题后反思 由函数零点与方程根的存在情况求 参数的值或取值范围问题,关键是利用函数与 方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方 程或不等式求解.
热点训练
2:已知函数
f(x)=
x 1, x 0, x2 2x 1,
x
0,
若关于
x
的方程
f2(x)-af(x)=0 恰有 5 个不同的实数解,则 a 的取值范围是( )
热点训练 3:某地发生地质灾害,使当地的自来水受到了污染,某部门对水质 检测后,决定在水中投放一种药剂来净化水质,已知每投放质量为 m 的药剂后, 经过 x 天该药剂在水中释放的浓度 y(毫克/升)满足 y=mf(x),其中
f(x)=
x2 16
2, 0
x
4,
当药剂在水中的浓度不低于
x
x 1
()
(A)(1,2) (B)(2,3)
(C)(3,4) (D)(1,2)与(2,3)
(2)(2014
浙江建人高复月考)已知函数
f(x)=
x 1 a, log3 x, x
x0 0，
有
三个不同零点,则实数 a 的取值范围为
.
解析:(1)f(x)= 2 +ln 1 = 2 -ln(x-1)在定义域(1,+∞)内为减函数, x x 1 x
2
4
(C)(-∞, 1 )∪( 1 ,+∞)(D)(-1,- 3 )∪[ 1 ,+∞)
4
4
4
4
审题策略:由定义的新运算“⊗ ”得到函数 f(x)的解析式,函数 y=f(x)-c 的零点即相应方程 f(x)=c 的根,也就是函数 y=f(x) 的图象与函数 y=c 的图象的交点.
解析:当(x2-2)-(x-x2)≤1,
热点二 函数与方程的综合问题
【例 2】 已知函数 f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+ e2 (x>0). x
(1)若 h(x)=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. 解:(1)∵g(x)=x+ e2 ≥2 e2 =2e(x>0),
(A)(0,1) (B)(0,2) (C)(1,2) (D)(0,3)
解析:设 t=f(x),则方程为 t2-at=0,解得 t=0 或
t=a,
即 f(x)=0 或 f(x)=a. 作出函数 f(x)的图象.如图. 由函数图象,可知 f(x)=0 的解有两个,故要使
方程 f2(x)-af(x)=0 恰有 5 个不同的解,则方程
(1)求θ 关于x的函数关系式; (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的 装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛 的面积与装饰总费用的比为y,求y关于x的函数关系式,并 求出x为何值时,y取得最大值?
解:(1)由题意得 30=θ(10+x)+2(10-x),
所以θ= 10 2x . 10 x
(2)由
y=m·f(x)=
mx2 16
mx
2x
2m0 14 x
2
x
4,
4
得
当 0<x≤4 时,y= mx2 +2m 在区间(0,4]上单调递增, 16
即 2m<y≤3m;
当 x>4 时,y= m · x 1 15 = m (1+ 15 ).
(1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试 问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.
解:(1)令 y=0,得 kx- 1 (1+k2)x2=0, 20
由实际意义和题设条件知 x>0,k>0,
故 x= 20k = 20 ≤ 20 =10,当且仅当 k=1 时取等号. 1 k2 1 1 2 k
当 1<x<2 时,ln(x-1)<0, 2 >0, x
所以 f(x)>0,故函数在(1,2)上没有零点.
f(2)= 2 -ln 1=1>0, 2
f(3)= 2 -ln 2= 2 3ln 2 = 2 ln 8 = 2 ln e ln 8 .
3
3
3
3
因为 8 =2 2 ≈2.828>e,所以 ln e<ln 8 ,即 f(3)<0,
2
所以函数零点个数即 y=|log2x|与 y=( 1 )x 的交点个数, 2
如图由两函数图象知交点个数为 2,所以 f(x)的零点个 数为 2.故选 B.
2.(2013高考重庆卷,理6)若a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两 个零点分别位于区间( A ) (A)(a,b)和(b,c)内 (B)(-∞,a)和(a,b)内 (C)(b,c)和(c,+∞)内 (D)(-∞,a)和(c,+∞)内 解析:∵a<b<c,∴f(a)=(a-b)(a-c)>0, f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0, ∴f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,故选A.
热点训练 1:(1)函数 f(x)=(x2-3x-4)ln(x-4)的零点 为( ) (A)5 (B)4,5 (C)-1,4,5 (D)-1,5
(2)已知
f(x)=
ex ln
x x2
2, x 0, x 1 ,x
0,
则函数的零点
个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
2Leabharlann x 1 2 x 1∴函数在区间(4,7]上单调递减,即 7m ≤y<3m, 4
综上知, 7m ≤y≤3m, 4
为使 4≤y≤10 恒成立,
只要 7m ≥4 且 3m≤10 即可, 4
即 16 ≤m≤ 10 .
7
3
所以应该投放的药剂量 m 的最小值为 16 . 7
思想方法
例释法 知策略
数形结合思想在求函数零点问题中的应用
∵f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2. ∴其对称轴 x=e,f(x)max=m-1+e2. 若函数 f(x)与 g(x)的图象有两个交点. 必须有 m-1+e2>2e,即 m>-e2+2e+1. 即 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. ∴m 的取值范围是(-e2+2e+1,+∞).
4(毫克/升)时称为有效
x 14 2x 2
,
x
4,
净化;当药剂在水中释放的浓度不低于 4(毫克/升)且不高于 10(毫克/升)时 称为最佳净化. (1)如果投放的药剂质量为 m=4,试问自来水达到有效净化一共可持续几天? (2)如果投放药剂质量为 m,为了使在 7 天(从投放药剂算起包括 7 天)之内的 自来水达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量 m 的最小值.
x
当且仅当 x= e2 时取等号.∴当 x=e 时,g(x)有最小值 2e. x
因此 h(x)=g(x)-m 有零点,只需 m≥2e. ∴当 m∈[2e,+∞)时,g(x)=m 有零点.
(2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根.
则函数 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点.
如图所示,作出函数 g(x)=x+ e2 (x>0)的大致图象. x
根据零点存在的判断方法,可知函数 f(x)在(2,3)上必存在一个零点,
故选 B.
(2)由题意可知|x+1|-a=0(x≤0)有两个不相等的 实根,即 y=|x+1|(x≤0)与 y=a 的图象有两个交点, 结合 y=|x+1|的图象可知 0<a≤1.
答案:(1)B (2)(0,1]
题后反思 (1)确定函数零点存在区间及个数的方法: 一是利用零点存在的判定定理,二是利用数形结合. 当方程两端所对应的函数类型不同或对应的函数解 析式为绝对值、分式、指数、对数及三角函数式时, 常用数形结合法求解. (2)利用函数零点情况求参数取值(范围)的方法: ①利用函数零点存在的判定定理构建不等式求解. ②分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解. ③转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题,从而 构建不等式求解.
【典例】 (2013 沈阳市质量监测三)对实数 a 与 b,定义新运算
“⊗”:a⊗b=
a,a b,a
b b
1, 1,
设函数
f(x)=(x2-2)⊗(x-x2),x∈R.若函数
y=f(x)-c 的零点恰有两个,则实数 c 的取值范围是( )
(A)(-∞,-2]∪(-1, 3 ) (B)(-∞,-2]∪(-1,- 3 )
f(x)=a 的解必有三个,此时 0<a<1,所以 a 的取
值范围是(0,1).故选 A.
热点三 函数的实际应用 【例3】 (2014苏北四市统考)某单位拟建一个扇 环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直 线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米,其中 大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半 径为x米,圆心角为θ (弧度).
解析:(1)函数 y=f(x)的定义域为(4,+∞), 由 x2-3x-4=0 得 x=-1(舍去)或 x=4(舍去). 由 ln(x-4)=0 得 x=5.故选 A.
