2018年高考数学考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数37直接证明与间接证明试题文

考点测试35 基本不等式一、基础小题1．“a >0且b 〉0”是“a ＋b 2≥ab ”成立的( ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 a 〉0且b 〉0⇒错误!≥错误!，但错误!≥错误!错误!a >0且b 〉0，只能推出a ≥0且b ≥0.2．函数f （x ）＝x ＋错误!（x 〈0)的值域为( ）A ．（－∞，0）B ．（－∞,－2]C ．若直线x a＋错误!＝1(a >0,b >0）过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( ）A．2 B．3C．4 D．5答案C解析因为直线错误!＋错误!＝1（a〉0,b>0）过点(1,1）,所以错误!＋错误!＝1。

所以a＋b＝（a＋b）·错误!＝2＋错误!＋错误!≥2＋2 错误!＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，故选C。

14．若实数a，b满足错误!＋错误!＝错误!，则ab的最小值为（) A．错误!B．2C．2错误!D．4答案C解析依题意知a>0,b>0，则错误!＋错误!≥2错误!＝错误!，当且仅当1a＝错误!，即b＝2a时,“＝"成立．因为错误!＋错误!＝错误!，所以错误!≥错误!，即ab≥2错误!，所以ab的最小值为2错误!，故选C。

15．若log4（3a＋4b）＝log2错误!,则a＋b的最小值是( ）A．6＋2错误!B．7＋2错误!C．6＋4错误!D．7＋4错误!答案D解析由log4(3a＋4b)＝log2ab,得3a＋4b＝ab，且a〉0，b>0，∴a＝错误!,由a>0，得b〉3.∴a＋b＝b＋错误!＝b＋错误!＝（b－3）＋错误!＋7≥212＋7＝4错误!＋7,即a＋b的最小值为7＋4错误!。

16．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________（单位:元)．答案160解析设底面的边长分别为x m，y m,总造价为T元，则V＝xy·1＝4⇒xy＝4.T＝4×20＋（2x＋2y）×1×10＝80＋20（x＋y)≥80＋20×2错误!＝80＋20×4＝160.(当且仅当x＝y时取等号)故该容器的最低总造价是160元．17．设a，b>0，a＋b＝5，则错误!＋错误!的最大值为________．答案3错误!解析令t＝错误!＋错误!，则t2＝(错误!＋错误!）2＝a＋1＋b＋3＋2错误!·错误!≤9＋a＋1＋b＋3＝18，。

考点测试37 直接证明与间接证明一、基础小题1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了( ) A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法答案 B解析因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．2．用反证法证明结论“三角形内角至少有一个不大于60°”，应假设( )A．三个内角至多有一个大于60°B．三个内角都不大于60°C．三个内角都大于60°D．三个内角至多有两个大于60°答案 C解析“三角形内角至少有一个不大于60°”即“三个内角至少有一个小于等于60°”，其否定为“三角形内角都大于60°”．故选C.3．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.证明过程如下：∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.又∵a，b，c不全相等，∴以上三式至少有一个“＝”不成立．∴将以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.此证法是( )A．分析法B．综合法C．分析法与综合法并用D．反证法答案 B解析由已知条件入手证明结论成立，满足综合法的定义．4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac <3a”索的因应是( )A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0答案 C解析b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.5．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4，a≥0，则P、Q的大小关系是( )A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定答案 C解析令a＝0，则P＝7≈2.6，Q＝3＋4≈3.7，∴P<Q.据此猜想a≥0时P<Q.证明如下：要证P<Q，只要证P2<Q2，只要证2a＋7＋2a a＋7 <2a＋7＋2 a＋3 a＋4 ，只要证a2＋7a<a2＋7a＋12，只要证0<12，∵0<12成立，∴P <Q 成立．故选C.6．两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )A.48,49 B ．62,63 C ．75,76 D ．84,85答案 D解析 由已知图形中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号知，只有D 符合条件．7．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列命题： ①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确命题的序号是________． 答案 ①③ 解析 ①⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αα∥β⇒l ⊥β，又∵m ⊂β，∴l ⊥m ，①正确； ②l ⊥α，当l ⊂β且m 不垂直α时， 则l 必与m 相交，故②错误； ③⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m l ⊥α⇒m ⊥α，又m ⊂β，∴β⊥α，故③正确； ④若α∩β＝n ，且m ∥n 时，l ⊥α⇒l ⊥n ⇒l ⊥m ，故④错误．8．记S ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则S 与1的大小关系是________．答案 S <1解析 ∵1210＋1<1210，1210＋2<1210，…，1211－1＝1210＋210－1<1210， ∴S ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋…＋1210＝1.二、高考小题9．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 答案 A解析 “方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”的否定是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．三、模拟小题10．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数 答案 B解析 “至少有一个”的否定为“都不是”，故选B. 11．设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a >b ，a <b 及a ＝b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立， 其中正确判断的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3答案 C解析 ①②正确；③中，a ≠b ，b ≠c ，a ≠c 可以同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，故正确的判断有2个．12．设a ，b ，c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a三个数( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2答案 D解析 假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 都小于2，则有a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a<6.因为a ，b ，c 都是正数， 所以a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2a ·1a ＋2b ·1b＋2c ·1c＝6与a ＋1b＋b ＋1c＋c ＋1a<6矛盾．故假设不成立，所以a ＋1a ，b ＋1b ，c ＋1a至少有一个不小于2，故选D.13．设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是________． 答案 n >m解析 解法一(取特殊值法)：取a ＝2，b ＝1，则m <n .解法二(分析法)：a －b <a －b ⇐b ＋a －b >a ⇐a <b ＋2b ·a －b ＋a －b ⇐2b ·a －b >0，显然成立．一、高考大题1．设函数f (x )＝x 3＋11＋x ，x ∈．证明：(1)f (x )≥1－x ＋x 2； (2)34<f (x )≤32.证明 (1)因为1－x ＋x 2－x 3＝1－ －x 41－ －x ＝1－x41＋x，由于x ∈，有1－x 41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，所以f (x )≥1－x ＋x 2. (2)由0≤x ≤1，得x 3≤x ，故f (x )＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝ x －1 2x ＋1 2 x ＋1 ＋32≤32，所以f (x )≤32.由(1)得f (x )≥1－x ＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1924>34，所以f (x )>34.综上，34<f (x )≤32.2．设数列{a n }满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n －a n ＋12≤1，n ∈N *. (1)证明：|a n |≥2n －1(|a 1|－2)，n ∈N *；(2)若|a n |≤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，n ∈N *，证明：|a n |≤2，n ∈N *.证明 (1)由⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n －a n ＋12≤1，得|a n |－12|a n ＋1|≤1，故 |a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1≤12n ，n ∈N *， 所以|a 1|21－|a n |2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a 1|21－|a 2|22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a 2|22－|a 3|23＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n－1|2n －1－|a n |2n ≤121＋122＋…＋12n －1<1，因此|a n |≥2n －1(|a 1|－2)．(2)任取n ∈N *，由(1)知，对于任意m >n ，|a n |2n －|a m |2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n |2－|a n ＋1|2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n ＋1|2－|a n ＋2|2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a m－1|2－|a m |2≤12n ＋12n ＋1＋…＋12m －1<12n －1，故|a n |<⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋|a m |2m ·2n ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n －1＋12m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32m ·2n＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34m ·2n.从而对于任意m >n ，均有|a n |<2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34m ·2n. ①由m 的任意性得|a n |≤2.否则，存在n 0∈N *，有|a n 0|>2，取正整数m 0>log 34|a n 0|－22n且m 0>n 0，则2n 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫34m 0<2n0·⎝ ⎛⎭⎪⎫34log 34 |a n 0|－22n0 ＝|a n 0|－2，与①式矛盾， 综上，对于任意n ∈N *，均有|a n |≤2.3．记U ＝{1,2，…，100}．对数列{a n }(n ∈N *)和U 的子集T ，若T ＝∅，定义S T ＝0；若T ＝{t 1，t 2，…，t k }，定义S T ＝a t 1＋a t 2＋…＋a t k .例如：T ＝{1,3,66}时，S T ＝a 1＋a 3＋a 66.现设{a n }(n ∈N *)是公比为3的等比数列，且当T ＝{2,4}时，S T ＝30.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数k (1≤k ≤100)，若T ⊆{1,2，…，k }，求证：S T <a k ＋1； (3)设C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D ，求证：S C ＋S C ∩D ≥2S D . 解 (1)由已知得a n ＝a 1·3n －1，n ∈N *.于是当T ＝{2,4}时，S T ＝a 2＋a 4＝3a 1＋27a 1＝30a 1. 又S T ＝30，故30a 1＝30，即a 1＝1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)证明：因为T ⊆{1,2，…，k }，a n ＝3n －1>0，n ∈N *，所以S T ≤a 1＋a 2＋…＋a k ＝1＋3＋…＋3k －1＝12(3k －1)<3k.因此，S T <a k ＋1. (3)下面分三种情况证明．①若D 是C 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S D ≥S D ＋S D ＝2S D . ②若C 是D 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S C ＝2S C ≥2S D . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集．令E ＝C ∩∁U D ，F ＝D ∩∁U C ，则E ≠∅，F ≠∅，E ∩F ＝∅. 于是S C ＝S E ＋S C ∩D ，S D ＝S F ＋S C ∩D ，进而由S C ≥S D ，得S E ≥S F . 设k 为E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则k ≥1，l ≥1，k ≠l . 由(2)知S E <a k ＋1.于是3l －1＝a l ≤S F ≤S E <a k ＋1＝3k，所以l －1<k ，即l ≤k .又k ≠l ，故l ≤k－1.从而S F ≤a 1＋a 2＋…＋a l ＝1＋3＋…＋3l －1＝3l －12≤3k －1－12＝a k －12≤S E －12，故S E ≥2S F ＋1，所以S C －S C ∩D ≥2(S D －S C ∩D )＋1， 即S C ＋S C ∩D ≥2S D ＋1.综合①②③，得S C ＋S C ∩D ≥2S D . 二、模拟大题4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列． 解 (1)当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2， 两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.(2)证明(反证法)：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p＋1.①又因为p <q <r ，所以r －q ，r －p ∈N *.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立． 所以假设不成立，原命题得证．。

单元质量测试(五)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．[2017·安徽安庆质检]设i 是虚数单位，如果复数a ＋i2－i 的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A ．13B ．－13C ．3D ．－3答案 C 解析a ＋i 2－i＝2a －1＋a ＋5，由题意知2a －1＝a ＋2，解之得a ＝3.2．[2016·广东测试]若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1答案 C解析 ∵z 为纯虚数，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i＝2－－2＋2－2＝－3i 3＝－i.3．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( )A ．ab <b 2<1 B ．log 12 b <log 12 a <0C ．2b<2a <2 D ．a 2<ab <1答案 C解析 ∵y ＝2x是单调递增函数，且0<b <a <1， ∴2b<2a<21，即2b <2a<2.4．命题p ：∃α、β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；命题q ：∀m ∈R ，m ＋1m≥2，则下列结论正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧q 是假命题D ．(綈p )∨q 是真命题答案 C解析 存在α、β满足题意，例如α＝0，β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．而m ＋1m≥2必须在m >0时才能成立，所以p 真q 假．所以选C.5．不等式4x －2≤x －2的解集是( )A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)答案 B解析 ①当x －2>0，即x >2时，原不等式可化为(x －2)2≥4，∴x ≥4；②当x －2<0，即x <2时，原不等式可化为(x －2)2≤4，∴0≤x <2.6．[2016·福建宁德调研]已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤2，x －y ≤2，若不等式ax －y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，4]B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2D ．[2,4]答案 B解析 不等式组表示的平面区域如图所示，不等式ax －y ≤3恒成立，即y ≥ax －3恒成立，平面区域ABC 在直线y ＝ax －3上及上方，由图可知得A (1,1)，B (2,0)，C (1，－1)三点在直线上及上方，满足⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤4，2a ≤3，a ＋1≤3，得a ≤32，故答案为B.7．[2017·深圳调研]按下图所示的程序框图，若输入a ＝110011，则输出的b ＝( )A ．51B ．49C ．47D ．45答案 A解析 由题意知b ＝1×20＋1×21＋0×22＋0×23＋1×24＋1×25＝51.故选A.8．[2017·武汉调研]若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ≤y ，x ＋y ≤4，则1x ＋2y的最大值为( )A ．53 B ．2 C ．32 D ．3答案 D解析 要求1x ＋2y的最大值，只要使x ，y 同时取得最小值即可，作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图知x ，y 在点B 处同时取得最小值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y max ＝11＋21＝3，故选D. 9．不等式x 2＋2x <a b ＋16ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,0) B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C ．(－4,2) D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)答案 C解析 不等式x 2＋2x <a b ＋16b a 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，等价于x 2＋2x <⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋16b a min ，由于a b＋16ba ≥2a b ·16b a＝8(当a ＝4b 时等号成立)，∴x 2＋2x <8，解得－4<x <2，故选C. 10．[2016·湖北黄冈检测]在程序框图中，输入N ＝8，按程序运行后输出的结果是( )A ．6B ．7C ．10D ．12答案 C解析 由于程序中根据k 的取值不同，产生的T 值也不同，故可将程序中的k 值从小到大，每四个分为一组，即(1,2,3,4)，(5,6,7,8)．∵当k 为偶数时，T ＝k 2；当k ＋12为偶数，即k ＝4n ＋3，n ∈Z 时，T ＝k ＋14；否则，即k ＝4n ＋1，n ∈Z 时，T ＝－k ＋34.故可知：每组的4个数中，偶数值乘以12累加至S ，但两个奇数对应的T 值相互抵消，即S ＝12(2＋4＋6＋8)＝10，故选C.11．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A ．18B ．19C ．127D ．164答案 C解析 从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，如图，设正四面体的棱长为a ，E 为等边三角形ABC 的中心，O 为内切球与外接球球心．则AE ＝33a ，DE ＝63a ， 设OA ＝R ，OE ＝r ， 则OA 2＝AE 2＋OE 2， 即R 2＝⎝⎛⎭⎪⎫63a －R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2，∴R ＝64a ，r ＝612a .∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是3∶1.故正四面体P －ABC 的内切球体积V 1与外接球体积V 2之比等于127，故选C.12．[2017·邯郸调研]若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为( )A ．16B ．25C ．36D ．49答案 A解析 因为a ，b >0，1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，所以4a －1＋16b －1＝b －＋a －a －b －＝4b ＋16a －20ab －a ＋b ＋1＝4b ＋16a －20.又4b ＋16a ＝4(b ＋4a )＝4(b ＋4a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝20＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥20＋4×2b a ·4a b ＝36，当且仅当b a ＝4a b 且1a ＋1b ＝1，即a ＝32，b ＝3时取等号． 所以4a －1＋16b －1≥36－20＝16. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·云南名校联考]观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________．答案 13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋22解析 由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋22.14．[2016·江西南昌摸底]已知某程序框图如图所示．若a ＝0.62，b ＝30.5，c ＝log 0.55，则输出的数是________．答案3解析 由程序框图可知，程序的功能是求三个数中的最大值，a ＝0.62＝0.36<1，b ＝30.5>1，c ＝log 0.55<0，故c <a <b ，所以输出的数为b ＝ 3.15．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．答案 5 8解析 每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．16．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________． 答案 4解析 依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9， ∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2x ＋y ＋＝6，即x ＋2y ≥4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝2y ＋1，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1时等号成立．∴x ＋2y 的最小值是4.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分10分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解 由(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，得z 1－2＝1－i1＋i ，即z 1＝1－i1＋i＋2＝－2＋－＋2＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R )，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. 又z 1·z 2是实数，∴4－a ＝0，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.18．(本小题满分12分)已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg (xy )≤lg 10＝1. ∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20＝120⎝⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2x y 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5yx ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 19．(本小题满分12分)设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c . 证明 ∵a 、b 、c 都是正数， ∴bc a ，ca b ，abc都是正数．∴bc a ＋ca b≥2c ，当且仅当a ＝b 时等号成立，ca b ＋abc≥2a ，当且仅当b ＝c 时等号成立， ab c ＋bca≥2b ，当且仅当a ＝c 时等号成立． 三式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．20．(本小题满分12分)已知a ，b 为正有理数，设m ＝b a ，n ＝2a ＋ba ＋b.(1)比较m ，n 的大小；(2)求证：2的大小在m ，n 之间．解 (1)因为a ，b 为正有理数，所以b ≠2a .m －n ＝b a －2a ＋b a＋b ＝b 2－2a 2a a ＋b ＝b －2a b ＋2aa a ＋b，所以当b >2a 时，m >n ；当b <2a 时，m <n . (2)证明：因为m －2＝b a －2＝b －2a a ，n －2＝2a ＋ba ＋b－2＝2－2a －ba ＋b，所以(m －2)(n －2)＝－2－2a －b2a a＋b<0.因此2的大小在m ，n 之间．21．(本小题满分12分)已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0.(1)是否存在m 对所有的实数x 不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；(2)设不等式对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围． 解 (1)不等式mx 2－2x －m ＋1<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方． 当m ＝0时，f (x )＝1－2x ，不满足f (x )<0恒成立； 当m ≠0时，f (x )＝mx 2－2x －m ＋1，要使f (x )<0恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4m －m ，则m 无解．综上可知，不存在这样的m . (2)设g (m )＝(x 2－1)m ＋(1－2x )，则g (m )为一个以m 为自变量的一次函数，其图象是直线．由题意知，当－2≤m ≤2时，g (m )的图象为在x 轴下方的线段，∴⎩⎪⎨⎪⎧g－，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2－2x ＋3<0， ①2x 2－2x －1<0， ②解①得x <－1－72或x >－1＋72，解②得1－32<x <1＋32.由①②，得－1＋72<x <1＋32.∴x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＋72<x <1＋32. 22．(本小题满分12分)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解 (1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为y x ＝12x ＋80000x－200≥212x ·80000x －200＝200(400≤x ≤600)，当且仅当12x ＝80000x，即x ＝400时等号成立．故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元． (2)不获利．设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80000 ＝－12x 2＋300x －80000＝－12(x －300)2－35000.∵400≤x ≤600，∴S max ＝－12(400－300)2－35000＝－40000.故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损.。

考点测试41 复数一、基础小题1．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为( ) A．3＋5i B．3－5iC．－3＋5i D．－3－5i答案 A解析z＝11＋7i2－i＝11＋7i 2＋i2－i 2＋i＝15＋25i5＝3＋5i.2.如图，在复平面内，点A表示复数z，由图中表示z的共轭复数的点是( )A．A B．BC．C D．D答案 B解析表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点表示z.选B.3．若i(x＋y i)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋y i的模是( )A．2 B．3C．4 D．5答案 D解析由题意知x＋y i＝3＋4ii＝4－3i，所以|x＋y i|＝|4－3i|＝42＋ －3 2＝5.4．若复数z满足1＋2iz＝i(i为虚数单位)，则z的虚部为( )A．－2 B．2 C．1 D．－1 答案 D解析由1＋2iz＝i，可得z＝1＋2ii＝i＋2i2i2＝－2＋i－1＝2－i，所以z的虚部为－1，故选D.5．复数z＝i1＋i在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 因为z ＝i 1＋i ＝1＋i 2，所以对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，故在第一象限，选A.6．复数i 2＋i 3＋i 41－i ＝( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i 答案 C解析 i 2＋i 3＋i 41－i ＝ －1 ＋ －i ＋11－i ＝－i1－i＝－i 1＋i 1－i 1＋i ＝1－i 2＝12－12i. 7．设i 是虚数单位，复数1＋a i 2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D.12 答案 A解析 解法一：因为1＋a i 2－i ＝ 1＋a i 2＋i2－i 2＋i＝2－a ＋ 2a ＋1 i 5为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2.解法二：令1＋a i2－i＝m i(m ≠0)， ∴1＋a i ＝(2－i)m i ＝m ＋2m i.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，a ＝2m ，∴a ＝2.8．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i答案 D解析 CA →＝CB →－AB →＝－1－3i －2－i ＝－3－4i ，故选D. 9．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0答案 C解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由z 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2≥b 2，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，|a |≥|b |或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，|a |≥|b |.所以a ＝0时b ＝0，b ＝0时a ∈R .故z 是实数，所以A 为真命题；由于实数的平方不小于0，所以当z 2<0时，z 一定是虚数，故B 为真命题；由于i 2＝－1<0，故C 为假命题，D 为真命题．10．关于复数z ＝ 1＋i 21－i ，下列说法中正确的是( )A ．在复平面内复数z 对应的点在第一象限B ．复数z 的共轭复数z ＝1－iC ．若复数z 1＝z ＋b (b ∈R )为纯虚数，则b ＝1D ．设a ，b 为复数z 的实部和虚部，则点(a ，b )在以原点为圆心，半径为1的圆上答案 C解析 由题可知z ＝ 1＋i 21－i ＝2i1－i ＝－1＋i ，若z ＋b (b ∈R )为纯虚数，则b＝1，故选C.11．如图，在复平面内，已知复数z 1，z 2，z 3对应的向量分别是OA →，OB →，OC →，i 是虚数单位，若复数z ＝z 1·z 2z 3，则|z ＋112i|＝( )A ．3 B.10＋11 C.6＋11 D.32答案 A解析 由题图可知，z 1＝3＋i ，z 2＝1－2i ，z 3＝－2＋2i ，则z ＝z 1·z 2z 3＝3＋i 1－2i －2＋2i ＝－52，∴z ＋112i ＝－52＋112i ，|z ＋112i|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1122＝3，故选A. 12．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________．答案3解析 |z －2|＝ x －2 2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3，⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝31＝ 3.二、高考小题 13．若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i答案 C解析 ∵z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴4iz z －1＝4i4＝i.故选C.14．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 B解析 ∵x ，y ∈R ，(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝ 2.故选B. 15．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)答案 A解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋3>0，m －1<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >－3，m <1⇒－3<m <1.故选A.16．若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则2z ＋z ＝2(a ＋b i)＋a －b i ＝3a ＋b i ＝3－2i ，∴a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i ，故选B.17．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 4答案 A解析 T 3＝C 26x 4i 2＝－15x 4，故选A.18．设复数z 满足1＋z 1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2答案 A解析 由已知1＋z 1－z ＝i ，可得z ＝i －1i ＋1＝ i－1 2 i＋1 i－1 ＝－2i－2＝i ，∴|z |＝|i|＝1，故选A.19．i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．i B ．－i C ．1 D ．－1 答案 A解析 ∵i 607＝i 4×151＋3＝(i 4)151·i 3＝－i ， ∴i 607的共轭复数为i.20．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(1＋i)·(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．答案 2解析 由(1＋i)(1－b i)＝a ，得1＋b ＋(1－b )i ＝a ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝a ，1－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以a b ＝2.21．设a ∈R .若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________.答案 －1解析 (1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ，∵a ∈R ，该复数在复平面内对应的点位于实轴上， ∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.22．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 答案 5解析 (1＋2i)(3－i)＝3＋5i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部为5.23．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 答案 －2解析 ∵(1－2i)(a ＋i)＝2＋a ＋(1－2a )i 为纯虚数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ≠0，2＋a ＝0，解得a ＝－2. 三、模拟小题24．已知i 是虚数单位，则i 20151＋i＝( )A.1－i 2B.1＋i 2C.－1－i 2D.－1＋i2答案 C解析 i 20151＋i ＝－i 1＋i ＝－i 1－i 2＝－1－i2，故选C.25．在复平面内，复数3－i1－i 对应的点的坐标为( )A ．(2,1)B ．(1，－2)C ．(1,2)D ．(2，－1)答案 A解析 z ＝3－i 1－i ＝ 3－i 1＋i 1－i 1＋i ＝4＋2i2＝2＋i ，所对应的点的坐标是(2,1)，故选A.26．复数z 满足：(3－4i)z ＝1＋2i ，则z ＝( ) A ．－15＋25iB.15－25i C ．－15－25iD.15＋25i 答案 A解析 由(3－4i)z ＝1＋2i ，得z ＝1＋2i 3－4i ＝ 1＋2i 3＋4i 3－4i 3＋4i ＝3＋4i ＋6i －825＝－5＋10i 25＝－15＋25i ，故选A. 27．已知复数z 满足z i ＝2i ＋x (x ∈R )，若z 的虚部为2，则|z |＝( ) A ．2 B ．2 2 C. 5 D. 3答案 B解析 由z i ＝2i ＋x ，得z ＝2i ＋x i ＝ 2i＋x i i×i ＝－2＋x i－1＝2－x i ，又z 的虚部为2，得x ＝－2，得z ＝2＋2i ，所以|z |＝22＋22＝22，故选B.28．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( )A ．5－4iB ．5＋4iC ．3－4iD ．3＋4i答案 D解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故选D.29．设复数z 1＝3＋2i ，z 2＝1－i ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2z 2＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 D解析 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2z 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋2i ＋2＝|3＋2i ＋(1＋i)|＝|4＋3i|＝5.30．已知z 为复数，(1－i)2z ＝(1＋i)3(i 为虚数单位)，则＝( ) A ．1＋i B ．－1＋i C ．1－i D ．－1－i 答案 B解析 由题意，得z ＝ 1＋i 3 1－i 2＝2i 1＋i－2i ＝－1－i ，则z ＝－1＋i.31．设i 为虚数单位，已知z 1＝1－i 1＋i ，z 2＝－12＋32i ，则|z 1|，|z 2|的大小关系是( )A ．|z 1|<|z 2|B ．|z 1|＝|z 2|C ．|z 1|>|z 2|D ．无法比较答案 B解析 ∵|z 1|＝|1－i||1＋i|＝22＝1，|z 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋32i ＝1，∴|z 1|＝|z 2|. 32．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a ＋i ＝3－b i ，则a ＋b i 1－i ＝( ) A ．2－iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋i 答案 B解析 ∵a ＋i ＝3－b i ，∴a ＝3，b ＝－1，则a ＋b i 1－i ＝3－i1－i ＝2＋i ，故选B.33．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则下列判断正确的是( ) A ．z ＋z 是纯虚数B ．z 2≥0 C.z 的虚部为－b iD ．若z 2＝－1，则z ＝±i答案 D 解析 z ＋z ＝2a 是实数，排除A ；z 的平方不一定是实数，则z 2≥0错误，排除B ；z 的虚部为－b ，排除C ；若z 2＝－1，则z ＝±i，D 正确，故选D.34．若复数(2＋a i)2(a ∈R )是实数，则a ＝________.答案 0解析 因为(2＋a i)2(a ∈R )＝4＋4a i ＋a 2i 2＝4－a 2＋4a i 为实数，∴a ＝0，故答案为0.本考点在近三年高考中未涉及此题型．。