2019人教版高中数学必修二检测：模块质量评估(A卷)含解析

人教版高中数学必修精品教学资料模块综合试题时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1．下列命题正确的是( )A ．四条线段顺次首尾连接,所得的图形一定是平面图形B ．一条直线和两条平行直线都相交,则三条直线共面C ．两两平行的三条直线一定确定三个平面D ．和两条异面直线都相交的直线一定是异面直线解析：此题主要考查三个公理及推论的应用,两条平行线确定一个平面,第三条直线与其相交,由公理1可知,这三条直线共面,故B 正确．答案：B2．已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0平行,则a 的值为( )A ．－6B ．6C ．－45D.45解析：由题意可知两直线的斜率存在,且－a －2a ＝－23,解得a ＝6. 答案：B3．圆台侧面的母线长为2a,母线与轴的夹角为30°,一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的面积之和是( )A ．3πa 2B ．4πa 2C ．5πa 2D ．6πa 2解析：设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r,如图所示,∠ASO ＝30°,在Rt △SA ′O ′中,r SA ′＝sin30°,∴SA ′＝2r.在Rt △SAO 中,2rSA ＝sin30°, ∴SA ＝4r.∴SA －SA ′＝AA ′, 即4r －2r ＝2a,r ＝a.∴S ＝S 1＋S 2＝πr 2＋π(2r)2＝5πr 2＝5πa 2. 答案：C4．若直线l 过点A(3,4),且点B(－3,2)到直线l 的距离最远,则直线l 的方程为( )A．3x－y－5＝0 B．3x－y＋5＝0 C．3x＋y＋13＝0 D．3x＋y－13＝0 解析：当l⊥AB时,符合要求．∵k AB＝4－23＋3＝13,∴l的斜率为－3,∴直线l的方程为y－4＝－3(x－3),即3x＋y－13＝0.答案：D5．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()A. 3 B．2C. 6 D．2 3解析：直线方程为y＝3x,圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝4,圆心(0,2)到直线y＝3x的距离d＝|3×0－2|(3)2＋(－1)2＝1.故所求弦长l＝222－12＝2 3.答案：D6．如图,在三棱锥S－ABC中,G1,G2分别是△SAB和△SAC的重心,则直线G1G2与BC的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．以上都有可能题图答图解析：连接SG1，SG2并延长分别交AB于点M，交AC于点N.∵SG1G1M＝SG2G2N，∴G1G2∥MN.∵M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC.故G1G2∥BC.答案：B7．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S1，S2，S3，则() A．S1<S2<S3B．S3<S2<S1C．S2<S1<S3D．S1<S3<S2解析：设棱锥的底面面积为S.由截面的性质，可知SS1＝⎝⎛⎭⎪⎫2121＝14S；SS2＝212＝12S；⎝⎛⎭⎪⎫SS33＝213＝134S，故S1<S2<S3.答案：A8．在圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D2＝E2>4F，则圆的位置满足()A．截两坐标轴所得弦的长度相等B．与两坐标轴都相切C．与两坐标轴相离D．上述情况都有可能解析：在圆的方程中令y＝0得x2＋Dx＋F＝0.∴圆被x轴截得的弦长为|x1－x2|＝D2－4F.同理得圆被y轴截得的弦长为E2－4F＝D2－4F.故选A.答案：A9．在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②解析：由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且内有一虚线(一直角顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图在底面射影是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②.故选D.答案：D10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是正方形ADD1A1和正方形ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF，C1E与AB所成的角分别为α，β，则α＋β等于( )A ．120°B ．90°C ．75°D ．60°解析：根据异面直线所成角的定义知α＋β＝90°. 答案：B11．已知点P(x ，y)是直线kx ＋y ＋4＝0(k>0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点．若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A. 2B.212 C ．2 2 D ．2 解析：圆心C(0,1)到l 的距离d ＝5k 2＋1. ∴四边形面积的最小值为2(12×1×d 2－1)＝2，∴k 2＝4，即k ＝±2.又k>0，∴k ＝2. 答案：D12．在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为( )A.125π12B.125π9C.125π6D.125π3 解析：取AC 的中点O.由O 到各顶点距离相等，知O 是球心． 设外接球的半径为R ，则2R ＝5，R ＝52.故外接球的体积V 球＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫523＝125π6.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．经过两条直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为________．解析：由方程组⎩⎨⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得交点A(－2,2)．因为所求直线垂直于直线3x －2y ＋4＝0，故所求直线的斜率k ＝－23.由点斜式得所求直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0.答案：2x ＋3y －2＝014．长方体被一平行于棱的平面截成体积相等的两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，则长方体的体积为________．解析：由三视图可知这个长方体的长、宽、高分别为3,4,4，所以长方体的体积为3×4×4＝48.答案：4815．侧棱长为a的正三棱锥P－ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．解析：侧棱长为a的正三棱锥P－ABC其实就是棱长为a的正方体的一角，所以球的直径就是正方体的对角线，所以球的半径为3a，2该球的表面积为3πa2.答案：3πa216．若⊙O1：x2＋y2＝5与⊙O2：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．解析：由题知O1(0,0)，O2(m,0)，且5<|m|<35，又O1A⊥AO2，＝4. 则有m2＝(5)2＋(25)2＝25，得m＝±5.故|AB|＝2×5×205答案：4三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知直线l平行于直线3x＋4y－7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．解：设l：3x＋4y＋m＝0.当y＝0时，x＝－m；3当x ＝0时，y ＝－m4.∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24， ∴12·|－m 3|·|－m 4|＝24. ∴m ＝±24.∴直线l 的方程为3x ＋4y ＋24＝0或3x ＋4y －24＝0.18．(12分)已知一个组合体的三视图如图所示，请根据具体的数据，计算该组合体的体积．解：由三视图可知此组合体的结构为：上部是一个圆锥，中部是一个圆柱，下部也是一个圆柱，由题图中的尺寸可知：上部圆锥的体积V 圆锥＝13π×22×2＝8π3，中部圆柱的体积V 圆柱＝π×22×10＝40π，下部圆柱的体积V ′圆柱＝π×42×1＝16π，故此组合体的体积V ＝8π3＋40π＋16π＝176π3.19．(12分)求过点A(－2，－4)且与直线l ：x ＋3y －26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则圆心C(－D 2，－E2)．∴k CB ＝6＋E 28＋D 2.∵k CB ·k l ＝－1，∴6＋E 28＋D 2·(－13)＝－1.①又有(－2)2＋(－4)2－2D －4E ＋F ＝0，② 82＋62＋8D ＋6E ＋F ＝0，③所以解①②③可得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30. ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.20．(12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，△PAB 是正三角形，四边形ABCD 是矩形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，PA ＝2，PC ＝4.(1)若点E 是PC 的中点，求证：PA ∥平面BDE ；(2)若点F 在线段PA 上，且FA ＝λPA ，当三棱锥B －AFD 的体积为43时，求实数λ的值．解：(1)证明：如图(1)，连接AC ，设AC ∩BD ＝Q ，连接EQ.因为四边形ABCD 是矩形，所以点Q 是AC 的中点．又点E 是PC 的中点，则在△PAC 中，中位线EQ ∥PA ， 又平面BDE ，平面BDE ，所以PA ∥平面BDE.(2)依据题意可得：PA ＝AB ＝PB ＝2，取AB 中点O ，连接PO.所以PO ⊥AB ，且PO ＝ 3.又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，平面PAB ，则PO ⊥平面ABCD(如图(2))；作FM ∥PO 交AB 于点M ，则FM ⊥平面ABCD.因为四边形ABCD 是矩形，所以BC ⊥AB.同理，可证BC ⊥平面PAB ，平面PAB ，则△PBC 是直角三角形．所以BC ＝PC 2－PB 2＝2 3.则直角三角形ABD 的面积为S △ABD ＝12AB·AD ＝2 3.所以43＝V B －AFD ＝V F －ABD ＝13S △ABD ·FM ＝233FM`FM ＝233.由FM ∥PO ，得FM PO ＝FA PA ＝2333＝＝23.21．(12分)如图，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，AB<CD ，SD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ＝a ，SD ＝2a.(1)求证：平面SAB ⊥平面SAD.(2)设SB 的中点为M ，当CD AB 为何值时，能使DM ⊥MC ？请给出证明．解：(1)证明：∵∠BAD ＝90°，∴AB ⊥AD.又∵SD ⊥平面ABCD ，平面ABCD ，∴SD ⊥AB.又∵SD ∩AD ＝D ，∴AB ⊥平面SAD.又∵平面SAB ，∴平面SAB ⊥平面SAD.(2)当CD AB ＝2时，能使DM ⊥MC.证明：连接BD，∵∠BAD＝90°，AB＝AD＝a，∴BD＝2a，∠BDA＝45°，∴SD＝BD.又∵M为SB的中点，∴DM⊥SB.①设CD的中点为P，连接BP，∴DP∥AB，且DP＝AB.故四边形ABPD是平行四边形．∴BP∥AD.故BP⊥CD.因而BD＝BC.又∵∠BDC＝90°－∠BDA＝45°，∴∠CBD＝90°，即BC⊥BD.又∵BC⊥SD，BD∩SD＝D，∴BC⊥平面SBD.又∵平面SBD，∴DM⊥BC.②由①②知DM⊥平面SBC，又∵平面SBC，∴DM⊥MC.22．(12分)如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆M与x轴及直线y ＝3x 分别相切于A ，B 两点，另一圆N 与圆M 外切，且与x 轴及直线y ＝3x 分别相切于C ，D 两点．(1)求圆M 与圆N 的方程；(2)过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．解：(1)∵点M 的坐标为(3，1)，∴M 到x 轴的距离为1，即圆M 的半径为1，则圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1.设圆N 的半径为r ，连接MA ，NC ，OM ，则MA ⊥x 轴，NC ⊥x 轴，由题意知：M ，N 点都在∠COD 的平分线上，∴O ，M ，N 三点共线．由Rt △OAM ∽Rt △OCN 可知，OM ON ＝MA NC ，即23＋r ＝1r ＝3，则OC ＝33，则圆N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A 点与MN 平行的直线被圆N 截得的弦的长度，此弦的方程是y ＝33(x －3)，即x －3y －3＝0，圆心N到该直线的距离d＝3，2则弦长为2r2－d2＝33.。

2019-2020学年高中数学模块综合测评（二)（含解析)新人教A版必修1一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2014·辽宁高考)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}【解析】∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，在数轴上表示如图．∴∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．【答案】 D2．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m)上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )A．[1，＋∞) B．[0，2]C．(－∞，2] D．[1，2]【解析】f(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3.且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，∴1≤m≤2，故选D.【答案】 D3．已知方程kx＋3＝log2x的根x0满足x0∈(1，2)，则 ( )A．k＜－3 B．k＞－1C．－3＜k＜－1 D．k＜－3或k＞－1【解析】 令f (x )＝kx ＋3－log 2x ，∴x 0∈(1，2)，∴f (1)·f (2)＜0，即(k ＋3)(2k ＋2)＜0，∴－3＜k ＜－1.【答案】 C4．(2014·山东高考)函数f (x )＝1（log 2x）2－1的定义域为() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞)【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，（log 2x ）2>1，解得x >2或0<x <12，故选C.【答案】 C5．下列各式正确的是( )A ．1.72＞1.73B ．1.70.2＞0.93C ．log 0.31.8＜log 0.32.7D ．lg 3.4＜lg 2.9【解析】 1.70.2＞1，0＜0.93＜1，∴1.70.2＞0.93.【答案】 B6．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A．y＝x2和y＝(x)2B．y＝lg(x2－1)和y＝lg(x＋1)＋lg(x－1)C．y＝log a x2和y＝2log a xD．y＝x和y＝log a a x【解析】要表示同一函数必须定义域、对应法则一致，A，B，C中的定义域不同，故选D.【答案】 D7．若关于x的方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图象可以是( )【解析】因为关于x的方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，所以函数y＝f(x)与y＝2的图象在(－∞，0)内有交点，观察图象可知只有D中图象满足要求．【答案】 D8．(2014·湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p＋q2B.（p＋1）（q＋1）－12C.pqD.（p＋1）（q＋1）－1【解析】设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，∴x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1.【答案】 D9．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＜0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)∪(0，1)【解析】 根据已知条件画出f (x )的图象如下图所示，由图象可知选D.【答案】 D10．当x <0时，a x>1成立，其中a >0且a ≠1，则不等式log a x >0的解集是( )A ．{x |x >0}B ．{x |x >1}C ．{x |0<x <1}D ．{x |0<x <a }【解析】 由x <0时，a x >1可知0<a <1，故y ＝log a x 在(0，＋∞)上为减函数，∴log a x >0＝log a 1，∴0<x <1，故不等式log a x >0的解集为{x |0<x <1}．【答案】 C11．设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c【解析】 因为a ，b ，c 均为正数，所以由指数函数和对数函数的单调性得log 12a ＝2a ＞1⇒0＜a ＜12， log 12b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ∈(0，1)⇒12＜b ＜1， log 2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c＞0⇒c ＞1，所以a ＜b ＜c .故选A. 【答案】 A12．设P ，Q 是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊙”：P ⊙Q ＝{x |x ∈P ∪Q ，且x ∉P ∩Q }，如果P ＝{y |y ＝4－x 2}，Q ＝{y |y ＝4x ，x >0}，则P ⊙Q ＝( )A ．[0，1]∪(4，＋∞)B ．[0，1]∪(2，＋∞)C ．[1，4]D ．(4，＋∞) 【解析】 P ＝[0，2]，Q ＝(1，＋∞)，∴P ⊙Q ＝[0，1]∪(2，＋∞)．【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．(2014·西安高一检测)函数y ＝a x －1＋1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点________．【解析】 当x －1＝0，即x ＝1时，y ＝2.∴函数y ＝a x －1＋1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(1，2)．【答案】 (1，2)14．(2014·浙江高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0. 若f (f (a ))＝2，则a ＝________．【解析】 若a ＞0，则f (a )＝－a 2＜0，f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，得a ＝ 2.若a ≤0，则f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1＞0，f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解．【答案】 2 15．(2014·课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是______．【解析】 ∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减，则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3.【答案】 (－1，3)16．下列命题：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②定义在R 上的奇函数f (x )必满足f (0)＝0；③f (x )＝(2x ＋1)2－2(2x －1)既不是奇函数也不是偶函数；④A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x ＋1，则f 为A 到B 的映射； ⑤f (x )＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数． 其中真命题的序号是________(把你认为正确的命题的序号都填上)．【解析】 ①不正确，如y ＝lg|x |，其在原点处无定义，其图象不可能与y 轴相交； ②正确，∵f (－x )＝－f (x )，∴f (－0)＝－f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0；③不正确，∵f (x )＝(2x ＋1)2－2(2x －1)＝4x 2＋3，且f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数； ④不正确，当x ＝－1时，在B 中没有元素与之对应；⑤不正确，只能说f (x )＝1x在(－∞，0)及(0，＋∞)上是减函数． 【答案】 ②三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2014·江阴高一检测)计算下列各式的值：(1)(ln 5)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫94－0.5＋（1－2）2－2log 42.(2)log 21－lg 3·log 32－lg 5.【解】 (1)原式＝1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫322－0.5＋|1－2|－212 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＋2－1－2＝23. (2)原式＝0－lg 3·lg 2lg 3－lg 5 ＝－(lg 2＋lg 5)＝－lg (2×5)＝－1.18．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |3≤3x≤27}，B ＝{x |log 2x >1}．(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．【解】 (1)A ＝{x |3≤3x ≤27}＝{x |1≤x ≤3}， B ＝{x |log 2x >1}＝{x |x >2}，A ∩B ＝{x |2<x ≤3}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}，(2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ；②当a >1时，C ⊆A ，则1<a ≤3；综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3]．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2mx ＋m 2＋4m －2.(1)若函数f (x )在区间[0，1]上是单调递减函数，求实数m 的取值范围；(2)若函数f (x )在区间[0，1]上有最小值－3，求实数m 的值．【解】 f (x )＝(x －m )2＋4m －2.(1)由f (x )在区间[0，1]上是单调递减函数得m ≥1.(2)当m ≤0时，f (x )min ＝f (0)＝m 2＋4m －2＝－3，解得m ＝－2－3或m ＝－2＋ 3. 当0＜m ＜1时，f (x )min ＝f (m )＝4m －2＝－3，解得m ＝－14(舍)． 当m ≥1时，f (x )min ＝f (1)＝m 2＋2m －1＝－3，无解．综上可知，实数m 的值是－2± 3.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax －1(x ≥0)的图象经过点(2，0.5)，其中a ＞0，且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的值域．【解】 (1)∵函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2，0.5)，∴0.5＝a 2－1，即a ＝12. (2)由(1)知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x ≥0)．∵0＜12＜1，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x ≥0)在[0，＋∞)上为减函数．又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1的定义域为[0，＋∞)，且f (0)＝2， ∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x ≥0)的值域为(0，2]．21．(本小题满分12分)(2014·山东日照期末)已知函数f (x )＝1－2x. (1)若g (x )＝f (x )－a 为奇函数，求a 的值；(2)试判断f (x )在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．【解】 (1)由已知得g (x )＝1－a －2x， ∵g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，即1－a －2－x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫1－a －2x ，解得a ＝1. (2)函数f (x )在(0，＋∞)内是单调增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2＝2（x 1－x 2）x 1x 2. ∵0＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，从而2（x 1－x 2）x 1x 2＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． ∴函数f (x )在(0，＋∞)内是单调增函数．22．(本小题满分12分)某汽车制造商在2013年初公告：随着金融危机的解除，公司计划2013年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：如果我们分别将2010，2011，f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x 的关系？【解】 建立年销量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1，8)，(2，18)，(3，30)．(1)构造二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将点坐标代入， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0，则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为1.(2)构造指数函数模型g (x )＝a ·b x ＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)， 将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42，则g (x )＝1253·⎝ ⎛⎭⎪⎫65x －42，故g (4)＝1253·⎝ ⎛⎭⎪⎫654－42＝44.4，与计划误差为1.4.由(1)(2)可得，二次函数f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年销量y 与年份x 的关系．。

模块综合检测(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)22＝9的位置关系是(＋y) ．直线ax－y＋2a＝0与圆x1A．相离B．相切D．不确定C．相交解析：选C将直线ax－y＋2a＝0化为点斜式得y＝a(x＋2)，知该直线过定点(－222222y＋＝0与圆x－＝9的内部，所以直线ax2)2,0)．又(－y＋0＋<9，故该定点在圆x2＋ya＝9必相交．故选C.2．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是()解析：选B由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC投影在面PAD上，E的投影点为PA的中点，EC为实线，故B正确．3．已知l，m表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是()A．若l⊥α，m?α，则l⊥m B．若l⊥m，m?α，则l⊥αD．若l∥α，m，C．若l∥mm?α，则l∥α?α，则l∥m解析：选A对于A，若l⊥α，m?α，则根据直线与平面垂直的性质，知l⊥m，故A正确；对于B，若l⊥m，m?α，则l可能在α内，故B不正确；对于C，若l∥m，m?α，则l∥α或l?α，故C不正确；对于D，若l∥α，m?α，则l与m可能平行，也可能异面，故D不正确．故选A.22＝25的切线l，直线m：ax－31)x(－2)＋(y－y＝0与切线l平：作圆－P4.过点(2,4)C行，则切线l与直线m间的距离为()A．4 2．B128 C. D.55．1－14，∴切线＝上，∴切线l的斜率k＝－＝解析：选A根据题意，知点P在圆C k34－1CP2＋24xl平行，∴直线m的方程为4yx－3＋20＝0.又直线m与切线l的方程为y－4＝(x＋2)，即4320|－|04.＝＝y＝0.故切线l与直线m间的距离d3－22?－34＋?为空间两个不同的平面，则下列命题中正确的βb为空间两条不同的直线，α，5．设a，)是(，使得b平行于ab A．若a不平行于α，则在α内不存在，使得b垂直于a．若a不垂直于α，则在α内不存在b B ，使得a平行于αα不平行于β，则在β内不存在a C．若a垂直于α不垂直于β，则在β内不存在a，使得D．若α错误；若，故A，使得α内存在bb∥a解析：选D若a不平行于α，则当a?α时，在，不平行于βa，故B错误；若α内存在直线α，则当a?α时，在αb，使得b⊥不垂直于a正确，故选D∥α，故C错误；由平面与平面垂直的判定定理知a 则在β内存在直线，使得a D.)6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(21 B.＋πA.＋π3321 D. ＋2π2πC.＋33由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的．由图中数据选A解析：111112π.π，∴V＝π＝，半圆柱的体积V ＝××1＋×2＝×2＝可得三棱锥的体积V×××112133223AB，＝AB＝3，AC4个顶点都在球CA7．已知直三棱柱ABC-B的6O的球面上，若111)的半径为(＝⊥AC，AA，则球12O11732．10 A. B21310C. 3 ．D2．的垂线，则垂足为解析：选C如图所示，由球心作平面ABC115的半径为，所以球O＝AA＝6BC的中点M.又AM＝BC＝，OM1222513??22.R＝OA＋＝6＝??22PB0(k>0)PA，上一动点，(x，y)是直线kx＋y＋4＝P8．已知点22的，则kPACB的最小面积是y2－2y＝0的两条切线，A，B是圆C：x是切点，若四边形＋) 值为(21 B.3 A．22．DC．2222S，半径r＝1y＋，由圆的性质知－2y＝0的圆心为(0,1)解析：选D圆C：x PACB四边形1dd是切线长)，∴＝PACB的最小面积是2，∴S的最小值为1rd(＝2S，∵四边形PBCPBC最小△△222 |的最小值，5.∵圆心到直线的距离就是＝2|＋1PC＝PC＝2，||最小值值5＝5，∵k>0，∴|＝k＝2，故选D. ∴|PC最小值2k1＋二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．解析：因为点(1,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半22＝1. y－C的标准方程为x1)＋(径为1，于是圆22＝1y－答案：x1)＋(10．已知l，l是分别经过点A(1,1)，B(0，－1)的两条平行直线，则当l，l间的距离最2112大时，直线l的方程是________．1解析：当直线AB与l，l均垂直时，l，l间的距离最大．∵A(1,1)，B(0，－1)，∴k AB2211－1－11＝2＝，∴kl＝－.121－01∴直线l的方程为y－1＝－(x－1)，12即x＋2y－3＝0.答案：x＋2y－3＝011．已知在直三棱柱ABC-ABC中，∠ACB＝90°，AA＝2，AC＝BC＝1，则异面直线1111AB与AC所成角的余弦值是________．1解析：由于AC∥AC，所以∠BAC或其补角就是异面直线AAC与B11111．22＋ABC，BC＝＝5，所以AC所成的角．连接BC，在△BA中，AB1＝6，AC＝111111111162. ＝90°，即∠BC，所以cos∠BACABC＝1111166 答案：6220－6x－＋y2＝yaP12．已知点(a，b)关于直线l 的对称点为P′(b＋1，－1)，则圆C：x．C′的公共弦的长度为________C′的方程为________；圆C与圆关于直线l对称的圆22(3,1)10，由已知结论可得圆心C(y－1)解析：将圆C的方程化为标准形式为(x－3)＝＋22将两圆方程相减消＝(y－2)2)关于直线l的对称点C′为(2,2)，故所求圆的方程为(x－10.＋1??238. ＝101去平方项可得公共弦所在直线的方程为x－y－＝0，故弦长为－2??22238＝10x(－2)－＋(y2)答案：π＝a，则0，若直线l的倾斜角为，直线ax＋y－1＝0l：x－y－3＝：13．已知直线l1214 ．l，则两平行直线间的距离为________l________；若l⊥l，则a＝________；若∥2211ππ＝1，的倾斜角为解析：由直线l，得－a＝tan1441.∴a＝－1.a＝由l⊥l，得－a×1＝－1，∴21＝y的方程为x－＋1＝0，故两平行直线间的距离d＝－由l∥l，得a1，∴直线l112|3|1－??－2. 2＝222答案：－11轴正半轴交于yx轴相切于点T(1，0)，与C14.如图，已知圆与2.)，且|AB|＝B两点A，B(在A的上方圆C的标准方程为________；(1) ．轴上的截距为________x(2)圆C在点B处的切线在的半径中，易得圆BDCAB(1)记的中点为D，在C Rt△解析：C的坐标为r＝BC＝2.因此圆心222.－2)＝－2)，所以圆C的标准方程为(x1)(＋，(1，所以1的斜率为－BC，所以直线2)，(1的坐标为C，1)＋2，(0的坐标为B因为点(2)．－，故切线在x2y＝x轴上的截距为－＋2＋1所求切线的斜率为1.由点斜式得切线方程为1.22－2－y(2)－2)1＝－答案：(1)(x1)2＋(15．在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图、侧视图和俯视图分别为(填写编号)________，此四面体的体积为________．解析：由三视图可知，该几何体的正视图是一个正方形，其顶点坐标分别是(0,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，(0,2,2)且一条对角线(左下右上)可见，另一条对角线(左上右下)不可见，故正11视图为③，同理，侧视图和俯视图都为②.此四面体体积为V＝2×2×2－4××2××2×2328＝. 38答案：③②②3三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)如图，AF，DE分别是⊙O，⊙O的直径，1AD与两圆所在的平面均垂直，|AD|＝8，BC是⊙O的直径，|AB|＝|AC|＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标．解：因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，所以OE⊥平面ABC.又AF?平面ABC，BC?平面ABC，所以OE⊥AF，OE⊥BC.又BC是圆O的直径，所以|OB|＝|OC|.，6＝|AC|＝|AB|又．2. 6BC|＝所以OA⊥BC，|2.3OF|＝|OA＝|OB|＝|OC|＝|所以|轴，建x轴，y轴，z如图所示，以O为坐标原点，分别以OB，OF，OE所在的直线为立空间直角坐标系，，(0,0,8)，E32，8)32，0,0)，D(0则A(0，－，－32，0)，B，(320,0)，C(－(0,32，0)F．17.(本小题满分15分)如图，在三棱柱ABC-ABC中，侧棱垂直于111底面，AB⊥BC，E，F分别是AC，BC的中点．11(1)求证：平面ABE⊥平面BBCC；11(2)求证：CF∥平面ABE. 1证明：(1)由题设知，BB⊥AB，1又AB⊥BC，BB∩BC＝B，所以AB⊥平面BBCC. 111因为AB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面BBCC.11(2)取AB中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是AC，BC的中点，111所以FG∥AC，且FG＝AC.2因为AC∥AC，且AC＝AC，1111所以FG∥EC，且FG＝EC，11所以四边形FGEC为平行四边形，1所以CF∥EG.1又因为EG?平面ABE，所以CF∥平面ABE.118．(本小题满分15分)光线通过点A(2,3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．y3＋2＋x?00?，1＝0＋＋22?解得)，则x的对称点为A解：设点(2,3)关于直线lA′(，y003y－0??，＝12－x0．3)，－4－(′A．，所以反射光线所在直线的方程为，－－43)和B(1,1)由于反射光线所在直线经过点A′(31＋0. －5y＋1＝y－1＝(x－1)·，即4x41＋，0＋1＝4x－5y?12???，－－P. 解方程组得反射点???33，1＝0yx＋＋??所以入射光线所在直线的方程为1＋330.＝y＋2(x－2)·，即5x－43y－＝2＋23，CDAB∥本小题满分15分)已知四棱锥P-ABCD如图所示，19．(PAB为等边三角形．CD＝2，＝PD＝1，△BC⊥CD，AB＝BC PAB；(1)证明：PD⊥平面A 的余弦值．(2)求二面角P-CB-.证明：如图，连接BD解：(1) 2，，而PD＝1，AP中，易知在梯形ABCDAD＝＝5222＋AP，＝ADPD所以PA，则PD⊥，同理PD⊥PB.PABPB＝P，故PD⊥平面又PA∩，垂足为DM，DM，作PN⊥(2)如图，取AB的中点M，连接PM.BC，垂足为H，连接PH，再作NNH⊥，得AB⊥平面DPM，则由(1)，，所以PN⊥BC平面ABCD⊥平面DPM，所以PN⊥平面ABCD.PN⊥NH，⊥平面NPH，PN∩NH＝N，所以BC又NH⊥BC A的平面角．即∠NHP是二面角P-CB-3 ＝＝1，，NH中，∴在Rt△HNPPN2NH727 ，＝，cos∠NHP则PH＝PH7272的余弦值为-A即二面角P-CB. 722y＋C：x是圆上的动点，＋x3＋4y8＝0PA，PB是直线已知分本小题满分．20(15)P－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．面积的最小值；PACB求四边形(1)．点的坐标；若不存在，请说PAPB＝60°？若存在，求出(2)直线上是否存在点P，使得∠明理由．P上，可设＋8＝0，由P点在直线3x＋4yPC解：(1)如图，连接3??x2－x，－点坐标为. ??422＝11)，＋(y－1)(因为圆C的标准方程为x－1|.＝|AP|AP|×|AC|所以S＝2S＝2××PACPACB△四边形22222222)|－＝(1|PC|x最小时，|AP|最小．因为|因为|AP||＝PC|PC－|CA|＝|PC|，所以当－1534????2211＋2＋xx＋＋x＝－时，＋9.所以当＝????44522面积的最小值为2.2，即四边形＝9－1＝PACB||PC|＝9.所以AP|2minmin(2)假设直线上存在点P满足题意．因为∠APB＝60°，|AC|＝1，所以|PC|＝2.设P(x，y)，则22，＝1?4x－1?＋?y－????，08＝＋3x4y＋??2＋40x＋96＝x整理可得250，2－4×25×96<0. 40Δ所以＝所以这样的点P是不存在的．。

模块综合测评(建议用时：120分钟)(教师独具)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．关于空间直角坐标系O -xyz 中的一点P (1,2,3)有下列说法： ①OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，32；②点P 关于x 轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)； ③点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，－3)； ④点P 关于xOy 平面对称的点的坐标为(1,2，－3)． 其中正确说法的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．1A [①显然正确；点P 关于x 轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，故②错；点P 关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，故③错；④显然正确．]2．直线的方程为x －3y ＋2 016＝0，则直线的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°A [设直线的倾斜角为α，则tan α＝33，又α∈[0°，180°)，∴α＝30°.选A.]3．直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( )【导学号：07742343】A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定C [将直线ax －y ＋2a ＝0化为点斜式得y ＝a (x ＋2)，知该直线过定点(－2,0)．又(－2)2＋02<9，故该定点在圆x 2＋y 2＝9的内部，所以直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9必相交．故选C.]4．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于( )A ．2 2B ．223C ．423D ．433D [设正方体的棱长为a ，球的半径为R ，则43πR 3＝323π，∴R ＝2.又∵3a ＝2R ＝4，∴a ＝433.]图15．如图1所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 上任意一点，则一定有( )A ．PC 1与AA 1异面B ．PC 1与A 1A 垂直 C ．PC 1与平面AB 1D 1相交 D ．PC 1与平面AB 1D 1平行 D [连BC 1和DC 1(图略)， ∵BD ∥B 1D 1，AB 1∥DC 1， ∴平面AB 1D 1∥平面C 1BD ， 而PC 1⊂平面C 1BD ， ∴PC 1∥平面AB 1D 1.选D.]6．直线2ax ＋y －2＝0与直线x －(a ＋1)y ＋2＝0互相垂直，则这两条直线的交点坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，－65B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－65C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，65D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，65C [依题意得，2a ×1＋1×[－(a ＋1)]＝0，∴a ＝1， 代入方程可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，x －2y ＋2＝0，解得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，65.选C.]7．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )A.23B.76C.45D.56D [如图，去掉的一个棱锥的体积是13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12×12×12＝148，剩余几何体的体积是1－8×148＝56.]8．一个动点在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点(3,0)连线中点的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝12D ．(2x －3)2＋4y 2＝1D [设中点M (x ，y )，则动点A (2x －3,2y )， ∵A 在圆x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，即(2x －3)2＋4y 2＝1. 故选D.]9．已知定点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ(λ∈R )，则点P 到直线l 的距离的最大值为( )A ．2 3B ．10C ．14D ．215B [将(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ变形，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，所以l 经过两直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0的交点．设两直线的交点为Q ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，得交点Q (1,1)，所以直线l 恒过定点Q (1，1)，于是点P 到直线l 的距离d ≤|PQ |＝10，即点P 到直线l 的距离的最大值为10.]10．球O 的一个截面圆的圆心为M ，圆M 的半径为3，OM 的长度为球O 的半径的一半，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．323π C ．12πD ．16πD [设截面圆的直径为AB ，∵截面圆的半径为3，∴BM ＝3，∵OM 的长度为球O 的半径的一半，∴OB ＝2OM ，设球的半径为R ，在直角三角形OMB 中，R 2＝(3)2＋14R 2. 解得R 2＝4，∴该球的表面积为16π，故选D.]11．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、B 1C 的中点，则EF 与平面ABCD 所成的角的正切值为( )图2A ．2B ． 2C ．12 D ．22D [取BC 中点O ，连接OE ， ∵F 是B 1C 的中点，∴OF ∥B 1B ，∴FO ⊥平面ABCD ， ∴∠FEO 是EF 与平面ABCD 所成的角， 设正方体的棱长为2，则FO ＝1，EO ＝2， ∴EF 与平面ABCD 所成的角的正切值为22. 故选D.]12．过直线y ＝2x 上一点P 作圆M: (x －3)2＋(y －2)2＝45的两条切线l 1，l 2，A ，B 为切点，当直线l 1，l 2关于直线y ＝2x 对称时，则∠APB 等于( )【导学号：07742345】A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°C [连接PM 、AM ，可得当切线l 1，l 2关于直线l 对称时， 直线l ⊥PM ，且射线PM 恰好是∠APB 的平分线，∵圆M 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝45，∴点M 坐标为(3, 2), 半径r ＝255， 点M 到直线l ：2x －y ＝0的距离为PM ＝|2×3－2|22＋(－1)2＝455，由P A 切圆M 于A ，得Rt △P AM 中，sin ∠APM ＝AM PM ＝12， 得∠APM ＝30°， ∴∠APB ＝2∠APM ＝60°. 故选C.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．△ABC 中，已知A (2, 1)，B (－2,3)，C (0,1)，则BC 边上的中线所在的直线的一般式方程为________. 【导学号：07742346】x ＋3y －5＝0 [线段BC 的中点D (－1,2)． 可得BC 边上的中线所在的直线的方程： y －1＝2－1－1－2(x －2)，一般式方程为x ＋3y －5＝0. 故答案为：x ＋3y －5＝0.]14．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为________．3π [如图，把四面体ABCD 补成正方体，则正方体的棱长为1，正方体的体对角线长等于外接球的直径，球的直径2R ＝3，球的表面积S ＝4πR 2＝3π.]15．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为________.【导学号：07742347】(π－2)∶4π [设圆柱形水桶的底面半径为R ，高为h ，桶直立时，水的高度为x .横放时水桶底面在水内的面积为⎝⎛⎭⎫14πR 2－12R 2，水的体积为V 水＝⎝⎛⎭⎫14πR 2－12R 2h .直立时水的体积不变，则有V 水＝πR 2x ， ∴x ∶h ＝(π－2)∶4π.]16．若曲线C 1：y ＝1＋－x 2＋2x 与曲线C 2：(y －1)·(y －kx －2k )＝0有四个不同的交点，则实数k 的取值范围为________．图3⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 [由y ＝1＋－x 2＋2x 得(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，曲线C 1表示以(1,1)为圆心以1为半径的上半圆，显然直线y ＝1与曲线C 1有两个交点，交点为半圆的两个端点． ∴直线y ＝kx ＋2k ＝k (x ＋2)与半圆有2个除端点外的交点， 当直线y ＝k (x ＋2)经过点(0,1)时，k ＝12， 当直线y ＝k (x ＋2)与半圆相切时，|3k －1|k 2＋1＝1，解得k ＝34或k ＝0(舍)， ∴当12＜k ＜34时，直线y ＝k (x ＋2)与半圆有2个除端点外的交点， 故答案为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知三角形ABC 的顶点坐标为A (－1，5)、B (－2，－1)、C (4,3)，M 是BC 边上的中点．(1)求AB 边所在的直线方程；(2)求中线AM的长. 【导学号：07742348】[解](1)由两点式得方程为y－5－1－5＝x＋1－2＋1，即6x－y＋11＝0.或直线AB的斜率为k＝－1－5－2－(－1)＝－6－1＝6，直线AB的方程为y－5＝6(x＋1)，即6x－y＋11＝0.(2)设M的坐标为(x0，y0), 则由中点坐标公式得x0＝－2＋42＝1，y0＝－1＋32＝1，故M(1,1)，AM＝(1＋1)2＋(1－5)2＝2 5.18．(本小题满分12分)如图6，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．图4(1)当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；(2)求证：平面BED⊥平面SAC. 【导学号：07742349】[证明](1)连接OE，当E为侧棱SC的中点时，OE为△SAC的中位线，所以SA∥OE，因为SA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以SA ∥平面BDE .(2)因为SB ＝SD ，O 是BD 中点， 所以BD ⊥SO ，又因为四边形ABCD 是正方形，所以BD ⊥AC ， 因为AC ∩SO ＝O ，所以BD ⊥平面SAC . 又因为BD ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面SAC .19．(本小题满分12分)在△ABC 中，点B (4,4)，角A 的内角平分线所在直线的方程为y ＝0，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋2＝0.(1)求点C 的坐标； (2)求△ABC 的面积．[解] (1)由题意知BC 的斜率为－2，又点B (4,4)，∴直线BC 的方程为y －4＝－2(x －4)，即2x ＋y －12＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝0，x －2y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝0，∴点A 的坐标为(－2,0)．又∠A 的内角平分线所在直线的方程为y ＝0，∴点B (4,4)关于直线y ＝0的对称点B ′(4，－4)在直线AC 上，∴直线AC 的方程为y ＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y ＋4＝0. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －12＝0，2x ＋3y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－8，∴点C的坐标为(10，－8)．(2)∵|BC|＝(10－4)2＋(－8－4)2＝65，又直线BC的方程是2x＋y－12＝0，∴点A到直线BC的距离是d＝|2×(－2)＋0－12|22＋12＝165，∴△ABC的面积是S＝12×|BC|×d＝12×65×165＝48.20．(本小题满分12分)如图7所示，在Rt△ABC中，已知A(－2，0)，直角顶点B(0，－22)，点C在x轴上．图5(1)求Rt△ABC外接圆的方程；(2)求过点(0,3)且与Rt△ABC外接圆相切的直线的方程. 【导学号：07742350】[解](1)由题意可知点C在x轴的正半轴上，可设其坐标为(a,0)(a＞0)，又AB⊥BC，则k AB·k BC＝－1，即－222·22a＝－1，解得a＝4.则所求圆的圆心为(1,0)，半径为3，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.(2)由题意知直线的斜率存在，故设所求直线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0.当圆与直线相切时，有d＝|k＋3|k2＋1＝3，解得k＝0或k＝34，故所求直线方程为y＝3或y＝34x＋3，即y－3＝0或3x－4y＋12＝0. 21．(本小题满分12分)如图8，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．图6(1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(2)当PD ＝2AB ，且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小．[解] (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥AC ，∴AC ⊥平面PDB ，∴平面AEC ⊥平面PDB .(2)设AC ∩BD ＝O ，连接OE ，由(1)知AC ⊥平面PDB 于O ，∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所成的角，∴O ，E 分别为DB 、PB 的中点，∴OE ∥PD ，OE ＝12PD ，又∵PD ⊥底面ABCD ，∴OE ⊥底面ABCD ，OE ⊥AO ，在Rt △AOE 中，OE ＝12PD ＝22AB ＝AO ，∴∠AEO ＝45°，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45°.22．(本小题满分12分)已知圆M 过两点A (1, －1)，B (－1，1)，且圆心M 在直线x ＋y －2＝0上．(1)求圆M 的方程；(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PC 、PD 是圆M 的两条切线，C 、D 为切点，求四边形PCMD 面积的最小值. 【导学号：07742351】[解] (1)设圆心M (a ，b )，则a ＋b －2＝0，①又A (1，－1)，B (－1,1)，∴k AB ＝1－(－1)－1－1＝－1，∴AB 的垂直平分线l 的斜率k ＝1, 又AB 的中点为O (0,0)，∴l 的方程为y ＝x ，而直线l 与直线x ＋y －2＝0的交点就是圆心M (a ，b )， 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0，a ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，又r ＝|MA |＝2， ∴圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.(2)如图：S PCMD ＝|MC |·|PC |＝2|PM |2－|MC |2＝2|PM |2－4，又点M (1,1)到3x ＋4y ＋8＝0的距离d ＝|MN |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，所以|PM|min＝d＝3，所以(S PCMD)min＝232－4＝2 5.。

模块综合测评(教师独具)(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若α∥β， a ⊂α， b ⊂β， 则a 与b 的位置关系是( ) A ．平行或异面 B ．相交 C ．异面D ．平行A [满足条件的情形如下：]2．直线y ＝kx 与直线y ＝2x ＋1垂直，则k 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D ．13C [由题意，得2k ＝－1，∴k ＝－12.]3．两圆C 1：x 2＋y 2＝r 2与C 2：(x －3)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)外切，则r 的值为( ) A ．10－1 B ．102C ．10D ．10－1或10＋1B [因为两圆外切且半径相等，所以|C 1C 2|＝2r .所以r ＝102.] 4．在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13， 则( )A ．OA ⊥AB B ．AB ⊥AC C ．AC ⊥BCD ．OB ⊥OCC [|AB |＝12，|AC |＝36，|BC |＝66，因为|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，所以AC ⊥BC .]5．圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A ．1 B ．2 C ． 2 D ．2 2C [圆心(－1，0)，直线x －y ＋3＝0，所以圆心到直线的距离为|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2.]6．直线2ax ＋y －2＝0与直线x －(a ＋1)y ＋2＝0互相垂直， 则这两条直线的交点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，－65B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－65C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫25，65D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，65 C [由题意知：2a －(a ＋1)＝0，得a ＝1，所以2x ＋y －2＝0，x －2y ＋2＝0，解得x ＝25，y ＝65.]7．如图， 在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中， P 为BD 上任意一点，则一定有( )A ．PC 1与AA 1异面B ．PC 1与A 1A 垂直 C ．PC 1与平面AB 1D 1相交 D ．PC 1与平面AB 1D 1平行D [当A ，P ，C 共线时，PC 1与AA 1相交不垂直，所以A ，B 错误；连接BC 1，DC 1(图略)，可以证AD 1∥BC 1，AB 1∥DC 1，所以平面AB 1D 1∥平面BDC 1.又PC 1⊂平面BDC 1，所以PC 1与平面AB 1D 1平行．]8．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中， AB ＝2， BC ＝4, AA 1＝6， 则AC 1和底面ABCD 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° A [如图所示，连接AC ，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，CC 1⊥底面ABCD ，所以∠C 1AC 就是AC 1与底面ABCD 所成的角．因为AB ＝2，BC ＝4，AA 1＝6，所以CC 1＝AA 1＝6，AC 1＝2 6.所以在Rt △ACC 1中，sin ∠C 1AC ＝CC 1AC 1＝626＝12.所以∠C 1AC ＝30°.] 9．已知点A (－1，1)，B (3，1)，直线l 过点C (1，3)且与线段AB 相交，则直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝2的位置关系是( )A ．相交B ．相离C ．相交或相切D ．相切或相离D [因为k AC ＝1，k BC ＝－1，直线l 的斜率的范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，直线BC 方程为x ＋y －4＝0，圆(x －6)2＋y 2＝2的圆心(6，0)到直线BC 的距离为2，因此圆(x －6)2＋y 2＝2与直线BC 相切，结合图象可知，直线l 与圆(x －6)2＋y 2＝2的位置关系是相切或相离．]10．设l ，m ，n 表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，则下面命题中不成立的是( ) A ．若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥mB ．若m ⊂β，m ⊥l ，n 是l 在β内的射影，则m ⊥nC ．若m ⊂α，n ⊄α，m ∥n ，则n ∥αD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD [若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m ，A 正确；由直线与平面垂直的判定和性质定理，若m ⊂β，m ⊥l ，n 是l 在β内的射影，则m ⊥n ，B 正确；由直线与平面平行的判定定理，若m ⊂α，n ⊄α，m ∥n ，则n ∥α，C 正确；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交， 即若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α∩β＝a ，D 不正确．]11．如果圆x 2＋(y －1)2＝1上任意一点P (x ，y )都能使x ＋y ＋c ≥0成立，那么实数c 的取值范围是( )A ．c ≥－2－1B ．c ≤－2－1C ．c ≥2－1D ．c ≤2－1C [对任意点P (x ，y )能使x ＋y ＋c ≥0成立，等价于c ≥[－(x ＋y )]max . 设b ＝－(x ＋y )，则y ＝－x －b . 所以圆心(0，1)到直线y ＝－x －b 的距离d ＝|1＋b |2≤1, 解得－2－1≤b ≤2－1.所以c ≥2－1.]12．如图， 在△ABC 中， AB ＝BC ＝6， ∠ABC ＝90°， 点D 为AC 的中点，将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置， 使PC ＝PD ，连接PC, 得到三棱锥P ­BCD, 若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上， 则该球的表面积是( )A ．πB ．3πC ．5πD ．7πD [由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为3的正三角形，且BD ⊥平面PCD, 设三棱锥P ­BDC 外接球的球心为O, △PCD 外接圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面PCD ，所以四边形OO 1DB 为直角梯形， 由BD ＝3，O 1D ＝1，及OB ＝OD ，得OB ＝72， 所以外接球半径为R ＝72，所以该球的表面积S ＝4πR 2＝4π×74＝7π.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若直线(m ＋1)x －y －(m ＋5)＝0与直线2x －my －6＝0平行，则m ＝________． －2 [由题意知：m ＋1＝2m，解得m ＝1或－2. 当m ＝1时，两直线方程均为2x －y －6＝0，两直线重合，不合题意，舍去；当m ＝－2时，直线分别为x ＋y ＋3＝0，x ＋y －3＝0，两直线平行．]14．如图所示， 正方体的棱长为2, 以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.43[平面ABCD 将多面体分成了两个以2为底面，边长、高为1的正四棱锥，所以其体积为2×2×1×13×2＝43.]15．在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________.x 2＋y 2－2x ＝0 [设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0, 又因为圆经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，22＋2D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.]16．如图，在四棱锥P ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为m 的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝m ，PA ＝PC ＝2m ，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是________．12(2－2)m [由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥AD .又PD ＝m ，PA ＝2m ，则AD ＝m .设内切球的球心为O ，半径为R ，连接OA ，OB ，OC ，OD ，OP (图略)，易知V P ­ABCD ＝V O ­ABCD ＋V O ­PAD ＋V O ­PAB ＋V O ­PBC ＋V O ­PCD ，即13·m 2·m ＝13·m 2×R ＋13×12·m 2·R ＋13×12·2m 2·R ＋13×12· 2 m 2·R ＋13·12·m 2·R ，解得R ＝12(2－2)m ，所以此球的最大半径是12(2－2)m .]三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，分别求下列直线l ′的方程，l ′满足：(1)过点(－1，3)，且与l 平行； (2)与直线l 关于y 轴对称．[解] (1)因为l ∥l ′， 所以l ′的斜率为－34，所以直线l ′的方程为：y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0.(2)l 与y 轴交于点(0，3)，该点也在直线l ′上，在直线l 上取一点A (4，0)，则点A 关于y 轴的对称点A ′(－4，0)在直线l ′上，所以直线l ′经过(0，3)和(－4，0)两点，故直线l ′的方程为3x －4y ＋12＝0.18．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l 经过点D (－2，0)，且斜率为k .(1)求以线段CD 为直径的圆E 的方程； (2)若直线l 与圆C 相离， 求k 的取值范围．[解] (1)将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为C (0，4)，半径为2.所以CD 的中点E (－1，2)， |CD |＝22＋42＝25，所以r ＝5，故所求圆E 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5. (2)直线l 的方程为y －0＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.若直线l 与圆C 相离，则有圆心C 到直线l 的距离|0－4＋2k |k 2＋1>2, 解得k <34.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，34.19．(本小题满分12分)如图，在三棱锥P ­ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．[解] (1)因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点， 所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 连接OB .因为AB ＝BC ＝22AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知，OP ⊥OB .由OP ⊥OB ，OP ⊥AC ，OB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ，垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ，OP ⊂平面POM ，OM ⊂平面POM ，OP ∩OM ＝O ，所以CH ⊥平面POM . 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．由题设可知OC ＝12AC ＝2，CM ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°.所以OM ＝253，CH ＝OC ·MC ·sin ∠ACB OM ＝455.所以点C 到平面POM 的距离为455.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4，0)的距离等于线段OF 的长？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] (1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知斜率k OC ＝ba＝－1，故b ＝－a . 又|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22， 可解得a ＝－2，b ＝2或a ＝2，b ＝－2， 结合点C (a ，b )位于第二象限知a ＝－2，b ＝2. 故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在点Q (m ，n )符合题意，则(m －4)2＋n 2＝16，m 2＋n 2≠0, (m ＋2)2＋(n －2)2＝8，解得m ＝45，n ＝125，故圆C 上存在异于原点的点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125符合题意． 21．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD ︵所在平面垂直，M 是CD ︵上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)在线段AM 上是否存在点P ，使得MC ∥平面PBD ？说明理由．[解] (1)证明：由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD .因为BC ⊥CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面CMD ，故BC ⊥DM .因为M 为CD ︵上异于C ，D 的点，且DC 为直径，所以DM ⊥CM . 又BC ∩CM ＝C ，所以DM ⊥平面BMC . 而DM ⊂平面AMD ，故平面AMD ⊥平面BMC . (2)当P 为AM 的中点时，MC ∥平面PBD . 证明如下：如图，连接AC 交BD 于O .因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 中点．连接OP ，因为P 为AM 中点，所以MC ∥OP .MC ⊄平面PBD ，OP ⊂平面PBD ，所以MC ∥平面PBD .22．(本小题满分12分)已知直线l ：y ＝kx ＋b (0<b <1)和圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点．(1)当k ＝0时，过点A ，B 分别作圆O 的两条切线，求两切线的交点坐标；(2)对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点N ，满足∠ONA ＝∠ONB ？若存在，请求出此点坐标；若不存在，说明理由．[解] (1)联立直线l ：y ＝b 与圆O ：x 2＋y 2＝1的方程， 得A ，B 两点坐标为A (－1－b 2，b )，B (1－b 2，b ).设过圆O 上点A 的切线l 1的方程是y －b ＝kl 1(x ＋1－b 2)，由于k AO ·kl 1＝－1，即－b1－b 2·kl 1＝－1，也就是kl 1＝1－b2b.所以l 1的方程是y －b ＝1－b2b(x ＋1－b 2).化简得l 1的方程为－1－b 2x ＋by ＝1. 同理得，过圆O 上点B 的切线l 2的方程为 1－b 2x ＋by ＝1.联立l 1与l 2的方程得交点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，1b .因此，当k ＝0时，两切线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，1b .(2)假设在y 轴上存在一点N (0，t )，满足∠ONA ＝∠ONB ， 则直线NA ，NB 的斜率k NA ，k NB 互为相反数， 即k NA ＋k NB ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1x 2≠0)，则y 1－t x 1＋y 2－tx 2＝0， 即x 2(kx 1＋b －t )＋x 1(kx 2＋b －t )＝0. 化简得2kx 1x 2＋(b －t )(x 1＋x 2)＝0.①联立直线l ：y ＝kx ＋b 与圆O ：x 2＋y 2＝1的方程， 得(k 2＋1)x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0. 所以x 1＋x 2＝－2kb k 2＋1，x 1x 2＝b 2－1k 2＋1.② 将②代入①整理得－2k ＋2kbt ＝0.③因为③式对于任意的实数k 都成立，因此，t ＝1b.故在y 轴上存在一点N ⎝⎛⎭⎪⎫0，1b ，满足∠ONA ＝∠ONB .。

模块质量检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A ．圆柱B ．圆锥C ．球体D ．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．答案：C2．已知直线x －3y －2＝0，则该直线的倾斜角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：直线x －3y －2＝0的斜率k ＝33，故倾斜角为30°，故选A . 答案：A3．点P(2，m)到直线l ：5x －12y ＋6＝0的距离为4，则m 的值为( )A ．1B ．－3C ．1或53D ．－3或173解析：利用点到直线的距离公式． 答案：D4．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为r ＝2，R ＝3两圆的圆心距离为－2－22＋0－12＝17，则R －r<17<R ＋r ，所以两圆相交，选B .答案：B5．在空间给出下面四个命题(其中m ，n 为不同的两条直线，α，β为不同的两个平面)： ①m⊥α，n∥α⇒m⊥n ②m∥n，n∥α⇒m∥α ③m∥n，n⊥β，m∥α⇒α⊥β ④m∩n＝A ，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β⇒α∥β.其中正确的命题个数有( )A ．1个B ．2个C．3个D．4个解析：②中m也可能在平面α内，②错，①③④正确，故选C.答案：C6．点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，则PA与BD所成角的度数为( )A．30° B．45°C．60° D．90°解析：利用正方体求解，如图所示：PA与BD所成的角，即为PA与PQ所成的角，因为△APQ为等边三角形，所以∠APQ＝60°，故PA与BD所成角为60°，故选C.答案：C7．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为( )A．1或－1 B．2或－2C．1 D．－1解析：圆x2＋y2－2x＝0的圆心(1,0)，半径为1，依题意得|1＋a＋0＋1|1＋a2＋1＝1，即|a＋2|＝a＋12＋1，平方整理得a＝－1，故选D.答案：D8．已知三点A(－1,0,1)，B(2,4,3)，C(5,8,5)，则( )A．三点构成等腰三角形B．三点构成直角三角形C．三点构成等腰直角三角形D．三点构不成三角形解析：∵|AB|＝29，|AC|＝229，|BC|＝29，而|AB|＋|BC|＝|AC|，∴三点A，B，C共线，构不成三角形．答案：D9．已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A．3x＋y－5＝0 B．x－2y＝0C．x－2y＋4＝0 D．2x＋y－3＝0解析：直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0，故选D .答案：D10．在四面体A －BCD 中，棱AB ，AC ，AD 两两互相垂直，则顶点A 在底面BCD 上的投影H 为△BCD 的( )A ．垂心B ．重心C ．外心D ．内心解析：因为AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A ， 因为AB⊥平面ACD ，所以AB⊥CD. 因为AH⊥平面BCD ， 所以AH⊥CD，AB∩AH＝A ， 所以CD⊥平面ABH ，所以CD⊥BH. 同理可证CH⊥BD，DH⊥BC， 则H 是△BCD 的垂心．故选A . 答案：A11．若过点A(4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[－3，3]B ．(－3，3)C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 解析：设直线方程为y ＝k(x －4)，即kx －y －4k ＝0， 因为直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点， 所以圆心到直线的距离d 小于或等于半径， ∴d＝|2k －4k|k 2＋1≤1，解得－33≤k≤33. 答案：C12．设A ，B ，C ，D 是一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3解析：由于△ABC 为等边三角形且面积为93，故当三棱锥D －ABC 体积最大时，点D 到平面ABC 的距离最大．设等边△ABC 的边长为a ，则34a 2＝93，得a 2＝36，解得a ＝6.设△ABC 的中心为点E ，连接AE ，BE ，CE ，由正三角形的性质得AE ＝BE ＝CE ＝23，设球心为点O ，连接OA ，OB ，OC ，OE ，OD ，则OA ＝OB ＝OC ＝4，则OE ＝42－232＝2，故D 到平面ABC 的距离的最大值为OE ＋OD ＝2＋4＝6，则(V D －ABC )max ＝93×6×13＝18 3.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．如图所示，Rt △A′B′C′为水平放置的△ABC 的直观图，其中A′C′⊥B′C′，B′O′＝O′C′＝1，则△ABC 的面积为________．解析：由直观图画法规则将△A′B′C′还原为△ABC，如图所示，则有BO ＝OC ＝1，AO ＝2 2.故S △ABC ＝12BC·AO＝12×2×22＝2 2.答案：2 214．已知点P(0，－1)，点Q 在直线x －y ＋1＝0上，若直线PQ 垂直于直线x ＋2y －5＝0，则点Q 的坐标是________．解析：设Q(x 0，y 0)，因为点Q 在直线x －y ＋1＝0上，所以x 0－y 0＋1＝0① 又直线x ＋2y －5＝0的斜率k ＝－12，直线PQ 的斜率k PQ ＝y 0＋1x 0，所以由直线PQ 垂直于直线x ＋2y －5＝0，得y 0＋1x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1②由①②解得x 0＝2，y 0＝3，即点Q 的坐标是(2,3)． 答案：(2,3)15．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a)2＋(y ＋b)2＝1的圆心位于第________象限．解析：(－a ，－b)为圆的圆心，由直线经过一、二、四象限，得到a<0，b>0，即－a>0，－b<0，故圆心位于第四象限．答案：四16．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，∠BAC＝30°，则此几何体的体积为________．解析：半圆旋转一周形成一个球体，其体积V 球＝43πR 3，内部两个圆锥的体积之和为V锥＝13πCD 2·AB＝13π·⎝ ⎛⎭⎪⎫32R 2·2R＝π2R 3，所以所求几何体的体积为43πR 3－π2R 3＝56πR 3. 答案：65πR 3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)[2019·广州高一检测]三棱锥S －ABC 中，SA⊥AB，SA⊥AC，AC⊥BC 且AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29.(1)证明：SC⊥BC. (2)求三棱锥的体积V S －ABC .解析：(1)证明：因为SA⊥AB，SA⊥AC，AB∩A C ＝A ，所以SA⊥平面ABC ，所以AC 为SC 在平面ABC 内的射影，又因为BC⊥AC，所以SC⊥BC.(2)在△ABC 中，AC⊥BC，AC ＝2，BC ＝13，所以AB ＝4＋13＝17，因为SA⊥AB，所以△SAB 为直角三角形，SB ＝29，所以SA ＝29－17＝23，因为SA⊥平面ABC ，所以SA 为棱锥的高，所以V S­ABC ＝13×12×AC×BC×SA ＝16×2×13×23＝2393.18．(12分)求经过直线x ＋y ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y －8＝0的交点，且经过点P(－1，－2)的圆的方程．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x 2＋y 2＋2x －4y －8＝0，得x ＝1，y ＝－1或x ＝－4，y ＝4，即直线与圆交于点A(1，－1)和点B(－4,4)．设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，分别将A ，B ，P 的坐标代入， 得方程组⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＋D －E ＋F ＝0，16＋16－4D ＋4E ＋F ＝0，1＋4－D －2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝3，E ＝－3，F ＝－8，所求圆的方程为x 2＋y 2＋3x －3y －8＝0.19．(12分)已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． 解析：有两种方法． (1)方法一 (几何法)如图所示，过点O 作OC⊥AB.由已知条件得直线AB 的斜率为k ＝tan 135°＝－1， 所以直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即x ＋y －1＝0.因为圆心为(0,0)，所以|OC|＝|－1|2＝22.因为r ＝22，所以|BC|＝8－⎝⎛⎭⎪⎫222＝302，所以|AB|＝2|BC|＝30. 方法二 (代数法)当α＝135°时，直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即y ＝－x ＋1，代入x 2＋y 2＝8，得2x 2－2x －7＝0. 所以x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－72，所以|AB|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝30.(2)如图，当弦AB 被点P 平分时， OP⊥AB，因为k OP ＝－2，所以k AB ＝12，所以直线AB 的方程为y －2＝ 12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0. 20．(12分)如图，四棱锥P­ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于低面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)证明：直线BC∥平面PAD ；(2)若△PCD 的面积为27，求四棱锥P­ABCD 的体积．解析：(1)证明：在平面ABCD 内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD，又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，故BC∥平面PAD.(2)取AD 的中点M ，连接PM ，CM ，由AB ＝BC ＝12AD 及BC∥AD，∠ABC＝90°，得四边形ABCM 为正方形，则CM⊥AD，因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，所以PM⊥AD，PM⊥平面ABCD ，因为CM ⊂平面ABCD ，所以PM⊥CM，设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x ，取CD 中点N ，连接PN ，则PN⊥CD，所以PN ＝142x ，因为△PCD 的面积为27，所以12×2x×142x ＝27，解得x ＝－2(舍去)，x ＝2，于是AB ＝BC ＝2，AD ＝4，PM ＝23，所以四棱锥P­ABCD 的体积V ＝13×2×2＋42×23＝4 3.21．(12分)[2019·上饶县校级月考]已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －6＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4y －6＝0(1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线的方程； (3)求公共弦的长度．解析：(1)圆C 1：x 2＋y 2－6x －6＝0，化为(x －3)2＋y 2＝15，圆心坐标为(3,0)，半径为15；圆C 2：x 2＋y 2－4y －6＝0化为x 2＋(y －2)2＝10，圆心坐标(0,2)，半径为 10.圆心距为：32＋22＝13，因为15 －10 ＜13 ＜15 ＋10 ，所以两圆相交．(2)将两圆的方程相减，得－6x ＋4y ＝0，化简得：3x －2y ＝0， ∴公共弦所在直线的方程是3x －2y ＝0；(3)由(2)知圆C 1的圆心(3,0)到直线3x －2y ＝0的距离d ＝99＋4＝913，由此可得，公共弦的长l ＝215－8113＝2 1 48213.22．(12分)[2019·大连高一检测]如图已知直三棱柱ABC­A 1B 1C 1(侧棱垂直于底面)中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求二面角A 1­EC­C 1的正弦值．解析：(1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，又D 是AB 中点，连接DF ，则BC 1∥DF，因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD.(2)连接A 1E ，C 1E ，过C 1作C 1G⊥EC，垂足为G ，连接A 1G ，由题意知，AB 2＝AC 2＋BC 2，所以AC⊥BC，又由直三棱柱得AC⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，所以∠A 1GC 1为二面角A 1­EC­C 1的平面角，在△CEC 1中，CE ＝C 1E ＝5，CC 1＝2，利用等面积法可知12CE·C 1G ＝12×2×2，所以C 1G ＝45，在Rt △A 1GC 1中，A 1C 1＝2，C 1G ＝45，所以A 1G ＝22＋⎝⎛⎭⎪⎫452＝65，所以sin ∠A 1GC 1＝A 1C 1A 1G ＝265＝53，所以二面角A 1­EC－C 1的正弦值为53.。

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctr l,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word文档返回原板块。

单元质量评估(二)(第三、四章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若直线过点(1,2),(4,2+),则此直线的倾斜角是( )A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】选A.斜率k==,所以倾斜角为30°.【补偿训练】直线的方程为x-y+2014=0,则直线的倾斜角为( )A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选A.直线的斜率k=,所以直线l的倾斜角为30°.2.(2015·兰州高一检测)点A(2a,a-1)在以点C(0,1)为圆心,半径为的圆上,则a的值为( )A.±1B.0或1C.-1或D.-或1【解析】选D.由题意,已知圆的方程为x2+(y-1)2=5,将点A的坐标代入圆的方程可得a=1或a=-.【补偿训练】若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围为( ) A.m< B.m<0 C.m> D.m≤【解析】选A.由题意知(-1)2+12-4m>0,得m<.3.直线-=1在y轴上的截距是( )A. B.-b2 C.b2 D.±b【解析】选B.令x=0,则y=-b2.【误区警示】本题易混淆截距和距离,误认为截距必须是正值,从而错选A或C.4.(2015·榆林高一检测)点P(x,2,1)到点A(1,1,2)、B(2,1,1)的距离相等,则x 等于( )A. B.1 C. D.2【解析】选B.由题意,|PA|=|PB|,即=,解得x=1.【补偿训练】已知空间两点A(-1,3,5),B(2,4,-3),则等于( )A. B.3 C. D.【解题指南】利用两点间的距离公式求解.【解析】选A.==.5.圆x2+y2-8x+6y+16=0与圆x2+y2=64的位置关系是( )A.相交B.相离C.内切D.外切【解析】选 C.圆x2+y2-8x+6y+16=0可化为(x-4)2+(y+3)2=9.圆心距为=5,由于8-3=5,故两圆内切.6.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为( )A.-1B.1C.3D.-3【解析】选B.化圆为标准形式为(x+1)2+(y-2)2=5,圆心为(-1,2).因为直线过圆心,所以3×(-1)+2+a=0,所以a=1.7.(2015·沈阳高一检测)两条直线y=ax-2与y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于( ) A.2 B.1 C.0 D.-1【解析】选D.因为两直线互相垂直,所以a(a+2)=-1,所以a2+2a+1=0,故a=-1.8.设点P(a,b,c)关于原点的对称点为P',则|PP'|= ( )A. B.2C.|a+b+c|D.2|a+b+c|【解析】选B.P(a,b,c)关于原点的对称点P'(-a,-b,-c),则|PP'|==2.9.直线y=ax+b(a+b=0)的图象是( )【解析】选D.y=ax+b(a+b=0)过点(1,0),故选D.10.(2015·宜宾高一检测)圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)关于直线y=x-1对称,则( )A.D+E=2B.D-E=-1C.D-E=-2D.D+E=1【解析】选C.圆的对称轴是圆的直径所在的直线,这是圆的性质,也是题中的隐含条件,所以圆心在直线y=x-1上,所以-=--1,D-E=-2.【补偿训练】(2014·蚌埠高一检测)与圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0,则a= ( )A.0B.1C.2D.3【解题指南】先确定圆x2+y2-4x+3=0的圆心,求圆心关于直线x-y-1=0的对称点,即为圆x2+y2-ax-2y+1=0的圆心.【解析】选C.x2+y2-4x+3=0化为标准形式为(x-2)2+y2=1,圆心为(2,0),因为(2,0)关于直线x-y-1=0对称的点为(1,1),所以x2+y2-ax-2y+1=0的圆心为(1,1).因为x2+y2-ax-2y+1=0,即为+(y-1)2=,圆心为,所以=1,即a=2.【一题多解】本题还可以使用以下方法求解:x2+y2-4x+3=0的圆心为M(2,0),x2+y2-ax-2y+1=0的圆心为N,MN的中点在直线x-y-1=0上,所以--1=0,所以a=2.11.(2015·开原高一检测)以点(2,-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程是( )A.(x-2)2+(y+1)2=3B.(x+2)2+(y-1)2=3C.(x-2)2+(y+1)2=9D.(x+2)2+(y-1)2=9【解题指南】利用点到直线的距离先求出圆的半径,结合圆心坐标,写出圆的方程.【解析】选C.由题意知,圆的半径r==3,故所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=9.【补偿训练】直线l与圆C:x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于A,B两点,弦AB的中点为D(0,1),则直线l的方程为( )A.x-y+1=0B.x+y+1=0C.x-y-1=0D.x+y-1=0【解析】选A.圆C的圆心坐标为(-1,2),弦AB中点D(0,1),所以k CD==-1,所以k AB=-=1,所以直线l的方程为y-1=x-0,即:x-y+1=0.12.(2015·佳木斯高一检测)设点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则l的斜率k的取值范围是( )A.k≥或k≤-4B.-4≤k≤C.-≤k≤4D.以上都不对【解题指南】数形结合,观察图形,分别计算出k PA,k PB的值.【解析】选A.k PA=-4,k PB=,画图观察可知k≥或k≤-4.【补偿训练】若直线l:y=kx-与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是( )A.30°≤α≤60°B.30°<α<90°C.60°≤α≤90°D.30°≤α≤90°【解析】选B.如图,直线l:y=kx-,过定点P(0,-),又A(3,0),所以k PA=,则直线PA的倾斜角为30°,满足条件的直线l的倾斜角的范围是30°<α<90°.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知点M(-1,3),N(2,-1),则|MN|等于.【解析】|MN|==5.答案:514.点(a,b)到直线ax+by=0的距离是.【解析】d==.答案:15.(2015·湖北高考)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为.(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为.【解析】(1)设点C的坐标为(x0,y0),则由圆C与x轴相切于点T(1,0)知,点C的横坐标为1,即x 0=1,半径r=y0.又因为|AB|=2,所以12+12=,即y0==r,所以圆C的标准方程为(x-1)2+(y-)2=2.(2)令x=0得:B(0,+1).设圆C在点B处的切线方程为y-(+1)=kx,则圆心C到其距离为:d==,解之得k=1.即圆C在点B处的切线方程为y=x+(+1),于是令y=0可得x=--1,即圆C在点B处的切线在x轴上的截距为-1-.答案:(1)(x-1)2+(y-)2=2 (2)-1-【补偿训练】圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是.【解析】已知圆的圆心为C(1,1),半径为r=1,则圆心到直线的距离为d==,因此圆上的点到直线的最大距离为d max=+1.答案:+116.动圆x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0的圆心的轨迹方程是. 【解析】圆心为(2m+1,m),r=(m≠0),令x=2m+1,y=m,消去m得,x-2y-1=0,因为m≠0,所以y≠0,即x≠1.答案:x-2y-1=0(x≠1)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2015·绍兴高一检测)一直线被两直线l1:4x+y+6=0,l2:3x-5y-6=0截得线段的中点是P(0,0),求此直线方程.【解析】由得两直线交于(-,-),记为A,则直线AP垂直于所求直线l,即k1=,所以y=x.即4x-3y=0,或24x-5y+5=0为所求.18.(12分)已知圆C:(x-1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A,B 两点.(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程.(2)当弦AB被点P平分时,写出直线l的方程.【解析】(1)已知圆C:(x-1)2+y2=9的圆心为C(1,0),因直线l过点P,C,所以直线l 的斜率为2,直线l的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.(2)当弦AB被点P平分时,l⊥PC,直线l的方程为y-2=-(x-2),即x+2y-6=0.19.(12分)(2015·佛山高一检测)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,|AB|=|AD|=3,|AA1|=2,点M在A1C1上,|MC1|=2|A1M|,N在D1C上且为D1C的中点,求M,N两点间的距离.【解析】如图,分别以AB,AD,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.由题意可知C(3,3,0),D(0,3,0),因为|DD1|=|CC1|=2,所以C1(3,3,2),D1(0,3,2).因为N为CD1的中点,所以N.由题意M是A1C1的三等分点且靠近点A1,所以M(1,1,2).由两点间距离公式,得==.【补偿训练】一个长方体的8个顶点坐标分别为(0,0,0),(0,1,0),(3,0,0), (3,1,0),(3,1,9),(3,0,9),(0,0,9),(0,1,9).(1)在空间直角坐标系中画出这个长方体.(2)求这个长方体外接球的球心坐标.(3)求这个长方体外接球的体积.【解析】(1)如图.(2)因为长方体的体对角线长是其外接球的直径,所以球心坐标为,即.(3)因为长方体的体对角线长d==,所以其外接球的半径r==.所以其外接球的体积V球=πr3=π=.20.(12分)(2015·大同高一检测)当m为何值时,直线(2m2+m-3)x+(m2-m)y=4m-1.(1)倾斜角为45°.(2)在x轴上的截距为1.【解析】(1)倾斜角为45°,则斜率为1.所以-=1,解得m=-1,m=1(舍去),直线方程为2x-2y-5=0符合题意,所以m=-1.(2)当y=0时,x==1,解得m=-,或m=2.当m=-,m=2时都符合题意,所以m=-或m=2.【补偿训练】已知两条直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my-1=0,试确定m,n的值,使(1)l1与l2相交于点(m,-1).(2)l1∥l2.(3)l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为-1.【解析】(1)因为l1与l2相交于点(m,-1),所以点(m,-1)在l1,l2上,将点(m,-1)代入l2,得2m-m-1=0,解得m=1.又因为m=1,所以n=7.故m=1,n=7.(2)要使l1∥l2,则有解得或(3)要使l1⊥l2,则有m·2+8·m=0,得m=0.则l1为y=-,由于l1在y轴上的截距为-1,所以-=-1,即n=8.故m=0,n=8.21.(12分)已知△ABC的三个顶点A(4,-6),B(-4,0),C(-1,4),求:(1)AC边上的高BD所在的直线方程.(2)BC边的垂直平分线EF所在的直线方程.(3)AB边的中线的方程.【解析】(1)直线AC的斜率k AC==-2,所以直线BD的斜率k BD=,所以直线BD的方程为y=(x+4),即x-2y+4=0.(2)直线BC的斜率k BC==,所以EF的斜率k EF=-,线段BC的中点坐标为,所以EF的方程为y-2=-,即6x+8y-1=0.(3)AB的中点M(0,-3),所以直线CM的方程为:=,即7x+y+3=0(-1≤x≤0).【误区警示】本题中的高线,垂直平分线以及中线容易混淆从而造成失误.22.(12分)(2015·广东高考)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.(1)求圆C1的圆心坐标.(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由.【解析】(1)由x2+y2-6x+5=0得(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).(2)设M(x,y),则因为点M为弦AB的中点,所以C1M⊥AB,所以·k AB=-1即·=-1,所以线段AB的中点M的轨迹的方程为+y2=.(3)由(2)知点M的轨迹是以C为圆心,r=为半径的部分圆弧EF(如图所示,不包括两端点)且E,F,又直线L:y=k(x-4)过定点D(4,0),当直线L与圆C相切时,由=得k=±,又k DE=-k DF=-=-,k DF=,结合图形可知当k∈∪时,直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点.关闭Word文档返回原板块。

模块综合检测(二)(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知f (x )＝ln x 2x ，则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝( ) A ．－2－ln 2B ．－2＋ln 2C ．2－ln 2D ．2＋ln 2A [由题意，函数f (x )＝ln x 2x ， 则f ′(x )＝1x ·2x －(2x )′ln x (2x )2＝2x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12ln x 2x ， 则lim Δx →0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx Δx ＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2＋ln 22×12＝－2－ln 2，故选A.] 2．等比数列{a n }是递减数列，前n 项的积为T n ，若T 13＝4T 9，则a 8a 15＝( )A ．±2B ．±4C ．2D ．4C [∵T 13＝4T 9，∴a 1a 2…a 9a 10a 11a 12a 13＝4a 1a 2…a 9，∴a 10a 11a 12a 13＝4.又∵a 10·a 13＝a 11·a 12＝a 8·a 15，∴(a 8·a 15)2＝4，∴a 8a 15＝±2.又∵{a n }为递减数列，∴q >0，∴a 8a 15＝2.]3．已知公差不为0的等差数列{a n }的前23项的和等于前8项的和．若a 8＋a k ＝0，则k ＝( )A ．22B ．23C ．24D ．25C [等差数列的前n 项和S n 可看做关于n 的二次函数(图象过原点)．由S 23＝S 8，得S n 的图象关于n ＝312对称，所以S 15＝S 16，即a 16＝0，所以a 8＋a 24＝2a 16＝0，所以k ＝24.]4．已知函数f (x )＝(x ＋a )e x 的图象在x ＝1和x ＝－1处的切线相互垂直，则a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2A [因为f ′(x )＝(x ＋a ＋1)e x ，所以f ′(1)＝(a ＋2)e ，f ′(－1)＝a e －1＝a e ，由题意有f (1)f ′(－1)＝－1，所以a ＝－1，选A.]5．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10＝( )A ．15B ．19C ．21D ．30B [由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列可得S 22＝S 1·S 4，又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )(4a 2＋2d )，化简得3d 2＝2a 2d ，又d ≠0，∴a 2＝3，d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a 10＝19.]6．若函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，则实数a 的取值X 围是( )A ．(－2，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(2，＋∞)D [因为函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在与直线x ＋2y －4＝0垂直的切线，所以函数f (x )＝ax －ln x 的图象上存在斜率为2的切线，故k ＝f ′(x )＝a －1x ＝2有解，所以a ＝2＋1x ，x ＞0有解，因为y ＝2＋1x ，x ＞0的值域为(2，＋∞)．所以a ∈(2，＋∞)．]7．已知等差数列{}a n 的前n 项为S n ，且a 1＋a 5＝－14，S 9＝－27，则使得S n 取最小值时的n 为( )A ．1B ．6C ．7D ．6或7B [由等差数列{a n }的性质，可得a 1＋a 5＝2a 3＝－14⇒a 3＝－7，又S 9＝9(a 1＋a 9)2＝－27⇒a 1＋a 9＝－6⇒a 5＝－3，所以d ＝a 5－a 35－3＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－7＋(n －3)×2＝2n －13，令a n ≤0⇒2n －13≤0，解得n ≤132，所以数列的前6项为负数，从第7项开始为正数，所以使得S n 取最小值时的n 为6，故选B.]8．若方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为( )A ．4B ．6C ．4.5D ．8A [设底面边长为x ，高为h ，则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x 2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2. 令S ′(x )＝0，解得x ＝8，∴当x ＝8时，S (x )取得最小值．∴h ＝25682＝4.]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．设数列{}a n 是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1＞0，且S 6＝S 9，则( )A ．d <0B ．a 8＝0C ．S 5＞S 6D ．S 7或S 8为S n 的最大值ABD [根据题意可得a 7＋a 8＋a 9＝0⇒3a 8＝0⇒a 8＝0，∵数列{}a n 是等差数列，a 1＞0，∴公差d <0，所以数列{}a n 是单调递减数列， 对于A 、B ，d <0，a 8＝0，显然成立；对于C ，由a 6>0，则S 5<S 6，故C 不正确；对于D ，由a 8＝0，则S 7＝S 8，又数列为递减数列，则S 7或S 8为S n 的最大值，故D 正确．故选ABD.]10．如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是( )A ．f (x )在(－2，－1)上是增函数B ．当x ＝－1时，f (x )取得极小值C ．f (x )在(－1，2)上是增函数，在(2，4)上是减函数D ．当x ＝3时，f (x )取得极小值BC [根据图象知当x ∈(－2，－1)，x ∈(2，4)时，f ′(x )＜0，函数单调递减； 当x ∈(－1，2)，x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )＞0，函数单调递增．故A 错误；故当x ＝－1时，f (x )取得极小值，B 正确；C 正确；当x ＝3时，f (x )不是取得极小值，D 错误．故选BC.]11．已知等比数列{}a n 的公比q ＝－23，等差数列{}b n 的首项b 1＝12，若a 9>b 9且a 10>b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9a 10<0B ．a 9>a 10C ．b 10>0D ．b 9>b 10AD [∵等比数列{}a n 的公比q ＝－23，∴a 9和a 10异号，∴a 9a 10<0 ，故A 正确；但不能确定a 9和a 10的大小关系，故B 不正确；∵a 9和a 10异号，且a 9>b 9且a 10>b 10，∴b 9和b 10中至少有一个数是负数， 又∵b 1＝12>0 ，∴d <0，∴b 9>b 10 ，故D 正确，∴b 10一定是负数，即b 10<0 ，故C 不正确. 故选AD.]12．已知函数f (x )＝x ln x ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是( )A ．x 2f (x 1)＜x 1f (x 2)B ．x 1＋f (x 1)＜x 2＋f (x 2)C ．f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0 D ．当ln x ＞－1时，x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)AD [设g (x )＝f (x )x ＝ln x ，函数单调递增，则g (x 2)＞g (x 1)，即f (x 2)x 2＞f (x 1)x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，A 正确； 设h (x )＝f (x )＋x ∴h ′(x )＝ln x ＋2不是恒大于零，B 错误；f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1不是恒小于零，C 错误；ln x ＞－1，故f ′(x )＝ln x ＋1＞0，函数单调递增．故(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))＝x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)－x 2f (x 1)－x 1f (x 2)＞0，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 2f (x 1)＋x 1f (x 2)．f (x 2)x 2＝ln x 2＞f (x 1)x 1＝ln x 1，∴x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)，即x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞2x 2f (x 1)，D 正确．故选AD.]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋1＝11－a n(n ∈N *)，a 1＝2，则S 50＝________. 25[因为a n ＋1＝11－a n (n ∈N *)，a 1＝2，所以a 2＝11－a 1＝－1，a 3＝11－a 2＝12，a 4＝11－a 3＝2，∴数列{a n }是以3为周期的周期数列，且前三项和S 3＝2－1＋12＝32， ∴S 50＝16S 3＋2－1＝25.]14．将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则s 的最小值是________． 3233[设AD ＝x (0<x <1)，则DE ＝AD ＝x ，∴梯形的周长为x＋2(1－x )＋1＝3－x .又S △ADE ＝34x 2，∴梯形的面积为34－34x 2，∴s ＝433×x 2－6x ＋91－x 2(0<x <1)， 则s ′＝－833×(3x －1)(x －3)(1－x 2)2. 令s ′＝0，解得x ＝13.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，s ′<0，s 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，s ′>0，s 为增函数．故当x ＝13时，s 取得极小值，也是最小值，此时s 的最小值为3233.]15．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.32[由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2相减可得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，同除以a 2可得2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1.因为q >0，所以q ＝32.]16．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＞0时，xf ′(x )＞f (x )，若f (2)＝0，则2f (3)________3f (2)(填“＞”“＜”)不等式x ·f (x )＞0的解集为________．(本题第一空2分，第二空3分)＞ (－2，0)∪(2，＋∞)[由题意，令g (x )＝f (x )x ，∵x ＞0时，g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2＞0.∴g (x )在(0，＋∞)单调递增，∵f (x )x 在(0，＋∞)上单调递增，∴f (3)3＞f (2)2即2f (3)＞3f (2)．又∵f (－x )＝f (x )，∴g (－x )＝－g (x )，则g (x )是奇函数，且g (x )在(－∞，0)上递增，又g (2)＝f (2)2＝0，∴当0＜x ＜2时，g (x )＜0，当x ＞2时，g (x )＞0；根据函数的奇偶性，可得当－2＜x ＜0时，g (x )＞0，当x ＜－2时，g (x )＜0. ∴不等式x ·f (x )＞0的解集为{x |－2＜x ＜0或x ＞2}．]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在等差数列{}a n 中，已知a 1＝1，a 3＝－5.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}a n 的前k 项和S k ＝－25，求k 的值．[解](1)由题意，设等差数列{}a n 的公差为d ，则a n ＝a 1＋()n －1d ，因为a 1＝1，a 3＝－5，可得1＋2d ＝－5，解得d ＝－3，所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝1＋()n －1×()－3＝4－3n .(2)由(1)可知a n ＝4－3n ，所以S n ＝n [1＋(4－3n )]2＝－32n 2＋52n ，又由S k ＝－25，可得－32k 2＋52k ＝－25，即3k 2－5k －50＝0，解得k ＝5或k ＝－103，又因为k ∈N *，所以k ＝5.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2.(1)求f (x )的单调区间；(2)函数g (x )＝23x 3－16(x ＞0)，求证：a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．[解](1)f ′(x )＝a x ＋x (x ＞0)，若a ≥0，则f ′(x )＞0，f (x )在 (0，＋∞)上单调递增；若a ＜0，令f ′(x )＝0，解得x ＝±－a ，由f ′(x )＝(x －－a )(x ＋－a )x ＞0，得x ＞－a ，由f ′(x )＜0，得0＜x ＜－a .从而f (x )的单调递增区间为(－a ，＋∞)，单调递减区间为(0，－a )． (2)证明：令φ(x )＝f (x )－g (x )，当a ＝1时，φ(x )＝ln x ＋12x 2－23x 3＋16(x ＞0)，则φ′(x )＝1x ＋x －2x 2＝1＋x 2－2x 3x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x. 令φ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0，φ(x )单调递增；当x ＞1时，φ′(x )＜0，φ(x )单调递减．∴当x ＝1时，φ(x )取得最大值φ(1)＝12－23＋16＝0，∴φ(x )≤0，即f (x )≤g (x )．故a ＝1时f (x )的图象不在g (x )的图象的上方．19．(本小题满分12分)已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)若数列{}b n 满足b n ＝log 3a n ＋1，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .[解](1)由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，2S n －1＝3a n －1－1()n ≥2.两式相减并整理得，a n ＝3a n －1()n ≥2.令n ＝1，由2S n ＝3a n －1()n ∈N ＋得，a 1＝1.故{}a n 是以1为首项，公比为3的等比数列，因此a n ＝3n －1()n ∈N ＋.(2)由b n ＝log 3a n ＋1，结合a n ＝3n －1得，b n ＝n .则1b n b n ＋1＝1n ()n ＋1＝1n －1n ＋1 故T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1. 20．(本小题满分12分)某旅游景点预计2019年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12)．已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 35－2x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，160x (x ∈N *，且7≤x ≤12).(1)写出2019年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：万人)与x 的函数关系式；(2)问2019年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少元？[解](1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x )＝－3x 2＋40x ，验证x ＝1也满足此式，所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12)．(2)第x 个月旅游消费总额(单位：万元)为g (x )＝⎩⎨⎧ (－3x 2＋40x )(35－2x )(x ∈N *，且1≤x ≤6)，(－3x 2＋40x )·160x (x ∈N *，且7≤x ≤12)，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6x 3－185x 2＋1 400x (x ∈N *，且1≤x ≤6)，－480x ＋6 400(x ∈N *，且7≤x ≤12). (i)当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去)．当1≤x ＜5时，g ′(x )＞0，当5＜x ≤6时，g ′(x )＜0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125.(ii)当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数，∴当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3 040.综上，2019年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列．(1)求数列{a n b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解](1)∵a n ＝3n －1，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9.∵在等差数列{b n }中，b 1＋b 2＋b 3＝15，∴3b 2＝15，则b 2＝5.设等差数列{b n }的公差为d ，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2.∵b n >0，∴d ＝－10应舍去，∴d ＝2，∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1.故a n b n＝(2n＋1)·3n－1.(2)由(1)知T n＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①3T n＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)3n－1＋(2n＋1)3n，②①－②，得－2T n＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－(2n＋1)×3n ＝3＋2×(3＋32＋33＋…＋3n－1)－(2n＋1)×3n＝3＋2×3－3n1－3－(2n＋1)×3n＝3n－(2n＋1)×3n＝－2n·3n.∴T n＝n·3n.22．(本小题满分12分)设函数f (x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f (x)的极值点；(2)若关于x的方程f (x)＝a有3个不同实根，某某数a的取值X围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立，某某数k的取值X围．[解](1)f ′(x)＝3(x2－2)，令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝ 2.当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f ′(x)＞0，当x∈(－2，2) 时，f ′(x)＜0，因此x1＝－2，x2＝2分别为f (x)的极大值点、极小值点．(2)由(1)的分析可知y＝f (x)图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y＝a 与y＝f (x)的图象有3个不同交点需5－42＝f (2)＜a＜f (－2)＝5＋4 2.则方程f (x)＝a有3个不同实根时，所某某数a的取值X围为(5－42，5＋42)．(3)法一：f (x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)，因为x＞1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立，令g(x)＝x2＋x－5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)＞g(1)＝－3，所以所求k的取值X围是为(－∞，－3]．法二：直线y＝k(x－1)过定点(1，0)且f (1)＝0，曲线f (x)在点(1，0)处切线斜率f ′(1)＝－3，由(2)中图知要使x∈(1，＋∞)时，f (x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.故实数k的取值X围为(－∞，－3]．。

新人教版(2019A 版)高中数学必修第二册综合测试卷(时间:120分钟 分值:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.若复数z =2i3-i ,则z 的共轭复数z =( ) A.-15-35I B.-15+35I C.15+35I D.15-35i 答案:A2.某公司生产三种型号的轿车,其中型号Ⅰ的轿车的月产量为 1 200辆,型号Ⅱ的轿车的月产量为6 000辆,型号Ⅲ的轿车的月产量为2 000辆,现用分层抽样的方法抽取92辆车进行检验,则型号Ⅲ的轿车应抽取( )A.12辆B.36辆C.20辆D.60辆答案:C3.2010-2018年之间,受益于基础设施建设对光纤产品的需求,以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级,电动汽车及物联网等新机遇,连接器行业发展较快.2010-2018年全球连接器营收情况如图所示,根据折线图,下列结论正确的个数为 ( )①每年的营收额逐年增长;②营收额增长最快的一年为2013-2014年;③2010-2018年的营收额增长率约为40%;④2014-2018年每年的营收额相对于2010-2014年每年的营收额,变化比较平稳.A.1B.2C.3D.4答案:C4.已知小张每次射击命中十环的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率,先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定2,4,6,8表示命中十环,0,1,3,5,7,9表示未命中十环,再以每三个随机数为一组,代表三次射击的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506 318 230 113 507 965据此估计,小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为( )A.0.25B.0.3C.0.35D.0.4答案:B5.盒子中有若干个大小和质地完全相同的红球和黄球,从中任意取出2个球,都是红球的概率为328,都是黄球的概率为514,则从盒子中任意取出2个球,恰好是同一颜色的概率为( )A.1328B.57C.1528D.37 答案:A6.某校篮球运动员进行投篮练习,若他前一球投进,则后一球投进的概率为34;若他前一球投不进,则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34,则他第3球投进的概率为( ) A.34 B.58 C.116 D.916 答案:D7.已知数据x 1,x 2,x 3的中位数为k ,众数为m ,平均数为n ,方差为p ,下列说法中,错误的是( )A.数据2x 1,2x 2,2x 3的中位数为2kB.数据2x 1,2x 2,2x 3的众数为2mC.数据2x 1,2x 2,2x 3的平均数为2nD.数据2x 1,2x 2,2x 3的方差为2p答案:D8.一个圆柱的轴截面是正方形,如果这个圆柱的侧面积与一个球的表面积相等,那么圆柱的体积与球的体积之比为( )A.1∶3B.3∶1C.2∶3D.3∶2答案:D二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.如图,已知点O 为正六边形ABCDEF 的中心,下列结论中正确的是( )A.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0B.(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(EF ⃗⃗⃗⃗⃗ -DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0C.(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ D.|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CB⃗⃗⃗⃗⃗ | 答案:BC10.在发生公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下,一定符合该标志的是( )甲地:中位数为2,极差为5;乙地:总体平均数为2,众数为2;丙地:总体平均数为1,总体方差大于0;丁地:总体平均数为2,总体方差为3.A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地答案:AD11.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,以下四个选项正确的是( )A.D1C∥平面A1ABB1B.A1D1与平面BCD1相交C.AD⊥平面D1DBD.平面BCD1⊥平面A1ABB1答案:AD12.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b=c cos A,A的平分线交BC于点D,AD=1,cos A=18,以下结论正确的是()A.AC=34B.AB=8C.CDBD =1 8D.△ABD的面积为3√74答案:ACD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).14.从分别写有1,2,3,4,5的五张质地相同的卡片中,任取两张,这两.张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为2515.(本题第一空2分,第二空3分)随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位:cm),按照身高依次分成六组:[155,160),[160,165), [165,170),[170,175),[175,180),[180,185),并得到样本身高的频率分布直方图如图所示,则频率分布直方图中的x的值为0.06;若将身高区间[170,175),[175,180),[180,185)依次记为A,B,C三组,并用分层抽样的方法从这三组中抽取6人,则从A,B,C三组中依次抽取的人数为3,2,1.16.如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形, PA⊥平面ABC,PA=2 AB.则下列命题中正确的有②④.(填序号)①PB⊥AD;②平面PAB⊥平面PAE;③BC∥平面PAE;④直线PD 与平面ABC所成的角为45°.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为A1B,AC的中点.(1)证明:EF∥平面A1C1D;(2)求三棱锥C-A1C1D的体积.(1)证明:如图,连接BD.因为四边形ABCD为正方形,所以BD交AC于点F,且F为BD的中点.因为E为A1B的中点,所以EF∥A1D.因为EF⊄平面A1C1D,A1D⊂平面A1C1D,所以EF∥平面A1C1D.(2)解:三棱锥C-A1C1D的体积V=V棱锥A1-CC1D =13S△CC1D·A1D1=13×12×2×2×2=43.18.(12分)从含有两件正品a 1,a 2和一件次品b 1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出所有可能的结果组成的样本空间.(2)求取出的两件产品中,恰有一件次品的概率.解:(1)每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其所有可能的结果有6个,即Ω={(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 2,a 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.(2)用A 表示事件“取出的两件产品中,恰好有一件次品”,则A ={(a 1,b 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},所以P (A )=46=23. 19.(12分)某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍,为了合理配备资源,现对小区内读书者进行年龄调查, 随机抽取了一天中40名读书者进行调查,将他们的年龄分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到的频率分布直方图如图所示.(1)估计在这40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数;(2)求这40名读书者年龄的平均数和中位数;(3)从年龄在区间[20,40)上的读书者中任选两名,求这两名读书者年龄在区间[30,40)上的人数恰为1的概率.解:(1)由频率分布直方图知,年龄在区间[40,70)上的频率为(0.020+0.030+0.025)×10=0.75.所以40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数为40×0.75=30.(2)40名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+ 65×0.25+75×0.1=54.设40名读书者年龄的中位数为x,0.05+0.1+0.2+(x-50)×0.03=0.5,解得x=55,即40名读书者年龄的中位数为55岁.(3)年龄在区间[20,30)上的读书者有2人,分别记为a,b,年龄在区间[30,40)上的读书者有4人,分别记为A,B,C,D.从上述6人中选出2人,有如下样本点:(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),(A,B), (A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共15个,记选取的两名读书者中恰好有1人年龄在区间[30,40)上为事件A,则事件A包含8个样本点:(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C), (b,D),故P(A)=8.1520.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,已知3c2=16S+3(b2-a2).(1)求tan B 的值;(2)若S =42,a =10,求b 的值.解:(1)因为3c 2=16S +3(b 2-a 2),所以3(c 2+a 2-b 2)=16S ,即3×2ac cos B =16×12ac sin B , 所以3cos B =4sin B ,即tan B =34. (2)由(1)可得sin B =35,cos B =45, 所以S =12ac sin B =12×10c ×35=3c =42, 所以c =14.由余弦定理可得,45=100+196-b 22×10×14,整理可得,b =6√2.21.(12分)已知向量a ,b 满足|a |=|b |=1,|xa +b |=√3|a -xb |(x >0,x ∈R).(1)求a ·b 关于x 的解析式f (x );(2)求向量a 与b 夹角的最大值;(3)若a 与b 平行,且方向相同,试求x 的值. 解:(1)由题意得|xa +b |2=3|a -xb |2,即x 2a 2+2xa ·b +b 2=3a 2-6xa ·b +3x 2b 2. 因为|a |=|b |=1,所以8xa ·b =2x 2+2, 所以a ·b =x 2+14x (x >0),即f (x )=14(x +1x ) (x >0). (2)设向量a 与b 夹角为θ,则cos θ=a ·b |a ||b |=f (x )=14[(√x -√x )2+2], 当√x =√x ,即x =1时,cos θ有最小值12.因为0≤θ≤π,所以θmax =π3. (3)因为a 与b 平行,且方向相同,|a |=|b |=1,所以a =b ,所以a ·b =14(x +1x )=1, 解得x =2±√3.22.(12分)如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为菱形,AA 1⊥平面ABCD ,AC 与BD 交于点O ,∠BAD =60°,AB =2,AA 1=√6.(1)证明:平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1;(2)求二面角A -A 1C -B 的大小.(1)证明:由AA 1⊥平面ABCD ,得AA 1⊥BD ,AA 1⊥AC. 因为四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD.因为AC ∩AA 1=A ,所以BD ⊥平面ACC 1A 1.因为BD ⊂平面A 1BD ,所以平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1.(2)解:如图,过点O 作OE ⊥A 1C 于点E ,连接BE ,DE. 由(1)知BD ⊥平面ACC 1A 1,所以BD ⊥A 1C.因为OE ⊥A 1C ,OE ∩BD =O ,所以A 1C ⊥平面BDE ,所以A 1C ⊥BE. 因为OE ⊥A 1C ,BE ⊥A 1C ,所以∠OEB 为二面角A -A 1C -B 的平面角. 因为△ABD 为等边三角形且O 为BD 中点, 所以OB =12AB =1,OA =OC =√32AB =√3. 因为AA 1⊥AC ,所以A 1C =√AA 12+AC 2=3√2. 因为△A 1AC ∽△OEC ,所以OE AA 1=OC A 1C ,所以OE =OC ·AA 1A 1C =√3×√63√2=1. 在△OEB 中,OB ⊥OE ,所以tan ∠OEB =OBOE =1,即∠OEB =45°. 综上,二面角A -A 1C -B 的大小为45°.。

模块综合检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点A (3，－4)，B (－2，m )的直线l 的斜率为－2，则m 的值为( ) A ．6 B ．1 C ．2D ．4解析：选A 由题意知k AB ＝m ＋4－2－3＝－2，∴m ＝6. 2．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(1，－2)，5 B ．(1，－2)， 5 C ．(－1,2)，5D ．(－1,2)， 5解析：选D 圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，其圆心是(－1,2)，半径为 5. 3．在空间直角坐标系O ­xyz 中，点A 在z 轴上，它到点(22，5，1)的距离是13，则点A 的坐标是( )A ．(0,0，－1)B ．(0,1,1)C ．(0,0,1)D ．(0,0,13)解析：选C 由点A 在z 轴上，可设A (0,0，z )，∵点A 到点(22，5，1)的距离是13，∴(22－0)2＋(5－0)2＋(z －1)2＝13，解得z ＝1，故A 的坐标为(0,0,1)，故选C.4．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．x ＋3y －7＝0D ．x －2y ＋3＝0解析：选A 结合图形可知，所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线，其斜率为－12，直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.5．若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交解析：选D 由直线l 1和l 2是异面直线可知l 1与l 2不平行，故l 1，l 2中至少有一条与l 相交．6．若点P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0解析：选A 设圆心为C (1,0)，则AB ⊥CP ，∵k CP ＝－1，∴k AB ＝1，∴直线AB 的方程是y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0.7．某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π解析：选C 根据三视图知该几何体是由半球与圆锥构成，球的半径R ＝3，圆锥半径R ＝3，高为4，所以V 组合体＝V 半球＋V 圆锥＝12×43π×33＋13π×32×4＝30π.8．直线l ：y ＝kx －1与曲线y －2x －1＝12不相交，则k 的取值是( ) A.12或3 B.12C ．3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3 解析：选A 曲线y －2x －1＝12表示直线x －2y ＋3＝0(去掉点(1,2))，则直线l ：y ＝kx －1与曲线y －2x －1＝12不相交，即直线l 与x －2y ＋3＝0平行或直线l 过点(1,2)，所以k 的取值为12或3.9．在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，若AB ＝2，AA 1＝1，则点A 到平面A 1BC 的距离为( ) A.34 B.32C.334D. 3解析：选B 因为ABC ­A 1B 1C 1是正三棱柱，AB ＝2，所以底面三角形ABC 的面积为3，所以VA 1­ABC ＝13×3×1＝33.如图，在△A 1BC 中，A 1B ＝A 1C＝12＋22＝5，所以BC 边上的高为(5)2－1＝2，所以S △A 1BC ＝12×2×2＝2.设点A 到平面A 1BC 的距离为h ，所以13·S △A 1BC ·h ＝VA 1­ABC ，解得h ＝32.10．过点P (－2,4)作圆(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是( )A.285B.125C.85D.25解析：选B 直线l 1的斜率k ＝－a3，l 1∥l ，又l 过P (－2,4)，∴l 的直线方程为y －4＝－a3(x ＋2)，即ax ＋3y ＋2a －12＝0.又直线l 与圆相切， ∴|2a ＋3×1＋2a －12|a 2＋9＝5，∴a ＝－4，∴l 1与l 的距离为d ＝125.11．若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )所作的圆的切线长的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选C 将圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2，∴圆心C (－1,2)，半径r ＝ 2.∵圆C 关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，∴直线2ax ＋by ＋6＝0过圆心，将x ＝－1，y ＝2代入直线方程得－2a ＋2b ＋6＝0，即a ＝b ＋3.∵点(a ，b )与圆心的距离d ＝(a ＋1)2＋(b －2)2，∴由点(a ，b )向圆C 所作切线长l ＝d 2－r 2＝(a ＋1)2＋(b －2)2－2＝(b ＋4)2＋(b －2)2－2＝2(b ＋1)2＋16≥4，当且仅当b ＝－1时切线长最小，最小值为4. 12．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 由正视图和俯视图可知，该几何体是一个半球和一个半圆柱的组合体，圆柱的半径和球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为12×4πr 2＋πr ×2r ＋πr 2＋2r ×2r ＝5πr 2＋4r 2＝16＋20π，解得r ＝2，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若直线l 1：ax ＋y ＋2a ＝0与l 2：x ＋ay ＋3＝0互相平行，则实数a ＝________.解析：由两直线平行的条件A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0得⎩⎨⎧a 2－1＝0，3a －2a ≠0，得a ＝±1.答案：±114．(2018·全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2. 答案：2 215．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝________.解析：由直线与圆的位置及圆的性质，可求得圆心(0,0)到直线3x －4y ＋5＝0的距离为r2，∴|5|32＋42＝r2，∴r ＝2. 答案：216．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A ­BD ­C ，有如下三个结论． ①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面BCD 成60°的角． 说法正确的命题序号是________．解析：如图所示，①取BD 中点E ，连接AE ，CE ，则BD ⊥AE ，BD ⊥CE ，而AE ∩CE ＝E ，∴BD ⊥平面AEC ，AC ⊂平面AEC ，故AC ⊥BD ，故①正确．②设正方形的边长为a ，则AE ＝CE ＝22a .由①知∠AEC 是直二面角A ­BD ­C 的平面角，∴∠AEC ＝90°，∴AC ＝a ，∴△ACD 是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE ⊥平面BCD ，故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角，而∠ABE ＝45°，所以③不正确．答案：①②三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知两条直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m 、n 的值，使(1)l 1与l 2相交于点(m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1. 解：(1)因为l 1与l 2相交于点(m ，－1)，所以点(m ，－1)在l 1、l 2上，将点(m ，－1)代入l 2，得2m －m －1＝0，解得m ＝1. 又因为m ＝1，把(1，－1)代入l 1，所以n ＝7. 故m ＝1，n ＝7.(2)要使l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，m ×(－1)－2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.(3)要使l 1⊥l 2，则有m ·2＋8·m ＝0，得m ＝0. 则l 1为y ＝－n8，由于l 1在y 轴上的截距为－1， 所以－n8＝－1，即n ＝8.故m ＝0，n ＝8.18．(本小题满分12分)如图，长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示．(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6. 故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱， 所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确. 19．(本小题12分)如图，在直三棱柱ABC ­A1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.证明：(1)∵B 1C 1CB 为正方形，∴E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1中点，∴DE 为△B 1AC 的中位线，∴DE ∥AC ，又DE ⊄平面A 1C 1CA ，AC ⊂平面A 1C 1CA ，∴DE ∥平面AA 1C 1C .(2)在直三棱柱中，平面ACB ⊥平面B 1C 1CB ，又平面ACB ∩平面B 1C 1CB ＝BC ，AC ⊂平面ABC ，且AC ⊥BC ，∴AC ⊥平面B 1C 1CB ， ∴AC ⊥BC 1， 又B 1C 1CB 为正方形， ∴B 1C ⊥BC 1，AC ∩B 1C ＝C ，∴BC 1⊥平面ACB 1，又AB 1⊂平面ACB 1，∴BC 1⊥AB 1.20．(本小题满分12分)已知直线x －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋m ＝0交于A ，B 两点．(1)求线段AB 的垂直平分线的方程； (2)若|AB |＝22，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求过点P (4,4)的圆C 的切线方程．解：(1)由题意，线段AB 的垂直平分线经过圆心(2,1)，斜率为－1， ∴该直线方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0.(2)圆x 2＋y 2－4x －2y ＋m ＝0可化为(x －2)2＋(y －1)2＝－m ＋5. ∵|AB |＝22，∴圆心到直线的距离为－m ＋5－2＝3－m . ∵圆心(2,1)到直线的距离为d ＝|2－1＋1|2＝2，∴3－m ＝2， ∴m ＝1.(3)由题意，知圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0，即(x －2)2＋(y －1)2＝4.则点P (4,4)在圆外，过点P 的圆C 的切线有两条．①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －4)，即kx －y －4k ＋4＝0. 由圆心到切线的距离等于半径，得|2k －1－4k ＋4|k 2＋1＝2，解得k ＝512，所以所求切线的方程为5x －12y ＋28＝0.②当所求切线的斜率不存在时，切线方程为x ＝4. 综上，所求切线的方程为x ＝4或5x －12y ＋28＝0.21．(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F ，G ，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系，并证明你的结论； (3)证明：直线DF ⊥平面BEG . 解：(1)点F ，G ，H 的位置如图所示．(2)平面BEG ∥平面ACH .证明如下：因为ABCD ­EFGH 为正方体，所以BC ∥FG ，BC ＝FG . 又FG ∥EH ，FG ＝EH ，所以BC ∥EH ，BC ＝EH ， 于是四边形BCHE 为平行四边形， 所以BE ∥CH .又CH ⊂平面ACH ，BE ⊄平面ACH ， 所以BE ∥平面ACH . 同理BG ∥平面ACH . 又BE ∩BG ＝B ，所以平面BEG ∥平面ACH .(3)证明：连接FH ，与EG 交于点O ，连接BD . 因为ABCD ­EFGH 为正方体， 所以DH ⊥平面EFGH .因为EG ⊂平面EFGH ，所以DH ⊥EG .又EG ⊥FH ，DH ∩FH ＝H ，所以EG ⊥平面BFH D. 又DF ⊂平面BFHD ，所以DF ⊥EG . 同理DF ⊥BG . 又EG ∩BG ＝G ， 所以DF ⊥平面BEG .22．(本小题满分12分)已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，3t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆过原点O .(1)设直线3x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程；(2)在(1)的条件下，设B (0,2)，且P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，求|PQ |－|PB |的最大值及此时点P 的坐标．解：(1)∵|OM |＝|ON |，∴原点O 在线段MN 的垂直平分线上．设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C ，H ，O 三点共线． ∵直线MN 的方程是3x ＋y －4＝0，∴直线OC 的斜率k ＝3t t ＝3t 2＝13，解得t ＝3或t ＝－3，∴圆心为C (3,1)或C (－3，－1)．∴圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝10.由于当圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝10时，圆心到直线3x ＋y －4＝0的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去．∴圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.(2)由题意可知|PQ |－|PB |≤|BQ |，当B ，P ，Q 三点共线时，等号成立． 又B ，C ，Q 三点共线且|BQ |＝|BC |＋|CQ |时|BQ |最大， 此时|BQ |＝|BC |＋10＝210.∵B (0,2)，C (3,1)，∴直线BC 的方程为y ＝－13x ＋2，∴直线BC 与直线x ＋y ＋2＝0的交点的坐标为(－6,4)． 故|PQ |－|PB |的最大值为210，此时点P 的坐标为(－6,4)．。