河南省信阳市高一下数学期中考试试卷

河南省信阳市数学高一下学期理数期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 在△ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，若，A.B.C.D.， 则 A=（ ）.2. （2 分） 函数的图像与 x 轴的交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，要得到函数的图像，只需将 f(x)的图像（ ）A . 向左平移 个单位B . 向右平移 个单位C . 向左平移 个单位D . 向右平移 个单位3. （2 分） “ ”是“直线与圆相交”的 （ ）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2 分） (2017 高一下·晋中期末) 在△ABC 中，若 AB=4，AC=6，D 为边 BC 的中点，O 为△ABC 的外心，则 =（ ）第 1 页 共 10 页A . 13 B . 24 C . 26 D . 525. （2 分） 已知| |=1，| |= ， • =0，点 C 在∠AOB 内，且∠AOC=60°，设 =m +n （m， n∈R），则 =（ ）A.B.C. D.1 6. （2 分） (2019 高三上·平遥月考) 已知，则该三角形一定是（ ） A . 等腰三角形 B . 直角三角形 C . 等边三角形 D . 等腰直角三角形的三个内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c，若7. （2 分） (2016 高一下·榆社期中) 将函数 y=sin2x 的图象向左平移 所得图象的函数解析式是（ ）个单位，再向上平移 1 个单位，A . y=cos2xB . y=2cos2xC.第 2 页 共 10 页D . y=2sin2x8. （2 分） (2017 高二上·嘉兴月考) 已知则的最小值是 （ ）A.是边长为 的等边三角形， 为平面内一点，B.C. D. 9. （2 分） (2017·南海模拟) 已知函数 f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则函 数 f（x）的单调递减区间为（ ）A.B.C.D.10. （2 分） (2016 高三上·大连期中) △ABC 中，若动点 D 满足2﹣2+2 •=0，则点 D 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A . 外心B . 内心第 3 页 共 10 页C . 垂心 D . 重心11. （2 分） 在 积之比是（ ）所在的平面内有一点 P，如果,那么和面积与的面A.B.C.D.12. （2 分） 若圆中一段弧长正好等于该圆外切正三角形的边长，设这段弧所对的圆心角是 ， 则 所在的区间为（ ）的值A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2017·长宁模拟) 若命题“对任意 值范围是________．，tanx＜m 恒成立”是假命题，则实数 m 的取14. （1 分） (2017 高一上·河北期末) 已知 ⊥ ，| |=2，| |=3，且 3 +2 与 λ ﹣ 垂 直，则实数 λ 的值为________．15. （1 分） (2017 高二上·南阳月考) 在中，内角，若，则的值为________．第 4 页 共 10 页所对应的边分别为，已知16.（1 分）(2019 高二上·怀仁期中) 在底面是正方形的长方体则异面直线与所成角的余弦值为________.中，，三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17. （10 分） (2017 高一下·荔湾期末) 已知 A，B，C 为锐角△ABC 的内角， =（sinA，sinBsinC）， = （1，﹣2）， ⊥ ．（1） tanB，tanBtanC，tanC 能否构成等差数列？并证明你的结论；（2） 求 tanAtanBtanC 的最小值．18. （10 分） (2019 高一下·上海月考) 已知（1） 求的值；（2） 求的值.19. （10 分） (2016 高三上·赣州期中) 已知向量 =（sin（x+ ），1）， =（4，4cosx﹣ ）（1） 若 ⊥ ，求 sin（x+ ）的值； （2） 设 f（x）= • ，若 α∈[0， ]，f（α﹣ ）=2 ，求 cosα 的值． 20. （10 分） (2015 高一下·黑龙江开学考) 已知函数 f（x）=sin2x+2 sin2x+1﹣ ． （1） 求函数 f（x）的最小正周期和单调递增区间； （2） 当 x∈[ ， ]时，求函数 f（x）的值域． 21. （10 分） (2016 高一下·宜昌期中) 已知向量 ， 的夹角为 120°，| |=1，| |=5． （1） 求 • ； （2） 求|3 ﹣ |． 22. （5 分） 已知 =（1，2cosx）， =（sinπ﹣2x）， cosx），x∈R，且 f（x）= • ．第 5 页 共 10 页（Ⅰ）求 f（ ） ； （Ⅱ）求 f（x）的最小正周期及在（0，2π）上的单调递增区间．第 6 页 共 10 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 10 页16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17-1、17-2、 18-1、第 8 页 共 10 页18-2、 19-1、19-2、 20-1、第 9 页 共 10 页20-2、 21-1、 21-2、22-1、第 10 页 共 10 页。

河南省信阳市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）若角的终边上有一点(-4,a)，则a的值是（）A .B .C .D .2. （2分）如图，向量-等于（）A .B .C .D .3. （2分）江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得两条船俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（）A . 150米B . 120米4. （2分）设向量，记，函数的周期是（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高三上·武邑期中) 已知正项数列{an}中，a1=1，a2=2，2an2=an﹣12+an+12（n≥2），bn=，记数列{bn}的前n项和为Sn ，则S33的值是（）A .B .C .D . 36. （2分）(2017·衡水模拟) 已知 0＜a＜b＜l，c＞l，则（）A . logac＜logbcB . （）c＜（） cC . abc＜bacD . alogc ＜blogc7. （2分）方程a2x2+ax﹣2=0 （|x|≤1）有解，则（）A . |a|≥1B . |a|＞28. （2分） (2019高一下·鹤岗月考) 设，且，则的最小值是（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分）设α是第二象限角，且cos=﹣，则是（）A . 第一象限角B . 第二象限角C . 第三象限角D . 第四象限角10. （2分）(2018·临川模拟) 《九章算术》有这样一个问题；今有女子善织，日增等尺，七日织三十五尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十八尺，问第六日所织尺数为（）A .B .C .D .二、双空题 (共4题；共4分)11. （1分）(2017·成都模拟) 已知向量 =（5，0）， =（﹣2，1），⊥ ，且 =t + （t∈R），则t=________．12. （1分） (2018高三上·云南月考) 已知，则 =________；13. （1分） (2019高一下·上海月考) 在中，若则角A的值为________．14. （1分） (2016高三上·浦东期中) 函数cos（﹣x）= ，那么sin2x=________．三、填空题 (共3题；共3分)15. （1分）(2020·宝山模拟) 已知、均是等差数列，，若前三项是7、9、9，则 ________16. （1分）若关于x的方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0的两根均大于1，则m的取值范围是________．17. （1分）(2018·丰台模拟) 在△ 中，，，且，则 ________．四、解答题 (共5题；共50分)18. （10分） (2017高一下·邢台期末) 已知函数f（x）=（sinx﹣cosx）2+ sin（2x+ ）（x∈R）．（1）求函数f（x）的递减区间；（2）若f（α）= ，α∈（，），求cos（2α+ ）．19. （10分）已知=(sinx,1)，=(sinx,cosx),f（x）=．求f（x）的最大值以及此时x的值．20. （10分）等差数列﹛an﹜满足a4=20，a10=8（1）求数列﹛an﹜的通项公式；（2）求数列的前n项和Sn，指出当n为多少时Sn取最大值，并求出这个最大值．21. （10分）已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到：先将图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移个单位长度.（1）求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程；（2）已知关于X的方程在内有两个不同的解,．(1)求实数M的取值范围：（2）证明：。

2023-2024学年河南省信阳市高一下册期中模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合{2,1,0,1,2}M =--，11|282x N x +⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则M N ⋂=（）A ．{0，1}B ．{－1，0}C ．{－1，0，1}D ．{－2，－1，0，1，2}【正确答案】C【分析】根据指数函数的单调性求解出11282x +<<的解集为N ，然后根据集合的交集运算即得.【详解】因为11282x +<<，所以113222x -+<<，所以113x -<+<，所以22x -<<，所以{}22N x x =-<<，所以{}1,0,1M N ⋂=-，故选：C.2．若复数2i1iz +=-，则z =（）A ．1B ．2C ．4D 【正确答案】B【分析】由复数除法几何意义求复数的模.【详解】由|2i||1i|z +=-故选：B3．下列四个选项中的命题是真命题的是（）A ．若四点不共面，则其中任意三点不共线B ．空间中，垂直于同一条直线的两条直线互相平行C ．空间中，两组对边分别相等的四边形是平行四边形D ．两个不重合的平面最多可将空间分成三个部分【正确答案】A【分析】A 选项用反证法进行判断；BCD 选项根据空间图形的位置关系进行判断.【详解】A 选项，对于空间中的4个点，若其中3个点共线，则这4个点共面，此时与“四点不共面”矛盾，所以若四点不共面，则其中任意三点不共线，A 选项正确.B 选项，空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能异面，所以B 选项错误.C 选项，空间中，两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，不是平面图形，所以C 选项错误.D 选项，两个不重合的平面最多可将空间分成四个部分，D 选项错误.故选：A 4．函数()1e xf x x=-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】D【分析】根据函数的奇偶性排除A,再根据函数在1x =处函数值的正负排除B 和C,得出结果.【详解】 ()()11e e x xf x f x x x--=-=-=-,∴()f x 为偶函数,排除A.()11e<0f =- ,排除B 和C.故选:D.5．水平放置的ABC 的斜二测直观图如图所示，已知4,6B C A C ''''==，B C y '''∥轴，则ABC 中AB 边上的中线的长度为（）A ．5B ．10C ．5D ．52【正确答案】A【分析】根据斜二测画法的规则还原图形的边角关系再求解即可.【详解】由斜二测画法规则知AC BC ⊥，即ABC 直角三角形，其中6AC =,8BC =，所以226810AB =+=，所以AB 边上的中线的长度为1052=.故选：A.6．河北省正定县的须弥塔是中国建筑宝库的珍贵遗产，是我国古建筑之精品，是中国古代高超的建筑工程技术和建筑艺术成就的例证.一名身高1.7m 的同学假期到河北省正定县旅游，他在A 处仰望须弥塔尖，仰角为45 ，他沿直线向塔行走了17m 后仰望须弥塔尖，仰角为60 ，据此估计该须弥塔的高度约为（）（参考数据:2 1.4143 1.732≈≈，）A ．41.9mB ．40.2mC ．39.5mD ．37.8m【正确答案】A【分析】作出图形，求出角度，利用正弦定理结合15︒的正弦值，求出答案.【详解】如图，1117A B =，因为11114560CA D CB D ∠=∠=，，所以1115A CB ∠=，在11A B C 中，由正弦定理得1111111sin sin A B CB A CB CA D =∠∠，所以111111117sin 45sin sin15sin A B CA D CB A CB ∠︒==∠︒，其中()321262sin15sin 6045sin 60cos 45cos 60sin 4522224-︒=︒-︒=︒︒-︒︒==故121717sin 45217317sin15624CB ⨯︒==+︒-又111733602sin CD CB =︒=（），3 1.732≈，所以117 4.73240.2m 2CD ⨯≈≈，又该同学身高1.7m ，所以塔高约为40.2 1.741.9+=()m .故选.A7．在三角形ABC 中，角,,A B C 的对边为,,a b c ，则""A B =成立的必要不充分条件为（）A ．sin cos 2AB π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．cos cos 0a A b B -=C ．cos cos b A a B =D ．cos cos cos a b cA B C==【正确答案】B【分析】结合必要不充分条件的定义，利用诱导公式变形判断A ．由正弦定理化边为角变形后判断BCD ．【详解】A B =时，ABC 均成立，D 不一定成立，A.sin cos sin 2A B B π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因为,A B 是三角形内角，所以A B =，A 错误；B.cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos A A B B =，sin 2sin 2A B =，22A B =或22A B π+=，即A B =或2A B π+=，B 正确；C.cos cos b A a B =，则sin cos sin cos =B A A B ，所以tan tan A B =，A B =，C 错；D.cos cos cos a b c A B C ==时，由正弦定理得sin sin sin cos cos cos A B CA B C==，即tan tan tan A B C ==，A B C ==，D 错．故选：B ．关键点点睛：本题考查必要不充分条件的判断，方法是利用必要不充分条件的定义，其中掌握正弦定理是解题的关键．8．在ABC 中，已知2AD DC =，3AC BC =，sin 3sin BDC BAC ∠=∠，当||CA CB AB ⋅- 取得最小值时，ABC 的面积为（）A B C ．38D ．16【正确答案】D【分析】设BC n =，BD m =，在BDC 和ABC 中应用正弦定理可得到13BD AB =，然后利用cos cos BDC BDA ∠=-∠结合余弦定理可得2223m n =，化简||CA CB AB ⋅- 可得当12m =时，取得最小值，最后利用面积公式即可【详解】设BC n =，3AC BC = ，3AC n ∴=，2AD DC =uuu r uuu r Q ，2223AD DC AC n ∴===，在BDC 中，sin sin BC BD BDC C =∠，在ABC 中，sin sin BC ABBAC C=∠，sin sin BAC BD BDC AB∠∴=∠,sin 3sin BDC BAC ∠=∠ ，13BD AB ∴=，设BD m =，3AB m ∴=，πBDC BDA ∠+∠= ，()cos cos πcos BDC BDA BDA ∴∠=-∠=-∠，()222222(2)3222m n m m n n mn m n+-+-∴=-⨯2223n m ∴=，2232n m ∴=，2223m n∴=()222222||3cos 3(3)3193333()23324n n C C n m n m m m A B AB n n C m m n ⋅-=⨯-+-⋅-=-=--⨯= ，当12m =时，||CA CB AB ⋅- 取得最小值，238n ∴=，22222cos 23n n m C n +-== ，又22sin cos 1C C += ，22225sin 1cos 139C C ⎛⎫∴=-=-=⎪⎝⎭∴在ABC 中sin C =213333sin 223283ABC S n n C n ∴=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯= 故选：D.二、多选题9．下列说法错误的是（）（多选）A ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥B ．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C ．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D ．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体【正确答案】ABC选项,A B 不符合棱锥，棱台定义，所以错误；选项C ，会得出棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360︒，构成平面图形，所以错误；选项D ，可推出侧棱与底面垂直，所以正确.【详解】选项A ，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，故A 错误；选项B ，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B 错误；选项C ，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360︒时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C 错误；选项D ，若每个侧面都是长方形则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D 正确.故选:ABC.本题考查多面体的定义，以及结构特征，属于基础题.10．欧拉公式i e cos i sin x x x =+是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A ．复数i e 对应的点位于第二象限B ．πi 2e 为纯虚数C ．πi e 10-=D πi 312【正确答案】BD【分析】利用欧拉公式逐项计算出对应的复数，再判断作答.【详解】对于A ，i cos1i sin1e =+，而sin10,cos10>>，因此复数i e 对应的点(cos1,sin1)位于第一象限，A 错误；对于B ，π2ππe cosisin i 22=+=，因此πi 2e 为纯虚数，B 正确；对于C ，πi e 1cos πi sin π12-=+-=-，C 错误；对于D πi 3ππ11cosisin (i)13322i4e ++=，πi 312，D 正确.故选：BD11．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，已知4b =，6c =，ABC 的面积S 满足()()228b c S a +=+，点O 为ABC 的外心，满足AO AB AC λμ=+ ，则下列结论正确的是（）A ．6S =B ．10CB AO ⋅= C ．AO =D ．2λ=【正确答案】ABD【分析】已知()()228b c S a +=+，结合余弦定理化简求得π6A =，再利用三角形面积公式求出S ，即可判断A ；根据平面向量的混合运算法则，计算CB AO ⋅的值即可判断B ；先利用余弦定理求出a 的值，再根据正弦定理即可判断C ；根据平面向量的混合运算法则，列方程组求出λ和μ的值，即可判断D.【详解】解：对于A，已知()()228b c S a +=+，则()222128sin2b c bc a bc A++-=+⨯⋅，由余弦定理可知2222cosb c a bc A+-=⋅，所以()()2cos14sinbc A bc A+=⋅，即))cos12sin2sin cos1A A A A+=⇒-=，等号两边同时平方，可得()227sin22sin cos cos1A A A A+-++=，则()2227sin22sin cos1cos sinA A A A A+-=-=，即()26sin22sin cos0A A A+-+=，因为sin0A≠，所以()6sin22cosA A+=，则2222sincos3AA+==，即tan A=，因为()0,πA∈，则π6A=，111sin246222S bc A=⋅=⨯⨯=，A选项正确；对于B，()cos cosCB AO AB AC AO AB AO AC AO AB AO OAB AC AO OAC ⋅=-⋅=⋅-⋅=⋅∠-⋅∠，因为点O为ABC的外心，所以1cos2AO AOB AB∠=，1cos2OO A B AA C∠=，则()22221116410222CB AO AB AC⋅=-=⨯-=，B选项正确；对于C，由余弦定理2222cos1636224522a b c bc A=+-⋅=+-⨯⨯=-，由正弦定理22sina R AOA==，则322AO=≠⨯，C选项错误；对于D，因为AO AB ACλμ=+，则2646362AO AB AB AB AC ABλμλμλ⋅=⋅+⋅=⋅+⋅⨯⨯=+，即3618λ+=，所以63λ+=①，同理246416AO AC AB AC AC ACλμλμμ⋅=⋅+⋅=⋅⨯⋅=+，即168μ+=，所以42μ+=②，联立①②，解得23λ=-，22μ=-，D 选项正确；故选：ABD.12．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的是（）A ．20HC OG CD +-=B．2OA HO ⋅=C．BD ED -=D ．AF 在DB上的投影向量为12DB-【正确答案】ACD【分析】结合正八边形的性质，结合平面向量的知识进行解答．【详解】因八卦图为正八边形，故每边所对中心角为45 ，20HC OG CD HC CG CD HG CD +-=+-=-=，A选项正确；cos 452OA HO OA OH OA OH ⋅=-⋅=-⋅=- B 选项错误；BD ED BD DE BE OE OB -=+==- ，()22221211cos13512OE OBOE OB OE OB -=-+=-⨯⨯⨯+=⋅，BD ED -=，C 选项正确；AF 在DB上的投影向量为()()2222OB OD DB DB OB OD OB OD DB DB DB DB OB OD OB OD O OF OA AF OF OF OA OA B OD-⋅⋅⋅⋅-⋅--+⋅=⋅=⋅+⋅⋅--cos180cos90cos 45cos13512cos901DB B DB -+=-⋅==-+，D 选项正确.故选：ACD三、填空题13．已知πsin 65α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是__________．【正确答案】35-/－0.6【分析】由二倍角公式求得πcos(2)3α+，然后由诱导公式求解．【详解】22ππ3cos(2)12sin ()12365αα+=-+=-⨯=，ππππππ3sin(2)sin[(2)sin[(2)]cos(26322335αααα-=+-=--+=-+=-．故35-．14．已知向量a ，b 满足1a =，b = ，a ，b 的夹角为150°，则2a b + 与a 的夹角为______.【正确答案】60︒【分析】根据向量数量积的定义，求得a b ⋅的值，利用平面向量的几何意义和数量积的运算律求得|2|1a b +=、1()22a a b +⋅= ，结合夹角公式计算即可求解.【详解】因为1,a b == a 与b的夹角为150︒，所以3cos1502a b a b ︒⋅==- ，所以()222222|2|2444||||41a b a b a b a b a b a b +=+=+=⋅=+⋅++，得|2|1a b +=，又21()222a a a b a b ⋅=++⋅= ，所以22()1cos ,22a b a a a ba ab ++⋅==+ ，又因为,002,18a a b ︒⎡⎤∈⎣⎦+ ，所以,602a a b ︒+= .故答案为.60︒15．已知长方体的表面积为22，过一个顶点的三条棱长之和为6，则该长方体外接球的表面积为__________.【正确答案】14π【分析】令长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，由已知条件及2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++、外接球半径与各棱的关系得到2r =，应用球体面积公式求面积即可.【详解】令长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，则2()226ab bc ac a b c ++=⎧⎨++=⎩，由2222()22236a b c a b c ab bc ac ++=+++++=，则22214a b c ++=，而长方体外接球半径r =2r =，其表面积274π4π14π2r =⨯=.故14π16．莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形ABC 的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知,A B 两点间的距离为2，点P 为 AB 上的一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值为______．【正确答案】10-【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算将所求式子表示为2322PE - ，再利用三角形的几何意义求解即可.【详解】设D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，如图所示，则()()22()PA PB PC PA PD PE EA PE ED⋅+=⋅+=⋅+ ()()()2222PE EA PE EA PE EA =⋅-=-+ ，在正三角形ABC 中，AD ===所以AE DE ==所以()222()3222PA PB PC PE EA PE -==⋅+- ，因为CE =所以min222PECE =-=-，所以()PA PB PC ⋅+的最小值为：2233222104222PE ⎛-=--=- ⎝⎭.故答案为.10-四、解答题17．已知向量()1,2a x = ，(),3b x = ，()2,0c =-.(1)若()()22a b a c +-∥，求实数x 的值；(2)若()()22a b a c +⊥- ，求实数x 的值.【正确答案】(1)32x =-或2x =(2)42x -+=或42x -=【分析】（1）求出2,2a b a c +-的坐标，再利用向量平行的坐标公式列方程求解即可；（2）求出2,2a b a c +-的坐标，再利用向量垂直的坐标公式列方程求解即可.【详解】（1）()1,2a x = ，(),3b x = ，()2,0c =-，()()212,26,24,4a b x x a c x ∴+=++-=，()()22a b a c+-∥ ()()412426x x x ∴+=+32x ∴=-或2x =；（2）由（1）知()()212,26,24,4a b x x a c x +=++-=，()()22a b a c +⊥- ，()()4124260x x x ∴+++=，解得x =x =18．现需要设计一个仓库，由上下两部分组成，如图所示，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -，正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍．(1)若6m AB =，12m PO =，则仓库的容积（含上下两部分）是多少？(2)若上部分正四棱锥的侧棱长为6m ，当1PO 为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？【正确答案】(1)3312m (2)当1PO =时，正四棱柱侧面积最大，最大为2m 【分析】（1）利用柱体和锥体的体积公式计算；（2）设1m PO x =，正四棱柱侧面积用x 表示，利用基本不等式求最大值.【详解】（1）∵12m PO =，正四棱柱的高1O O 是正四棱锥的高1PO 的4倍，∴18m O O =．所以仓库的容积22316268312m3V =⨯⨯+⨯=（2）若正四棱锥的侧棱长为6m ，设1m PO x =，则14m O O x =，11m A O =，11m A B =．∴正四棱柱侧面积)4406S x x =⋅⋅<<，∴222xS+=≤当且仅当x，即x=2maxmS=．所以当1mPO=时，正四棱柱侧面积最大，最大为2m．19．如图，在平面四边形ABCD中，1BC=，CD=AB BD DA==．(1)若AB=cos ABC∠的值；(2)求四边形ABCD面积的最大值．【正确答案】；(2)【分析】（1）由题可得cos6CBD∠=，然后根据同角关系式及和差角公式求解；（2）根据余弦定理得到24BDθ=-，然后根据三角形面积公式及三角恒等变换，可得π3ABCDSθ⎛⎫=-⎪⎝⎭四边形.【详解】（1）因为1BC=，CD=AB BD DA===，所以在BCD△中，122cos6BCCBDBD∠=，sin6CBD∠=，所以πππcos cos cos cos sin sin333ABC CBD CBD CBD⎛⎫∠=+∠=∠-∠⎪⎝⎭1262612-=⨯-⨯；（2）设BCDθ∠=，()0,πθ∈，在BCD △中，由余弦定理，得2222cos BD BC CD BC CD θ=+-⋅22121θ=+-⨯4θ=-，∵BCD BAD ABCD S S S =+ 四边形11πsin sin 223BC CD BA BD θ=⋅+⋅=21sin 24BC CD BD θ⋅+3cos2θθ=+π3θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()0,πθ∈，当5π6θ=时，四边形ABCD 面积的最大值20．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1AB AA ，的中点．(1)求证：1CE D F DA ，，三线交于点P ；(2)在（1）的结论中，G 是1D E 上一点，若FG 交平面ABCD 于点H ，求证：P ，E ，H 三点共线．【正确答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）连接1A B ，1CD ，可得到1//EF CD 且1EF CD ≠，则EC 与1D F 相交，设交点为P ，则能得到P ∈平面ABCD ，P ∈平面11ADD A ，结合平面ABCD ⋂平面11ADD A AD =，即可得证；（2）可证明P ，E ，H 都在平面1PCD 与平面ABCD 的交线上，即可得证【详解】（1）证明：连接1A B ，1CD ，EF正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1AB AA ，的中点，∴1//EF A B 且1EF A B ≠，∵11//CD A B 且11CD A B =，∴1//EF CD 且1EF CD ≠，∴EC 与1D F 相交，设交点为P ，∵P ∈EC ，EC ⊂平面ABCD ，∴P ∈平面ABCD ；又∵1P FD ∈，1FD ⊂平面11ADD A ，∴P ∈平面11ADD A ，∴P 为两平面的公共点，∵平面ABCD ⋂平面11ADD A AD =，∴P AD ∈，∴1CE D F DA 、、三线交于点P ；（2）在（1）的结论中，G 是1D E 上一点，FG 交平面ABCD 于点H ，则FH ⊂平面1PCD ，∴H ∈平面1PCD ，又H ∈平面ABCD ，∴H ∈平面1PCD ⋂平面ABCD ，同理，P ∈平面1PCD ⋂平面ABCD ，E ∈平面1PCD ⋂平面ABCD ，∴P ，E ，H 都在平面1PCD 与平面ABCD 的交线上，∴P ，E ，H 三点共线．21．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，等到茶水温度降至60℃时再饮用，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min 测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据：时间/min 012345水温/℃100.0092.0084.8078.3772.5367.27设茶水温度从100℃开始，经过min x 后的温度为y ℃，现给出以下三种函数模型：①y kx b =+0k <0x ≥；②x y ka b =+（0k >，01a <<，0x ≥）；③log ()a y x k b =++（1a >，0k >，0x ≥）．(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2min 的数据求出相应的解析式；(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）；(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，试判断进行实验时的室温为多少℃，并说明理由．（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈．）【正确答案】(1)理由见解析，800.920x y =⨯+(2)刚泡好的乌龙茶大约放置6.54min 能达到最佳饮用口感(3)乌龙茶所在实验室的室温约为20℃【分析】（1）根据题意，结合一次函数，指数函数以及对数函数的特点，分析判断即可得到结果，然后将点的坐标代入即可得到解析式；（2）结合（1）中结论，然后代入计算，即可得到结果；（3）根据所选函数模型，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）选择②x y ka b =+（0k >，01a <<，0x ≥）作为函数模型．由表格中的数据可知，当自变量增大时，函数值减小，所以不应该选择对数增长模型③；当自变量增加量为1时，函数值的减少量有递减趋势，不是同一个常数，所以不应该选择一次函数模型①．故应选择②x y ka b =+（0k >，01a <<，0x ≥）将表中前2min 的数据代入，得21009284.8k bka b ka b =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，解得800.920k a b =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以函数模型的解析式为：800.920x y =⨯+．（2）由（1）中函数模型，有800.92060x ⨯+=，即10.92x=，所以0.91log 2x =，即lg 2lg 20.3016.54lg 0.912lg 3120.477x -==≈--⨯，所以刚泡好的乌龙茶大约放置6.54min 能达到最佳饮用口感．（3）由800.920x y =⨯+为减函数，且当x 越大时，y 越接近20，考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，所以乌龙茶所在实验室的室温约为20℃．22．函数()(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为()f x 的图象与x 轴的交点，且ABC 为等边三角形.将函数()f x 的图象上各点的横坐标变为原来的π倍后，再向右平移23π个单位，得到函数()y g x =的图象.（1）求函数()g x 的解析式；（2）若不等式2sin (2)33m x x m π--≤+对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.【正确答案】（1）1()2g x x =（2）3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由题意结合平面几何的知识可得4T =，再由2T πω=即可得ω，再利用三角函数图象变换的规律即可得解；（2）由题意结合诱导公式、同角三角函数平方关系转化条件得2cos cos 30m x m x ++≥在R 上恒成立，令cos ,[1,1]x t t =∈-，按照0m =、0m <、0m >分类，结合二次函数的性质即可得解.【详解】（1）由题意点A ABC 为等边三角形，所以三角形边长为2，所以24T πω==，解得2πω=，所以()23f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上各点的横坐标变为原来的π倍后，得到1()23h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移23π个单位，得到121()sin 2332g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）由题意(2)sin cos 2g x x x ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以22sin (2)sin cos 3m x g x m x m x m π⋅-=-≤+恒成立，原不等式等价于2cos cos 30m x m x ++≥在R 上恒成立.令cos ,[1,1]x t t =∈-，即230mt mt ++≥在[1,1]t ∈-上恒成立，设2()3t mt mt ϕ=++，对称轴12t =-，当0m =时，()30t ϕ=≥成立；当0m <时，min ()(1)230t m ϕϕ==+≥，解得32m ≥-，此时302m -≤<；当0m >时，min 1()30242m mt ϕϕ⎛⎫=-=-+≥ ⎪⎝⎭，解得12m ≤，此时012m <≤；综上，实数m 的取值范围为3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.本题考查了三角函数图象的变换与性质的应用，考查了换元法求最值及恒成立问题的解决方法，属于中档题.。

河南省信阳市数学高一下学期理数期中考试试卷（A)姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2015高二上·邯郸期末) “∀x∈R，x2﹣2＞0”的否定是（）A . ∀x∈R，x2﹣2＜0B . ∀x∈R，x2﹣2≤0C . ∃x0∈R，﹣2＜0D . ∃x0∈R，﹣2≤02. （2分） (2019高三上·浙江期末) 若复数，，其中是虚数单位，则的最大值为（）A .B .C .D .3. （2分）以O为中心，F1 ， F2为两个焦点的椭圆上存在一点M，满足，则该椭圆的离心率为（）A .B .C .D .4. （2分）对于集合M和P，“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分） (2016高二下·昌平期中) 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A . 6n﹣2B . 8n﹣2C . 6n+2D . 8n+26. （2分）已知函数的导函数为 , ,如果 ,则实数x的取值范围为（）A .B . (0, )C . (-1, )D . (-1,1)7. （2分） (2018高二下·河北期末) 将函数图像绕点（1,0）顺时针旋转角得到曲线C，若曲线C仍是一个函数的图像，则的最大值为（）A .B .C .D .8. （2分）已知常数a、b、c都是实数，f(x)=ax3+bx2+cx-34的导函数为f'(x)，f'(x)0的解集为，若f（x)的极小值等于-115，则a的值是（）A .B .C . 2D . 59. （2分） (2016高一上·宜春期中) 函数y=x2+2x﹣4，x∈[﹣2，2]的值域为（）A . [﹣5，4]B . [﹣4，4]C . [﹣4，+∞）D . （﹣∞，4]10. （2分）若抛物线x2=2py的焦点为F（0，2），则p的值为（）A . -2B . 2C . -4D . 411. （2分） (2019高一上·安平月考) 已知函数，则使得的的范围是（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二上·黑龙江期中) 设F1、F2是椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x= 上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·苏州模拟) 若复数z的共轭复数满足，则复数z的虚部是________．14. （1分） (2016高二下·东莞期中) 下列四个命题中正确的有________（填上所有正确命题的序号）①若实数a，b，c满足a+b+c=3，则a，b，c中至少有一个不小于1②若z为复数，且|z|=1，则|z﹣i|的最大值等于2③任意x∈（0，+∞），都有x＞sinx④定积分 dx= ．15. （1分） (2018高二下·邯郸期末) 不等式的解集是________．16. （1分）(2018·全国Ⅰ卷文) 已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a=________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2016高二上·西安期中) 设命题P：实数x满足2x2﹣5ax﹣3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18. （10分）数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．（1）计算a1、a2、a3，并猜想an的通项公式；（2）用数学归纳法证明(1)中的猜想．19. （10分） (2016高二下·静海开学考) 如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．20. （10分）(2020·武汉模拟)（1）研究函数f（x）在（0，π）上的单调性。

河南省信阳市高一下学期期中数学试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） (2020 高一下·辽宁期中) 已知角 的终边过点 （），则的值是A.B.C. 或 D . 随着 k 的取值不同其值不同2. （2 分） 得到的图象只需将A . 向左平移 个单位B . 向右平移 个单位C . 向左平移 个单位D . 向右平移 个单位3. （2 分） (2019 高二上·宜春月考) 如果三点 则（ ）A. B. C. D.的图象（ ），，在同一条直线上，第 1 页 共 16 页4. （2 分） 已知向量 均为单位向量，若它们的夹角 ， 则||等于 （ ）A.B.C. D.45. （2 分） (2018·临川模拟) 将函数 后，所得函数图象关于原点对称，则 的取值可能为（ ）的图象向右平移 个单位A.B.C.D. 6. （2 分） (2016 高二上·河北开学考) 已知 =（3，4）， =（5，12），则 与 夹角的余弦为（ ）A. B.C. D.7. （2 分） 已知 a=sinl，b=tanl，c=tan ， 则 a，b，c 的大小关系正确的是（ ）A . c＜b＜aB . c＜a＜b第 2 页 共 16 页C . a＜v＜bD . a＜b＜c8. （2 分） (2019 高一上·公主岭月考)的大小关系为（ ）A.B.C.D.9. （2 分） sin20°sin10°﹣cos10°sin70°=（ ）A.B.﹣ C.D.﹣10. （2 分） (2017·长春模拟) 已知向量，，若 m+n∈[1，2]，则的取值范围是（ ）（m＞0，n＞0），A.B.C.D.二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)11. （1 分） (2016 高一下·昆明期中) 在△ABC 中，已知 a=7，c=5，B=120°，则△ABC 的面积为________．第 3 页 共 16 页12.（1 分）(2018 高二下·惠东月考) 已知，， 的夹角为 60°，则________.13. （1 分） 函数 y=的最大值是________．14. （1 分） (2015 高三上·上海期中) 若向量 与 夹角为 ，| |=4，（ +2 ）（ ﹣3 ） =﹣72，则| |=________．15. （1 分） (2019 高二下·深圳期中) 已知直线 l 的普通方程为 x+y+1=0，点 P 是曲线上的任意一点，则点 P 到直线 l 的距离的最大值为________．16. （1 分） (2019 高三上·达县月考) 已知函数图象的相邻两条对称轴的距离为 ，且，则三、 解答题 (共 4 题；共 35 分)________.17. （10 分） (2018 高二上·会宁月考) 在已知，，且中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ， .（1） 求 ；（2） 若，且，求 的值.18. （10 分） (2019 高二上·集宁月考) 已知函数.（1） 求的最小正周期；（2） 当时，若，求 的值.19. （10 分） (2017 高三下·武邑期中) 已知向量，．（1） 求函数 f（x）的单调递增区间；，函数（2） 已知 a，b，c 分别为△ABC 内角 A，B，C 的对边，其中 A 为锐角，第 4 页 共 16 页，c=1，且 f（A）=1，求△ABC的面积 S． 20. （5 分） 已知点 A（3，﹣4）与 B（﹣1，2），点 P 在直线 AB 上，且|AP|=2|PB|，求点 P 的坐标．第 5 页 共 16 页一、 选择题 (共 10 题；共 20 分)答案：1-1、 考点： 解析：参考答案答案：2-1、 考点： 解析：答案：3-1、 考点：第 6 页 共 16 页解析： 答案：4-1、 考点：解析： 答案：5-1、 考点： 解析：答案：6-1、 考点： 解析：第 7 页 共 16 页答案：7-1、 考点：解析： 答案：8-1、 考点：第 8 页 共 16 页解析： 答案：9-1、 考点：解析： 答案：10-1、 考点： 解析：第 9 页 共 16 页二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)答案：11-1、 考点：第 10 页 共 16 页解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共35分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：。

2023-2024学年河南省信阳市高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i 是虚数单位，若z =1+i ，则|−z |=( )A. 1B. 0C. 2D.22.若向量AB =(0,1),CD =(m ,−2),AB //CD ，则m =( )A. −1B. 2C. 1D. 03.已知A ，B ，C 是平面直角坐标系内的三点，若AB =(2,1)，AC =(3,−6)，则△ABC 的面积为( )A. 15B. 12C. 152D. 64.曲线y =f (x )与曲线y =cosx 关于x 轴对称，则( )A. f (x )=sinxB. f (x )=−sinxC. f (x )=cosxD. f (x )=−cosx5.若复数z 满足z =i (1+2i )，则z 在复平面上所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6.若函数f (x )=cos(πx +φ)(0<φ<π)的图象关于直线x =13对称，则φ=( )A. π3B. π6C. 2π3D. 5π67.已知函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻两对称轴之间的距离为π，若sinα+f (α)=13，则sin 2α−cos 2α+11+tan α的值为( )A. 49B. −89C. 59D. −598.课本第46页上在用向量方法推导正弦定理采取如下操作：如图1在锐角ΔABC 中，过点A 作与AC 垂直的单位向量j ，因为AC +CB =AB ，所以j ⋅(AC +CB )=j ⋅AB 由分配律，得j ⋅AC +j ⋅CB =j ⋅AB ，即|j ||AC |cos π2+|j ||CB |cos(π2−C )=|j ||AB |cos(π2−A )也即asinC =csinA ．请用上述向量方法探究，如图2直线l与ΔABC的边AB，AC分别相交于点D，E.设AB=c，BC=a，CA=b，∠ADE=θ.则θ与△ABC的边和角之间的等量关系为( )A. acos(B−θ)+bcos(A+θ)=ccosθB. acos(B+θ)+bcos(A−θ)=ccosθC. asin(B−θ)+bsin(A+θ)=csinθD. asin(B+θ)+bsin(A−θ)=csinθ二、多选题：本题共3小题，共18分。

河南省信阳市数学高一下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）设，则之间的关系是（）A .B .C .D .2. （2分）设一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为｛ｘ｜－1≤ｘ≤｝，则ab的值是（）A . －6B . －5C . 6D . 53. （2分） (2018高一下·瓦房店期末) 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（）A . 30°B . 45°C . 150°D . 30°或150°4. （2分）公比为4的等比数列中,若是数列的前项积,则有也成等比数列，且公比为；类比上述结论，相应的在公差为3的等差数列中，若是的前项和，则有一相应的等差数列，该等差数列的公差为（）A . 100B . 200C . 300D . 4005. （2分） (2016高一上·重庆期末) 已知α∈[ ， ]，β∈[﹣，0]，且（α﹣）3﹣sinα﹣2=0，8β3+2cos2β+1=0，则sin（+β）的值为（）A . 0B .C .D . 16. （2分）在等差数列中，，则等差数列的前13项的和为（）A . 24B . 39C . 52D . 1047. （2分） (2018高一上·陆川期末) 已知角在第三象限，且，则（）A .B .C .D .8. （2分）已知首项为1，公比为的等比数列的前项和为，则（）A .B .C .D .9. （2分）在△ABC中，已知，则三角形△ABC的形状一定是（）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等边三角形D . 等腰直角三角形10. （2分）一个等差数列的前4项的和为40，最后4项的和为80，所有项的和是210，则项数n是（）A . 12B . 13C . 14D . 1511. （2分）如图甲,四边形ABCD是等腰梯形,.由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形，则四边形ABCD中度数为（）A .B .C .D .12. （2分）已知等差数列中，，则的值是（）A . 15B . 30C . 31D . 64二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知tan（α+β）=﹣3，tan（α﹣β）=2，则的值为________．14. （1分） (2016高二上·扬州开学考) 设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和．记．设为数列{Tn}的最大项，则n0=________．15. （1分） (2017高一下·景德镇期末) =________．16. （1分） (2019高三上·吉林月考) 如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则 ________.三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高一下·益阳期中) 已知0＜α＜π，tanα=﹣2．（1）求sin（α+ ）的值；（2）求的值；（3）2sin2α﹣sinαcosα+cos2α18. （10分） (2016高一下·河源期末) 已知向量，函数f（x）= • +2．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）设锐角△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（A）=2，，求角A和边c的值．19. （10分）(2017·自贡模拟) 已知数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足，若n∈N*时，anbn+1﹣bn+1=nbn ．（Ⅰ）求{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=anbn ，求{cn}的前n项和Sn ．20. （10分） (2018高一下·苏州期末) 已知函数 .（1）当，时，求满足的的值；（2）若函数是定义在上的奇函数.①存在，使得不等式有解，求实数的取值范围；②若函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数的最大值.21. （10分） (2018高一下·沈阳期中) 如图，在平面直角坐标系中，点在单位圆上，，且（1）若，求的值；（2）若是单元圆上在第二象限的一点，且 .过点作轴的垂线，垂足为，记的面积为，求函数的取值范围.22. （10分） (2017高一下·唐山期末) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且an是2与Sn的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

2022-2023学年河南省信阳市高一下学期期中数学试题一、单选题1．复平面内表示复数（）的点位于（ ）()z i a i =-a<0A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】先化简复数，即可判断表示的点所在的象限.z 【详解】表示的点为，()1z i a i ai=-=+()1,a 因为，所以点位于第四象限，a<0()1,a 故选：D.2．已知向量，且，则实数等于（ ）()()241a m b ==- ，，，()()a b a b-⊥+ mA ．2B ．C ．8D ．12【答案】D 【分析】根据，由求解.()()a b a b -⊥+()()a b a b +⋅-= 【详解】解：因为向量，()()241a m b ==- ，，，所以，()()2,1,6,1a b m a b m -=-++=-因为，()()a b a b -⊥+ 所以，()()()()()26110a b a b m m +⋅-=-⨯++-=解得，即213=m m =故选：D3．“为第一象限角”是“”的（ ）αtan 0α>A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据正切函数在各个象限的符号，结合充分条件、必要条件的概念，即可得出答案.【详解】若为第一象限角则必有；αtan 0α>反之，若，则为第一或第三象限角.tan 0α>α4．在中，若，，则形状为（ ）ABC3sin b B =cos cos A C =ABC A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】首先利用正弦定理化边为角求出的值，再结合，以及三角形的内角和可求出sin A A C =，进而可得正确选项.B ∠【详解】因为,3sin b B =所以,3sin sin B A B =因为0180B <<所以，sin 0B ≠所以或，sin A =60A =120 又因为，,cos cos A C =0180A <<0180C << 所以A C∠=∠所以，，，60A ∠= 60C ∠= 180606060B ∠=--=所以为等边三角形.ABC 故选：C.5．已知，，则（ ）3π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos α=A ．B ．C ．D ．35-354535±【答案】B 【分析】由的范围判断的符号，再由展开计算即可.π4α+πsin(4α+()ππcos cos 44αα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦【详解】因为，所以，则，3π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ,π44α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πsin 04α⎛⎫+>⎪⎝⎭所以πsin 4α⎛⎫+==⎪⎝⎭所以，ππππππ3cos cos cos cos sin sin 4444445αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦6．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变．再把所得曲线向左平移()y f x =13个单位长度，得到函数的图象，则（ ）π4πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x =A ．B ．πsin 312x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭7πsin 312x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．D ．πsin 312x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭7πsin 312x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据三角函数图象变换规律求解析式.【详解】函数的图象向右平移个单位长度，得到，πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π4πππsin sin 4312y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再把所得的曲线所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到.3()πsin 312x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：A.7．八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如）为等腰直角三角形，点为四心，中ACD O 间部分是正方形且边长为2，定点，所在位置如图所示，则的值为（ ）A B AB AO ⋅A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】C【分析】利用转化法得，展开利用向量数量积的定义并代入相关数()()·AB AO AD DB AD DO⋅=++ 据即可.【详解】如图所示：连接，OD因为中间阴影部分是正方形且边长为2，且图中各个三角形为等腰直角三角形，所以可得，，4ADO ODB π∠=∠=||OD = ||4AD = 2ADB π∠=则，()()··AB AO AD DB AD DO =++ 23cos cos44AD AD DO DB AD DB DO ππ=++⋅+.244214⎛=++= ⎝故选：C.8．函数在内恰有两个最小值点，则ω的范围是（ ）()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π7π,44⎛⎫⎪⎝⎭A ．B ．13,47⎛⎤⎥⎝⎦13,37⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．D ．4,43⎛⎤ ⎥⎝⎦4,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】根据正弦型函数的最小值的性质，结合题意进行求解即可.【详解】当时，即时，函数有最小值，π3π2π(Z)42x k k ω+=+∈5π2π4(Z)k x k ω+=∈令时，有，，，，1,0,1,2k =-34πx ω=-5π4x ω=13π4x ω=21π4x ω=因为函数在内恰有两个最小值点，，()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π7π,44⎛⎫⎪⎝⎭0ω>所以有：，π5π4413π7π1334477π21π44ωωωω⎧<⎪⎪⎪<⇒<≤⎨⎪⎪≤⎪⎩故选：B二、多选题9．已知中，，若三角形有两解，则x 不可能的取值是（ ）ABC ,2,45a x b B ===︒A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5【答案】ACD【分析】若三角形有两解，则，结合正弦定理即可求解,sin 1a b A ><【详解】解：因为中，，且三角形有两解，ABC ,2,45a x b B ===︒所以，,sin 1a b A ><由正弦定理得，sin sin a bA B =所以，解得sin sin 1a B A b ===<x <因为，所以，a b >2x >所以，2x <<故选：ACD10．若复数，则（ ）z i =A ．|z |=2B ．|z |=4C ．z 的共轭复数iD ．z 24z =-【答案】AC【分析】根据复数的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.，故A 选项正确，B 选项错误.2=，C 选项正确.z i =，D 选项错误.)22232z ii ==-+=-故选：AC11．下列关于平面向量的命题正确的是( )A ．若∥，∥，则∥a b b c a cB ．两个非零向量垂直的充要条件是：,a b 0a b ⋅= C ．若向量，则四点必在一条直线上AB CD =,,,A B C D D ．向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使()0a a ≠b λb aλ= 【答案】BD【分析】根据向量共线的概念判断A ，根据向量垂直的性质判断B ，根据向量相等和向量概念判断C ，根据向量共线定理判断D ．【详解】对于，当时，不一定成立，A 错误；A 0b =∴对于，两个非零向量，当向量垂直可得，反之也一定有向量垂直，B ,a b ,a b 0a b ⋅= 0a b ⋅= ,a b B 正确；∴对于C ，若向量与方向和大小都相同，但四点不一定在一条直线上，,AB CD AB = CD,,,A B C D 错误；C ∴对于D ，由向量共线定理可得向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使()0a a ≠ bλD 正确．,b a λ=∴故选：BD ．12．关于函数 有以下四个选项，正确的是（ ）()()cos sin 0f x x a x a =+≠A ．对任意的都不是偶函数()0a f x ≠，B ．存在使是奇函数0a ≠，()f x C ．存在使0a ≠，()()πf x f x +=D ．若的图像关于对称，则()f x π4x =1a =【答案】AD【分析】根据辅助角公式将函数化简，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断即可.()f x【详解】因为，其中，，()()cos sin f x x a x x ϕ=+=+1tan a ϕ=ππ22ϕ-<<对于A ，要使为偶函数，则，且，则无解，()f x ππ,2k k ϕ=+∈Z ππ22ϕ-<<即对任意的a ，都不是偶函数，故正确；()f x 对于B ，要使为奇函数，则，且，又，所以不存在a ，使()f x π,k k ϕ=∈Z ππ22ϕ-<<1tan a ϕ=是奇函数，故错误；()f x对于C ，因为，故错误；()()()()ππf x x x f x ϕϕ+=++=+≠对于D ，若的图像关于对称，则，，()f x π4x =πππ42k ϕ+=+k ∈Z 解得，且，所以，即，故正确.ππ,4k k ϕ=+∈Z ππ22ϕ-<<π4ϕ=π1tan 114a a ==⇒=故选：AD三、填空题13．______．cos112.5︒=【答案】【分析】首先由诱导公式求出，再利用二倍角公式计算可得；cos 225︒【详解】解：因为()cos 225cos 18045cos 45︒=︒+︒=-︒=又()2cos 225cos 2112.52cos 112.51︒=⨯︒=︒-=所以2cos 112.5︒=cos112.5︒=因为，所以90112.5180︒<︒<︒cos112.5︒=故答案为：14．已知函数，若，则=__________________() ³sin 2022f x ax b x =++22021f =（）()2f -【答案】2023【分析】由条件可得，即可算出答案.()()4044f x f x -+=【详解】因为，所以，()3sin 2022f x ax b x -=--+()()4044f x f x -+=因为，所以，22021f =（）()22023f -=故答案为：.202315．如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高气度，先在山脚A 处测得山顶C 处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m 的M 处（即），观测到山顶C 处的仰400MD =角为15°，山脚A 处的俯角为45°，则山高___________m.BC=【答案】600【分析】确定，，在中，利用正弦定理计算得到AM =45ACM ∠=︒75MAC ∠=︒MAC △答案.【详解】，则，,，45AMD ∠=︒AM ==451560CMA ∠=︒+︒=︒60CAB ∠=︒故，，18060MAC ∠=︒-︒4575-︒=︒180756045ACM ∠=︒-︒-︒=︒在中，由正弦定理得，即MAC △sin sin AC MA AMC ACM =∠∠sin60AC =︒解得.AC =sin60600BC AC =︒=故答案为：60016．在中，若，，则的最大值为__________．ABC ∆3B π=AC =2AB BC +【答案】【详解】设22sin sin 3AB BC A θθπθ====⎛⎫- ⎪⎝⎭22sin ,3AB πθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，最大值为2sin BC θ=()222sin 4sin 3AB BC πθθθϕ⎛⎫∴+=-+=+ ⎪⎝⎭【解析】解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只需将三角函数化简为的形式()sin cos a b θθθϕ+=+四、解答题17．已知复数满足：.z i 13iz z +=+(1)求复数；z (2)化简：.61i zz +--【答案】(1)34iz =+(2)97i 22+【分析】（1）设复数，根据复数的模的计算公式结合复数相等的定义，列出方()i ,z m n m n =+∈R 程组，求出，从而可得出答案；,m n （2）根据共轭复数的定义结合复数的模的计算公式及复数的除法运算计算即可得解.【详解】（1）解：设复数，()i ,z m n m n =+∈R，()i i 13im n +=+，i 13i n m +=+则，41,33n n m m =⎧=⇒⎨==⎩⎪⎩；34i z ∴=+（2）解：由（1）得，34i z =+则34i 634i 61i 1i z z ++-=+----()()()()34i 1i 34i1i 1i ++=+---+17i 52-+=+.97i 22=+18．已知向量满足.,a b123a b a b ==-= ，，(1)求向量与向量的夹角；a b(2)求向量在向量方向上的投影的模.ba b - 【答案】(1)2π3【分析】（1）根据向量模的计算公式以及夹角公式即可求出；（2）根据投影向量的求解公式即可解出.【详解】（1）由可得，，3a b -=3a b -==229619a a b b -⋅+= 而，所以，，，而，12a b == ，1a b ⋅=-1cos ,2a b a b a b⋅〈〉==-0,πa b ≤〈〉≤所以，向量与向量的夹角为．a b2π3（2）向量在向量方向上的投影的模为：ba b - cos b b a-,=19．已知.22sin 2sin 12αα=-(1)求的值；sin cos cos 2ααα+(2)若，求的值.1(0,),(0,tan()23παπβαβ∈∈+=-2αβ+【答案】(1)15(2)74π【分析】（1）先根据降幂公式得，再对原式构造齐次式结合即可求解.1tan 2α=-1tan 2α=-（2）先求出，再根据角的范围即可确定的值.tan(2=tan(++)1αβααβ+=-）2αβ+【详解】（1）由已知得，所以2sin cos αα=-1tan 2α=-所以2222sin cos cos sin sin cos cos 2sin cos ααααααααα+-+=+.22tan 1tan 1tan 15ααα+-==+（2）因为tan +tan(+)tan(2=tan(++)11tan tan()ααβαβααβααβ+==--+）又，13tan ,0,24πααπαπ=-<<∴<< 同理33,2242ππαβπαβπ<+<∴<+<所以.724παβ+=20．在①，②这两个条件中任选一个，222cos cos sin sin sin B C A A B --=-sin cos 2sin sin cos C C B A A =-补充在下面的横线上，并解答．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足ABC ______．(1)求角C 的大小；(2)若点D 为边BC 上的一点，且AD =3，，，求的面积．BD =AB ACD 【答案】(1)3C π=【分析】(1)分别选择条件①和②，运用正弦定理和余弦定理即可求解；(2)作图，先求 ，再求 ，运用面积公式即可.ADB ∠DAC ∠【详解】（1）选①，因为，222cos cos sin sin sin B C A A B --=-所以，2221sin (1sin )sin sin sin B C A A B ----=-即，222sin sin sin sin sin A B C A B +-=由正弦定理得，222a b c ab +-=由余弦定理，2221cos 22a b c C ab +-==因为，所以；(0,)C π∈3C π=选②，因为，sin cos 2sin sin cos C C B A A =-所以，(2sin sin )cos sin cos B A C C A -=⋅所以，，sin cos sin cos 2sin cos C A A C B C ⋅+⋅=⋅sin 2sin cos B B C =⋅因为，所以，所以，(0,)B π∈sin 0B ≠1cos 2C =因为，所以；(0,)C π∈3C π=（2）由第一问可知，作图如下：3C π=在 中，由余弦定理，ABD△222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-===⨯∠所以，，34ADB π∠=4ADC π∠=在中，由正弦定理，ADC △sinsin AC AD ADC C =∠∠=解得，，AC =54312DAC ππππ=--=∠，5sin sin sin sin cos cos sin 1243434343ππππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；11sin 322ADC S AD AC DAC =⨯⨯∠=⨯=△综上，，三角形ADC .3C π=21．已知()1sin cos ,2cos ,2sin ,sin 2.2a x x b x θθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ (1)若且 时，与的夹角为钝角，求的取值范围；),4(3c =- ()π,0,π4x θ=∈a c cos θ(2)若函数，求的最小值.π3θ=，()f x a b=⋅ ()fx 【答案】(1)；(1,(-⋃(2)12【分析】（1）根据给定条件，利用向量数量积及共线向量的坐标表示列式，求出范围作答.cos θ（2）利用数量积的坐标表示求出函数，再利用换元法结合二次函数性质求解作答.()f x【详解】（1）当时， ，与的夹角为钝角，π4x =)2cos a θ= a c 于是，且与不共线，0a c ⋅< a c则 ，解得，即，8cos 0a c θ⋅=-< cos θ<()0,πθ∈()cos 1,1θ∈-则有，又当与共线时，，解得1cos θ-<<a c 6cos 0θ=cos θ=因此与不共线时，，a c cos θ≠所以的取值范围是.cos θ(1,(-⋃（2）依题意，当时，π3θ=()()1sin cos ,1sin 2)2f x a b x x x =⋅=+⋅，1sin 2cos )sin cos 2x x x x x x x =+=++令，则，πsin cos [4t x x x =+=+∈21sin cos 2t x x -=于是，而函数在上为增函数，()(2211222t f x t -=+=-(2122y t =+-t ⎡∈⎣则当y 有最小值，t =12所以的最小值为()f x 1222．已知函数的部分图像如图所示，若，()4cos cos 1(0)3f x x x πωωω⎛⎫=⋅-- ⎪>⎝⎭288AB BC π⋅=- B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数的解析式；()f x (2)若函数在，上有且仅有三个不同的零点，，，（），求实()y f x m =-130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x 3x 123x x x <<数m 的取值范围，并求出的值．123 cos (2)x x x ++【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)，m ⎡∈⎣12【分析】（1）化简函数为，设函数的周期为T ，得到，()2sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x ,24T AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，再根据求解；,42T BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 288AB BC π⋅=- （2）将问题转化为曲线与在上有且仅有三个不同的交点，设，由()y f x =y m =130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦26t x π=+与求解；再由，，得到求解.2sin y t =y m =12t t π+=233t t π+=12324t t t π++=【详解】（1）解：，)()2cos cos 1f x x x x ωωω=+-，2cos 2cos 1x x x ωωω=⋅+-，2cos 2x x ωω=+，2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭设函数的周期为T ，则，，()f x ,24T AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,42T BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 则，228888T AB BC π⋅=-=- 所以．故，故，T π=22T ππω==1ω=所以．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由题意，函数在上有且仅有三个不同的零点，，，，()y f x m =-130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x 3x 即曲线与在上有且仅有三个不同的交点．()y f x =y m =130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦设，当时，．则，，26t x π=+130,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦7,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2sin y t =7,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则，，，m ⎡∈⎣12t t π+=233t t π+=所以，即，12324t t t π++=12322224666x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即，123523x x x π++=所以．12351cos(2)cos 32π++==x x x。

河南省信阳市高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二下·长治期中) 已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·菏泽模拟) 已知向量，，且，则实数（）A . 1B . -1C .D .3. （2分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 不确定4. （2分）已知命题p:a,b,则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分不必要条件;命题q:已知A,B,C 是锐角三角形ABC的三个内角,向量,,则与的夹角是锐角,则（）A . p假q真B . p且q为真C . p真q假D . p或q为假5. （2分）已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1 ，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝（）A . 35B . 33C . 31D . 296. （2分）在中，若分别为角的对边，且，则有（）A . a,c,b成等比数列B . a,c,b成等差数列C . a,b,c成等差数列D . a,b,c成等比数列7. （2分） (2016高一下·重庆期中) 在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，若a=3，b= ，且A=，则边c的长为（）A . 1+B . 2C . 2D .8. （2分） (2017高二上·西华期中) 已知a、b、c、d成等比数列，且曲线y=x2﹣4x+7的顶点是（b，c），则ad等于（）A . 5B . 6C . 7D . 129. （2分） (2017高二上·宜昌期末) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A，∠B，∠C的大小成等差数列，且a=1，．则∠A的大小为（）A . 或B . 或C .D .10. （2分） (2016高一下·红桥期中) 要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD=120°，CD=40m，则电视塔的高度为（）A . 40mB . 20mC . 305mD . （20 ﹣40）m11. （2分）设数列{an}的前n项和Sn=n2 ，则a8的值为（）A . 15B . 16C . 49D . 6412. （2分）(2020·沈阳模拟) 若实数x，y满足不等式组，则的最大值为（）A . 4B .C . -6D . 6二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·葫芦岛期中) 某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，……，依此规律得到n级分形图．则n级分形图中共有________条线段.14. （1分） (2017高三上·荆州期末) 正△ABC中，在方向上的投影为﹣1，且，则=________．15. （1分） (2019高一下·湖州月考) 如图，△ABC中，AB=AC=2，BC= ，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于________．16. （1分） (2015高三上·上海期中) 数列{an}中，a1=2，且an+1= （a1+a2+a3+…+an），则其前n项和Sn=________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2016高一下·赣州期中) 已知向量，满足：| |=2，| |=4（1）若（）• =﹣20，求向量与的夹角及|3 + |（2）在矩形ABCD中，CD的中点为E，BC的中点为F，设 = ， = ，试用向量，表示，，并求的值．18. （5分）(2017·成都模拟) 如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A= ，∠B= ，AB=6，在AB边上取点E，使得BE=1，连接EC，ED．若∠CED= ，EC= ．（Ⅰ）求sin∠BCE的值；（Ⅱ）求CD的长．19. （10分） (2019高二上·上海月考) 已知数列的前项和为，是等差数列，且 .（1）求数列的通项公式；（2）求的最大项的值，并指出是第几项.20. （10分）设的对边分别为且为锐角，问：（1）证明： B - A = ，（2）求 sin A + sin C 的取值范围（1）（1）证明：（2）（2)求的取值范围21. （10分）(2016·新课标I卷文) 已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2= ，anbn+1+bn+1=nbn ．（1）求{an}的通项公式；（2）求{bn}的前n项和．22. （10分）已知向量，互相垂直，其中；（1）求tan2θ的值；（2）若，求cosφ的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

河南省信阳市高一下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·西宁月考) 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1－ACD的体积是（）A .B .C .D . 12. （2分） (2018高二上·浙江期中) 若圆台两底面周长的比是，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是（）A .B .C .D .3. （2分）如图所示，用符号语言可表达为（）A .B .C .D .4. （2分）下列命题正确的是（）A . 若两条直线与同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B . 若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面C . 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D . 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行5. （2分）如图所示的斜二测直观图表示的平面图形是（）A . 平行四边形B . 等腰梯形C . 直角梯形D . 长方形6. （2分）(2020·淮南模拟) 如图，一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为5 cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为（）A .B .C .D .7. （2分）圆心为（1，﹣2），半径为4的圆的方程是（）A . （x+1）2+（y﹣2）2=16B . （x﹣1）2+（y+2）2=16C . （x+1）2+（y﹣2）2=4D . （x﹣1）2+（y+2）2=48. （2分） (2017高一下·蠡县期末) 在正方体中，直线与平面所成的角为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°9. （2分） (2018高二上·南昌期中) 若直线与平行，则的值为（）A . －3B . 1C . 0或－D . 1或－310. （2分）(2017·河北模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A . 16+8B . 16+4C . 48+8D . 48+411. （2分）(2017·邯郸模拟) 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A . 12B . 15C . 18D . 2112. （2分）过点且倾斜角为的直线方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·安平期末) 若直线l1：ax+（1﹣a）y=3与l2：（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则实数a的值为________．14. （1分）(2016·新课标Ⅲ卷理) 已知直线l：mx+y+3m﹣ =0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B 分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2 ，则|CD|=________．15. （1分）(2017高一下·定州期末) 若点P在圆上，点Q在圆上，则|PQ|的最小值是________．16. （1分）一个正方体的六个面上分别标有字母A ， B ， C ， D ， E ， F ，下图是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分） (2019高二上·长春月考) 求满足条件：过直线和直线的交点，且与直线垂直的直线方程.18. （10分） (2017高二上·武清期中) 已知三点A（1，2），B（﹣3，0），C（3，﹣2）．（1）求证△ABC为等腰直角三角形；（2）若直线3x﹣y=0上存在一点P，使得△PAC面积与△PAB面积相等，求点P的坐标．19. （10分） (2017高二上·钦州港月考) 已知以点为圆心的圆与直线相切.（1）求圆A的方程；（2）过点的直线l与圆A相交于M、N两点,当时，求直线l方程．20. （5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1 ，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1=4，E为AA1的中点，F为BC的中点求证：直线AF∥平面BEC121. （10分）已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠B= ，DC=2AB=2BC=2 ，以直线AD为旋转轴旋转一周的都如图所示的几何体．（1）求几何体的表面积；（2）求几何体的体积．22. （5分）已知几何体的三视图如图，①指出该几何体形状；②求它的表面积和体积．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、。

河南省信阳高级中学2023-2024学年高一下学期5月期中测试数学试题（二）一、单选题1．下列结论正确的是（ ）A ．底面是正方形的棱锥是正四棱锥B ．绕直角三角形的一条边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥C ．有两个面是四边形且相互平行，其余四个面都是等腰梯形的几何体是四棱台D ．棱台的所有侧棱所在直线必交于一点2．设,,a b c r r r 是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的是（ ） A ．()()a b c b c a ⋅=⋅r r r r r r B ．a b a b ⋅≤⋅r r r rC ．()()a b c b c a ⋅-⋅r r r r r r 与b r 垂直 D ．a b a b -≤-r r r r 3．下列概率模型，其中属于古典概型的是（ ）A ．在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点 B ．某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环， (10)C ．某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲D ．一只使用中的灯泡寿命长短4．如图，一个水平放置的平面图形的直观图A B C D ''''是边长为2的菱形，且2O D ''=，则原平面图形的周长为（ ）A ．4B ．4C ．D ．85．下列命题中是真命题的是（ ）A ．一组数据2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同；B ．有A 、B 、C 三种个体按312：：的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体数为9，则样本容量为30；C ．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲；D ．一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的80%分位数为4．6．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A =“甲击中靶”，事件B =“乙击中靶”，事件E =“靶未被击中”，事件F =“靶被击中”，事件G =“恰一人击中靶”，对下列关系式（A 表示A 的对立事件，B 表示B 的对立事件）：①E AB =，②F AB =，③F A B =+，④G A B =+，⑤G AB AB =+，⑥()()1P F P E =-，⑦()()()P F P A P B =+．其中正确的关系式的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．祖暅，又名祖暅之，是我国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之的儿子.他在《级术》中提出“幂势既同，则积不容异”的结论，其中“幂”是面积.“势”是高，意思就是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任一平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等（如图①）.这一原理主要应用于计算一些复杂几何体的体积，若某艺术品如图②所示，高为40cm ，底面为边长20cm 的正三角形挖去以底边为直径的圆（如图③），则该艺术品的体积为（ ）A ．31000cm 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．32000cm 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．32000cm 9π⎫⎪⎪⎝⎭D ．31000cm 9π⎫-⎪⎪⎝⎭8．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，若点,E F 分别满足23AE AB =u u u r u u u r ，23AF AC =u u u r u u u r ，平面11EB C F 将三棱柱分成体积为12,V V 的两部分，则12:V V =（ ）A ．19:8B ．2:1C ．17:10D ．16:11二、多选题9．已知复数34i z =+，则（ ）A ．z 的共轭复数是34i -B ．2z 对应的点在第二象限C ．i z z =D ．若复数0z 满足01z z -=，则0z 的最大值是610．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ）A ．如果m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，那么α⊥βB ．如果m ⊂α，α∥β，那么m ∥βC ．如果α∩β＝l ，m ∥α，那么m ∥lD ．如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β 11．已知ABC V 内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c O 为ABC V 的重心，1cos ,25A AO ==，则（ ） A ．1144AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r B ．3AB AC ⋅≤u u u r u u u rC ．ABC V 的面积的最大值为D ．a 的最小值为12．正方体ABCD -1111D C B A 的棱长为a ，E 在棱11A B 上运动(不含端点)，则（ ）A ．侧面11AA D D 中不存在直线与DE 垂直B ．平面1A DE 与平面ABCD 所成二面角为π4C ．E 运动到11A B 的中点时，1AC 上存在点P ，使BC ∥平面AEPD ．P 为1AC 中点时，三棱锥1E PBC -体积不变三、填空题13．福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为．14．已知1e u r ，2e u u r 为平面内向量的一组基底，122a e e λ=+r u r u r ，()121b e e λ=++r u r u u r ，若a b r r ∥，则λ=.15．已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面,,1,ABC AB BC AB BC ⊥=若球O 的体积为4π3，则SA =. 16．如图所示，某旅游景区的B ，C 景点相距2km ，测得观光塔AD 的塔底D 在景点B 的北偏东45°，在景点C 的北偏西60°方向上，在景点B 处测得塔顶A 的仰角为45°，现有游客甲从景点B 沿直线去往景点C ，则沿途中观察塔顶A 的最大仰角的正切值为.（塔顶大小和游客身高忽略不计）四、解答题17．已知关于x 的方程2320x ax a -+=，a ∈R .(1)当1a =时，在复数范围内求方程的解；(2)已知复数2i z a =+，若方程2320x ax a -+=有虚根，求z 的模的取值范围.18．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且a b c b c a b c-+=+-. (1)求A ；(2)若b c -=，证明：ABC V 是直角三角形. 19．为了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施．某影院为回馈顾客，拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满200元的顾客进行减免，规定每人在装有4个白球、2个红球的抽奖箱中一次抽取两个球．已知抽出1个白球减20元，抽出1个红球减40元． （1）求某顾客所获得的减免金额为40元的概率；（2）若某顾客去影院充值并参与抽奖，求其减免金额低于80元的概率．20．树人中学男女学生比例约为2:3，某数学兴趣社团为了解该校学生课外体育锻炼情况（锻炼时间长短（单位：小时）），采用样本量比例分配的分层抽样，抽取男生m 人，女生n 人进行调查.记男生样本为12,,,m x x x ⋅⋅⋅，样本平均数、方差分别为21,x s ；女生样本为12,,,⋅⋅⋅n y y y ，样本平均数、方差分别为22,y s ；总样本平均数、方差分别为2,w s .(1)该兴趣社团通过分析给出以上两个统计图，假设两个统计图中每个组内的数据均匀分布，根据两图信息分别估计男生样本、女生样本的平均数；(2)已知男生样本方差21 5.5s =，女生样本方差225.7s =，请结合（2）问的结果计算总样本方差2s 的估计值.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD V 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，,4,6PA CD CD AD ⊥==.(1)设,G H 分别为,PB AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ；(2)求证：PA ⊥平面PCD ；(3)求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值. 22．如图，已知ABC V 是边长为2的正三角形，点1P 、2P 、3P 是BC 边的四等分点.(1)求11AB AP AP AC ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 的值；(2)若P 为线段3AP 上的动点，求PA PC ⋅u u u r u u u r 的最小值，并指出当PA PC ⋅u u u r u u u r 取最小值时点P 的位置.。

2023-2024学年信阳市光山县高一数学（下）期中考试卷（分值：150分时间：150分钟）2024年4月一、单选题：本题共8道小题，每一题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．复数z 满足()1i 1i z +=-，则z 的模等于（）A ．1-B ．0C ．1D 2．已知521log 2,log ,2ba b a c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A ．c b a >>B ．c a b >>C ．a b c >>D ．b c a>>3．若1a >，则11a a +-的最小值是（）A ．2B ．aC ．3D ．44．如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP AB AE λμ=+，则λμ+=（）A ．3B ．52C ．2D ．15．已知幂函数()()()22344Z nnf x n n xn -=+-∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为（）A ．5-B ．2C ．1D ．5-或16．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A B C D 7．如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，2AD =，3BC =，P 是线段AB 上的动点，则2PC PD +的最小值为（）A ．B ．5C ．D ．78．已知函数()()22,20221,0log x x f x x x x +-<≤⎧⎪=-+>⎨⎪⎩，若函数()()()()()()()2[]1g x f f x a f f x a a R=-+⋅+∈恰有8个不同零点，则实数a 的取值范围是()A ．()0,1B ．[]0,1C ．()0,∞+D ．[)0,∞+二、多选题：本题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分.9．用一个平面去截一个三棱柱，可以得到的几何体是（）A ．四棱台B ．四棱柱C ．三棱柱D ．三棱锥10．已知()(),1,2,a t b t ==，则下列说法正确的是（）A ．||a的最小值为1B ．若a b ⊥，则0=tC ．若1t =，与a垂直的单位向量只能为⎝⎭D ．若向量a与向量b 的夹角为钝角，则t 的取值范围为(),0∞-11．已知函数()sin cos sin 2f x x x x =-+，则下列选项正确的是（）A ．π是函数()f x 的一个周期B ．π4x =-是函数()f x 的一条对称轴C ．函数()f x的最大值为541D ．函数()f x 在35π,π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减三、填空题：本题共3道小题，每小题5分，共15分12．如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形，如果三棱柱的体积，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为13．设向量a 、b 满足6a = ，3b = ，且12a b ⋅=- ，则向量a 在向量b 方向上的投影向量是.14．设O 为ABC 内一点，且满足关系式2332OA OB OC AB BC CA →→→→→→++=++，则::BOC AOB COA S S S =．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答莹写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示．（1）求此几何体的表面积；（2）如果点,P Q 在直观图中所示位置，P 为所在母线中点，Q 为母线与底面圆的交点，求在几何体表面上，从P 点到Q 点的最短路径长．16．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC 面积为2，求b ．17．已知向量,a b 满足1,2,2a b a b ==-= .(1)求向量,a b的夹角；(2)求向量3a b + 与a的夹角的余弦值.18．如图，在ABC 中，已知2AB =，4AC =，BAC ∠为锐角，E 是线段AC 的中点，D 在线段BC 上，且3BD DC =，AD ，BE 相交于点P ，ABC 的面积为(1)求AD 的长度；(2)求DPE ∠的余弦值．19．某公园拟对一扇形区域AOB 进行改造，如图所示，平行四边形OMPN 为休闲区域，阴影部分为绿化区，点P 在弧AB 上，点M ，N 分别在OA ，OB 上，且100OA =米，π3AOB ∠=，设POB θ∠=.(1)请求出顾客的休息区域OMPN 的面积S 关于θ的函数关系式，并求当θ为何值时，S 取得最大值，最大值为多少平方米？(2)设OP xOA yOB =+，求22x y +的取值范围.1．C【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得i z =-，进而求得复数z 的模，得到答案.【详解】由()1i 1i z +=-，可得()()()()1i 1i 1i i 1i 1i 1i z ---===-++-，所以1z =.故选：C.2．B【分析】判断出01a <<，0b <，1c >，即可求解.【详解】555log 1log 2log ,0151a a <=<∴<=<22log log 10b a =<= ，故0b <；1122bc ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1c >，故c a b >>.故选：B.3．C【解析】由111111a a a a +=-++--，根据基本不等式，即可求出结果.【详解】因为1a >，所以10a ->，则11111311a a a a +=-++≥+=--，当且仅当111a a -=-，即2a =时取等号.故选：C.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．B【分析】以向量,AB AD uu u r uuu r为基底，将,AP AE 分别表示出来，可得到关于,λμ的方程，即可求出λ和μ.【详解】由题知12AP AD DP AD AB =+=+,AE AD DE AD AB =+=- ,AP AB AE l m =+ ,()12AD AB AB AD AB l m \+=+- ，()12AB AD AB AD l m m \+=-+,121l m m ì-=ï\íï=î,解得321λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩，52l m \+=.故选：B.【点睛】本题考查向量的线性运算、向量的基本定理，属于基础题.5．C【分析】根据幂函数的概念得2441n n +-=即5n =-或1n =，再根据性质可得1n =时符合题意.【详解】因为()()()22344Z nnf x n n xn -=+-∈为幂函数，所以2441n n +-=，得5n =-或1n =，当5n =-时，()40f x x =为偶函数关于y 轴对称，且在()0,∞+上单调递增，不满足题意；当1n =时，()2f x x -=，偶函数关于y 轴对称，且在()0,∞+上单调递减，满足题意，故选：C 6．C【分析】设,CD a PE b ==，利用212PO CD PE =⋅得到关于,a b 的方程，解方程即可得到答案.【详解】如图，设,CD a PE b ==，则PO ==由题意212PO ab =，即22142a b ab -=，化简得24(210b b a a -⋅-=，解得154b a +=（负值舍去）.故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.7．D【分析】如图，以B 点为坐标原点，建立平面直角坐标系，所以()0,P x ，()3,0C ，()2,D a ，分别表示出()3,PC x =- ，()2,PD a x =-，再由向量的模长公式代入即可得出答案.【详解】如图，以B 点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设AB a =，()0BP x x a =≤≤，因为2AD =，3BC =，所以()0,P x ，()3,0C ，()2,D a ，所以()3,PC x =- ，()2,PD a x =-，()24,22PD a x =- ，所以()27,23PC PD a x +=-，所以27PC PD + ，所以当230a x -=，即23x a =时，2PC PD +的最小值为7，故选：D ．8．A【分析】利用十字相乘法法进行因式分解，然后利用换元法()t f x =，作出()f x 的图象，利用数形结合判断根的个数即可，【详解】由()()()()()()2[]10g x f f x a f f x a =-+⋅+=得()()()(1[0,f f x f f x a ⎡⎤⎤--=⎦⎣⎦则()()1f f x =或()()f f x a =，作出()f x 的图象如图，则若()1f x =，则0x =或2x =，设()t f x =，由()()1f f x =得()1f t =，此时0t =或2t =，当0t =时，()0f x t ==，有两个根，当2t =时，()2f x t ==，有1个根，则必须有()()f f x a =，()1a ≠有5个根，设()t f x =，由()()f f x a =得()f t a =，若0a =，由()0f t a ==得1t =-，或1t =，()1f x =-有一个根，()1f x -=有两个根，此时有3个根，不满足条件．若1a >，由()f t a =得2t >，()f x t =有一个根，不满足条件．若0a <，由()f t a =得21t -<<-，()f x t =有一个根，不满足条件．若01a <<，由()f t a =得110t -<<，或201t <<或，201t <<，当110t -<<时，()1f x t =，有一个根，当201t <<时，()2f x t =，有3个根，当312t <<时，()3f x t =，有一个根，此时有1315++=个根，满足条件．故01a <<，即实数a 的取值范围是()0,1，故选A ．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为两个函数的图象交点个数，结合数形结合以及利用分类讨论的思想是解决本题的关键.综合性较强，难度较大．已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题．9．BCD【分析】根据棱柱，棱锥和棱台的定义结合图形分析判断即可【详解】如图三棱柱111ABC A B C -，连接11,BC AC ，则可得平面1ABC 截三棱柱，得到一个三棱锥1C ABC -，所以D 正确，若用一个平行于平面11BCC B 的平面去截三棱柱，如图平面DEFG ，则得到一个三棱柱和一个四棱柱，所以BC 正确，因为四棱台的上下底面要平行，所以要得到四棱台，则截面要与三棱柱的上下底面相交，而四棱台的侧棱延长后交与一点，棱柱的侧棱是相互平行的，所以用一个平面去截一个三棱柱，不可能得到一个四棱台，所以A 错误，故选：BCD10．AB【分析】对A ：根据模的运算公式代入计算，利用二次函数性质即可判断；对B ：利用向量垂直的坐标运算性质即可判断；对C ：举反例即可判断；对D ：根据向量夹角是钝角，得到0||||a b a b ⋅< 且向量a与向量b不反向共线，即可判断．【详解】对A：||a0=t 时，||a 取最小值1，故A 正确；对B ：若a b ⊥，则20t t +=，解得0=t ，故B 正确；对C ：若1t =,()1,1a =，易知⎝⎭也是与a垂直的单位向量，故C 错误；对D ：若a 与b的夹角为钝角，则cos ,0a b a b a b ⋅=< ，且向量a与向量b 不反向共线，即220t -≠，解得0t <且t ≠，故D 错误；故选：AB ．11．ABC【分析】利用函数周期性及对称性的定义可得A 、B，使用换元法，令π0,4t x ⎛⎫⎡=-∈ ⎪⎣⎝⎭，可得21y t t =-++，结合复合函数单调性可得C 、D.【详解】对A ：()()()()πsin πcos πsin 2πsin cos sin 2f x x x x x x x +=+-+++=-+，故π是函数()f x 的一个周期，故A 正确；对B ：()ππππsin cos sin 2sin cos sinπ22222f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-----+--=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin cos sin 2x x x =-+，故π4x =-是函数()f x 的一条对称轴，故B 正确；对C 、D ：令sin cos x x t -=，有2sin 21x t =-，因为[]sin 21,1x ∈-，所以[]20,2t ∈，则2215sin cos sin 2124y x x x t t t ⎛⎫=-+=-++=--+ ⎪⎝⎭，由π0,4t x ⎛⎫⎡=-∈ ⎪⎣⎝⎭，则函数()f x 的最大值为541，故C 正确；函数()f x 由21y t t =-++和sin cos t x x =-复合而成，函数21y t t =-++在⎡⎣上先增后减，π4t x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，且t ⎡∈⎣，则函数()f x 在3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是单调递减，故D 错误.故选：ABC.12．16.π【分析】先根据三棱柱的体积求圆柱的底面半径与母线长，再根据圆柱的侧面积求结果.【详解】设圆柱的底面半径为,r 母线为2l r =,由三棱柱的体积得232)24r r =∴=，因此圆柱的侧面积为22216.rl r r πππ=⋅=【点睛】若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．关键是求出高.13．43b - 【分析】利用投影向量的公式，即可求解.【详解】向量a 、b满足6a = ，3b = ，且12a b ⋅=- ，则向量a 在向量b方向上的投影向量为1214333a b b bb b b⋅--⋅=⨯=.故答案为：43b - .14．3:2:1【分析】由题意将已知中的向量都用O 为起点来表示，从而得到32=0OA OB OC →→→→++，分别取AB AC 、的中点为D E 、，可得2OD EO →→=，利用平面知识可得S △AOB 与S △AOC 及S △BOC 与S △ABC 的关系，可得所求.【详解】∵23323()2()()OA OB OC AB BC CA OB OA OC OB OA OC →→→→→→→→→→→→++=++=-+-+-，∴32=0OA OB OC →→→→++，∴2+2=0OA OB OC OA →→→→→++，分别取AB AC 、的中点为D E 、，∴2OD EO →→=，∴11212233AOB ABF ABC ABC S S S S ==⨯= ；11112236AOC ACF ABC ABC S S S S ==⨯= ；12BOC ABC S S =.∴111::::3:2:1236BOC AOB COA ABC ABC ABC S S S S S S == 故答案为：3:2:1．15．（1）)25a π；（2）【分析】（1）根据几何体的组成，应用圆锥、圆柱侧面积及底面积的求法，求几何体的表面积.（2）将,P Q 所在的平面，延两点所在的母线剪开平展，应用平面图形的性质及勾股定理求P 到Q 的最短路径长．【详解】（1）由题设，此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和．圆锥侧面积())21122S a a π=⨯⨯；圆柱侧面积()()22224S a a a ππ=⨯=；圆柱底面积23S a π=，∴几何体表面积为)222212345S S S S a a a a πππ=++=++=+．（2）沿P 点与Q 点所在母线剪开圆柱侧面，展开如图．则PQ ===．∴P 、Q 两点间在侧面上的最短路径长为16．（1）1517；（2）2．【详解】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简()sin A C +，利用降幂公式化简28sin2B ，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；（2）由（1）可知8sin 17B =，利用三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b .试题解析：（1）()2sin 8sin2BA C +=，∴()sin 41cosB B =-，∵22sin cos 1B B +=，∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =；（2）由（1）可知8sin 17B =，∵1sin 22ABC S ac B =⋅=，∴172ac =，∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=，∴2b =．17．(1)2π3(2)277【分析】（1）将2a b -=（2）求出向量3a b + 与a 的数量积，求得3a b +的模，根据向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】（1）由2a b -= 2|2|12a b -= ，即224412a a b b -⋅+= ，故4412cos ,412a b -⨯⨯〈〉+=，则1cos ,2a b 〈〉=- ，而,[0,π]a b 〈〉∈ ，所以2π,3a b 〈〉= ；（2）22π(3)3312cos 3123a b a a a b +⋅=+⋅=+⨯⨯=-= ，3a b +====所以(3)cos 3,|3|||a b a a b a a b a +⋅〈+〉===+18．(1)2=AD 【分析】（1）由面积公式求出BAC ∠，依题意可得1344AD AB AC =+，根据数量积的运算律及定义计算可得；（2）用AB 、AC 表示BE ，再根据cos AD BE AD DPE BE∠=⋅⋅uuu r uu u ruuur uu u r 计算可得.【详解】（1）因为11sin 23sin 22ABC S AB AC BAC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯∠=V所以sin BAC ∠BAC ∠为锐角，所以60BAC ∠=︒，因为D 在线段BC 上，且3BD DC =，所以()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，所以2222131934416168AD AB AC AB AC AB AC⎛⎫=+=++⋅ ⎪⎝⎭2219314324241616824=⨯+⨯+⨯⨯⨯=，所以432AD =，即2=AD .（2）因为E 是线段AC 的中点，所以12BE BA AE AB AC =+=-+，所以2BE =uu u r ，又131442AD BE AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uuu r uu u ruu ur uuur uu u ruuur2213554882AB AC AC AB =-+-⋅=uu ur uuu r uuu r uu u r ，所以52cos AD BE AD BE DPE ⋅=⋅∠=uuu r uu u ruuu r uu u r ，所以DPE ∠的余弦值为86．19．(1)π)6S θ=+-π6θ=时，max S ；(2)2[,1)3.【分析】（1）由正弦定理、三角形面积公式以及三角恒等变换可得S 关于θ的函数关系式，进一步由三角函数性质即可求解.（2）由平面向量基本定理首先得πsin()3,x y θθ==-，由此结合三角恒等变换转换为求三角函数范围问题即可.【详解】（1）连接OP，依题意，π3AOB ∠=，POB θ∠=，//PN MO ，100OP OA t ===，在OPN 中，2ππ,33ONP OPN θ∠=∠=-，由正弦定理得sin sin ON OP OPN ONP =∠∠，即π2πsin()sin 33ON OPθ=-，则πsin 3ON θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π03θ<<，则顾客的休息区域面积2π2sin sin sin 33OPN S S OP ON t θθθ⎛⎫==⋅⋅=- ⎪⎝⎭21sin sin 2θθθ⎫=-⎪⎪⎝⎭)2221cos 2cos sin 22θθθθθ⎫-=-=-⎪⎪⎝⎭2π1sin 262θ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由π03θ<<，得ππ5π2666θ<+<，则当ππ262θ+=，即π6θ=时，顾客的休息区域面积S 取得最大值，且最大值为2max S =平方米.（2）由（1）π2πsin sin()sin33ON OP PNθθ==-，100OP OA t ===，所以πsin ,sin 3ON OM PN θθ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，依题意，OP xOA yOB OM ON =+=+，则πsin()3,x y θθ==-，所以22222243145sin 33[sin sin )](sin cos cos )3223424x y θθθθθθθ+=+-=-+()()453342311cos 2sin 21cos 2sin 2cos 238483322θθθθθ⎡⎤⎛⎫=--++=-+ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭42πsin 2336θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由π03θ<<，得ππ5π2666θ<+<，则π12π21sin(2)(,1],sin(2)[,)623633θθ+∈-+∈--，所以2242π2sin(2)[,1)3363x y θ+=-+∈.【点睛】关键点睛：关键是熟悉三角变换公式，熟练进行三角恒等变换，再借助三角函数性质示解.。

2023-2024学年河南省信阳市高一下册期中考试数学模拟试题一、单选题1．集合{}2230A x x x =--<，{}2,1,0,2,4B =--，则()R A B = ð（）A ．{}2,1,4--B ．{}1,2-C ．{}2,4-D ．∅【正确答案】A【分析】解一元二次不等式得集合A ，再根据集合的补集、交集运算即可.【详解】因为{}{}223013A x x x x x =--<=-<<，所以R {1A x x =≤-ð或3}x ≥，又{}2,1,0,2,4B =--，所以(){}R 2,1,4A B ⋂=--ð．故选：A ．2．已知命题p ：x ∀∈R ，20x <，则p ⌝是（）A ．x ∀∈R ，20x ≥B ．0x ∃∈R ，200x ≥C ．x ∀∉R ，200x ≥D ．0x ∃∈R ，200x >【正确答案】B【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解.【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，命题p ：x ∀∈R ，20x <．所以p ⌝是0x ∃∈R ，200x ≥．故选：B ．3．已知i 为虚数单位，复数112z i =+，22i z =-，则（）A ．1z 的共轭复数为12i -+B ．1z 的虚部是2iC ．12z z +为实数D ．1243iz z =+【正确答案】D【分析】根据复数的概念、共轭复数的概念、复数的乘法运算一一判定即可.【详解】对于A ，112z i =+，112i z =-，故A 错误；对于B ，1z 的虚部是2，故B 错误；对于C ，123i z z +=+为虚数，故C 错误；对于D ，()()21212i 2i 2i 4i 2i 43i z z ⋅=+-=-+-=+，故D 正确．故选：D ．4．设点,,A B C 不共线，则“AB AC BC +< ”是“AB与AC 的夹角为钝角”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据向量的运算结合充要条件分析判断.【详解】设AB与AC 的夹角为θ，当AB AC BC +<时，因为AB AC BC C AB A +<=-uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r ，可得222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅<+-⋅ ，整理得0AB AC ⋅<，即cos 0AB AC θ⋅⋅< ，则cos 0<θ，且点,,A B C 不共线，所以AB与AC 的夹角为钝角；当AB与AC 的夹角为钝角时，则cos 0AB AC AB AC θ⋅=⋅⋅< ，所以222222AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅<+-⋅，可得AB AC A AC B +<- ，即AB AC BC +< ；所以“AB AC BC +< ”是“AB 与AC 的夹角为钝角”的充分必要条件．故选：C ．5．下列说法正确的是（）A ．过空间中的任意三点有且只有一个平面B ．三棱柱各面所在平面将空间分成21部分C ．空间中的三条直线a ，b ，c ，如果a 与b 异面，b 与c 异面，那么a 与c 异面D ．若直线a 在平面α外，则平面α内存在直线与a 平行【正确答案】B【分析】根据不共线的三点可确定平面，即可判断A ；根据分别乘法计数原理即可判断B ；根据异面直线的概念即可判断C ；根据线面关系即可判断D.【详解】A ：当空间中的三点共线时，不能确定平面，故A 错误；B ：三棱柱的3个侧面将空间分成7部分，两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分，所以三棱柱各面所在的平面将空间分成7321⨯=个部分，故B 正确；C ：空间中直线a 、b 、c ，若a 与直线b 异面，b 与c 异面，则a 与c 可能异面，也可能共面，故C 错误；D ：由直线a 在平面α外可知，//a α或a 与α相交.若//a α，则α内存在一条直线与直线a 平行；若a 与α相交，则α内不存在直线与直线a 平行，故D 错误.故选：B.6．函数()()sin 2f x x ωϕ=+（x ∈R ，0ω>，0πϕ≤<2）的部分图像如图，则（）A ．π8ω=，5π4ϕ=B ．π8ω=，π4ϕ=C ．π4ω=，π4ϕ=D ．π6ω=，π6ϕ=【正确答案】B【分析】根据图象求得周期，则得到π8ω=，再代入点()1,1，结合ϕ的范围即可得到ϕ值.【详解】由题意可知，函数的周期为()4318T =⨯-=，π22T ω=，则π8ω=；函数的图象经过()1,1，所以π1sin 4ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ2π42k ϕ+=+，π2π4k ϕ=+，k ∈Z ．因为0πϕ≤<2，所以当0k =时，π4ϕ=．故选：B ．7．设112y x x=+-，[)1,2x ∈，则y 的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B 【分析】将代数式112x x +-与()122x x +-⎡⎤⎣⎦相乘，展开后利用基本不等式可求得y 的最小值.【详解】()11112222222x x y x x x x x x -⎛⎫⎛⎫=+-+=++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎝⎭，因为[)1,2x ∈，所以20x ->，则121222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-++≥= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当且仅当22x xx x-=-，即1x =时取等号，所以y 的最小值为2．故选：B.8．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△ABC ，若2EF =，13cos 14ACF ∠=，则ABC S = （）A ．494BC ．492D．2【正确答案】B【分析】求得AFC ∠，sin ACF ∠，设出AF 长度，利用正弦定理可得AC 与AF 的等量关系，再用余弦定理，即可求得,AF AC ，再求三角形面积即可.【详解】在ACF △中，18060120AFC ∠=︒-︒=︒，因为13cos 14ACF ∠=，所以sin 14ACF ∠==，设AF CE t ==（0t >），则2CF t =+，由正弦定理可知，sin sin AF ACACF AFC=∠∠142=，则73AC t =，在ACF △中，2222cos AC AF CF AF CF AFC =+-∠，()()22249122292t t t t t ⎛⎫=++-+⨯- ⎪⎝⎭，又0t >，则3t =，故773AC t ==，所以177sin6024ABC S ⨯︒=⨯⨯=△．故选：B ．二、多选题9．下列说法中不正确的是（）A ．正四棱柱一定是正方体B ．圆柱的母线和它的轴不一定平行C ．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形D ．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥【正确答案】ABD【分析】根据正四棱柱的定义，圆柱母线的定义，正棱锥的定定义，以及圆锥的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：正方体一定是四棱柱，但正四棱柱不一定是正方体，故A 错误，对B ：根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故B 错误；对C ：由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C 正确；对D ：当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底的圆锥组合体，故D 错误．故选：ABD ．10．下列选项中，与2023πcos 3⎛⎫- ⎪⎝⎭的值相等的是（）A ．2cos15cos75︒︒B ．sin86cos56cos86sin56-︒︒︒︒C ．()()11tan31tan42+︒+︒D ．16π8πcoscos 55+【正确答案】ABC【分析】根据诱导公式和三角恒等变换一一计算即可.【详解】2023π2023πππ1cos coscos 674πcos 33332⎛⎫⎛⎫-==+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A ，12cos15cos752sin15cos15sin302=︒︒︒︒=︒=，故A 符合题意；对于B ，()1sin86cos56cos86sin56sin 8656sin302︒︒-︒=︒︒=︒-︒=，故B 符合题意；对于C ，()()111tan31tan421tan3tan42tan3tan42=+︒+︒+︒⋅︒+︒+︒()1111tan3tan42tan451tan3tan421tan452===+︒⋅︒+︒-︒⋅︒+︒，故C 符合题意：对于D ，16π8ππ3ππ3πcoscos cos 3πcos πcos cos 0555555⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=-+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 不符合题意．故选：ABC ．11．下列说法正确的有（）A ．若a b ∥，b c ∥，则a c∥B ．已知向量()1,2a =r，()23,2a b += ，则()1,2b = C ．若a b a c ⋅=⋅r r r r 且0a ≠ ，则b 和c 在a上的投影向量相等D ．若复数11i z =+，2cos isin z αα=+（α∈R ），其中i 是虚数单位，则12z z -1【正确答案】CD【分析】取0b =可判断A ；根据平面向量的坐标运算直接计算可判断B ；根据投影向量公式直接求解可判断C ；利用复数的几何意义可判断D.【详解】选项A ，若0b = ，满足a b ∥，b c ∥，但a 与c不一定共线，故A 错误；选项B ，因为向量()1,2a =r，()23,2a b += ，所以()()()()223,221,21,2b a b a =+-=-=-，故B 错误；选项C ，因为a b a c ⋅=⋅r r r r 且0a ≠ ，b 在a 上的投影向量为2a b a a ⋅ ，c 在a上的投影向量2a c a a ⋅，所以22a b a c a a a a⋅⋅=．故C 正确；选项D ，由题意可得，2z 对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，1z 对应的点为()1,1，如图所示，则12max 1z z -+，故D 正确．故选：CD ．12．已知函数()()()lg2lg512xf x =+-，实数a 、()b a b <是函数()y f x m =-的两个零点，则下列结论正确的有（）A ．1m >B ．01m <<C ．222a b +=D ．0a b +<【正确答案】BCD【分析】分析可知()y f x m =-的零点即函数()y f x =与y m =的图象交点的横坐标，作出图象可判断AB 选项；由图可得0a b <<，由()()f a f b =化简可判断C 选项；利用基本不等式可判断D 选项.【详解】因为lg 2lg 5lg101+==，所以，()()()12,0lg2lg5121221,0x xxx x f x x ⎧-<=+-=-=⎨-≥⎩，且当0x <时，021x <<，此时()()120,1xf x =-∈，()y f x m =-的零点即函数()y f x =与y m =的图象交点的横坐标，如下图所示，由图象可知，当01m <<时，函数()y f x =与y m =的图象有两个交点，A 错B 对；由图可知，0a b <<，由()()f a f b =可得1221b b -=-，化简可得222a b +=，C 对；由2222a b +=≥，因为a b ¹，所以等号取不到，可得0212a b +<=，所以0a b +<，D 对,故选：BCD ．三、填空题13．已知函数()241,011,0x x f x x x⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，则15f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦______．【正确答案】63【分析】先计算145f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再计算()4f -的值即可.【详解】因为1114155f ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以()144161635f f f ⎡⎤⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．故63．14．一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45面图形的面积为___________.【正确答案】4+【分析】计算出梯形的下底的长，作出原图形，确定原图中梯形的上、下底的长以及梯形的高，利用梯形的面积公式可求得结果.【详解】在直观图等腰梯形A B C D ''''，A B //C D ''''，且A B A D B C ''''''===分别过点A '、B '作A E C D '''⊥，B F C D '''⊥，垂足分别为点E 、F ，由题意可知45A D E B C F ''''∠=∠= ，所以，cos 451D E A D '''=== ，同理可得1C F '=，因为//A B EF ''，A E C D '''⊥，B F C D '''⊥，则四边形A B FE ''为矩形，所以，EF A B ''==2C D C F EF D E ''''=++=，将直观图还原为原图形如下图所示：由题意可知，梯形ABCD 为直角梯形，//AB CD，AB =，AD =，2=CD ，AD CD ⊥，因此，梯形ABCD 的面积为()(2422AB CD AD S +⨯+⋅===+.故答案为.4+15．已知向量a ，b 满足1a =，b ，a ，b 的夹角为150°，则2a b + 与a的夹角为______.【正确答案】60︒【分析】根据向量数量积的定义，求得a b ⋅的值，利用平面向量的几何意义和数量积的运算律求得|2|1a b +=、1()22a a b +⋅= ，结合夹角公式计算即可求解.【详解】因为1,a b == ，a 与b 的夹角为150︒，所以3cos1502a b a b ︒⋅==- ，所以()222222|2|2444||||41a b a b a b a b a b a b +=+=+=⋅=+⋅++，得|2|1a b +=，又21()222a a a b a b ⋅=++⋅= ，所以22()1cos ,22a b a a a ba ab ++⋅==+ ，又因为,002,18a a b ︒⎡⎤∈⎣⎦+ ，所以,602a a b ︒+= .故答案为.60︒16．某同学为了测量天文台CD 的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台A ，A 到地面的距离AB为(15m -，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得阳台A ，天文台顶C 的仰角分别是15°和60°，在阳台A 处测得天文台顶C 的仰角为30°，假设AB ，CD 和点M 在同一平面内，则该同学可测得学校天文台CD 的高度为______m.【正确答案】30【分析】由已知求出AM ，在三角形ACM 中，运用正弦定理可得CM ，再解直角三角形CDM ，计算可得天文台的高度.【详解】在Rt ABM 中，有sin15ABAM =︒，在ACM △中，301545CAM ∠=︒+︒=︒，1801560105AMC ∠=︒-︒-︒=︒，1801054530ACM ∠=--= ，由正弦定理得sin sin AM MCACM CAM=∠∠，，故sin sin 45sin sin 30sin15sin15CAM AB ABMC AM ACM ∠=⋅=⋅=∠︒︒︒︒，在Rt CDM △中，sin60sin60sin15ABCD MC ︒=⋅⋅︒︒=，又()1sin15sin 4530sin45cos30cos45sin3022224︒=-︒=-=-︒︒︒=︒ ，则sin6030sin152AB CD =⋅︒==︒.故30.四、解答题17．已知复数i(0,>0)z x y x y =+>，其中i 为虚数单位，且满足2z =，且1z -为纯虚数．(1)求2iz；(2)若复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=m n ∈R 的一个根，求实数m ，n 的值．【正确答案】(1)1i 44-(2)2,4m n =-=．【分析】（1）根据条件求出复数z ，再利用复数的除法运算即可求出结果；（2）方法一，直接代入方程一，利用复数相等得到实数,m n 的方程组，从而求出结果；方法二，利用复数1=+z 是x 的方程20x mx n ++=m n ∈R 的一个根，从而得出另一个根，再利用韦达定理即可求出结果.【详解】（1）因为复数i(0,>0)z x y x y =+>，所以11i z x y -=--，又1z -为纯虚数，所以1x =，又2z ==，且0y >，所以y =1=+z ，211i 4i +-=.（2）法一；因为复数z是关于x 的方程20x mx n ++=m n ∈R 的一个根，所以把1=+z，代入20x mx n ++=，得()()2110m n +⋅+=，化简得2i 0m n +-++=，即20,0,m n+-=⎧⎪+=，解得：2m =-，4n =．所以实数m ，n 的值分别为：2m =-，4n =．法二：因为关于x 的方程20x mx n ++=m n ∈R 的一个根为1=+z ，所以此方程的另一根为：1z =，则2,4z z m z z n +=-=⎧⎨⋅==⎩，解得：2m =-，4n =．18．如图，在ABC 中，A 为钝角，AC =CD 是ACB ∠的平分线，CD 交AB 于点D ，且CD =π4ADC ∠=．(1)求A 的大小；(2)求BCD △的面积．【正确答案】(1)2π3(2))314【分析】（1）在ADC △中根据正弦定理可解；（2）先求B ，利用正弦定理可得BC ，然后由三角形面积公式可解.【详解】（1）在ADC △中，由正弦定理得sin sin AC CD ADC A =∠．所以πsin 4sin 2CD ADC A AC⋅∠===．因为A 为钝角，所以2π3A =.（2）根据条件，由（1）得2ππππ3412BCD ACD ∠=∠=--=．由题设，ππ6B A ACB =--∠=，在ABC 中，由正弦定理可得sin sin AC A BC B ==又πππ1sin sin sin 123422224BCD ⎛⎫∠==-=⨯-⨯= ⎪⎝⎭，所以BCD △的面积为)3111sin2244BCD S BC CD BCD =⋅⋅∠=⨯=△．19．已知函数()ππsin cos sin cos 22f x x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=⋅--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0ω>0πϕ<<的最小正周期为π，且()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的解析式；(2)设函数()()22sin g x f x x =-，求()g x 的单调增区间．【正确答案】(1)()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．【分析】（1）利用诱导公式及正弦的和角公式化简函数解析式，再利用三角函数的性质计算即可；（2）利用三角恒等变换化简函数式，再利用三角函数的单调性整体代换求区间即可.【详解】（1）()ππsin cos sin cos 22f x x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=⋅--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()sin cos cos sin sin x x x ωϕωϕωϕ=⋅+⋅=+．因为2π0,πT ωω>∴==，即2ω=．因为()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭．所以5π2π12k ϕ⨯+=（k ∈Z ）．解得5ππ6k ϕ=-+（k ∈Z ）．因为0πϕ<<，所以π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）()()()2π2sin sin 21cos26g x f x x x x ⎛⎫=-=+-- ⎪⎝⎭ππ3sin2cos cos2sin cos21sin2cos216622x x x x x =++-=+-1πsin212123x x x ⎫⎛⎫=-=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭．因为sin y x =在ππ2π,2π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）上单调递增．由πππ2π22π232k x k -+≤+≤+（k ∈Z ）．解得5ππππ1212k x k -+≤≤+（k ∈Z ）．所以()g x 的单调增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）．20．如图所示，在正六棱锥S ABCDEF -中，O 为底面中心，8SO =，4OB =．(1)求该正六棱锥的体积和侧面积；(2)若该正六棱锥的顶点都在球M 的表面上，求球M 的表面积和体积．【正确答案】(1)(2)表面积为100π，体积为500π3【分析】(1)正六棱锥的几何特征，再应用体积和侧面积公式求解即可;(2)正六棱锥的几何特征，根据球的表面积和体积求解即得.【详解】（1）由条件可知正六边形ABCDEF 的边长为4，所以底面积为21π64sin 23⨯⨯=该正六棱锥的体积为183⨯⨯==侧面等腰三角形的面积为142⨯故该正六棱锥的侧面积为6⨯=（2）球心M 一定在直线SO 上，设球M 的半径为R ，则R MS MB ==，又222MB OM OB =+，所以222(8)4R R =-+，解得5R =．所以球M 的表面积为24π100πR =，体积为34500ππ33R =21．已知在ABC 中，点M 是BC 边上靠近点B 的四等分点，点N 在AB 边上，且AN NB = ，设AM与CN 相交于点P ．记AB m = ，AC n =u u u r r．(1)请用m ，n 表示向量AM ；(2)若2n m = ，设m ，n 的夹角为θ，若1cos 4θ=，求证：CN AB ⊥ ．【正确答案】(1)3144AM m n =+ (2)证明见解析【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得；（2）以m ，n 为基底表示出,CN AB ，结合已知求0CN AB ⋅= 可证.【详解】（1）BC AC AB n m =-=- ，由题意得()1144BM BC n m ==- ，所以()131444AM AB BM m n m m n =+=+-=+ ．（2）由题意，1122CN CA AN AC AB m n =+=-+=- ．∵2n m = ，1cos 4θ=，∴21cos 2m n m n m θ⋅=⋅⋅= ．∴222111102222CN AB m n m m n m m m ⎛⎫⋅=-⋅=-⋅=-= ⎪⎝⎭ ，∴CN AB ⊥ ．22．已知函数()()2log 221x f x a x ⎡⎤=-+-⎣⎦，函数()22x x g x t -=-⋅．(1)若()g x 是偶函数，求实数t 的值，并用单调性的定义判断()g x 在[)0,∞+上的单调性；(2)在（1）的条件下，若对于[)10,x ∀∈+∞，2x R ∀∈，都有()()1222log 2f x g x a +≤+成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)1t =-，()g x 在[)0,∞+是单调增函数．(2)[]1,2【分析】（1）根据偶函数的性质得到()()g x g x -=，即可求出参数t 的值，从而求出函数的解析式，再利用定义法证明函数的单调性；（2）利用基本不等式求出()2min log 2g x a +⎡⎤⎣⎦，依题意可得对[)0,x ∞∀∈+，()22log 22122log 2x a x a ⎡⎤-+-+≤+⎣⎦恒成立，首先根据2log 20a >、()2log 221x a ⎡⎤-+⎣⎦有意义，求出a 的取值范围，再根据()()22log 221log 22x x a a ⎡⎤-+≤⋅⎣⎦恒成立，参变分离可得21332xa ≥+⨯恒成立，即可求出参数的取值范围.【详解】（1）∵()g x 为偶函数，∴()()g x g x -=恒成立，∴2222x x x x t t ---⋅=-⋅恒成立，即()()1220x x t -+-=，∴1t =-．∴()22x x g x -=+，经验检，1t =满足题意，设任意的1x ，[)20,x ∈+∞且12x x <，则()()()()112122211222222222x x x x x x x x f x f x -----=+-+=-+-()21121212121212112212222221222222x x x x x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+-=+-=-- ⎪⋅⋅⎝⎭．因为120x x ≤<，所以12122x x ≤<，1210122x x <<⋅，所以12220x x -<，1211022x x ->⋅，()12121221022x x x x ⎛⎫--< ⎪⋅⎝⎭，所以()g x 在[)0,∞+是单调增函数．（2）()2222log 222log 2log 22log 2x x g x a a a a -+=++≥+=+．当且仅当122x x =即0x =时等号成立，∴()22min log 22log 2g x a a +=+⎡⎤⎣⎦，由题意可得：[)0,x ∞∀∈+，()222log 2f x a +≤+恒成立．即[)0,x ∞∀∈+，()22log 22122log 2x a x a ⎡⎤-+-+≤+⎣⎦恒成立，由2log 20a >有意义，得0a >，由()2log 221x a ⎡⎤-+⎣⎦有意义，得()2210x a -+>在[)0,∞+恒成立．即122x a <+在[)0,∞+上恒成立，设()122x h x =+，易知()h x 在[)0,∞+上的值域为(]2,3，故2a ≤，所以02a <≤．又[)0,x ∞∀∈+，()22log 22122log 2x a x a ⎡⎤-+-+≤+⎣⎦恒成立，即[)0,x ∞∀∈+，()()22log 221log 22x x a a ⎡⎤-+≤⋅⎣⎦恒成立．即()22122x x a a -+≤⋅恒成立，即21332xa ≥+⨯恒成立，0max 22113323321x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭，∴1a ≥．综上，实数a 的取值范围为[]1,2．。

信阳高中2020届2020学年度下期期中考试数学试卷一、单选题1．若集合{|0}B x x =≥，且A B A ⋂=，则集合A 可以是( ) A. {}1,2 B. {|1}x x ≤ C. {}1,0,1- D. R 2．若,则角的终边位于( )A. 第一、二象限B. 第二、三象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限 3．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（ ）A. 30B. 31C. 32D. 334．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A. B. 6 C.D.5．已知，则的大小关系为（ ）A. B. C.D.6．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离 ( ) A.B.C.D.7．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“ 李白街上走，提壶去买酒。

遇店加一倍，见花喝一斗,三遇店和花，喝光壶中酒。

借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的S 值为0，则开始输入的S 值为( ) A.34 B. 45 C. 78 D. 15168．如图，分别以,A C 为圆心，正方形ABCD 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（ ） A. 12 B. 22π- C. 14 D. 24π-9．若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为( )A.3π B.32π C. 65π D. 6π 10．已知函数(),{,sinx sinx cosxf x cosx sinx cosx≥=<，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为2πB. 当且仅当()22x k k Z ππ=+∈时， ()f x 的最大值为1C. 函数()f x 的值域是[]1,1- D. 当()3222k x k k Z ππππ+<<+∈时， ()0f x ＞ 11．已知菱形ABCD 边长为2， 3B π∠=，点P 满足AP AB λ=u u u v u u u v ， R λ∈．若3BD CP ⋅=-u u u v u u u v ，则λ的值为（ ） A.12 B. 12- C. 13 D. 13- 12．定义在R 上函数的图象关于直线x =−2对称，且函数是偶函数．若当x ∈[0，1]时，，则函数在区间[−2020，2020]上零点的个数为( )A. 2020B. 2020C. 4034D. 4036二、填空题13．总体由编号为01,02,03,,49,50L 的50各个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为__________．66 67 40 67 14 64 05 71 95 86 11 05 65 09 68 76 83 20 37 90 57 16 00 11 66 14 90 84 45 11 75 73 88 05 90 52 27 41 14 86 14．若三点A (2,3)，B (3,2)，C (12，m )共线，则实数m 的值为________. 15．在三棱锥中，侧棱、、两两垂直，、、的面积分别为22、23、26，则三棱锥的外接球的体积为__________．16．下列命题正确的是__________．（写出所有正确的命题的序号） ①若奇函数()f x 的周期为4，则函数()f x 的图象关于()2,0对称； ②如()0,1a ∈，则111aaa a++<；③函数()1ln1xf x x+=-是奇函数； ④存在唯一的实数a 使()()2lg 21f x ax x =++为奇函数．三、解答题 17．已知5sin 5α=，且α是第一象限角。