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§64 导数在研究函数上的应用

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导数在研究函数中的应用

导数在研究函数中的应用

桂洲中学高二数学（理）期末复习2 姓名 学号导数在研究函数中的应用一、函数的单调性与导数的关系1．用导数求函数的单调区间: 解不等式()0f x '>可得函数()f x 的单调递 区间;解不等式()0f x '<可得函数()f x 的单调递 区间.注：若不等式的解集为{}b x a x x ><或，则相应的单调区间应写成2．知单调区间求参数的范围: 函数()f x 在区间I 上为增函数⇒ 在区间I 上恒成立; 函数()f x 在区间I 上为减函数⇒ 在区间I 上恒成立(且()0f x '≡/);通过研究恒成立问题求解参数的取值范围. 参数分离法是解决这类问题的常见方法。

二、函数的极值与导数求函数极值的步骤：⑴确定函数的定义域；⑵求函数()f x 的导数)(x f '；⑶求方程0)(='x f 的根；⑷用方程0)(='x f 的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格；⑸检验()f x 在该方程的根的左、右两旁的单调性，即()f x '的 ，从而确定()f x 相应的极值。

注：①极值点与极值的关系； ②可导函数()f x 在点0x 处的导数0)(0='x f 是函数()f x 在该点0x 处取极值的 条件。

因此由0)(='x f 求得0x x =后必须判定0x 处两侧导数的正负符号，才能确定函数极值的存在情形。

三、函数的最值与导数1．在区间[]b a ,上连续的函数()f x 在[]b a ,上必有最大值和最小值，求最值的步骤：⑴求函数()f x 在区间[]b a ,内的极值；⑵求函数在区间端点的值)(),(b f a f ；⑶将函数的 与)(),(b f a f 比较大小，其中最大的是最大值，最小的是最小值。

2．函数在某区间（可以是闭区间也可以是开区间）内若只有一个极值点，则极小值即最小值，极大值即最大值。

导数在研究函数中的

导数在研究函数中的
递增。
求函数的极值
总结词
导数可以用于求函数的极值，通过求 导并令导数等于0，可以找到函数的极 值点。
详细描述
导数等于0的点可能是函数的极值点 ，但需要进一步判断该点两侧的导数 符号来确定是极大值还是极小值。
示例
对于函数$f(x) = x^3 - x$，其导数 $f'(x) = 3x^2 - 1$，令$f'(x) = 0$得 $x = pmfrac{sqrt{3}}{3}$，进一步分 析导数符号可知，当$x < frac{sqrt{3}}{3}$或$x > frac{sqrt{3}}{3}$时，$f'(x) > 0$；当 $- frac{sqrt{3}}{3} < x < frac{sqrt{3}}{3}$时，$f'(x) < 0$。因 此，$x = -frac{sqrt{3}}{3}$为极大值 点，$x = frac{sqrt{3}}{3}$为极小值点。
求函数的拐点
总结词
导数可以用于求函数的拐点，即函数图像的凹凸性改变的 点。
详细描述
通过求二阶导数并分析其正负，可以找到函数的拐点。二 阶导数等于0的点可能是拐点的位置。
示例
对于函数$f(x) = x^4$，其二阶导数$f''(x) = 12x^2$，令$f''(x) = 0$得 $x = 0$。进一步分析二阶导数的符号可知，当$x < 0$时，$f''(x) < 0$；
边际需求与边际供给
导数还可以用于分析市场的供需关系，通过求导数得到边际需求或边际供给的变化情况，帮助我们理 解市场价格的变动趋势。
04
导数在高等数学中的进一步 应用

导数在研究函数中的应用导数与函数单调性

导数在研究函数中的应用导数与函数单调性

《导数在研究函数中的应用》导数与函数单调性
一、导数与函数的单调性的关系
1.与为增函数的关系.
能推出为增函数，但反之不一定.如函数在
上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件.
2.时，与为增函数的关系.
若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有 .∴当时，是为增函数的充分必要条件.
3.与为增函数的关系.
为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或 .当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性.∴是为增函数的必要不充分条件.
函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性.因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题.但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理.
4.单调区间的求解过程，已知
（1）分析的定义域；
（2）求导数
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间
5.函数单调区间的合并
函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在处连续，因此在单调递增.同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为一个区间.
6.已知
（1）若恒成立∴为上
∴对任意不等式恒成立
（2）若恒成立∴在上
∴对任意不等式恒成立。

导数在研究函数中的应用PPT课件

导数在研究函数中的应用PPT课件
王新敞 wxckt@ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@
新疆 源头学子小屋
/wxc/ 特级教师
王新敞 wxckt@ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@
B.(log2x)′=
1 x ln 2
C.(3x)′=3xlog3e
D.(x2cosx)′=－2xsinx
2.函数y=ln(3－2x－x2)的导数为
c
\.
A.
2
x3
B.
3. f (x) 2x2- x3
1
新疆 源头学子小屋
/wxc/
特级教师 王新敞 wxckt@
第18页/共43页
在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一 条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.
f(x1)
f(x3)
y
a
x2
x1
0
x3
f(a)
f(x2)
f(b)
x4 bx
由图可见，最大值点与最小值点 出现在区间端点或者极值点处。
第19页/共43页
例1、求函数f ( x) 1 x3 4x 4 在[0，3]上的最大值与最小
图象见右图。
o1
x
第4页/共43页
(3) f(x)=sinx-x ; x∈(0,p)
解： f (x)=cosx-1<0
y
从而函数f(x)=sinx-x
o
x
在x∈(0,p)单调递减， 见右图。
f (x) sin x x
第5页/共43页
(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ;
解： f (x)=6x2+6x-24=6(x2+x-4)>0

导数在研究函数中的应用

导数在研究函数中的应用

导数在研究函数中的应用导数作为微积分的重要概念，在研究函数中应用广泛。

导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨独立提出，它描述了函数变化的速率。

导数的定义是函数在其中一点的变化率，表示函数在这一点附近的斜率。

在函数研究中，导数的应用主要体现在以下几个方面：1.切线和法线：导数可以用来求解函数曲线上其中一点的切线和法线。

切线是函数曲线在其中一点上切过该点的直线，而法线是与切线相垂直的直线。

利用导数的定义，我们可以确定函数曲线上其中一点的斜率，进而得到其切线和法线的方程。

2.极值与拐点：导数可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。

在函数的极值点上，导数等于零。

根据这个性质，我们可以利用导数来确定函数的极大值和极小值点。

此外，导数还可以帮助我们确定函数上的拐点，即函数曲线由凸向上转为凹向上或由凹向上转为凸向上的点。

3.函数的单调性：导数还可以帮助我们研究函数的单调性。

如果函数在一些区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。

通过分析函数的导数，我们可以确定函数在一些区间上是递增还是递减。

4.函数的凹凸性：导数还可以用来确定函数的凹凸性。

如果函数在一些区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是凸的；如果函数在一些区间上的导数恒小于零，那么函数在该区间上是凹的。

通过分析函数的导数的变化情况，我们可以确定函数的凹凸区间。

5.近似计算：导数还可以用于近似计算。

在很多实际问题中，函数的导数可以用来近似表示函数在其中一点的变化率。

通过导数近似表示函数的变化率，我们可以很方便地进行问题求解和计算。

总之，导数在研究函数中的应用非常广泛，涵盖了函数的局部性质、全局性质以及近似计算等方面。

通过对导数的研究，我们可以全面了解函数的变化规律和特性，为解决实际问题提供了有力的工具。

导数在研究函数中的应用

导数在研究函数中的应用

导数在研究函数中的应用导数是微积分中的重要概念，它在研究函数中有着广泛的应用。

导数可以描述函数在某一点上的变化率，帮助我们理解函数的性质以及解决实际问题。

本文将从几个方面介绍导数在函数研究中的应用。

一、函数的极值问题导数在研究函数的极值问题中起着重要的作用。

通过求函数的导数，我们可以得到函数的驻点和拐点，从而确定函数的极值。

具体来说，当函数的导数为零或不存在时，该点可能是函数的极值点。

通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后用二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。

这个过程在求解最优化问题、优化生产过程中都有着广泛的应用。

二、函数的图像与性质导数可以帮助我们研究函数的图像和性质。

通过求导数，我们可以得到函数的增减性和凹凸性。

具体来说，当导数大于零时，函数是增函数；当导数小于零时，函数是减函数。

而二阶导数的正负可以判断函数的凹凸性，当二阶导数大于零时，函数是凹函数；当二阶导数小于零时，函数是凸函数。

通过分析导数和二阶导数的变化，我们可以画出函数的图像，并对函数的性质进行准确的描述。

三、函数的近似计算导数在函数的近似计算中有着重要的应用。

当函数的表达式很复杂或很难求解时，我们可以通过导数来近似计算函数的值。

具体来说，我们可以利用导数的定义公式f'(x) = lim(h->0) (f(x+h)-f(x))/h 来计算函数在某一点的导数，然后通过导数的值和函数在该点的值来估计函数在附近点的值。

这种方法在数值计算、机器学习等领域中被广泛应用。

四、函数的最优化问题导数在函数的最优化问题中也有着重要的应用。

通过求函数的导数，我们可以找到函数的驻点，从而求解函数的最值。

具体来说，当函数在某一点的导数为零或不存在时，该点可能是函数的最值点。

通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后通过二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。

这个方法在经济学、工程学等领域中常常用来解决最优化问题。

导数在函数的研究中有着广泛的应用。

导数在研究函数中的应用


3、函数的 f (x) x ln x的单调递减区间是
(0, 1] e
4、函数f（x） x3 3x 1在区间[3，0]上的最 大值与最小值分别为 3，-17
[温故]
1、导数与单调性：
设函数y=f(x)在某个区间内可导, 如果 f (x) >0,则f(x) 在这个区间内 单调递增; 如果 f (x) <0,则y=f(x) 在这个区间内的单调递减
“导数”为我们研究函数的性质（单调性、极值、最值） 提供了新的方法。本部分考题主要类型是以导数为工具 判断函数的单调性、求函数的单调区间、极值、最值等。 难点为含参数问题的分类讨论。
关注三次多项式函数
作业：完成《教学与测试》 上本节内容
(2)求f (x)在区间[0，2]上的最大值
(3)若关于x的方程f (x) 1有三个不同的实根， 求实数 a的取值范围
(4)当x [0,2]时，f (x) 1恒成立，求实数 a的 取值范围
[练习]
1、已知函数
f
(x)

2ax

1 x2
, 若f
( x)在x

(0,1]上
是增函数 ,求a的取值范围
①求y=f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
[真题] 08浙文21
已知a是实数，函数 f（x） x（2 x a）
(1)若f (1) 3,求a的值及曲线 y f (x)在点(1, f (1)) 处的切线方程
(1)如果在x0附近的左侧f (x) 0，右侧f (x) 0， 那么f (x0 )是极大值
(2)如果在x0附近的左侧f (x) 0，右侧f (x) 0， 那么f (x0 )是极小值

导数在研究函数中的应用教学设计

课题：利用导数判断函数的单调性(第一课时)一.指导思想与理论依据导数概念是高等数学的基本概念，又是中学阶段数学学习的一个主干知识，它是进一步学习数学和其他自然科学的基础，更是研究函数相关性质的重要工具之一．导数准确的揭示了自变量变化对相应函数值变化的影响，是对函数关系作为一种特殊对应关系认识的提升，“它的发展和广泛应用，开创了近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.导数概念是微积分的核心概念之一，具有丰富的实际背景和广泛的应用。

在本模块中，学生将通过大量实例，经历．．由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解．．导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用。

．．导数概念，了解《数学课程标准》指出“学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”，教材对这部分内容的形式化程度得到很好的体现，突出了对数学概念本质理解的“返璞归真”，体现了“把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态”的思想，从而有利于学生摆脱符号的束缚，以便充分发挥他们的思维潜能。

单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，在必修1的学习中定义了单调性，并且在学习幂指对及三角函数时,能够借助于函数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性。

那为什么还要用导数研究函数的单调性？能不能用导数研究函数的单调性？怎样用导数研究函数的单调性？循着这样的思路,结合最近发展区理论,整个教学过程，从提出问题、寻找工具分析问题、发现工具选择问题、验证工具演绎推理、论述工具处理存疑、使用工具，五个方面入手，层层递进，螺旋上升。

二.教学背景分析1.学习内容分析(1)单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，在必修1的学习中定义了单调性，并且在学习幂指对及三角函数时，能够借助于函数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性。

导数在研究函数中的应用

导数在研究函数中的应用
摘 要
导数是研究函数性质的一个重要工具，我们可以利用导数来求函数的单调性，极值点，最值点，另外可以利用导数找函数的零点和构造简单的函数。函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的。通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解。下面，我们运用导数研究函数的性质，通过对函数的单调性与导数的关系的研究、如何利用导数来求函数的极值与函数的最大值和最小值的一般方法、导数与函数的零点以及利用导数研究任意性、存在性以及参数的取值问题，我们可以从中体会导数在研究函数中的应用。通过对导数在研究函数中的应用的学习，为我们学习和研究函数奠定了良好的基础。
y- =f’( )(x- )
例1：曲线y=x(3 )在点（1，1）处的切线方程为：y=4x-3
解析：第一步，首先求函数y=x(3 )的导函数y’
y’=3 ,接下来把 =1代入y’,有f’ )= y’( =1)=4,从而可知在 =1处切线方程的斜率为4，最后将斜率f’ )和点（1，1）代入切线方程y- =f’( )(x- )
f’(xo)= = 。
从导数的这一定义出发，我们知道导数f’(xo)表示
函数f(x)在x=xo处的瞬时变化率，反映了函数f(x)在x=xo附近的变化情况，接着可以明确导数的几何意义：
曲线y= f(x)在点(xo,f(xo))处切线的斜率。
二、导数的性质
通过对导数相关定义和几何意义出发研究导数的性质。
二、函数的单调性与导数
判断函数f(x)的单调性时，常常借助f’(x)的符号来判断
一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:
在某个区间(a，b)内，如果f’(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内単调递増;如果f’(x)<0，那么函数y= f(X)在这个区间内单调递減.

导数在函数研究中的应用

导数在函数研究中的应用主要体现在以下几个方面：
1. 判断函数的单调性：通过求导数，可以判断函数在某个区间上的单调性。

如果导数大于零，则函数在该区间上单调递增；如果导数小于零，则函数在该区间上单调递减。

2. 寻找函数的极值：当导数等于零的点称为极值点，函数在该点取得极值。

通过求导数并令其等于零，可以找到函数的极值点。

3. 判断函数的凹凸性：通过求二阶导数，可以判断函数的凹凸性。

如果二阶导数大于零，则函数在该区间上凹；如果二阶导数小于零，则函数在该区间上凸。

4. 解决最优化问题：通过求导数，可以找到函数的最小值或最大值。

例如，在经济学中，可以使用导数来求解边际成本、边际收益等最优化问题。

5. 应用于物理学：在物理学中，导数是研究运动和力学的重要工具。

例如，速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。

因此，知道这些概念可以帮助我们更好地理解物体的运动和力学。

6. 应用于工程学：在工程学中，构造函数和导数是设计和优化产品和系统的重要工具。

例如，可以使用导数来优化工程材料的强度和刚度。

7. 应用于统计学：在统计学中，一些重要概念如概率密度函数和累积分布函数也可以使用导数来求解。

总之，导数是数学中非常重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用。

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(1) a 0
a 2 (0, ) 0 x (, 0) 5 不存在 y 2a 5
0
5 3 2 a3 5 5 2 3
2a ( , ) 5

增
y
增
0
减
即 x 0是极大值点， f (0) 0 是极大值 ;
5 2 a 3 2 x 2a 是极小值点 , f a 3 5 5 5 5 2 3
f ( x ) 6 x(35 x 3 60 x 2 30 x 4),
f (0) 0 , f (1) 1 ,
因此 x = 1 不是极值点( n = 3 是奇数 ). 又因
f ( 4) ( x ) 24(35 x 3 45 x 2 15 x 1) , f
同理可证 f ( x ) 在 [ x0 , x0 ) 上递增,故
f ( x ) f ( x0 ) , x ( x0 , x0 ) .
于是
f ( x0 ) f ( x ) , x U ( x0 ; ) ,
即 x0 是 f ( x ) 的一个极小值点 .
定理 6.11 (极值的第二充分条件) 设 f (x) 在点 x0
(i) 若当 x ( x0 , x0 ) 时,f ( x0 ) 0,当 x ( x0 , x0 ) 时，f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在点 x0 取得极小值 . (ii) 若当 x ( x0 , x0 )时, f ( x0 ) 0, 当x ( x0 , x0 ) 时，f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在点 x0 取得极大值 .
是极小值.
( 2) a 0
2a x ( , ) 5 2a 5 0
3 2 5 a3 5 5
2 3
y

2a 0 ( , 0) 5 不存在
减 极小值
(0, )

增
y
增
a 2a 2 3 5 2 3 是极大值点, f a 3 即 x 5 5 5 5
f ( n ) ( x0 ) 0 , 则有 :
f
( n1)
( x0 ) 0 ,
( n) 极小值点, 当 f ( x0 ) 0 , (i) n 为偶数时, x0 是 ( n) 极大值点, 当 f ( x0 ) 0;
(ii) n 为奇数时, x0不是极值点 .
对于 f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0 的情形, 可借助于更高 阶的导数来判别. 定理 6.12 ( 极值的第三充分条件 ) 设 f 在点 x0 的 某邻域内存在直到 ( n 1) 阶的导数, 且 f ( n ) ( x0 )
存在 . 若 f ( x0 ) f ( x0 )
的某邻域 U ( x0 ; ) 内可导，f ( x0 ) 存在.若
f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0 ,
那么 x x0 是 f ( x ) 的一个极值点 , 并且
(i) f ( x0 ) 0, 则 f ( x ) 在 x x0 处取极小值. (ii) f ( x0 ) 0, 则 f ( x ) 在 x x0 处取极大值 .
5 3 2 3
2 3
当 x 0 时,
2 1 5 2 a 3 f ( x ) x x 3 3 3
1 (5 x 2a ). 3 3 x
当 a 0 时, 稳定点为 x 2a , 不可导点为 x 0 ; 5 当 a 0 时， 稳定点为 x = 0 ，没有不可导点.
为了更好地加以判别，我们列表如下：
§6.4 导数在研究函数上的应用
极大(小)值是局部的最大(小)值,它 有着很明显的几何特征. 在本节中,我
们ห้องสมุดไป่ตู้逐一研究函数的这些几何特征.
一、极值判别 二、最大值与最小值
一、极值判别
费马定理告诉我们.可微函数的极值点一定是稳 定点. 也就是说, 在曲线上相应的点处的切线一 定是水平的. 我们在这里再次强调：费马定理是在函数可微的 条件下建立的. 换句话说，若没有可微这个前提 条件，费马定理的结论 f ( x ) 0 就无从说起.
(4)
(0) 0 ,
所以 f (0) 0 是极大值( n = 4是偶数 ).
注 第三充分条件并不是万能的. 例如 x = 0 是
e 1 x , f ( x) 0,
2
x0 x0
,
(k ) f (0) 0, k 1, 2, 的极小值点, 但是因为
所以无法用定理 6.12 来判别.
所以 x1 是 f ( x ) 的极小值
f ( x ) 0 ;
y
4 2
y 3 arctan x ln x
点,x2 是 f ( x ) 的极大值点 .
(参见右图)
O x1
x2 4
x
例2 求函数 f ( x ) ( x a ) x 的极值点与极值 . 解 f ( x ) x ax 在 ( , ) 上连续 .
下面具体介绍求函数最大(小)值的方法.
(1) 求出 f ( x ) 的稳定点 . (2) 求出 f ( x ) 不存在的点 .
(3) 设(1)和(2)的点为 x1 , x2 ,, xn . 由前面的分析,
可知 f(x) 在 [a, b]上有:
最大值 M max f (a ), f ( x1 ), 最小值 m min f (a ), f ( x1 ), , f ( xn ), f (b) , , f ( xn ), f (b) .
证 同样我们仅证(i). 因为 f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) lim lim 0, x x0 x x0 x x x x0 0
所以由保号性， 存在 0, 当 x U ( x0 ; ) 时,
f ( x ) 0. x x0
从而当 x ( x0 , x0 ) 时,
f ( x0 ) 0 ; 当 x ( x0 , x0 ) 时,
f ( x ) 0.
由极值判别的第一充分条件得知: x0 是极小值点 .
注 建议读者与教材上的证明方法相比较, 这里的 证明方法更具一般性. 例1 求函数 f ( x ) 3 arctan x ln x 的极值点. 解 由
又当 f ( n ) ( x0 ) 0 时 , 有
n ( x )( x x0 )n 0 , x U ( x0 ; ),
故 f ( x ) f ( x0 ) , x U ( x0 ; ), 即 x0 是极大值点 .
(ii) 当 n 为奇数时, 有
0, x ( x0 , x0 ) , ( x x0 ) 0, x ( x0 , x0 ) .
3 1 ( x 2 3 x 1) f ( x ) 0, 2 2 x 1 x x(1 x )
求得稳定点
3 5 3 5 x1 , x2 . 2 2
3 5 当 0 x 时，f ( x ) 0 ; 2
3 5 3 5 当 x 时, 2 2 3 5 当x 时 , f ( x ) 0 . 2
证 根据导函数的符号判别函数单调性的方法, 可 以知道该定理的几何意义十分明显. 在这里仅给 出 (i) 的证明.
因为 f ( x ) 0 , x ( x0 , x0 ) , f ( x ) 在 ( x0 , x0 ] 上连续，所以 f ( x ) 在 ( x0 , x0 ] 上递减，故 f ( x ) f ( x0 ) , x ( x0 , x0 ) .
证 由泰勒公式, 有
f ( n) ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 )( n) o(( x x0 )n ) n!
f ( x0 ) n ( x ) ( x x 0 ) n .
f ( n ) ( x0 ) o (1), 它在某邻域 U ( x0 ; ) 其中 n ( x ) n!
当然，费马定理的逆命题亦不真. 例如对于任意 的可微函数 ( x ) , (0) 0,
y
函数 y x 3 ( x ) 在点 x 0 的
导数为零, 但 x 0 不是它的
极值点. 下面给出极值的充分条件. 定理6.10 (极值的第一充分条件) 设函数 f (x) 在
O
x
x0 连续，在某邻域 U ( x0 ; ) 上可导 .
f ( x ) 2 x 432 . 2 x 令 f ( x ) 0, 得x 6 . 又因为
864 f (6) 2 3 6 0, 6
由定理6.11, x = 6是极小值点, f(6)=108是极小值. 试问这里为什么不考虑不可导点 x = 0?
n
从而 n ( x )( x x0 )n 在 x0 左右两侧异号 , 这就说明
了 x0 不是极值点. 例 4 求函数 f ( x ) x 4 ( x 1)3 的极值.
3 2 由 f ( x ) x ( x 1) (7 x 4) 0 , 求得 x1 0 , 解
x2 1 , x3 4 是稳定点 . 又因 7
2
是极大值; x 0是极小值点 , f (0) 0 是极小值 . y y
1
x1
1
1
-1
O
-1 -2
x
-1 O
1 x
-1
(1)
5 3
(2) 请读者自行讨论.
(3) a 0, f ( x ) x .
例 3 求 f ( x ) x 2 432 x 的极值点与极值 . 解 f ( x ) 的定义域为 x 0,