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求函数值域的几种常用方法函数值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
求解函数值域通常有几种常用的方法，下面将对这些方法进行详细的介绍。
1.代入法：代入法是求解函数值域最直接的方法。
通过将定义域内的值代入函数表达式，得到对应的函数值，然后将这些函数值集合起来形成函数的值域。
例如对于函数f(x)=x²+1，我们可以将定义域内的各个数值代入该函数，计算函数值，然后再将函数值组成的集合确定为函数的值域。
2.图像法：图像法是通过绘制函数的图像来求解函数的值域。
对于一些简单的函数，可以直接绘制函数的图像，然后观察图像来确定函数的值域。
通过观察函数的图像，我们可以看出函数的上界、下界以及其他特征，从而确定函数的值域。
需要注意的是，通过图像法求解函数值域只能获得大致的范围，如果需要准确求解，请使用其他方法。
3.分析法：分析法是通过对函数表达式进行分析，找出函数的特点来求解函数的值域。
例如对于多项式函数，可以通过对其导数进行分析，找出导数的零点，以及函数在这些零点附近的变化情况，进而确定函数的最值和值域。
另外，还可以通过计算函数的极限来确定函数的值域，例如对于有界闭区间上的连续函数，它的值域就是该函数在这个区间内取得的最大值和最小值之间的闭区间。
4.反函数法：反函数法是通过求解函数的反函数来求解函数的值域。
如果函数存在反函数，并且已知反函数的定义域，则函数的值域就等于反函数的定义域。
可以通过求解函数的反函数来确定函数值域的范围。
5.值域的性质法：对于一些特殊的函数，可以利用其性质来求解函数的值域。
例如三角函数和指数函数等，我们可以利用其周期性、奇偶性和单调性等特点来确定函数的值域。
通过分析这些函数的性质，结合函数的定义域，可以直接得出函数的值域。
需要注意的是，对于复杂的函数，可能需要结合多种方法来求解函数的值域。
有时候还需要利用一些数学工具和理论来辅助求解，如极值定理、介值定理等。
最终获得函数的值域需要结合具体情况，并根据函数的定义域和性质来确定。
函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。
在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。
满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2.逐层法：求f 1(f 2⋯f n (x ))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3.配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y =ax x +bx +c (a ≠0)”或“y =a [f (x )]2+bf (x )+c (a ≠0)”的函数均可用配方法求值域；4.换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有(1)y =ax +b cx +d或y =cx +dax +b 的结构，可用“cx +d =t ”换元；(2)y =ax +b ±cx +d (a ,b ,c ,d 均为常数，a ≠0,c ≠0)，可用“cx +d =t ”换元；(3)y =bx ±a 2-x 2型的函数，可用“x =a cos θ(θ∈[0,π])”或“x =a sin θθ∈-π2,π2”换元；5.分离常数法：形如y =ax +b cx +d (ac ≠0)的函数，应用分离常数法求值域，即y =ax +b cx +d=ac +bc -adc 2x +d c ，然后求值域；6.基本不等式法：形如y =ax +bx(ab >0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a +b ≥2ab 求函数的值域(或最值)时，应满足三个条件：①a >0,b >0；②a +b (或ab )为定值；③取等号的条件为a =b ，三个条件缺一不可；7.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y =ax +b -cx +d (ac <0)的函数可用函数单调性求值域；(2)形如y =ax +bx的函数，当ab >0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数求解；公众号：高中数学最新试题当ab <0时，y =ax +bx在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。
第一讲：函数的定义域与值域一、 函数的定义域求法〖双基回顾〗⑴一次函数与二次函数、正余弦函数的定义域⑵无理函数与对数函数、正余切函数的定义域 ⑶分式函数与最简单的幂函数的定义域 ⑷一般复合函数的定义域的求法.⑸反函数的定义域与原函数的值域的关系.特别提示：函数的定义域不可能是空集 1、 具体函数的定义域 例1、 求下列函数的定义域：⑴02)23(3|3|)lg(-+-+-=x x x x y ； ⑵x x y cos lg 252--=；⑶()xxx y 432log )1(202--=. （4）)31(log 1x y x +=- （5）)11)(2lg(232--+--=x x x x y2、 实际问题中的定义域问题例2、（1）已知扇形周长为10，求此扇形的面积S 与半径r 之间的函数关系式并且求其定义域.技巧与方法：本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决.（2）家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台.已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表：问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)3、 含参数的定义域问题 例3、(1) 如果函数862++-=m mx mx y 的定义域为R ，则实数m 的取值范围（2）求函数)42(log 22++ax ax 的定义域。
4、 抽象（复合）函数的定义域问题例4、如果函数f (x )的定义域为[0，2]，求下列函数的定义域. (1)]2)21[(3-=-x f y (2) )()()(ax f ax f x F +=二、 函数的值域求法方法汇总：观察法、配方法、单调性法、不等式法、分离常数法、反表示法、判别式法、换元法、有界性法、数形结合法，其中最为重要的是：观察法、判别式法、单调性法、不等式法、有界性法、数形结合法. 无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域. 例5、⑴求值域12--=x x y ⑵求值域11+-=xx e e y ⑶求值域y63422-+++=x x x x . (4)y x =（5）3434222++-++-=x x x x y例6、函数1)(2++=x b ax x f 的值域为[－1，4]，求实数a 、b 的值。
求函数值域的几种常见方法详解函数的值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
求函数值域的方法有几种常见的途径，包括图像法、公式法、定义域分析法和求导数法等。
下面详细介绍这几种方法：1.图像法：通过绘制函数的图像，我们可以直观地看出函数的值域。
通过观察图像的上下界限以及函数的单调性，我们可以大致确定函数的值域。
这种方法适用于简单的函数，特别是连续的函数。
但对于复杂的函数，这种方法可能不太可行。
2.公式法：有些函数可以通过一些数学公式来表示，例如多项式函数、指数函数、对数函数等。
通过观察这些公式的特点，我们可以得到函数的值域。
例如，指数函数的值域是(0,+∞)，对数函数的值域是(-∞,+∞)等。
通过数学推导和分析，我们可以得到更复杂函数的值域。
3.定义域分析法：通过分析函数的定义域和性质，我们可以推断出函数的值域。
例如，当函数的定义域为有界闭区间时，值域也是有界闭区间。
当函数的定义域是无界，但函数是有界的，值域也是有界的。
当函数具有对称性或周期性时，我们可以根据这些性质来推断函数的值域。
4.求导数法：对于可导的函数，我们可以通过求导数来研究函数的单调性。
通过研究导数的正负情况以及极值点，我们可以确定函数的值域。
当导数为正时，函数递增，值域是无穷大。
当导数为负时，函数递减，值域是无穷小。
当导数的正负变化时，函数具有极值点，这些点可能是函数值域的边界。
在求函数值域时，我们还可以结合使用以上多种方法，以得到更准确和完整的结果。
同时，需要注意的是，有些函数的值域是无法用简单的数学方法来确定的，这时我们可以利用数值计算和逼近方法来估算函数的值域。
总之，求函数值域是函数分析中的一个重要步骤，可以帮助我们了解函数的性质和行为。
通过应用图像法、公式法、定义域分析法和求导数法等方法，我们可以推断和确定函数的值域。
不同的函数可能适用不同的方法，因此需要根据具体情况综合应用多种方法来进行分析。
函数值域求解十法及练习题含参考答案函数值域是函数值的集合，值域是函数考查时最重要的考点之一.在高考数学中，通常以选择题和填空题的形式。
一般求函数的值域时要明确两点，一是值域的概念，二是函数的定义域和对应关系。
常用的方法有：观察法、换元法、配方法、判别式法、数形结合法、分离常数法、反函数法、中间变量值域法、三角函数有界性、基本不等式求函数值域、导数法等.本文重点对以上进行举例分析，同时对抽象函数的值域问题进行举例分析，帮助同学们学习和提升.方法1.直接观察法:通过是基本的初等函数，能够直接判断函数的单调区间或图像，可直接求值域.例1：求函数211y x=+的值域. 解：20x ≥，210x +≥，故0<y 1≤方法2.换元法：将复杂的函数通过整体代换的方式转化为常见函数，从而求得原函数的值域.形如y ax b =+.例2：求函数y x =-.解：令t =则0,t ≥且212t t -=，故211(1)122y t =-++≤，所以函数的值域为1(,]2-∞. 方法3.配方法:若函数是二次函数形式，即可通过配方再结合二次函数的性质求值域.例3：求函数221x x y x x -=-+的值域. 解：2111y x x =--+，而22331(1)44x x x -+=-+≥，故214013x x <≤-+，所以函数的值域为4[,1)3-. 方法4.判别式法：求形如22ax bx c y dx ex f++=++的值域，常利用去分母的形式，把函数转化为一元二次方程，通过方程有实数根，判别式0∆≥求出值域.例4：求函数225851x x y x ++=+的值域. 解：由已知得2(5)850y x x y --+-=，,x R ∈得5y ≠时，2644(5)0y ∆=--≥ 得19y ≤≤，而5y =时，0x =;故函数的值域为[1,9].方法5.数形结合法：函数图像的可以简单画出来，或者通过基本初等函数图像变换可得，则常常通过数形结合法求值域.例5：求函数2||2y x x =--在区间[1,3]-的值域.解：函数2||||2y x x =--的图像是由函数22y x x =--的图像沿y 轴向左翻折即可.如图：可知当12x =-时取最小值， 3x =时取最大值；故函数的值域为9[,4]4-. 方法6.分离常数法：形如cx d y ax b +=+的函数，经常采用分离常数法，将cx d ax b++变形为()c bc bc ax b d d c aa a axb a ax b+---=+++,从而确定函数的值域. 例6：求函数211x y x -=+的值域. 解：2(1)312,11x y x x +-==-++且301x ≠+，故函数的值域为2y ≠. 方法7.反函数数:求函数的反函数，求值域,前提是要学会反向用含y 的代数式表示x .例7：求函数12x y x -=+的值域. 解：反向求得211y x y+=-，故函数的值域为1y ≠. 方法8.中间变量值域法，中间变量一般大小范围确定.例8：求函数2241x y x +=-的值域. 解：易得241y x y +=-，而20x ≥，故40,1y y +≥-得4y ≤-或1y ≥故函数的值域为(,4](1,)-∞-⋃+∞方法9.利用三角函数的有界性求值域，1sin 1x -≤≤，1cos 1x -≤≤例9：求函数sin 1sin x y x=+的值域. 解：由已知得sin sin ,y y x x +=(1)sin ,y x y -=即有sin [1,1]1y x y =∈-- 所以函数的值域是12y ≤方法10.基本不等式求值域,对常见的不等式要非常熟悉,才能快速正确求得函数的值域.例10:求函数y =的最大值.解：由不等式2a b +≤≤≤练习题1. 函数2y =的值域为_________;2. 函数y x =+_________;3. 函数211y x =+的值域为_________; 4. 函数21ax b y x +=+(0)a >的最大值为4，最小值为-1，则b a +=_________; 5. 函数3121x y x +=-的值域为_________; 6. 若224x y +=，那x y -的最大值是_________;7. 函数24813(1)6(1)x x y x x ++=>-+的最小值为_________; 8. 函数||x y e =的值域为_________;9. 函数3sin 1cos x y x-=+的值域为_________； 10.函数x y xe =的最小值为_________;参考答案1. [2,)-+∞2.[1,)-+∞3.(0,1]4.75.32y ≠ 6.7.2 8.[1,)+∞ 9.(,2][1,)-∞-⋃+∞ 10.1e -。
求函数值域的方法大全函数的值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
找到函数的值域可以帮助我们了解函数的整体走势和性质。
下面是一些常见的方法帮助我们求函数值域。
1.用图形法求值域：使用图形来观察函数的形状和趋势，根据图形的有界性和单调性来确定函数值域的范围。
例如，如果函数是上凸的，那么它的值域可能是从函数的最小值开始一直到正无穷大。
如果函数是下凸的，那么它的值域可能是从负无穷大到函数的最大值。
2.用定义法求值域：通过函数的定义式，将自变量的范围带入函数，计算函数的输出值，从而找到函数的可能取值。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以把不同的x值代入函数中，并记录下函数的输出值，得到一个可能的值域的集合。
3.用反函数法求值域：如果函数具有反函数，可以通过求反函数的定义域来求原函数的值域。
例如，对于函数f(x)=x^2，它的反函数是f^(-1)(x)=√x，定义域为非负实数，因此原函数的值域也是非负实数。
4.用导数法求值域：对于给定范围内的函数，利用导数求得函数的驻点和拐点，结合函数的单调性和图像的形状来求值域。
例如，当函数的导数为零时，这些点可能是函数的最大值或最小值，通过比较这些点的对应函数值，可以确定函数的值域的上下界。
5.用极限法求值域：当函数的定义域是无界的时候，可以利用函数的极限来求值域。
通过求函数在正无穷大和负无穷大时的极限，可以确定函数的值域的上下界。
6.用解析法求值域：对于一些特定形式的函数，可以通过解析方法求值域。
例如，对于一次函数f(x)=ax+b，其中a和b为常数，如果a>0，则函数的值域是从负无穷大到正无穷大的实数集合。
7.用二次函数求值域：对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c，其中a>0，可以通过将二次函数转化为顶点形式来求值域。
首先通过求导数找到二次函数的极值点（即顶点），然后结合函数的开口方向和顶点的y坐标，可以确定二次函数的值域。
8.用指数和对数函数求值域：对于指数函数f(x)=a^x和对数函数f(x)=log_a(x)，其中a>0且a≠1，可以利用指数和对数函数的性质来求值域。
高一数学求函数值域的方法难度：高一数学中的函数是指一种依赖于某个变量或者变量集的关系式，它通常被用来描述一些实物或者抽象概念之间的相互关系。
在上述命题中，如果我们对该函数进行给定值的计算和运算，那么我们就能够得到该函数的函数值。
在数学中，函数值域通常被用来描述该函数能够生成的所有可能函数值的集合。
所以，如果我们在求函数的函数值域时想要得到一个准确的答案，那么我们就需要对该函数的定义域以及函数的具体形式进行有效的分析和推理。
本文就将为大家介绍一些高一数学求函数值域的方法，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
方法一：利用求导法求函数的单调性在求函数值域时，我们可以先通过求函数的导数来了解该函数的单调性和函数的趋势变化。
具体来说，我们可以针对给定的函数f(x)，按照以下步骤来计算该函数的导数：（1）求f(x)的一次导数，并得到f'(x)的函数式；（2）求f'(x)的零点，并把零点作为x轴的分界点将其分为若干段；（3）对于每一段区间，我们都能够了解到函数的单调性和函数的趋势方向，并用函数的取值范围来描述函数值域的全貌。
方法二：利用函数的图像来判断函数值域另外，我们在求函数值域的过程中，还可以通过函数的图像来了解函数的特征和函数值域的大致范围。
一般来说，函数图像的变化趋势会反应出函数的单调性和函数值域的特征，这样我们就可以根据函数图像来作出一些初步的推测和估计。
对于一些简单函数来说，我们可以直接根据函数的定义域和对应关系来求出函数的值域，而对于一些复杂函数来说，我们则需要利用一些数学方法和技巧进行较为深入的计算和推理。
需要注意的是，在利用反函数来求解函数值域时，我们需要保证原函数是可逆的，并且反函数也是一个良好定义的函数。
另外，在具体计算时，我们还需要对反函数的定义域和值域进行适当的限定和分析，从而得到准确的计算结果。
总结：综上所述，高一数学求函数值域的方法有很多种，大家可以根据自己的需求和具体情况选择适合的方法来进行计算和推导。
函数值域的求法求函数的值域时，要明确两点：一是函数值域的概念，二是函数的定义域和对应关系。
常用的方法有：观察法、换元法、配方法、判别式法、数形结合法、分离常数法、反表示法、中间变量值域法等。
（1）观察法：有的函数结构并不复杂，可以通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的函数的值域求出函数的值域。
如函数211xy +=的值域{}10|≤<y y 。
（2）换元法：运用换元，将已知的函数转化为值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。
例如：形如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数，0≠ac ）的函数常用此法。
（3）配方法：若函数是二次函数的形式，即可化为()02≠++=a c bx ax y 型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间上二次函数最值得求法。
如求函数32+-=x x y 的值域，因为()2212≥+-=x y ，所以所求函数的值域为[)∞+，2。
（4）判别式法：求形如fex dx c bx ax y ++++=22（f e d c b a ,,,,,不同时为0）的值域，常利用去分母的形式，把函数转化为关于x 的一元二次方程，通过方程有实根，判别式0≥∆，求出y 的取值范围，即得到函数的值域。
（5）数形结合法：有些函数的图像比较容易画出，可以通过函数的图像得出函数的值域；或者分段函数也常用画出函数图像的方法判断出函数的值域。
例如：12--+=x x y 。
（6）分离常数法：形如()0≠++=a b ax d cx y 的函数，经常采用分离常数法，将bax d cx ++变形为()b ax a bc d a c b ax a bcd b ax ac +-+=+-++，再结合x 的取值范围确定b ax a bcd +-的取值范围，从而确定函数的值域。
如求函数112+-=x x y 的值域时，因为132+-=x y ，且013≠+x ，所以2≠y ，所以函数的值域为{}2,|≠∈y R y y 且。
求函数值域的常见方法函数的值域是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
它描述了函数的全部可能的结果。
确定一个函数的值域可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
在数学中，有一些常见的方法可以用于确定函数的值域。
一、代数方法：1.借助于函数的表达式和定义域的特点，可通过分析函数表达式的正负性、比较大小、奇偶性等特点来确定其值域。
2.如果函数是一个有界区间上的连续函数，可以使用区间最值定理来确定其值域。
根据函数的导数来判断函数的单调性，进而得到最值。
3.可以使用解方程的方法，将函数的表达式与一个常数进行等式的形式，然后求解此方程，以确定函数的值域。
二、几何方法：1.根据函数图像的特点来确定函数的值域。
可以使用函数图像的对称性、相交点、极值点等特点来推导出函数的值域。
2.如果函数的图像是一个连续曲线，可以观察曲线的走势来确定函数值域的范围。
3.如果函数有限多个分段，可以分别分析每个分段函数的值域，然后确定整个函数的值域。
三、其他方法：1.使用反函数法。
有时候，通过找到一个函数的反函数，可以简化问题，通过求反函数的定义域得到原函数的值域。
2.类似地，可以使用逆映射法来确定函数的值域。
逆映射是用来从值来确定原始元素的映射。
需要注意的是，确定一个函数的值域需要结合函数的定义域、特点和性质来综合分析，不能简单地通过一个方法就得出结果。
有时候，可能需要使用多种方法或结合多个方法来确定函数的值域。
此外，还需要注意函数是否在定义域内是连续的和可导的，这也可以对确定函数的值域有所帮助。
总之，确定函数的值域是函数分析中的一个重要课题，需要运用数学的思维和方法，以及对函数特点的理解和分析，综合运用多种方法来解决问题。
高中数学：求函数值域的十三种方法一、观察法（☆ ） 五、判别式法（☆） 二、配方法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 三、分离常数法（☆） 七、函数单调性法（☆） 四、反函数法（☆） 八、图像法（数型结合法）（☆）一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。
【例1】求函数1y =的值域。
0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。
【例2】求函数的值域。
【解析】∵ ∴ 显然函数的值域是：【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。
【解析】因为{}2,1,0,1-∈x ，而()()331==-f f ，()()020==f f ，()11-=f 所以：{}3,0,1-∈y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x ∈，则函数的值域为{}1|-≥y y 。
练习：1、求242-+-=x y 的值域． 2.求函数y =的值域．二． 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。
形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。
x 1y =0x ≠0x 1≠),0()0,(+∞-∞Y【例1】 求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域。
【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时，故函数的值域是：[4，8]【变式】已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
【解析】由已知232x x ≤，可得032≤≤x ，即函数f x ()是定义在区间032，⎡⎣⎢⎤⎦⎥上的二次函数。
将二次函数配方得f x x ()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+12342，其对称轴方程x =-12，顶点坐标-⎛⎝ ⎫⎭⎪1234，，且图象开口向上。
显然其顶点横坐标不在区间032，⎡⎣⎢⎤⎦⎥内，如图2所示。
函数f x ()的最小值为f ()01=，最大值为f 32194⎛⎝ ⎫⎭⎪=。
图2【例2】 若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，（1）求函数()g t（2）当∈t [-3,-2]时，求g(t)的最值。
（说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法） 【解析】(1)函数f x x ()()=-+112，其对称轴方程为x =1，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。
图1图2图3①如图1所示，若顶点横坐标在区间[]t t ，+1左侧时，有1<t ，此时，当x t =时，函数取得最小值。
②如图2所示，若顶点横坐标在区间[]t t ，+1上时，有t t ≤≤+11，即01≤≤t 。
当x =1时，函数取得最小值f x f ()()min ==11。
③如图3所示，若顶点横坐标在区间[]t t ，+1右侧时，有t +<11，即t <0。
当x t =+1时，函数取得最小值f x f t t ()()min =+=+112综上讨论，g(t)=⎪⎩⎪⎨⎧<+≤≤>+-=11,11,1)1()(22mintttttxf(2)221(0)()1(01)22(1)t tg t tt t t⎧+≤⎪=<<⎨⎪-+≥⎩Q(,0]t∈-∞时，2()1g t t=+为减函数∴在[3,2]--上，2()1g t t=+也为减函数∴min()(2)5g t g=-=，max()(3)10g t g=-=观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。
不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。
第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。
根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。
对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<-+≥-=))((212)())((212)()(21max如图如图，，nmabnfnmabmfxf⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxf当时⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxf f xf mbam nf nbam n()()()()()()()min=-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，，如图如图212212910【例3】(1) 求2f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。
(2) 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。
【解析】(1)二次函数的对称轴方程为x a =-， 当1a 2-<即1a 2>-时，max f (x )f (2)4a 5==+； 当1a 2-≥即1a 2≤-时，max f (x )f (1)2a 2=-=+。
综上所述：max 12a 2,a 2f (x )14a 5,a 2⎧-+≤-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩。
(2)函数4)2(22a a x y +--=图象的对称轴方程为2a x =，应分121≤≤-a ，12-<a ，12>a即22≤≤-a ，2-<a 和2>a 这三种情形讨论，下列三图分别为 （1）2-<a ；由图可知max ()(1)f x f =- （2）a ≤-22≤；由图可知max ()()2af x f = （3） 2>a 时；由图可知max ()(1)f x f =∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<-=2,)1(22,)2(2,)1(a f a af a f y 最大；即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<+-=2,122,42,)1(2a a a aa a y 最大 【例4】 已知二次函数2f (x )ax (2a 1)x 1=+-+在区间3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为3，求实数a 的值。
具体解法为：（1）令2a 1f ()32a --=，得1a 2=- 此时抛物线开口向下，对称轴方程为x 2=-，且32,22⎡⎤-∉-⎢⎥⎣⎦，故12-不合题意；（2）令f (2)3=，得1a 2=此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故1a 2=符合题意；（3）若3f ()32-=，得2a 3=- 此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远，故2a 3=-符合题意。
综上，1a 2=或2a 3=-【变式】 已知函数()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。
【解析】2()(1)1,[3,2]f x a x a x =++-∈- （1）若0,()1,a f x ==，不符合题意。
（2）若0,a >则max ()(2)81f x f a ==+由814a +=，得38a = （3）若0a <时，则max ()(1)1f x f a =-=-由14a -=，得3a =- 综上知38a =或3a =-三、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法（分母少，分子多），通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式此类问题一般也可以利用反函数法。
【例1】 求函数12++=x x y 的值域 【解析】利用恒等变形，得到：111++=x y ，容易观察知x ≠-1,y ≠1，得函数的值域为y ∈(-∞,1)∪(1, +∞)。
注意到分数的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。
【例2】 求函数122+--=x x xx y 的值域。
【解析】观察分子、分母中均含有x x -2项，可利用部分分式法；则有43)21(11111122222+--=+--+-=+--=x x x x x x x x x y 不妨令：)0)(()(1)(,43)21()(2≠=+-=x f x f x g x x f 从而)∞+⎢⎣⎡∈,43)(x f 注意：在本题中应排除0)(=x f ，因为)(x f 作为分母。
所以 ⎝⎛⎥⎦⎤∈43,0)(x g 故)1,31⎢⎣⎡-∈y【变式】求下列函数的值域：(1) 231--=x x y (2) 1122+-=x x y .答案：（１）值域),(),(3131+∞⋃-∞∈y （２）值域y ∈[-1,1]四、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。
【例1】求函数3456x y x +=+值域。
【解析】由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：33(,)(,)55-∞∞U【变式】1、求函数12+=x x y 的值域。
2、求函数2241x y x +=-的值域。
五、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。
（解析式中含有分式和根式。
）【例1】求函数2211x x y x++=+的值域。
【解析】原函数化为关于x的一元二次方程,由于x取一切实数，故有（1）当时，解得：（2）当y=1时，，而故函数的值域为【例2】求函数y x=【解析】两边平方整理得：（1）∵∴解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于x的方程：在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
【例3】已知函数222()1x ax bf xx++=+的值域为[1，3]，求,a b的值。
【解析】2221x ax byx++=+22(2)04(y2)(y b)0y x ax y b a⇒--+-=⇒∆=---≥2244(2b)y 8b a 0y -++-≤。
由于222()1x ax bf x x ++=+的值域为[1，3]，故上式不等式的解集为{y|1≤y ≤3} 1221221328234y y b a b ab y y +=+=+⎧=±⎧⎪⇒⇒⎨⎨-===⎩⎪⎩ 【例4】求函数2212+++=x x x y 的值域。
