信息熵讲义

5、确定性
概率系统中，任一事件产生的概率为1，则其他事 件产生的概率为0，这是一种确定的系统。对于这样 的系统，有
H(1,0)=H(0,1)=H(1,0…,0)=H(0,0…,1…0)=0
从上述的讨论可以看出，熵所描述的不是一个一个的 事件，而是表现有关概率系统整体概率分布状态的统计特 征量。系统的熵是通过实测数据进行计算的，往往我们将 它作为一种统计量来使用。
我__大________使______机。
就很难猜出完整的句子，在信息传递的时候，也很难做检错和抗错。 因此，保留合理比例的冗余度是非常重要的。 信息熵方法的基本目的，是找出某种符号系统的信息量和冗余度之间 的关系，以便能用最小的成本和消耗来实现最高效率的数据储存、管理和 传递。
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第一节 熵的概述
信源输出的消息可以看作是随机事件（数学上对随 机事件发生可能性的大小以概率来度量），它的不确定 度可根据其出现的概率来衡量： 概率大，出现机会多，不确定程度小
概率小，出现机会少，不确定程度大
以I记消息包含的信息量，P记消息发生的概率，0≤P≤1,则有： 用函数可以表示为： I=f（P） 或 I= g（1/P) 信息量是概率的单调减函数。
通信，收信者就可能消除这种不确定性。
信息的多少与信源的不确定性有关。研究信息
的度量可变成研究信源的不确定性的度量。
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第一节 熵的概述
例1：现有A、B、C、D、E五名学生，以他们作为候选人，
需从中选出一名学生作为学生代表。
情况一：设定每一名学生被选中的可能性一样（A当选的概
率是20%）； 情况二：设定A 当选的概率是90%； 情况三：A一定会当选（ A 当选的概率是100%）。 选拔的结果：A 被选中。

信息熵（informationentropy）百科物理
信息熵（informationentropy）百科物理
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信息熵（informationentropy）
信息熵(informationentropy)
是信息论中信息量的统计表述。

香农(Shannon)定义信息量为：`I=-Ksum_ip_ilnp_i`，表示信息所消除的不确定性(系统有序程度)的量度，K为待定常数，pi为事件出现的概率，$sump_i=1$。

对于N个等概率事件，pi=1/N，系统的信息量为I=-Klnpi=KlnN。

平衡态时系统热力学函数熵的最大值为$S=-ksum_iW_ilnW_i=klnOmega$，k为玻尔兹曼常数，Wi=1/为系统各状态的概率，$sum_iW_i=1$，为系统状态数，熵是无序程度的量度。

信息量I与熵S具有相同的统计意义。

设K为玻尔兹曼常数k，则信息量I可称信息熵，为
$H=-ksum_ip_ilnp_i$，信息给系统带来负熵。

如取K=1，对数底取2，熵的单位为比特(bit);取底为e，则称尼特。

信息熵是生命系统(作为非平衡系统)在形成有序结构耗散结
构时，所接受的负熵的一部分。

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科物理，希望给大家提供帮助。

1第5讲 随机变量的信息熵在概率论和统计学中，随机变量表示随机试验结果的观测值。

随机变量的取值是不确定的，但是服从一定的概率分布。

因此，每个取值都有自己的信息量。

平均每个取值的信息量称为该随机变量的信息熵。

信息熵这个名称是冯诺依曼向香农推荐的。

在物理学中，熵是物理系统的状态函数，用于度量一个物理系统内部状态和运动的无序性。

物理学中的熵也称为热熵。

信息熵的表达式与热熵的表达式类似，可以视为热熵的推广。

香农用信息熵度量一个物理系统内部状态和运动的不确定性。

信息熵是信息论的核心和基础概念，具有多种物理意义。

香农所创立的信息论是从定义和研究信息熵开始的。

这一讲我们学习信息熵的定义和性质。

1. 信息熵我们这里考虑离散型随机变量的信息熵，连续型随机变量的信息熵以后有时间再讨论，读者也可以看课本上的定义，先简单地了解一下。

定义1.1 设离散型随机变量X 的概率空间为1212......n n x x x X p p p P ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦我们把X 的所有取值的自信息的期望称为X 的平均自信息量，通常称为信息熵，简称熵（entropy ），记为H(X)，即11()[()]logni i iH X E I X p p ===∑ (比特)信息熵也称为香农熵。

注意，熵H (X )是X 的概率分布P 的函数，因此也记为H (P )。

定义1.2 信息熵表达式中的对数底可取任何大于等于2的整数r ，所得结果称为r-进制熵，记为H r (X )，其单位为“r-进制单位”。

我们有2()()log r X H H rX =注意，在关于熵的表达式中，我们仍然约定0log 00 0log00x==， 信息熵的物理意义：信息熵可从多种不同角度来理解。

（1） H(X)是随机变量X 的取值所能提供的平均信息量。

（2） 统计学中用H(X)表征随机变量X 的不确定性，也就是随机性的大小。

例如，假设有甲乙两只箱子，每个箱子里都存放着100个球。

H=-6[（1/6）log（1/3）]=log3 于是条件熵H为log3 。
在不知道结局为单双数时，掷一次骰子的结局 的不确定性为log6 ，在仅告诉你结局是单数或 者双数时是没有全部解除你对结局的疑惑，但 是它确实给了一些信息，这个信息（以I表示） 就用无条件熵与条件熵的差来计量。于是有
I=log6-log3=log6/3=log2
这里的无条件熵就是log6 ，而已经知道结局 是单数或者双数的条件熵可以根据前面的条件 熵公式计算。
➢ 肯定是单点（双点）时它是各个点的概率 ( 条件概率）
123456 单数 1/3 0 1/3 0 1/3 0 双数 0 1/3 0 1/3 0 1/3
公式中的p(yj)有两种情况，一个指单数的出 现概率，一个是双数的出现概率。它们显然 都是1/2 ，因此
通过A、B系统信息熵的计算，有
H(Pa)=1(bit) H(Pb)=2(bit) 由此判定系统B的不确定程度是系统A的两倍。
四、信息熵的基本性质
1．单峰性 设某一系统包含两个事件A、B，其产生 的概率分别为P和1-P。该系统的熵为：
当p为0时，H=0 当p为1时，H=0 当p为1/2时，H有极大值 若系统中每一事件产生的概率相同，均为 1／n，这种系统的H为最大值。
我们称之为信息熵，简称为熵（entropy）。
设某一系统具有四种状态A1、A2、A3、A4，其率 分别为：
p1=1/2, p2=1/4, p3=1/8, p4=1/8 该系统的平均信息量为：
4
H pilo g2pi i1
1 2
lo g2
1 2
1 4
lo g2
1 4
1 8
l
o
g2
1 8