高三数学统练一

2024届北京市第十二中学高三下学期统练（一）数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-，则（ ） A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．a ∥(a b -)D ．a ⊥( a b -)2．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，0ϕπ<<）的图象关于点5,012M π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，且与点M 相邻的一个最低点为2,33N π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则对于下列判断： ①直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴；②点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心； ③函数1y =与()351212y f x x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③3．已知直三棱柱中111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（ ）．A B C D 4．()()52122xx --的展开式中8x的项的系数为（ ）A ．120B ．80C ．60D ．405．过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线与抛物线在第一象限交于点A ，与准线在第三象限交于点B ，过点A 作准线的垂线，垂足为H .若tan 2AFH ∠=，则AF BF=（ ）A ．54B ．43C ．32D ．26．已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A ．122B ．112C ．102D ．927．若[]x 表示不超过x 的最大整数(如[]2.52=，[]44=，[]2.53-=-)，已知2107n n a ⎡⎤=⨯⎢⎥⎣⎦，11b a =，()*110,2n n n b a a n n -=-∈≥N ，则2019b =（ ）A ．2B ．5C ．7D ．88．已知双曲线2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>的一条渐近线为l ，圆22:()4C x c y -+=与l 相切于点A ，若12AF F ∆的面积为23，则双曲线Γ的离心率为（ ）A ．2B ．233C ．73D ．2139．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）A ．12B ．122C 162D ．16310．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，O 为坐标原点，1F 、2F 为其左、右焦点，点G 在C 的渐近线上，2F G OG ⊥，16|||OG GF =，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．22y x =±B ．3y x =C ．y x =±D ．2y x =11．函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．12．若21i iz =-+，则z 的虚部是A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024北京一零一高三（上）统练一数 学一、选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{}{}2|10,2,3,4,5A x x B =∈<=R 则A B ⋂=（ ）A. {}2B. {}2,3C. {}3,4D. {}2,3,42. 若0a b，且0b >，则（ ）A. 22ab a b <<B. 22a b ab <<−C. 22b ab a <−<D. 22a ab b <−<3. 在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点M的初始位置坐标为1,22⎛ ⎝⎭，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是A. 12⎫⎪⎪⎝⎭B. 1,22⎛⎫−⎪ ⎪⎝⎭C. 21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D. 12⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭4. 如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是（ ）A. 0.999B. 0.981C. 0.980D. 0.7295. 若函数y a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 若两个正实数,x y 满足121y x+=，若至少存在一组,x y 使得226x m m y +≤−−成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. {|42}m m −≤≤−B. {|42}m m −<<−C. {3}−D. ∅7. 设()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，已知当[]2,3x ∈时，()f x x =，则当 []2,0x ∈− 时，()f x 的解析式为（ ）A. 4x +B. 2x −C. 31x −+D. 21x ++8. 2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强､视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用､城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处C 点的高度，小王在场馆内的,A B 两点测得C 的仰角分别为45,30,60AB =（单位：m ），且30AOB ∠=，则大跳台最高高度OC =（ ）A. 45mB.C. 60mD.9. 若函数()1,00,01,0x x f x x x x −<⎧⎪==⎨⎪+>⎩，则“120x x +>”是“()()120f x f x +>”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10. 已知(){}|0M f αα==,(){}|0N g ββ==,若存在,M N αβ∈∈,使得n αβ−<,则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”.若()231x f x −=−与()2x g x x ae =−互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为 A. 214(,e e ⎤⎥⎦B. 214,e e ⎛⎤⎥⎦⎝C. 242,e e ⎡⎫⎪⎢⎭⎣D. 3242,e e ⎡⎫⎪⎢⎭⎣二、填空题共5小题.11. 已知复数1iiz +=，则z z ⋅=______． 12. 已知二项式(2)n x a −的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中3x 项的系数为20，则实数a 的值为__________.13. 设D 为ABC 内一点，且2155CD CA CB =+，则ACD 与BCD △的面积比为__________. 14. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，能说明“若{}n a 为递增数列，则*1,N n n n S S +∀∈<”为假命题的一组1a 和公比q 的值为1a =_______，q =_______．15. 已知正项数列{}n a 满足11a =，2111n n n na ana ++=+，则在下列四个结论中，①212a=；②{}n a 是递增数列；③111n n a a n +−>+；④1111nn k a k+=<+∑.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题共6小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 已知{a n }是等差数列，满足13a =，412a =，数列{b n }满足14b =，420b =，且{}n n b a −是等比数列.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）求数列{b n }的前n 项和.17. 已知函数()sin 2cos cos 2sin f x x x ϕϕ=−，其中π2ϕ<，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知条件，使()f x 存在，并完成下列两个问题． （1）求ϕ的值；（2）若0m >，函数()f x 在区间[]0,m 上最小值为12−，求实数m 的取值范围． 条件①：对任意的x ∈R ，都有()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立； 条件②：π142f ⎛⎫=− ⎪⎝⎭； 条件③：ππ236f f ⎛⎫⎛⎫−−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 18. 在△ABCcos A A +b =2,a =222b ac >+.求： （1）tan 2A 的值； （2）c 和面积S 的值．19. 某科目进行考试时，从计算机题库中随机生成一份难度相当的试卷.规定每位同学有三次考试机会，一旦某次考试通过，该科目成绩合格，无需再次参加考试，否则就继续参加考试，直到用完三次机会.现从2022年和2023年这两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中，分别随机抽取100位考生，获得数据如下表：（1）从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率；（2）小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率；（3）若2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率，则m 的最小值为下列数值中的哪一个？（直接写出结果）20. 设函数f x a x =+，a ∈R .曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为2y x =+.（1）求a 的值；（2）求证：方程()2f x =仅有一个实根；（3）对任意()0,x ∈+∞，有()sin 2f x k x >+，求正数k 的取值范围. 21. 定义()1212231,,,n n n a a a a a a a a a τ−=−+−++−为有限项数列{}n a 的波动强度.（1）当(1)nn a =−时，求12100(,,,)a a a τ；（2）若数列a b c d ,,,满足()()0a b b c −−>，求证：(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ≤；（3）设{}n a 各项均不相等，且交换数列{}n a 中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列{}n a 一定是递增数列或递减数列参考答案一、选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】B【分析】由题意可得{A x x =∈−<<R ，结合交集的定义与运算即可求解.【详解】由题意知，2{10}{A x x x x =∈<=∈<<R R ， 又{2,3,4,5}B =， 所以{2,3}A B =.故选：B 2. 【答案】C【分析】根据不等式的性质可得22a b <，排除ABD ，再根据不等式性质判断C 即可. 【详解】对ABD ，因为0a b，故b a <−，又0b >，故0b a <<−，故()2220b a a <<−=，即22b a <，故ABD 错误；对C ，()20b ab b a b +=+<，故2b ab <−，又()2a ab a a b +=+，因为0a b，且0b >，故0a <，故()0a a b +>，即2ab a −<，则22b ab a <−<，故C 正确； 故选：C 3. 【答案】C【分析】计算出运动3分钟时动点M 转动的角，再利用诱导公式可求得结果. 【详解】每12分钟转动一周，则运动到3分钟时，转过的角为32122ππ⨯=.设点M 的初始位置的坐标为()cos ,sin αα，则1cos 2α=，sin 2α=， 运动到3分钟时动点M 所处位置的坐标是cos ,sin 22M ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫'++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由诱导公式可得cos sin 22παα⎛⎫+=−=− ⎪⎝⎭，1sin cos 22παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以，点M '的坐标为221⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】本题考查点的坐标的求解，考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 4. 【答案】B 【分析】求出开关1、2均正常工作的概率及开关3正常工作的概率，由相互独立事件概率公式、对立事件的概率公式即可得解.【详解】由题意，开关1、2在某段时间内均正常工作的概率10.90.90.81P =⨯=， 开关3正常工作的概率20.9P =，故该系统正常工作的概率()()()()12111110.8110.90.981P P P =−−−=−−⨯−=, 所以该系统的可靠性为0.981. 故选：B. 5. 【答案】C【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]， 所以a >1，y[0，1]上单调递减，值域是[0，1]， 所以f (0)1，f (1)＝0， 所以a ＝2， 所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3.故选C【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 6. 【答案】C【分析】根据题意得，即求2min26x m m y ⎡⎤+≤−−⎢⎥⎣⎦，利用基本不等式，可解得29x y +≥，进而得到296m m ≤−−，进而可求解.【详解】至少存在一组,x y 使得226x m m y +≤−−成立，即2min 26x m m y ⎡⎤+≤−−⎢⎥⎣⎦，又由两个正实数,x y 满足121y x+=，可得 221()(2)x x y y y x+=++212459xy xy =+++≥+=， 当且仅当22=xy xy ，即133y x ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，等号成立，min 29x y ⎡⎤∴+=⎢⎥⎣⎦， 故有296m m ≤−−，解得2(3)0m +≤，故3m =−，所以实数m 的取值范围是{3}− 故选：C . 7. 【答案】C【分析】当[]2,1x ∈−−时，由()()4f x f x =+可得出()f x 的表达式；当[]1,0x ∈−时，由函数的周期性和奇偶性可得出()()()2f x f x f x =−=−.综合可得结果.【详解】当[]2,1x ∈−−时，[]42,3x +∈，()()()4431f x f x x x =+=+=++， 当[]1,0x ∈−时，[]0,1x −∈，[]22,3x −∈，因为函数()f x 为偶函数，则()()()()2231f x f x f x x x =−=−=−=−+， 综上所述，当[]2,0x ∈−时，()31f x x =−+. 故选：C 8. 【答案】C【分析】分别在BOC 和 AOC △中，求得OB ，OA ，然后在AOB 中，利用余弦定理求解. 【详解】解：在BOC 中，3tan 30OCOB OC ==，在AOC △中，tan 45OCOA OC ==，在AOB 中，由余弦定理得2222cos AB OB OA OB OA AOB =+−⋅⋅∠，即223600323cos30OC OC OC OC =+−⋅⋅， 所以23600OC =， 解得60OC =， 故选：C 9. 【答案】C【分析】根据题意分析可知()f x 为奇函数且在R 上单调递增，分析可知120x x +>等价于()()120f x f x +>，即可得结果.【详解】由题意可知：()f x 的定义域为R ，且()00f =，若0x >，则0x −<，可知()()()()110f x f x x x +−=++−−=， 若0x <，同理可得()()0f x f x +−=，所以()f x 为奇函数， 作出函数()f x 的图象，如图所示，由图象可知()f x 在R 上单调递增，若120x x +>，等价于12x x >−，等价于()()()122f x f x f x >−=−，等价于()()120f x f x +>， 所以“120x x +>”是“()()120f x f x +>”的充要条件. 故选：C. 10. 【答案】B【详解】由题意可知(2)0f =，且f(x)在R 上单调递减，所以函数f(x)只有一个零点2.即|2|1β−<，得13β<<．函数()2xg x x ae =−在区间(1,3)上存在零点，由2xx ae −=0，得2x x a e= 令2(),(1,3)x x h x x e =∈，22(2)()x xx x x x h x e e'−−==，所以h(x)在区间(1,2)上单调递增，在区间（2,3）上单调递减，231491(1),(2),(3)h h h e e e e ===>,()h x ∈214,e e ⎛⎤ ⎥⎦⎝，所以只需a ∈214,e e ⎛⎤ ⎥⎦⎝即有零点．选B. 【点睛】要学会分析题中隐含的条件和信息，如本题先观察出f(x)的零点及单调性是解题的关键，进一步转化为函数()2xg x x ae =−在区间(1,3)上存在零点，再进行参变分离，应用导数解决．二、填空题共5小题.11. 【答案】2【分析】由复数的运算和共轭复数的定义计算求出结果即可. 【详解】由题意可得()1ii 1i 1i iz +==−+=−， 所以1i z =+，所以()()21i 1i 1i 2z z ⋅=−+=−=，故答案为：2. 12. 【答案】12−【分析】根据二项展开式中二项式系数的特点得到6n =，然后利用二项式的通项列方程，解方程即可得到a .【详解】因为二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以6n =，二项式的通项为()()6162rrrr T x a −+=−C ，令6r 3−=，解得3r =， 所以展开式中3x 项为()()333336C 2160x a a x −=−，316020a −=，解得12a =−. 故答案为：12−. 13. 【答案】1:2【分析】先由已知求得()2DB DA DC =−+，接着以,DA DC 为邻边作平行四边形ADCE ，连接DE 交AC 于点O ，于是有2DA DC DO +=，从而推出4DB OD =，再结合:2:ACDBCDCODBCD SSSS=和三角形同高即可得解.【详解】由题得52CD CA CB =+，所以22322CD CA CB CD CB CD CD DB CD −=−=−−=−， 所以22AD DB CD =−即()2DB DA DC =−+，如图所示，以,DA DC 为邻边作平行四边形ADCE ，连接DE 交AC 于点O ， 则2DA DC DE DO +==，所以()244DB DO OD DA DC =−=−=+即:1:4OD BD =，又COD △和BCD △高相等， 所以::2:2:2:41:2ACDBCDECDBCDCODBCDSSSSSSOD BD =====.故答案为：1:2.14. 【答案】 ①. 1− ②.12（答案不唯一） 【分析】由题意，等比数列{}n a 为递增数列，且*1,0N n n a +∈≤∃，取一组符合条件的1a 和公比q 即可.【详解】“若{}n a 为递增数列，则*1,N n n n S S +∀∈<”为假命题， 所以若{}n a 为递增数列，则*1,N n n n S S +∃∈≥，1n n S S +≥，则110n n n S S a ++−=≤，等比数列{}n a 为递增数列，且*1,0N n n a +∈≤∃，则11a =−和公比12q =，满足题意. 故答案为：1−；1215. 【答案】②③④【分析】利用递推公式计算可得①错误；由1n n a a +−的结果可得②正确；把1n n a a +−的结果进行放大和缩小可得③④正确.【详解】对于①：由已知可得2122222101a a a a a −+−==⇒，解得212a =，因为0n a >，所以212a =，故①错误； 对于②：()2211111111111111n n n n n n n n n n n a na na na a a a a na na na ++++++++++−−+−===+++，又0n a >，所以10n n a a +−>，即{}n a 是递增数列，故②正确；对于③：由②可得1111111n n n n n a a a na n a ++++−==++，因为111n a a +>=，所以111n n a a n +−>+，故③正确； 对于④：因为1111111n n n n n n a a a a na na n +++++−=<=+，所以213243111,,,23a a a a a a −<−<−<，所以11111123n a a n+−<++++， 即1111nn k a k +=<+∑，故④正确； 故答案为：②③④.三、解答题共6小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 【答案】（1）3(1,2,)n a n n ==，132(1,2,)n n b n n −=+=；（2）3(1)212nn n ++−【详解】试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求得数列{b n }前n 项和．试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d ，由题意得d= = = 3．∴a n =a 1+（n ﹣1）d=3n设等比数列{bn ﹣an}的公比为q ，则q 3= = =8，∴q=2，∴b n ﹣a n =（b 1﹣a 1）q n ﹣1=2n ﹣1， ∴bn=3n+2n ﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n =3n+2n ﹣1， ∵数列{3n}的前n 项和为n （n+1），数列{2n ﹣1}的前n 项和为1× = 2n ﹣1，∴数列{bn}的前n 项和为；考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；3.数列求和．17. 【答案】（1）答案见解析（2）2π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）根据所选条件分别计算能否使f (x )成立，从而可求解.（2）根据（1）中可得()π26f x x ⎛⎫=− ⎪⎭，再利用整体代换法得πππ2,2666x m ⎡⎤−∈−−⎢⎥⎣⎦，从而可求得ππ2π66m −≤+，再结合m >0，从而可求解. 【小问1详解】由()()sin 2cos cos 2sin sin 2f x x x x ϕϕϕ=−=−， 若选条件①：可知当π3x =时，π2πsin 133f ϕ⎛⎫⎛⎫=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π2ϕ<，即π6ϕ=，且对任意x ∈R ，都有()π13f x f ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭恒成立，故选条件①时f (x )存在，故可选①； 若选条件②：ππ1sin cos 422f ϕϕ⎛⎫⎛⎫=−==−⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2π2π3k ϕ=+或4π2π3k ϕ=+，k ∈Z ，因为π2ϕ<，所以与条件矛盾，故不选②； 若选条件③：ππ2ππππππsin sin sin πφsin sin sin 236333333f f ϕϕϕϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−=−−−−=−+++=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为π2ϕ<，可得π6ϕ=，故条件③能使f (x )成立，故可选③； 综上所述：故可选择条件①或③，此时π6ϕ=. 【小问2详解】由（1）知()πsin 26f x x ⎛⎫=−⎪⎝⎭，当[]0,x m ∈时，πππ2,2666x m ⎡⎤−∈−−⎢⎥⎣⎦， 且f (x )的最小值为12−，所以可得ππ2π66m −≤+，解得2π3m ≤，又m >0， 所以2π03m <≤， 所以m 的取值范围为2π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.18. 【答案】（1）tan 2A =（2）2,c =S =【分析】（1）利用辅助角公式将题设化成πsin()62A +=，根据内角范围求出角A 即得；（2）由正弦定理求得sin 2B =，结合条件确定ππ,2B <<依次求出角,BC 和边c 、S . 【小问1详解】cos A A +=可得，π2sin()6A +=即πsin()62A +=. 又0π,A <<则ππ7π,666A <+< 故ππ,63A +=或π2π,63A +=解得π6A =或π2A =.因2,a b ==，则,a b A <不是最大角，故得π6A =，所以 πtan 2tan3A == 【小问2详解】由正弦定理sin sin a b A B =，可得223πsin sin 6B . 则sin B =因为222b a c >+，由余弦定理，222cos 02a c b B ac+−=<， 则ππ,2B <<故2ππ,,36B C ==则2,c a ==1sin 2S ab C == 19. 【答案】（1）0.3（2）0.88（3）88【分析】（1）根据相互独立的事件的概率求解即可；（2）根据相互独立的事件的概率求解即可；（3）分别求出2022年和2023年考生成绩的合格率，列出不等式即可求解.【小问1详解】记事件i A ：“2022年第i 次参加考试的考生通过考试”，{}1,2,3i ∈，记事件j B ：“2023年第j 次参加考试的考生通过考试”，{}1,2,3j ∈，则()1600.6100P A ==，()1500.5100P B ==， ∴从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，估计这两位考生都通过考试的概率为()()()11110.60.50.3P A B P A P B ==⨯=；【小问2详解】()1600.6100P A ==，()1400.4100P A ==， ∴()()()1212700.40.28100P A A P A P A ==⨯=， 小明在2022年参加考试，估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率为()()1210.60.280.88P P A A A +=+=；【小问3详解】2022年考生成绩合格的概率为()()()()1231234030201110.976100100100P A A A P A P A P A −=−=−⨯⨯=, 2023年考生成绩合格的概率为()()()()1231235040100111100100100m P B B B P B P B P B −−=−=−⨯⨯， 要使2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率， 则504010010.976100100100m −−⨯⨯≥，解得88m ≥. 故m 的最小值为88.20. 【答案】（1）1a =；（2）证明见解析； （3）01k <≤.【分析】（1）根据切点在曲线和切线上可得；（2）分0x >，0x =，0x <，利用导数讨论单调性，通过单调性讨论即可得证；（3）令()e cos sin 2xF x x k x =+−−，分01k <≤，1k >两种情况，利用导数讨论最值即可得解. 【小问1详解】解：因为()e cos x f x a x =+，所以()00e 1f a a =+=+， 又点()()0,0f 在切线2y x =+上，所以()02f =，所以12a +=，即1a =.【小问2详解】证明：欲证方程()2f x =仅有一个实根，只需证明e cos 20x x +−=仅有一个零点，令()e cos 2x g x x =+−，则()e sin xg x x '=−， 令()()e sin x h x g x x =−'=，则()e cos x h x x '=−， 讨论：（1）当0x >时，()0e cos e cos 1cos 0x h x x x x =−>−=−≥'， 所以ℎ(x )在(0,+∞)上单调递增，所以()()01h x h >=，即()e sin 10xg x x =>'−>， 所以()g x 在(0,+∞)上单调递增，()()00g x g >=，即此时无零点；（2）当0x =时，()00g =，即此时有一个零点；（3）当0x <时，()0e cos 2e cos 21cos 0x g x x x x =+−<+−=−+≤ 所以，当0x <时，g (x )<0，即此时无零点综上可得，()e cos 2xg x x =+−仅有一个零点，得证. 【小问3详解】当x ∈(0,+∞)时，e cos sin 2x x k x +>+，即e cos sin 20x x k x +−−>恒成立，令()e cos sin 2xF x x k x =+−−， 则()e sin cos xF x x k x =−'−， 由（Ⅱ）可知，x ∈(0,+∞)时e sin 1x x −>，所以()e sin cos 1cos xF x x k x k x '=−−>−， 讨论：（1）当01k <≤时，因为1cos 1x −≤≤，所以cos k k x k −≤≤，即11cos 1k k x k −≤−≤+，所以()1cos 10F x k x k >≥'−−≥，即当01k <≤时，()0F x '>，所以()e cos sin 2xF x x k x =+−−在x ∈(0,+∞)时单调递增， 所以()()00F x F >=恒成立，即满足条件e cos sin 20x x k x +−−>，（2）当1k >时，由()e sin cos xF x x k x =−'−可知()010F k ='−<， 又()ππe 0F k '=+>，所以存在()00,πx ∈，使得()00F x '=， 所以，当x ∈(0,x 0)时，()0F x '<，F (x )单调递减，当x ∈(x 0,+∞)时，()0F x '>，F (x )单调递增，所以()()000F x F <=，即不能保证e cos sin 20x x k x +−−>恒成立，综上可知，正数k 的取值范围是01k <≤.【点睛】思路点睛：根据不等式恒成立求参数范围常用方法：（1）参变分离，将问题转化为函数最值问题；（2）根据参数分类讨论，利用导数求函数最值即可求解.21. 【答案】（1）198（2）证明见解析 （3）证明见解析【分析】（1）直接根据绝对值的定义可得；（2）要证明题设不等式，可通过作差(,,,)(,,,)a b c d a c b d a b c d a c b d ττ−=−+−−−−−，去掉绝对值可得(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ−0≤，同理当a b c <<也类似讨论可得结论；（3）我们首先对（2）重新认识，由（2）易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，（将此作为引理），递增与递减只要证一个，另一个同理可得，如我们证递减，当12a a >时，先证明123a a a >>，再用反证法即可证明.【小问1详解】 12100122399100(,,,)a a a a a a a a a τ=−+−++−222299198=+++=⨯= 【小问2详解】 证明：因为(,,,)a b c d a b b c c d τ=−+−+−， (,,,)a c b d a c c b b d τ=−+−+−，所以(,,,)(,,,)a b c d a c b d a b c d a c b dττ−=−+−−−−−因为()()0a b b c −−>，所以a b c >>，或a b c <<.若a b c >>，则(,,,)(,,,)a b c d a c b d a b c d a c b d ττ−=−+−−+−−c b c d b d =−+−−− 当b c d >>时，上式()2()0c b c d b d c b =−+−−−=−<，当b d c ≥≥时，上式()2()0c b d c b d d b =−+−−−=−≤，当d b c >>时，上式()0c b d c d b =−+−−−=，即当a b c >>时，(,,,)(,,,)0a b c d a c b d ττ−≤.若a b c <<， 则(,,,)(,,,)a b c d a c b d b a c d c a b d ττ−=−+−−+−−，0b c c d b d =−+−−−≤.（同前）所以，当()()0a b b c −−>时，(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ≤成立.【小问3详解】证明：由（2）易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.（将此作为引理）下面来证明当12a a >时，{}n a 为递减数列.（ⅰ）证明23a a >.若132a a a >>，则由引理知交换23,a a 的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.若2a a a >>３１，则()()1212212121,,,,a a aa a a a a a a a a a a ττ=−+−>−+−=３３３３，与已知矛盾. 所以，123a a a >>.（ⅱ）设12(32)i a a a i n >>>≤≤−，证明1i i a a +>.若11i i i a a a −+>>，则由引理知交换1,i i a a +的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.若11i i i a a a +−>>，则211211(,,,)(,,,)i i i i i i i i a a a a a a a a ττ−−+−−+=，与已知矛盾.所以，1i i a a +>.（ⅲ）设121n a a a −>>>，证明1−>n n a a .若1n n a a −>，考查数列121,,,,n n a a a a −，则由前面推理可得122n n n a a a a −−>>>>，与121n a a a −>>>矛盾. 所以，1−>n n a a .综上，得证.同理可证：当12a a <时，有{}n a 为递增数列.。

天津市南开中学2023届高三年级统练数学科目本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分。

共150分，考试用时120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共45分）1．已知集合{}2A x x =≥，{}N B x x =∈，则()A B =R （ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1 2．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()333x x x x f x −+=+的部分图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．函数2ln y x x =−的零点所在的大致区间是（ ）A ．1(,1)eB ．(1,2)C ．(2,e)D ．(e,)+∞5．已知 0.10.9ln 2.3, 2.3,log 1.2a b c ===， 则（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<6．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ，若122l l =，则12S S =（ ） A ．3 B ．4 C ．1 D ．27．已知正实数,a b 满足4111a b b +=++，则2+a b 的最小值为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．128．已知sin cos sin cos θθθθ+=，则角θ所在的区间可能是（ ）A ．(,)42ππB ．3(,)24ππC ．5(,)4ππD ．(,)24ππ−− 9．已知函数()()()2,0,2ln ,0,x x f x g x x x x x ⎧==−⎨>⎩，若方程()()()0f g x g x m +−=的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1mB ．1m ≥C ．1m <D ．1m ≤第Ⅱ卷（共105分）二、填空题（每小题5分，共30分）10．复数i 2i=+_________. 11．已知()3sin 32sin 2παπα⎛⎫−=−+ ⎪⎝⎭，求()()()3sin 5sin 22cos 2sin ππααπαα⎛⎫−−− ⎪⎝⎭=−−−___________. 12．732x ⎫⎪⎭展开式中的常数项是_____． (用数字作答) 13.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定两位同学每天到校情况相互独立．用X 表示甲同学上学期间的某周五天中7：30之前到校的天数，则()E X =______，记“上学期间的某周的五天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学恰好多3天”为事件M ，则()P M =______． 14．若点()cos ,sin P θθ与点cos ,sin 66Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 关于y 轴对称，则绝对值最小的θ值为_____．15．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(1)(1)f x f x +=−，当[]01x ∈，时，()f x x =，若函数()log (1)a y f x x =−+（0a >且1a ≠）有且仅有6个零点，则a 的取值范围是______．三、 解答题16.（本小题14分） 已知3π4απ<<， 110ta tan n 3a α=−＋. (1)求tan α的值；(2)求sin cos sin cos αααα+−的值； (3)求222sin sin co 3co s s αααα−− 的值.17. （本小题15分）在四棱锥P ABCD −中，//AB CD ，AB AD ⊥，2AB =，2AD =，1CD =，PA ⊥平面ABCD ，2PA =．(1)若E 是PA 的中点，求证：//DE 平面PBC ；(2)求证：BD ⊥平面PAC ；(3)求BC 与平面PAC 所成角的正弦值．18．（本小题15分）已知函数()824x xx a f x a ⋅+=⋅（a 为常数，且0a ≠，R a ∈）． (1).当1a =−时，若对任意[]1,2x ∈，都有()()2f x mf x ≥成立，求实数m 的取值范围；(2).当()f x 为偶函数时，若关于x 的方程()()2f x mf x =有实数解，求实数m 的取值范围．19．（本小题15分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在点()1,2P 处的切线斜率为4，且在1x =−处取得极值．(1).求函数()f x 的单调区间；(2).若函数()()1g x f x m =+−有三个零点，求m 的取值范围．20．（本小题16分）已知函数()()21ln 2x f x m x m x m =−+++，()f x '为函数()f x 的导函数．(1).讨论()f x 的单调性；。

北师大实验中学2024-2025学年第一学期高三统练（一）高三数学 2024.10命题人：曹絮 审题人：黎宁本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合2{|3100}A x x x =−−<，{|10}B x x =−<，则(AB = )A ．{|15}x x <<B ．{|21}x x −<<C ．{|12}x x <<D ．{|51}x x −<<2．设0.50.533434(),(),log (log 4)43a b c ===，则( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<3．若实数a 、b 满足220a b >>，则下列不等式中成立的是( ) A ．a b > B ．22a b > C ．||a b >D ．2222log log a b >4．若函数1,0,()0,0,1,0x x f x x x x −<⎧⎪==⎨⎪+>⋅⎩则“120x x +>”是“12()()0f x f x +>”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知复数z 的共轭复数是1i +，则复数2zi−在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6．已知()f x 是偶函数，它在[0,)+∞上是增函数．若()(1)f lgx f >，则x 的取值范围是( ) A ．1(,1)10B ．1(0,)(10,)10+∞C ．1(,10)10D ．(0，1)(10，)+∞7．函数()()sin 2x x f x e e x −=+−在[2,2]−上的最大值和最小值分别为M ，N ，则M N +=( ) A ．4−B ．0C ．2D ．48．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()g x 是定义在R 上的偶函数，且()()x f x g x e +=，则2()4()f x g x +的最小值是( ) A ．2B．C ．4D．9．某渔场鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际的养殖量x 要小于m ，留出适当的空闲量，已知鱼群的年增长量y （吨）和实际养殖量x （吨）与空闲率（空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率）的乘积成正比（设比例系数0k >），则鱼群年增长量的最大值为( ) A ．2mkB ．4mkC ．2m D ．4m 10．英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛．若数列{}n x 满足1()()n n n n f x x x f x +=−'，则称数列{}n x 为牛顿数列．若1()f x x =，数列{}n x 为牛顿数列，且11x =，0n x ≠，数列{}n x 的前n 项和为n S ，则满足2024n S 的最大正整数n 的值为( ) A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ．12．能够说明“设a ，b ，c 是任意实数，若a b c <<，则ac bc <”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为 ．13．已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且(1)0f −=．若对任意的1x 、2(0,)x ∈+∞且12x x ≠，都有122121()()0x f x x f x x x −>−成立，则不等式()0f x >的解集是 ．14．已知函数2()(1)f x lg x ax =++在区间(,2)−∞−上单调递减，则a 的取值范围为 ． 15． 华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用．在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设()f x 是定义在R 上的函数，对于0x R ∈，令1()(1n n x f x n −==，2，3，)，若存在正整数k 使得0k x x =，且当0j k <<时，0j x x ≠，则称0x 是()f x 的一个周期为k 的周期点，给出下列四个结论：①若()21f x x =−，则()f x 存在唯一一个周期为1的周期点； ②若()2(1)f x x =−，则()f x 存在周期为2的周期点；③若12,2()12(1),2x x f x x x⎧<⎪⎪=⎨⎪−⎪⎩，则()f x 存在周期为3的周期点；④若()(1)f x x x =−，则对任意正整数n ，12都不是()f x 的周期为n 的周期点． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（本小题13分）已知{}n a 是等差数列，11a =，且1a ，3a ，9a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的公差； （2）求数列{2}n a 的前n 项和n S ．17．（本小题13分）已知函数22()()(12)(0)f x a x lnx a x a =−+−． （Ⅰ）若1x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间．18．（本小题14分）随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮．某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了40名学生，记录他们每天学习“中华诗词”的时间，并整理得到如下频率分布直方图：根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等2050t <50t（Ⅰ）从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；（Ⅱ）从两组“痴迷”的同学中随机选出2人，记ξ为选出的两人中甲大学的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（Ⅲ）试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值X 甲与X 乙的大小，及方差2S 甲与2S 乙的大小．（只需写出结论）19．（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，长轴的左端点为(2,0)A −．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的右焦点的任一直线l 与椭圆C 分别相交于M ，N 两点，且AM ，AN 与直线4x =分别相交于D ，E 两点，求证：以DE 为直径的圆恒过x 轴上定点，并求出定点．20.（本小题15分）已知函数2()222xf x e ax x =−−− （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0a ≤时，求证：函数()f x 有且只有一个零点；（Ⅲ）当0a >时，写出函数()f x 的零点的个数.（只需写出结论）21.（本小题15分）无穷数列{}n a 满足：1a 为正整数，且对任意正整数n ，1n a +为前n 项12,,,n a a a 中等于n a 的项的个数.（Ⅰ）若12a =，请写出数列{}n a 的前7项；（Ⅱ）求证：对于任意正整数M ，必存在k *∈N ，使得k a M >；（Ⅲ）求证：“11a =”是“存在m *∈N ，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”的充要条件.北师大实验中学2024-2025学年第一学期高三统练（一）参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．A 2．B 3．D 4．C 5．D 6．B 7．A 8．B 9．B 10．A 二、填空题 5小题，每小题5分，共25分． 11.3112．如：2−，1−，0（答案不唯一） 13．(1−，0)(1，)+∞14．(−∞，5]215． ①③④注： 15题不选、错选0分，少选3分，选全对5分三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题13分）解：（1）设{}n a 的公差为d ，则由题意，2(12)18d d +=+， 解得1d =或0d =．（2）由（1）得数列{}n a 的通项公式为1n a =或n a n =． 由于22n a =或22n a n =，由等比数列前n 项和公式得2n S n =或12(12)2212n n n S +−==−−． 17．（本小题13分）解：（Ⅰ）函数22()()(12)(0)f x a x lnx a x a =−+−的定义域为(0,)+∞， 21(21)()()(2)12ax x a f x a x a x x+−'=−+−=， 因为1x =是函数()y f x =的极值点，所以f '（1）0=，即(21)(1)0a a +−=，0a ，解得1a =，经检验知，当1a =时，1x =是函数()y f x =的极值点，所以1a =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知(21)()()ax x a f x x+−'=，0a ，当0a =时，()0f x '>，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无减区间； 当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，当x a >时，()0f x '>， 所以函数()f x 的递减区间为(0,)a ，增区间为(,)a +∞．综上，当0a =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无减区间； 当0a >时，函数()f x 的递减区间为(0,)a ，增区间为(,)a +∞．18．（本小题14分） 解：（Ⅰ） 由图知，甲大学随机选取的40名学生中，“爱好”中华诗词的频率为(0.0300.0200.015)100.65++⨯=，所以从甲大学中随机选出一名学生，“爱好”中华诗词的概率为0.65．（Ⅱ） 甲大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.005102⨯⨯=人，乙大学随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有400.015106⨯⨯=人， 所以，随机变量ξ的取值为0ξ=，1，2．所以02262815(0)28C C P C ξ===，1126283(1)7C C P C ξ===，2026281(2)28C C P C ξ===． 所以ξ的分布列为：ξ∴的数学期望为(0)012287282E ξ==⨯+⨯+⨯=． （Ⅲ）X X <乙甲，22S S >甲乙．19．（本小题15分）解：（Ⅰ）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，长轴的左端点为(2,0)A −，所以1,22c a a ==，得b所以椭圆C 的方程：22143x y +=； （Ⅱ）证明：椭圆右焦点坐标为(1,0)，由题直线斜率不为零，设直线l 方程为1x my =+， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由题，联立方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得22(34)690m y my ++−=，所以12122269,3434m y y y y m m −−+==++，直线11:(2)2y AM y x x =++，得116(4,)2y D x +， 同理，直线22:(2)2y AN y x x =++，得226(4,)2y E x +，设x 轴上一点(,0)P t ，则116(4,)2y PD t x =−+，同理得：226(4,)2y PE t x =−+， 所以2121212126636(4,)(4,)(4)22(2)(2)y y y y PD PE t t t x x x x ⋅=−⋅−=−+++++， 因为1212(2)(2)(3)(3)x x my my ++=++，所以 22212222123636(9)(4)(4)(4)90(3)(3)9182736y y PD PE t t t my my m m m ⨯−⋅=−+=−+=−−=++−−++, 解得：43t −=±，即1t =或7t =，所以以DE 为直径的圆恒过x 轴上定点，定点分别为(1,0)，(7,0)．20. （本小题15分）（Ⅰ）因为函数2()222x f x ax x =−−−e ，所以'()222xf x ax =−−e ，故(0)0f =，'(0)0f = ，曲线()y f x =在0x =处的切线方程为0y = （Ⅱ）当0a ≤时，令()'()222xg x f x ax ==−−e ，则'()220xg x a =−>e故()g x 是R 上的增函数. 由(0)0g =，故当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >. 即当0x <时，'()0f x <，当0x >时，'()0f x >.故()f x 在(,0)−∞单调递减，在(0,)+∞单调递增.函数()f x 的最小值为(0)f ，由(0)0f =，故()f x 有且仅有一个零点. （Ⅲ）当01a <<时，()f x 有两个零点.当1a =时，()f x 有一个零点；当1a >时，()f x 有两个零点.21. （本小题15分）（Ⅰ）若12a =，则数列{}n a 的前7项为2，1，1，2，2，3，1 （Ⅱ）证法一假设存在正整数M ，使得对任意的*k ∈N ，k a M ≤. 由题意，{1,2,3,...,}k a M ∈，故数列{}n a 多有M 个不同的取值 考虑数列{}n a 的前21M +项： 1a ，2a ，3a ，…，21M a + 其中至少有1M +项的取值相同，不妨设121M i i i a a a +==⋅⋅⋅= 此时有：111M i a M M ++=+>，矛盾.故对于任意的正整数M ，必存在*k ∈N ，使得k a M >.（Ⅱ）证法二假设存在正整数M ，使得对任意的*k ∈N ，k a M ≤.由题意，{1,2,3,...,}k a M ∈，故数列{}n a 多有M 个不同的取值对任意的正整数m ，数列{}n a 中至多有M 项的值为m ，事实上若数列{}n a 中至少有1M +项的值为m ，其1M +项为12311,,,,,,M M M i i i i i i a a a a a a −+⋅⋅⋅，此时有：111M i a M M ++=+>，矛盾.故数列{}n a 至多有2M 项，这与数列{}n a 有无穷多项矛盾. 故对于任意的正整数M ，必存在*k ∈N ，使得k a M >.（Ⅲ）充分性：若11a =，则数列{}n a 的项依次为1，1，2，1， 3，1，4，1，…，2k −，1，1k −，1，k ，1，…特别地，数列{}n a 的通项公式为,211,2n k n k a n k =−⎧=⎨=⎩，即1,2121,2n n n k a n k+⎧=−⎪=⎨⎪=⎩ 故对任意的*n ∈N（1）若n 为偶数，则21n n a a +== （2）若n 为奇数，则23122n n n n a a +++=>= 综上，2n n a a +≥恒成立，特别地，取1m =有当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立必要性：方法一假设存在1a k =（1k >），使得“存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立” 则数列{}n a 的前21k +项为k，211,1,2,1,3,1,4,...,1,2,1,1,1,k k k k−−−项，232,2,3,2,4,2,5,...,2,2,2,1,2,k k k k−−−项，253,3,4,3,5,3,6,...,3,2,3,1,3,k k k k −−−项，⋅⋅⋅，52,2,1,2,k k k k k −−−−项，31,1,k k k −−项，k后面的项顺次为21,1,1,2,1,3,...,1,2,1,1,1,k k k k k k k k k k ++++−+−+项，22,1,2,2,2,3,...,2,2,2,1,2,k k k k k k k k k k ++++−+−+项，23,1,3,2,3,3,...,3,2,3,1,3,k k k k k k k k k k ++++−+−+项，…2,1,,2,,3,...,,2,,1,,k k t k t k t k t k k t k k t k ++++−+−+项，…故对任意的1,2,3,...,2,1,s k k k =−−，*t ∈N2212(1)2112(1)2k t k s k t k sa k ta s ++−+−++−+=+⎧⎪⎨=⎪⎩ 对任意的m ，取12m t k ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，则2kt m > ，令212n k kt =++，则n m >，此时n a k =，21n a +=有2n n a a +>，这与2n n a a +≤矛盾，故若存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立，必有11a = 方法二 若存在m N *∈，当n m ≥时，2n n a a +≥恒成立，记{}12max ,,,m a a a s =.由第（2）问的结论可知：存在k N *∈，使得k a s >（由s 的定义知1k m ≥+） 不妨设k a 是数列{}n a 中第一个．．．大于等于1s +的项，即121,,,k a a a −均小于等于s .则11k a +=.因为1k m −≥，所以11k k a a +−≥，即11k a −≥且1k a −为正整数，所以11k a −=.记1k a t s =≥+，由数列{}n a 的定义可知，在121,,,k a a a −中恰有t 项等于1.假设11a ≠，则可设121t i i i a a a ====，其中1211t i i i k <<<<=−，考虑这t 个1的前一项，即12111,,,t i i i a a a −−−，因为它们均为不超过s 的正整数，且1t s ≥+，所以12111,,,t i i i a a a −−−中一定存在两项相等，将其记为a ，则数列{}n a 中相邻两项恰好为（a ，1）的情况至少出现2次，但根据数列{}n a 的定义可知：第二个a 的后一项应该至少为2，不能为1，所以矛盾！ 故假设11a ≠不成立，所以11a =，即必要性得证！综上，“11a =”是“存在m N *∈，当n m ≥时，恒有2n n a a +≥成立”的充要条件.。

天津市南开中学2015届高三数学统练1 理一、选择题（共12个小题，每题5分）1. 已知集合(){}(){}2,9,,M x y y x N x y y x b ==-==+,且M N ⋂=Φ,则实数b 的取值范围是( ) A.32b ≥ B.02b <<C.332b -≤≤D.32,3b b ><-或2.已知函数()34x f x x +=-及()229712x g x x x -=-+的值域分别为,M N ,则( ) A.M N ⊇ B.M N = C.M N ⊆ D. 以上都不对3. 3.设映射()2:2f x x x x→-+是实数集R 到实数集R 的映射，若对于实数p R ∈，在R 中不存在原象，则p 的取值范围是（ ） .A()1,+∞ .B [)1,+∞ .C (),1-∞ .D (],1-∞4.如果奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数且最小值为5，那么()f x 在区间[]7,3--上是（ ）A.增函数且最小值为 5 B ．增函数且最大值为 5 C.减函数且最小值为 5 D ．减函数且最大值为55. 函数248136(1)x x y x ++=+()1x >-的最小值是（ ） .A 1 .B 32 .C 2 .D 36.已知函数13y x x =-+的最大值为M ，最小值为m ，则mM 的值为（ ）． A.14B ．12C ．2D ．37.已知条件:15p a -<<,条件22:210q x ax a -+-=的两根均大于2-小于4,则p 是q 的( )条件.A .充分不必要B .必要不充分 C.充分且必要 D .既不.充分也不必要8.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1x ，2x ∈R 有()()()12121f x x f x f x +=++，则下列说法一定正确的是（ ）．A ．()f x 为奇函数 B ．()f x 为偶函数 C ．()1f x +为奇函数 D ．()1f x +为偶函数9.若函数()x f y =在（0，2）上是增函数，()2+=x f y 是偶函数，则有（ ）.A ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛<27251f f fB ．()12527f f f <⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛ C ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎪⎭⎫⎝⎛25127f f f D ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎪⎭⎫⎝⎛27125f f f10．函数2()2f x x ax a =-+在(,1)-∞上有最小值，则函数()()f x g x x =在(1,)+∞上一定（ ）A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数11. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+=)1(11)11(22)1()1()(2x x x x x x x f ，已知1)(>a f ，则a 的取值范围是（ ）A.（－∞，－2）∪（－21，+∞） B.（－21，21）C.（－∞，－2）∪（－21，1）D.（－2，－21）∪（1，+∞）12.设2,||1(),||1x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[0,)+∞，则()g x 的值域是（ ）A.(,1][1,)-∞-+∞UB.(,1][0,)-∞-+∞UC.[0,)+∞D.[1,)+∞二、填空题（共6个小题，每题5分）13. 若不等式022>-+ax x 在区间上有解，则a 的取值范围是 .14.定义在区间[]0,a 上的函数()223f x x x =-+有最大值为3，最小值为 2，正数a 的取值范围是 .15.已知函数()12axf xx+=+在区间()2,-+∞上是增函数, 则a的取值范围是 .16. 已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数)(xf是奇函数，,当0x>时,()241f x x x=-++,则)(xf的单调递增区间是 .17.函数y=的值域是 .18.已知()()()()23,22xf x m x m x mg x=-++=-.若同时满足条件:①对()(),00;x R f x g x∀∈<<或②()()(),4,0x f x g x∃∈-∞-⋅<.则实数m的取值范围是 .三、解答题（共有4个题，每题15分）19. 函数()f x对任意的实数m、n，有()()()f m n f m f n+=+，当0x>时，有()0f x>.(1)求证：()f x是奇函数,;(2)求证：()f x在(,)-∞+∞上为增函数.20. 已知函数)0(21)(>+-=xxaxf.(1)判断)(xf在),0(+∞上的增减性，并加以证明；（2）解关于x的不等式)(>xf;（3）若2)(≥+xxf在),0(+∞上恒成立，求a的范围.21.设()f x是定义在R上的函数,对k N*∈,当(]21,21kx I k k∈=-+时,()()22.f x x k=-求集合(){}k kM a f x ax I==方程在上有两个不相等的实根.22.已知113a≤≤, 若()221f x ax x=-+在区间[]1,3上的最大值为()M a, 最小值为()N a, 令()()()g a M a N a=-. (1)求()g a的函数解析式；(2)判断()g a的单调性, 并求出()g a的最小值.2015届高三数学统练1答案一、选择题 DAABCC BCCDCC二、填空题13.23,5⎛⎫-+∞⎪⎝⎭ 14.[]1,215.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭16. ()()2,0,0,2-17.12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，18.()42--，20. 已知函数)0(21)(>+-=x x a x f .(1)判断)(x f 在),0(+∞上的增减性，并加以证明；（2）解关于x 的不等式0)(>x f ;（3）若02)(≥+x x f 在),0(+∞上恒成立，求a 的范围. 20．解:（1）)(x f 在),0(+∞上为减函数证明：设210x x <<,)21()21()()(2121x a x a x f x f +--+-=-0)(222211221>-=-=x x x x x x ,∴ )()(21x f x f > .∴ )(x f 在),0(+∞上为减函数（2）不等式0)(>x f ，即021>+-x a ，即02>+-ax a x ,也即0)2(<⋅-ax a x① 当0>a 时，不等式0)2(<-a x x ,不等式解为a x 20<<② 当0<a 时，不等式0)2(>-a x x ,不等式解为0>x 或a x 2<（舍去）（3）若02)(≥+x x f 在),0(+∞上恒成立，即0221≥++-x x a∴ )1(21x x a +≤,∵ )1(2x x +的最小值为4 ∴ 41≤a .解得0<a 或41≥a 21.设()f x 是定义在R 上的函数,对k N *∈,当(]21,21k x I k k ∈=-+时,()()22.f x x k =-求集合(){}k k M a f x ax I ==方程在上有两个不相等的实根.21.解：问题等价于方程()22440x k a x k -++=在区间(]21,21k k -+有两个不等实根.记()()2244g x x k a x k =-++ ,利用根的分布,有()()()2221021041212124160g k g k k k k k a k ⎧->⎪+≥⎪⎪+⎨-<<+⎪⎪∆=+->⎪⎩解得1211212208a k a k a a a k ⎧<⎪-⎪⎪≤⎨+⎪-<<⎪⎪><-⎩或即1021a k <≤+. 所以10,21k M k ⎛⎤= ⎥+⎝⎦. 22.已知113a ≤≤, 若()221f x ax x =-+在区间[]1,3上的最大值为()M a , 最小值为()N a , 令()()()g a M a N a =-. (1)求()g a 的函数解析式；(2)判断()g a 的单调性, 并求出()g a 的最小值.。

一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023年天津市新华中学高三上学期第一次统练数学试题的。

1.设集合，，则( )A. B.C.D.2.已知，则“”是“”的( )A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.下列函数中，最小正周期为的奇函数是( )A. B. C.D.4.对某校400名学生的体重单位：进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60kg以上的人数为( )A. 300B. 100C. 60D. 205.已知，则的大小关系为( )A.B.C.D.6.若将一个圆锥的侧面沿一条母线展开，其展开图是半径为5，面积为的扇形，则与该圆锥等体积的球的半径为( )A. B.C. D.7.设，且，则( )A.B. 10C. 20D. 1008.已知，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足，那么点P到x轴的距离为( )A. B. C. D.9.的最大值与最小值之差为( )A. B. C. D. 0二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

10.____.11.若展开式中各项系数的和等于64，则展开式中的系数是__________.12.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为________.13.下图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是_____.14.已知函数则__________；若关于x的函数有且只有三个不同的零点，则实数k的取值范围是__________.15.在中，点分别为的中点，点G为AN与BM的交点，若，，且满足，则__________；__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。

2024北京北师大实验中学高三（上）统练一数 学试卷说明：1．本次考试时间120分钟，总分150分． 2．试卷共有三道大题，21道小题． 3．请将全部答案答在答题纸上．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在答题纸上1. 已知集合{}42A x x =−<<，{}29B x x =≤，则A B =（ ）A. (]4,3−B. [)3,2−C. ()4,2−D. []3,3−2. 若复数()()()1a i i a R ++∈为纯虚数，则a 的值为（ ） A. 1−B. 0C. 1D. 23. 在421x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（ ） A. 4−B. 4C. 6−D. 64. 下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. ()ln f x x =− B. 1()2xf x =C. 1()f x x=−D. |1|()3x f x −=5. 设,R,0a b ab ∈≠，且a b >，则（ ） A.b a a b< B.2b aa b+> C. ()sin a b a b −<−D. 32a b >6. 已知圆C 过点()1,2A −，()10B ,，则圆心C 到原点距离的最小值为（ ）A.12B.2C. 17. 已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2AP AB AC =+，则AP AB ⋅的值为（ ）A. 2B. 4−C. 4D.8. 已知函数()sin()f x x ϕ=+．则“(1)(1)f f −=”是“()f x 为偶函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为44， ）C.10. 若函数()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨−<≤⎪⎩的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（ ） A. (]0,1 B. ()0,1 C. ()1,4D. ()2,4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸上．11. 抛物线y 2=2x 的焦点坐标为____．12. 若(cos ,sin )P θθ与(cos(),sin())66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ值______．13. 如图，在正三棱柱111ABC A B C −中，P 是棱1BB 上一点，12AB AA ==，则三棱锥1P ACC −的体积为___________.14. 设O 为原点，双曲线22:13y C x −=的右焦点为F ，点P 在C 的右支上.则C 的渐近线方程是___________；OP OF OP⋅的取值范围是___________.15. 对于数列{}n a ，令()112341n n n T a a a a a +=−+−+⋅⋅⋅+−，给出下列四个结论：①若n a n =，则20231012T =； ②若n T n =，则20221a =−；③存在各项均为整数的数列{}n a ，使得1n n T T +>对任意的*n ∈N 都成立； ④若对任意的*n ∈N ，都有n T M <，则有12n n a a M+−<.其中所有正确结论的序号是______.三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 如图，在三棱锥P ABC −中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB BC PC ====，．（1）求证：⊥BC 平面P AB ； （2）求二面角A PC B −−的大小．17. 在ABC 中，sin 2sin b A B =．（1）求A ∠；（2）若ABC 的面积为ABC 存在且唯一确定，求a 的值．条件①：sinC 4b c =；条件③：cos C = 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18. H 地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）.假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率. （1）试估计H 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率；（2）设H 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为X 元，求X 的分布列和数学期望；（3）H 地区农科所研究发现，若每亩多投入125元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加50kg .从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由.19. 如图，已知椭圆2222:1(0)y x E a b a b+=>>的一个焦点为1(0,1)F ．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点1F 作斜率为k 的直线交椭圆E 于两点A ，B ，AB 的中点为M ．设O 为原点，射线OM 交椭圆E 于点C ．当ABC 与ABO 的面积相等时，求k 的值．20. 已知函数()sin x f x x =（0πx <<），()(1)ln g x x x m =−+（m ∈R ） （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：1是()g x 的唯一极小值点；（Ⅲ）若存在a ，(0,)b ∈π，满足()()f a g b =，求m 的取值范围.（只需写出结论） 21. 若数列A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a （3n ≥）中*i a N ∈（1i n ≤≤）且对任意的21k n ≤≤−，112k k k a a a +−+>恒成立，则称数列A 为“U −数列”.（1）若数列1，x ，y ，7为“U −数列”，写出所有可能的x 、y ；（2）若“U −数列” A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，n a 中，11a =，2017n a =，求n 的最大值； （3）设0n 为给定的偶数，对所有可能的“U −数列”A ：1a ，2a ，⋅⋅⋅，0n a ，记{}012max ,,,n M a a a =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示1x ，2x ，⋅⋅⋅，s x 这s 个数中最大的数，求M 的最小值.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在答题纸上1. 【答案】A【分析】先求B ，再求并集即可【详解】易得{}3|3B x x =−≤≤，故(]4,3A B ⋃=− 故选：A 2. 【答案】C【分析】由复数乘法化为代数形式，然后由复数的分类求解．【详解】∵()(1)1(1)a i i a a i ++=−++为纯虚数，∴1010a a −=⎧⎨+≠⎩，∴1a =．故选：C ．【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查复数的分类，掌握复数概念是解题关键． 3. 【答案】A【分析】写出421x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的二项展开式的通项公式，再进行整理化简，要求x 的系数，可令1r =，进而可得结果.【详解】421x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的第1r +项为：()443144211r r r r rr rT C x C x x −−+⎛⎫=−− ⎪⎝=⎭，由431r −=得1r =，∴421x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为()11414C −=−. 故选：A 4. 【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC ，举反例排除D 即可. 【详解】对于A ，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，y x =−在()0,∞+上单调递减， 所以()ln f x x =−在()0,∞+上单调递减，故A 错误； 对于B ，因为2xy =在()0,∞+上单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减， 所以()12x f x =在()0,∞+上单调递减，故B 错误； 对于C ，因为1y x=在()0,∞+上单调递减，y x =−在()0,∞+上单调递减，所以()1f x x=−在()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，因为111221332f −⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f −−=====，显然()13x f x −=在()0,∞+上不单调，D 错误.故选：C. 5. 【答案】C【分析】举反例即可求解ABD,根据导数求证()sin ,0,x x x <∈+∞即可判断C. 【详解】对于A ，取2,1a b ==−，则122b aa b=−>=−，故A 错误， 对于B ，1,1a b ==−，则2b aa b+=，故B 错误， 对于C ，由于()sin 0,cos 10y x x x y x '=−>−≤=，故sin y x x =−在()0,∞+单调递减，故sin 0x x −<，因此()sin ,0,x x x <∈+∞，由于a b >，所以0a b−，故()sin a b a b −<−，C 正确，对于D, 3,4a b =−=−,则11322716ab =<=，故D 错误， 故选：C 6. 【答案】B【分析】由题意可知圆心在线段AB 的垂直平分线上，将所求的最值转化为原点到该直线的距离，即可得解.【详解】由圆C 过点()1,2A −，()10B ,，可知圆心在线段AB 的垂直平分线l 上 又1AB k =−，则1l k =又AB 的中点为()0,1，则直线l 的方程为1y x =+圆心C 到原点距离的最小值即为原点到直线l 的距离为2d == 故选：B7. 【答案】C【分析】利用数量积的定义和性质，即可计算结果. 【详解】由条件可知()2111222AP AB AB AC AB AB AB AC ⋅=+⋅=+⋅ 211cos 4522AB AB AC =⨯+⨯⨯122422=+⨯⨯=.故选：C 8. 【答案】C【分析】根据充分，必要条件的定义，结合三角函数变换，即可判断选项. 【详解】当()()11f f −=，即()()sin 1sin 1ϕϕ−+=+ 则sin cos1cos sin1sin cos1cos sin1ϕϕϕϕ−=+， 化简为cos sin10ϕ=，即ππ2k ϕ=+，Z k ∈， 当π2π,Z 2k k ϕ=+∈时，()cos f x x =，为偶函数， 当()π21π,Z 2k k ϕ=++∈时，()cos f x x =−，为偶函数， 所以()()11f f −=，能推出函数()f x 是偶函数 反过来，若函数()f x ()()11f f −=， 所以“(1)(1)f f −=”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件. 故选：C 9. 【答案】D【分析】根据题意分析可知平面PEF ⊥平面ABCD ，可知⊥PO 平面ABCD ，再结合等体积法，即可求解．【详解】底面ABCD 为正方形，边长为4，当相邻的棱长相等时，不妨设4PA PB AB ===，PC PD ==分别取AB ，CD 的中点E ，F ，连接PE ，PF ，EF ， 如图所示：则PE AB ⊥，EF AB ⊥，且PE EF E =，PE ，EF ⊂平面PEF ，故AB ⊥平面PEF ，且AB ⊂平面ABCD ， 所以平面PEF ⊥平面ABCD ，过P 作EF 的垂线，垂足为O ，即PO EF ⊥， 由平面PEF平面ABCD EF =，PO ⊂平面PEF ，所以⊥PO 平面ABCD ，由题意可得：PE =，2PF =，4EF =， 则222PE PF EF +=，即PE PF ⊥， 则1122PE PF PO EF ⋅=⋅，故PE PFPO EF⋅==，4PA PC ==，PB PD ==因为BD PB PD ==+，此时不能形成三角形PBD ，与题意不符，这样情况不存在． 故选：D ． 10. 【答案】B【分析】首先得到函数的定义域，再分析当0x ≤时()f x 的取值，即可得到3a ≤，再对0x a <≤时分2a ≥和02a <<两种情况讨论，求出此时()f x 的取值，即可得到()f x 的值域，从而得到不等式，解得即可；【详解】解：因为()()223,02,0xx f x x x a⎧+≤⎪=⎨−<≤⎪⎩，所以()f x 的定义域为(],a −∞，0a >， 当0x ≤时()23xf x =+，则()f x 在(],0−∞上单调递增，所以()(]3,4f x ∈；要使定义域和值域的交集为空集，显然03a <≤， 当0x a <≤时()()22f x x =−，若2a ≥则()20f =，此时显然不满足定义域和值域的交集为空集， 若02a <<时()f x 在(]0,a 上单调递减，此时()())22,4f x a ⎡∈−⎣，则()())(]22,43,4f x a ⎡∈−⎣，所以()2202a a a ⎧<−⎪⎨<<⎪⎩，解得01a <<，即()0,1a ∈ 故选：B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题纸上．11. 【答案】（，0）．【详解】试题分析：焦点在x 轴的正半轴上，且p=1，利用焦点为（，0），写出焦点坐标．解：抛物线y 2=2x 的焦点在x 轴的正半轴上，且p=1，∴=，故焦点坐标为（，0）， 故答案为（，0）． 考点：抛物线的简单性质．12. 【答案】512π（答案不唯一） 【分析】先由关于y 轴对称得出关系式，再由诱导公式求解即可.【详解】由题意得，cos cos(),sin sin()66ππθθθθ=−+=+，由诱导公式cos cos(),sin sin()θπθθπθ=−−=−知，6πθθπ++=显然满足题意，解得512πθ=. 故答案为：512π（答案不唯一）.13. 【答案】3【分析】利用线面垂直的判定定理确定三棱锥的高，再用锥体体积公式求解即可.【详解】取AC 中点为O ,连接OB ， 因为ABC 为正三角形，所以OB AC ⊥，又因为1AA ⊥平面ABC ，OB ⊂平面ABC ， 所以1AA OB ⊥,且11,,AA AC A AA AC ⋂=⊂平面11ACC A ， 所以OB ⊥平面11ACC A ，OB ==即B 到平面11ACC A 的距离为OB =又因为11//BB AA ,1BB ⊄平面11ACC A ,1AA ⊂平面11ACC A , 所以1//BB 平面11ACC A ，又因为P 是棱1BB 上一点，所以P 到平面11ACC A 的距离为OB =所以11133P ACC ACC V S OB −=⨯⨯=,故答案为:3.14. 【答案】 ①. y = ②. (]1,2【分析】根据双曲线的标准方程与渐近线方程的关系可写出双曲线C 的渐近线方程；求出,OP OF <>的取值范围，可得出2cos ,OP OF OP OF OP⋅=<>，结合余弦函数的基本性质可求得OP OF OP⋅的取值范围.【详解】在双曲线C 中，1a =，b =2c ==，则()2,0F ，所以，双曲线C 的渐近线方程为by x a=±=，直线y =的倾斜角为π3，由题意可知π0,3OP OF ≤<><，则1cos ,12OP OF <<>≤，所以，(]cos ,2cos ,1,2OP OF OF OP OF OP OF OP⋅=<>=<>∈.故答案为：y =；(]1,2. 15. 【答案】①②④【分析】逐项代入分析求解即可. 【详解】对于①：因为()112341n n n T a a a a a +=−+−+⋅⋅⋅+−，且因为n a n =，所以()112341n n T n +=−+−+⋅⋅⋅+−，所以20231234202120222023101120231012T =−+−+⋅⋅⋅+−+=−+=， 故选项①正确； 对于②：若n T n =，则()112341n n n T a a a a a n +=−+−+⋅⋅⋅+−=所以()()12112341111n n n n n T a a a a a a n ++++=−+−+⋅⋅⋅+−+−=+，所以两式相减得()2111n n a ++−=，所以()20212202211a +−=，所以20221a −=， 所以20221a =−， 故选项②正确；对于③：11234 (1)n n n T a a a a a +=−+−++−，12112341...(1)(1)n n n n n T a a a a a a ++++=−+−++−+−，所以若1n n T T +>对任意的*n ∈N 都成立， 则有123456...n T T T T T T T >>>>>>>，所以112123123412345a a a a a a a a a a a a a a a >−>−+>−+−>−+−+>()()12123456124561234561......1...1n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++−+−+−>>−++−++−>−+−+−++−，因为各项为整数，则不等式串中绝对值只能从1a 越来越小，之后甚至会出现0大于某数绝对值的情况，例如：10003001002053210...>>>>>>>>>，后续还会有绝对值，但是会有矛盾，故选项③错误； 对于④：若对任意的*n ∈N ，都有n T M <， 则有1n n a a +−.11122211...n n n n n a a a a a a a a a +−−−=−+−−+−+−+()112211221...(...)n n n n n n a a a a a a a a a a +−−−−=−+−++−+−+−−+112211221......n n n n n n a a a a a a a a a a +−−−−≤−+−++−+−+−−+112n n T T M M M +−=−+<+=.故选项④正确； 故答案为：①②④.三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 【答案】（1）证明见解析 （2）π3【分析】（1）先由线面垂直的性质证得PA BC ⊥，再利用勾股定理证得BC PB ⊥，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC 与平面PBC 的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解. 【小问1详解】因为PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ， 所以PA BC ⊥，同理PA AB ⊥， 所以PAB 为直角三角形，又因为PB ==1,BC PC ==，所以222PB BC PC +=，则PBC 为直角三角形，故BC PB ⊥， 又因为BC PA ⊥，PA PB P =， 所以⊥BC 平面PAB . 【小问2详解】由（1）⊥BC 平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，则BC AB ⊥，以A 为原点，AB 为x 轴，过A 且与BC 平行的直线为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)A P C B ，所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)AP AC BC PC ====−，设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z =，则0m AP m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1110,0,z x y =⎧⎨+=⎩ 令11x =，则11y =−，所以(1,1,0)m =−，设平面PBC 的法向量为()222,,x n y z =，则00n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200y x y z =⎧⎨+−=⎩，令21x =，则21z =，所以(1,0,1)n =， 所以11cos ,222m n m n m n⋅===⨯，又因为二面角A PC B −−为锐二面角， 所以二面角A PC B −−的大小为π3. 17. 【答案】（1）π6（2【分析】（1）利用正弦定理：边转角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出结果； （2）条件①，由sinC 7=，角C 可以是锐角或钝角，不满足题设中的条件，故不选①；条件②，利用条件建立，边b 与c 的方程组，求出b 与c ，再利用余弦定理，即可求出结果；条件③，利用正弦定理，先把角转边，再结合条件建立，边b 与c 的方程组，求出b 与c ，再利用余弦定理，即可求出结果； 【小问1详解】 因为sin 2sin b A B =，由正弦定理得，sin sin 2sin B AA B =，又()0,πB ∈，所以sin 0B ≠，得到sin 2A A =， 又sin 22sin cos A A A =，所以2sin cosA A A =，又()0,πA ∈，所以sin 0A ≠，得到cos2A =， 所以π6A =. 【小问2详解】 选条件①：sinC =由（1）知，π6A =，根据正弦定理知，sin 711sin 72c C a A ===>，即c a >，所以角C 有锐角或钝角两种情况，ABC 存在，但不唯一，故不选此条件.选条件②：b c =因为11π1sin sin2264ABCSbc A bc bc ====bc =又4b c =，得到4b =，代入bc =24c =，解得4c =，所以b =由余弦定理得，222222cos 4242716367a b c bc A =+−=+−⨯=+−=，所以a =选条件③：cos 7C =因为11π1sin sin 2264ABCSbc A bc bc ====bc =由cos 7C =，得到sin C ===又sin sin(π)sin()sin cos cos sin B A C A C A C A C =−−=+=+，由(1)知π6A =，所以1sin 277214B =⨯+=又由正弦定理得，sin sin 47b Bc C ===，得到4b c =，代入bc =24c =，解得4c =，所以b =由余弦定理得，222222cos 42427163672a b c bc A =+−=+−⨯⨯=+−=，所以a =18. 【答案】（1）0.15（2）分布列答案见解析，()1242E X = （3）建议农科所推广该项技术改良，理由见解析【分析】（1）计算出亩产量是500kg 的概率，结合表1以及独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知随机变量X 的可能取值有960、1080、1200、1350、1500，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得()E X 的值；（3）设增产前每亩冬小麦产量为kg ξ，增产后每亩冬小麦产量为kg η，则50ηξ=+，设增产后的每亩动漫小麦总价格为Y 元，计算出增产的50kg 会产生增加的收益，与125比较大小后可得出结论.【小问1详解】解：由图可知，亩产量是400kg 的概率约为0.005500.25⨯=，亩产量是450kg 的概率约为0015005..⨯=，亩产量是500kg 的概率约为0.005500.25⨯=， 估计H 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率为02506015...⨯= 【小问2详解】解：由题意可知，随机变量X 的可能取值有：960、1080、1200、1350、1500，()9600250401P X ...==⨯=，()1080050402P X ...==⨯=， ()12000250402506025P X .....==⨯+⨯=，()1350050603P X ...==⨯=，()150002506015P X ...==⨯=，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：96001108002120002513500315000151242E X .....=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】解：建议农科所推广该项技术改良，设增产前每亩冬小麦产量为kg ξ，增产后每亩冬小麦产量为kg η，则50ηξ=+，设增产后的每亩动漫小麦总价格为Y 元，分析可知()()()502404306E Y E X ...=+⨯⨯+⨯， 所以，增产的50kg 会产生增加的收益为()502404306138125...⨯⨯+⨯=>， 故建议农科所推广该项技术改良.19. 【答案】（1）2212y x +=；（2）k =【分析】（1）由题意得到22212c ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解出即可.（2）AB 的方程为1y kx =+，联立椭圆方程得()222210k x kx ++−=，设()()1122,,,A x y B x y ,得到两根之和式，设()00,C x y ,根据OC OA OB =+，从而0120122224,22k x x x y y y k k −=+==+=++，结合其在椭圆上得到()()22222816222k kk+=++，解出即可.【小问1详解】由题设,22212c ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得1a b ==.所以椭圆E 的方程为2212y x +=.【小问2详解】直线AB 的方程为1y kx =+.由221,22y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()222210k x kx ++−=. 设()()1122,,,A x y B x y , 则()1212122224,222k x x y y k x x k k −+=+=++=++. 因为ABC 与ABO 的面积相等,所以点C 和点O 到直线AB 的距离相等.所以M 为线段OC 的中点,即四边形OACB 为平行四边形.设()00,C x y , 则OC OA OB =+. 所以0120122224,22k x x x y y y k k −=+==+=++. 将上述两式代入220022x y +=， 得()()22222816222k kk+=++.解得k =【点睛】关键点睛：本题第二问得到两根之和式()1212122224,222k x x y y k x x k k −+=+=++=++，通过面积相等则得到M 为线段OC 的中点，则M 为线段OC 的中点，利用向量加法得到OC OA OB =+，从而用k 表示出C 点坐标，最后结合其在椭圆上，代入椭圆方程即可. 20. 【答案】(1) 单调递增区间为3(0,)4π，()f x 的单调递减区间为3(,)4ππ （2）见解析（3）34m π≤e【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极小值即可； （Ⅲ）结合题意写出m 的范围即可．【详解】（Ⅰ）因为()sin cos )2sin()4x x xf x e x e x e x π'=+=+，令()0f x '=，得sin()04x π+= 因为0πx <<，所以34x π=当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下：故()f x 的单调递增区间为(0,)4，()f x 的单调递减区间为(,)4π；（Ⅱ）证明：1()(1)()1(0)g x x lnx m g x lnx x x'=−+∴=−+>， 设1()()1h x g x lnx x '==−+，则211()0h x x x'=+> 故()g x '在(0,)+∞是单调递增函数， 又g '（1）0=，故方程()0g x '=只有唯一实根1x =当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下：故在时取得极小值（），即是的唯一极小值点；（Ⅲ）34m eπ≤21. 【答案】（1）12x y =⎧⎨=⎩，13x y =⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩；（2）n 的最大值为65；(3)20288n n −+．【分析】（1）利用“U −数列”，能求出数列1，x ，y ，7为“U −数列”，所有可能的x ，y ． （2）由11112k k k k k k k a a a a a a a +−+−+>⇔−>−，推导出11k k b b −+对任意的21k n −恒成立，从而1(1)(2)201712n n −−−，进而6265n −；取1(164)i b i i =−，则对任意的264k ，1k k b b −>，故数列{}n a 为“U −数列”，得到65n =符合题意，由此能求出n 的最大值为65．（3）当*02(2,)n m m m N =∈时，11k k b b +−，1121()()()m k k m k m k m k m k k k b b b b b b b b m +++−+−+−+−=−+−+⋯+−．从而2212100(1)2822228mm m a a a a m m n n m m M++++−−+−+=；当11b m =−，22b m =−，⋯，11m b −=−，0m b =，11m b +=，⋯，211m b m −=−时，20012128(1)128mn n M a a m m −+===−+=，由此能求出M 的最小值为200288n n −+．【详解】解：（1）数列1:A a ，2a ，⋯，(3)n a n 中*(1)i a N i n ∈且对任意的11212k k kk n a a a +−−+>恒成立，则称数列A 为“U −数列”． 数列1，x ，y ，7为“U −数列”，∴所有可能的x ，y 为12x y =⎧⎨=⎩，13x y =⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩．（2）n 的最大值为65，理由如下一方面，注意到：11112k k k k k k k a a a a a a a +−+−+>⇔−>−对任意的11i n −，令1i i i b a a +=−，则i b Z ∈且1(21)k k b b k n −>−，故11k k b b −+对任意的21k n −恒成立．(★)当11a =，2017n a =时，注意到121110b a a =−−=，得112211()()()1(21)i i i i i b b b b b b b b i i n −−−=−+−+⋯+−+−−此时112110122(1)(2)2n n a a b b b n n n −−=++⋯++++⋯+−=−−即1(1)(2)201712n n −−−，解得：6265n −，故65n 另一方面，取1(164)i b i i =−，则对任意的264k ，1k k b b −>，故数列{}n a 为“U −数列”， 此时651012632017a =++++⋯+=，即65n =符合题意． 综上，n 的最大值为65．（3）M 的最小值为200288n n −+，证明如下： 当*02(2,)n m m m N =∈时，一方面：由(★)式，11k k b b +−，1121()()()m k k m k m k m k m k k k b b b b b b b b m +++−+−+−+−=−+−+⋯+−． 此时有：1211221121()()()()m m m m m m m a a a a b b b b b b +++−−+−+=++⋯+−++⋯+ 1122211()()()(1)m m m m b b b b b b m m ++−−=−+−+⋯+−−故2212100(1)2822228mm m a a a a m m n n m m M++++−−+−+=另一方面，当11b m =−，22b m =−，⋯，11m b −=−，0m b =，11m b +=，⋯，211m b m −=−时，111112()()10k k k k k k k k k a a a a a a a b b +−+−−+−=−−−=−=>取1m a =，则11m a +=，123m a a a a >>>⋯>，122m m m a a a ++<<⋯<，且112121122111()(1)1()(1)122m m m m m m m a a b b b m m a a b b b m m −+++−=−++⋯+=−+=+++⋯+=−+此时20012128(1)128mn n M a a m m −+===−+=． 综上，M 的最小值为200288n n −+．。

湖南省长沙市铁路一中2024届高三数学试题第一次统练（一模）试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数11iz i+=-，则z 的虚部是（ ） A ．iB ．i -C ．1-D ．12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．43．函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．4．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若112PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ）A ．623+B ．622+C ．8D ．65．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左，右支于另一点12,,3M N PF PF =若，且260MF N ∠=，则双曲线的离心率为( ) A ．52B ．3C ．2D ．726．设，则"是""的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若函数2()xf x x e a =-恰有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．24(,)e+∞ B ．24(0,)eC ．2(0,4)eD ．(0,)+∞8．设实数x 、y 满足约束条件1024x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最小值为（ ）A ．2B ．24C ．16D ．149．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．247-B ．1731-C ．247D ．173110．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，对称轴与准线的交点为T ，P 为C 上任意一点，若2PT PF =，则PTF ∠=（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°11．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，则t的取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+D ．(],112ln 2-∞-+12．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（ ）A ．254+B ．9C ．7D ．252+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024-2025学年天津一中高三（上）统练数学试卷（一）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“∀x ∈R ，x 2−3x +5≤0”的否定是( )A. ∃x 0∈R ，x 20−3x 0+5≤0B. ∃x 0∈R ，x 20−3x 0+5>0C. ∀x ∈R ，x 2−3x +5≤0D. ∀x 0∈R ，x 20−3x 0+5>02.已知集合A ={x ∈R|12<2x <8}，B ={x ∈R|−1<x <m +1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是( )A. m ≥2B. m ≤2C. m >2D. −2<m <23.已知a =log 23，b =log 34，c =log 45，则有( )A. a >b >cB. a <b <cC. b >c >aD. b >a >c 4.函数f(x)=sinx |x|的图象大致是( )A. B.C. D.5.若f(x)=x 3+ax 2+bx−a 2−7a 在x =1处取得极大值10，则b a 的值为( )A. −32或−12B. −32或12C. −32D. −126.如图是某校随机抽取100名学生数学月考成绩的频率分布直方图，据此估计该校本次月考数学成绩的总体情况(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)，下列说法正确的是( )A. 平均数为74B. 众数为60或70C. 中位数为75D. 该校数学月考成绩80以上的学生约占25%7.已知某函数的图象如图所示，则下列函数中，图象最契合的函数是( )A. y =sin(e x +e −x )B. y =sin(e x −e −x )C. y =cos(e x −e −x )D. y =cos(e x +e −x )8.已知a ，b ，c 为正实数，则代数式a b +3c +b 8c +4a +9c 3a +2b 的最小值为( )A. 4748B. 1C. 3536D. 349.设f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f(x +4)=f(x)，且当x ∈[−2,0]时，f(x)=(13)x−6，若在区间(−2,6]内关于x 的方程f(x)−log a (x +2)=0(a >1)恰有3个不同的实数根，求实数a 的取值范围是( )A. (1,2)B. (2,+∞)C. (1,34)D. (34,2)二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。