R 上不是减函数，故C 错误；对于D ：方程()f x a =有两解，则()y f x =图象与y a =图象有两个公共点， 如下图所示所以(]0,3a ∈，故D 正确.故选：ABD 10．BCD 【分析】利用零点存在性定理可得函数2()ln(1)f x x x=+-在()0,∞+上的零点在区间(1,2)上，即可判断A ，由131222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可判断B ，由(1)f x -为奇函数，(1)f x +为偶函数可推出函数()f x 的周期为8，可判断C ，求出命题“2,210x R ax ax ∃∈+-”为假命题的充要条件可判断D. 【详解】函数2()ln(1)f x x x=+-在()0,∞+上单调递增，又(1)ln220,(2)ln310f f =-<=->， 所以该零点在区间(1,2)上，故A 错误；由()()11f x f x -=+得，1113112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以1122f f⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当(1,0)x ∈-时，22()log f x x =，所以211log 224f ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，故11222f f⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以322f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确； 由(1)f x -为奇函数，得(1)(1)()(2)f x f x f x f x -=---⇒=---， 由(1)f x +为偶函数，得(1)(1)()(2)f x f x f x f x +=-+⇒=-+， 所以(2)(2)()(4)f x f x f x f x ---=-+⇒-=+()(8)f x f x ⇒=+，所以函数()f x 的周期为8，故(1)(7)f x f x -=+，所以(7)f x +一定是奇函数，故C 正确； 命题“2,210x ax ax ∃∈+-R ”为假命题，则“2,210x ax ax ∀∈+-<R ”为真命题， 当0a =时，“,10x ∀∈-<R ”为真命题， 当0a <时，由2(2)40a a ∆=+<可得10a -<<所以命题“2,210x ax ax ∃∈+-R ”为假命题的充要条件是10a -<≤故实数(1,0)a ∈-是命题“2,210x ax ax ∃∈+-R ”为假命题的充分不必要条件，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】结论点睛：若()f x 关于,x a x b ==对称，则2T a b =-；若()f x 关于()(),0,,0a b 对称，则2T a b =-；若()f x 关于(),,0x a b =对称，则4T a b =-.11．BD 【分析】A. 取2,1,1a b c ===判断；B. 利用不等式的乘方性质判断；C. 取0c 判断；D.利用 不等式的取倒数性质判断. 【详解】A. 当2,1,1a b c ===时，a c b c ->-，故错误；B. 由不等式的乘方性质得22a b >，故正确；C. 当0c 时，ac bc =，故错误；D. 由不等式的取倒数性质得11a b<，故正确； 故选：BD 12．BCD 【分析】根据自变量x 是有理数和无理数进行讨论，可判定A 、B 、C ，举特例根据x x =判断D 即可得到答案. 【详解】对于A ，当x 为有理数时，则x -为有理数，则()()1D x D x -==． 当x 为无理数时，则x -为无理数，则()()0D x D x -==． 故当x ∈R 时，()()D x D x -=，∴函数为偶函数，若自变量x 是有理数，则x -也是有理数，可得()()112D x D x +-=+=， 所以()D x 不是奇函数，所以A 不是真命题；对于B ，r Q ∀∈，当x 是有理数时， x r +是有理数，()()1D x r D x +==， 当x 是无理数时， x r +是无理数，()()0D x r D x +==，所以B 是真命题； 对于C ，若自变量x 是有理数，则[]()(1)1D D x D ==，若自变量x 是无理数，则[]()(0)1D D x D ==，所以C 是真命题；对于D ， 当x =y =x y += 则()0,()()000D x y D x D y +=+=+=，满足()()()D x y D x D y +=+，所以D 是真命题. 故选：BCD. 【点睛】本题考查了特殊函数的性质及求函数的值，关键点是理解函数的定义和性质去做判断，考查了逻辑推理，数学运算.三、多选题 13．()4,2--【分析】由()0g x <求得1x <，由①成立可得出当1≥x 时，()()()230f x m x m x m =-++<恒成立，可得出关于实数m 的不等式组，解出m 的取值范围；由②知，存在(),4x ∈-∞-使得()0f x >，可得出关于实数m 的不等式，解出m 的取值范围.综合①②可得出结果.【详解】由()220xg x =-<，可得1x <.对于①，对于任意x ∈R ，()0f x <或()0g x <成立，则当1≥x 时，()()()230f x m x m x m =-++<恒成立，故0m <，且2131m m <⎧⎨--<⎩，解得40m -<<；对于②，存在(),4x ∈-∞-，使得()()0f x g x ⋅<成立，由于()0g x <对任意的(),4x ∈-∞-恒成立，所以，存在(),4x ∈-∞-使得()0f x >. 所以，24m <-或34m --<-，且23m m ≠--，解得2m <-或1m . 综上所述，实数m 的取值范围是()4,2--. 故答案为：()4,2--. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.14．(3,12)【分析】首先根据函数的单调性知：()f x 在区间(1,2)上单调递增，再根据()f x 在区间(1,2)上存在唯一的零点，解不等式组即可. 【详解】根据函数的单调性知：()f x 在区间(1,2)上单调递增. 因为()f x 在区间(1,2)上存在唯一的零点，所以(1)120(2)840f a f a =+-<⎧⎨=+->⎩，解得：312a <<.故答案为：(3,12) 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，熟练找到函数的单调性为解题的关键，属于中档题.15．(,2)(1,)-∞-+∞【分析】确定函数的单调性，然后解不等式． 【详解】2x y =和y x =都是增函数，所以()21x f x x =+-在(0,)+∞上增函数，而02010-+=,即()f x 在[0,)+∞上是增函数，又()f x 是奇函数，所以()f x 在(,0]-∞是递增，也即在(,)-∞+∞上是增函数，因此由()22()f x f x -<得22x x -<，解得2x <-或1x >． 故答案为：(,2)(1,)-∞-+∞． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性，由单调性解函数不等式．解题关键是确定单调性．解题时要注意由奇函数()f x 在(0,)+∞上递增，得()f x 在(,0)-∞上递增，并不能得出()f x 在R 或在(,0)(0,)-∞+∞上递增，但由奇函数()f x 在[0,)+∞上递增，可得其在R 上是增函数．16．13a =【详解】试题分析：当011x a <++≤ 时，1a x a --<≤- 时，有()ln 10x a ++≤，∵()0f x ≥，∴12102a x a x --+≤≤，，欲使()0x f x ∀≥，恒成立，则12a a -≥-，∴13a ≥；当11x a ++> 时，x a >- 时，有()ln 10x a ++>，∵()0f x ≥ ，∴12102a x a x --+>>，欲使()0x f x ∀≥， 恒成立，则12a a -≤-，∴13a ≤；故13a =． 考点：1．恒成立问题；2．转化思想．【思路点睛】对对数函数分类讨论：当011x a <++≤时，有()ln 10x a ++≤，欲使()0x f x ∀≥，恒成立，则12a a -≥-；当时，x a >- 时，欲使()0x f x ∀≥， 恒成立，则12a a -≤-，得出答案． 四、解答题17．（1）{1x x >或}3x <-；（2）403m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．【分析】（1）当1m =时，代入整理得2230x x +->，解之可得解集．（2）由题意得() 40f ->，解之可求得m 的取值范围. 【详解】解：（1）当1m =时，()12f x >-，即（()()35120x x -++>，整理得2230x x +->，解得 >1x 或3x <-，所以()12f x >-的解集为{} 13x x x ><-或．（2）因为4A -∉，所以() 40f ->，即()430m m -->．所以()340 m m +<，解得403m -<<．即m 的取值范围为403m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．18．（1）单调递增区间为,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为2，最小值1-.【分析】（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式对()f x 化简，再利用偶函数求出ϕ的值，再利用T π=求出ω的值，即可得()f x 的解析式，再利用余弦函数的单调递增区间即可求解；（2）利用三角函数图象变换的规律求出()g x 的解析式，再利用余弦函数的性质即可求值域. 【详解】（1）由题意函数2())2cos12x f x x ωϕωϕ+=++-)cos()2sin 6x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 图象的相邻两个最高点的距离为π， 所以T π=，可得2ω=．又由函数()f x 为偶函数可得(0)2sin 26f πϕ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，所以62k ππϕπ+=+，k ∈Z ，则3k πϕπ=+，k ∈Z ．因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以函数()2cos2f x x =，令222k x k πππ-≤≤，k ∈Z ，解得2k x k πππ-≤≤，k ∈Z ，当0k =时，02x ；当1k =时，2x ππ≤≤，又5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 可得函数()f x 的单调递增区间为,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度可得2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数()2cos 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦．当2433x ππ-=-，即12x π=-时， 函数()g x 取得最小值，最小值为1-； 当403x π-=，即12x π=时，函数()g x 取得最大值，最大值为2．所以函数()g x 在区间,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是2，最小值是1-.【点睛】方法点睛：已知三角函数的解析式求单调区间先将解析式化为()()sin 0y A x A ωϕω=+>>0,或()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>的形式，然后将x ωϕ+看成一个整体，根据sin y x =与cos y x =的单调区间列不等式求解. 19．（1）单调递增，证明见解析；（2）82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）首先判断()f x 的单调性，通过证明()()120f x f x -<证得结论成立. （2）先求得()1f x 的取值范围，对a 进行分类讨论，由此求得a 的取值范围. 【详解】（1）单调递增，证明如下： 任取1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，则()()()12121212122221f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∵120x x <<， ∴120x x -<，12210x x +>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， ∴()f x 在()0,∞+单调递增. （2）由（1）可得，()111f x -≤≤， 又[]21,3x ∈，则π1cos1,32x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()235352a a g x -≤≤-， 由题可知，()()12f x g x ⊆，∴531a -≤-且3512a -≥得823a ≤≤， 当0a <时，()235532ag x a -≤≤-，易知不满足要求. 综上所述，a 的取值范围为82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.20．（1）0175x <≤；（2）11 【分析】（1）求得从事水果种植的农民的总年收入，由此列不等式，解不等式求得x 的取值范围. （2）从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入列不等式，根据分离常数法求得a 的取值范围，由此求得a 的最大值. 【详解】（1）动员x 户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，则()()200310.042003x x -⨯⨯+≥⨯⎡⎤⎣⎦，解得0175x <≤. （2）由于从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，则()()33200310.0450x a x x x ⎛⎫-⋅≤-⨯⨯+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，（0175x <≤）， 化简得2000.027a x x≤++，（0a >）.由于2000.027711x x ++≥=，当且仅当2000.02100x x x =⇒=时等号成立，所以011a <≤，所以a 的最大值为11. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式，考查数学在实际生活中的应用，属于中档题.21．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2π,π3；（3）4m ≤. 【分析】（1）先由最值，求出2A =，再由函数过点()0,1，求出6π=ϕ，即可得出函数解析式； （2）根据正弦函数的单调性，即可求出函数在区间[]0,π上的增区间；（3）先由0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到()[]1,2f x ∈，令()t f x =，将问题化为240t mt -+≥在[]1,2t ∈时恒成立，进而可求出结果. 【详解】（1）因为最大值为2，所以2A =．因为()f x 过点()0,1，所以2sin 1=ϕ，又因为02πϕ<<，所以6π=ϕ． 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）因为222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，所以,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈．当0k =时，36x ππ-≤≤；当1k =时，2736x ππ≤≤． 又因为[]0,x π∈，所以()f x 在[]0,π上的单调增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和2π,π3． （3）因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()[]1,2f x ∈．令()t f x =，则240t mt -+≥在[]1,2t ∈时恒成立， 即4m t t≤+在[]1,2t ∈时恒成立， 令()4g t t t=+，[]1,2t ∈，任取1212t t ≤<≤，则120t t -<，124t t <，所以()()()121212121244410g t g t t t t t t t t t ⎛⎫-=+--=--> ⎪⎝⎭，即()()12g t g t >， 所以()4g t t t=+在[]1,2t ∈上单调递减，则()()min 42242g t g ==+=，所以只需4m ≤，即实数m 用的取值范围是4m ≤. 【点睛】 思路点睛：求解含三角函数的二次型不等式恒成立的问题时，一般需要先根据三角函数的性质，确定所含三角函数的值域，再由换元法，将问题转化为一元二次不等式的形式，进行求解. 22．（1）[0,)+∞（写出开区间亦可）；（2）4m ≥；（3）72m =. 【分析】（1）根据单调性的定义结合奇偶性可得解；（2）令332xxt -=+≥=，问题转化为“242,t t m t+∃≥≥”为真命题，根据基本不等式找函数的最小值即可；（3）当[0,1]x ∈时，1033[2,]3x xt -=+∈，记2()4t t mt ϕ=-+，若函数()()()3log m h x g x -=在[]0,1上的最大值为0，分031m <-<和31m ->，结合对数函数的单调性列式求解即可. 【详解】（1）函数()f x 的增区间为[0,)+∞（写出开区间亦可）； 理由：()()f x f x =-，()f x 为偶函数，任取210x x >>，()22112112211()()(1()33333)330x x x x x xx x f x f x --+-=+--+=->，所以()f x 的增区间为[0,)+∞.（2）()22233(33)6(33)(33)4x x x x x x x xg x m m ----=+-++=+-++，令332x x t -=+≥=，当且仅当0x =时取“=”，“(),0x R g x ∃∈≤”为真命题可转化为“242,t t m t+∃≥≥”为真命题，因为2444t t t t +=+≥，当且仅当2t =时取“=”， 所以2min 4()4t t+=， 所以4m ≥；（3）由（1）可知，当[0,1]x ∈时，1033[2,]3x xt -=+∈，记2()4t t mt ϕ=-+， 若函数()()()3log m h x g x -=在[]0,1上的最大值为0，则 1）当031m <-<，即34m <<时，()t ϕ在10[2,]3上最小值为1， 因为()t ϕ图象的对称轴为3(,2)22m t =∈，所以min ()(2)821t m ϕϕ==-=， 解得7(3,4)2m =∈，符合题意；2）当31m ->，即4m >时，()t ϕ在10[2,]3上最大值为1，且()0t ϕ>恒成立， 因为()t ϕ图象是开口向上的抛物线，在10[2,]3的最大值可能是(2)ϕ或10()3ϕ，若(2)1ϕ=，则742m =<，不符合题意， 若10()13ϕ=，则127430m =>， 此时对称轴127310[,]6023t =∈，由2min ()()4024m m t ϕϕ==-<，不合题意0. 综上所述，只有72m =符合条件.【点睛】本题主要考查了对数型、指数型的复合函数的单调性及最值问题。

一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分．）1.不等式031<-+x x 的解集为： ． 【答案】)3,1(-考点：分式不等式的解法及化归转化思想．2.已知数列}{n a 满足：11=a ，11+=+n n a a ，则数列}{n a 的通项公式=n a ．【答案】n【解析】试题分析：由11+=+n n a a 可得11=-+n n a a ，结合等差数列的定义可知：公差首项均为1,所以通项公式为n n a n =-+=)1(1，所以答案应填：n ．考点：等差数列的定义及通项公式．3. ABC ∆中，1=a ， 60=A ，33=c ，则角=C ． 【答案】6π【解析】试题分析：由正弦定理可得3sin 1sin 33π=C ,即212333sin =⨯=C ,所以6π=C 或65π,注意到a c <，所以6π=C ,答案应填：6π． 考点：正弦定理及分析问题解决问题的能力．4.函数||1||)(x x x f +=的最小值为 ． 【答案】2考点：基本不等式及运用．5.ABC ∆中，2:1:2sin :sin :sin =C B A ，则=A cos ． 【答案】43 【解析】试题分析：由正弦定理可得c b a C B A ::sin :sin :sin =,故令t c t b t a 2,,2===,由余弦定理可得434242cos 2222222=-+=-+=tt t t bc a c b A ,答案应填：43． 考点：1、正弦定理及应用；2、余弦定及运用．6.等比数列}{n a 中，01>a ，2542=a a ，则=3a ．【答案】5【解析】试题分析：因01>a ,故03>a ,而2542=a a ,所以2523=a ,即53=a ,故答案应填：5．考点：等比数列的性质及运用．7.不等式0)2)(1()1(3<+-+x x x 的解集为 ．【答案】)1,1()2,(---∞【解析】试题分析：因0)1(2>+x ,故原不等式可化为0)2)(1)(1(<+-+x x x ,而当1>x 和12-<<-x 时, 都有0)2)(1)(1(>+-+x x x ,所以原不等式的解集为)1,1()2,(---∞ ,故答案应填：)1,1()2,(---∞ ．考点：1、不等式的解法；2、转化化归的数学思想．【易错点晴】本题主要考查的是高次不等式的解法，属于中档偏难题．解题时首先要对该不等式进行等价转化,即两边同除以2)1(+x ,将其等价转化为0)2)(1)(1(<+-+x x x .在解答这个不等式时,要充分借助数轴进行分析、验证,否则很难获得答案．解本题需要掌握的知识点是不等式的两边同除以一个正数2)1(+x 不变号,从而进行等价转化,进而通过数形结合获得答案．8.ABC ∆中，B c C b cos cos =，则ABC ∆为 三角形．（填“直角、钝角、锐角、等腰、等边”中的一种）【答案】等腰考点：1、正弦定理及应用；2、转化化归的数学思想．9.等比数列}{n a 前n 项和为n S ，若33=S ，216-=S ，则=9S ．【答案】171【解析】试题分析：因33213=++=a a a S ,故2136546-=+++=a a a S ,即24654-=++a a a ,也即24)(3321-=++q a a a ,由此可得83-=q ,即2-=q ,所以17119221)(21321698769=+-=+++-=+++=a a a q a a a S S ,故答案应填：171．考点：1、等比数列的前n 项和公式及灵活应用；2、转化化归的数学思想．【易错点晴】本题主要考查的是等比数列的前n 项和公式及灵活应用，属于中档偏难题．解题时一定要注意运用等比数列的前n 项和公式及定义进行合理转化,进而应用特设条件,否则求解过程可能较为繁冗．解本题需要掌握的知识点等比数列的的定义和前n 项和公式,灵活应用并进行等价转化是解答好本题的关键．10．为了测量灯塔AB 的高度，第一次在C 点处测得 30=∠ACB ，然后向前走了20米到达点D 处测得 75=∠ADB ，点B D C ,,在同一直线上，则灯塔AB 的高度为 ．【答案】)13(5+米考点：1、正切函数的定义；2、方程思想及分析解决问题的能力．11.ABC ∆中，2,45,30===a B A ，则ABC ∆的面积为 ． 【答案】13+【解析】试题分析：由正弦定理可得0045sin 30sin 2b =,即22224=⨯=b ,而00001053045180=--=C ,且426105sin 0+=,由三角形的面积公式可得1342622221+=+⨯⨯⨯=∆ABC S ,所以ABC ∆的面积为13+,故答案应填：13+．考点：1、正弦定理及运用；2、三角形的面积公式及分析解决问题的能力．12.一个球从32米的高处自由落下，每次着地后又回到原来高度的一半，则它第6次着地时，共经过的路程是 米．【答案】94【解析】试题分析：由题设第一次着地经过的路程是32米，第二次着地、第三次、第四次、第五次、第六次经过的路程分别为12,22,42,82,162⨯⨯⨯⨯⨯米,因此第六次着地后共经过的路程是94122242,8216232=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+米, 故答案应填：94．考点：1、数列求和的方法；2、运用所学知识分析解决实际问题的能力．13.数列}{n a 中，211=a ，)()2)(1(1*+∈++=N n na n na a n n n ，则数列}{n a 的通项公式=n a ． 【答案】)32(2-n n考点：1、等比数列的定义；2、转化与化归的数学思想及分析解决问题的能力．14.定义函数}}{{)(x x x f ∙=，其中}{x 表示不小于x 的最小整数，如2}6.2{,2}2.1{-=-=.当)](,0(*∈∈N n n x 时，函数)(x f 的值域记为n A ，记n A 中元素的个数为n a ，则=+++1021111a a a ． 【答案】1120 【解析】试题分析：当]1,0(∈x 时，x x x x ==}{,1}{，则1}{)(==x x f ,即}1{1=A ，故11=a ；当]2,0(∈x 时，x x x x ==}{,2,1}{或x 2，则4,3,1}{)(==x x f ,即}4,3,1{2=A ，故32=a ；当]3,0(∈x 时， x x x x ==}{,3,2,1}{或x 2或x 3，则9,8,7,4,3,1}{)(==x x f ,即}9,8,7,4,3,1{2=A ，故63=a ；同理可得104=a ，注意到2)1(+=n n a n ,所以1120111023222121111021=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=+++a a a ，故答案应填：1120米． 考点：1、函数的定义及运用；2、分类整合的数学思想及运用；3、归纳推理及分析解决问题的能力．【易错点晴】本题主要考查的是不完全归纳法在解题中的运用，同时考查分类整合数学思想在解题中的运用，属于难题．解题时一定要抓住题设条件，借助新定义的运算规则进行推理与运算，否则很容易出现错误．运用归纳法解这类问题时一定要多列举一些项，以便找出规律性的东西，还要定义域决定值域这一规律，并灵活运用数学思想进行求解．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）（1）等差数列}{n a 中，0,6108==a a ，求}{n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ，并指出n S 取得最大值时n 的值；（2）等比数列}{n a 中，211=a ，44=a ，求数列}{n a 的通项公式n a 及前n 项和n S . 【答案】(1)当10,9=n 时，n S 最大；（2）212,212-==--n n n n S a ．考点：1、等差数列的通项与等差数列的前n 项和；2、等比数列的通项与前n 项和；3、二次函数的图象及运用．16.（本小题满分14分）ABC ∆中，A c C a B b cos cos cos 2+=．（1）求角B 的大小；（2）求C A sin sin +的取值范围.【答案】(1) 3π=B ；（2）]3,23(．考点：1、正弦定理及应用；2、、两角和的正弦公式及应用；3、灵活运用知识分析问题解决问题的能力．【易错点晴】本题主要考查的是正弦定理与两角和与差的三角函数等三角变换知识在解三角形中的运用，属于中档题．解题时一定要抓住题设条件，借助角的范围进行推理与运算，否则很容易出现错误．解三角方程时，一定要注意角所在的范围，以便确定三角方程的解的值，因为三角函数都是“多对一”．其次是求有关三角函数的值域时，一定要定义域决定值域这一规律，首先确定变角的范围，同时还要灵活运用数学思想进行求解．17.（本小题满分14分）在ABC ∆中，设AC B A A C C A cos sin 2tan tan ,2sin sin sin sin =+=+. （1）求B 的值；（2）求acb 2的值. 【答案】(1) 4π=B ；（2）22-．考点：1、正弦定理及余弦定理的应用；2、两角和的正弦公式及应用；3、灵活运用知识分析问题解决问题的能力．18.（本小题满分16分）ABC ∆中，已知 60=A ，边33=a ．（1）若3=c ，求边b 的长；（2）当3=c 时，若=，求DBC ∠的大小；（3）若C B sin )13(sin -=，求C B sin sin ⋅的值.【答案】(1) 6=b ；（2）4π=∠DBC ；(3)413+．考点：1、正弦定理及余弦定理的应用；2、灵活运用知识分析问题解决问题的能力．【易错点晴】本题主要考查的是正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用，属于中档题．解题时一定要抓住题设条件中的已知条件，否则很容易出现答案错误．如第二问中分别在两个三角形中运用正弦定理，然后巧妙做比，从而建立了三角方程使问题获解．第三问则充分借助正弦定理，采用“边角转换”从而使问题巧妙获解．解这类问题时一定要抓住三角变换这一主旋律，灵活运用数学思想进行转化与化归．19.（本小题满分16分）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且22=a ，155=S ，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且211=b ，n n b n nb )1(21+=+（*∈N n ）. （1）求数列}{n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；（2）求数列}{n b 的通项公式n b 及前n 项和为n T ；（3）记集合}),2()2(2|{*∈+≥-=N n n T S n A n n λ，若集合A 中有且仅有5个元素，求实数λ的取值 范围.【答案】(1) n a n =，22n n S n +=；（2）n n n b 2=；n n n T 222+-= ；(3) 16153221≤<λ．（2）由n n b b n n 1211+⋅=+得,121,,3421,2321,12211342312-⋅=⋅=⋅=⋅=-n n b b b b b b b b n n 所以当2≥n 时，,)21(11n b b n n -=即n n n b 2=， 当1=n 时，211=b ，适合上式，所以n n n b 2=.……………………6分 n n n T 2232221321++++= ，① 143222123222121++-++++=n n n n n T ，②①-②得，11143212212211)211(212212322212121++++-=---=-+++++=n n n n n n n n n T ， 所以n n n T 222+-=.……………………10分考点：1、等差数列的通项及前n 项和的应用；2、数列中的叠乘、错位相减等数学方法；3、灵活运用数列知识分析问题解决问题的能力．【易错点晴】本题主要考查的是数列与等差数列的通项公式及前n 项和公式的运用，属于中档偏难的问题．解题时一定要借助题设条件，灵活运用数学思想和方法，否则很容易出现错误．第一问直接利用等差数列的通项和前n 项和公式建立方程组求解；第二问中则运用了错位相减法进行求解；第三问是运用函数的单调性建立不等式进行求解．解范围这类问题的常规思路是要建立函数或建立不等式，灵活运用数学思想和方法进行转化与化归．20.（本小题满分16分）数列}{n a 满足：a a =1，对任意*∈N n 有121++-=+n a a n n 成立.（1）求数列}{n a 的通项公式n a ；（2）求数列}{n a 的前n 项和n S ；（3）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，通项公式为n a ，若对任意的*∈N n 存在*∈N m ，使得m n a S =成立，则称数列}{n a 为“a s -”型数列. 已知a a =1为偶数，试探求a 的一切可能值，使得数列}{n a 是“a s -” 型数列.【答案】(1) ⎩⎨⎧-+-+=为偶数为奇数n a n n a n a n ,1,1；（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=为偶数为奇数n n n n n n a S n ,2)1(,2)2)(1( ；(3) 10,8,6,4,2,0=a 时，数列}{n a 为“a s -”型数列．所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-+=为偶数为奇数n n n n n n a S n ,2)1(,2)2)(1(……………………10分考点：1、叠加法在求数列的通项及前n 项和的应用；2、分类整合的数学思想和方法；3、灵活运用数列知识分析问题解决问题的能力；4、运算求解、推理论证的能力和创新意识．【易错点晴】本题是以数列为载体,考查是数列的有关知识和推理论证能力的运用，属于难题．解题时一定要借助题设条件，运用分类整合的数学思想和方法,否则很容易出现错误．在分类整合时，需要强调的是：一定要注意按逻辑进行划分，做到分类时不重不漏，防止出现错误．本题中的第三问定义了新的概念“a s -”型数列，解答时要充分借助这一信息进行分析求解．：。

一、填空题（每小题5分，共计70分）.1. 命题“若1x ≤，则21x ≤”的逆否命题为 ． 【答案】若21x >，则1x > 【解析】试题分析：逆否命题就是把条件结论交换，并都加以否定所得命题，因此原命题的逆否命题是“若21x >，则1x >”． 考点：四种命题．2. 双曲线2214y x -=的两条渐近线方程为 ．【答案】2y x =±考点：渐近线方程．【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，我们可以记住结论：双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为by x a=±，事实上我们只要把双曲线标准方程中右边的1改为0，然后化简即得它的渐近线方程，反过来，如果已知双曲线的渐近线方程为0mx ny ±=，则双曲线方程可设为2222m x n y k -=．3. 某人从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，9，7，则该组数据的方差2s = ． 【答案】2 【解析】试题分析：平均数为8，则[()()()()()]22222211086888987825s =-+-+-+-+-=． 考点：方差．4. 函数()1sin f x x =+在点()0,1处的切线方程为 ． 【答案】1y x =+考点：导数的几何意义． 5. 观察下列式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，…，根据以上式子可以猜想2221111232015++++<… ． 【答案】40292015【解析】试题分析：由已知可猜想：22211121123…n n n -++++<，因此题中应填40292015． 考点：归纳推理．6. 执行如图所示的流程图，则输出的k 的值为 ．【答案】4 【解析】试题分析：由程序框图，程序执行时，,k S 值依次为,11，,22，,36，,415，此时满足6S >，故输出4k =． 考点：程序框图．7. 盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中都为奇数的概率为 （用分数作答）． 【答案】49【解析】试题分析：有放回地抽取2次，共有339⨯=种抽法，数字均为奇数的抽法有224⨯=种，其概率为49．考点：古典概型．8. “1a ≥”是“直线0x y -=与直线10ax y ++=垂直”的 条件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”中，选择适当的一种填空）． 【答案】必要不充分考点：充分必要条件．9. 在平面直角坐标系xOy 中，设D 是由不等式组10,10,0x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，若向E 中随机投一点，则所投点落在D 中的概率是 ． 【答案】1π【解析】试题分析：如图，平面区域D 就是图中有ABC ∆，其面积为12112S =⨯⨯=，而区域E 是圆，面积为21S ππ=⨯=，所以所求概率为1P π=．考点：几何概型． 10. 已知函数321()3f x x ax x =+-()a R ∈，若()y f x =在区间[]2,1--上是单调减函数，则实数a 的最小值为 ． 【答案】34【解析】试题分析：'()221f x x ax =+-，由题意'()2210f x x ax =+-≤在[,]21--上恒成立，则'()'()2441011210f a f a -=--≤⎧⎨-=--≤⎩，解得34a ≥，故a 的最小值为34． 考点：导数与函数的单调性．11. 已知圆()()222x a y b r -+-=的圆心为抛物线24y x =的焦点，且与直线3420x y ++=相切，则该圆的方程为 ． 【答案】()2211x y -+=考点：抛物线的性质，直线与圆的位置关系． 12. 已知函数21()23f x ax ax a =-++()0a >，324()227g x bx bx bx =-+-()1b >，则函数(())y g f x =的零点个数为 ．【答案】4 【解析】试题分析：()()211133f x a x =-+≥，'()()()2132313g x bx bx b b x x =-+=--，因为1b >，因此()g x 在(,)13-∞和(,)1+∞上递增，在(,)113上递减，且max ()()144032727g x g b ==->，min ()()41027g x g ==-<，所以()g x 在(,)13-∞，(,)113，(,)1+∞上各有一个零点，依次记为,,123x x x ，则()1f x x =无解，()2f x x =有两解，()3f x x =有两解，故(())y g f x =有4个零点． 考点：函数的零点．13. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，若1260F PF ∠=︒，则这一对相关曲线中椭圆的离心率是 ．考点：椭圆与双曲线的几何性质．【名师点睛】在椭圆与双曲线的问题中，出现焦点三角形时，要用到椭圆（或双曲线）的定义，即曲线上的点到两焦点的距离之和（差）为常数（长轴长（或实轴长））．象本题，由此可把点P 到两焦点的距离用,'a a 表示出来，再在12PF F ∆中应用余弦定理，建立起(')a a 与c 的等量关系，而这正是求离心率所需要的． 14. 设函数()3()33x x f x e x x ae x =-+--，e 为自然对数的底数，若不等式()0f x ≤在[)2,x ∈-+∞有解，则实数a 的最小值为 ． 【答案】11e- 【解析】试题分析：不等式()0f x ≤变形得333x x a x x e ≥-+-，记()333x x g x x x e=-+-，则'()2133x x g x x e -=--()()1133x x x e =-++，记()133x h x x e =++，则'()13x h x e=-，当3x e <时，'()0h x <，()h x 递减，当3x e >时，'()0h x >，()h x 递增，所以()ln ln 133363303h x ++=->最小＝，所以1330x x e++>恒成立，因此当21x -≤<时，'()0g x <，()g x 递减，当1x >时，'()0g x >，()g x 递增，所以()()111g x g e ==-最小，不等式()0f x ≤在[)2,x ∈-+∞有解，则实数a 的最小值为11e-．考点：不等式有解问题，导数与函数的最值．【名师点睛】不等式有解与不等式恒成立的区别：设函数()f x 的最大值为M ，最小值为m ，（1）不等式()f x a ≥有解的条件是a M ≤，而不等式()f x a ≥恒成立的条件是a m ≤．（2）不等式()f x a ≤有解的条件是a m ≥，而不等式()f x a ≤恒成立的条件是a M ≥．二、解答题15. （本题满分14分）已知复数z 满足()125z i i +=（i 为虚数单位）． （1）求复数z ，以及复数z 的实部与虚部；（2）求复数5z z+的模．【答案】（1）2z i =+，实部为2，虚部为1；（2）．考点：复数的运算，复数的概念．16. （本题满分14分）已知命题p ：“关于x ，y 的方程22222540x ax y a a -++-+=表示圆（a R ∈）”，命题q ：“x R ∃∈，使得2(1)10x a x +-+<（a R ∈）”． （1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若命题p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）14a <<；（2）3a ≤或4a ≥． 【解析】试题分析：p 为真命题，用配方法把方程化为222()54x a y a a -+=-+-，表示圆时，必须且只需2540a a -+->；（2）先求出q 为真命题时a 的范围，即0∆<，p q ∧为假命题，只要,p q 中有一个为假，也可人反面入手，p q ∧为真命题时，要求,p q 都为真，求出此时a 的范围，最后求补集（全集为实数集）． 试题解析：（1）若p 为真命题，则222()54x a y a a -+=-+-， 故2540a a -+->，∴14a <<．（2）若q 为真命题，则2(1)40a ∆=-->，即3a >或1a <-．考点：复合命题的真假判断．17. (本题满分14分)从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)40,50，[)50,60，…，[]90,100后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列命题：（1）求分数在[)70,80内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）根据上面补充完整的频率分布直方图用组中值估计出本次考试的平均分；（3）用分层抽样的方法在分数段为[)40,60的学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少1人在分数段[)50,60的概率． 【答案】（1）概率为0.3，图见解析；（2）71分；（3）0.9 【解析】试题分析：（1）由频率颁布直方图中所有小矩形的概率之和为1可计算出缺失部分的概率，并补全图形；（2）每个小矩形取中间的数据作为这组数据的平均值进行计算，如第一个小矩形，计算为450.1⨯，相加即得平均分；（3）由分层抽样的要求，在[40,50)分数段抽取2人，在[50,60)分数段抽取3人，分别作记号，如,,,,m n a b c ，可用列举法列出从5人取2人的所有可能情形（共10种），其中至少有1人在[50,60)分数段的情形有9种（也可从反面入手），这样由古典概型概率计算公式可得结论． 试题解析：（1）分数在[)70,80内的频率为P =1(0.0100.0150.0150.0250.005)10-++++⨯10.70.3=-=，又0.30.0310=，补出的图形如图所示．（2）平均分为：450.1550.15650.15x =⨯+⨯+⨯750.3+⨯850.25+⨯950.0571+⨯=． 答：估计这次考试的平均分是71分．考点：频率颁布直方图，均值，古典概型．18. （本题满分16分）为治理雾霾，环保部门加大对企业污染物排放的监管力度，某企业决定对一条价值60万元的老旧流水线进行升级改造，既要减少染污的排放，更要提高该流水线的生产能力，从而提高产品附加值，预测产品附加值y （单位：万元）与投入改造资金x （单位：万元）之间的关系满足： ①y 与2(60)x x -成正比例； ②当30x =时，90y =；③改造资金x 满足不等式02(60)xt x ≤≤-，其中t 为常数，且[]0,3t ∈．（1）求函数()y f x =的解析式，并求出其定义域； （2）问投入改造资金x 取何值时，产品附加值y 达到最大？ 【答案】（1）21(60)300y x x =-，其定义域为1200,12t t ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦，其中t 为常数，且[]0,3t ∈；（2）当13t ≤≤时，投入改造资金40x =时，产品附加值max 3203y =；当01t ≤<时，投入改造资金12012tx t=+时，产品附加值2max32880(12)t y t =+．（2）'()(1203)300xf x x =⨯-，令'()f x =0，可得0x =或40x =， 当1204012tt≥+，即13t ≤≤时，()0,40x ∈，'()0f x >，()f x 单调递增； 120(40,)12tx t∈+，'()0f x <，()f x 单调递减，∴40x =时，max 3203y =；考点：函数的应用，导数在实际问题中的应用．19. （本题满分16分）已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，两点1(1,0)F -，2(1,0)F 为椭圆C 的焦点，点P 在椭圆C 上，且1212||||2||PF PF F F +=．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图已知椭圆C 的内接平行四边形ABCD 的一组对边分别过椭圆的焦点1F 、2F ，求该平行四边形ABCD 面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）6． 【解析】试题分析：（1）要求椭圆标准方程，首先已知1c =，另外一个关系式就是12122PF PF F F +=，这个等式说明222a c =⨯，即22a c ==，再由222b a c =-求得b 即可；（2）注意到,12F F 是定点，考虑直线AD ，在直线AD 斜率不存在时，可得6S =，当AD 斜率存在时，设直线AD 方程为()1y k x =-，同时设()11,A x y ，()22,D x y ，由直线与椭圆相交弦长公式可求得弦长AD），再求出点1F 到直线AD 的距离d ，这样四边形的面积（2）当直线AD 的斜率不存在时，直线AD 的方程为1x =，解方程组221,431,x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得3(1,)2A ，3(1,)2D -， ∴平行四边形ABCD 的面积6S =．当直线AD 的斜率存在时，设其方程为(1)y k x =-，设()11,A x y ，()22,D x y ，由221,43(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得2222(34)4120k x k x k +-+-=， ∴2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，∴||AD ==， 又1(1,0)F -到AD的距离d =，∴平行四边形ABCD的面积||S AD d =⋅==6=<， 综上，符合条件的椭圆内接平行四边形ABCD 的面积最大值为6． 考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交弦长，点到直线的距离公式．【名师点睛】解析几何中直线与曲线的相交弦长问题，一般采用设而不求方法，即设交点为A 11(,)x y ，22(,)B x y ，直线AB 的斜率为k ，则弦长AB 2x =，利用此结论可以减少许多计算．解题时一定要注意．如果已知弦AB 的中点，则也这样设，可用“点差法”求得直线AB 的斜率． 20. （本题满分16分）设函数()2()2(1)ln *kf x x x k N =--∈，'()f x 表示()f x 的导函数．（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）当k 为偶数时，若函数()f x 的图象恒在函数2()(12)g x a x =-的上方，求实数a 的取值范围； （3）当k 为奇数时，设1'()2n b f n n =-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，证明不等式11(1)n n b e b ++>对一切正整数n 均成立，并比较20142S -与ln 2014的大小．【答案】（1）当k 为奇数时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞；当k 为偶数时，()f x 的单调递增区间为()1,+∞；（2）12a e>；（3）证明见解析，20141ln 2014S -<．（2）当k 为偶数时，2()2ln f x x x =-． 由题意知：222ln (12)x x a x ->-恒成立，即2ln xa x >恒成立． 设2ln ()xh x x =，则[]max ()a h x >，由312ln '()0xh x x -==，得x ='()h x ，()h x 随x 的变化情况如下表：∴()h x 在x =即[]max 1()2h x he ==，故实数a 的取值范围为12a e>． （3）证明：由（1）知，当k 为奇数时，1'()2()f x x x=+，∴1'()2n b f n n =-1n =，111123n S n=++++…．由已知要证11(1)n e n ++>，两边取自然对数，即证11ln(1)1n n +>+，设11t n +=，则()111n t t =>-，即证不等式()1ln 11t t t>->成立．构造函数()1()ln 11t t t t ϕ=+->，下面证明()t ϕ在()1,+∞上恒大于0．∵1t >，∴211'()0t t tϕ=->，∴()t ϕ在()1,+∞上单调递增，∴()(1)0t ϕϕ>=，即1ln 1t t >-，∴11ln(1)1n n +>+，∴11(1)n e n++>， 即11(1)n n b e b ++>成立， 由11ln1n n n +>+，得111231ln ln ln 23112n n n++++<++++……ln(1)n =+，即11ln(1)n S n +-<+，当2013n =时，20141ln 2014S -<．考点：导数与函数的单调区间，不等式恒成立问题，导数与极值，用导数证明不等式．理科附加题21. （本题满分10分）已知函数2()ln(1)2'(0)2f x x x f x =+--+． （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的减区间．【答案】（1）2()ln(1)22f x x x x =+-++；（2）减区间为(．考点：导数的运算，导数与单调性．22. （本题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥AC ，2AB =，4AC =，13AA =，D 是BC 的中点，求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值．．设平面11AC D 的法向量为(,,)n x y z =，∵1230n A D x y z ⋅=+-=，1140n AC y ⋅==， ∴3x z =，0y =，令1z =，得3x =，()3,0,1n =． 设直线1DB 与平面11AC D 所成角为θ，∵()11,2,3DB =-，∴1sin |cos ,|DB n θ=<>==．∴直线1DB 与平面11AC D． 考点：用向量法求直线与平面所成的角．【名师点睛】立体几何中的空间角的求法，一般都要作出这个角，即作出表示它的“平面角”，然后用平面几何的方法计算得到，但如果采用空间向量法，可以避免“作角”，“证角”的过程．设直线a 的方向向量为a ，直线b 的方向向量为b ，直线,a b 所成的角为θ，cos cos ,a b θ=<>；,αβ的方向向量分别为12,n n ，设直线a 与平面α所成的角为θ，则1sin cos ,a n θ=<>；平面,αβ所成的角为θ，则12cos cos ,n n θ=<>，再由图形确认是锐角还是钝角．在图形中有交于同一点的三条相互垂直直线时，就可这样做）．23. （本题满分10分）在数列{}n a中，已知11a =21n +=+（*n N ∈）． （1）求2a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】（1）214a =，319a =，4116a =；（2）猜想：21n an=()*n N ∈，证明见解析． （2）猜想：21n a n=()*n N ∈． 下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，11a =结论成立；②假设当n k =（2k ≥，*k N ∈）时，结论成立，即21k a k =， 则当1n k =+21211k k k k =+=-++=+，即121(1)k a k +=+， 故当1n k =+时结论轮成立，根据①②可得，21n a n=()*n N ∈成立． 考点：归纳猜想证明，数学归纳法．24. （本题满分10分）已知抛物线22y px =()0p >上点()3,T t 到焦点F 的距离为4．（1）求t ，p 值；（2）设A ，B 是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点，且5OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点）．求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）2p =，t =±．（2）直线AB 过定点()5,0P ．（2）设直线AB 的方程为x my n =+，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ， 联立24,y x x my n⎧=⎨=+⎩，消元得2440y my n --=，则124y y m +=，124y y n =-，考点：抛物线的定义，直线与抛物线相交问题，解析几何中的定点问题．【名师点睛】每一个数学概念的定义都是我们研究相应问题的依据，对定义的理解决定了我们学习的深度和广度．圆锥曲线中出现了曲线上的点到焦点的距离，自然让我们联想到曲线的定义，对抛物线22y px =来讲，由定义可知抛物线上任意一点00(,)P x y 到焦点的距离为02pd x =+，在解抛物线问题时，经常用此结论．解析几何中直线与曲线的相交弦长问题，一般采用设而不求方法，即设交点为1122(,),(,)x y x y ，则有弦长2d x =，其中k 为弦所在直线的斜率，利用此结论可以减少许多计算．解题时一定要注意．高考一轮复习：。

2015-2016学年江苏省淮安市盱眙、洪泽、淮州、淮海中学联考高一（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应的答题线上）1．集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B=．2．函数y=lg（2﹣x）+的定义域是．3．已知函数，则f（f（1））=．4．函数y=|x﹣2|的单调递增区间为．5．已知a=22.1，b=21.9，c=0.32.1，则a，b，c大小关系为．6．若幂函数f（x）的图象经过点，则f（x）=．7．函数f（x）=1+a x﹣2（a＞0，且a≠1）恒过定点．8．已知函数f（x）满足f（x﹣1）=2x+1，若f（a）=3a，则a=．9．已知函数y=f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的奇函数，当0≤x≤2时的图象如图所示，则y=f（x）的值域为．10．已知函数f（x）=log2（x+2），则f（x）＞2时x的取值范围为．11．若函数为偶函数，则m的值为．12．已知函数的定义域和值域都是[2，b]（b＞2），则实数b的值为．13．集合A={lg2，lg5}，B={a，b}，若A=B，则的值为．14．设f（x）和g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在[a，b]上有2个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=﹣x2+（m+2）x﹣1和g（x）=2x+3是[1，5]上的“关联函数”，则实数m的取值范围为．二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．计算：（Ⅰ）（1.5）﹣2﹣（﹣4.5）0﹣（）；（Ⅱ）log535+2﹣log5﹣log514．16．记集合，集合N={y|y=x2﹣2x+m}．（1）若m=3，求M∪N；（2）若M∩N=M，求实数m的取值范围．17．经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t（天）的函数，且销售量近似地满足f（t）=﹣2t+200（1≤t≤50，t∈N）．前30天价格为g（t）=t+30（1≤t≤30，t∈N），后20天价格为g（t）=45（31≤t≤50，t∈N）．（1）写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；（2）求日销售额S的最大值．18．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数y=f（x），当x＞0时，f（x）=|lgx|．（1）求x＜0时f（x）的解析式；（2）若存在四个互不相同的实数a，b，c，d使f（a）=f（b）=f（c）=f（d），求abcd的值．19．记函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且a≠0）．（1）若a=1，f（b）=f（c）（b≠c），求f（2）的值；（2）若b=1，c=﹣a时，函数y=f（x）在区间[1，2]上的最大值为g（a），求g（a）．20．已知函数（a∈R）．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当a=1时，求证：函数y=f（x）在区间上是单调递减函数，在区间（，+∞）上是单调递增函数；（3）若正实数x，y，z满足x+y2=z，x2+y=z2，求z的最小值．2015-2016学年江苏省淮安市盱眙、洪泽、淮州、淮海中学联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸相应的答题线上）1．集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B={2}．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】直接利用交集的运算求解．【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，∴A∩B={1，2}∩{2，3}={2}．故答案为：{2}．【点评】本题考查了交集及其运算，是基础的会考题型．2．函数y=lg（2﹣x）+的定义域是（﹣∞，1）∪（1，2）．【考点】对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】由对数的真数大于0，分式的分母不为0，即可求得函数的定义域．【解答】解：由题意可得：，∴x＜2且x≠1，∴函数y=lg（2﹣x）+的定义域是{x|x＜2且x≠1}，故答案为：（﹣∞，1）∪（1，2）【点评】本题考查函数的定义域，关键在于取两函数的定义域的交集，属于基础题．3．已知函数，则f（f（1））=﹣1．【考点】分段函数的应用；函数的值．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】直接利用分段函数，逐步求解函数值即可．【解答】解：函数，则f（f（1））=f（3﹣4）=f（﹣1）=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查导函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．4．函数y=|x﹣2|的单调递增区间为[2，+∞）．【考点】复合函数的单调性．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】画出函数y=|x﹣2|的图象，数形结合可得函数的增区间．【解答】解：函数y=|x﹣2|的图象如图所示：数形结合可得函数的增区间为[2，+∞），故答案为：[2，+∞）．【点评】本题主要考查函数的图象特征，函数的单调性的判断，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．5．已知a=22.1，b=21.9，c=0.32.1，则a，b，c大小关系为a＞b＞c．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的单调性，判断函数的取值范围即可比较大小．【解答】解：22.1＞21.9＞1，c=0.32.1＜1，即a＞b＞c，故答案为：a＞b＞c【点评】本题主要考查指数幂的大小比较，根据指数函数的单调性是解决本题的关键．6．若幂函数f（x）的图象经过点，则f（x）=．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】设幂函数f（x）=xα（α为常数），可得，解出即可．【解答】解：设幂函数f（x）=xα（α为常数），∵，解得α=﹣．∴f（x）=．故答案为：．【点评】本题考查了幂函数的定义，属于基础题．7．函数f（x）=1+a x﹣2（a＞0，且a≠1）恒过定点（2，2）．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】方程思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的性质进行求解即可．【解答】解：由x﹣2=0得x=2，此时f（2）=1+a0=1+1=2，即函数过定点（2，2），故答案为：（2，2）【点评】本题主要考查指数函数过定点问题，利用指数幂等于0是解决本题的关键．8．已知函数f（x）满足f（x﹣1）=2x+1，若f（a）=3a，则a=3．【考点】函数的零点．【专题】计算题；函数思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】利用函数的解析式列出方程求解即可．【解答】解：函数f（x）满足f（x﹣1）=2x+1，f（a）=f（a+1﹣1）=3a，可得2（a+1）+1=3a，解得a=3．故答案为：3．【点评】本题考查函数的解析式的应用，考查计算能力．9．已知函数y=f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的奇函数，当0≤x≤2时的图象如图所示，则y=f（x）的值域为[﹣1，1]．【考点】函数的值域．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由题意结合原图形求出x∈[0，2]时，f（x）∈[0，1]；然后结合奇函数的性质求得x∈[﹣2，0）时，f（x）∈[﹣1，0）．则函数y=f（x）的值域可求．【解答】解：如图，当x∈[0，2]时，f（x）∈[0，1]；∵函数y=f（x）是定义在区间[﹣2，2]上的奇函数，∴当x∈[﹣2，0）时，f（x）∈[﹣1，0）．综上，y=f（x）的值域为[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查函数的值域，考查了函数奇偶性的性质，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．10．已知函数f（x）=log2（x+2），则f（x）＞2时x的取值范围为{x|x＞2}．【考点】指、对数不等式的解法；对数函数的图象与性质．【专题】计算题；函数思想；转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】利用对数函数的单调性，转化不等式为代数不等式求解即可．【解答】解：函数f（x）=log2（x+2），则f（x）＞2，可得log2（x+2）＞2，即x+2＞4，解得x＞2．x的取值范围为{x|x＞2}．故答案为：{x|x＞2}．【点评】本题考查对数不等式的解法，对数函数的单调性的应用，考查计算能力．11．若函数为偶函数，则m的值为．【考点】函数奇偶性的判断．【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即﹣x（m+）=x（m+），即﹣m﹣）=m+，则2m=﹣﹣=﹣﹣=﹣==1，即m=，故答案为：．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据奇偶性的定义建立方程关系是解决本题的关键．12．已知函数的定义域和值域都是[2，b]（b＞2），则实数b的值为3．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】由函数解析式画出函数图形，得到函数在[2，b]上为增函数，再由f（b）=b求得b值．【解答】解：=，其图象如图，由图可知，函数在[2，b]上为增函数，又函数的定义域和值域都是[2，b]（b＞2），∴f（b）=，解得：b=3．故答案为：3．【点评】本题考查函数的定义域，考查了函数值域的求法，训练了利用函数的单调性求函数的值域，是基础题．13．集合A={lg2，lg5}，B={a，b}，若A=B，则的值为．【考点】集合的相等．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】根据集合的相等求出a+b=1，代入代数式，从而求出代数式的值．【解答】解：集合A={lg2，lg5}，B={a，b}，若A=B，则a+b=lg2+lg5=lg10=1，===，故答案为：．【点评】本题考查了相等集合的定义，考查对数的运算性质，考查代数式的变形，是一道基础题．14．设f（x）和g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在[a，b]上有2个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=﹣x2+（m+2）x﹣1和g（x）=2x+3是[1，5]上的“关联函数”，则实数m的取值范围为（4，5]．【考点】函数的零点．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】由题意可得y=h（x）=f（x）﹣g（x）=﹣x2+mx﹣4在[1，5]上有两个不同的零点，有，由此求得m的取值范围【解答】解：∵f（x）=﹣x2+（m+2）x﹣1和g（x）=2x+3在[1，5]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=﹣x2+mx﹣4在[1，5]上有两个不同的零点，有，即，解得m∈（4，5]，故答案为：（4，5]【点评】本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．计算：（Ⅰ）（1.5）﹣2﹣（﹣4.5）0﹣（）；（Ⅱ）log535+2﹣log5﹣log514．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）直接利用指数式的运算法则化简求解即可；（Ⅱ）lo直接利用对数的运算法则化简求解即可．【解答】解：（Ⅰ）（1.5）﹣2﹣（﹣4.5）0﹣（）===﹣1；…（Ⅱ）log535+2﹣log5﹣log514=log5+2=log553﹣1=2…【点评】本题考查指数式与对数式的运算法则的应用，考查计算能力．16．记集合，集合N={y|y=x2﹣2x+m}．（1）若m=3，求M∪N；（2）若M∩N=M，求实数m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】转化思想；集合思想；函数的性质及应用；集合．【分析】（1）将m=3代入求出集合M，N，进而可得M∪N；（2）若M∩N=M，可得M⊂N，结合M=[1，3]，N=[m﹣1，+∞），可得答案．【解答】解：（1）∵集合=[1，3]，又∵集合N={y|y=x2﹣2x+m}，∴y=x2﹣2x+m=（x﹣1）2+m﹣1，∴N={y|m﹣1≤y}=[m﹣1，+∞），当m=3时，N={y|2≤y}=[2，+∞），∴M∪N=[1，+∞），（2）∵M∩N=M，可得M⊂N，由（1）知M=[1，3]，N=[m﹣1，+∞），所以m≤2．【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断与应用，集合的运算，难度不大，属于基础题．17．经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t（天）的函数，且销售量近似地满足f（t）=﹣2t+200（1≤t≤50，t∈N）．前30天价格为g（t）=t+30（1≤t≤30，t∈N），后20天价格为g（t）=45（31≤t≤50，t∈N）．（1）写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；（2）求日销售额S的最大值．【考点】根据实际问题选择函数类型；函数的最值及其几何意义．【专题】应用题．【分析】（1）根据销售额等于销售量乘以售价得S与t的函数关系式，此关系式为分段函数；（2）求出分段函数的最值即可．【解答】解：（1）当1≤t≤30时，由题知f（t）•g（t）=（﹣2t+200）•（）=﹣t2+40t+6000，当31≤t≤50时，由题知f（t）•g（t）=45（﹣2t+200）=﹣90t+9000，所以日销售额S与时间t的函数关系为S=；（2）当1≤t≤30，t∈N时，S=﹣（t﹣20）2+6400，当t=20时，S max=6400元；当31≤t≤50，t∈N时，S=﹣90t+9000是减函数，当t=31时，S max=6210元．∵6210＜6400，则S的最大值为6400元．【点评】考查学生根据实际问题选择函数类型的能力．理解函数的最值及其几何意义的能力．18．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数y=f（x），当x＞0时，f（x）=|lgx|．（1）求x＜0时f（x）的解析式；（2）若存在四个互不相同的实数a，b，c，d使f（a）=f（b）=f（c）=f（d），求abcd的值．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质，进行求解即可．（2）根据对数函数和对数方程的关系进行求解即可．【解答】解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=|lg（﹣x）|，因f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，即f（x）=f（﹣x）=|lg（﹣x）|，所以，当x＜0时，f（x）=|lg（﹣x）|．（2）不妨设a＜b＜c＜d，令f（a）=f（b）=f（c）=f（d）=m，（m＞0），则当x＞0时，f（x）=|lgx|=m，可得lgx=±m，即x=10m或10﹣m，当x＜0时，f（x）=|lg（﹣x）|=m．可得lg（﹣x）=±m，即x=﹣10m或﹣10﹣m，因a＜b＜c＜d，所以a=﹣10m，b=﹣10﹣m，c=10﹣m，d=10m，abcd=10m.10﹣m．（﹣10m）．（﹣10﹣m）=1．【点评】本题主要考查函数解析式的求解，利用函数奇偶性的性质，利用对称性进行转化是解决本题的关键．19．记函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且a≠0）．（1）若a=1，f（b）=f（c）（b≠c），求f（2）的值；（2）若b=1，c=﹣a时，函数y=f（x）在区间[1，2]上的最大值为g（a），求g（a）．【考点】二次函数的性质；函数的最值及其几何意义．【专题】综合题；分类讨论；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】（1）将a=1代入，结合f（b）=f（c）（b≠c），可得2b+c=0，进而得到答案；（2）将b=1，c=﹣a代入，分析函数的图象和性质，进行分类讨论不同情况下，函数y=f（x）在区间[1，2]上的最大值，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x2+bx+c，由f（b）=f（c），可得b2+b2+c=c2+bc+c，即2b2﹣bc﹣c2=0，（b﹣c）（2b+c）=0，解得b=c或2b+c=0，∵b≠c，∴2b+c=0，所以f（2）=4+2b+c=4．（2）当b=1，c=﹣a时，，x∈[1，2]，①当a＞0时，时，f（x）在区间[1，2]上单调递增，所以f max（x）=f（2）=3a+2；②当a＜0时，Ⅰ．若，即时，f（x）在区间[1，2]上单调递增，所以f max（x）=f（2）=3a+2；Ⅱ．若，即时，f（x）在区间[1，2]上单调递减，所以f max（x）=f（1）=1；Ⅲ．若，即时，f（x）在区间上单调递增，上单调递减，所以．综上可得：．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．20．已知函数（a∈R）．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）当a=1时，求证：函数y=f（x）在区间上是单调递减函数，在区间（，+∞）上是单调递增函数；（3）若正实数x，y，z满足x+y2=z，x2+y=z2，求z的最小值．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】综合题；分类讨论；方程思想；消元法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．（3）利用消元法结合函数单调性的性质进行求解．【解答】解：（1）由，函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），定义域关于原点对称，①当a=0时，f（﹣x）=（﹣x）2=x2=f（x），此时函数f（x）是偶函数；②当a≠0时，f（1）=1+a，f（﹣1）=1﹣a，此时f（1）≠f（﹣1）且f（1）+f（﹣1）≠0，所以f（x）是非奇非偶函数．（2）证明：∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则=，当时，，，所以，即，所以函数y=f（x）在区间上是单调递减函数；同理：函数y=f（x）在区间上是单调递增函数．（3）因x+y2=z，x2+y=z2，所以将x=z﹣y2代入x2+y=z2可得，（z﹣y2）2+y=z2，整理得（y＞0），由（2）知函数在区间上是单调递减函数，在区间上是单调递增函数，所以，此时，，代入原式，检验成立．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明，以及函数最值的求解，综合考查函数的性质，综合性较强，有一定的难度．。

绝密★启用前2015-2016学年江苏省淮阴中学高二上学期期末考试数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：219分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）第II 卷（非选择题）一、填空题（题型注释）1、设函数，为自然对数的底数，若不等式在有解，则实数的最小值为 ．2、我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知，是一对相关曲线的焦点，是它们在第一象限的交点，若，则这一对相关曲线中椭圆的离心率是 ．3、已知函数，，则函数的零点个数为 ．4、已知圆的圆心为抛物线的焦点，且与直线相切，则该圆的方程为 ．5、已知函数，若在区间上是单调减函数，则实数的最小值为 ．6、在平面直角坐标系中，设是由不等式组表示的区域，是到原点的距离不大于1的点构成的区域，若向中随机投一点，则所投点落在中的概率是 ．7、“”是“直线与直线垂直”的 条件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”中，选择适当的一种填空）．8、盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中都为奇数的概率为 （用分数作答）．9、执行如图所示的流程图，则输出的的值为 ．10、观察下列式子：，，，…，根据以上式子可以猜想．11、函数在点处的切线方程为 ．12、某人从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，9，7，则该组数据的方差．13、双曲线的两条渐近线方程为 ．14、命题“若，则”的逆否命题为 ．二、解答题（题型注释）15、已知抛物线上点到焦点的距离为4．（1）求，值；（2）设，是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且（其中为坐标原点）．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．16、在数列中，已知，且（）．（1）求，，；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．17、如图，在直三棱柱中，⊥，，，，是的中点，求直线与平面所成角的正弦值．18、已知函数．（1）求的解析式； （2）求的减区间．19、设函数，表示的导函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）当为偶数时，若函数的图象恒在函数的上方，求实数的取值范围；（3）当为奇数时，设，数列的前项和为，证明不等式对一切正整数均成立，并比较与的大小．20、已知椭圆的方程为，两点，为椭圆的焦点，点在椭圆上，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图已知椭圆的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点、，求该平行四边形面积的最大值．21、为治理雾霾，环保部门加大对企业污染物排放的监管力度，某企业决定对一条价值60万元的老旧流水线进行升级改造，既要减少染污的排放，更要提高该流水线的生产能力，从而提高产品附加值，预测产品附加值（单位：万元）与投入改造资金（单位：万元）之间的关系满足： ①与成正比例；②当时，；③改造资金满足不等式，其中为常数，且．（1）求函数的解析式，并求出其定义域；（2）问投入改造资金取何值时，产品附加值达到最大？22、从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段，，…，后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列命题：（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）根据上面补充完整的频率分布直方图用组中值估计出本次考试的平均分； （3）用分层抽样的方法在分数段为的学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少1人在分数段的概率．23、已知命题：“关于，的方程表示圆（）”，命题：“，使得（）”．（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题为假命题，求实数的取值范围．24、已知复数满足（为虚数单位）．（1）求复数，以及复数的实部与虚部；（2）求复数的模．参考答案1、2、3、44、5、6、7、必要不充分8、9、410、11、12、213、14、若，则15、（1），．（2）直线过定点．16、（1），，；（2）猜想：，证明见解析．17、正弦值为．18、（1）；（2）减区间为．19、（1）当为奇数时，的单调递增区间为；当为偶数时，的单调递增区间为；（2）；（3）证明见解析，．20、（1）；（2）6．21、（1），其定义域为，其中为常数，且；（2）当时，投入改造资金时，产品附加值；当时，投入改造资金时，产品附加值．22、（1）概率为0．3，图见解析；（2）71分；（3）0．923、（1）；（2）或．24、（1），实部为2，虚部为1；（2）．【解析】1、试题分析：不等式变形得，记，则，记，则，当时，，递减，当时，，递增，所以，所以恒成立，因此当时，，递减，当时，，递增，所以，不等式在有解，则实数的最小值为．考点：不等式有解问题，导数与函数的最值．【名师点睛】不等式有解与不等式恒成立的区别：设函数的最大值为，最小值为，（1）不等式有解的条件是，而不等式恒成立的条件是．（2）不等式有解的条件是，而不等式恒成立的条件是．2、试题分析：设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，焦距为，，，则，所以，又由余弦定理得，即，代入得，又由题意，即，代入得，，（1舍去），所以．考点：椭圆与双曲线的几何性质．【名师点睛】在椭圆与双曲线的问题中，出现焦点三角形时，要用到椭圆（或双曲线）的定义，即曲线上的点到两焦点的距离之和（差）为常数（长轴长（或实轴长））．象本题，由此可把点到两焦点的距离用表示出来，再在中应用余弦定理，建立起与的等量关系，而这正是求离心率所需要的．3、试题分析：，，因为，因此在和上递增，在上递减，且，，所以在，，上各有一个零点，依次记为，则无解，有两解，有两解，故有4个零点．考点：函数的零点．4、试题分析：抛物线的焦点为，此点到直线的距离为，所以圆方程为．考点：抛物线的性质，直线与圆的位置关系．5、试题分析：，由题意在上恒成立，则，解得，故的最小值为．考点：导数与函数的单调性．6、试题分析：如图，平面区域就是图中有，其面积为，而区域是圆，面积为，所以所求概率为．考点：几何概型．7、试题分析：直线与直线垂直时，因此“”是“直线与直线垂直”的必要不充分条件．考点：充分必要条件．8、试题分析：有放回地抽取2次，共有种抽法，数字均为奇数的抽法有种，其概率为．考点：古典概型．9、试题分析：由程序框图，程序执行时，值依次为，，，，此时满足，故输出．考点：程序框图．10、试题分析：由已知中的式子,…，所以考点：归纳推理11、试题分析：，，，切线方程为．考点：导数的几何意义．12、试题分析：平均数为8，则．考点：方差．13、试题分析：由得，此即为渐近线方程．考点：渐近线方程．【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，我们可以记住结论：双曲线的渐近线方程为，事实上我们只要把双曲线标准方程中右边的1改为0，然后化简即得它的渐近线方程，反过来，如果已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为．14、试题分析：逆否命题就是把条件结论交换，并都加以否定所得命题，因此原命题的逆否命题是“若，则”．考点：四种命题．15、试题分析：（1）从题意出发，由抛物线的定义可得，再把点坐标代入抛物线方程可得值；（2）这是直线与抛物线相交问题，由于直线可能与轴垂直，因此设直线方程为，同时设，，由直线方程与抛物线方程联立可消去得的方程，从而可得，再由，可得，这样有，，直线方程为，可见它过定点．试题解析：（1）由抛物线定义得，，即，所以抛物线方程为，代入点，可解得．（2）设直线的方程为，，，联立，消元得，则，，由，得，所以或（舍去），即，即，所以直线的方程为，所以直线过定点．考点：抛物线的定义，直线与抛物线相交问题，解析几何中的定点问题．【名师点睛】每一个数学概念的定义都是我们研究相应问题的依据，对定义的理解决定了我们学习的深度和广度．圆锥曲线中出现了曲线上的点到焦点的距离，自然让我们联想到曲线的定义，对抛物线来讲，由定义可知抛物线上任意一点到焦点的距离为，在解抛物线问题时，经常用此结论．解析几何中直线与曲线的相交弦长问题，一般采用设而不求方法，即设交点为，则有弦长，其中为弦所在直线的斜率，利用此结论可以减少许多计算．解题时一定要注意．16、试题分析：在已知等式中依次令，可得；（2）由（1）猜想，证明可用数学归纳法．试题解析：（1）由已知得，，．（2）猜想：．下面用数学归纳法证明：①当时，结论成立；②假设当（，）时，结论成立，即，则当时，，即，故当时结论轮成立，根据①②可得，成立．考点：归纳猜想证明，数学归纳法．17、试题分析：求空间角，由于相互垂直，因此可以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，设求出平面的法向量，则有．试题解析：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，．设平面的法向量为，∵，，∴，，令，得，．设直线与平面所成角为，∵，∴．∴直线与平面所成角的正弦值为．考点：用向量法求直线与平面所成的角．【名师点睛】立体几何中的空间角的求法，一般都要作出这个角，即作出表示它的“平面角”，然后用平面几何的方法计算得到，但如果采用空间向量法，可以避免“作角”，“证角”的过程．设直线的方向向量为，直线的方向向量为，直线所成的角为，；的方向向量分别为，设直线与平面所成的角为，则；平面所成的角为，则，再由图形确认是锐角还是钝角．在图形中有交于同一点的三条相互垂直直线时，就可这样做）．18、试题分析：（1）本题关键是求，注意到是常数，因此直接对函数求导，得，令，可求得；（2）解不等式可得减区间．试题解析：（1），所以，得，∴．（2），由，得，∴的减区间为．考点：导数的运算，导数与单调性．19、试题分析：（1）求出导函数，按的奇偶分类后研究的解集，可得到增区间；（2）不等式恒成立问题，首先把不等式变形为恒成立，只要求的最大值，就能求出的取值范围，为此设，同样由导数的知识求出最大值；（3）由（1）的研究，可求得，由已知要证，两边取自然对数，即证，为了简单起见，设，则，从而要证不等式成立．于是构造函数，下面证明在上恒大于0即可．由刚才的讨论知，由刚刚的证明有＜，即证得，从而题设结论证毕．试题解析：（1）函数的定义域为，又．①当为奇数时，，∵，∴在恒成立，即的单调递增区间为；②当为偶数时，，又，∴，由，得，∴，即的单调递增区间为．综上所述，当为奇数时，的单调递增区间为；当为偶数时，的单调递增区间为．（2）当为偶数时，．由题意知：恒成立，即恒成立．设，则，由，得，，随的变化情况如下表：∴在处取得极大值，也为最大值，即，故实数的取值范围为．（3）证明：由（1）知，当为奇数时，，∴，．由已知要证，两边取自然对数，即证，设，则，即证不等式成立．构造函数，下面证明在上恒大于0．∵，∴，∴在上单调递增，∴，即，∴，∴，即成立，由，得，即，当时，．考点：导数与函数的单调区间，不等式恒成立问题，导数与极值，用导数证明不等式．20、试题分析：（1）要求椭圆标准方程，首先已知，另外一个关系式就是，这个等式说明，即，再由求得即可；（2）注意到是定点，考虑直线，在直线斜率不存在时，可得，当斜率存在时，设直线方程为，同时设，，由直线与椭圆相交弦长公式可求得弦长（），再求出点到直线的距离，这样四边形的面积，即把用表示出来，求它的最大值（如果有），本题最终知这里的，因此最大值为6．试题解析：（1）依题意，椭圆的方程为．∵，．又由焦点、知，∴，∴椭圆的标准方程为．（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解方程组得，，∴平行四边形的面积．当直线的斜率存在时，设其方程为，设，，由整理得，∴，，∴，又到的距离，∴平行四边形的面积，综上，符合条件的椭圆内接平行四边形的面积最大值为6．考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交弦长，点到直线的距离公式．【名师点睛】解析几何中直线与曲线的相交弦长问题，一般采用设而不求方法，即设交点为，，直线的斜率为，则弦长，利用此结论可以减少许多计算．解题时一定要注意．如果已知弦的中点，则也这样设，可用“点差法”求得直线的斜率．21、试题分析：（1）函数应用题的关系式一般在题中已经交待清楚，本题由①可设，由②可求得，由③可解得定义域，即的取值范围；（2）是的三次函数，应用导数求最值，求出，后，令得，或，考虑到定义域，由此需要分类，即和两类，研究单调性得最大值．试题解析：（1）设，则由②可得，．，其中为常数，且，∴，其中为常数，且，故函数，其定义域为，其中为常数，且．（2），令，可得或，当，即时，，，单调递增；，，单调递减，∴时，；当，即时，，，单调递增；∴时，．综上：当时，投入改造资金时，产品附加值；当时，投入改造资金时，产品附加值．考点：函数的应用，导数在实际问题中的应用．22、试题分析：（1）由频率颁布直方图中所有小矩形的概率之和为1可计算出缺失部分的概率，并补全图形；（2）每个小矩形取中间的数据作为这组数据的平均值进行计算，如第一个小矩形，计算为，相加即得平均分；（3）由分层抽样的要求，在分数段抽取2人，在分数段抽取3人，分别作记号，如，可用列举法列出从5人取2人的所有可能情形（共10种），其中至少有1人在分数段的情形有9种（也可从反面入手），这样由古典概型概率计算公式可得结论．试题解析：（1）分数在内的频率为，又，补出的图形如图所示．（2）平均分为：．答：估计这次考试的平均分是71分．（3）由题意，分数段的人数为人；分数段的人数为人；在的学生中抽取一个容量为5的样本，在分数段抽取2人，分别记为，；分数段抽取3人，分别记为，，，设从样本中任取2人，至少有1人在分数段为时间，则基本时间空间包含的基本事件有，，，，，，，，，共10种，则事件包含的基本事件有，，，，，，，，共9种，所以．考点：频率颁布直方图，均值，古典概型．23、试题分析：为真命题，用配方法把方程化为，表示圆时，必须且只需；（2）先求出为真命题时的范围，即，为假命题，只要中有一个为假，也可人反面入手，为真命题时，要求都为真，求出此时的范围，最后求补集（全集为实数集）．试题解析：（1）若为真命题，则，故，∴．（2）若为真命题，则，即或．由题意若命题为真命题，则、都是真命题，∴即，故若，都是假命题时，或．考点：复合命题的真假判断．24、试题分析：由复数的运算法则知，再由除法法则可得结论；（2）可先计算出，然后由模的定义得结论．试题解析：（1），实部为2，虚部为1；（2），∴．考点：复数的运算，复数的概念．。