2.5 直线与圆的位置关系(1)

2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系学习目标核心素养1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．(重点)2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．(难点)3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．(难点) 通过研究直线与圆的位置关系，提升逻辑推理、数学运算、直观想象的数学素养.“大漠孤烟直，长河落日圆”，这是唐代诗人王维的诗句．它描述了黄昏日落时分塞外特有的景象．如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片．图片中，地平线与太阳的位置关系怎样？结合初中知识总结，直线与圆有几种位置关系？1．直线与圆的三种位置关系位置关系交点个数相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点位置关系相交相切相离公共点个数两个一个零个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2d＜r d＝r d＞r 代数法：由Δ＞0Δ＝0Δ＜0⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b2＝r2消元得到一元二次方程的判别式Δ[提示] “几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系，是从不同的方面，不同的思路来判断的．“几何法”更多地侧重于“形”，更多地结合了图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”．3．用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与圆的位置关系可以用代数法或几何法判断． ( ) (2)过圆外一点作圆的切线有两条．( )(3)当直线与圆相离时，可求圆上点到直线的最大距离和最小距离． ( ) (4)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交或相切． ( )[提示] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．无法判断B [圆心(0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|32＋42＝1. ∵d ＝r ，∴直线与圆相切．故选B.]3．设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |＝( ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2D [直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心C (0,0)，则|AB |＝2.]4．若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________． x ＋2y －5＝0 [由题意，得k OP ＝2－01－0＝2，则该圆在点P 处的切线的斜率为－12，所以所求切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.]直线与圆的位置关系与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．[解]法一：将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，∴(1)当Δ>0时，即m>0或m<－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当Δ<0时，即－43<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为C(2,1)，半径r＝2.圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝|2m－1－m－1|1＋m2＝|m－2|1＋m2.(1)当d<2时，即m>0或m<－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当d＝2时，即m＝0或m＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当d>2时，即－43<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．直线与圆位置关系判断的三种方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．[跟进训练]1．已知直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，则直线l 与圆C 的位置关系为________．相交 [由直线方程得(2x ＋y －7)m ＋x ＋y －4＝0，令⎩⎨⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.故直线l 过定点A (3,1)． 由|AC |＝3－12＋1－22＝5＜5得A 点在圆内，因此直线l 与圆C 相交．]直线与圆相切问题1．怎样解决直线与圆相切问题？[提示] 一般采用几何法，即圆心到直线的距离等于半径．2．当点(x 0，y 0)在圆外时，过该点的直线与圆相切有几条？当设点斜式只求出一个解时怎么办？ [提示] 有两条．虽设点斜式但要分斜率存在与不存在两种情况，当只求出一个解时，另一条一定是x ＝x 0.【例2】 (1)已知直线l ：ax ＋by －3＝0与圆M ：x 2＋y 2＋4x －1＝0相切于点P (－1,2)，则直线l 的方程为________．(2)过点A (4，－3)作圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线方程． [思路探究] (1)利用MP ⊥l ，同时点P 在直线l 上． (2)先确定点A 在圆外，利用d ＝r 求切线方程． (1)x ＋2y －3＝0 [根据题意，圆M ：x 2＋y 2＋4x －1＝0， 即(x ＋2)2＋y 2＝5，其圆心M (－2,0)，直线l ：ax ＋by －3＝0与圆M ：x 2＋y 2＋4x －1＝0相切于点P (－1,2)， 则P 在直线l 上且MP 与直线l 垂直． k MP ＝2－0－1－－2＝2，则有－a b ＝－12，则有b ＝2a ，又由P 在直线l 上，则有－a ＋2b －3＝0，可解得a ＝1，b ＝2， 则直线l 的方程为x ＋2y －3＝0.] (2)[解] 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点A 在圆外，故切线有两条．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ，则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0. 设圆心为C，因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，所以|3k－1－3－4k|k2＋1＝1，即|k＋4|＝k2＋1，所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－15 8.所以切线方程为－158x－y＋152－3＝0，即15x＋8y－36＝0.②若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离为1，这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.圆的切线方程的求法(1)点在圆上时求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－1k，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.(2)点在圆外时①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解．[跟进训练]2．若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点(a，b)向圆C所作的切线长的最小值为________．4[因为圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心C(－1,2)在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即a－b＝3.又圆的半径为2，当点(a，b)与圆心的距离最小时，切线长取得最小值，又点(a，b)与圆心的距离为a ＋12＋b －22＝2a －22＋18≥32，所以切线长的最小值为322－22＝4.]直线与圆相交问题【例3】 (1)求直线l ：3x ＋y －6＝0被圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0截得的弦长|AB |.(2)过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A ，B 两点，如果|AB |＝8，求直线l 的方程．[思路探究] (1)利用交点坐标直接求解．(2)直线l 要分斜率存在和不存在两种情况，建立方程，通过解方程得解．[解] (1)联立直线l 与圆C 的方程，得⎩⎨⎧ 3x ＋y －6＝0，x 2＋y 2－2y －4＝0，解得⎩⎨⎧ x 1＝1，y 1＝3，⎩⎨⎧x 2＝2，y 2＝0，所以交点为A (1,3)，B (2,0)．故直线l ：3x ＋y －6＝0被圆C ：x 2＋y 2－2y －4＝0截得的弦长|AB |＝1－22＋3－02＝10.(2)将圆的方程配方得(x ＋1)2＋(y －2)2＝25， 由圆的性质可得，圆心到直线l 的距离d ＝252－⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝3. ①当直线l 的斜率不存在时，x ＝－4满足题意；②当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0. 由点到直线的距离公式，得3＝|－k －2＋4k |1＋k2， 解得k ＝－512，所以直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0. 综上所述，直线l 的方程为x ＋4＝0或5x ＋12y ＋20＝0.求弦长常用的三种方法(1)利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系⎝ ⎛⎭⎪⎫12l 2＋d 2＝r 2解题．(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．(3)利用弦长公式，设直线l ：y ＝kx ＋b ，与圆的两交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2].[跟进训练]3．直线m ：x ＋y －1＝0被圆M ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A ．4 B ．23 C ．12 D ．13B[∵x2＋y2－2x－4y＝0，∴(x－1)2＋(y－2)2＝5，∴圆M的圆心坐标为(1,2)，半径为5，又点(1,2)到直线x＋y－1＝0的距离d＝|1×1＋1×2－1|12＋12＝2，直线m被圆M截得的弦长等于2()52－()22＝2 3.故选B.]直线与圆位置关系的综合受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？[思路探究]先以台风中心为原点建立适当的直角坐标系，把有关的几何元素用坐标和方程表示出来，然后把此实际问题转化为代数问题来解决．[解]以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域为圆x2＋y2＝9及其内部，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝|28|42＋72＝2865，而半径r＝3，因为d＞r，所以直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响．直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤(1)审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；(2)建系：建立平面直角坐标系，求出相关各点的坐标，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程；(3)求解：利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．[跟进训练]4．如图所示，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，则水面下降1米后，水面宽度为()A．14米B．15米C．51米D．251米D[以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，－2)，设圆的半径长为r，则C(0，－r)，则圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.将点A的坐标代入上述方程，可得r＝10，所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，当水面下降1米后，水面所在弦的端点为A′，B′，可设A′(x0，－3)(x0＞0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝51，∴水面宽度|A′B′|＝251米．]1．直线与圆的位置关系反映在三个方面：一是点到直线的距离与半径大小的关系；二是直线与圆的公共点的个数；三是两方程组成的方程组解的个数．因此，若给出图形，可根据公共点的个数判断；若给出直线与圆的方程，可选择用几何法或代数法，几何法计算量小，代数法可一同求出交点．解题时可根据条件作出恰当的选择．2．与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，体现了直观想象的数学素养，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解．3．坐标法解决问题的一般步骤(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)设出已知点的坐标，求出未知点的坐标及曲线的方程；(3)利用所学公式列出方程(组)，通过计算得出代数结论；(4)反演回去，得到几何问题的结论．1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是()A ．过圆心B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心D [圆心坐标为(1，－1)，圆心到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离为d ＝|3－4＋12|32＋42＝115＜r ＝3.又点(1，－1)不在直线3x ＋4y ＋12＝0上，所以直线与圆相交且不过圆心．选D.]2．过点P (0,1)的直线l 与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则该直线的斜率为( )A ．±1B ．±2C ．±3D ．±2A [由题意设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，半径为r ＝1，又弦长|AB |＝2，所以圆心到直线的距离为d ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝1－12＝22，所以有|k |k 2＋1＝22，解得k ＝±1.]3．若直线3x －2y ＝0与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝( ) A ．487 B ．5 C ．4217D ．25C [设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|43－0|32＋－22＝4217.由直线与圆相切可得r ＝4217.故选C.]4．过点A (－1,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1的切线l ，则切线l 的方程为________．y ＝4或3x ＋4y －13＝0 [设方程为y －4＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋4＝0.∴d ＝|2k －3＋k ＋4|k 2＋1＝1，∴4k 2＋3k ＝0，解得k ＝0或k ＝－34.故切线l 的方程为y ＝4或3x ＋4y －13＝0.] 5．已知圆C 经过点A (2,0)，B (1，－3)，且圆心C 在直线y ＝x 上． (1)求圆C 的方程；(2)过点⎝⎛⎭⎪⎫1，33的直线l 截圆所得弦长为23，求直线l 的方程．[解] (1)AB 的中点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，AB 的斜率为 3.可得AB 垂直平分线方程为23x ＋6y ＝0，与x ―y ＝0的交点为(0,0)，圆心坐标(0,0)，半径为2，所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)直线的斜率存在时，设直线的斜率为k ，又直线l 过⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，∴直线l 的方程为y －33＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋33－k ，则圆心(0,0)到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪33－k 1＋k 2，又圆的半径r ＝2，截得的弦长为23，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪33－k 1＋k 22＋(3)2＝4，解得：k ＝－33，则直线l 的方程为y ＝－33x ＋233.当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝1，满足题意． ∴直线l 的方程为x ＝1或y ＝－33x ＋233.。

2.5.1 第1课时 直线与圆的位置关系教学设计一、教学目标1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题. 二、教学重难点 1. 教学重点直线与圆的位置关系及其应用. 2. 教学难点直线与圆的方程的应用. 三、教学过程 （一）新课导入思考：直线与圆有哪些位置关系？ （学生自由发言，教师总结） （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点. （二）探索新知问题1 在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？根据圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系来判断直线与圆的位置关系. （1）直线与圆相交d r ⇔<； （2）直线与圆相切d r ⇔=； （3）直线与圆相离d r ⇔>.问题2 如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 先来看例1.例1 已知直线:360l x y +-=和圆心为C 的圆22240x y y +--=，判断直线l 与圆C 的位置关系；如果相交，求直线l 被圆C 所截得的弦长. 解法1：联立直线l 与圆C 的方程，得22360240x y x y y +-=⎧⎨+--=⎩①②，消去y ，得2320x x -+=，解得1221x x ==，. 所以，直线l 与圆C 相交，有两个公共点.把1221x x ==，分别代入方程①，得1203y y ==，. 所以，直线l 与圆C 的两个交点是(20)(13)A B ，，，.因此||AB 解法2：圆C 的方程22240x y y +--=可化为22(1)5x y +-=，因此圆心C 的坐标为(01)，，，圆心(01)C ，到直线l 的距离d =所以，直线l 与圆C 相交，有两个公共点.如图，由垂径定理，得||AB ==通过上述解法我们发现，在平面直角坐标系中，要判断直线:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系，可以联立它们的方程，通过判定方程组222()()Ax By C x a y b r++=⎧⎨-+-=⎩的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系.若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长. 我们还可以根据圆的方程求得圆心坐标与半径r ，从而求得圆心到直线的距离d ，通过比较d 与r 的大小，判断直线与圆的位置关系.若相交，则可利用勾股定理求得弦长.例2 过点(21)P ，作圆22:1O x y +=的切线l ，求切线l 的方程.解法1：设切线l 的斜率为k ，则切线l 的方程为1(2)y k x -=-，即120kx y k -+-=.由圆心(00)，到切线l 的距离等于圆的半径11=，解得0k =或43.因此，所求切线l 的方程为1y =，或4350x y --=.解法2：设切线l 的斜率为k ，则切线l 的方程为1(2)y k x -=-. 因为直线l 与圆相切，所以方程组221(2)1y k x x y -=-⎧⎨+=⎩只有一组解. 消元，得22221(24)440()x k k x k k k ++-+-=.①因为方程①只有一个解，所以222Δ4(12)161)()0(1k k k k k =--+-=，解得0k =或43.所以，所求切线l 的方程为1y =，或4350x y --=.例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度20m AB =，拱高4m OP =，建造时每间隔4 m 需要用一根支柱支撑，求支柱22A P 的高度（精确到0.01 m ）.解：建立如图所示的直角坐标系，使线段AB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点，圆心在y 轴上. 由题意，点P ，B 的坐标分别为(04)(100)，，，. 设圆心坐标是(0)b ，，圆的半径是r ，那么圆的方程是222()x y b r +-=.因为P ，B 两点都在圆上，所以它们的坐标(04)(100)，，，都满足方程222()x y b r +-=. 于是，得到方程组2222220(4)10(0)b r b r ⎧-⎨+-=+=⎩. 解得2210.514.5b r =-=，.所以，圆的方程是222(10.5)14.5x y ++=.把点2P 的横坐标2x =-代入圆的方程，得222(2)(10.5)14.5y -++=，即10.5y +=（2P 的纵坐标0y >，平方根取正值）.所以10.514.3610.5 3.86(m)y ≈-=. 答：支柱22A P 的高度约为3.86 m.例4 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km 的圆形区域内. 已知小岛中心位于轮船正西40 km 处，港口位于小岛中心正北30 km 处. 如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？解：以小岛的中心为原点O ，东西方向为x 轴，建立如图所示的直角坐标系. 为了运算的简便，我们取10 km 为单位长度，则港口所在位置的坐标为(03)，，轮船所在位置的坐标为(40)，.这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为224x y +=. 轮船航线所在直线l 的方程为143x y+=，即34120x y +-=. 联立直线l 与圆O 的方程，得22341204x y x y +-=⎧⎨+=⎩. 消去y ，得22572800x x -+=.由2Δ(72)425800=--⨯⨯<，可知方程组无解.所以直线l 与圆O 相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险.用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.（三）课堂练习1. 若直线与圆相切，则的值为( )A.16B.4C.D.16或答案：D解析：圆的方程可化为，则圆心坐标为，.因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，解得或.故选D.2. 已知直线过点，当直线与圆有两个交点时，其斜率的取值范围是( )A. B. C. D.答案：C解析：易知圆心坐标是，半径是1，直线的斜率存在.设直线的方程为，即，即，解得.故选C.3. 直线1y x=+与圆22230x y y++-=交于A B，两点，则AB=______________.答案：解析：由题意知圆的方程为()2214x y++=，所以圆心坐标为()0,1-，半径为2，则圆心到直线1y x=+的距离d=||AB=.340x y a+-=2240x y x+-=a4-4-22(2)4x y-+=(2,0)2r=(2,0)340x y a+-=r2=16a= 4a=-l()2,0-l222x y x+=k (-(⎛⎝⎭11,88⎛⎫-⎪⎝⎭()1,0l l()2y k x=+ 20kx y k-+=1<218k<k<<4. 点在圆上，则点到直线的最短距离为___________. 答案：2解析：圆心的坐标为，点到直线的距离为，所以所求最小值为.5. 已知圆和点. （1）若过点有且只有一条直线与圆相切，求实数的值，并求出切线方程； （2）若的两条弦互相垂直，求的最大值. 答案：（1）由题意知点在圆上， 所以，解得.当时，点为，所以， 切线此时切线方程为，即； 当时，点为，所以. 此时切线方程为，即. 综上，所求切线方程为或.（2）设圆心到直线的距离分别为， 则.因为， 所以，所以.N ()()22:539M x y -+-=N 3420x y+-=M ()5,3M 3420x y +-=5d=532d r -=-=22:4O x y +=()1M a ，M Oaa =M AC BD ，AC BD +M O 214a +=a=a =M (1OM k k ==切线1)yx =-40x +-=a =M (1,OM k k ==切线1)y x +=-40x -=40x -=40x -=O AC BD ，()12120d d d d ≥，，22212||3d d OM +==||||AC BD ==||||AC BD +=2(||||)AC BD +(2212444d d =⨯-+-+45⎡=⨯+⎢⎣(45=⨯+因为，即，所以， 当且仅当， 所以.所以，即的最大值为. （四）小结作业 小结：1. 直线与圆的位置关系；2. 直线与圆的方程的应用. 作业： 四、板书设计2.5.1 直线与圆的位置关系1. 直线与圆的位置关系：相交、相切、相离；2. 用方程判断直线与圆的位置关系；3. 用坐标法判断直线与圆的位置关系.()2120d d -≥22121223d d d d ≤+=221294d d ≤12d d ==5225(||||)452402AC BD ⎛⎫+⨯+⨯= ⎪⎝≤⎭||||AC BD +≤||||AC BD +。

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（精讲）考点一直线与圆的位置关系【例1】（1）（2021·遵义师范学院附属实验学校）圆22(3)(3)8x y-+-=与直线3460x y++=的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定（2）．（2021·全国高二专题练习）直线():120l kx y k k R-++=∈与圆22:5C x y+=的公共点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个（3）（2021·黑龙江哈尔滨市）若过点()4,3A的直线l与曲线22231x y有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A．⎡⎣B．(C．33⎡-⎢⎣⎦D．,33⎛-⎝⎭（4）（2021·浙江高二期末）已知曲线y=与直线10kx y k-+-=有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．30,4⎛⎫⎪⎝⎭C．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭【一隅三反】1．（2021·江苏南京市·高二期末）直线10x +=与圆()2211x y -+=的位置关系是（ ） A ．直线过圆心B ．相切C ．相离D ．相交2．（2021·四川成都市）若圆22()1(0)x a y a -+=>与直线3y x =只有一个公共点，则 a 的值为（ ）A ．1BC ．2D ．3．（2021·浙江高二期末）直线:1l y ax a =-+与圆224x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与a 的大小有关4．（2021·全国高二专题练习）若直线0x y b +-=0y +=有公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．[-B ．[C ．[1,1]-D ．[5．（2021·河北保定市·高二期末）（多选）已知圆22:(1)(1)169C x y -+-=，直线:450,l kx y k k R --+=∈．则下列选项正确的是（ ）A ．直线l 恒过定点B ．直线l 与圆C 的位置可能相交、相切和相离 C ．直线l 被圆C 截得的最短弦长为12D ．直线l 被圆C 截得的最短弦长对应的k 值为34- 考点二 直线与圆的弦长【例2】（1）（2021·四川成都市）直线1y x =-被圆22220x y y ++-=截得的弦长为（ ）A ．1B ．2C D ．（2）．（2021·浙江高二期末）已知直线:0l kx y k -+-=被圆224x y +=截得的弦长为点(),m n 是直线l 上的任意一点，则22m n +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【一隅三反】1．（2021·安徽省泗县第一中学）直线40x y -+=被圆22(2)(2)2x y ++-=截得的弦长为（ ）AB ．C ．D ．2．（2021·浙江高二期末）已知过点()1,3P 的直线l 被圆()2224x y -+=截得的弦长为l 的方程是（ ） A ．43130x y +-= B ．34150x y +-=C ．34150x y +-=或1x =D ．43130x y +-=或1x =3．（2021·贵溪市实验中学高二期末）直线y kx =被圆222x y +=截得的弦长为（ ）A ．B ．2C D ．与k 的取值有关4．（2021·天水市第一中学高二期中）已知直线0x ay a +-=和圆220x y x +-=的交点为A ，B ，且1AB =，则实数a 的值为（ ） A ．2B ．1C ．12D ．1-5．（2021·全国高二课时练习）若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝06．（2021·辽宁辽阳市·高二期末）已知圆22:4850C x y x y +-+-=，直线:20l mx y m --=. （1）证明：直线l 与圆C 相交.（2）设l 与圆C 交于,M N 两点，若MN =，求直线l 的倾斜角及其方程.考点三 圆上的点到直线距离【例3】（1）（2021·福建三明市·高二期末）圆()2222x y -+=上动点到直线20x y ++=的距离的最小值为（ ）A B ．C ．D ．（2）（2021·四川巴中市·（文））圆22(1)(1)4x y ++-=上到直线:0l x y ++=的距离为1的点共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【一隅三反】1．（2021·六安市裕安区新安中学）已知半径为2的圆经过点(1,0)，其圆心到直线34120x y -+=的距离的最小值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．（2021·全国高二课时练习）已知点M 是直线3420x y +-=上的动点，点N 为圆22(1)(1)1x y +++=上的动点，则||MN 的最小值为 A ．45B ．1C ．95D ．1353．（2021·全国高二专题练习）在圆()2224x y -+=上有且仅有两个点到直线340x y a ++=的距离为1，则a 的取值范围为__________．考点四 圆与圆的位置关系【例4】（1）（2021·浙江高二期末）圆221:(1)1C x y -+=与圆222:(4)(4)17C x y -+-=的位置关系为（ ） A ．内切B ．相切C ．相交D ．外离（2）（2021·北京高二期末）已知圆1O 的方程为22()()4x a y b -+-=，圆2O 的方程为22(1)1x y b +-+=，其中,a b ∈R ．那么这两个圆的位置关系不可能为（ ） A ．外离 B ．外切 C ．内含 D ．内切【一隅三反】1．（2021·全国高二专题练习）圆2220x y x +-=与圆22(1)(2)9x y -++=的位置关系为（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离2．（2021·江西上高二中高二其他模拟（文））已知圆()221:210C x y x my m R +-++=∈关于直线210x y ++=对称，圆2C 的标准方程是()()222316x y ++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含3．（2021·全国高二（文））已知圆1C 的标准方程是()()224425x y -+-=，圆2C ：22430x y x my +-++=关于直线10x ++=对称，则圆1C 与圆2C 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含4．（2021·四川凉山彝族自治州·高二期末（文））已知圆221:1C x y +=和圆()()2222:20C x y r r +-=>，若圆1C 和2C 有公共点，则r 的取值范围是（ ） A ．(]0,1B ．(]0,3C ．[]1,3D ．[)1,+∞5．（2021·山东聊城市·高二期末）已知圆()()()221:80C x a y a a -+-=>与圆222:220C x y x y +--=没有公共点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,2 B ．()4,+∞C ．()()0,24,+∞ D ．()()()0,10,24,⋃⋃+∞ 考点五 圆与圆相交弦【例5】（1）（2021·湖南湘潭市）已知圆221:40C x y +-=与圆222:44120C x y x y +-+-=相交于,A B两点，则两圆的公共弦AB =A ．B ．CD ．2（2）（2021·天津市南仓中学高二期末）已知圆221:4C x y +=和圆()222:2600C x y ay a ++-=>的公共弦长为2，则实数a 的值为（ ）A ．3BC ．2D【一隅三反】1．（2021·辽宁高三其他模拟）圆O ：229x y +=与圆1O ：()()222316x y -+-=交于A 、B 两点，则AB =（ ）A ．6B ．5C ．13D ．132．（2021·山东济南市·高二期末）（多选）已知圆221:1C x y +=和圆222:40C x y x +-=的公共点为A ，B ，则（ ）A ．12||2C C =B ．直线AB 的方程是14x =C ．12AC AC ⊥D ．||2AB =3．（2021·全国高二课时练习）（多选）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ）A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦AB 的长为2D ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 1+考点六 切线及切线长【例6-1】（2021·浙江高二单元测试）由直线1y x =+上的点向圆()2231x y -+=作切线，则切线长的最小值为（ ）A ．1BC ．D ．3【例6-2】（1）（2021·全国）经过点M 的圆2210x y +=的切线方程是（ ）A ．100x -=B 2100y -+=C ．100x -+=D ．2100x +-=（2）（2021·重庆字水中学高二期末）（多选）过点(2,0)作圆222690x y x y +--+=的切线l ，则直线l 的方程为（ ）A ．3460x y +-=B ．4380x y +-=C ．20x -=D ．20x +=（3）（2021·全国）过点(2,2)-作圆224x y +=的切线，若切点为A 、B ，则直线AB 的方程是（ ） A ．20x y ++=B ．20x y -+=C ．20x y +-=D ．20x y --=【例6-3】（2021·四川眉山市·高二期末（文））圆221:1C x y +=与圆222:870C x y y +-+=公切线的条数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【例6-4】（2021·全国高二课时练习）已知P （x ，y ）是直线kx +y +3=0（k >0）上一动点，PA ，PB 是圆C ：2x +2y -2y =0的两条切线，.A 、B 是切点，若四边形PACB k 的值为（ ）A BC ．D ．【一隅三反】1．（2021·全国高二课时练习）P 是直线x +y -2=0上的一动点，过点P 向圆22:(2)(8)4C x y ++-=引切线，则切线长的最小值为（ ）A ．B ．C ．2D ．22．（2021·西安市铁一中学高二期末（理））由直线2y x =+上的点向圆22(4)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为A B C ．D 3．（2021·安徽马鞍山市·马鞍山二中高二期末（文））若从坐标原点O 向圆22:12270C x y x +-+=作两条切线，切点分别为A ，B ，则线段AB 的长为（ ）A ．32B ．3C ．2D ．4．（2021·重庆市南坪中学校高二月考）过坐标原点O 作圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4的两条切线，切点为A ，B ．直线AB 被圆截得弦AB 的长度为（ ）A B C D5．（2021·浙江高二期末）过点()2,1作圆224x y +=的切线，切线的方程为（ ）A ．34100x y +-=B ．3420x y --=C ．2x =或3420x y --=D ．2x =或34100x y +-=6．（2021·全国高二课时练习）经过点()2,1M -作圆225x y +=的切线，则切线的方程为A ．250x y --=B 50y ++=C 5y +=D ．250x y ++=7．（2021·安徽池州市·高二期末（理））若圆221:2440C x y x y +---=，圆222:61020C x y x y +---=，则1C ，2C 的公切线条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．（2021·六安市裕安区新安中学高二开学考试（理））若圆22(1)(3)4x y -+-=与圆22(2)(1)5x y a +++=+有且仅有三条公切线，则a =（ ）A ．-4B ．-1C ．4D ．119．（2021·四川眉山市·仁寿一中高二开学考试（文））已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ）A ．2BC ．D ．4 考点七 实际生活运用【例7】（2021·上海高二专题练习）如图，某海面上有O 、A 、B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45︒方向距O 岛B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处.以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C 经过O 、A 、B 三点.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45︒行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【一隅三反】1．（2021·重庆巴蜀中学高一期中）如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（）A．B．C．D．2．（2021·上海高二专题练习）有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离，A地的运费是B地运费的2倍﹐已知A､B两地相距6千米，顾客购物的唯一标准是总费用较低.建立适当的平面直角坐标系（1）求A、B两地的售货区域的分界线的方程﹔（2）画出分界线的方程表示的曲线的示意图，并指出在方程的曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地.考点八综合运用【例8】（2021·全国高二课时练习）已知圆C的圆心坐标为C（3，0），且该圆经过点A（0，4）．（1）求圆C的标准方程；（2）若点B也在圆C上，且弦AB长为8，求直线AB的方程；（3）直线l交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求出该定点坐标．（4）直线l交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线l的斜率是定值，并求出该定值．【一隅三反】1．（2021·全国高二课时练习）已知圆()()22:1225C x y -+-=和直线()():211740l m x m y m +++--=.（1）证明：不论 m 为何实数，直线l 都与圆 C 相交于两点；（2）求直线被圆 C 截得的最短弦长并求此时直线l 的方程；（3）已知点(,)P x y 在圆C 上，求22xy +的最大值.2（2021·浙江高二单元测试）已知圆22(3)(4)16x y -+-=，直线1:0l kx y k --=，且直线1l 与圆交于不同的两点,P Q ，定点A 的坐标为(1,0).（1）求实数k 的取值范围；（2）若,P Q 两点的中点为M ，直线1l 与直线2:240l x y ++=的交点为N ，求证：||||AM AN ⋅为定值.3．（2021·内蒙古包头市·高二期末（文））已知圆O ：228x y +=，()1,2M -是圆O 内一点，()4,0P 是圆O 外一点．（1）AB 是圆O 中过点M 最长的弦，CD 是圆O 中过点M 最短的弦，求四边形ACBD 的面积；（2）过点P 作直线l 交圆于E 、F 两点，求OEF 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．。

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（精练）【题组一 直线与圆的位置关系】1．（2021·江西南昌市）直线4320x y --=与圆+-+-=2224110x y x y 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都不对2．（2021·全国）直线1x y +=和圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定3．（2021·白银市第十中学）直线l ：10mx y m -+-=与圆C ：22(1)5x y +-=的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定4．（2021·北京高二期末）已知直线10l kx y k -+-=：和圆C ：2240x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系为（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定5．（2021·北京高二期末）直线34x y b +=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则b 的值是（ ） A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或126．（2021·全国高二课时练习）若直线0x y +=与圆()()2212x m y -+-=相切，则m =（ ） A ．1B ．1-C ．1-或3D ．3-或17．（2021·浙江高二期末）已知直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是（ ）A ．[1,1-+B ．(1-+C ．(1-D ．(11]--8．（2021·浙江高二期末）直线()20ax y a a R --=∈与圆229x y +=的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定9．（2021·全国）(多选)直线l 与圆C 有公共点，则直线l 与圆C 的位置关系可能是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定10．（2021·全国）(多选)已知圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0与直线x －y ＝1，则（ ）A ．圆心坐标为(1，－2)B ．圆心到直线的距离为2C ．直线与圆相交 D11．（2021·内蒙古包头市·高二月考（理））已知(),P a b 是圆221x y +=内一点，则直线1ax by +=与圆221x y +=公共点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．以上都有可能【题组二 直线与圆的弦长】1．（2021·陕西安康市·高二期末（理））设直线1y x =+与圆22(1)4x y ++=交于A ，B 两点，则||AB = 。

d=rrd专题2.5 直线与圆，圆与圆之间的位置关系1.直线与圆的位置关系：1. 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-，圆心到直线的距离22BA C Bb Aa d +++=（1）无交点直线与圆相离⇔⇔>r d ； （2）只有一个交点直线与圆相切⇔⇔=r d ；（3）有两个交点直线与圆相交⇔⇔<r d ；弦长|AB|=222d r - 2.还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断：（1）当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；2. 两圆的位置关系1.设两圆2121211)()(:r b y a x C =-+-与圆2222222)()(:r b y a x C =-+-，圆心距221221)()(b b a a d -+-= ① 条公切线外离421⇔⇔+>r r d ； ② 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ； ③ 条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ； ④ 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ； ⑤ 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d ；外离 外切 相交 内切 内含3.切线问题1. 过一点作圆的切线的方程： (1) 过圆外一点的切线： ①k 不存在，验证是否成立①k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即：⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101k x a k y b R x x k y y(2) 过圆上一点的切线方程：圆(x -a )2+(y -b )2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，设切线方程上某点坐标为),(y x ，10000-=--⋅--ax by x x y y则过此点的切线方程为：0))(())((0000=--+--y y b y x x a x22020)()(r a x b y =-+- ， 则过此点的切线方程也可为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--特别地，过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+. 2.切点弦过①C ：222)()(r b y a x =-+-外一点),(00y x P 作①C 的两条切线，切点分别为B A 、，则切点弦AB 所在直线方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--3.切线长：若圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2，则过圆外一点P (x 0，y 0)的切线长为 d =22020b)(+)(r y a x --- 4.圆心的三个重要几何性质：① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上；① 圆心在某一条弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。