(完整word版)2018年高考数学总复习-定积分和微积分基本定理

⾼考数学总复习：定积分与微积分基本定理定积分的性质（1）（为常数），（2），（3）（其中），（4）利⽤函数的奇偶性求积分：若函数在区间上是奇函数，则；若函数在区间上是偶函数，则.微积分基本定理如果，且在上连续，则,其中叫做的⼀个原函数.由于也是的原函数，其中c为常数.⼀般地，原函数在上的改变量简记作.因此，微积分基本定理可以写成形式：.说明：求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到⼀个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.定积分的⼏何意义设函数在区间上连续.在上，当时，定积分在⼏何上表⽰由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的⾯积；在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下⽅，定积分在⼏何上表⽰上述曲边梯形⾯积的负值；在上，当既取正值⼜取负值时，定积分的⼏何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分⾯积的代数和. 在轴上⽅的⾯积积分时取正号，在轴下⽅的⾯积积分时，取负号.应⽤1. 如图，由三条直线，，轴（即直线）及⼀条曲线()围成的曲边梯形的⾯积：；2. 如图，由三条直线，，轴（即直线）及⼀条曲线()围成的曲边梯形的⾯积：；3. 如图，由曲线及直线，围成图形的⾯积公式为：.4.利⽤定积分求平⾯图形⾯积的步骤：（1）画出草图，在直⾓坐标系中画出曲线或直线的⼤致图像；（2）借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；（3）写出定积分表达式；（4）求出平⾯图形的⾯积.1、由直线与曲线y=cosx所围成的封闭图形的⾯积为（）A、B、1 C、D、2、由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形⾯积为（）A、B、C、D、3、已知甲、⼄两车由同⼀起点同时出发，并沿同⼀路线（假定为直线）⾏驶．甲车、⼄车的速度曲线分别为V甲和V已（如图所⽰）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中⼀定正确的是（）A、在t1时刻，甲车在⼄车前⾯B、t1时刻后，甲车在⼄车后⾯C、在t0时刻，两车的位置相同D、t0时刻后，⼄车在甲车前⾯4、由曲线xy=1，直线y=x，y=3所围成的平⾯图形的⾯积为A、B、2﹣ln3 C、4+ln3 D、4﹣ln35、从如图所⽰的正⽅形OABC区域内任取⼀个点M（x，y），则点M取⾃阴影部分的概率为（）A、B、C、D、6、如图中阴影部分的⾯积是（）A、B、C、D、7、由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的⾯积为（）A、B、4 C、D、68、（e x+2x）dx等于（）A、1B、e﹣1C、eD、e2+19、dx等于（）A、﹣2ln2B、2ln2C、﹣ln2D、ln210、已知则∫﹣a a cosxdx=（a＞0），则∫0a cosxdx=（）A、2B、1C、D、11、曲线y=x2+2与直线y=3x所围成的平⾯图形的⾯积为（）B 、C 、D 、112、若∫0k（2x ﹣3x 2）dx=0，则k 等于（） A 、0 B 、1 C 、0或1 D 、以上均不对13、如图所⽰，曲线y=x 2和曲线y=围成⼀个叶形图（阴影部分），其⾯积是（）A 、1B 、C 、D 、14、由曲线y 2=2x 和直线y=x ﹣4所围成的图形的⾯积为 _________ ． 15、由曲线和直线y=x ﹣4，x=1，x=2围成的曲边梯形的⾯积是 _________ ．16、从如图所⽰的长⽅形区域内任取⼀个点M （x ，y ），则点M 取⾃阴影部分部分的概率为 _________ ． 17、设函数f （x ）=ax 2+c （a≠0），若，0≤x 0≤1，则x 0的值为 _________ ． 18．设321()252f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成⽴，则实数m 的取值范围为。

第十三节定积分与微积分基本定理(理科用)【最新考纲】 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义．1．定积分的概念与几何意义(2)定积分的几何意义①当f(x)≥0时，定积分∫b a f(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．②当f(x)在[a，b]上有正有负时，如图所示，则定积分∫ba f(x)dx 表示介于x 轴，曲线y ＝f(x)以及直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)之间各部分曲线梯形面积的代数和，即∫ba f(x)dx ＝A 1＋A 3－A 2－A 4．2．定积分的性质(1)∫b a kf(x)dx ＝k ∫ba f(x)dx (k 为常数)． (2)∫b a [f 1(x)±f 2(x)]dx ＝∫ba f 1(x)dx ±∫b a f 2(x)dx . (3)∫b a f(x)dx ＝∫c a f(x)dx ＋∫bc f(x)dx(其中a<c<b)．3．微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区间[a ，b]上的连续函数，且F ′(x)＝f(x)，那么∫ba f(x)dx ＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记作F(x)⎪⎪⎪ba，即∫b a f(x)dx ＝F(x)⎪⎪⎪b a＝F(b)－F(a)．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上连续，则∫ba f(x)dx ＝∫baf(t)dt.( )(2)若f(x)是偶函数，则∫a －a f(x)dx ＝2∫a0f(x)dx.( ) (3)若f(x)是奇函数，则∫a－a f(x)dx ＝0.( )(4)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成的面积是∫10(x 2－x)dx.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．已知质点的速率v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( )A ．10t 20 B ．5t 20C.103t 20D.53t 20 解析：答案：B3．(2015·湖南卷)∫20(x －1)dx ＝________．解析：∫20(x －1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |20＝12×22－2＝0. 答案：04．(2015·天津卷)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．解析：如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A(1，1)． 故所求面积为S ＝∫10(x －x 2)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3|10＝16.答案：165．若∫T0x 2dx ＝9，则常数T 的值为________．解析：∵∫T 0x 2dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3|T 0＝T 33＝9，∴T ＝3.答案：3一种关系由微积分基本定理可知求定积分的关键是求被积函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算的关系．两种方法求定积分的两种常用方法：一是利用微积分基本定理；二是利用定积分的几何意义．四点注意1．被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分． 2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量．3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限． 4．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．一、选择题1．(2014·山东卷)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．22B ．4 2C ．2D ．4 解析：令4x ＝x 3，解得x ＝0或x ＝±2，∴S ＝∫20(4x －x 3)＝⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－x 44|20＝8－4＝4.答案：D2．从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v ＝gt(g 为常数)，则电视塔高为( )A.12g B ．g C.32g D ．2g 解析：电视塔高h ＝∫21gtdt ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12gt 2|21＝32g.答案：C3．(2016·河北五校联考)若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x>0x ＋∫a 03t 2dt ，x ≤0， f(f(1))＝1，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2解析：因为f(1)＝lg 1＝0，f(0)＝∫a03t 2dt ＝t 3|a0＝a 3， 所以由f(f(1))＝1得：a 3＝1，a ＝1.答案：A4．(2015·福建卷改编)如图，点A 的坐标为(1，0)，点C 的坐标为(2，4)，函数f(x)＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.712B.512C.35D.310解析：S ＝∫21(4－x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎪⎫4x －13x 3|21＝53，∴所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.答案：B5．若S 1＝∫21x 2dx ，S 2＝∫211xdx ，S 3＝∫21e x dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1解析：S 1＝∫21x 2dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3|21＝13×23－13＝73，S 2＝∫211xdx ＝ln x |21＝ln 2，S 3＝∫21e x dx ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)，ln 2<ln e ＝1，且73<2.5<e(e－1)．所以ln 2<73<e(e －1)，即S 2<S 1<S 3.答案：B6．(2016·唐山一中调研)直线l 的方向向量为n ＝(4，3)且过抛物线x 2＝4y 的焦点，则直线l 与抛物线围成的封闭图形的面积为( )A.858B.12524C.12512D.38524解析：由题可得直线l 的斜率为34，抛物线的焦点为(0，1)，所以直线l 的方程为y －1＝34(x －0)⇒y ＝34x ＋1.联立直线与抛物线方程⎩⎨⎧x 2＝4yy ＝34x ＋1⇒x ＝－1，x ＝4，则可知直线l 与抛物线围成的封闭图形的面积为∫ 4－1⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ＋1－14x 2dx ＝12524. 答案：B二、填空题7．(2016·江西八校联考)∫3－3(x 3cos x)dx ＝________．解析：∵y ＝x 3cos x 为奇函数，∴∫3－3(x 3cos x)dx ＝0.故答案为0. 答案：08．设a>0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________．解：求曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积，封闭图形如图所示，则∫axdx ＝23x 32|a 0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.答案：499．设变力F(x)作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F(x)＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F(x)对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ，力的单位：N)．解析：变力F(x)＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝∫101F(x)dx ＝∫101(x 2＋1)dx＝⎝⎛⎭⎪⎫13x 3＋x |101＝342(J)． 答案：342 三、解答题10．设函数f(x)＝ax 2＋c(a ≠0)，∫10f(x)dx ＝f(x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值．解：∫10f(x)dx ＝∫10(ax 2＋c)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 33＋cx |10＝a3＋c ，故a 3＋c ＝ax 20＋c ，即ax 20＝a 3，又a ≠0， 所以x 20＝13，又0≤x 0≤1，所以x 0＝33.10．(2015·陕西卷改编)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，求原始的最大流量与当前最大流量的比值．解：建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x 2＝2py(p>0)，由图易知(5，2)在抛物线上，可得p ＝254，抛物线方程为x 2＝252y ，所以当前最大流量对应的截面面积为 2∫50(2－225x 2)dx ＝403，原始的最大流量对应的截面面积为2×（6＋10）2＝16.所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为16403＝1.2.导数应用中的高考热点题型函数是中学数学的核心内容，而导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：求单调区间、求极值、求最值、求函数的零点或方程的根、求参数的范围，证明不等式等，涉及到的数学思想方法有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等．中、高档难度题型均有．热点1 利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题．函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质，必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：(1)判断函数的单调性或求单调区间；(2)求函数的极值或最值；(3)利用函数的单调性、极值、最值，求参数的范围．(2015·课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ln x ＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1x－a. 当a ≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a>0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x)>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x)<0. 所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)由(1)知，当a ≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值；当a>0时，f(x)在x ＝1a处取得最大值，最大值为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >2a －2等价于ln a ＋a －1<0. 令g(a)＝ln a ＋a －1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0. 于是，当0<a<1时，g(a)<0；当a>1时，g(a)>0.因此，a 的取值范围是(0，1)．1．判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f′(x)的符号问题上，而f′(x)>0或f′(x)<0，最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题．2．若已知f(x)的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解．【变式训练】 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2－x ＋c ，且a ＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫23. (1)求a 的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝(f(x)－x 3)·e x ，若函数g(x)在x ∈[－3，2]上单调递增，求实数c 的取值范围．解：(1)由f(x)＝x 3＋ax 2－x ＋c ，得f′(x)＝3x 2＋2ax －1.当x ＝23时，得a ＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋2a ×23－1， 解之，得a ＝－1.(2)由(1)可知f(x)＝x 3－x 2－x ＋c.则f′(x)＝3x 2－2x －1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1), 列表如下：所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－13)和(1，＋∞)； f(x)的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1. (3)函数g(x)＝(f(x)－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c)·e x ，有g′(x)＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c)e x＝(－x 2－3x ＋c －1)e x ，因为函数g(x)在x ∈[－3，2]上单调递增，所以h(x)＝－x 2－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3，2]上恒成立．只要h(2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞)．热点2 利用导数研究函数的零点或曲线交点问题研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负，为此，我们可以通过讨论函数的单调性来解决，其主要考查方式有：(1)确定函数的零点、图象交点的个数；(2)由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围．设函数f(x)＝ln x＋mx，m∈R.(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x3零点的个数．解：(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋ex，则f′(x)＝x－ex2，由f′(x)＝0，得x＝e.∴当x∈(0，e)，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x∈(e，＋∞)，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋ee＝2，∴f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)＝f′(x)－x3＝1x－mx2－x3(x>0)，令g(x)＝0，得m＝－13x3＋x(x>0)．设φ(x)＝－13x3＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．∴x＝1是φ(x)唯一极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点．∴φ(x)的最大值为φ(1)＝23. 又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x)的图象(如图)，可知①当m>23时，函数g(x)无零点； ②当m ＝23时，函数g(x)有且只有一个零点； ③当0<m<23时，函数g(x)有两个零点； ④当m ≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．综上所述，当m>23时，函数g(x)无零点； 当m ＝23或m ≤0时，函数g(x)有且只有一个零点； 当0<m<23时，函数g(x)有两个零点．用导数研究函数的零点，常用两种方法：一是用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；二是将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．热点3 利用导数研究不等式问题(满分现场)导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题．归纳起来常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题．(理)(2015·课标全国Ⅰ卷)(本小题满分12分)设函数f(x)＝e 2x －aln x.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a ＋aln 2a. 规范解答：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝2e 2x－a x (x>0).2分 当a ≤0时，f ′(x)>0，f ′(x)没有零点；3分当a>0时，设u(x)＝e 2x，v(x)＝－a x ， 因为u(x)＝e 2x在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－a x 在(0，＋∞)上单调递增．所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(a)>0，当b 满足0<b<a 4且b<14时，f ′(b)<0， 故当a>0时，f ′(x)存在唯一零点.6分(2)证明：由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x)<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x)>0.故f(x)在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝x 0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x 0).9分由于2e2x 0－a x 0＝0， 所以f(x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋aln 2a ≥2a ＋aln 2a. 故当a>0时，f(x)≥2a ＋aln 2a.12分 【满分规则】(1)本题易失分点是①忽视f(x)的定义域；②忽视当a≤0时，f′(x)>0的情况；③求解使f′(b)<0的b所满足的约束条件；④用f′(x0)＝0，求解f(x0)的表达式．(2)得满分的原则①讨论函数的性质应首先求出函数的定义域；②当解析式中含有参数时，应注意分类讨论；③准确计算，正确推理、论证，并用规范的文字语言、符号语言进行表述．【构建模板】第一步：求函数f(x)的导函数f′(x)；第二步：分类讨论f′(x)的单调性；第三步：判断f′(x)零点的个数；第四步：证明f(x)在f′(x)的零点取到最小值．第五步：求出f(x)最小值的表达式，证明结论成立；第六步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范．【变式训练】(2014·课标全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝aln x＋1－a2x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x0≥1，使得f(x0)<aa－1，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝ax＋(1－a)x－b.由题设知f′(1)＝0，解得b＝1.(2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f(x)＝aln x ＋1－a 2x 2－x ， f ′(x)＝a x ＋(1－a)x －1＝1－a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 1－a (x －1)． ①若a ≤12，则a 1－a≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．所以，存在x 0≥1，使得f(x 0)<a a －1的充要条件为 f(1)<a a －1，即1－a 2－1<a a －1， 解得－2－1<a<2－1.②若12<a<1，则a 1－a>1， 故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 时，f ′(x)<0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞时，f ′(x)>0. f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，a 1－a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ，＋∞上单调递增． 所以存在x 0≥1，使得f(x 0)<a a －1的充要条件为 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a <a a －1. 而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ＝aln a 1－a ＋a 22（1－a ）＋a a －1>a a －1，所以不合题意． ③若a>1，则f(1)＝1－a 2－1＝－a －12<a a －1恒成立，所以a>1.综上，a 的取值范围是(－2－1，2－1)∪(1，＋∞)．1．(2014·课标全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝e x－e－x－2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x>0时，g(x)>0，求b的最大值．解：(1)f′(x)＝e x－e－x－2≥0，等号仅当x＝0时成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x－e－2x－4b(e x＋e－x)＋(8b－4)x，g′(x)＝2[e2x＋e－2x－2b(e x＋e－x)＋(4b－2)]＝2(e x＋e－x－2)(e x＋e－x－2b＋2)．①当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x＝0时成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x)>0；②当b>2时，若x满足2<e x＋e－x<2b－2，即0<x<ln(b－1＋b2－2b)时，g′(x)<0.而g(0)＝0，因此当0<x<ln(b－1＋b2－2b)时，g(x)<0.综上，b的最大值为2.2．已知函数f(x)＝e x(x2＋ax－a)，其中a是常数．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)＝k在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．解：(1)由f(x)＝e x(x2＋ax－a)可得f′(x)＝e x[x2＋(a＋2)x]．当a＝1时，f(1)＝e，f′(1)＝4e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y ＝4ex －3e.(2)令f′(x)＝e x [x 2＋(a ＋2)x]＝0，解得x ＝－(a ＋2)或x ＝0.当－(a ＋2)≤0，即a ≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f ′(x)≥0， 所以f(x)是[0，＋∞)上的增函数，所以方程f(x)＝k 在[0，＋∞)上不可能有两个不相等的实数根． 当－(a ＋2)>0，即a<－2时，f ′(x)，f(x)随x 的变化情况如下表：由上表可知函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(－(a ＋2))＝a ＋4ea ＋2. 因为函数f(x)是(0，－(a ＋2))上的减函数，是(－(a ＋2)，＋∞)上的增函数，且当x ≥－a 时，有f(x)≥e －a (－a)>－a ，又f(0)＝－a.所以要使方程f(x)＝k 在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤a ＋4e a ＋2，－a . 3．已知函数f(x)＝x 2－ln x －ax ，a ∈R.(1)当a ＝1时，求f(x)的最小值；(2)若f(x)>x ，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f(x)＝x 2－ln x －x ，f ′(x)＝（2x ＋1）（x －1）x. 当x ∈(0，1)时，f ′(x)<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0.所以f(x)的最小值为f(1)＝0. (2)由f(x)>x，得f(x)－x＝x2－ln x－(a＋1)x>0.由于x>0，所以f(x)>x等价于x－ln xx>a＋1.令g(x)＝x－ln xx，则g′(x)＝x2－1＋ln xx2.当x∈(0，1)时，g′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0.故g(x)有最小值g(1)＝1.故a＋1<1，即a的取值范围是(－∞，0)．4．已知函数f(x)＝ax＋xln x的图象在点x＝e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a的值；(2)若k∈Z，且k<f（x）x－1对任意x>1恒成立，求k的最大值．解：(1)因为f(x)＝ax＋xln x，所以f′(x)＝a＋ln x＋1.因为函数f(x)＝ax＋xln x的图象在点x＝e处的切线斜率为3，所以f′(e)＝3，即a＋ln e＋1＝3，所以a＝1.(2)由(1)知，f(x)＝x＋xln x，又k<f（x）x－1对任意x>1恒成立，即k<x＋xln xx－1对任意x>1恒成立．令g(x)＝x＋xln x x－1，则g′(x)＝x－ln x－2（x－1）2，令h(x)＝x－ln x－2(x>1)，则h′(x)＝1－1x＝x－1x>0，所以函数h(x)在(1，＋∞)上单调递增．因为h(3)＝1－ln 3<0，h(4)＝2－2ln 2>0，所以方程h(x)＝0在(1，＋∞)上存在唯一实根x0，且满足x0∈(3，4)．当1<x<x0时，h(x)<0，即g′(x)<0，当x>x0时，h(x)>0，即g′(x)>0，所以函数g(x)＝x＋xln xx－1在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以[g(x)]min＝g(x0)＝x0（1＋ln x0）x0－1＝x0（1＋x0－2）x0－1＝x0∈(3，4)．所以k<[g(x)]min＝x0∈(3，4) ，故整数k的最大值为3.5．(2016·贵阳期末)已知函数f(x)＝ax－ae x(a∈R，a≠0)．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的极值；(2)若函数F(x)＝f(x)＋1没有零点，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－x＋1e x，f′(x)＝x－2e x.由f′(x)＝0，得x＝2.当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以，函数f(x)的极小值为f(2)＝－1e 2，函数f(x)无极大值． (2)F′(x)＝f′(x)＝ae x －（ax －a ）e x e 2x ＝－a （x －2）e x. ①当a<0时，F(x)，F ′(x)的变化情况如下表：若使函数F(x)没有零点，当且仅当F(2)＝a e 2＋1>0， 解得a>－e 2，所以此时－e 2<a<0；②当a>0时，F(x)，F ′(x)的变化情况如下表：因为F(2)>F(1)>0，且F(1－10a )＝e1－10a －10e1－10a <e －10e1－10a<0， 所以此时函数F(x)总存在零点．综上所述，所求实数a 的取值范围是(－e 2，0)．。

1．定积分(1)定积分的相关概念在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．(2)定积分的几何意义①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(3)定积分的基本性质①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x.②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x.③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x.[探究] 1.若积分变量为t，则∫b a f(x)d x与∫b a f(t)d t是否相等？提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．3．定积分∫b a[f(x)－g(x)]d x(f(x)>g(x))的几何意义是什么？提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积．2．微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)|b a，即∫baf(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．[自测·牛刀小试]1.∫421x d x等于()A．2ln 2B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2解析：选D ∫421xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( )A.176B.143C.136D.116解析：选A S ＝∫21(t 2－t ＋2)d t ＝⎝⎛⎪⎪⎭⎫13t 3－12t 2＋2t 21＝176. 3．(教材习题改编)直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________． 解析：∫20x 2d x ＝13x 3 |20＝83. 答案：834．(教材改编题)∫101－x 2d x ＝________.解析：由定积分的几何意义可知，∫101－x 2d x 表示单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，所以∫101－x 2d x ＝14π. 答案：14π5．由曲线y ＝1x ，直线y ＝－x ＋52所围成的封闭图形的面积为________．解析：作出图象如图所示．解方程组可得交点为A ⎝⎛⎭⎫12，2，B ⎝⎛⎭⎫2，12，所以阴影部分的面积， 212⎰⎝⎛ －x ＋52－⎭⎫1x d x ＝⎝⎛⎭⎫－12x 2＋52x －ln x 212＝158－2ln 2. 答案：158－2ln 2[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分：(1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)∫π0(sin x －cos x )d x ；(3)∫20x (x ＋1)d x ；(4)∫21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ； (5)20π⎰sin 2x 2d x .[自主解答](1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ＝∫21x 2d x ＋∫212x d x ＋∫211d x ＝x 33|21＋x 2 |21＋x |21＝193. (2)∫π0(sin x －cos x )d x＝∫π0sin x d x －∫π0cos x d x ＝(－cos x ) |π0－sin x |π0＝2. (3)∫20x (x ＋1)d x ＝∫20(x 2＋x )d x＝∫20x 2d x ＋∫2x d x ＝13x 3 |20＋12x 2 |20 ＝⎝⎛⎭⎫13×23－0＋⎝⎛⎭⎫12×22－0＝143. (4)∫21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝∫21e 2x d x ＋∫211x d x ＝12e 2x |21＋ln x |21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (5)20π⎰ sin 2x 2d x ＝20π⎰⎝⎛⎭⎫12－12cos x d x ＝20π⎰12d x －1220π⎰cos x d x ＝12x 20π－12sin x 20π＝π4－12＝π－24. ———————————————————求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值； (5)计算原始定积分的值．1．求下列定积分： (1)∫20|x －1|d x ； (2)20π⎰1－sin 2x d x .解：(1)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ， x ∈[0，1)x －1， x ∈[1，2]故∫20|x －1|d x ＝∫10(1－x )d x ＋∫21(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 22 |10＋⎝⎛⎭⎫x 22－x |21＝12＋12＝1.(2) 20π⎰1－sin 2x d x＝20π⎰|sin x －cos x |d x ＝40π⎰(cos x －sin x )d x ＋24ππ⎰(sin x －cos x )d x＝(sin x ＋cos x )40π＋(－cos x －sin x ) 24ππ＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.[例2] ∫10－x 2＋2x d x ＝________.[自主解答] ∫10－x 2＋2x d x 表示y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形的面积．由y ＝－x 2＋2x 得(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)， 又∵0≤x ≤1，∴y ＝－x 2＋2x 与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的图形为14个圆，其面积为π4.∴∫10－x 2＋2x d x ＝π4.在本例中，改变积分上限，求∫20－x 2＋2x d x 的值．解：∫20－x 2＋2x d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以∫20－x 2＋2x d x ＝π2.———————————————————利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分． (2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．2．(2013·福建模拟)已知函数f (x )＝∫x 0(cos t －sin t )d t (x >0)，则f (x )的最大值为________．解析：因为f (x )＝∫x 02sin ⎝⎛⎭⎫π4－t d t ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－t |x 0＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x －2cos π4 ＝sin x ＋cos x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－1≤2－1， 当且仅当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1时，等号成立．[例3] (2012·山东高考)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( ) A.103 B ．4 C.163D ．6[自主解答] 由y ＝x 及y ＝x －2可得，x ＝4，即两曲线交于点(4,2)．由定积分的几何意义可知，由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为∫40(x －x ＋2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2＋2x |40＝163. [答案] C若将“y ＝x －2”改为“y ＝－x ＋2”，将“y 轴”改为“x 轴”，如何求解？解：如图所示，由y ＝x 及y ＝－x ＋2可得x ＝1.由定积分的几何意义可知，由y ＝x ，y ＝－x ＋2及x 轴所围成的封闭图形的面积为∫20f (x )d x ＝∫1x d x ＋∫21(－x ＋2)d x ＝23x32 |10＋⎝⎛⎭⎫2x －x 22 |21 ＝76.———————————————————利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差． (4)计算定积分，写出答案．3．(2013·郑州模拟)如图，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23 B.13 C.12D.14解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14，y ＝x 2⇒x ＝12或x ＝－12(舍)，所以阴影部分面积S ＝120⎰⎝⎛⎭⎫14－x 2d x ＋112⎰⎝⎛⎭⎫x 2－14d x＝⎝⎛⎭⎫14x －13x 3120＋⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 112＝14.[例4] 列车以72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度a ＝－0.4 m/s 2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？[自主解答] a ＝－0.4 m/s 2，v 0＝72 km/h ＝20 m/s. 设t s 后的速度为v ，则v ＝20－0.4t . 令v ＝0，即20－0.4 t ＝0得t ＝50 (s)． 设列车由开始制动到停止所走过的路程为s ，则s ＝∫500v d t ＝∫500(20－0.4t )d t＝(20t －0.2t 2) |500＝20×50－0.2×502＝500(m)，即列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动． ———————————————————1．变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≥0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为∫b a v (t )d t ；如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≤0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为－∫b a v (t )d t .2．变力做功问题物体在变力F (x )的作用下，沿与力F (x )相同方向从x ＝a 到x ＝b 所做的功为∫b a F (x )d x .4．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：选B 力F (x )做功为∫2010d x ＋∫42(3x ＋4)d x＝10x |20＋⎝⎛⎪⎪⎭⎫32x 2＋4x 42＝20＋26＝46.1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算． 3条性质——定积分的性质 (1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量； (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限； (3)面积非负， 而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点[典例] (2012·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝⎛⎭⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得f (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1，与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x 3120＋⎝⎛⎭⎫5x 2－103x 3112＝54. [答案] 54[易误辨析]1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错． 3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形； (2)准确确定被积函数和积分变量． [变式训练]1．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A.112 B.14 C.13D.712解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3，得x ＝0或x ＝1，由图易知封闭图形的面积＝∫10(x 2－x 3)d x ＝13－14＝112.2．(2012·山东高考)设a >0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意∫a 0x d x ＝a 2.又⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32′＝x ，即23x 32 |a 0＝a 2， 即23a 32＝a 2.所以a ＝49. 答案：49一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1.∫e 11＋ln x x d x ＝( ) A ．ln x ＋12ln 2xB.2e －1 C.32 D.12解析：选C∫e 11＋ln x xd x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋ln 2x 2e 1＝32. 2．(2012·湖北高考)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5 B.43 C.32D.π2解析：选B 由题中图象易知f (x )＝－x 2＋1，则所求面积为2∫10(－x 2＋1)d x ＝2⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 1＝43.3．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若∫30f (x )d x ＝3f (x 0)，则x 0等于( ) A ．±1 B. 2 C ．±3D ．2解析：选C ∫30f (x )d x ＝∫30(ax 2＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋bx 30＝9a ＋3b ， 则9a ＋3b ＝3(ax 20＋b )， 即x 20＝3，x 0＝±3.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈(1，2]，则∫20f (x )d x ＝( )A.34 B.45 C.56D ．不存在解析：选C 如图．∫20f (x )d x ＝∫10x 2d x ＋∫21(2－x )d x＝13x 3 |10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2 |21 ＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12 ＝56. 5．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( ) A.1603 m B.803 mC.403 m D.203m 解析：选A v ＝40－10t 2＝0，t ＝2，∫20(40－10t 2)d t＝⎝⎛⎭⎫40t －103t 3 |20＝40×2－103×8＝1603(m)． 6．(2013·青岛模拟)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1 C.32D. 3解析：选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分33ππ-⎰cos x d x ＝sin x33ππ-＝32－⎝⎛⎭⎫－32＝ 3. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．设a ＝∫π0sin x d x ，则曲线y ＝f (x )＝xa x ＋ax －2在点(1，f (1))处的切线的斜率为________．解析：∵a ＝∫π0sin x d x ＝(－cos x ) |π0＝2，∴y ＝x ·2x ＋2x －2. ∴y ′＝2x ＋x ·2x ln 2＋2.∴曲线在点(1，f (1))处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝4＋2ln 2. 答案：4＋2ln 28．在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝∫41(1＋2x )d x ，则该数列的前5项之和S 5等于________． 解析：a 4＝∫41(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2) |41＝18，因为数列{a n }是等比数列，故18＝23q 3，解得q ＝3，所以S 5＝23(1－35)1－3＝2423. 答案：24239．(2013·孝感模拟)已知a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则当∫a 0(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________. 解析：∫a 0(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x ) |a＝sin a ＋cos a －1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1， ∵a ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴当a ＝π4时，2sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4－1取最大值． 答案：π4三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．计算下列定积分： (1)20π⎰sin 2x d x ；(2)∫32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ； (3)120⎰e 2x d x .解：(1)20π⎰sin 2x d x ＝20π⎰1－cos 2x2d x ＝⎝⎛⎭⎫12x －14sin 2x 20π＝⎝⎛⎭⎫π4－14sin π－0＝π4. (2)∫32⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝∫32⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2d x＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x ＋ln x |32＝⎝⎛⎭⎫92＋6＋ln 3－(2＋4＋ln 2)＝92＋ln 3－ln 2＝92＋ln 32. (3) 120⎰e 2x d x ＝12e 2x 120＝12e －12. 11．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝∫10(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22－13x 3 |10＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ， 由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S 2＝∫1－k 0(x －x 2－kx )d x ＝⎝⎛⎭⎫1－k 2x 2－13x 3 |1－k 0＝16(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12， 于是k ＝1－ 312＝1－342. 12．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S 2，求点P 的坐标．解：设直线OP 的方程为y ＝kx ，点P 的坐标为(x ，y )，则∫x 0(kx －x 2)d x ＝∫2x (x 2－kx )d x ，即⎝⎛⎭⎫12kx 2－13x 3 |x 0＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12kx 2 |2x， 解得12kx 2－13x 3＝83－2k －⎝⎛⎭⎫13x 3－12kx 2， 解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，169. 1．一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为________．解析：由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2t (0≤t ≤1)，2 (1≤t ≤3)，13t ＋1 (3≤t ≤6)，因此该物体在12s ～6 s 间运动的路程为 s ＝612⎰v (t )d t ＝112⎰2t d t ＋∫312d t ＋∫63⎝⎛⎭⎫13t ＋1d t ＝t 2112＋2t |31＋⎝⎛⎭⎫16t 2＋t |63＝494(m)． 答案：494m 2．计算下列定积分：(1)31-⎰ (3x 2－2x ＋1)d x ；(2)∫e 1⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋1x 2d x . 解：(1) 31-⎰ (3x 2－2x ＋1)d x ＝(x 3－x 2＋x ) 31-＝24.(2)∫e 1⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋1x 2d x ＝∫e 1x d x ＋∫e 11x d x ＋∫e 11x 2d x ＝12x 2 |e 1＋ln x |e 1－1x|e 1 ＝12(e 2－1)＋(ln e －ln 1)－⎝⎛⎭⎫1e －11 ＝12e 2－1e ＋32. 3．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积． 解：由⎩⎨⎧ y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝∫10⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋∫31⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2 |10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2 |31 ＝23＋16＋43＝136. 4．某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v (单位：m/s)与时间t (单位：s)满足函数关系式v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2 (0≤t ≤10)，4t ＋60 (10<t ≤20)，140 (20<t ≤60).某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1 min 行驶的路程超过7 673 m ，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？解：由变速直线运动的路程公式，可得s ＝∫100t 2d t ＋∫2010(4t ＋60)d t ＋∫6020140d t＝13t 3 |100＋(2t 2＋60t ) |2010＋140t |6020 ＝7 133 13(m)<7 676(m)． ∴这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪不能被列入拟挑选的对象之一．。

第十三节 定积分与微积分基本定理[考纲传真] 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.2.了解微积分基本定理的含义．1．定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －an f (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －an f (ξi )．(2)有关概念在⎠⎛a b f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．(3)定积分的几何意义f (x ) ⎠⎛abf (x )d x 的几何意义 f (x )≥0表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积f (x )＜0表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积的相反数f (x )在[a ，b ]上有正有负 表示位于x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于x 轴下方的曲边梯形的面积(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)； (2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ； (3)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛c b f (x )d x (其中a <c <b )． 3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a b f (x )d x＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|ba ， 即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t .( )(2)若f (x )是偶函数，则⎠⎛a －af (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .( )(3)若f (x )是奇函数，则⎠⎛a －af (x )d x ＝0.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)√2．(教材改编)已知质点的速率v ＝10t ，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是( )A ．10t 20 B.5t 2C.103t 20D.53t 20B [S ＝∫t 00v d t ＝∫t 0010t d t ＝5t 2|t 00＝5t 20.]3．(2017·长沙模拟(一))⎠⎛01e x d x ＝________.e －1 [⎠⎛01e x d x ＝e x |10＝e －1.]4．(2015·天津高考)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________．16 [如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ，得A (1,1)． 故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－13x 3 |10＝16.] 5．若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．3 [∵⎠⎛0T x 2d x ＝13T 3＝9，T ＞0，∴T ＝3.]定积分的计算(1)⎠⎛－11 (x 2＋sin x )d x ；(2)⎠⎛02|1－x |d x . [解] (1) ⎠⎛－11 (x 2＋sin x )d x＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x＝2⎠⎛01x 2d x ＝2·x 33|10＝23. 6分(2)⎠⎛02|1－x |d x ＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |21 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12－1＝1. 12分 [规律方法] 1.运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分； (4)注意用“F ′(x )＝f (x )”检验积分的对错． 2．根据定积分的几何意义，可利用面积求定积分．[变式训练1] (1)(2017·石家庄质检(二))⎠⎛1－1(x 2＋1－x 2)d x ＝________.(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e )(e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为________.【导学号：01772093】(1)π2＋23 (2)43 [(1)原式＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛1－11－x 2d x ＝13x 3|1－1＋⎠⎛－111－x 2d x＝23＋⎠⎛－111－x 2d x ，⎠⎛1－11－x 2d x 等于半径为1的圆面积的12，即⎠⎛－111－x 2d x＝π2，故原式＝π2＋23.(2)∵f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e )，∴⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3|10＋ln x |e1＝13＋ln e ＝43.]利用定积分求平面图形的面积(1)曲线y ＝－x ＋2，y ＝x 与x 轴所围成的面积为________． (2)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.【导学号：01772094】(1)76 (2)2 [(1)如图所示，由y ＝x 及y ＝－x ＋2可得交点横坐标为x ＝1.由定积分的几何意义可知，由y ＝x ，y ＝－x ＋2及x 轴所围成的封闭图形的面积为⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12(－x ＋2)d x ＝23x 32|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x 22|21＝76. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边梯形的面积为 ⎠⎛k (kx －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫k 2x 2－13x 3|k＝k 32－13k 3＝43， 即k 3＝8，∴k ＝2.][规律方法] 利用定积分求平面图形面积的步骤 (1)根据题意画出图形；(2)借助图形确定被积函数，求交点坐标，确定积分的上、下限； (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； (4)计算定积分，写出答案．易错警示：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．[变式训练2] (1)(2016·山东威海一模)曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成的封闭区域的面积为________．(2)抛物线y 2＝4x 与直线y ＝2x －4围成的平面图形的面积为________． (1)2 (2)9 [(1)由题意知封闭区域的面积S ＝⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x |π0＝－cos π－(－cos 0)＝1－(－1)＝2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝2x －4，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.画出草图如图所示．选用x 为积分变量所求面积为⎠⎛01[2x －(－2x )]d x ＋⎠⎛14(2x －2x ＋4)d x ＝4×23x 32|10＋2×23x 32|41－x 2|41＋4x |41 ＝83＋⎝ ⎛⎭⎪⎫323－43－(16－1)＋(16－4)＝9.]定积分在物理中的应用一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )A ．1＋25ln 5 B.8＋25ln 113 C ．4＋25ln 5 D.4＋50ln 2C [由v (t )＝7－3t ＋251＋t＝0，可得t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了 4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛04v (t )d t ＝⎠⎛04⎝⎛⎭⎪⎫7－3t ＋251＋t d t ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )|40＝4＋25ln 5.] [规律方法] 定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .[变式训练3] 一物体在力F (x )＝⎩⎨⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x ＞2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.36 [由题意知，力F (x )所做的功为 W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝5×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x |42＝10＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×42＋4×4－⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(J)．][思想与方法]1．求定积分的两种常用方法：(1)利用微积分基本定理求定积分，其步骤如下：①求被积函数f(x)的一个原函数F(x)；②计算F(b)－F(a)．(2)利用定积分的几何意义求定积分．2．对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间．[易错与防范]1．被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分．2．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量．3．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．4．定积分的几何意义是曲边梯形面积的代数和，但要注意面积非负，而定积分的结果可以为负．。

第三节定积分和微积分基本定理考纲解读1.了解定积分的实际背景、基本思想及概念.2.了解微积分基本定理的含义.命题趋势探究定积分的考查以计算为主，其应用主要是求一个曲边梯形的面积，题型主要为选择题和填空题.知识点精讲 一、基本概念1.定积分的极念一般地，设函效()f x 在区间[a ，b]上连续.用分点0121i i a x x x x x -=<<<<<Ln x b <<=L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1()nn ii S f x ξ==∆=∑1()ni i b af nξ=-∑，当x D 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分．记为：()baS f x dx =⎰，()f x 为被积函数，x 为积分变量，[,]a b 为积分区间，b 为积分上限，a 为积分下限． 需要注意以下几点： （1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时），称为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法.①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b af n ξ=-∑；④取极限：()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰（3）曲边图形面积：()baS f x dx =⎰；变速运动路程21()t t S v t dt =⎰；变力做功(x)baS F dx =⎰2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图3-13中的阴影部分所示)的面积，这就是定积分()baf x dx ⎰的几何意义．一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的值的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图像以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．二、基本性质性质11badx b a =-⎰.性质2 ()()(0)b ba akf x dx k f x dx k =⎰⎰其中是不为的常数（定积分的线性性质）. 性质3 1212[()()]()()b b baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质）.性质4 ()()()()b c ba a cf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）推广1 1212[()()()]()()()b b b bmmaaaaf x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰L L 推广2 121()()()()kbc c ba ac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰L ．三、基本定理设函数()f x 是在区间[,]a b 上连续，且()F x 是()f x 是在[,]a b 上的任意一个原函数，即'()()F x f x =，则()()()b af x dx F b F a =-⎰，或记为()()b a b f x dx F x a==⎰()()F b F a -，称为牛顿—莱布尼兹公式，也称为微积分基本定理．该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，只要求出被积函数()f x 的一个原函数()F x ．然后计算原函数()F x 在区间[],a b 上的增量()()F b F a -即可，这一定理提示了定积分与不定积分之间的内在联系．题型归纳及思路提示题型51 定积分的计算思路提示对于定积分的计算问题，若该定积分具有明显的几何意义，如圆的面积等（例3.26及其变式），则利用圆面积计算，否则考虑用牛顿-莱布尼茨公式计算． 例3.25（2012江西11）计算()12-1sin xx dx +⎰= ．解析 ()123-111112sin =cos cos1cos113333x x dx x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=----= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰．A. B. C. D.变式1()421dx x =⎰A.-2ln 2B. 2ln 2C.-ln2D. ln 2变式2()1(2)xex dx +=⎰A.1 B 1e -. C.e D. +1e 变式3 设函数()()20f x ax c a =+≠，若()()()101f x dx f x x=≤≤⎰，则0x 的值为 ．变式4 设函数()y f x =的定义域为R, 若对于给定的正数k ，定义函数()()(),(),k k f x k f x f x f x k≤⎧=⎨>⎩，则当函数()1,1f x k x ==时，定积分()214k f x dx ⎰的值为（ ）A.2ln 22+B. 2ln21-C.2ln2D. 2ln21+ 例3.26 根据定积分的几何意义计算下列定积分 （1）()402x dx -⎰； （2）1211x dx --⎰分析根据定积分的几何意义，利用图形的面积求解.解析 根据定积分的几何意义，所求的定积分是直线所围成图形（如图3-14所示）的面积的代数和，很显然这是两个面积相等的等腰直角三角形，如图3-14所示，其面积代数和是0，故()420x dx -=⎰．（2）根据定积分的几何意义，所求的定积分是曲线()2210x y y +=≥和x 轴围成图形（如图3-15所示）的面积，显然是半个单位圆，其面积是2π，故121=2x dx π--⎰．评注 定积分()bax dx ⎰的几何意义是函数和直线,x a x b ==以及x 轴所围成的图形面积的代数和，面积是正值,但积分值却有正值和负值之分，当函数时,()0f x >面积是正值，当函数()0f x <时，积分值是负值．变式1 根据定积分的几何几何意义计算下列定积分． （1）()402x dx +⎰； （2）024x dx --⎰； （3）100sin xdx π⎰； （4）344sin xdx ππ-⎰．题型52 求曲边梯形的面积思路提示函数()(),y f x y g x ==与直线(),x a x b a b ==<围成曲边梯形的面积为()()|f g |dx baS x x =-⎰，具体思路是：先作出所涉及的函数图象，确定出它们所围成图形的上、下曲线所对应函数，被积函数左、右边界分别是积分下、上限． 例3.27 由曲线23,y x y x ==围成的封闭图形的面积为（ ）A.112 B.14 C.13 D.712解析 由23x x =得01,x x ==或则由2y x =和3y x =围成的封闭图形的面积为()1233401111110343412x x dx x x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故选A ． 变式1（2012湖北理3）已知二次函数()y f x =的图象如图3-16所求，则它与x 轴所围成图形的面积为（ ） A.25π B.43 C.32 D.2π变式2 由曲线2y x =和直线()20,1,,0,1x x y t t ===∈所围成的图形（如图3-17中阴影部分所示）面积的最小值为（ ）A.23B.13C.12D.14变式3 求抛物线24y x =与24y x =-围成的平面图形的面积．变式4 求由两条曲线2214,y 4y x x ==和直线4y =所围成的面积．最有效训练题16（限时45分钟）1.已知函数()223f x x x =--，则()11f x dx -=⎰（ ）A. -2B.163- C.-4 D. 1632.定积分())1211x x dx --=⎰（ ）A,24π- B.12π- C.14π- D. 12π- 3.设()[]2,0,12,(1,2]x x f x x x ⎧∈=⎨-∈⎩，则()20f x dx =⎰（ ）A.34 B.45 C.56D.不存在 4.222,,sin x a xdx b e dx c xdx ===⎰⎰⎰，则,,a b c 的大小关系是（ ）A,a c b << B.a b c << C.c b a << D. c a b << 5.曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面区域的面积为（ ）A,１ B. ２21 D. )2216.由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y θ=所围成的平面图形的面积为（ ）A,12B.１337.抛物线22y x =与直线4y x =-围成的平面图形的面积为 ．1-yxO图3-16118.已知()f x 是偶函数，且()506f x dx =⎰，则()55f x dx -=⎰ ．9.()202|1x |dx --=⎰ ．10.已知函数()y f x =的图象是折线段ABC ，其中()()10,0,5,1,02A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，．函数()()01y xf x x =≤≤的图象与x 轴所围成的图形的面积为 ．11.根据定积分的几何意义计算下列定积分．（１）11|x|dx -⎰； （２）22411x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰； （３）11dx +⎰；（４）20cos 2x dx π⎰； （５）20cos 2cos sin x dx x x π-⎰ １２．有一条直线与抛物线2y x =相交于Ａ，Ｂ两点，线段ＡＢ与抛物线所围成图形的面积恒等于43，求线段ＡＢ的中点Ｐ的轨迹方程．。