下载文档原格式
2024年人教版高中数学精彩课件第四册数学归纳法一、教学内容本节课选自2024年人教版高中数学第四册，第十二章“数学归纳法”。
具体内容包括数学归纳法的概念、原理和运用，以及数学归纳法在数列、不等式等方面的应用。
二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤。
2. 能够运用数学归纳法解决数列、不等式等相关问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和归纳推理能力。
三、教学难点与重点难点：数学归纳法的证明步骤及运用。
重点：数学归纳法的概念和原理。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过一个简单的数列问题，引导学生发现规律，引出数学归纳法的概念。
2. 理论讲解：（1）讲解数学归纳法的概念。
（2）阐述数学归纳法的原理。
（3）介绍数学归纳法的证明步骤。
3. 例题讲解：讲解一道数学归纳法的例题，分析解题思路，展示证明过程。
4. 随堂练习：让学生独立完成一道数学归纳法的练习题，教师巡回指导。
5. 课堂小结：回顾本节课所学内容，强调数学归纳法的证明步骤和运用。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：（1）数学归纳法的概念（2）数学归纳法的原理（3）数学归纳法的证明步骤（4）例题及解答七、作业设计1. 作业题目：（1）运用数学归纳法证明：1+3+5++(2n1)=n^2。
（2）已知数列{an}，a1=1，an=2an1+1（n≥2），证明：对于任意正整数n，an都不是3的倍数。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课的教学效果，学生在理解数学归纳法方面的困难，以及教学方法的有效性。
2. 拓展延伸：（1）引导学生了解数学归纳法在数学发展史上的地位和作用。
（2）推荐一些数学归纳法的习题，提高学生运用数学归纳法解决问题的能力。
（3）拓展数学归纳法在其他领域的应用，如计算机科学、经济学等。
重点和难点解析1. 教学难点与重点的识别。
必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图 1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程 3．2 古典概型3．3 几何概型必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例1.3实习作业第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2简单的线性规划问题3.4基本不等式选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.2 立体几何中的向量方法选修2-2 第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2 排列与组合1.3 二项式定理第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质第二讲直线与圆的位置关系第三讲圆锥曲线性质的探讨选修4-4第一讲坐标系第二讲参数方程选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式第二讲证明不等式的基本方法第三讲柯西不等式与排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式。
第3节数学归纳法及其应用
最新考纲 1.了解数学归纳法的原理；2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题
.
知识梳理
1.数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n
0(n0∈N*)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.
2.数学归纳法的框图表示
1
[微点提醒]
1.应用数学归纳法证明数学命题时初始值n0不一定是1，要根据题目条件或具体问题确定初始值.
2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则就不是数学归纳法.
3.解“归纳——猜想——证明”问题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证n＝1时结论成立.( )
(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( )
(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.( )
(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项.( )
解析对于(1)，有的证明问题第一步并不是验证n＝1时结论成立，如证明凸n 边形的内角和为(n－2)·180°，第一步要验证n＝3时结论成立，所以(1)不正确；
2
对于(2)，有些命题也可以直接证明；对于(3)，数学归纳法必须用归纳假设；对于(4)，由n＝k到n＝k＋1，有可能增加不止一项.
答案(1)×(2)×(3)×(4)×
2.(选修2－2P99B组T1改编)在应用数学归纳法证明凸n
边形的对角线为
1
2
n(n
－3)条时，第一步检验n等于( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.
答案 C
3.(选修2－2P96A组T2改编)已知数列{a n}满足a n＋1＝a2n－na n＋1，n∈N*，且a1＝2，则a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想a n＝________.
解析易得a2＝3，a3＝4，a4＝5，故猜想a n＝n＋1.
答案 3 4 5 n＋1
4.(2019·新余月考)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝1－a n＋2
1－a
(a≠1，
3
4
n ∈N *)，在验证n ＝1时，等式左边的项是( ) A.1
B.1＋a
C.1＋a ＋a 2
D.1＋a ＋a 2＋a 3
解析 当n ＝1时，n ＋1＝2， ∴左边＝1＋a 1＋a 2＝1＋a ＋a 2.
答案 C
5.(2019·咸阳调研)用数学归纳法证明：首项是a 1，公差是d 的等差数列的前n
项和公式是S n ＝na 1＋n (n －1)
2
d 时，假设当n ＝k 时，公式成立，则S k ＝( )
A.a 1＋(k －1)d
B.
k (a 1＋a k )
2
C.ka 1＋
k (k －1)2
d D.(k ＋1)a 1＋
k (k ＋1)2
d
解析 假设当n ＝k 时，公式成立，只需把公式中的n 换成k 即可，即S k ＝ka 1＋
k (k －1)2
d .
答案 C
6.(2019·安庆检测)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是________________.
解析当n＝k时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)，
当n＝k＋1时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)，
所以从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3).
答案(2k＋2)＋(2k＋
3)
考点一用数学归纳法证明等式
【例1】用数学归纳法证明：
1
2×4
＋
1
4×6
＋
1
6×8
＋…＋
1
2n(2n＋2)
＝
n
4(n＋1)
(n∈N*).
证明(1)当n＝1时，左边＝
1
2×1×(2×1＋2)
＝
1
8
，
右边＝
1
4×(1＋1)
＝
1
8
.左边＝右边，所以等式成立.
(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有
5。
