沪教新版九年级(下) 中考题同步试卷：第2节 直线与圆、圆与圆的位置关系(02)

沪科版数学九年级下册24.4《直线与圆的位置关系》同步测试题（含答案解析）一．选择题（共18小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，如果圆A与线段BC没有公共点，那么圆A的半径r的取值范围是（）A．5≥r≥3B．3＜r＜5C．r＝3或r＝5D．0＜r＜3或r＞5 2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝5，AB＝12，以点A为圆心，5为半径画圆，则⊙A 与直线BC的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定3．⊙O的半径r＝5cm，点P在直线l上，若OP＝5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相切或相交4．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D，E分别是AC，BC的中点，则以DE 为直径的圆与AB的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．无法确定5．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，r为半径作⊙C，则正确的是（）A．当r＝2时，直线AB与⊙C相交B．当r＝3时，直线AB与⊙C相离C．当r＝2.4时，直线AB与⊙C相切D．当r＝4时，直线AB与⊙C相切6．如图，P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝59°，则∠P的度数为（）A．59°B．62°C．118°D．124°7．如图所示，已知AB为⊙O的弦，且AB⊥OP于D，P A为⊙O的切线，A为切点，AP＝6cm，OP＝4cm，则BD的长为（）A．cm B．3cm C．cm D．2cm8．如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°9．如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，连接AP，交⊙O于C，若∠PBC＝50°，∠ABC＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°10．如图，⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B，∠BAC＝25°，则∠AMB 的大小为（）A．25°B．30°C．45°D．50°11．点P是⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（）A．70°B．55°C．70°或110°D．55°或125°12．如图，P A、PB切⊙O于点A、B，P A＝10，CD切⊙O于点E，交P A、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．10B．18C．20D．2213．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝5，AC＝3，则BD 的长是（）A．4B．3C．2D．114．如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是（）A．3B．C．6D．15．如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．12cm B．7cmC．6cm D．随直线MN的变化而变化16．如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，已知OB＝3，PB＝2．则PC等于（）A．2B．3C．4D．517．如图，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C，则⊙O的半径是（）A．B．C．D．18．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA 上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（）秒钟后⊙P与直线CD相切．A．4B．8C．4或6D．4或8二．填空题（共6小题）19．已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段AB 只有一个交点，则r的取值范围为．20．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于度．21．已知：如图，在⊙O中，AB是直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，过D 点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为．22．如图，P A、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径为6cm，OP的长为10cm，则△PDE的周长是．23．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为．24．1．直线与圆相切时，公共点的个数是．2．已知：△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，半径为2的圆与直线AB的位置关系是3．如图所示，∠BAC＝60°，O是射线AB上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O，将AC绕点A逆时针旋转°时，AC与⊙O相切．三．解答题（共7小题）25．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC＝BD；（2）求证：DE为⊙O的切线．26．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．27．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．求证：CT为⊙O的切线．28．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若DE＝2BC，AD＝5，求OC的值．29．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：（1）∠BOC的度数；（2）BE+CG的长；（3）⊙O的半径．30．已知：CP为圆O切线，AB为圆的割线，CP、AB交于P，求证：AP•BP＝CP2．31．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB．（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；（2）若，求BD的长．参考答案一．选择题（共18小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，如果圆A与线段BC没有公共点，那么圆A的半径r的取值范围是（）A．5≥r≥3B．3＜r＜5C．r＝3或r＝5D．0＜r＜3或r＞5【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形即可得出答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，当圆A的半径0＜r＜3或r＞5时，圆A与线段BC没有公共点；故选：D．2．在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝5，AB＝12，以点A为圆心，5为半径画圆，则⊙A 与直线BC的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定【分析】根据圆心到直线的距离小于圆的半径时直线与圆相交进行判断；【解答】解：∵∠A＝90°，AC＝5，AB＝12∴BC＝13，点A到直线BC的距离为＝＜5∴以点A为圆心，5为半径的⊙A与直线BC相交；故选：C．3．⊙O的半径r＝5cm，点P在直线l上，若OP＝5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相切或相交【分析】直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【解答】解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于5．此时和半径5的大小不确定，则直线和圆相交、相切都有可能．故选：D．4．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，D，E分别是AC，BC的中点，则以DE 为直径的圆与AB的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．无法确定【分析】首先根据三角形面积求出CM的长，进而得出直线AB与DE的距离，进而得出直线与圆的位置关系．【解答】解：过点C作CM⊥AB于点M，交DE于点N，∴CM×AB＝AC×BC，∴CM＝＝4.8，∵D、E分别是AC、BC的中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝5，∴CN＝MN＝CM，∴MN＝2.4，∵以DE为直径的圆半径为2.5，∴r＝2.5＞2.4，∴以DE为直径的圆与AB的位置关系是：相交．故选：B．5．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，r为半径作⊙C，则正确的是（）A．当r＝2时，直线AB与⊙C相交B．当r＝3时，直线AB与⊙C相离C．当r＝2.4时，直线AB与⊙C相切D．当r＝4时，直线AB与⊙C相切【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CD，和⊙C的半径比较即可．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝5，由三角形面积公式得：×3×4＝×5×CD，CD＝2.4，即C到AB的距离等于⊙C的半径长，∴⊙C和AB的位置关系是相切，故选：C．6．如图，P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝59°，则∠P的度数为（）A．59°B．62°C．118°D．124°【分析】先证明∠P＝180°﹣∠AOB，根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠ACB，求出∠AOB 的度数，即可得出结果．【解答】解：连接OA、OB，如图所示：∵P A、PB是⊙O切线，∴P A⊥OA，PB⊥OB，∴∠P AO＝∠PBO＝90°，∵∠P+∠P AO+∠AOB+∠PBO＝360°，∴∠P＝180°﹣∠AOB，∵∠ACB＝59°，∴∠AOB＝2∠ACB＝118°，∴∠P＝180°﹣118°＝62°，故选：B．7．如图所示，已知AB为⊙O的弦，且AB⊥OP于D，P A为⊙O的切线，A为切点，AP＝6cm，OP＝4cm，则BD的长为（）A．cm B．3cm C．cm D．2cm【分析】根据垂径定理得到AD＝BD，在直角△AOP中，利用勾股定理求得OA的长，然后证明△AOD∽△POA，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．【解答】解：∵P A为⊙O的切线，A为切点，∴∠P AO＝90°，在直角△APO中，OA＝＝2，∵AB⊥OP，∴AD＝BD，∠ADO＝90°，∴∠ADO＝∠P AO＝90°，∵∠AOP＝∠DOA，∴△APO∽△DAO，∴＝，即＝，解得：AD＝3（cm），∴BD＝3cm．故选：B．8．如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【分析】连接OB，CB与⊙O相切于点B，得到∠OBC＝90°，根据条件得到∠COB的度数，然后用三角形内角和求出∠C的度数即可．【解答】解：如图：连接OB，∵∠A＝25°，∴∠COB＝2∠A＝2×25°＝50°，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠OBC＝90°，∴∠C＝90°﹣∠BOC＝90°﹣50°＝40°．故选：D．9．如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，连接AP，交⊙O于C，若∠PBC＝50°，∠ABC＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】直接利用切线的性质得出∠PBA＝90°，进而答案．【解答】解：∵⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，∴∠PBA＝90°，∵∠PBC＝50°，∴∠ABC＝40°．故选：B．10．如图，⊙O中，AC为直径，MA，MB分别切⊙O于点A，B，∠BAC＝25°，则∠AMB 的大小为（）A．25°B．30°C．45°D．50°【分析】由AM与圆O相切，根据切线的性质得到AM垂直于AC，可得出∠MAC为直角，再由∠BAC的度数，用∠MAC﹣∠BAC求出∠MAB的度数，又MA，MB为圆O的切线，根据切线长定理得到MA＝MB，利用等边对等角可得出∠MAB＝∠MBA，由底角的度数，利用三角形的内角和定理即可求出∠AMB的度数．【解答】解：∵MA切⊙O于点A，∴∠MAC＝90°，又∠BAC＝25°，∴∠MAB＝∠MAC﹣∠BAC＝65°，∵MA、MB分别切⊙O于点A、B，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA，∴∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝50°，故选：D．11．点P是⊙O外一点，P A、PB分别切⊙O于点A、B，∠P＝70°，点C是⊙O上的点（不与点A、B重合），则∠ACB等于（）A．70°B．55°C．70°或110°D．55°或125°【分析】分两种情况讨论：点C在劣弧AB上；点C在优弧AMB上；再根据弦切角定理和切线的性质求得∠ACB．【解答】解：如图，∵P A、PB分别切⊙O于点A、B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠P＝70°，∴∠AOB＝110°，∴∠ACB＝55°，当点C在劣弧AB上，∵∠AOB＝110°，∴弧ACB的度数为250°，∴∠ACB＝125°．故选：D．12．如图，P A、PB切⊙O于点A、B，P A＝10，CD切⊙O于点E，交P A、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（）A．10B．18C．20D．22【分析】根据切线长定理得出P A＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，求出△PCD的周长是PC+CD+PD＝P A+PB，代入求出即可．【解答】解：∵P A、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，∴P A＝PB＝10，CA＝CE，DE＝DB，∴△PCD的周长是PC+CD+PD＝PC+AC+DB+PD＝P A+PB＝10+10＝20．故选：C．13．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝5，AC＝3，则BD 的长是（）A．4B．3C．2D．1【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC＝AP＝3，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP＝BD，∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣3＝2．故选：C．14．如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB＝3，则光盘的直径是（）A．3B．C．6D．【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB＝AC＝3、∠OAB＝60°，根据OB＝AB tan∠OAB可得答案．【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知AB＝AC＝3，OA平分∠BAC，∴∠OAB＝60°，在Rt△ABO中，OB＝AB tan∠OAB＝3，∴光盘的直径为6，故选：D．15．如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（）A．12cm B．7cmC．6cm D．随直线MN的变化而变化【分析】利用切线长定理得出BC＝BD+EC，DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，进而得出答案．【解答】解：设E、F分别是⊙O的切点，∵△ABC是一张三角形的纸片，AB+BC+AC＝17cm，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，BC＝5cm，∴BD+CE＝BC＝5cm，则AD+AE＝7cm，故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，∴AM+AN+MN＝AD+AE＝7（cm）．故选：B．16．如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，PC切⊙O于点C，已知OB＝3，PB＝2．则PC等于（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据题意可得出PC2＝PB•P A，再由OB＝3，PB＝2，则P A＝8，代入可求出PC．【解答】解：∵PC、PB分别为⊙O的切线和割线，∴PC2＝PB•P A，∵OB＝3，PB＝2，∴P A＝8，∴PC2＝PB•P A＝2×8＝16，∴PC＝4．故选：C．17．如图，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，⊙O分别与边AB，AC相切，切点分别为E，C，则⊙O的半径是（）A．B．C．D．【分析】根据切线长定理得AE＝AC，根据勾股定理得AB的长，从而得到BE的长，再利用切割线定理得BE2＝BD•BC，从而可求得BD的长，也就得到了半径的长．【解答】解：∵AE＝AC＝5，AC＝5，BC＝12，∴AB＝13，∴BE＝8；∵BE2＝BD•BC，∴BD＝，∴CD＝，∴圆的半径是，故选：A．18．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA 上，且与点O的距离为6cm．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（）秒钟后⊙P与直线CD相切．A．4B．8C．4或6D．4或8【分析】由题意判定CD是圆的切线，从其性质在△P1EO中求得OP1，从而求得．【解答】解：由题意CD与圆P1相切于点E，点P在射线OA上，点P只能在直线CD 的左侧．∴P1E⊥CD又∵∠AOD＝30°，r＝1cm∴在△OEP1中OP1＝2cm又∵OP＝6cm∴P1P＝4cm∴圆P到达圆P1需要时间为：4÷1＝4（秒）∴⊙P与直线CD相切时，时间为4秒故选：A．二．填空题（共6小题）19．已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，以r为半径作圆．若此圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为3＜r≤4或r＝．【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝3，BC＝4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，∴AB＝5，当直线与圆相切时，d＝r，圆与斜边AB只有一个公共点，圆与斜边AB只有一个公共点，∴CD×AB＝AC×BC，∴CD＝r＝，当直线与圆如图所示也可以有一个交点，∴3＜r≤4，故答案为：3＜r≤4或r＝．20．如图，已知AB是⊙O的直径，PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，则∠B等于55度．【分析】根据弦切角等于弦切角所夹的弧所对的圆周角求出∠A＝∠PCB，再根据直径所对的圆周角是直角得出∠A与∠B互余，计算即可求解．【解答】解：∵PC切⊙O于点C，∠PCB＝35°，∴∠A＝∠PCB＝35°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴35°+∠B＝90°，解得∠B＝55°．故答案为：55．21．已知：如图，在⊙O中，AB是直径，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝130°，过D 点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为40度．【分析】连接DB，即∠ADB＝90°，又∠BCD＝130°，故∠DAB＝50°，所以∠DBA ＝40°；又因为PD为切线，利用切线与圆的关系即可得出结果．【解答】解：连接BD，则∠ADB＝90°，又∠BCD＝130°，故∠DAB＝50°，所以∠DBA＝40°；又因为PD为切线，故∠PDA＝∠ABD＝40°，即∠PDA＝40°．22．如图，P A、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径为6cm，OP的长为10cm，则△PDE的周长是16cm．【分析】根据切线的性质，得到直角三角形OAP，根据勾股定理求得P A的长；根据切线长定理，得BD＝CD，CE＝AE，P A＝PB，从而求解．【解答】解：连接OA．∵P A、PB、DE分别切⊙O于A、B、C点，∴BD＝CD，CE＝AE，P A＝PB，OA⊥AP．在直角三角形OAP中，根据勾股定理，得AP＝8，∴△PDE的周长为2AP＝16．故选答案为16cm．23．如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为44．【分析】根据圆外切四边形的对边之和相等求出AD+BC，根据四边形的周长公式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AD+BC＝AB+CD＝22，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝44，故答案为：44．24．1．直线与圆相切时，公共点的个数是一个．2．已知：△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，半径为2的圆与直线AB的位置关系是相离3．如图所示，∠BAC＝60°，O是射线AB上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O，将AC绕点A逆时针旋转30°时，AC与⊙O相切．【分析】（1）根据直线与圆相切时公共点只有一个，即可求解；（2）设AB边上的高为d，则AB×d＝AC×BC，即：5d＝12，d＝＞2，即可求解；（3）设旋转到AD位置时，与圆相切，连接OD，∠ODA＝90°，OD＝OA，则∠OAD ＝30°，即可求解．【解答】解：（1）直线与圆相切时，公共点的个数是一个，故：答案为：一个；（2）设AB边上的高为d，则AB×d＝AC×BC，即：5d＝12，d＝＞2，故：圆与直线AB的位置关系是：相离，故答案为：相离；（3）设旋转到AD位置时，与圆相切，连接OD，∠ODA＝90°，OD＝OA，∴∠OAD＝30°，即：AC绕点A逆时针旋转30°时，AC与⊙O相切，故：答案为：30°．三．解答题（共7小题）25．已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC＝BD；（2）求证：DE为⊙O的切线．【分析】（1）连接AD，根据中垂线定理不难求得AB＝AC；（2）要证DE为⊙O的切线，只要证明∠ODE＝90°即可．【解答】证明：（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴DC＝BD；（2）连接半径OD，∵OA＝OB，CD＝BD，∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠CED，又∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．26．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE ＝OD，从而证得结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径，∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，∴AC是⊙O的切线．27．如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．求证：CT为⊙O的切线．【分析】连接OT，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得到∠CAT＝∠OTA，根据平行线的判定定理得到OT∥AC，根据平行线的性质得到OT⊥TC，根据切线的判定定理证明即可．【解答】证明：连接OT，∵AT平分∠BAD，∴∠CAT＝∠BAT，∵OT＝OA，∴∠OTA＝∠BAT，∴∠CAT＝∠OTA，∴OT∥AC，又TC⊥AC，∴OT⊥TC，∴CT为⊙O的切线．28．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若DE＝2BC，AD＝5，求OC的值．【分析】（1）首选连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO＝90°，即可证得直线CD是⊙O的切线；（2）由△COD≌△COB．可得CD＝CB，即可得DE＝2CD，易证得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD：OC的值，从而根据AD的长求得OC的长．【解答】（1）证明：连结DO．∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB．在△COD和△COB中，，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°．又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵△COD≌△COB．∴CD＝CB．∵DE＝2BC，∴ED＝2CD．∵AD∥OC，∴△EDA∽△ECO．∴，∵AD＝5，∴OC＝．29．如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB＝6cm，OC＝8cm．求：（1）∠BOC的度数；（2）BE+CG的长；（3）⊙O的半径．【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF＝180°，则有∠OBC+∠OCB＝90°，即∠BOC＝90°；（2）由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到BE+CG的长；（3）最后由三角形面积公式即可求得OF的长．【解答】解：（1）连接OF；根据切线长定理得：BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG；∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠OBE+∠OCF＝90°，∴∠BOC＝90°；（2）由（1）知，∠BOC＝90°．∵OB＝6cm，OC＝8cm，∴由勾股定理得到：BC＝＝10cm，∴BE+CG＝BC＝10cm．（3）∵OF⊥BC，∴OF＝＝4.8cm．30．已知：CP为圆O切线，AB为圆的割线，CP、AB交于P，求证：AP•BP＝CP2．【分析】连接AC、BC、CO并延长交圆O于点M，连结AM．先由切线的性质得出OC ⊥PC，那么∠ACP+∠ACM＝90°，由圆周角定理及直角三角形两锐角互余得出∠M+∠ACM＝90°，根据同角的余角相等得出∠ACP＝∠M，由圆周角定理得出∠M＝∠CBP，那么∠ACP＝∠CBP，又∠APC＝∠CPB，得出△ACP∽△CBP，根据相似三角形对应边成比例得到AP：CP＝CP：BP，即AP•BP＝CP2．【解答】证明：连接AC、BC、CO并延长交圆O于点M，连结AM．∵PC是圆O的切线，∴OC⊥PC，∴∠ACP+∠ACM＝90°，又∵CM是直径，∴∠M+∠ACM＝90°，∴∠ACP＝∠M，∵∠M＝∠CBP，∴∠ACP＝∠CBP，又∵∠APC＝∠CPB（公共角），∴△ACP∽△CBP，∴AP：CP＝CP：BP，∴AP•BP＝CP2．31．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE ⊥EB．（1）求证：AC是△BDE的外接圆的切线；（2）若，求BD的长．【分析】（1）根据切线的判定定理，垂直经过半径外端直线是圆的切线，连接OE，只要得出EO⊥EC即可得出；（2）由切割线定理，得：AE2＝AD•AB，根据切割线定理即可求出BD的长，由此得解．【解答】（1）证明：连接OE，∵BE平分∠ABC交AC于点E，∴∠1＝∠EBC，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠CBE，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴AC是⊙O的切线，∵⊙O是△BDE的外接圆，∴AC是△BDE的外接圆的切线；（2）解：∵AE是圆O的切线，AB是圆的割线，根据切割线定理：AE2＝AD×AB，∵，∴（）2＝2×（2+BD），解得：BD＝4．∴BD的长是：4．。

沪教新版九年级（下）中考题同步试卷：第2节直线与圆、圆与圆的位置关系（12）一、解答题（共30小题）1．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接BD、DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AD＝3，BD＝4，求BC的长．2．如图，CD是⊙O的直径，OB⊥CD交⊙O于点B，连接CB，AB是⊙O的弦，AB交CD 于点E，F是CD的延长线上一点且AF＝EF．（1）判断AF和⊙O的位置关系并说明理由（2）若∠ABC＝60°，BC＝1cm，求阴影部分的面积．（结果保留根号）3．如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD ＝30°．（1）求证：DP是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．4．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若∠BAC＝∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为点D．（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且∠CAB＝30°，求CE 的长．5．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝1，AM＝2，AE＝（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求的长．6．如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P＝∠BAC．（1）求证：P A为⊙O的切线；（2）若OB＝5，OP＝，求AC的长．7．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠B＝60°．（1）求∠ADC的度数；（2）求证：AE是⊙O的切线．8．如图，以AB为直径的半圆O交AC于点D，且点D为AC的中点，DE⊥BC于点E，AE 交半圆O于点F，BF的延长线交DE于点G．（1）求证：DE为半圆O的切线；（2）若GE＝1，BF＝，求EF的长．9．如图，P是⊙O外一点，P A切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，BC∥OP且交⊙O于点C，请准确判断直线PC与⊙O是怎样的位置关系，并说明理由．10．如图，△ABC内接于⊙O，OC和AB相交于点E，点D在OC的延长线上，且∠B＝∠D＝∠BAC＝30°．（1）试判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）AB＝6，求⊙O的半径．11．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE．（1）若∠C＝30°，求证：BE是△DEC外接圆的切线；（2）若BE＝，BD＝1，求△DEC外接圆的直径．12．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．（1）求证：DC为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AD＝4，求AC的长．13．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN 的垂线，垂足为点D，且∠BAC＝∠DAC．（1）猜想直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD＝6，cos∠ACD＝，求⊙O的半径．14．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，以BD为直径作⊙O交AC于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F．且BD＝BF．（1）求证：AC与⊙O相切．（2）若BC＝6，AB＝12，求⊙O的面积．15．如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点，且有BO＝BD＝BC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若半径OB＝2，求AD的长．16．在Rt△ACB中，∠C＝90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD＝∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论．（2）若AD：AO＝6：5，BC＝3，求BD的长．17．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DG⊥AB，垂足为点F，交⊙O于点G，∠A＝35°，⊙O半径为5，求劣弧DG 的长．（结果保留π）18．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB 的延长线相交于点F．（1）求证：DE为⊙O的切线．（2）求证：AB：AC＝BF：DF．19．如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是的中点，过点D作直线BC 的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若EF＝8，EC＝6，求⊙O的半径．20．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线：（2）若BF＝8，DF＝，求⊙O的半径r．21．如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若PD＝，求⊙O的直径．22．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A重合），过点P作AB的垂线交BC于点Q．（1）在线段PQ上取一点D，使DQ＝DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若cos B＝，BP＝6，AP＝1，求QC的长．23．如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE．（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若E是的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．24．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E，EF⊥AC，垂足为F．求证：直线EF是⊙O的切线．25．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若DE＝2BC，求AD：OC的值．26．如图，已知P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC＝CP＝2，弦AB⊥OC，劣弧AB 的度数为120°，连接PB．（1）求BC的长；（2）求证：PB是⊙O的切线．27．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB＝2∠BCP．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠P AC＝60°，直径AC＝4，求图中阴影部分的面积．28．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O直径，作∠CAD＝∠B，且点D在BC的延长线上，CE⊥AD于点E．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为8，CE＝2，求CD的长．29．如图，在△ABO中，OA＝OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C，且与OA 交于点E，与OB交于点F，连接CE，CF．（1）求证：AB与⊙O相切．（2）若∠AOB＝∠ECF，试判断四边形OECF的形状，并说明理由．30．已知，点C在以AB为直径的半圆上，∠CAB的平分线AD交BC于点D，⊙O经过A、D两点，且圆心O在AB上．（1）求证：BD是⊙O的切线．（2）若，，求⊙O的面积．沪教新版九年级（下）中考题同步试卷：第2节直线与圆、圆与圆的位置关系（12）参考答案一、解答题（共30小题）1．；2．；3．；4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．；16．；17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．；第11页（共11页）。

（新课标）沪教版五四制九年级下册27.4 圆与圆的位置关系一、课本巩固练习1、判断题。

（1）已知⊙O1与⊙O2 的半径长分别是R，2R，圆心距为d，如果1R=1，2R=2，1d=0.5，那么⊙O1与⊙O相交。

（）2（2）已知⊙O1与⊙O2的半径长分别为R，2R，如果1R=5，2R=3，且⊙O1与1⊙O相切，那么圆心距d=8.（）2（3）如果两圆相离，那么圆心距一定大于0.（）2、已知⊙O1与⊙O2的半径长分别为1，3，根据下列条件判断⊙O1与⊙O2的位置关系。

（1）O1O2=5；（2）O1O2=4；（3）O1O2=3；（4）O1O2=4；（5）O1O2=1；3、已知两圆内切，圆心距为2厘米，其中一个圆的半径长为3厘米，求另一个圆的半径长。

4、已知两圆的直径长分别为6厘米和8厘米，圆心距为14厘米，试说明这两个圆的位置关系。

5、已知△ABC中，AB=AC=2，=30∠︒，那么以顶点B为圆心，2为半径的圆B与直线AC的位置关系是什么？6、已知圆O的半径长为7，直线l平行于直线2l，且1l与圆O相切，圆心O到1直线l的距离为9，求2l与1l之间的距离。

2二、基础过关 一．选择1.已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为5cm 和3cm ，圆心距020=7cm ，则两圆的位置关系为（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切2.已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d ，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（ ） A ．01d <<B ．5d >C ．01d <<或5d >D ．01d <≤或5d >3.大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为（ ） A ．外离 B ．外切 Ｃ．相交 D ．内含4.右图是一张卡通图，图中两圆的位置关系（ ） A ．相交 B ．外离 C ．内切 D ．内含5.若两圆的半径分别是1cm 和5cm ，圆心距为6cm ，则这两圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离6.外切两圆的圆心距是7，其中一圆的半径是4，则另一圆的半径是（ ）A ．11B ．7C ．4D ．37.已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距O 1O 2的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）B ． 3 1 02 4 5D ．3 1 0 24 5A ． 3 1 0 2 4 5C ． 3 1 0 2 4 58.若两圆的半径分别是2cm 和3cm,圆心距为5cm ，则这两个圆的位置关系是（ ）A. 内切B.相交C.外切D. 外离9.若1O ⊙与2O ⊙相切，且125O O =，1O ⊙的半径12r =，则2O ⊙的半径2r 是（ ） A ． 3 B ． 5 C ． 7 D ． 3 或710.已知1O ⊙与2O ⊙外切，它们的半径分别为2和3，则圆心距12O O 的长是（ ） A ．12O O =1 B ．12O O ＝5 C ．1＜12O O ＜5 D ．12O O ＞511.已知两圆的半径分别为3cm 和2cm ，圆心距为5cm ，则两圆的位置关系是（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切12.如图，把⊙O 1向右平移8个单位长度得⊙O 2，两圆相交于A.B ，且O 1A ⊥O 2A ，则图中阴影部分的面积是( )A.4π-8B. 8π-16C.16π-16D. 16π-3213．若两圆的直径分别是2cm 和10cm ，圆心距为8cm ，则这两个圆的位置关系是（ ）A.内切B.相交C.外切D.外离14.如图，两个同心圆的半径分别为3cm 和5cm ，弦AB 与小圆相切于点C ，则AB 的长为（ ）A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm 15.如图，两同心圆的圆心为O ，大圆的弦AB 切小圆于P ，两圆的半径分别为6，3，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．93π- B ．63π-C ．933π-D ．632π-16．若相交两圆的半径分别为1和2，则此两圆的圆心距可能是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．417.图中圆与圆之间不同的位置关系（ ）A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种二．填空18．已知1O ⊙的半径为3cm ，2O ⊙的半径为4cm ，两圆的圆心距12O O 为7cm ，则1O ⊙与2O ⊙的位置关系是 ．(相切)19.已知两圆的半径分别是2和3，圆心距为6，那么这两圆的位置关系是 .（外离）20.已知相交两圆的半径分别为5cm 和4cm ，公共弦长为6cm ，则这两个圆的圆心距是______________．21.已知1O ⊙的半径为3cm ，2O ⊙的半径为4cm ，两圆的圆心距12O O 为7cm ，则1O ⊙与2O ⊙的位置关系是 ．22.已知1O ⊙和2O ⊙的半径分别是一元二次方程()()120x x --=的两根，且122O O =，则1O ⊙和2O ⊙的位置关系是 ．23.如图，A ⊙，B ⊙的半径分别为1cm ，2cm ，圆心距AB 为5cm ．如果A ⊙由图示位置沿直线AB 向右平移3cm ，则此时该圆与B ⊙的位置关系是_____________． 24.已知相切两圆的半径分别为cm 5和cm 4，这两个圆的圆心距ABO·C POB A是 ．25.已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为3cm 和2cm ，且121cm O O =，则⊙O 1和⊙O 2的位置关系为 ．26．已知ABC △的三边分别是a b c ，，，两圆的半径12r a r b ==，，圆心距d c =，则这两个圆的位置关系是 _____27．如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心.EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为28、如图，已知⊙1O 、⊙2O 交于点A 、B ，1O A 、1O B 的延长线分别与⊙2O 交于点C 、D ，（1）求证：AC =BD ；（2）若⊙1O 的半径为5，1021=O O , 53sin 21=∠O AO ，求CD 的长。

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯沪科版九年级数学直线和圆的位置关系经典题型汇编一、选择题1.以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆．若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是( )A. 0≤b<2 2B. －22≤b≤2 2C. －23<b<2 3D. －22<b<2 22.如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C.若AB＝12，OA＝5，则BC的长为( )A. 5B. 6C. 7D. 8第2题第3题3.如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC.若∠P＝40°，则∠B的度数为( )A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°4.如图，点A，B，C在⊙O上，∠ABC＝29°，过点C作⊙O的切线交OA的延长线于点D，则∠D的度数为( )A. 29°B. 32°C. 42°D. 58°第4题第5题5. 如图，直线AD是⊙O的切线，A为切点，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且∠ODA＝36°，则∠ACB的度数为( )A. 54°B. 36°C. 30°D. 27°6. 如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线垂直于边AD所在的直线于点M.若∠ABC ＝55°，则∠ACD的度数为( )A. 20°B. 35°C. 40°D. 55°第6题第7题7. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，则O是△ABC的( )A. 三条边的垂直平分线的交点B. 三条角平分线的交点C. 三条中线的交点D. 三条高的交点8.如图，在△ABC中，∠A＝66°，点I是内心，则∠BIC的度数为( )A. 114°B. 122°C. 123°D. 132°第8题 第11题9.已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为( ) A.32 B. 32C. 3D. 2 3 10. 若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆的半径为( ) A. 2 B. 2 2 C.22D. 1 11.如图，⊙O 的直径AB ＝4，BC 切⊙O 于点B ，OC 平行于弦AD ，OC ＝5，则AD 的长为( ) A. 65 B. 85 C. 75 D. 23512.如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长交⊙O 于点C ，连接AC ，AB ＝10，∠P＝30°，则AC 的长度是( )A. 5 3B. 5 2C. 5D. 52第12题第13题13.如图，菱形ABCD 的边AB ＝20，面积为320，∠BAD<90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切，AO ＝10，则⊙O 的半径为( )A. 5B. 6C. 2 5D. 3 2 二、 填空题14.如图，AT 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径．若∠ABT ＝40°，则∠ATB ＝________°.第14题第15题15. (2017·齐齐哈尔)如图，AC 是⊙O 的切线，切点为C ，BC 是⊙O 的直径，AB 交⊙O 于点D ，连接OD.若∠A ＝50°，则∠COD 的度数为________．16. 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 相切，切点为A ，CO 交⊙O 于点D.若∠CAD ＝30°，则∠BOD ＝________°.第16题第17题17. 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直，垂足为D ，AB ＝BC ＝2，则∠AOB ＝________°. 18. 如图，线段AB 与⊙O 相切于点B ，线段AO 与⊙O 相交于点C ，AB ＝12，AC ＝8，则⊙O 的半径为________．第18题第19题19.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，点O 在AB 上，OB ＝2，以OB 为半径的⊙O 与AC 相切于点D ，交BC 于点E ，则弦BE 的长为________ .20.如图，∠AOB ＝30°，在射线OA 上取点O 1，以点O 1为圆心的圆与OB 相切；在射线O 1A 上取点O 2，以点O 2为圆心、O 2O 1为半径的圆与OB 相切；在射线O 2A 上取点O 3，以点O 3为圆心、O 3O 2为半径的圆与OB 相切；…；在射线O 9A 上取点O 10，以点O 10为圆心、O 10O 9为半径的圆与OB 相切．若⊙O 1的半径为1，则⊙O 10的半径是________．第20题 第21题21.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 的切线分别交AB ，AC 的延长线于点E ，F ，连接BD.(1) AF ，EF 所在直线的位置关系是________； (2) 若AC ＝6，CF ＝2，则⊙O 的半径为________．22. 如图，⊙C 的半径为3，圆外一定点O 满足OC ＝5，P 为⊙C 上一动点，经过点O 的直线l 上有两点A ，B ，且OA ＝OB ，∠APB ＝90°，l 不经过点C ，则AB 的最小值为________．第22题第23题第24题23. 如图，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为(－1，0)，半径为1，点P 为直线y ＝－34x ＋3上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是________．24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，▱ABCO 的顶点A ，B 的坐标分别是(3，0)，(0，2)．动点P 在直线y ＝32x 上运动，以点P 为圆心、PB 长为半径的⊙P 随点P 运动．当⊙P 与▱ABCO 的边相切时，点P 的坐标为____________________．三、 解答题25.已知AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，∠ABT ＝50°，BT 交⊙O 于点C ，E 是AB 上一点，延长CE 交⊙O 于点D.(1) 如图①，求∠T 和∠CDB 的大小；(2) 如图②，当BE ＝BC 时，求∠CDO 的大小．第25题26. 如图，⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A 作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，∠P＝30°.(1) 求弦AC的长；(2) 求证：BC∥PA.第26题27.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F.(1) 求证：DE⊥AC；(2) 若DE＋EA＝8，⊙O的半径为10，求AF的长度．第27题28.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D.(1) 求证：PO平分∠APC；(2) 连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.第28题29. 如图，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P.(1) 求证：AP＝AB；(2) 若OB＝4，AB＝3，求线段BP的长．第29题30. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E.(1) 求证：∠A＝∠ADE；(2) 若AD＝16，DE＝10，求BC的长．第30题31.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE.(1) 判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2) 若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段DE的长．第31题32.如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，C是⊙O外一点，且∠DBC＝∠A，连接OE并延长与⊙O相交于点F，与BC相交于点C.(1) 求证：BC是⊙O的切线；(2) 若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长．第32题33. 如图，AN 是⊙M 的直径，NB ∥x 轴，AB 交⊙M 于点C.(1) 若点A 的坐标为(0，6)，点N 的坐标为(0，2)，∠ABN ＝30°，求点B 的坐标； (2) 若D 为线段NB 的中点，求证：直线CD 是⊙M 的切线．第33题34如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝BC ，以BC 为直径的⊙O 与AC 相交于点D ，过点D 作DE ⊥AB 交CB 的延长线于点E ，垂足为F.(1) 判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2) 若⊙O 的半径R ＝5，tan C ＝12，求EF 的长．第34题35. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，与AC 平行的⊙O 的一条切线交CD 的延长线于点M ，交AB 的延长线于点E ，切点为F ，连接AF 交CD 于点N.(1) 求证：CA ＝CN ；(2) 连接DF ，若cos ∠DFA ＝45，AN ＝210，求⊙O 的直径．第35题36.如图，在菱形ABCD 中，点P 在对角线AC 上，且PA ＝PD ，⊙O 是△PAD 的外接圆． (1) 求证：AB 是⊙O 的切线；(2) 若AC ＝8，tan ∠BAC ＝22，求⊙O 的半径． 第36题参考答案一、 1. D 2. D 3. B 4. B 5. D 6. A 7. B 8. C 9. C 10. A 11. B 12. A 13. C二、 14. 50 15. 80° 16. 120 17. 60 18. 5 19. 2 20. 2921. (1) AF ⊥EF (2) 5 22. 4 23. 2 2 24. (0，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫3－5，9－352三、 25. (1) 如图①，连接AC.∵ AT 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴ AT ⊥AB.∴ ∠TAB ＝90°.∵ ∠ABT ＝50°，∴ ∠T ＝90°－∠ABT ＝40°.∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACB ＝90°.∴ ∠CAB ＝90°－∠ABC ＝40°.∴ ∠CDB ＝∠CAB ＝40° (2) 如图②，连接AD.∵ 在△BCE 中，BE ＝BC ，∠EBC ＝50°，∴ ∠BCE ＝∠BEC ＝65°.∴ ∠BAD ＝∠BCD ＝65°.∵ OA ＝OD ，∴ ∠ODA ＝∠OAD ＝65°.∵ ∠ADC ＝∠ABC ＝50°，∴ ∠CDO ＝∠ODA －∠ADC ＝65°－50°＝15°第25题26. (1) 连接OA.∵ PA 是⊙O 的切线，OA 为⊙O 的半径，∴ ∠PAO ＝90°.∵ 在Rt △PAO 中，∠P ＝30°，OA ＝5，∴ OP ＝2OA ＝10，PA ＝OP 2－OA 2＝5 3.∵ AC ⊥PB ，∴ 12OP ×AD ＝12PA ×OA ，即12×10×AD＝12×53×5，解得AD ＝532.∵ AC ⊥PB ，PB 过圆心O ，∴ AD ＝DC.∴ AC ＝2AD ＝5 3 (2) ∵ AC ⊥PB ，∠P ＝30°，∴ ∠PAC ＝60°.∵ 在Rt △PAO 中，∠P ＝30°，∴ ∠AOP ＝60°.∴ ∠BOA ＝180°－∠AOP ＝120°.∴ ∠BCA ＝12∠BOA ＝60°.∴ ∠PAC ＝∠BCA.∴ BC ∥PA27. (1) ∵ OB ＝OD ，∴ ∠ABC ＝∠ODB.∵ AB ＝AC ，∴ ∠ABC ＝∠ACB.∴ ∠ODB ＝∠ACB.∴ OD ∥AC.∵ DE 是⊙O 的切线，OD 是半径，∴ DE ⊥OD.∴ DE ⊥AC (2) 过点O 作OH ⊥AF 于点H ，则∠ODE ＝∠DEH ＝∠OHE ＝90°，∴ 四边形ODEH 是矩形．∴ OD ＝EH ，OH ＝DE.设AH ＝x.∵ DE ＋AE ＝8，OD ＝10，∴ AE＝10－x ，OH ＝DE ＝8－(10－x)＝x －2.在Rt △AOH 中，由勾股定理，知AH 2＋OH 2＝OA 2，即x 2＋(x －2)2＝102，解得x 1＝8，x 2＝－6(不合题意，舍去)．∴ AH ＝8.∵ OH ⊥AF ，∴ AH ＝FH ＝12AF.∴ AF ＝2AH ＝2×8＝1628. (1) 连接OB.∵ PA ，PB 是⊙O 的切线，∴ OA ⊥AP ，OB ⊥BP.又∵ OA ＝OB ，∴ PO 平分∠APC (2) ∵ OA ⊥AP ，OB ⊥BP ，∴ ∠CAP ＝∠OBP ＝90°.∵ ∠C ＝30°，∴ ∠APC ＝90°－∠C ＝90°－30°＝60°.∵ PO 平分∠APC ，∴ ∠OPC ＝12∠APC ＝12×60°＝30°.∴ ∠POB ＝90°－∠OPC ＝90°－30°＝60°.又∵OD ＝OB ，∴ △ODB 是等边三角形．∴ ∠OBD ＝60°.∴ ∠DBP ＝∠OBP －∠OBD ＝90°－60°＝30°.∴ ∠DBP ＝∠C.∴ DB ∥AC29. (1) ∵ OC ＝OB ，∴ ∠OCB ＝∠OBC.∵ AB 是⊙O 的切线，∴ OB ⊥AB.∴ ∠OBA ＝90°.∴ ∠ABP＋∠OBC ＝90°.∵ OC ⊥AO ，∴ ∠AOC ＝90°.∴ ∠OCB ＋∠CPO ＝90°.又∵ ∠APB ＝∠CPO ，∴ ∠APB ＝∠ABP.∴ AP ＝AB (2) 过点O 作OH ⊥BC 于点H.∵ 在Rt △OAB 中，OB ＝4，AB ＝3，∴ OA ＝32＋42＝5.∵ AP ＝AB ＝3，∴ OP ＝2.∴ 在Rt △POC 中，PC ＝OC 2＋OP 2＝2 5.∵ OC ⊥OA ，OH ⊥BC ，∴ S △COP ＝12PC ·OH＝12OC ·OP.∴ OH ＝OC ·OP PC ＝455.∴ 在Rt △CHO 中，CH ＝OC 2－OH 2＝855.∵ OH ⊥BC ，OH 过圆心O ，∴ CH ＝BH.∴ BC ＝2CH ＝1655.∴ BP ＝BC －PC ＝1655－25＝65530. (1) 如图，连接OD.∵ DE 是切线，∴ ∠ODE ＝90°.∴ ∠ADE ＋∠BDO ＝90°.∵ ∠ACB ＝90°，∴ ∠A ＋∠B ＝90°.∵ OD ＝OB ，∴ ∠B ＝∠BDO.∴ ∠A ＝∠ADE (2) 如图，连接CD.∵ ∠ADE ＝∠A ，∴ AE ＝DE.∵ BC 是⊙O 的直径，∠ACB ＝90°，∴ EC 是⊙O 的切线．∴ ED ＝EC.∴ AE ＝EC.∵ DE ＝10，∴ AC ＝2DE ＝20.∵ AE ＝DE ＝CE ，∴ ∠A ＝∠EDA ，∠EDC ＝∠ECD.∵ ∠A ＋∠EDA ＋∠EDC ＋∠ECD ＝180°，∴ ∠ADE ＋∠EDC ＝12×180°＝90°.∴ 在Rt △ADC 中，DC ＝202－162＝12.∵ BC 是⊙O 的直径，∴ ∠BDC ＝90°.设BD ＝x ，在 Rt △BDC 中，BC 2＝x 2＋122；在Rt △ABC 中，BC 2＝(x ＋16)2－202.∴ x 2＋122＝(x ＋16)2－202，解得x ＝9，即BD ＝9.∴ 在Rt △BDC 中，BC ＝122＋92＝15第30题31. (1) 直线DE 与⊙O 相切 理由：如图，连接OD.∵ OD ＝OA ，∴ ∠A ＝∠ODA.∵ EF 是BD 的垂直平分线，∴ EB ＝ED.∴ ∠B ＝∠EDB.∵ ∠C ＝90°，∴ ∠A ＋∠B ＝90°.∴ ∠ODA ＋∠EDB ＝90°.∴ ∠ODE ＝180°－90°＝90°，即OD ⊥DE.∵ OD 是⊙O 的半径，∴ 直线DE 与⊙O 相切．(2) 如图，连接OE.设DE ＝x ，则EB ＝ED ＝x ，CE ＝8－x.∵ ∠C ＝∠ODE ＝90°，∴ OC 2＋CE 2＝OE 2＝OD 2＋DE 2.∵ AC ＝6，AO ＝2，∴ OC ＝4.∴ 42＋(8－x)2＝22＋x 2，解得x ＝4.75.∴ DE ＝4.75第31题32. (1) 如图，连接OB ，OD.∵ E 是弦BD 的中点，∴ BE ＝DE ，BD ＝2BE.∵ OB ＝OD ，∴ OE ⊥BD ，∠BOF ＝∠DOF ，即∠BOD ＝2∠BOF.∵ ∠BOD ＝2∠A ，∴ ∠BOF ＝∠A.∵ ∠DBC ＝∠A ，∴ ∠BOF ＝∠DBC.∵ 在Rt △BEO 中，∠DBO ＋∠BOF ＝90°，∴ ∠DBO ＋∠DBC ＝90°，即∠CBO ＝90°.∴ CB ⊥OB.∵ OB 是⊙O 的半径，∴ BC 是⊙O 的切线 (2) ∵ ∠CBO ＝90°，OB ＝6，BC ＝8，∴ OC ＝62＋82＝10.∵ BE ⊥OC ，∴ S△OBC ＝12OC ·BE ＝12OB ·BC.∴ BE ＝OB ·BC OC ＝6×810＝4.8.∴ BD ＝2BE ＝9.6 第32题33. (1) ∵ 点A 的坐标为(0，6)，点N 的坐标为(0，2)，∴ ON ＝2，AN ＝4.∵ NB ∥x 轴，x 轴⊥y 轴，∴ NB ⊥y 轴．∴ ∠ANB ＝90°.∵ 在Rt △ANB 中，∠ABN ＝30°，∴ AB ＝2AN ＝8.∴ 由勾股定理，可知NB ＝AB 2－AN 2＝4 3.∴ 点B 的坐标为(43，2) (2) 如图，连接MC ，NC.∵ AN 是⊙M 的直径，∴ ∠ACN ＝90°.∴ ∠NCB ＝90°.在Rt △NCB 中，D 为NB 的中点，∴ CD ＝12NB ＝ND.∴ ∠CND ＝∠NCD.∵ MC ＝MN ，∴ ∠MCN ＝∠MNC.∵ ∠ANB ＝∠MNC ＋∠CND ＝90°，∴ ∠MCN ＋∠NCD ＝90°，即∠MCD ＝90°.∴ MC ⊥CD.∵ MC 是⊙M 的半径，∴ 直线CD 是⊙M 的切线第33题34. (1) DE 与⊙O 相切 理由：如图，连接OD.∵ OC ＝OD ，∴ ∠C ＝∠ODC.∵ AB ＝BC ，∴ ∠C ＝∠A.∴ ∠ODC ＝∠A.∴ OD ∥AB.∵ DE ⊥AB ，∴ DE ⊥OD.∵ OD 是⊙O 的半径，∴ DE 与⊙O 相切． (2) 如图，连接BD ，过点D 作DH ⊥BC 于点H.∵ BC 为⊙O 的直径，∴ ∠CDB ＝90°.∴ tan C ＝BD CD ＝12.不妨设BD ＝k ，则CD ＝2k ，BC ＝BD 2＋CD 2＝5k.∵ BC ＝2R ＝10，∴ k ＝25，即BD ＝25，CD ＝4 5.∵ 在Rt△CDB 中，S △CDB ＝12BC ·DH ＝12CD ·BD ，∴ DH ＝CD ·BD BC ＝4.∴ 在Rt △OHD 中，OH ＝OD 2－DH 2＝3.∵ DE ⊥OD ，DH ⊥BC ，∴ ∠ODE ＝∠OHD ＝90°.∵ ∠DOH ＝∠EOD ，∴ △DOH ∽△EOD.∴ OD OE ＝OH OD ，即5OE ＝35.∴ OE ＝253.∴ EB ＝OE －OB ＝253－5＝103.∵ OD ∥AB ，即BF ∥OD ，∴ △BFE ∽△ODE.∴ BF OD ＝BE OE ，即BF 5＝103253.∴ BF ＝2.∴ 在Rt △BFE 中，EF ＝EB 2－BF 2＝83第34题35. (1) 如图，连接OF.∵ OF ＝OA ，∴ ∠OAN ＝∠OFN.∵ ME 与⊙O 相切与点F ，∴ OF ⊥ME ，即∠OFN ＋∠MFN ＝90°.∵ CD ⊥AB ，∴ ∠OAN ＋∠ANH ＝90°.∴ ∠MFN ＝∠ANH.又∵ ME ∥AC ，∴ ∠MFN ＝∠NAC.∴ ∠ANH ＝∠NAC.∴ CA ＝CN (2) ∵ ∠DFA ＝∠ACH ，cos ∠DFA ＝45，∴ cos ∠ACH ＝45.∵ CD ⊥AB ，∴ 在Rt △AHC 中，设AC ＝5a ，则HC ＝4a ，AH ＝AC 2－HC 2＝3a.由(1)知，CA ＝CN ，∴ NH ＝a.在 Rt △AHN 中，利用勾股定理，得AH 2＋NH 2＝AN 2，即(3a)2＋a 2＝(210)2，解得a ＝2.∴ AH ＝6，HC ＝8.如图，连接OC ，在Rt △OHC 中，利用勾股定理，得OH 2＋HC 2＝OC 2.设⊙O 的半径为R ，则(R －6)2＋82＝R 2，解得R ＝253.∴ 2R＝503，即⊙O 的直径为503第35题36. (1) 如图，连接OP ，OA ，OD ，设OP 交AD 于点E.∵ PA ＝PD ，∴ AP ︵＝DP ︵，∠AOP ＝∠DOP.∵ OA ＝OD ，∴ OP ⊥AD ，AE ＝DE.∴ ∠1＋∠OPA ＝90°.∵ OP ＝OA ，∴ ∠OAP ＝∠OPA.∴ ∠1＋∠OAP ＝90°.∵ 四边形ABCD 为菱形，∴ 易证∠1＝∠2.∴ ∠2＋∠OAP ＝90°，即∠OAB ＝90°.∴ OA ⊥AB.∵ OA 是⊙O 的半径，∴ AB 是⊙O 的切线 (2) 如图，连接BD ，交AC 于点F.∵ 四边形ABCD 为菱形，∴ DB 与AC 互相垂直平分．∵ AC ＝8，tan ∠BAC ＝22，∴ AF ＝4，tan ∠DAC ＝DF AF ＝22.∴ DF ＝2 2.∴ 在Rt △AFD 中，AD ＝AF 2＋DF 2＝2 6.∴ AE ＝ 6.∵ ∠1＝∠2，∴ 在Rt △PAE 中，tan ∠1＝PE AE ＝22.∴ PE ＝ 3.设⊙O 的半径为R ，则OE ＝R －3，OA ＝R.在Rt △OAE 中，由OA 2＝OE 2＋AE 2，得R 2＝(R －3)2＋(6)2，解得R ＝332.∴ ⊙O 的半径为332第36题一天，毕达哥拉斯应邀到朋友家做客。

沪教版初三数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习直线与圆、圆与圆的位置关系—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解并掌握直线与圆、圆与圆的各种位置关系；2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练掌握以上内容解决一些实际问题；3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位置关系与d、r1、r2之间的等价条件并灵活应用它们解题．【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有2．三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.6．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即 (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).要点四、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)两圆内切d=r1-r2 (r1＞r2)两圆内含d＜r1-r2 (r1＞r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、点与圆的为位置关系1.已知⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线的距离d＝OD＝3cm，在直线上有P、Q、R三点，且有PD ＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点与⊙O位置关系各是怎样的?【思路点拨】判断点与圆的位置关系，关键是计算出点与圆心的距离，再与圆的半径比较大小，即可得出结论．【答案与解析】依题意画出图形(如图所示)，计算出P、Q、R三点到圆心的距离与圆的半径比较大小．连接PO，QO，RO．∵PD＝4cm，OD＝3cm，∴PO＝．∴点P在⊙O上．，∴点Q在⊙O外．，∴点R在⊙O内．【总结升华】本题也可以先计算出直线上的点恰好在圆上时，改点与垂足点D之间的距离，然后再比较得出结论.类型二、直线与圆的位置关系2.（2016秋•江阴市校级期中）如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为．【思路点拨】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．【答案】2．【解析】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC=AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=PB=AB﹣AP=5﹣3=2．故答案为：2．【总结升华】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．举一反三：【高清ID号：356966 关联的位置名称（播放点名称）：切线长定理及例题5-7】【变式】已知:如图，为⊙外一点，、为⊙的切线，和是切点，是直径.求证：∥【答案】如图，连接OA、AB，圆O为△ABC的外接圆，∴∠BAC＝90度，即AC⊥AB∵、为⊙的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB，且OA＝OB＝r，∴OP是AB的的垂直平分线∴AB⊥OP∴AC‖OP(垂直同一条线的两直线平行)3.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（1）如图1，求∠AOD的度数；（2）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；（3）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．【思路点拨】（1）根据内切圆的定义得到AD、AB、CD为⊙O的切线，则根据切线长定理得∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC，再利用平行线的性质得∠ADC+∠BAC=180°，所以∠ODA+∠OAD=90°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠AOD的度数；（2）先在Rt△AOD中利用勾股定理可计算出AD=10（cm），再根据切线的性质得OE⊥AD，然后利用面积法可计算出OE的长；【答案与解析】解：（1）∵⊙O为四边形ABCD的内切圆，∴AD、AB、CD为⊙O的切线，∴OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC，∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°，∴∠ODA+∠OAD=90°，∴∠AOD=90°；（2）在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD==10（cm），∵AD切⊙O于E，∴OE⊥AD，∴OE•AD=OD•OA，∴OE==（cm）；（3）∵F是AD的中点，∴FO=AD=×10=5（cm）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．类型三、圆与圆的位置关系4. 如图所示，⊙O的半径为5，点P为⊙O外一点，OP＝8．求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O相切，则⊙P的半径为多少?(2)当⊙P与⊙O相交时，⊙P的半径的取值范围为多少?【答案与解析】(1)当⊙P与⊙O外切时，则有5+r＝8，∴r＝3．当⊙P与⊙O内切时，则有r-5＝8，∴r＝13．∴当r＝3或13时，⊙O与⊙P相切．(2)当⊙P与⊙O相交时，则有| r-5|＜8＜r+5，解得3＜r＜13，即当3＜r＜13时，⊙P与⊙O相交．【总结升华】两圆相切包含两圆外切与两圆内切，两圆外切和内切的对应关系分别为d＝R+r和d＝R-r(R＞r)，它们起着分界作用，分别是外离与相交，相交与内含的分界点．可用图表示为：举一反三：【变式】已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，则O1O2的长是( ) A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．0.5cm或2.5cm【答案】两圆相切包括外切和内切，当⊙O1与⊙O2外切时，d＝O1O2＝R+r＝3+2＝5(cm)；当⊙O1与⊙O2内切时，d＝O1O2＝R-r＝3-2＝1(cm)．故选C.。

24.4 直线与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系01基础题知识点1直线与圆位置关系的判断1．已知⊙O的半径是6 cm，点O到同一平面内直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是（A）A．相交B．相切C．相离D．无法判断2．已知⊙O的直径为5，圆心O到直线AB的距离为5，则直线AB与⊙O的位置关系是（C）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切3．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心，2为半径的圆与坐标轴的位置关系为（C）A．与x轴相切，与y轴相切B．与x轴、y轴都相离C．与x轴相切，与y轴相离D．与x轴、y轴都相切4．如图，∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（C）A．相离B．相交C．相切D．以上三种情况均有可能5．（教材P34例1变式）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，以点C为圆心，以5 cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（A）A．相交B．相切C．相离D．不能确定6．如图，火车在静止时，将火车轮与铁轨看成圆与直线的关系，这个关系是相切．第6题图第7题图7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线BC与⊙O的位置关系是相切．知识点2直线与圆位置关系的性质8．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为5，则半径r的取值范围是（A）A ．r>5B ．r ＝5C ．0<r<5D ．0<r ≤59．平面上⊙O 与四条直线l 1，l 2，l 3，l 4的位置关系如图所示，若⊙O 的半径为2 cm ，且O 点到其中一条直线的距离为2.2 cm ，则这条直线是（C ）A ．l 1B ．l 2C ．l 3D ．l 410．已知直线l 与半径为4的⊙O 相交，则点O 到直线l 的距离d 可取的整数值是0，1，2，3．11．（教材P 36练习T 2变式）在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠C ＝60°，BO ＝x ，⊙O 的半径为2，当x 在什么范围内取值时，AB 所在的直线与⊙O 相交、相切、相离？解：过点O 作OD⊥AB 于D.∵∠A ＝90°，∠C ＝60°，∴∠B ＝30°. ∴OD ＝12OB ＝12x.当AB 所在的直线与⊙O 相切时，OD ＝2. ∴BO ＝4.∴当0<x<4时，相交； 当x ＝4时，相切； 当x>4时，相离．易错点 没有对不同的情况进行分类讨论12．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为（－3，0），将⊙P 沿x 轴平移，使其与y 轴相切，则平移的距离为1或5．13．已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．02中档题14．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D，E分别是AC，AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（B）A．相切B．相交C．相离D．无法确定15．已知⊙O的半径r＝3，设圆心O到直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：①若d＞5，则m＝0；②若d＝5，则m＝1；③若1＜d＜5，则m ＝3；④若d＝1，则m＝2；⑤若d＜1，则m＝4.其中正确命题的个数是（C）A．1 B．2 C．3 D．516．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d.R，d是方程x2－4x＋m＝0的两根，当直线l 与⊙O相切时，m的值为4.17．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则直线y＝x＋2与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为相切．18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．解：（1）如图所示，⊙P 即为所求． （2）BC 与⊙P 相切．证明：过点P 作PD⊥BC，垂足为D.∵CP 为∠ACB 的平分线，且PA⊥AC，PD ⊥CB ， ∴PD ＝PA.∴BC 与⊙P 相切．19．如图，平面直角坐标系中，⊙P 与x 轴交于A ，B 两点，点P 的坐标为（3，－1），AB ＝2 3.（1）求⊙P 的半径；（2）将⊙P 向下平移，求⊙P 与x 轴相切时平移的距离．解：（1）过点P 作PC⊥AB 于点C ，连接AP. 由垂径定理得：AC ＝12AB ＝12×23＝ 3.在Rt △PAC 中，由勾股定理，得PA 2＝PC 2＋AC 2，即PA 2＝12＋（3）2＝4.∴PA ＝2.∴⊙P 的半径为2.（2）将⊙P 向下平移，当⊙P 与x 轴相切时点P 到x 轴的距离等于半径． ∴平移的距离为2－1＝1.03 链接中考20．如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝12x 2－1上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为（6，2）或（－6，2）．第2课时 切线的性质与判定01 基础题知识点1 切线的性质1．（2018·湘潭）如图，AB 是⊙O 的切线，点B 为切点．若∠A＝30°，则∠AOB＝60°．第1题图 第3题图2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心作⊙C 与AB 相切，则⊙C 的半径为125．3．（2018·徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D.若∠C＝18°，则∠CDA＝126°．4．（2018·哈尔滨改编）如图，点P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，∠P ＝30°，OB ＝3，求线段BP 的长．解：连接OA.∵PA 为⊙O 的切线， ∴∠OAP ＝90°.∵∠P ＝30°，OB ＝3， ∴AO ＝3，OP ＝6. ∴BP ＝6－3＝3.知识点2 切线的判定5．下列命题中正确的是（D ）A ．垂直于半径的直线是圆的切线B ．经过半径外端的直线是圆的切线C ．经过切点的直线是圆的切线D ．圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝30°，以点A 为圆心，3 cm 为半径作⊙A，当AB ＝6cm 时，BC 与⊙A 相切．7．（2018·邵阳）如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，过点B 作BD⊥CD，垂足为D ，连接BC ，BC 平分∠ABD.求证：CD 为⊙O 的切线．证明：∵BC 平分∠ABD， ∴∠OBC ＝∠DBC. ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB. ∴∠DBC ＝∠OCB. ∴OC ∥BD. ∵BD ⊥CD ， ∴OC ⊥CD.又∵OC 为⊙O 的半径， ∴CD 为⊙O 的切线．02 中档题8．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，∠CDB ＝30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则sin E 的值为（A ）A .12B .13C .55D .32第8题图 第9题图9．（2018·合肥名校一模）如图，圆内接四边形ABCD 的边AB 过圆心O ，过点C 的切线与AD 的延长线交于点E.若点D 是AC ︵的中点，且∠ABC＝70°，则∠AEC 等于（B ）A ．80°B ．75°C ．70°D ．65°10．（2018·泸州改编）在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，1为半径作圆，点P 在直线y ＝3x ＋23上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为2． 11．如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，圆心O 在AC 上，∠A ＝30°，D 为BC ︵的中点．（1）求证：AB ＝BC ；（2）试判断四边形BOCD 的形状，并说明理由．解：（1）∵AB 是⊙O 的切线， ∴∠OBA ＝90°.∴∠AOB ＝90°－30°＝60°. ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB. ∴∠OCB ＝30°＝∠A. ∴AB ＝BC.（2）四边形BOCD 为菱形，理由如下： 连接OD ，交BC 于点M.∵D 是BC ︵的中点，∴OD 垂直平分BC.在Rt △OMC 中，∵∠OCM ＝30°，∴OC ＝2OM ＝OD. ∴OM ＝MD.∴四边形BOCD 为菱形．12．（2018·六安霍邱县一模）如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于点D ，延长AO 交⊙O 于点E ，连接CD ，CE.若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题：（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若BC ＝4，CD ＝6，求▱OABC 的面积．解：（1）证明：连接OD.∵OD ＝OA ， ∴∠ODA ＝∠A.∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB.∴∠EOC ＝∠A，∠COD ＝∠ODA. ∴∠EOC ＝∠DOC. 在△EOC 和△DOC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OE ＝OD ，∠EOC ＝∠DOC，OC ＝OC ，∴△EOC ≌△DOC （SAS ）．∴∠ODC ＝∠OEC＝90°，即OD⊥DC. ∵OD 是⊙O 的半径， ∴CD 是⊙O 的切线．（2）由（1）知CD 是⊙O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形． ∵S △CDO ＝12CD·OD，又∵OA＝BC ＝OD ＝4， ∴S △CDO ＝12×6×4＝12.∴S ▱OABC ＝2S △CDO ＝24.03 链接中考13．（2018·安徽）如图，菱形ABOC 的边AB ，AC 分别与⊙O 相切于点D ，E ，若点D 是AB 的中点，则∠DOE＝60°．第3课时 切线长定理01基础题知识点切线长定理1．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中错误的是（D）A．∠1＝∠2 B．PA＝PBC．AB⊥OC D．∠PAB＝∠APB第1题图第2题图2．如图，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝23，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为（C）A. 2B. 3C．2 D．33．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B，若OP＝4，PA＝23，则∠AOB的度数为（C）A．60°B．90°C．120°D．无法确定第3题图第4题图4．（2018·淮北相山区四模）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，C.若∠P＝60°，PA＝3，则AB的长为2．5．如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O相切，且AB＝8 cm，CD＝5 cm，则AD＋BC＝13cm.6．（教材P41习题T10变式）如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm，求：（1）∠BOC的度数；（2）BE＋CG的长．解：（1）连接OF ，根据切线长定理，得BE ＝BF ，CF ＝CG ，∠OBF ＝∠OBE，∠OCF ＝OCG. ∵AB ∥CD ，∴∠ABC ＋∠BC D ＝180°.∴∠OBF ＋∠OCF＝90°.∴∠BOC ＝90°.（2）由（1）知，∠BOC ＝90°.∵OB ＝6 cm ，OC ＝8 cm ，∴由勾股定理，得BC ＝OB 2＋OC 2＝10 cm .∴BE ＋CG ＝BF ＋CF ＝BC ＝10 cm .7．（教材P 39练习T 1变式）如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠OAB ＝30°.（1）求∠APB 的度数；（2）当OA ＝3时，求AP 的长．解：（1）∵PA，PB 是⊙O 的切线，∴PA ＝PB ，OA ⊥AP.又∵∠OAB＝30°，∴∠PAB ＝60°.∴△APB 为等边三角形．∴∠APB＝60°.（2）连接OP ，则∠OPA＝12∠APB＝30°. ∵OA ＝3，∴AP ＝OA tan 30°＝3 3.02 中档题8．（2018·淮南潘集区模拟）如图，∠ACB ＝60°，半径为2的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 沿CB 向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为（C ）A．2πB．4πC．2 3D．49．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC，BC相切于点D，E，则AD为（B）A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．1第9题图第10题图10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（A）A.133B.92C.4313 D．2 511．如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝2，AD和BE是⊙O的两条切线，A，B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD，BE于点M，N，连接AC，CB.若∠ABC＝30°，则AM＝3 3.12．如图，PA，PB，CD是⊙O的切线，切点分别为点A，B，E，若△PCD的周长为18 cm，∠APB＝60°，求⊙O的半径．解：连接OA ，OP ，则OA⊥PA.根据题意，得CA ＝CE ，DE ＝DB ，PA ＝PB.∵PC ＋CE ＋DE ＋PD ＝18 cm ，∴PC ＋CA ＋DB ＋PD ＝18 cm.∴PA ＝12×18＝9（cm ）． ∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴∠APO ＝12∠APB ＝30°. 在Rt △AOP 中，PO ＝2AO ，∴OA 2＋92＝（2AO ）2，解得OA ＝33，即⊙O 的半径为3 3 cm.13．如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，AC ，PB 的延长线相交于点D.（1）若∠1＝20°，求∠APB 的度数；（2）当∠1为多少度时，OP ＝OD ，并说明理由．解：（1）∵PA，PB 是⊙O 的切线，∴∠BAP ＝90°－∠1＝70°，PA ＝PB.∴∠BAP ＝∠ABP＝70°.∴∠APB ＝180°－70°×2＝40°.（2）当∠1＝30°时，OP ＝OD.理由：∵∠1＝30°，由（1）知∠BAP＝∠ABP＝60°.∴∠APB ＝180°－60°×2＝60°.∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴∠OPB ＝12∠APB ＝30°. 又∵∠D＝∠ABP－∠1＝60°－30°＝30°，∴∠OPB ＝∠D.∴OP＝OD.03链接中考14．（2018·深圳）如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3 cm，则此光盘的直径是（D）A．3 cm B．3 3 cmC．6 cm D．6 3 cm第14题图第15题图15．（2018·娄底）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD，AB，BC都相切，切点分别为D，E，C，半径OC＝1，则AE·BE＝1.。

直线和圆的位置关系从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：0d =第九讲 直线与圆、圆与圆的位置关系1. 切线的性质：定理：圆的切线垂直于过切点的半径．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．2. 切线的判定定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3. 切线长和切线长定理：⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点．．．．．之间的线段的长， 叫做这点到圆的切线长(PA 、PB )． ⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角(APO BPO ∠=∠)．【例题1】 【基础、提高】如图，在Rt △ABC 中，∠C 为90°，AC =3厘米，BC =4厘米，以点C为圆心，r 为半径的圆与直线AB 有怎样的位置关系？为什么？ （1）r = 2厘米；（2）r = 2.4厘米；（3）r = 3厘米.CBAP【尖子】如图，AB 是⊙O 的弦，C 是⊙O 外一点，OC 交AB 于点D ，若OA ⊥OC ，CD =CB. 求证：CB 是⊙O 的切线.C【例题2】 1、已知⊙O 的直径为10厘米，如果一条直线和圆心O 的距离为10厘米，则这条直线和这个圆的位置关系为（ ）A. 相离B.相切C.相交D.相交或相离2、⊙O 的半径为R ，直线l 和⊙O 有公共交点，若圆心到直线l 的距离是d ，则d 与R 的大小关系是（ ）A. d ＞RB. d ＜R C . d ≥ R D . d ≤ R【例题3】 【基础、提高】如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =5，BC =12，⊙O 的半径为3.（1）当圆心O 与C 重合时，⊙O 与AB 的位置关系怎样？（2）若点O 沿CA 移动时，当OC 为多少时，⊙O 与AB 相切； （3）若点O 沿CA 移动时，当OC 为多少时，⊙O 与AB 有公共点.BA【尖子】如图，已知⊙O 中，AB 是直径，过点B 作BC 垂直于AB ，连接CO ，若AD //OC交⊙O 于点D ，求证：CD 是⊙O 的切线.ODCBA设12O O 、⊙⊙的半径分别为R r 、（其中R r >），两圆圆心距为d ，则两圆位置关系如下表：定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

沪教版数学九年级下册27.2《直线与圆、圆与圆的位置关系》教学设计1一. 教材分析《直线与圆、圆与圆的位置关系》是沪教版数学九年级下册第27.2节的内容。

这一节主要让学生理解直线与圆、圆与圆的位置关系的判定方法，并掌握解决问题的基本技巧。

教材通过实例分析，引导学生探索直线与圆、圆与圆的位置关系，从而加深学生对几何知识的理解。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了直线、圆的基本概念和性质，具备了一定的几何思维能力。

但学生对直线与圆、圆与圆的位置关系的理解还需加强，因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，逐步理解并掌握知识。

三. 教学目标1.理解直线与圆、圆与圆的位置关系的判定方法。

2.能运用所学知识解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、操作能力、思考能力和交流能力。

四. 教学重难点1.直线与圆、圆与圆的位置关系的判定方法。

2.如何在实际问题中运用所学知识。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究直线与圆、圆与圆的位置关系。

2.运用多媒体辅助教学，直观展示直线与圆、圆与圆的位置关系。

3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

4.注重个体差异，给予学生个性化的指导。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.直线与圆、圆与圆的位置关系的相关图片和实例。

3.练习题和学习单。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示直线与圆、圆与圆的位置关系的实例，引导学生思考直线与圆、圆与圆的位置关系是如何判定的。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体展示直线与圆、圆与圆的位置关系的判定方法，引导学生观察、思考并总结判定条件。

3.操练（10分钟）学生分组进行实践操作，运用所学知识判断直线与圆、圆与圆的位置关系。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（10分钟）教师给出直线与圆、圆与圆的位置关系的实际问题，学生独立解决，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）学生分组讨论，思考直线与圆、圆与圆的位置关系在实际问题中的应用，分享讨论成果。