高一升高二暑假数学补课资料(专题三)

第03讲充分条件与必要条件【学习目标】1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系【基础知识】一、“⇒”及“⇔”的含义“⇒”是推断符号,p⇒q即如果p成立,那么q一定成立,“⇔”表示“等价”,如“p⇔q”指的是“如果p,那么q”,同时有“如果q,那么p”,或者说“从p推出q”,同时可“从q 推出p”.二、充分条件与必要条件1.如果p⇒q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件；2.如果p⇒q,但q⇏p,则p是q的充分不必要条件；3.如果p⇒q,且q⇒p,则p是q的充要条件；4.如果q⇒p,且p⇏q,则p是q的必要不充分条件；5.如果p⇏q,且q⇏p,则p是q的既不充分也不必要条件．6.充分条件与必要条件的理解充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.必要条件:必要就是必须,必不可少.“有之未必成立,无之必不成立”7.从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为(1)若A⊆B,则p是q的充分条件；(2)若A⊇B,则p是q的必要条件；(3)若A＝B,则p是q的充要条件；(4)若A B,则p是q的充分不必要条件；(5)若A B,则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件．三、判断充分条件、必要条件的注意点1.明确条件与结论.2.判断若p,则q 是否成立时注意利用等价命题.3.可以用反例说明由p 推不出q,但不能用特例说明由p 可以推出q.四、充要条件一定要分清谁是条件谁是结论,注意下面两种叙述方式的区别：1.p 是q 的充分条件；2.p 的充分条件是q .五、充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．2.要注意区间端点值的检验．六、充要条件的证明策略1.要证明一个条件p 是否是q 的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真.2.在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p 与q 的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.【基础知识】考点一：充分条件与必要条件的判断例1．(2020-2021学年广东省梅州市梅江区梅州中学高一上学期第一次段考)“三角形的某两条边相等”是“三角形为等边三角形”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】三角形的某两条边相等则三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，所以充分性不成立；三角形为等边三角形则其三边相等，能得到三角形的任意两边也是相等的，所以必要性成立.故选B.考点二：与充分条件必要条件命题真假的判断例2．(多选)(2022学年广东省广州市越秀区高一上学期期末)下列四个命题中为真命题的是()A ．“2x >”是“3x <”的既不充分也不必要条件B ．“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件C ．关于x 的方程()200++=≠ax bx c a 有实数根的充要条件是240b ac =-≥△D ．若集合A B ⊆，则x A ∈是x B ∈的充分不必要条件【答案】AC【解析】{|2}{|3}x x x x >⊄<且{|3}{|2}x x x x <⊄>，所以A 正确；正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，所以“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件，故B 错误；一元二次方程有实根则0≥ ，反之亦然，故C 正确；当集合A =B 时，应为充要条件，故D 不正确.故选AC.考点三：根据充分条件与必要条件求参数范围例3．(2022学年上海市奉贤区致远高级中学高一上学期期中)设:13x α≤<，:x m β<，若α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是_______.【答案】3m ≥【解析】由已知可得{}{}13x x x x m ≤<⊆<，所以，3m ≥.考点四：充分条件与必要条件的推理例4．(2022学年安徽省A10联盟高一上学期期中联考)已知p 是r 的充分不必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，下列命题正确的是()A ．r 是q 的必要不充分条件B ．r 是s 的充要条件C ．r 是s 的充分不必要条件D ．q 是s 的充要条件【答案】BD 【解析】由题意得，p r ⇒，r p ⇒，q r ⇒，r s ⇒，s q ⇒，所以q s ⇔，s r ⇔，q r ⇔，所以r 是s 的充要条件，q 是s 的充要条件，r 是q 的充要条件，故选BD.【真题演练】1．(2020-2021学年重庆市青木关中学高一上学期12月月考)“260x x --=”是“3x =”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为260x x --=，故可得2x =-或3，若260x x --=，则不一定有3x =，故充分性不满足；若3x =，则一定有260x x --=，故必要性成立，综上所述：“260x x --=”是“3x =”的必要不充分条件.故选B .2.(2022学年安徽省蚌埠第三中学高一下学期开学测试)设P ：3x <，q ：13x -<<，则p 是q 成立的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】由3x <不能推出13x -<<，例如2x =-，但13x -<<必有3x <，所以p ：3x <是q ：13x -<<的必要不充分条件.故选B.3.(2022学年辽宁省抚顺市抚顺县高中高一上学期10月月考)下列说法正确的是()A ．3x >是5x >的充分不必要条件B ．1x ≠±是1x ≠的充要条件C ．若q p ⇒，则p 是q 的充分条件D ．一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形【答案】B【解析】A.由()5,+∞ ()3,+∞，所以3x >是5x >的必要不充分条件，故A 错误；B.1x ≠±时，则1x ≠，反过来也成立，所以1x ≠±是1x ≠的充要条件，故B 正确；C.q p ⇒，则p 是q 的必要条件，故C 错误；D.矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，所以一个四边形是矩形的必要条件是它是平行四边形，故D 错误.故选B4.(多选)(2022学年浙江省宁波市金兰教育合作组织高一上学期期中联考)已知集合{}3A x x =≤，集合{}1B x x m =≤+，能使A B ⊆成立的充分不必要条件有()A ．0m >B ．1m >C ．3m >D ．4m >【答案】CD 【解析】由A B ⊆得13m +≥，即2m ≥，故能使A B ⊆成立的充分不必要条件有CD.故选CD.5.(2022学年湖北省武汉市水果湖高中高一上学期10月月考)若“x k <或3x k >+”是“41x -<<”的必要不充分条件，则实数k 的值可以是()A ．8-B ．5-C ．1D ．4【答案】ACD【解析】若“x k <或3x k >+”是“41x -<<”的必要不充分条件，所以34k +≤-或1k ³，所以7k ≤-或1k ³.故选ACD6.(2022学年湖北省高一上学期期末调考)若命题p 是命题“:0q xy >”的充分不必要条件，则p 可以是___________.(写出满足题意的一个即可)【答案】0x >，0y >(答案不唯一).【解析】因为当0,0x y >>时，0xy >一定成立，而当0xy >时，可能0,0x y >>，可能0,0x y <<，所以0,0x y >>是0xy >的充分不必要条件，故答案为：0,0x y >>(答案不唯一)7.(2022学年江西省丰城市第九中学高一上学期第一次月考)给出下列命题：①已知集合{240A xx =-<∣，且}N x ∈，则集合A 的真子集个数是4；②“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件；③“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件④设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件其中所有正确命题的序号是__________．【答案】③④【解析】①{|22,N}{0,1}A x x x =-<<∈=，故真子集个数为2213-=个，错误；②由256(6)(1)0x x x x --=-+=，可得6x =或1x =-，故“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，错误；③由2()f x x x a =++开口向上且对称轴为12x =-，只需(0)0f a =<即可保证原方程有一个正根和一个负根，故“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，正确；④当0a ≠，0b =时，0ab ≠不成立；当0ab ≠时，0a ≠且0b ≠，故“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，正确.故答案为③④8.(2022学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高一上学期期末)已知非空集合{}|1614P x a x a =-≤≤-，{}|25Q x x =-≤≤．(1)若3a =，求()P Q ⋂R ð；(2)若“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解析】(1)由已知{|24}P x x =≤≤，R {|2P x x =<ð或4}x >，所以R (){|22P Q x x =-≤< ð或45}x <≤＝[)(]2,24,5- ；(2)“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，则1261451614a a a a -≥-⎧⎪-≤⎨⎪-≤-⎩，解得131956a ≤≤，所以a 的范围是1319,56⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【过关检测】1.(2022学年湖南省长沙市望城区金海学校高一上学期期中)“2x ＝”是“240x ﹣＝”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题，将2x ＝代入240x ﹣＝，等式成立，所以“2x ＝”是“240x ﹣＝”的充分条件；求解240x ﹣＝，得到2x ±＝，故“2x ＝”是“240x ﹣＝”的不必要条件；故选A2.使“0＜x ＜4”成立的一个必要不充分条件是()A ．x ＞0B ．x ＜0或x ＞4C ．0＜x ＜3D ．x ＜0【答案】A【解析】设p:0＜x ＜4，所求的命题为q ，则原表述可以改写为q 是p 的必要不充分条件，即q 推不出p ，但p ⇒q .，显然由:0＜x ＜4，能推出x ＞0，推不出x ＜0或x ＞4、0＜x ＜3、x ＜0，故选A3.(2022学年湖南省益阳市箴言中学高一上学期10月月考)设,x y R ∈，则“1x ≠或1y ≠”是“2x y +≠”的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【答案】B【解析】若“1x ≠或1y ≠”则“2x y +≠”为真，等价于若“2x y +=”则“1x =且1y =”为真，显然该命题为假，∴“1x ≠或1y ≠”推不出“2x y +≠”，反之，若“2x y +≠”，则“1x ≠或1y ≠”为真，等价于若“1x =且1y =”则“2x y +=”为真，显然成立，∴“2x y +≠”可推出“1x ≠或1y ≠”，∴“1x ≠或1y ≠”是“2x y +≠”的必要非充分条件，故选B4.(2022学年福建省福州市闽侯县一中学高一上学期月考)在△ABC 中，AB 2+BC 2=AC 2是△ABC 为直角三角形的()条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A 【解析】在△ABC 中，若AB 2+BC 2=AC 2，，则90B ∠=︒，即△ABC 为直角三角形，若△ABC 为直角三角形，推不出90B ∠=︒，所以AB 2+BC 2=AC 2不一定成立，综上，AB 2+BC 2=AC 2是△ABC 为直角三角形的充分不必要条件，故选A5．(多选)(2020-2021学年湖北省十堰市城区普高协作体高一上学期期中)p 是q 的必要条件的是()A ．:325,:235p x q x +>-->-B ．:2,2,:p a b q a b ><>C ．p ：四边形的两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形D ．:0p a ≠，q ：关于x 的方程1ax =有唯一解【答案】CD【解析】对于A ，:3251p x x +>⇒>，:2351q x x -->-⇒<，∴p 推不出q ，q 推不出p ，p 是q 既不充分也不必要条件；对于B ，:2,2:p a b q a b ><⇒>；当1,0a b ==时，满足a b >但q 推不出p ，故p 是q 的充分不必要条件；对于C ，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”；反之，若“四边形是正方形”成立⇒“两条对角线互相垂直平分”成立，故p 是q 的必要条件；对于D ，:0:p a q ≠⇔关于x 的方程1ax =有唯一解，故p 是q 的充分必要条件.故选CD.6.(多选)设全集为U ，在下列选项中，是B A ⊆的充要条件的有()A ．A B A = B ．()U A B Ç=ÆðC ．()()U U A B Í痧D ．()U A B U È=ð【答案】BCD 【解析】由Venn 图可知，B ，C ，D 都是B A ⊆的充要条件，故选BCD ．7.(多选)已知p ，q 都是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，则()A ．p 是q 的充分条件B ．p 是s 的必要条件C ．r 是q 的必要不充分条件D ．s 是q 的充要条件【答案】AD【解析】由已知得：p r s q ⇒⇒⇒；q r s ⇒⇒.p ∴是q 的充分条件；p 是s 的充分条件；r 是q 的充要条件；s 是q 的充要条件.故选AD8.下列命题：①“2x >且3y >”是“5x y +>”的充要条件；②当0a ≠时，“240b ac -<”是“方程20ax bx c ++=有解”的充要条件；③“1x =或2x =-”是“方程220x x +-=”的充要条件．其中正确的序号为______．【答案】③【解析】①2x >且3y >时，5x y +>成立，反之不一定成立，如0x =，6y =，所以“2x >且3y >”是“5x y +>”的充分不必要条件，故①错误；②方程有解的充要条件是240b ac -≥，故②错误；③当1x =或2x =-时，方程220x x +-=一定成立，反过来，方程220x x +-=成立时，1x =或2x =-，故③正确．9．已知集合{|1A x x =<-，或{}2}|23x B x a x a >=≤≤+，，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则实数a 的取值范围是___________．【答案】()(),41,-∞-+∞U 【解析】∵“x A ∈”是x B ∈”的必要条件，∴B A ⊆，当B =∅时，23a a >+，则3a >；当B ≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，由图可知3231a a a +>⎧⎨+<-⎩或3222a a a +>⎧⎨>⎩，解得4a <-或13a <£，综上可得，实数a 的取值范围为()(),41,-∞-+∞U ．10.(2022学年贵州省毕节市金沙县高一10月月考)已知集合{}13A x x =-<<，{}12B x x x x =<<，其中1x ，()212x x x <是关于x 的方程22210x x a --+=的两个不同的实数根.(1)是否存在实数a ，使得“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.(2)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求a 的取值范围.【解析】(1)假设存在满足条件的实数a ，则B A =，即11x =-，23x =.因为1x ，2x 是关于x 的方程22210x x a --+=的两个不同的实数根，所以2131a -⨯=-+，即24a =，解得2a =±，即当2a =±时，“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件.(2)由题意可知，关于x 的方程22210x x a --+=的两根分别为1a -和1a +.因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以B A .当11a a ->+，即0a <时，{}11B x a x a =+<<-，则11,13,a a +>-⎧⎨-<⎩解得20a -<<；当11a a -<+，即0a >时，{}11B x a x a =-<<+，则11,13,a a ->-⎧⎨+<⎩解得02a <<.综上，a 的取值范围是{20a a -<<或}02a <<.。

新高二暑期衔接讲义数学新高二暑期衔接数学课程第一讲函数综合复习一知识要点1.函数研究对象：变量之间的关系2.函数定义：函数就是定义在非空数集A,B上的映射f。

此时称数集A为函数f(x)的定义域，集合C={f(x)|x∈A}为值域，且C B。

3.定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。

相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则。

(两点必须同时具备)4.求函数的定义域常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y轴上。

5.函数解析式的求法：①配凑法；②换元法：③待定系数法；④赋值法；⑤消元法等。

6.函数值域的求法：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。

7.函数单调性及证明方法:如果对于定义域内某个区间上的任意．．两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)。

第一步：设x1、x2是给定区间内的两个任意的值，且x1<x2；第二步：作差f(x2)-f(x1)，并对“差式”变形，主要方法是：整式——分解因式或配方；分式——通分；根式——分子有理化，等)；第三步：判断差式f(x2)-f(x1)的正负号，从而证得其增减性。

8.函数单调区间的求法：①定义法；②图象法；③同增异减原则。

9.函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x) (或f(-x)=-f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)。

如f(x)=x 2+2，f(x)=x 3-x 等。

10.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，也即是说定义域不关于原点对称的函数既不是奇函数也不是偶函数。

11.判断函数奇偶性的常用形式：奇函数：f(-x)=-f(x)，f(-x)+f(x)=0(对数函数)，1)()(-=-x f x f (f(x)≠0)(指数函数)；偶函数：f(-x)=f(x)，f(-x)-f(x)=0，1)()(=-x f x f (fx)≠0)。

圆锥曲线()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧利用图形的特点②图形思想利用方程的特点①方程思想数形思想②抛物线的性质①抛物线的定义抛物线②双曲线的性质①双曲线的定义双曲线②椭圆的性质①椭圆的定义椭圆②求曲线的方程①曲线与方程的关系曲线与方程知识结构 第一节：曲线与方程知识要点（1）曲线与方程数的思想⎩⎨⎧点都在曲线上。

②以方程的解为坐标的是方程的解。

①曲线上的点的坐标都形的思想⎩⎨⎧截距，距离等）②图形的性质（斜率，长①坐标可以表示线段的理解运用①曲线上的点都是方程的解，实际解题中：A 把点代入方程；B 通过解方程组求交点;C 把两条曲线的方程合并为一元二次方程，通过判别式判断两曲线的位置关系;D 用韦达定理进行求解。

②图形的性质就是涉及图形的几何特征。

例、过点且与曲线相交所得弦长为的直线方程为 。

1，已知曲线C 的方程是)0(022<=+-+m my mx y x ，下列各点不可能在曲线C 上的点是（ ）A ．)0,0(B ．)2,0(mC ．)2,0(m -D ．)0,2(m2，直线23+=x y 被曲线221x y =所截得的线段的中点到原点的距离是（ ） A ．229 B ．429 C ．29 D ．293、若直线x +my =2+m 与圆x 2+y 2—2x —2y +1= 0相交，则实数m 的取值范围 是4，已知直线:40l x y -+=与圆()()22:112C x y -+-=，则C 上各点到l 的距离的最小值为_______.5，点（3，1）和点（6,4-）在直线023=+-a y x 的两侧， 则a 的取值范围是 。

6．下列方程的曲线关于直线x y =对称的是（ ）A ．122=+-y x xB ．122=+xy y xC ．1=-y xD ．122=-y x第二节：求曲线方程1，求曲线方程主要有三种方法：（1）直译法（2）坐标代入法（3）参数法（4）交轨法求曲线方程的五个步骤：(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；建标(2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)}；设点(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0 列式(4)化方程f(x，y)=0为最简方程化简(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是这条曲线上的点．除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，步骤(5)可以不写，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程．例、已知圆A：(x+2)2+y2=1与点A（-2，0），B（2，0），分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.（1）△PAB的周长为10;（2）圆P与圆A外切，且点B在动圆P上（P为动圆圆心）;（3）圆P与圆A外切且与直线x=1相切（P为动圆圆心）.学以致用1，求点P （4，－2）与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程？2．已知动点M 到定点)0,9(A 的距离是M 到定点)0,1(B 的距离的3倍， 求M 的轨迹方程？3、在直角△ABC 中，斜边是定长2a (0)a >，求直角顶点C 的轨迹方程。

进门测试建议5min①关于x 的二次方程x 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且一个大于1，一个小于1，求m 的范围； ②关于x 的二次方程x 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且在内，求m 的范围；③关于x 的二次方程x 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且在[1，3]之外，求m 的范围；④关于x 的二次方程mx 2+2(m +3)x +2m +14=0有两根，且一个大于4，一个小于4，求m 的范围． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 课堂导入建议10min柯西柯西1789年8月21日生于巴黎，他的父亲路易·弗朗索瓦·柯西是法国波旁王朝的官员，在法国动荡的政治漩涡中一直担任公职．由于家庭的原因，柯西本人属于拥护波旁王朝的正统派，是一位虔诚的天主教徒．他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式...在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作，不过并不是他所有的创作质都很高，因此他还曾被人批评高产而轻率，这点倒是与数学王子相反，据说，法国科学院''会刊''创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页，所以，柯西较长的论文只得投稿到其他地方．精讲精练214m <-2755m -<≤-214m <-19013m -<<[0,1]2=++x px【解析】由px q x+≥对于一切实数q≥①, q=-2p-26.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离． 在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速(km/h)满足下列关系：s ＝n v 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N *)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6＜s 1＜814＜s 2＜17.（1）求n 的值；（2）要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？【答案】（1）n=6，（2）60 km/h【解析】(1)依题意得⎩⎨⎧6＜40n 100＋1 600400＜814＜70n 100＋4 900400＜17，解得⎩⎪⎨⎪⎧5＜n ＜1052＜n ＜9514，又n ∈N *，所以n ＝6.(2)s ＝3v 50＋v 2400≤12.6⇒v 2＋24v －5 040≤0⇒－84≤v ≤60，因为v ≥0，所以0≤v ≤60，即行驶的最大速度为60 km/h.7. 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． （1）若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； （2）若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f (x )与m 的大小．【解析】（1）当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1或x ＞2}；当a ＜0时，解集为{x |－1＜x ＜2}． （2）由函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n ，得f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0.∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .温故知新建议15min课后巩固1、将本节课错题进行组卷，进行二次练习，培养错题管理习惯；2、对笔记本进行复习，培养复习习惯。

目录第三讲等比数列初步 (2)考点1：等比数列的概念 (2)题型一：等比数列判别 (2)考点2：等比数列的通项公式 (3)题型二：等比数列基本量与通项公式 (3)考点3：等比数列的求和公式 (5)题型三：等比数列Sn与an (6)考点4：等比数列的性质初步 (8)题型四：等比数列性质 (9)课后综合巩固练习 (11)第三讲 等比数列初步考点1：等比数列的概念1．文字定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母(0)q q ≠表示．2．符号定义：数列{}n a 中，若1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），则称{}n a 为等比数列．题型一：等比数列判别例1. （1）等比数列的认识下列数列是等比数列吗?如果是，求出公比，如果不是说明理由．①1010，，，，；②2222，，，，；③1248--，，，，；④39183672，，，，，（2）（2018秋•娄底期中）对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是( ) A ．1a ，3a ，9a 成等比数列 B ．1a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，5a ，8a 成等比数列 D ．3a ，6a ，8a 成等比数列考点2：等比数列的通项公式已知等比数列{}n a ，首项为1a ，公比为q ，第n 项为n a ，通项公式：11n n a a q -=．题型二：等比数列基本量与通项公式例2.等比数列的基本量与通项公式（1）（2019春•武汉期中）实数数列1，1a ，2a ，8为等比数列，则2(a = ) A ．4- B ．4C ．2D ．4-或4（2）已知数列{}n a 的通项公式为23n n a =⋅，则首项1a =_____，公比q =_____．（4）等比数列48239，，，的第4项4a =_______，第20项20a =___________．（5）等比数列1113242，，，，的第5项为________，项数n =_____．（6）已知等比数列{}n a 中，33a =，10384a =，则该数列的通项n a =___________．（7）（2019•浙江模拟）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，以此得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率1，则第七个单音的频率为 ．例3.（1）（2019•株洲一模）已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则 6(a = )A ．64B ．32C ．16D ．4（2）（2018秋•雨花区校级月考）在数列{}n a 中，11a =，数列{}n a 是以3为公比的等比数列，则32019log a 等于( ) A ．2017 B ．2018 C ．2019 D ．2020（3）（2018秋•龙岩期中）已知等比数列{}n a 的公比13q =-，则13573579a a a a a a a a ++++++等于() A ．13-B ．3-C ．19D ．9（4）（2019春•镇海区校级月考）已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，23a =，313S =，则6(a = ) A ．243或127B ．81或181C ．243D ．127（5）（2019•广元模拟）数列{}n a 中，21a =，53a =，且数列1{}1n a +是等比数列，则8a 等于( ) A ．7 B ．8C ．6D ．5（6）（2018春•上饶期末）等比数列{}n a 中，1512a =，公比12q =-，用n M 表示它的前n项之积，即123n n M a a a a =⋯，则数列{}n M 中的最大项是( ) A ．11M B ．10MC ．9MD ．8M例4.（1）等比数列12551125，，，，的项数为______．（2327，，的项数为_______．（3）等比数列11111248256--，，，，，的项数为______． （4）等比数列1116442---，，，，的项数为______．（5）等比数列1111136122432n ⨯，，，，，的项数为______．（6）等比数列473103333n +，，，，的项数为_______． （7）等比数列4128322n +，，，，的项数为_______．（813n ，的项数为______．考点3：等比数列的求和公式等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，有前n 项和公式：1111(1)111n n n na q S a a qa q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩，，等比数列前n 项和公式的推导：（一般用得多的是前面的求和公式） 法一：由等比数列的定义知2132121n n n n a a q a a q a a q a a q ---====，，，，， 将这n 个等式的两边分别相加得：23121()n n a a a a a a q -+++=+++，即1()n n n S a S a q -=-，整理得111(1)n n n S q a a q a a q -=-=-， 当1q ≠时，1(1)(2)1n n a q S n q-=-≥，显然此式对1n =也成立；当1q =时，1n S na =．法二：错位相减法（会在春季同步的求和中再次遇到） 211111n n S a a q a q a q -=++++，将上式两边同乘以q 得：231111n n qS a q a q a q a q =++++，两式相减得：11(1)n n q S a a q -=-，以下讨论同法一．题型三：等比数列S n 与a n例5.(1)（2019•新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3(a = )A ．16B ．8C ．4D ．2（2）（2018秋•全国期末）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若122a a -=，236a a -=，则4(S = ) A ．60- B ．40- C ．20 D ．40（3）（2019•新课标Ⅰ）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若113a =，246a a =，则5S = ．（4）（2019春•哈尔滨期中）在等比数列{}111,8,,,(22n n n a a q a S ====中则 )A ．8B ．15C ．312D ．31。

高一升高二数学知识点复习数学是一门基础学科，也是高中学业的重要组成部分。

升入高二，数学知识将更为深入和复杂。

为了帮助同学们更好地复习高一数学知识点，我将按照各个章节的内容进行梳理和总结。

1. 函数与三角函数1.1 函数的概念与性质1.2 基本初等函数图像1.3 基本初等函数的性质与运算1.4 三角函数的概念与性质1.5 三角函数的图像与性质1.6 三角函数的基本关系式与恒等变换2. 二次函数与二次方程2.1 二次函数的概念与性质2.2 二次函数的图像与性质2.3 二次函数的最值与零点2.4 二次函数的解析式与一般式 2.5 二次方程的概念与性质2.6 二次方程的解的判别2.7 二次方程解的性质与求解方法3. 三角函数的进一步研究3.1 三角函数的诱导公式3.2 和差化积与积化和差3.3 三角函数的奇偶性与周期性 3.4 三角函数解析式的展开与化简4. 数列与数列的极限4.1 数列的概念与性质4.2 等差数列与等比数列4.3 数列极限的概念与性质4.4 数列极限的判定与计算5. 空间几何5.1 空间几何基本概念5.2 空间直线与平面的位置关系 5.3 空间图形的投影与旋转5.4 空间向量的概念与运算5.5 空间向量的数量积与夹角 5.6 空间直线与平面的交线问题6. 概率与统计6.1 随机事件与概率的概念6.2 概率统计的基本规则6.3 条件概率与事件独立性6.4 排列与组合的计数原理6.5 随机变量与概率分布6.6 统计的基本方法与分析通过对高一数学各个章节的复习，同学们可以加深对知识点的理解，掌握解题的方法和技巧。

在高二的学业中，数学将起到更重要的作用，因此牢固掌握高一数学知识对于未来学习的顺利进行至关重要。

希望同学们能够充分利用暑假时间进行复习，为高二学习打下坚实的数学基础。

祝大家学习进步！。

高一升高二数学衔接知识点数学是一门科学，也是一门与生活息息相关的学科。

在学习数学的过程中，高一和高二是一个重要的转折点。

高一数学为高二做了一定的铺垫，但高二的数学内容更为复杂和深入。

为了更好地适应高二数学的学习，下面将介绍高一升高二数学衔接的知识点。

一、集合在高一阶段，我们已经学习了集合的基本概念和运算，包括交集、并集、差集等。

在高二数学中，我们将更深入地学习集合的性质和应用。

1. 子集与真子集：高二数学中，我们需要掌握子集和真子集的概念。

一个集合A的所有元素都属于另一个集合B，则称集合A 为集合B的子集。

如果集合A是集合B的子集，并且集合B中还有不属于A的元素，则称集合A为集合B的真子集。

2. 并集与交集：高二数学中，我们需要熟练运用并集和交集的性质进行问题的求解。

并集可以用来表示两个集合的所有元素，交集可以用来表示两个集合共有的元素。

二、函数函数是高中数学中的重要概念，高一阶段我们已经初步学习了函数的定义和性质。

在高二数学中，我们将进一步学习函数的图像、性质和应用。

1. 图像的平移和伸缩：高二数学中，我们需要掌握函数图像的平移和伸缩。

函数图像的平移可以通过改变函数的自变量或因变量来实现，而伸缩则可以通过改变函数的系数来实现。

2. 函数的性质与应用：高二数学中，我们将学习更多关于函数的性质，如奇偶性、周期性等。

同时，我们还将学习如何应用函数解决实际问题，如函数的最值、函数的增减性等。

三、微积分微积分是高中数学的核心内容，高一阶段我们已经初步学习了导数的定义、求法和性质。

在高二数学中，我们将进一步学习积分的概念和应用。

1. 积分的定义和计算：高二数学中，我们需要熟练掌握积分的定义和计算方法，包括不定积分和定积分。

同时，我们还需学会利用积分解决实际问题，如面积计算、曲线长度计算等。

2. 微分方程的应用：高二数学中，我们还将学习微分方程的应用。

微分方程是数学与自然科学紧密联系的桥梁，通过微分方程我们可以描述自然界的变化规律，如物理运动、生物种群的增长等。

专题三、函数的单调性与最值一、基础知识1、单调函数的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是 或 ，则称函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫作函数y ＝f (x )的单调区间。

3、函数的最值4、注意事项：（1）函数的单调性是局部性质函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的 特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。

（2）函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间． （3）单调区间的表示单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．二、典例讲解题型一 函数单调性的判断 例1 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．探究提高 证明函数的单调性用定义法的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论． 变式1：(1)已知a >0，函数f (x )＝x ＋a x(x >0)，证明函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数；(2)求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．题型二 利用函数单调性求参数 例2 若函数f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，求实数a 的取值范围． 思维启迪：利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．探究提高 已知函数的单调性确定参数的值或范围，可以通过解不等式或转化为不等式 恒成立问题求解；需注意的是，若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．变式2： (1)若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则a 的取值范围为____________．(2)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3题型三 利用函数的单调性求最值例3 已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． 思维启迪：问题(1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f (x )为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证．问题(2)用函数的单调性即可求最值．探究提高 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f x 1f x 2与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2或x 1＝x 2＋x 1－x 2等；利用函数单调性可以求函数最值．变式3：已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性； (3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．典例4：求函数y ＝log 13(x 2－3x )的单调区间．温馨提醒 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间．由于思维定势的原因，容易忽视定义域。

高一升高二数学（暑假）辅导教案学员姓名： 学科教师： 年 级： 辅导科目： 授课日期 ××年××月××日时 间A /B /C /D /E /F 段主 题解斜三角形教学内容1. 熟练掌握正弦定理、余弦定理和面积公式；2. 会判断三角形形状及解的个数；3. 能利用内角和定理实现三内角之间的转换．（以提问的形式回顾）1. 正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，其中R 是ABC ∆的外接圆半径． 2. 余弦定理2222cos a b c bc A =+-；2222cos b a c ac B =+-；2222cos c a b ab C =+-或 222cos 2b c a A bc +-=； 222cos 2a c b B ac +-=； 222cos 2a b c C ab+-=．3. 任意三角形的面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆===．4. 正余弦定理应用【下图可以让学生先梳理．】5. 常见基本结论（1） A B C π++=——变量代换的基础．【由此关系可以推得sin sin(+);cos cos()A B C A B C ==-+，从而实现角的代换.】 （2） 大边对大角，大角对大边——判断三角形解的个数的重要依据．【证明：sin sin 22a bA B a b A B R R=>=⇔>⇔>．】（采用教师引导，学生轮流回答的形式）例1. 在ABC △中，角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=． （1）若ABC △的面积等于3，求a b ，；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．【第（1）问根据三角形的面积公式和余弦定理列出关于a ，b 的方程，通过方程组求解；第(2)问根据sin C ＋sin (B －A )＝2sin 2A 进行三角恒等变换，将角的关系转换为边的关系，求出边a ，b 的值即可解决问题】 解：（1）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=， 又因为三角形的面积等于3，所以1sin 32ab C =，得4ab =． 联立方程组{2244a b ab ab +-==解得2,2a b == （2）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =，当cos 0A =时，4323,,,2633A B a b ππ====试一试：在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O (如图)的东偏南2(cos )10θθ=方向300 km 的海面P 处，并以20 km / h 的速度向西偏北ο45的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h 的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？解：设在时刻t (h )台风中心为Q ,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t +60(km )若在时刻t 城市O 受到台风的侵袭,则1060OQ t ≤+ 由余弦定理知2222cos OQ PQ PO PQ PO OPQ =+-⋅∠ 由于PO =300,PQ =20t()4cos cos 455OPQ θ∠=-=o 故2222203009600OQ t t =+-()21060t ≤+即2362880t t -+≤ 解得 1224t ≤≤答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时．（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）1. 在ABC ∆中，“cos cos c C b B =”是“ABC ∆是等腰三角形”的（ ）条件A 充分不必要B 必要不充分C 充要D 既不充分也不必要解： D ．2. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且32sin a c A =，则角C 的大小为 . 解：3π和23π3. 已知三角形三边是三个连续自然数，若最大角是最小角的两倍，求三边长．本节课主要知识点：正弦定理和余弦定理的应用。