下载文档原格式
2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合P=，Q=，则P=A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.2.已知互相垂直的平面交于直线l，若直线m,n满足，则A. B. C. D.3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=A. B.4 C. D.64.命题“使得”的否定形式是A.使得B.使得C.使得D.使得5.设函数，则的最小正周期A.与b有关，且与c有关B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关6.如图，点列分别在某锐角的两边上，且，，，.（表示点P与Q不重合）若，为的面积，则A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列7.已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则A.且B.且C.且D.且8.已知实数.A.若则B.若则C.若则D.若则二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
9.若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是.10.已知，则A=，b=.11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3.12.已知，若，则a=，b=.13.设数列的前n项和为，若，则=，=.14.如图，在中，AB=BC=2，.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD 的体积的最大值是.15.已知向量a ，b ，|a|=1，|b|=2，若对任意单位向量e ，均有|a ・e|+|b ・e|，则a ・b的最大值是.三、解答题：本大题共5小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本题满分14分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2cos b c a B（Ⅰ）证明：2A B（Ⅱ）若ABC的面积24aS，求角A 的大小.17.（本题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF 中，已知平面BCFE 平面ABC ，90ACB ，1BEEF EC ，2BC ，3AC，（Ⅰ）求证：ACFDBF平面（Ⅱ）求二面角B-AD-C 的余弦值.18. （本题满分15分）设3a，函数2()min{2|1|,242}F x x xax a ,其中（Ⅰ）求使得等式2()242F x xax a 成立的x 的取值范围（Ⅱ）（i ）求()F x 的最小值()m a （ii ）求()F x 在[0,6]上的最大值()M a 19.（本题满分15分）如图，设椭圆C:2221(1)x ya a（Ⅰ）求直线1y kx 被椭圆截得到的弦长（用a,k 表示）（Ⅱ）若任意以点(0,1)A 为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围.20、（本题满分15分）设数列满足1||12n na a ，（Ⅰ）求证：11||2(||2)(*)n n a a n N （Ⅱ）若3||()2nn a ，*nN ，证明：||2n a ，*nN .浙江数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。
2016年普通高等学校招生全国统一考试 (浙江卷)理科数学第Ⅰ卷一、选择题1．(2016·浙江，1)已知集合P ＝{x ∈R |1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R |x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( ) A ．[2,3] B ．(－2,3]C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)2．(2016·浙江，2)已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( ) A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥lD ．m ⊥n3．(2016·浙江，3)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0 中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( )A ．2 2B ．4C ．3 2D ．64．(2016·浙江，4)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 25．(2016·浙江，5)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( ) A ．与b 有关，且与c 有关 B ．与b 有关，但与c 无关 C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关6．(2016·浙江，6)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n }是等差数列7．(2016·浙江，7)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( ) A ．m ＞n 且e 1e 2＞1 B ．m ＞n 且e 1e 2＜1 C ．m ＜n 且e 1e 2＞1D ．m ＜n 且e 1e 2＜18．(2016·浙江，8)已知实数a ，b ，c ，( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100第Ⅱ卷二、填空题9．(2016·浙江，9)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________． 10．(2016·浙江，10)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________.11．(2016·浙江，11)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是______cm 2，体积是________cm 3.12．(2016·浙江，12)已知a ＞b ＞1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.13．(2016·浙江，13)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝______，S 5＝______.14．(2016·浙江，14)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是________．15．(2016·浙江，15)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________． 三、解答题16．(2016·浙江，16)(本题满分14分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．17．(2016·浙江，17)(本题满分15分)如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；(2)求二面角B-AD-F 的平面角的余弦值．18．(2016·浙江，18)(本题满分15分)已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p ＞q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )；②求F (x )在区间[0,6]上的最大值M (a )．19．(2016·浙江，19)(本题满分15分)如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围． 20．(2016·浙江，20)(本题满分15分)设数列{a n }满足|a n －a n ＋12|≤1，n ∈N *. (1)证明：|a n |≥2n －1(|a 1|－2)，n ∈N *；(2)若|a n |≤⎝⎛⎭⎫32n ，n ∈N *，证明：|a n|≤2，n ∈N *.答案解析1.解析 由已知得Q ＝{x |x ≥2或x ≤－2}．∴∁R Q ＝(－2,2)．又P ＝[1,3]，∴P ∪∁R Q ＝[1,3]∪(－2,2)＝(－2,3]． 答案 B2.解析 由已知，α∩β＝l ，∴l ⊂β，又∵n ⊥β，∴n ⊥l ，C 正确．故选C. 答案 C3.解析 已知不等式组表示的平面区域如图中△PMQ 所示．因为l 与直线x ＋y ＝0平行．所以区域内的点在直线x ＋y －2上的投影构成线段AB ，则|AB |＝|PQ |.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0，解得P (－1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0 解得Q (2，－2)．所以|AB |＝|PQ |＝(－1－2)2＋(1＋2)2＝3 2. 答案 C4.解析 原命题是全称命题，条件为∀x ∈R ，结论为∃n ∈N *，使得n ≥x 2，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D 选项符合． 答案 D5.解析 因为f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ＝－cos 2x 2＋b sin x ＋c ＋12，其中当b ＝0时，f (x )＝－cos 2x 2＋c ＋12，f (x )的周期为π；b ≠0时，f (x )的周期为2π.即f (x )的周期与b 有关但与c 无关，故选B. 答案 B6.解析 作A 1C 1，A 2C 2，A 3C 3，…，A n C n 垂直于直线B 1B n ，垂足分别为C 1，C 2，C 3，…，C n ，则A 1C 1∥A 2C 2∥…∥A n C n .∵|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，∴|C n C n ＋1|＝|C n ＋1C n ＋2|. 设|A 1C 1|＝a ，|A 2C 2|＝b ，|B 1B 2|＝c ，则|A 3C 3|＝2b －a ，…，|A n C n |＝(n －1)b －(n －2)a (n ≥3)，∴S n ＝12c [(n －1)b －(n －2)a ]＝12c [(b －a )n ＋(2a －b )]，∴S n ＋1－S n ＝12c [(b －a )(n ＋1)＋(2a －b )－(b －a )n －(2a －b )]＝12c (b －a )，∴数列{S n }是等差数列． 答案 A7.解析 由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2， 又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n .又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1. 答案 A8.解析 由于此题为选择题，可用特值排除法找正确选项． 对选项A ，当a ＝b ＝10，c ＝－110时，可排除此选项； 对选项B ，当a ＝10，b ＝－100，c ＝0时，可排除此选项； 对选项C ，当a ＝10，b ＝－10，c ＝0时，可排除此选项． 故选D. 答案 D9.解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)．准线为x ＝－1，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线x ＝－1的距离也为10，故M 的横坐标满足x M ＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M 到y 轴的距离为9. 答案 910.解析 ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1 ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，∴A ＝2，b ＝1. 答案2 111.解析 由三视图可知，该几何体为两个相同长方体的组合，长方体的长、宽、高分别为4 cm 、2 cm 、2 cm ，其直观图如下：其体积V ＝2×2×2×4＝32(cm 3)，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为S ＝2(2×2×2＋2×4×4)－2×2×2＝2×(8＋32)－8＝72(cm 2)． 答案 72 3212.解析 设log b a ＝t ，则t ＞1，因为t ＋1t ＝52，解得t ＝2，所以a ＝b 2，①因此a b ＝b a ⇒b 2b＝2b b ，②解得b ＝2，a ＝4. 答案 4 213.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2a 1＋1，a 2＋a 1＝4，解得a 1＝1，a 2＝3，当n ≥2时，由已知可得： a n ＋1＝2S n ＋1，① a n ＝2S n －1＋1，②①－②得a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n ，又a 2＝3a 1， ∴{a n }是以a 1＝1为首项，公比q ＝3的等比数列． ∴S 5＝1－1×351－3＝121.答案 1 12114.解析 设PD ＝DA ＝x ，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°， ∴AC ＝AB 2＋BC 2－2·AB ·BC ·cos ∠ABC ＝4＋4－2×2×2×cos 120°＝23，∴CD ＝23－x ，且∠ACB ＝12(180°－120°)＝30°，∴S △BCD ＝12BC ·DC ×sin ∠ACB ＝12×2×(23－x )×12＝12(23－x )．要使四面体体积最大，当且仅当点P 到平面BCD 的距离最大，而P 到平面BCD 的最大距离为x .则V 四面体PBCD ＝13×12(23－x )x ＝16[－(x －3)2＋3]，由于0＜x ＜23，故当x ＝3时，V 四面体PBCD 的最大值为16×3＝12.答案 1215.解析 由已知可得：6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |， 由于上式对任意单位向量e 都成立． ∴6≥|a ＋b |成立．∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b . 即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.答案 1216.(1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)解 由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，由sin B ≠0，得sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.17.(1)证明 延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．因为平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ，所以，AC ⊥平面BCFE ，因此BF ⊥AC . 又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK ， 且CK ∩AC ＝C ， 所以BF ⊥平面ACFD .(2)解 方法一 过点F 作FQ ⊥AK 于Q ，连接BQ . 因为BF ⊥平面ACFD ，所以BF ⊥AK ， 则AK ⊥平面BQF ，所以BQ ⊥AK . 所以∠BQF 是二面角B-AD-F 的平面角． 在Rt △ACK 中，AC ＝3，CK ＝2，得FQ ＝31313.在Rt △BQF 中，FQ ＝31313，BF ＝3，得cos ∠BQF ＝34. 所以，二面角B-AD-F 的平面角的余弦值为34. 方法二 如图，延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，则△BCK 为等边三角形．取BC 的中点O ，连接KO ，则KO ⊥BC ，又平面BCFE ⊥平面ABC ，所以KO ⊥平面ABC . 以点O 为原点，分别以射线OB ，OK 的方向为x 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz .由题意得B (1,0,0)，C (－1,0,0)，K (0,0，3)，A (－1，－3，0)，E ⎝⎛⎫12，0，32，F ⎝⎛⎭⎫－12，0，32.因此，AC →＝(0,3,0)，AK →＝(1,3，3)，AB →＝(2,3,0)．设平面ACK 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABK 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧AC →·m ＝0，AK →·m ＝0，得⎩⎨⎧3y 1＝0，x 1＋3y 1＋3z 1＝0，取m ＝(3，0，－1)；由⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，AK →·n ＝0，得⎩⎨⎧2x 2＋3y 2＝0，x 2＋3y 2＋3z 2＝0，取n ＝(3，－2，3)．于是，cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝34.所以，二面角B-AD-F 的平面角的余弦值为34. 18.解 (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )＞0， 当x ＞1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．所以，使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围是[2,2a ]．(2)①设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2，则f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2，所以，由F (x )的定义知m (a )＝min {}f (1)，g (a )，即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a ＞2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )≤f (x )≤max {}f (0)，f (2)＝2＝F (2)． 当2<x ≤6时，F (x )≤g (x )≤max {}g (2)，g (6) ＝max {}2，34－8a ＝max {}F (2)，F (6). 当a ≥4时，34－8a ≤2； 当3≤a <4时，34－8a >2，所以M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a ＜4，2，a ≥4.19.解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0， 故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k 2，因此|AM |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2. 由(1)知|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由于k 1≠k 2，k 1，k 2＞0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝⎛⎭⎫1k 21＋1⎝⎛⎭⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)，① 因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2. 因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2， 由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0<e ≤22.所以离心率的取值范围是(0，22)． 20.证明 (1)由⎪⎪⎪⎪a n －a n ＋12≤1得|a n |－12|a n ＋1|≤1，故|a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1≤12n ，n ∈N *， 所以|a 1|21－|a n |2n ＝⎝⎛⎭⎫|a 1|21－|a 2|22＋⎝⎛⎭⎫|a 2|22－|a 3|23＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n －1|2n －1－|a n |2n ≤121＋122＋…＋12n －1＜1， 因此|a n |≥2n －1(|a 1|－2)．(2)任取n ∈N *，由(1)知，对于任意m ＞n ，|a n |2n －|a m |2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n ＋1|2n ＋1－|a n ＋2|2n ＋2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a m －1|2m －1－|a m |2m ≤12n ＋12n ＋1＋…＋12m －1＜12n －1， 故|a n |＜⎝⎛⎭⎫12n －1＋|a m |2m ·2n ≤⎣⎡⎦⎤12n －1＋12m ·⎝⎛⎭⎫32m ·2n ＝2＋⎝⎛⎭⎫34m ·2n .从而对于任意m ＞n ，均有|a n |＜2＋⎝⎛⎭⎫34m ·2n . 由m 的任意性得|a n |≤2.① 否则，存在n 0∈N *，有|0n a |＞2，取正整数m 0＞0034||2log 2n n a -且m 0＞n 0，则02n ·⎝⎛⎭⎫340m ＜02n ·034||2log 23()4n a -＝|0n a |－2，与①式矛盾．综上，对于任意n ∈N *，均有|a n |≤2.。
2016年浙江省高考数学理试题及答案2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合P=，Q=，则P=（）A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.2.已知互相垂直的平面交于直线l，若直线m,n满足，则（）A. B. C. D.3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l 上的投影，由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（）A. B.4 C. D.64.命题“使得”的否定形式是（）A.使得B.使得C.使得D.使得5.设函数，则的最小正周期（）A.与b有关，且与c有关B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关6.如图，点列分别在某锐角的两边上，且，，，.（表示点P与Q不重合）学.科.网若，为的面积，则（）A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列7.已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则（）A.且B.且C.且D.且8.已知实数. （）A.若则B.若则C.若则D.若则二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
9.若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是 .10.已知，则A= ，b= .11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.12.已知，若，则a= ，b= .13.设数列的前n 项和为，若，则= ，= . 14.如图，在中，AB=BC=2，.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .15.已知向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，学.科.网若对任意单位向量e ，均有|a ·e |+|b ·e |，则a ·b 的最大值是 .三、解答题：本大题共5小题，共74分。
2016年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合P={x∈R|1≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}，则P∪（∁R Q）=（）A．[2，3]B．（﹣2，3]C．[1，2） D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）2．（5分）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（）A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n3．（5分）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（）A．2 B．4 C．3 D．64．（5分）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（）A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x25．（5分）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关6．（5分）如图，点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上，且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|，A n≠A n+1，n∈N*，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|，B n≠B n+1，n∈N*，（P≠Q表示点P与Q不重合）若d n=|A n B n|，S n为△A n B n B n+1的面积，则（）A．{S n}是等差数列B．{S n2}是等差数列C．{d n}是等差数列 D．{d n2}是等差数列7．（5分）已知椭圆C1：+y2=1（m＞1）与双曲线C2：﹣y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1 C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1 8．（5分）已知实数a，b，c．（）A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100B．若|a2+b+c|+|a2+b﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100C．若|a+b+c2|+|a+b﹣c2|≤1，则a2+b2+c2＜100D．若|a2+b+c|+|a+b2﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（4分）若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是．10．（6分）已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=，b=．11．（6分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3．12．（6分）已知a＞b＞1，若log a b+log b a=，a b=b a，则a=，b=．13．（6分）设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=4，a n+1=2S n+1，n∈N*，则a1=，S5=．14．（4分）如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P 和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是．15．（4分）已知向量，，||=1，||=2，若对任意单位向量，均有|•|+|•|≤，则•的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（Ⅰ）证明：A=2B（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．17．（15分）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．18．（15分）已知a≥3，函数F（x）=min{2|x﹣1|，x2﹣2ax+4a﹣2}，其中min （p，q）=（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）（ii）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）19．（15分）如图，设椭圆C：+y2=1（a＞1）（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用a，k表示）（Ⅱ）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．20．（15分）设数列满足|a n﹣|≤1，n∈N*．（Ⅰ）求证：|a n|≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）（Ⅱ）若|a n|≤（）n，n∈N*，证明：|a n|≤2，n∈N*．2016年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2016•浙江）已知集合P={x∈R|1≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}，则P∪（∁R Q）=（）A．[2，3]B．（﹣2，3]C．[1，2） D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）【分析】运用二次不等式的解法，求得集合Q，求得Q的补集，再由两集合的并集运算，即可得到所求．【解答】解：Q={x∈R|x2≥4}={x∈R|x≥2或x≤﹣2}，即有∁R Q={x∈R|﹣2＜x＜2}，则P∪（∁R Q）=（﹣2，3]．故选：B．2．（5分）（2016•浙江）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（）A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n【分析】由已知条件推导出l⊂β，再由n⊥β，推导出n⊥l．【解答】解：∵互相垂直的平面α，β交于直线l，直线m，n满足m∥α，∴m∥β或m⊂β或m与β相交，l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l．故选：C．3．（5分）（2016•浙江）在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P 在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（）A．2 B．4 C．3 D．6【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），区域内的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成线段R′Q′，即SAB，而R′Q′=RQ，由得，即Q（﹣1，1），由得，即R（2，﹣2），则|AB|=|QR|===3，故选：C4．（5分）（2016•浙江）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（）A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是：∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2．故选：D．5．（5分）（2016•浙江）设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，则f（x）的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关【分析】根据三角函数的图象和性质即可判断．【解答】解：∵设函数f（x）=sin2x+bsinx+c，∴c是图象的纵坐标增加了c，横坐标不变，故周期与c无关，当b=0时，f（x）=sin2x+bsinx+c=﹣cos2x++c的最小正周期为T==π，当b≠0时，f（x）=﹣cos2x+bsinx++c，∵y=cos2x的最小正周期为π，y=bsinx的最小正周期为2π，∴f（x）的最小正周期为2π，故f（x）的最小正周期与b有关，故选：B6．（5分）（2016•浙江）如图，点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上，且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|，A n≠A n+1，n∈N*，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|，B n≠B n+1，n∈N*，（P ≠Q表示点P与Q不重合）若d n=|A n B n|，S n为△A n B n B n+1的面积，则（）A．{S n}是等差数列B．{S n2}是等差数列C．{d n}是等差数列 D．{d n2}是等差数列【分析】设锐角的顶点为O，再设|OA1|=a，|OB1|=c，|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d，由于a，c不确定，判断C，D不正确，设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n，运用三角形相似知识，h n+h n+2=2h n+1，由S n=d•h n，可得S n+S n+2=2S n+1，进而得到数列{S n}为等差数列．【解答】解：设锐角的顶点为O，|OA1|=a，|OB1|=c，|A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d，由于a，c不确定，则{d n}不一定是等差数列，{d n2}不一定是等差数列，设△A n B n B n+1的底边B n B n+1上的高为h n，由三角形的相似可得==，==，两式相加可得，==2，即有h n+h n+2=2h n+1，由S n=d•h n，可得S n+S n+2=2S n+1，﹣S n+1=S n+1﹣S n，即为S n+2则数列{S n}为等差数列．故选：A．7．（5分）（2016•浙江）已知椭圆C1：+y2=1（m＞1）与双曲线C2：﹣y2=1（n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（）A．m＞n且e1e2＞1 B．m＞n且e1e2＜1 C．m＜n且e1e2＞1 D．m＜n且e1e2＜1【分析】根据椭圆和双曲线有相同的焦点，得到c2=m2﹣1=n2+1，即m2﹣n2=2，进行判断，能得m＞n，求出两个离心率，先平方进行化简进行判断即可．【解答】解：∵椭圆C1：+y2=1（m＞1）与双曲线C2：﹣y2=1（n＞0）的焦点重合，∴满足c2=m2﹣1=n2+1，即m2﹣n2=2＞0，∴m2＞n2，则m＞n，排除C，D则c2=m2﹣1＜m2，c2=n2+1＞n2，则c＜m．c＞n，e1=，e2=，则e1•e2=•=，则（e1•e2）2=（）2•（）2====1+=1+=1+＞1，∴e1e2＞1，故选：A．8．（5分）（2016•浙江）已知实数a，b，c．（）A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2＜100B．若|a2+b+c|+|a2+b﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100C．若|a+b+c2|+|a+b﹣c2|≤1，则a2+b2+c2＜100D．若|a2+b+c|+|a+b2﹣c|≤1，则a2+b2+c2＜100【分析】本题可根据选项特点对a，b，c设定特定值，采用排除法解答．【解答】解：A．设a=b=10，c=﹣110，则|a2+b+c|+|a+b2+c|=0≤1，a2+b2+c2＞100；B．设a=10，b=﹣100，c=0，则|a2+b+c|+|a2+b﹣c|=0≤1，a2+b2+c2＞100；C．设a=100，b=﹣100，c=0，则|a+b+c2|+|a+b﹣c2|=0≤1，a2+b2+c2＞100；故选：D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（4分）（2016•浙江）若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是9．【分析】根据抛物线的性质得出M到准线x=﹣1的距离为10，故到y轴的距离为9．【解答】解：抛物线的准线为x=﹣1，∵点M到焦点的距离为10，∴点M到准线x=﹣1的距离为10，∴点M到y轴的距离为9．故答案为：9．10．（6分）（2016•浙江）已知2cos2x+sin2x=Asin（ωx+φ）+b（A＞0），则A=，b=1．【分析】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案．【解答】解：∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+（cos2x+sin2x）=sin（2x+）+1，∴A=，b=1，故答案为：；1．11．（6分）（2016•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是72cm2，体积是32cm3．【分析】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm的小正方体所构成的，代入体积公式和面积公式计算即可．【解答】解：由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm的小正方体所构成的，则其表面积为22×（24﹣6）=72cm2，其体积为4×23=32，故答案为：72，3212．（6分）（2016•浙江）已知a＞b＞1，若log a b+log b a=，a b=b a，则a=4，b=2．【分析】设t=log b a并由条件求出t的范围，代入log a b+log b a=化简后求出t的值，得到a与b的关系式代入a b=b a化简后列出方程，求出a、b的值．【解答】解：设t=log b a，由a＞b＞1知t＞1，代入log a b+log b a=得，即2t2﹣5t+2=0，解得t=2或t=（舍去），所以log b a=2，即a=b2，因为a b=b a，所以b2b=b a，则a=2b=b2，解得b=2，a=4，故答案为：4；2．13．（6分）（2016•浙江）设数列{a n}的前n项和为S n，若S2=4，a n+1=2S n+1，n ∈N*，则a1=1，S5=121．【分析】运用n=1时，a1=S1，代入条件，结合S2=4，解方程可得首项；再由n =S n+1﹣S n，结合条件，计算即可得到所求和．＞1时，a n+1【解答】解：由n=1时，a1=S1，可得a2=2S1+1=2a1+1，又S2=4，即a1+a2=4，即有3a1+1=4，解得a1=1；由a n=S n+1﹣S n，可得+1S n+1=3S n+1，由S2=4，可得S3=3×4+1=13，S4=3×13+1=40，S5=3×40+1=121．故答案为：1，121．14．（4分）（2016•浙江）如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是．【分析】由题意，△ABD≌△PBD，可以理解为△PBD是由△ABD绕着BD旋转得到的，对于每段固定的AD，底面积BCD为定值，要使得体积最大，△PBD必定垂直于平面ABC，此时高最大，体积也最大．【解答】解：如图，M是AC的中点．①当AD=t＜AM=时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AE，DM=﹣t，由△ADE∽△BDM，可得，∴h=，V==，t∈（0，）②当AD=t＞AM=时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AH，DM=t﹣，由等面积，可得，∴，∴h=，∴V==，t∈（，2）综上所述，V=，t∈（0，2）令m=∈[1，2），则V=，∴m=1时，V max=．故答案为：．15．（4分）（2016•浙江）已知向量，，||=1，||=2，若对任意单位向量，均有|•|+|•|≤，则•的最大值是．【分析】根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论．【解答】解：由绝对值不等式得≥|•|+|•|≥|•+•|=|（+）•|，于是对任意的单位向量，均有|（+）•|≤，∵|（+）|2=||2+||2+2•=5+2•，∴|（+）|=，因此|（+）•|的最大值≤，则•≤，下面证明：•可以取得，（1）若|•|+|•|=|•+•|，则显然满足条件．（2）若|•|+|•|=|•﹣•|，此时|﹣|2=||2+||2﹣2•=5﹣1=4，此时|﹣|=2于是|•|+|•|=|•﹣•|x≤2，符号题意，综上•的最大值是，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）（2016•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（Ⅰ）证明：A=2B（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明A=2B（Ⅱ）若△ABC的面积S=，则bcsinA=，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB，∴sinB+sinC=2sinAcosB，∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）∵A，B是三角形中的角，∴B=A﹣B，∴A=2B；（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S=，∴bcsinA=，∴2bcsinA=a2，∴2sinBsinC=sinA=sin2B，∴sinC=cosB，∴B+C=90°，或C=B+90°，∴A=90°或A=45°．17．（15分）（2016•浙江）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，（Ⅰ）求证：BF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．【分析】（I）先证明BF⊥AC，再证明BF⊥CK，进而得到BF⊥平面ACFD．（II）方法一：先找二面角B﹣AD﹣F的平面角，再在Rt△BQF中计算，即可得出；方法二：通过建立空间直角坐标系，分别计算平面ACK与平面ABK的法向量，进而可得二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值．【解答】（I）证明：延长AD，BE，CF相交于点K，如图所示，∵平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，∴AC⊥平面BCK，∴BF⊥AC．又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2，∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK，∴BF⊥平面ACFD．（II）方法一：过点F作FQ⊥AK，连接BQ，∵BF⊥平面ACFD．∴BF⊥AK，则AK⊥平面BQF，∴BQ⊥AK．∴∠BQF是二面角B﹣AD﹣F的平面角．在Rt△ACK中，AC=3，CK=2，可得FQ=．在Rt△BQF中，BF=，FQ=．可得：cos∠BQF=．∴二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值为．方法二：如图，延长AD，BE，CF相交于点K，则△BCK为等边三角形，取BC的中点，则KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，∴KO⊥平面BAC，以点O为原点，分别以OB，OK的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．可得：B（1，0，0），C（﹣1，0，0），K（0，0，），A（﹣1，﹣3，0），，．=（0，3，0），=，=（2，3，0）．设平面ACK的法向量为=（x1，y1，z1），平面ABK的法向量为=（x2，y2，z2），由，可得，取=．由，可得，取=．∴==．∴二面角B﹣AD﹣F的余弦值为．18．（15分）（2016•浙江）已知a≥3，函数F（x）=min{2|x﹣1|，x2﹣2ax+4a﹣2}，其中min（p，q）=（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）（ii）求F（x）在[0，6]上的最大值M（a）【分析】（Ⅰ）由a≥3，讨论x≤1时，x＞1，去掉绝对值，化简x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|，判断符号，即可得到F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围；（Ⅱ）（i）设f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，求得f（x）和g（x）的最小值，再由新定义，可得F（x）的最小值；（ii）分别对当0≤x≤2时，当2＜x≤6时，讨论F（x）的最大值，即可得到F （x）在[0，6]上的最大值M（a）．【解答】解：（Ⅰ）由a≥3，故x≤1时，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2+2（a﹣1）（2﹣x）＞0；当x＞1时，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2﹣（2+2a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a），则等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围是[2，2a]；（Ⅱ）（i）设f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，则f（x）min=f（1）=0，g（x）min=g（a）=﹣a2+4a﹣2．由﹣a2+4a﹣2=0，解得a=2+（负的舍去），由F（x）的定义可得m（a）=min{f（1），g（a）}，即m（a）=；（ii）当0≤x≤2时，F（x）≤f（x）≤max{f（0），f（2）}=2=F（2）；当2＜x≤6时，F（x）≤g（x）≤max{g（2），g（6）}=max{2，34﹣8a}=max{F（2），F（6）}．则M（a）=．19．（15分）（2016•浙江）如图，设椭圆C：+y2=1（a＞1）（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长（用a，k表示）（Ⅱ）若任意以点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．【分析】（Ⅰ）联立直线y=kx+1与椭圆方程，利用弦长公式求解即可．（Ⅱ）写出圆的方程，假设圆A与椭圆有4个公共点，再利用对称性有解已知条件可得任意一A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，a的取值范围，进而可得椭圆的离心率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，可得：（1+a2k2）x2+2ka2x=0，得x1=0或x2=，直线y=kx+1被椭圆截得到的弦长为：=．（Ⅱ）假设圆A与椭圆有4个公共点，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|=|AQ|，记直线AP，AQ的斜率分别为：k1，k2；且k1，k2＞0，k1≠k2，由（1）可知|AP|=，|AQ|=，故：=，所以，（k12﹣k22）[1+k12+k22+a2（2﹣a2）k12k22]=0，由k1≠k2，k1，k2＞0，可得：1+k12+k22+a2（2﹣a2）k12k22=0，因此a2（a2﹣2）①，因为①式关于k1，k2；的方程有解的充要条件是：1+a2（a2﹣2）＞1，所以a＞．因此，任意点A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件为：1＜a＜，e==得，所求离心率的取值范围是：．20．（15分）（2016•浙江）设数列满足|a n﹣|≤1，n∈N*．（Ⅰ）求证：|a n|≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）（Ⅱ）若|a n|≤（）n，n∈N*，证明：|a n|≤2，n∈N*．【分析】（I）使用三角不等式得出|a n|﹣|a n+1|≤1，变形得﹣≤，使用累加法可求得＜1，即结论成立；（II）利用（I）的结论得出﹣＜，进而得出|a n|＜2+（）m•2n，利用m的任意性可证|a n|≤2．【解答】解：（I）∵|a n﹣|≤1，∴|a n|﹣|a n+1|≤1，∴﹣≤，n∈N*，∴=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）≤+++…+==1﹣≤1．∴|a n|≥2n﹣1（|a1|﹣2）（n∈N*）．（II）任取n∈N*，由（I）知，对于任意m＞n，﹣=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）≤++…+=＜．∴|a n|＜（+）•2n≤[+•（）m]•2n=2+（）m•2n．①由m的任意性可知|a n|≤2．否则，存在n0∈N*，使得|a|＞2，取正整数m0＞log且m0＞n0，则2•（）＜2•（）=|a|﹣2，与①式矛盾．综上，对于任意n∈N*，都有|a n|≤2．。
2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合P=，Q=，则P=A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.2.已知互相垂直的平面交于直线l，若直线m,n满足，则A.B. C. D.3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=A. B.4 C. D.64.命题“使得”的否定形式是A.使得B.使得C.使得D.使得5.设函数，则的最小正周期A.与b有关，且与c有关B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关6.如图，点列分别在某锐角的两边上，且，，，.（表示点P与Q不重合）学.科.网若，为的面积，则A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列7.已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则A.且B.且C.且D.且8.已知实数.A.若则B.若则C.若则D.若则二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
9.若抛物线上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是.10.已知，则A=，b=.11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是cm 2，体积是cm 3.12.已知，若，则a=，b=.13.设数列的前n 项和为，若 ，则=，=.14.如图，在中，AB=BC=2，.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是.15.已知向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，学.科.网若对任意单位向量e ，均有|a ·e |+|b ·e |，则a ·b 的最大值是.三、解答题：本大题共5小题，共74分。
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学(理科)本试卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至6页.满分150分，考试时间120分钟. 考生注意:1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别书写在试卷和答题纸规定的位置上.2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上书写作答，在本试卷上作答，一律无效.选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{13}P x x =∈R ≤≤，2{4}Q x x =∈R ≥，则()P Q =R( )A . []2,3B . (]2,3-C . [)1,2D . (][),21,-∞-+∞2．已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m α∥，n β⊥，则 ( ) A . m l ∥ B . m n ∥ C . n l ⊥D . m n ⊥2．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域20,0,340,x x y x y -⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段记为AB ，则||AB =( )A . 22B . 4C . 32D . 6 4．命题“*x n ∀∈∃∈R N ，，使得2n x >”的定义形式是( )A . *x n ∀∈∃∈R N ，，使得2n x <B . *x n ∀∈∀∈R N ，，使得2n x <C . *x n ∃∈∃∈R N ，，使得2n x <D . *x n ∃∈∀∈R N ，，使得2n x <5.设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期( )A . 与b 有关，且与c 有关B . 与b 有关，但与c 无关C . 与b 无关，且与c 无关D . 与b 无关，但与c 有关6.如图，点列{},{}n n A B 分别在某锐角的两边上，且112||||n n n n A A A A +++=，2n n A A +≠，*n ∈N ，112||||n n n n B B B B +++=，2n n B B +≠，*n ∈N （P Q ≠表示点P 与Q 不重合），若||n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则( )A . {}n S 是等差数列B . 2{}nS 是等差数列 C . {}n d 是等差数列 D . 2{}nd 是等差数列 7. 已知椭圆()212211x m C y m +=>：与双曲线()2222–10n x C y n=>：的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则( )A . 121m n e e >>且B . 121m n e e ><且C . 121m n e e <>且D . 121m n e e <<且 8. 已知实数a ，b ，c .( )A . 若22|||1|a b c a b c +++++≤，则222100a b c ++<B . 若22|||1|–a b c a b c ++++≤，则222100a b c ++<C . 若22|||–1|a b c a b c ++++≤，则222100a b c ++<D . 若22|||–1|a b c a b c ++++≤，则222100a b c ++<非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 9. 若抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______. 10. 已知()()2sin 2cos i 20s n x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______，b =________. 11. 某几何体的三视图如图所示（单位:cm ），则该几何体的表面积是______cm 2，体积是______cm 3.12. 已知1a b >>.若log lo 52g a b b a +=，b a a b =，则a = ，b = . 13. 设数列{}n a 的前n 项和为n S 若21421n n S a S n +==+∈*N ，，，则1a = ，5S = .14. 如图，在ABC △中，2120AB BC ABC ==∠=︒，.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD DA PB BA ==，，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .15. 已知向量a ，b ，|a |=1，|b |=2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |+|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是 .-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________三、解答题:本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分14分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2cos b c a B +=. （Ⅰ）证明:2A B =； （Ⅱ）若ABC △的面积2=4aS ，求角A 的大小.17.（本小题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面BCFE ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，BE =1EF FC ==，2BC =，3AC =.（Ⅰ）求证:BF ⊥平面ACFD ；（Ⅱ）求二面角B AD F --的平面角的余弦值.18.（本小题满分15分） 已知3a ≥，函数2{||min 2}1242F x x x ax a =--+-（），，其中,min{}.,p p q q p q p q ⎨⎩=⎧≤，＞， （Ⅰ）求使得等式2242F x x ax a =-+-（）成立的x 的取值范围； （Ⅱ）（i ）求()F x 的最小值()m a ； （ii ）求()F x 在区间[0,6]上的最大值()M a .19.（本小题满分15分）如图，设椭圆22211x y a a+=（＞）.（Ⅰ）求直线1y kx =+被椭圆截得的线段长（用a ，k 表示）；（Ⅱ）若任意以点0,1A （）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.20.（本小题满分15分）设数列{}n a 满足1||12n n a a +-≤，n ∈*Ν. （Ⅰ）证明：112(||2)n n a a --≥，n ∈*Ν；（Ⅱ）若3||2nn a ≤（），n ∈*Ν，证明：||2n a ≤，n ∈*Ν.2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理科数学答案解析选择题部分一、选择题 1.【答案】B【解析】2{|}{Q x x 4x |x 2x 2}=∈≥=∈≥≤R R 或﹣，即有R{|Q x 2}x 2-=∈<<R ，则R P(Q)23](,=-【提示】运用二次不等式的解法，求得集合Q ，求得Q 的补集，再由两集合的并集运算，即可得到所求 【考点】并集及其运算 2.【答案】C【解析】∵互相垂直的平面α，β交于直线l ，直线m ，n 满足m α∥，∴m β∥，m ⊆β或m ⊥β，l ⊆β，∵n ⊥β，∴n l ⊥．故选：C ． 【提示】由已知条件推导出l ⊆β，再由n ⊥β，推导出n l ⊥ 【考点】直线与平面垂直的判定 3.【答案】C【解析】做出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），区域内的点在直线x y 20+-=上的投影构成线段R Q ''，即SAB ，而R Q RQ ''=，由x 3y 44x y 0-+=⎧⎨+=⎩得x 1y 1=-⎧⎨=⎩，即Q(1,1)-，由x 2x y 0=⎧⎨+=⎩得x 2y 2=⎧⎨=-⎩，即R(2,2)﹣，则AB QR ==故选：C【提示】做出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义，利用数形结合进行求解即可 【考点】简单线性规划的应用． 4.【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“x ∀∈R ，n ∃∈*N ，使得2n x ≥”的否定形式是：x ∃∈R ，n ∀∈*N ，使得2n x <.故选：D ．【提示】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【考点】命题的否定． 5.【答案】B【解析】∵设函数2f (x)sin x bsinx c =++，∴c 是图像的纵坐标增加了c ，横坐标不变，故周期与c 无关，当b 0=时，211f (x)sin x bsinx c cos2x c 22=++=-++的最小正周期为2πT π2==，当b 0≠时，11f x cos2x bsinx c 22=-+++（）， ∵y cos2x =的最小正周期为π，y bsinx =的最小正周期为2π， ∴f (x)的最小正周期为2π，故f (x)的最小正周期与b 有关，故选：B. 【提示】根据三角函数的图像和性质即可判断 【考点】三角函数的周期性及其求法． 6.【答案】A【解析】设锐角的顶点为O ，1|OA |a =，1|OB |b =，n n 1n 1n 2A A A |||A b |+++==，n n 1n 1n 2B B B |||B d |+++==，由于a ，b 不确定，则n {d }不一定是等差数列，2n {d }不一定是等差数列，设n n n 1A B B +△的底边n n 1B B +上的高为n h ，由三角形的相似可得n n n 1n 1h OA a (n 1)bh OA a nb+++-==+，n 2n 2n 1n 1h OA a (n 1)bh OA a nb++++++==+， 两式相加可得n n 2n 1h h 2a 2b2h a nb ++++==+，即有n n 2h h 2++=，由n n 1S d h 2=，可得n n 2n 1S S 2S +++=，即为n 2n 1n 1n S S S S +++-=-，则数列n {S }为等差数列．故选：A ．【提示】设锐角的顶点为O ，1|OA |a =，1|OB |b =，n n 1n 1n 2A A A |||A b |+++==，n n 1n 1n 2B B B |||B d |+++==，由于a ，b 不确定，判断C ，D 不正确，设n n n 1A B B +△的底边n n 1B B +上的高为n h ，运用三角形相似知识，n n 2n 1h h 2h +++=，由n n 1S d h 2=，可得n n 2n 1S S 2S +++=，进而得到数列n {S }为等差数列 【考点】数列与函数的综合． 7.【答案】A【解析】∵椭圆2212C y 1,(x 1m ):m +=>与双曲线2222C y 1,(x )m0:n =->的焦点重合，∴满足222c m 1n 1-==+，即22m n 20-=>，∴22m n >，则m n >，排除C ，D 则222c m 1m -=<，222c n 1n =+>，则c m <、c n >，1c e m =，2ce n=， 则212c c c e e m n mn==， 则221222222222222222222c c (e e m n m n (m 1)(n 1)m n (m n )1m m n m n n 111m n )11-+----⎛⎫==⎛⎫= ⎪⎝⎭=+=+> ⎪⎝⎭∴12e e 1>，故选：A ．【提示】根据椭圆和双曲线有相同的焦点，得到222c m 1n 1-==+，即22m n 2-=，进行判断，能得m n>，求出两个离心率，先平方进行化简进行判断即可 【考点】椭圆的简单性质，双曲线的简单性质． 8.【答案】D【解析】A ．设a b 10==，c 110=-，则22a b c ||a c 1||b 0+++++=≤，222a b c 100++>；B ．设a 10=，b 100=-，c 0=，则22a b c ||a b c 0|1|++++-=≤，222a b c 100++>；C ．设a 100=，b 100=-，c 0=，则22a b c a b c 0|||1|+++-=≤+，222a b c 100++>；故选：D ．【提示】本题可根据选项特点对a ，b ，c 设定特定值，采用排除法解答 【考点】命题的真假判断与应用．非选择题部分二、填空题 9.【答案】9【解析】解：抛物线的准线x 1=-，∵点M 到焦点的距离为10，∴点M 到准线x 1=-的距离为10，∴点M 到y 轴的距离为9，故答案为：9【提示】根据抛物线的性质得出M 到准线x 1=-的距离为10，故到y 轴的距离为9 【考点】抛物线的简单性质． 10.【解析】∵22cos x sin2x 1cos2x sin2x +=++1122⎫=+++⎪⎪⎭π2x 14⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴A =b 1=【提示】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案 【考点】两角和与差的正弦函数． 11.【答案】72 32【解析】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm 的小正方体所构成的，则其表面积为222(246)72cm ⨯-=，其体积为34232⨯=，故答案为：72，32【提示】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm 的小正方体所构成的，代入体积公式和面积公式计算即可． 【考点】由三视图求面积、体积 12.【答案】4 2【解析】解：设b t log a =，由a b 1>>知t 1>，代入a b 5log b log a 2+=得15t t 2+=，即22t 5t 20-+=，解得t 2=或1t 2=（舍去），所以b log a 2=，即2a b =，因为b a a b =，所以2b a b b =，则2a 2b b ==，解得b 2=，a 4=， 故答案为：4；2.【提示】设b t log a =并由条件求出t 的范围，代入a b 5log b log a 2+=化简后求出t 的值，得到a 与b 的关系式代入b a a b =化简后列出方程，求出a 、b 的值． 【考点】对数的运算性质． 13.【答案】1 121【解析】由n 1=时，11a S =，可得211a 2S 12a 1=+=+，又2S 4=，即12a a 4+=， 即有13a 14+=，解得1a 1=；由n 1n 1n a S S ++-=，可得n 1n S 3S 1+=+，由2S 4=，可得3S 34113=⨯+=，4S 313140=⨯+=，5S 3401121=⨯+= 故答案为：1，121.【提示】运用n 1=时，11a S =，代入条件，结合2S 4=，解方程可得首项；再由n 1>时，n 1n 1n a S S ++-=，结合条件，计算即可得到所求和．【考点】数列的概念及简单表示法． 14.【答案】12【解析】如图，M 是AC 的中点．①当AD t AM3=<=时，如图，此时高为P 到BD 的距离，也就是A 到BD 的距离，即图中AE ，DM t =，由ADE BDM △∽△，可得h 1， ∴h =，22211t 13(3t)V (23t)1326(3t)1(3t)--=-=-+-+，t ∈ ②当AD t AM 3=>=时，如图，此时高为P 到BD 的距离，也就是A 到BD 的距离，即图中AH ，DM t =，由等面积，可得11AD BM BD AH 22=，∴11t 1(t 22= ∴h =，∴22211t 13(3t)V (23t)1326(3t)1(3t)--=-=-+-+，t ∈综上所述，213(3V 6(3t)--=-，t ∈令[)m 1,2则214m V 6m-=，∴m 1=时，max 1V 2=． 故答案为：12【提示】由题意，ABD PBD △≌△，可以理解为PBD △是由△ABD 绕着BD 旋转得到的，对于每段固定的AD ，底面积BCD 为定值，要使得体积最大，PBD △必定垂直于平面ABC ，此时高最大，体积也最大． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．15.【答案】12【解析】∵(a b)e a e b e a e b e 6+=+≤+≤，∴(a b)e a b 6+=+≤，平方得：22a b 2a b 6++≤，即22122a b 6++≤，则1a b 2≤，故a b 的最大值是12，故答案为：12．【提示】根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论 【考点】平面向量数量积的运算． 三、解答题16.【答案】（Ⅰ）由正弦定理得sinB sinC 2sinAcosB +=2sinAcosB sinB sin(A B)sinB sinAcosB cosAsinB =++=++，于是sinB sin(A B)=-又A,B (0,π)∈， 故0A B π<-<，所以B π(A B)=--或B A B =-， 因此A π=（舍去）或A 2B =， 所以，A 2B =（Ⅱ）由2a S 4=得21a absinC 24=，故有1sinBsinC sin2B sinBcosB 2==， 因sinB 0≠，得sinC cosB =．又B,C (0,π)∈，所以C B 2π=±．当πB C 2+=时，πA 2=；当πC B 2-=时，πA 4=．综上，πA 2=或πA 4=．【提示】（Ⅰ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明A 2B =（Ⅱ）若ABC △的面积2a S 4=，则21a absinC 24=，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A 的大小．【考点】余弦定理，正弦定理．17.【答案】解：（Ⅰ）延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示． 因为平面BCFE ABC ⊥平面，且AC BC ⊥， 所以，AC ⊥平面BCK ， 因此，BF AC ⊥．又因为EFBC ∥，BE EF FC 1===，BC 2=， 所以BCK △为等边三角形，且F为CK 的中点， 则BF CK ⊥，所以BF ⊥平面ACFD ．（Ⅱ）过点F 作FQ AK ⊥，连结BQ ． 因为BF ⊥平面ACK ，所以BF AK ⊥，则AK ⊥平面BQF ， 所以BQ AK ⊥．所以BQF ∠是二面角B AD F --的平面角． 在Rt ACK △中，AC 3=，CK 2=，得FQ 在Rt BQF △中，FQ =BF =，得cos BQF ∠=所以，二面角B AD F --的平面角的余弦值为4．【提示】（Ⅰ）先证明BF AC ⊥，再证明BF CK ⊥，进而得到BF ⊥平面ACFD ． （Ⅱ）先找二面角B AD F --的平面角，再在Rt BQF △中计算，即可得出； 【考点】二面角的平面角及求法，空间中直线与直线之间的位置关系． 18.【答案】解：（Ⅰ）由于a 3≥，故当x 1≤时，22(x 2ax 4a 2)2x 1x 2(a 1)(2x)0-+---=+-->，当x 1>时，2(x 2ax 4a 2)2x 1(x 2)(x 2a)-+---=--．所以，使得等式2F(x)x2ax 4a 2=-+-成立的x 的取值范围为[2,2a]．（Ⅱ）（ⅰ）设函数f (x)2x 1=-，2g(x)x 2ax 4a 2=-+-，则min f (x)f (x)0==，2min g(x)g(a)a 4a 2==-+-，所以，由F(x)的定义知{}m(a)min f (1),g(a)=，即20,3a 2m(a)a 4a 2,a 2⎧≤≤+⎪=⎨-+->+⎪⎩ （ⅱ）当0x 2≤≤时，{}F(x)f (x)max f (0),f (2)2F(2)≤≤==，当2x 6≤≤时，F(x)g(x)max{g(2),g(6)}max{2,348a}max{F(2),F(6)}≤≤=-=．所以，348a,3a 4M(a)2,a 4-≤<⎧=⎨≥⎩． 【提示】（Ⅰ）由a 3≥，讨论x 1≤时，x 1>，去掉绝对值，化简2x 2ax 4a 22x 1-+---，判断符号，即可得到2F(x)x 2ax 4a 2=-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（ⅰ）设f (x)2x 1=-，2g(x)x 2ax 4a 2=-+-，求得f (x)和g(x)的最小值，再由新定义，可得F(x)的最小值；（ⅱ）分别对当0x 2≤≤时，当2x 6<≤时，讨论F(x)的最大值，即可得到F(x)在[0,6]上的最大值M【考点】函数最值的应用，函数的最值及其几何意义．19.【答案】解：（Ⅰ）设直线y kx 1=+被椭圆截得的线段为AP ，由222y kx 1x y 1a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(1a k )x 2a kx 0++=，故1x 0=，22222a k x 1a k =-+．因此2212222a k AP x 1k 1a k =-=++．（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP AQ =．记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，2k 0>，12k k ≠．由（Ⅰ）知，1AP =2AQ =12=，所以22222222121212(k k )[1k k a (2a )k k ]0-+++-=．由于12k k ≠，1k ，2k 0>得22222212121k k a (2a )k k 0+++-=，因此22221211111a (a 2)k k ⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭①因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是：221a (a 2)1+->，所以a >因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a 2<≤，由c e a ==得，所求离心率的取值范围为0e 2<≤【提示】（Ⅰ）联立直线y kx 1=+与椭圆方程，利用弦长公式求解即可．（Ⅱ）写出圆的方程，假设圆A 与椭圆由4个公共点，再利用对称性有解已知条件可得任意A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，a 的取值范围，进而可得椭圆的离心率的取值范围．【考点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合． 20.【答案】解：（Ⅰ）由n 1n a a 12+-≤得n n 11a a 12+-≤，故n n 1n n 1n a a 1222++-≤，n ∈*Ν， 所以1n1223n 1n 1n 1223n 1n 12n 1a a a a a a a a 111122222222222---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+-≤++⋅⋅⋅+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因此n 1n 1a 2(a 2)-≥-．（Ⅱ）任取n ∈*Ν，由（Ⅰ）知，对于任意m n >，n m n n 1n 1n 2m 1m nmnn 1n 1n 2m 1m n n 1m 1n 1a a a a a a a a 1111222222222222+++-+++-+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+-≤++⋅⋅⋅+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故m mm n n nn n 1m n 1m a 11133a 2222222224--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+≤+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦．从而对于任意m n >，均有mn n 3a 224⎛⎫<+ ⎪⎝⎭．由m 的任意性得n a 2≤①否则，存在0n ∈*Ν，有0n a 2>，取正整数00n 03n 4a 2m log 2->且00m n >，则n 003n 040a 2m log 2m n n 3322a 244-⎛⎫⎛⎫<=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与①式矛盾．综上，对于任意n ∈*Ν，均有n a 2≤ 【提示】（Ⅰ）使用三角不等式得出n 1n a a 12+-≤，变形得n n 1n n 1na a 1222++-≤，使用累加法可求得n n 11a a 12+-≤，即结论成立； （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论得出n m n m n 1a a 1222--<，进而得出mn n 3a 224⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，利用m 的任意性可证n a 2≤ 【考点】数列与不等式的综合。
2016 年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．2R ）1．（ 5 分）（2016?浙江）已知集合 P={x ∈R|1≤x ≤3} ，Q={x ∈R|x ≥4} ，则 P ∪（? Q ）=（A ． [2， 3]B ．（﹣ 2， 3]C ． [1， 2）D ．（﹣ ∞，﹣ 2]∪ [1， +∞）2．（ 5 分）（ 2016?浙江）已知互相垂直的平面 α，β交于直线 l ，若直线 m ，n 满足 m ∥ α，n ⊥ β，则（ ） A ． m ∥ l B ． m ∥ n C ． n ⊥ l D ． m ⊥ n3．（ 5 分）（ 2016?浙江）在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影，由区域 中的点在直线 x+y ﹣ 2=0 上的投影构成的线段记为 AB ，则|AB|= （ ）A ． 2B ． 4C ． 3D ． 64．（ 5 分）（ 2016?浙江）命题 “? x ∈R ， ?n ∈N * ，使得 n ≥x 2”的否定形式是（ ）A ． ? x ∈R ， ?n ∈N * ，使得 n ＜ x 2B ． ?x ∈R ，? n ∈N * ，使得 n ＜ x 2C ． ?x ∈R ， ?n ∈N * ，使得 n ＜ x 2D ．? x ∈R ， ?n ∈N * ，使得 n ＜ x 25．（ 5 分）（ 2016?浙江）设函数f （ x ） =sin 2x+bsinx+c ，则 f （x ）的最小正周期（ ）A ．与 b 有关，且与 c 有关B ．与 b 有关，但与 c 无关C ．与 b 无关，且与 c 无关D ．与 b 无关，但与 c 有关6．（ 5 分）（ 2016?浙江）如图，点列 {A n } 、{B n } 分别在某锐角的两边上， 且 |A n A n+1|=|A n+1A n+2|，*，|B *，（ P ≠Q 表示点 P 与 Q 不重合）若 d A n ≠A n+1，n ∈Nn B n+1|=|B n+1B n+2|，B n ≠B n+1，n ∈Nn =|A n B n |，S 为 △ A B B的面积，则（）n n n n+1A ． {S n } 是等差数列 2 } 是等差数列B ． {S nC ． {d n } 是等差数列2} 是等差数列D ．{d n7．（ 5 分）（ 2016?浙江）已知椭圆C 1： +y 2=1（ m ＞ 1）与双曲线 C 2： ﹣ y 2=1（n ＞ 0）的焦点重合， e 1， e 2 分别为 C 1，C 2 的离心率，则（）D ．m ＜n 且 e e ＜ 1A ． m ＞ n 且 e e ＞ 1B ． m ＞n 且 e e ＜ 1C ． m ＜ n 且 e e ＞ 11 21 21 21 28．（ 5 分）（ 2016?浙江）已知实数 a ， b ，c ．（）A ．若 |a 2 +b+c|+|a+b 2+c|≤1，则 a 2+b 2+c 2＜ 100B ．若 |a 2+b+c|+|a 2 +b ﹣ c|≤1，则 a 2+b 2+c 2＜ 100C ．若 |a+b+c 2|+|a+b ﹣ c 2|≤1，则 a 2+b 2+c 2＜ 1002 2 2 2 2D ．若 |a +b+c|+|a+b ﹣ c|≤1，则 a +b +c ＜ 100二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题4 分，共 36 分．9．（ 4 分）（ 2016?浙江）若抛物线 2y =4x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离 是 ．10．（ 6 分）（ 2016?浙江）已知 2cos 2x+sin2x=Asin （ ωx+ φ）+b （ A ＞0），则 A=，b= ．11．（ 6 分）（ 2016?浙江）某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的表面积是cm 2，体积是 cm 3．12．（ 6 分）（ 2016?浙江）已知 a ＞ b ＞ 1，若 log a b+log b a= ， a b =b a，则 a= ，b=．13．（ 6 分）（ 2016?浙江）设数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S 2 =4， a n+1=2S n +1， n ∈N *，则 a 1= ， S 5= ．14．（ 4 分）（ 2016?浙江）如图，在 △ ABC 中， AB=BC=2 ，∠ABC=120 °．若平面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D ，满足 PD=DA ，PB=BA ，则四面体 PBCD 的体积的最大值是．15．（ 4 分）（ 2016?浙江）已知向量 ， ， | |=1， | |=2，若对任意单位向量 ，均有| ? |+| ? |≤ ，则 ? 的最大值是．三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（ 14 分）（ 2016?浙江）在 △ ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知 b+c=2acosB ．（Ⅰ ）证明： A=2B（Ⅱ ）若 △ABC 的面积 S=，求角 A 的大小．17．（ 15 分）（ 2016?浙江）如图，在三棱台 ABC ﹣ DEF 中，已知平面 BCFE ⊥平面 ABC ，∠ A CB=90 °，BE=EF=FC=1 ， BC=2 ， AC=3 ， （Ⅰ ）求证： EF ⊥ 平面 ACFD ；（Ⅱ ）求二面角 B ﹣ AD ﹣F 的余弦值．18．（15 分）（ 2016?浙江）已知a ≥3，函数 F （x ） =min{2|x ﹣ 1|，x 2﹣ 2ax+4a ﹣ 2} ，其中 min（ p ， q ） =（Ⅰ ）求使得等式 F （ x ） =x 2﹣ 2ax+4a ﹣ 2 成立的 x 的取值范围 （Ⅱ ）（ i ）求 F （ x ）的最小值 m （ a ）（ii ）求 F （ x ）在 [0，6] 上的最大值 M （ a ）19．（ 15 分）（ 2016?浙江）如图，设椭圆 C ：+y 2=1（ a ＞ 1）（Ⅰ ）求直线 y=kx+1 被椭圆截得到的弦长（用 a ，k 表示）（Ⅱ ）若任意以点 A （ 0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围．20．（ 15 分）（ 2016?浙江）设数列满足n﹣* ．|a |≤1， n∈N（Ⅰ ）求证： |a n n﹣1（ |a1|﹣ 2）（ n∈N* ）|≥2（Ⅱ ）若 |a n|≤（）n，n∈N*，证明：|a n|≤2，n∈N*．2016 年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1．（ 5 分）【考点】 并集及其运算．【分析】 运用二次不等式的解法，求得集合 Q ，求得 Q 的补集，再由两集合的并集运算，即可得到所求．【解答】 解： Q={x ∈R|x 2≥4}={x ∈R|x ≥2 或 x ≤﹣ 2} ， 即有 ?R Q={x ∈R|﹣ 2＜ x ＜ 2} ，则 P ∪ （ ?R Q ） =（﹣ 2， 3]． 故选： B ．【点评】 本题考查集合的运算， 主要是并集和补集的运算， 考查不等式的解法， 属于基础题．2．（ 5 分）【考点】 直线与平面垂直的判定．【分析】 由已知条件推导出 l? β，再由 n ⊥ β，推导出 n ⊥ l ．【解答】 解： ∵ 互相垂直的平面 α， β交于直线 l ，直线 m ， n 满足 m ∥ α，∴m ∥ β或 m? β或 m ⊥β， l? β， ∵n ⊥ β， ∴n ⊥ l ． 故选： C ．【点评】 本题考查两直线关系的判断，是基础题， 解题时要认真审题， 注意空间思维能力的培养． 3．（ 5 分）【考点】 简单线性规划的应用．【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义，利用数形结合进行求解即可． 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： （阴影部分），区域内的点在直线 x+y ﹣ 2=0 上的投影构成线段 R ′Q ′，即 SAB ，而 R ′Q ′=RQ ，由得，即 Q （﹣ 1， 1），由得，即 R （ 2，﹣ 2），则|AB|=|QR|== =3 ，故选： C【点评】 本题主要考查线性规划的应用， 作出不等式组对应的平面区域， 利用投影的定义以及数形结合是解决本题的关键．4．（ 5 分）【考点】 命题的否定．【分析】 直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题 “?x ∈R ， ?n ∈N * ，使得 n ≥x 2”的否定形式是： ?x ∈R ，? n ∈N * ，使得 n ＜ x 2． 故选： D ．【点评】 本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题． 5．（ 5 分）【考点】 三角函数的周期性及其求法．【分析】 根据三角函数的图象和性质即可判断．2∴c 是图象的纵坐标增加了c ，横坐标不变，故周期与 c 无关，当 b=0 时， f （ x ） =sin 2x+bsinx+c= ﹣ cos2x+ +c 的最小正周期为 T==π，当 b ≠0 时， f （ x ） =﹣ cos2x+bsinx+ +c ，∵ y =cos2x 的最小正周期为 π， y=bsinx 的最小正周期为 2π， ∴f （x ）的最小正周期为 2π，故 f （x ）的最小正周期与 b 有关，故选： B【点评】 本题考查了三额角函数的最小正周期， 关键掌握三角函数的图象和性质， 属于中档题．6．（ 5 分） 【考点】 数列与函数的综合．【分析】 设锐角的顶点为 O ，再设 |OA 1|=a ， |OB 1|=b ， |A n A n+1|=|A n+1A n+2|=b ，|B n B n+1|=|B n+1B n+2|=d ，由于 a ，b 不确定，判断 C ，D 不正确，设 △ A n B n B n+1 的底边 B n B n+1 上的高为 h n n n+2 n+1 n n n n+2 n+1，运用三角形相似知识， h +h =2h ，由 S = d?h ，可得 S +S =2S ，进 而得到数列 {S n } 为等差数列．【解答】 解：设锐角的顶点为 O ， |OA 1 |=a ， |OB 1|=b ，|A A |=|A A n+2 |=b ， |B B n+1 |=|B B |=d ，n n+1 n+1 n n+1 n+2由于 a ， b 不确定，则 {d n } 不一定是等差数列，{d n 2} 不一定是等差数列， 设△ A n B n B n+1 的底边 B n B n+1 上的高为 h n ，由三角形的相似可得= = ，= = ，两式相加可得， = =2，即有 h n +h n+2=2h n+1，由 S n = d?h n ，可得 S n +S n+2=2S n+1，即为 S n+2﹣S n+1=S n+1﹣ S n ， 则数列 {S n } 为等差数列． 故选： A ．【点评】 本题考查等差数列的判断， 注意运用三角形的相似和等差数列的性质， 考查化简整理的推理能力，属于中档题．7．（ 5 分）【考点】 椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】 根据椭圆和双曲线有相同的焦点，得到c 2=m 2﹣ 1=n 2+1，即 m 2﹣ n 2=2，进行判断，能得 m ＞ n ，求出两个离心率，先平方进行化简进行判断即可．【解答】 解： ∵ 椭圆 C 1：+y 2=1 （m ＞1）与双曲线 C 2： ﹣ y 2=1（ n ＞0）的焦点重合，∴满足 c 2=m 2﹣ 1=n 2+1 ，即 m 2﹣n 2=2＞ 0，∴ m 2＞ n 2，则 m ＞ n ，排除 C ， D则 c 2=m 2﹣ 1＜ m 2， c 2=n 2+1＞ n 2，则 c ＜ m ． c ＞ n ，e 1= ， e 2= ， 则 e 1?e 2= ? =，则（ e 1?e 2） 2=（ ）2?（ ）2= = = =1+ =1+ =1+ ＞ 1，∴ e 1e 2＞ 1，故选： A ．【点评】 本题主要考查圆锥曲线离心率的大小关系的判断， 根据条件结合双曲线和椭圆离心率以及不等式的性质进行转化是解决本题的关键．考查学生的转化能力．8．（ 5 分）【考点】 命题的真假判断与应用． 【分析】 本题可根据选项特点对a ，b ，c 设定特定值，采用排除法解答．【解答】 解： A ．设 a=b=10， c=﹣ 110，则 |a 2+b+c|+|a+b 2+c|=0 ≤1， a 2+b 2+c 2＞100；B ．设 a=10， b=﹣ 100， c=0，则 |a 2+b+c|+|a 2+b ﹣ c|=0≤1， a 2+b 2+c 2＞100；C ．设 a=100， b=﹣100， c=0，则 |a+b+c 2|+|a+b ﹣ c 2|=0≤1， a 2+b 2 +c 2＞100；故选： D ．【点评】 本题主要考查命题的真假判断， 由于正面证明比较复杂， 故利用特殊值法进行排除是解决本题的关键．二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．9．（ 4 分）【考点】 抛物线的简单性质． 【分析】 根据抛物线的性质得出 M 到准线 x= ﹣ 1 的距离为 10，故到 y 轴的距离为 9．【解答】 解：抛物线的准线为 x=﹣ 1，∵点 M 到焦点的距离为 10， ∴点 M 到准线 x= ﹣ 1 的距离为 10，∴点 M 到 y 轴的距离为 9．故答案为： 9．【点评】 本题考查了抛物线的性质，属于基础题． 10．（ 6 分）【考点】 两角和与差的正弦函数．【分析】 根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案．2=1+ （ cos2x+ sin2x ） +1=sin （ 2x+ ） +1，∴ A =， b=1 ， 故答案为：； 1．【点评】 本题考查了二倍角的余弦公式、 两角和的正弦函数的应用， 熟练掌握公式是解题的关键．11．（6 分）【考点】 由三视图求面积、体积．【分析】 由三视图可得，原几何体为由四个棱长为 2cm 的小正方体所构成的，代入体积公式和面积公式计算即可．【解答】 解：由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm 的小正方体所构成的，则其表面积为 22×（ 24﹣ 6） =72cm 2，其体积为 4×23=32 ， 故答案为： 72， 32【点评】 本题考查了由三视图求几何体的体积和表面积， 解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象能力． 12．（ 6 分） 【考点】 对数的运算性质．【分析】 设 t=log b a 并由条件求出 t 的范围，代入log a b+log ba= 化简后求出 t 的值，得到 ab a化简后列出方程，求出 a 、 b 的值． 与 b 的关系式代入 a =b 【解答】 解：设 t=log b a ，由 a ＞b ＞ 1 知 t ＞ 1， 代入 log a b+log b a= 得，即 2t 2﹣5t+2=0 ，解得 t=2 或 t= （舍去），所以 log b a=2，即 a=b 2，ba2b a2， 因为 a =b ，所以 b =b ，则 a=2b=b 解得 b=2 ，a=4， 故答案为： 4； 2．【点评】 本题考查对数的运算性质，以及换元法在解方程中的应用，属于基础题．13．（ 6 分）【考点】 数列的概念及简单表示法．【分析】运用 n=1 时，a 1=S 1，代入条件， 结合 S 2=4，解方程可得首项； 再由 n ＞ 1 时，a n+1=S n+1﹣S n ，结合条件，计算即可得到所求和．【解答】 解：由 n=1 时， a 1=S 1，可得 a 2=2S 1+1=2a 1+1，又 S 2=4，即 a 1+a 2=4， 即有 3a 1+1=4 ，解得 a 1=1；由 a n+1=S n+1﹣ S n ，可得 S n+1=3S n +1，由 S 2=4，可得 S 3=3×4+1=13 ， S 4=3 ×13+1=40 ， S 5=3 ×40+1=121 ． 故答案为： 1， 121．【点评】本题考查数列的通项和前 n 项和的关系： n=1 时， a1=S1， n＞1 时， a n=S n﹣ S n﹣1，考查运算能力，属于中档题．14．（ 4 分）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意，△ABD ≌△ PBD ，可以理解为△ PBD 是由△ ABD 绕着 BD 旋转得到的，对于每段固定的 AD ，底面积 BCD 为定值，要使得体积最大，△ PBD 必定垂直于平面 ABC ，此时高最大，体积也最大．【解答】解：如图， M 是 AC 的中点．①当 AD=t ＜ AM=时，如图，此时高为P 到 BD 的距离，也就是 A 到 BD 的距离，即图中AE ，DM=﹣ t，由△ ADE ∽ △ BDM ，可得，∴h=，V==，t∈（0，）②当 AD=t ＞ AM=时，如图，此时高为P 到 BD 的距离，也就是 A 到 BD 的距离，即图中AH ，DM=t ﹣，由等面积，可得，∴，∴h=，∴V==，t∈（，2）综上所述， V=，t∈（0，2）令 m=∈[1，2），则V=，∴ m=1时，V max=．故答案为：．【点评】本题考查体积最大值的计算， 考查学生转化问题的能力， 考查分类讨论的数学思想，对思维能力和解题技巧有一定要求，难度大． 15．（ 4 分）【考点】 平面向量数量积的运算．【分析】 根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论．【解答】 解： ∵ |（ + ） ? |=| ? + ? |≤| ? |+| ? |≤ ，∴ |（ + ） ? |≤| + |≤ ，平方得： | |2+| |2+2 ? ≤6，即12+22+2 ? ≤6，则 ? ≤ ，故 ? 的最大值是 ，故答案为： ．【点评】 本题主要考查平面向量数量积的应用， 根据绝对值不等式的性质以及向量三角形不等式的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．三、解答题：本大题共5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（ 14 分）【考点】 余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ ）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可证明 A=2B（Ⅱ ）若 △ABC 的面积 S=，则 bcsinA=，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A的大小．【解答】（Ⅰ ）证明： ∵ b+c=2acosB ，∴ s inB+sinC=2sinAcosB ， ∴ s inB+sin （A+B ） =2sinAcosB ∴ s inB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB∴ s inB=2=sinAcosB ﹣ cosAsinB=sin （ A ﹣ B ） ∵A ，B 是三角形中的角， ∴ B =A ﹣ B ，∴ A =2B ；（Ⅱ ）解： ∵ △ ABC 的面积 S=，∴ bcsinA=，∴ 2bcsinA=a 2，∴ 2sinBsinC=sinA=sin2B ，∴ s inC=cosB ，∴B+C=90 °，或 C=B+90 °，∴A=90 °或 A=45 °．【点评】本题考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面积的计算，考查二倍角公式的运用，属于中档题．17．（ 15 分）【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（ I ）先证明 BF⊥ AC ，再证明BF⊥CK ，进而得到BF⊥平面 ACFD ．（II ）方法一：先找二面角 B ﹣AD ﹣ F 的平面角，再在Rt△BQF 中计算，即可得出；方法二：通过建立空间直角坐标系，分别计算平面ACK 与平面 ABK 的法向量，进而可得二面角 B﹣ AD ﹣ F 的平面角的余弦值．【解答】（ I ）证明：延长 AD ，BE ，CF 相交于点 K ，如图所示，∵平面 BCFE ⊥平面 ABC ，∠ACB=90 °，∴AC ⊥平面 BCK ，∴BF ⊥ AC ．又EF∥BC ，BE=EF=FC=1 ，BC=2 ，∴△ BCK 为等边三角形，且 F 为 CK 的中点，则 BF⊥ CK ，∴B F ⊥平面 ACFD ．（I I ）方法一：过点 F 作 FQ⊥ AK ，连接 BQ，∵ BF⊥平面 ACFD ．∴ BF⊥ AK ，则 AK ⊥平面BQF ，∴BQ ⊥ AK ．∴∠ BQF 是二面角 B﹣ AD ﹣F 的平面角．在 Rt△ ACK 中， AC=3 ， CK=2 ，可得 FQ=．在 Rt△ BQF 中， BF=，FQ=．可得：cos∠ BQF=．∴二面角 B ﹣ AD ﹣F 的平面角的余弦值为．方法二：如图，延长AD ， BE， CF 相交于点K ，则△BCK 为等边三角形，取 BC 的中点，则KO ⊥ BC ，又平面BCFE ⊥平面 ABC ，∴ KO ⊥平面 BAC ，以点 O 为原点，分别以OB ，OK 的方向为x， z 的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．可得： B（ 1，0，0），C（﹣ 1，0，0），K（ 0，0，），A（﹣1，﹣3，0），，．=（ 0， 3， 0），=，（2，3，0）．设平面 ACK 的法向量为=（ x1，y1，z1），平面 ABK 的法向量为=（ x2，y2，z2），由，可得，取=．由，可得 ，取 = ．∴= = ．∴二面角 B ﹣ AD ﹣F 的余弦值为．【点评】 本题考查了空间位置关系、法向量的应用、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．18．（ 15 分）【考点】 函数最值的应用；函数的最值及其几何意义．【分析】（ Ⅰ ）由 a ≥3，讨论 x ≤1 时， x ＞ 1，去掉绝对值，化简 x 2﹣ 2ax+4a ﹣ 2﹣ 2|x ﹣ 1|，判断符号，即可得到 F （ x ） =x 2﹣ 2ax+4a ﹣ 2 成立的 x 的取值范围；（Ⅱ ）（ i ）设 f （ x ） =2|x ﹣ 1|， g （ x ） =x 2﹣ 2ax+4a ﹣ 2，求得 f （ x ）和 g （ x ）的最小值，再 由新定义，可得 F （ x ）的最小值；（ii ）分别对当 0≤x ≤2 时，当 2＜ x ≤6 时，讨论 F （ x ）的最大值，即可得到F （ x ）在 [0， 6] 上的最大值 M （ a ）．【解答】 解：（ Ⅰ ）由 a ≥3，故 x ≤1 时，x 2﹣2ax+4a ﹣ 2﹣ 2|x ﹣ 1|=x 2+2（ a ﹣ 1）（2﹣ x ）＞ 0；当 x ＞ 1 时， x 2﹣ 2ax+4a ﹣ 2﹣ 2|x ﹣ 1|=x 2﹣（ 2+2a ） x+4a= （ x ﹣ 2）（ x ﹣ 2a ），2则等式 F （ x ） =x ﹣ 2ax+4a ﹣ 2 成立的 x 的取值范围是（ 2， 2a ）；则 f （x ） min =f （ 1） =0， g （x ） min =g （ a ） =﹣ a 2+4a ﹣ 2．由﹣ a 2+4a ﹣ 2=0，解得 a=2+ （负的舍去），由 F （ x ）的定义可得 m （ a ） =min{f （ 1），g （ a ） } ，即 m （ a ） =；（ i i ）当 0≤x ≤2 时， F （ x ） ≤f （x ） ≤max{f （ 0）， f （ 2） }=2=F （ 2）；当 2＜ x ≤6 时， F （ x ） ≤g （ x ） ≤max{g （ 2）， g （ 6） }=max{2 ， 34﹣8a}=max{F （ 2）， F （ 6） } ．则 M （ a ） =．【点评】 本题考查新定义的理解和运用， 考查分类讨论的思想方法， 以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19．（ 15 分）【考点】 椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合．【分析】（Ⅰ ）联立直线 y=kx+1 与椭圆方程，利用弦长公式求解即可．（Ⅱ ）写出圆的方程，假设圆 A 与椭圆由 4 个公共点，再利用对称性有解已知条件可得任意一 A （ 0， 1）为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点， a 的取值范围，进而可得椭圆的离心率的取值范围．【解答】 解：（ Ⅰ ）由题意可得：，可得：（1+a 2k 2） x 2+2ka 2x=0 ，得 x 1=0 或 x 2=，直线 y=kx+1 被椭圆截得到的弦长为：= ．（Ⅱ ）假设圆 A 与椭圆由 4 个公共点，由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足 |AP|=|AQ| ，记直线 AP ， AQ 的斜率分别为： k 1，k 2；且 k 1，k 2 ＞ 0， k 1≠k 2，由（ 1）可知|AP|=， |AQ|=，故： =2 2 2 2 2 2，所以，（ k 1 ﹣k 2 ） [1+k 1 +k 2 +a （ 2﹣ a ）22，由 k 1≠k 2，k 1 k 2] =0 222222k 1，k 2＞ 0，可得： 1+k1 +k2 +a （ 2﹣ a ）k 1 k 2 =0，因此a 2（ a 2﹣ 2） ① ，因为 ① 式关于 k 1， k 2；的方程有解的充要条件是：1+a 2（ a 2﹣ 2）＞ 1，所以 a ＞ ．因此，任意点 A （0， 1） 心的 与 至多有三个公共点的充要条件 ：1＜ a ＜2，e= = 得，所求离心率的取 范 是： ．【点 】 本 考 直 与 的位置关系的 合 用， 与 的位置关系的 合 用，考分析 解决 的能力，考 化思想以及 算能力．20．（ 15 分）【考点】 数列与不等式的 合．【分析】（ I ）使用三角不等式得出|a n ||a n+1|≤1， 形得≤，使用累加法可求得＜ 1，即 成立；（II ）利用（ I ）的 得出＜ ， 而得出 |a n |＜2+（） m 2n，利用 m的任意性可 |a n |≤2．【解答】 解：（ I ） ∵ |a nnn+1，|≤1， ∴ |a | |a |≤1∴≤， n ∈N *，∴=（ ） +（ ）+⋯+（ ）≤ ++ +⋯+ = =1 ＜ 1．∴ |a n |≥2n ﹣ 1（ |a 1| 2）（ n ∈N * ）．（II ）任取 n ∈N *，由（ I ）知， 于任意m ＞ n ，=（） +（） +⋯+（）≤+ +⋯+ = ＜ ．∴|a n |＜（+） ?2n ≤[+ ?（） m ]?2n=2+（ ） m ?2n． ①由 m 的任意性可知 |a n |≤2．否则，存在 n 0∈N *，使得 |a|＞ 2，取正整数 m 0＞ log且 m 0＞ n 0，则2 ?（ ） ＜ 2 ?（ ） =|a |﹣ 2，与 ① 式矛盾．综上，对于任意 n ∈N *，都有 |a n |≤2．【点评】 本题考查了不等式的应用与证明，等比数列的求和公式， 放缩法证明不等式， 难度较大．。
