江苏省2014—2015学年高二数学第一学期期中复习试题(1)及答案

宿迁市剑桥国际学校2014-2015学年上学期期中考试高二数学试卷注 意：1．本试题满分160分，考试时间：120分钟．2．答题前请将试卷答题卷密封线内的有关项目填写清楚，密封线内不能答题． 3．将答案填写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束只交答题卷．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。

只填结果，不要过程！） 1、过点(2,3)-且与直线210x y -+=垂直的直线的方程为 ▲ ； 2、过三点(4,0),(0,2)A B -和原点(0,0)O 的圆的标准方程为 ▲ ；3、已知ABC ∆中，(2,4),(1,3),(2,1),A B C --则BC 边上的高AD 的长为 ▲ ；4、已知两条直线12:(3)453,:2(5)8.l m x y m l x m y ++=-++= 若直线1l 与直线2l 平行，则实数m = ▲ ；5、已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m ； ②若l ⊂α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥m ； ③若l ∥m ，m ⊂α，，则l ∥α； ④若l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 其中真命题是 ▲ (写出所有真命题的序号)． 6、若两圆224x y +=，222210xy mx m +-+-=相外切，则实数m = ▲ ；7、若,x y 满足约束条件023,23x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则zx y =-的最小值是 ▲ ；8、过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线,切点分别为,A B ,记APB α∠=,当α最小时,此时点P 坐标为 ▲ ； 9、右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 ▲ 米；10、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率的值为 ▲ ；11、已知点P 在抛物线24x y =上运动，F 为抛物线的焦点，点A 的坐标为(2,3)，若PA PF +的最小值为,M 此时点P 的纵坐标的值为,n 则M n += ▲ ； 12、在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为22(4)1x y -+=,若直线3y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心, 2为半径的圆与圆C 有公共点, 则k 的最大值是 ▲ ；13、已知等腰三角形腰上的中线长为2，则该三角形的面积的最大值是 ▲ ；14、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，12,F F 是椭圆的左右焦点，l 是右准线，若椭圆上存在点P ，使1PF 是P 到直线l 的距离的2倍， 则该椭圆离心率的取值范围是 ▲ ；二、解答题（共6题，90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15、（14分） 如图,已知斜三棱柱111ABC A B C -中,AB AC =,D 为BC 的中点. (1) （7分）若1AA AD ⊥，求证:1AD DC ⊥； (2) （7分）求证:1A B // 平面1ADC16、（14分）如图,在四棱锥P ABCD -中, AB ∥DC ,2DC AB =,AP AD =,,,PB AC BD AC ⊥⊥E 为PD 的中点.求证:(1) （7分）AE ∥平面PBC ;(2) （7分）PD ⊥平面ACE .ABCDA 1B 1C 1(第15题)DCBA E P（第16题图）17、（14分）（1）（7分）已知椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；(2) （7分）已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，准线方程为516±=x ， 求该双曲线的标准方程.18、（16分）已知ABC ∆三个顶点坐标分别为：(1,0),(1,4),(3,2)A B C ，直线l 经过点(0,4)．(1) （5分）求ABC ∆外接圆M 的方程；(2) （5分）若直线l 与M 相切，求直线l 的方程；(3) （6分）若直线l 与M 相交于,A B 两点，且AB =l 的方程．19、（16分）已知直线l 与圆22:240C xy x y a ++-+=相交于,A B 两点，弦AB 的中点为(0,1)M ，（1）（4分）求实数a 的取值范围以及直线l 的方程；（2）（4分）若圆C 上存在四个点到直线l a 的取值范围；（3）（8分）已知(0,3)N -，若圆C 上存在两个不同的点P ，使PM=，求实数a 的取值范围.20、（16分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率3e =，且椭圆C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3. (1) （6分）求椭圆C 的方程;(2) （10分）在椭圆C 上,是否存在点(),M m n ,使得直线l :1mx ny +=与圆O :221x y +=相交于不同的两点,A B ,且OAB ∆的面积最大? 若存在,求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积; 若不存在,请说明理由.高二数学期中考试 数学参考答1、210x y ++=2、22(2)(1)5x y ++-=3、54、7-5、②、④6、3±7、－38、()2,4-- 9、 10、11、5 12、247 13、83 14、15、【答案】证明:(1)因为AB =AC ,D 为BC 的中点,所以AD ⊥BC . …… 2分 因为1AA AD ⊥，11AA CC ，所以1AD CC ⊥，…… 4分1CC BC C =，所以AD ⊥平面BCC 1B 1 ，…… 6分因为DC 1⊂平面BCC 1B 1,所以AD ⊥DC 1 …… 7分(2) 连结A 1C ,交AC 1于点O ,连结OD , 则O 为A 1C 的中点. 因为D 为BC 的中点,所以OD//A 1B …… 9分 因为OD ⊂平面ADC 1,A 1B /⊂平面ADC 1, …… 12分 所以A 1B//平面ADC 1 …… 14分16、证明:(1)取PC 中点F ,连结EF ,BF ,∵E 为PD 中点,∴EF ∥DC 且EF =12DC .…… 2分∵AB ∥DC 且12AB DC =,∴EF ∥AB 且EF =AB .∴四边形ABFE 为平行四边形. ∴AE ∥BF . …… 4分 ∵AE ⊄平面PBC ,BF ⊂平面PBC , ∴AE ∥平面PBC . …… 7分(2)∵PB ⊥AC ,BD ⊥AC ,PBBD B =,∴AC ⊥平面PBD . (9)分∵PD ⊂平面PBD ,∴AC ⊥PD . …… 10分ABC DA 1B 1C 1（第15题图）O∵AP AD =,E 为PD 的中点,∴PD AE ⊥. …… 12分 ∵AE AC A =,∴PD ⊥平面ACE .…… 14分17．解：（1）设椭圆的标准方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，由题意得22,1,3a c b ==⇒=，…………… 3分所以所求椭圆的标准方程为22143x y +=． …………… 7分（选修1—135页5（1）！ （2）由题意知双曲线标准方程为：12222=-by a x ，所以43=a b ，2165a c = ，…………… 9分 又222b ac +=，解得4,3a b ==，…………… 11分所以所求双曲线标准方程为221169x y -=. …………… 14分18． 解：（1）解法1：设M 的方程为：220,x y Dx Ey F ++++=则由题意得101740,13320D F D E F D E F ++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 解得24,1D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴M 的方程为222410x y x y +--+=，或22(1)(2)4x y -+-=．………… 5分解法2：(1,0),(1,4)A B 的横坐标相同，故可设(,2)M m ，由22MA MC = 得22(1)4(3)m m -+=-，解得1m =，FP E A BCD（第16题图）∴M 的方程为22(1)(2)4x y -+-=，或222410x y x y +--+=．解法3：(1,0),(1,4),(3,2)A B C ，(2,2),(2,2)CA CB ∴==-，0,CA CB CA CB ∴⋅==，则ACB ∆是等腰直角三角形， 因而ACB ∆圆心为(1,2)，半径为2，∴M 的方程为22(1)(2)4x y -+-=．(2)当直线l 与x 轴垂直时，显然不合题意，因而直线l 的斜率存在，设:4l y kx =+，2=，解得0k =或43k =，………… 8分 故直线l 的方程为4y =或43120x y -+=．………… 10分 （3）当直线l 与x 轴垂直时，l 方程为0x=，它截M 得弦长恰为… 12分当直线l 的斜率存在时，设:4l y kx =+，∵圆心到直线4y kx=+，由勾股定理得224+=，解得34k =-，…… 14分故直线l 的方程为0x =或34160x y +-=． ………… 16分19、课本必修—2130P —15改编！解：（1）圆22:(1)(2)5,(1,2),5)C x y a C r a ++-=--=<…… 1分据题意：3CM a =<<…… 2分 因为,1,1,1CM AB CM AB CM AB k k k k ⊥⇒=-=-⇒= 所以直线l 的方程为10x y -+=…… 4分（2）与直线l 1:30l x y -+=过圆心，有两个交点，…… 6分2:10l xy --=与圆相交，3;a ⇒<<-…… 8分（3）设22(,),(5)12P x y PM x y ⇒++=…… 12分 据题意：两个圆相交：5757a <<--<<…… 14分且573<，所以：5757a --<< …… 16分20.解析:（1）因为e =所以2223c a =,于是223a b =.………… 1分设椭圆C 上任一点(),P x y ,则()()2222222222122443y PQ x y a y y y b b ⎛⎫=+-=-+-=--++ ⎪⎝⎭(b y b -≤≤). … 2分当01b <<时,2PQ 在y b =-时取到最大值,且最大值为244b b ++, 由2449b b ++=解得1b =,与假设01b <<不符合,舍去. ………… 4分 当1b ≥时,2PQ 在1y =-时取到最大值,且最大值为236b +,由2369b +=解得21b =.于是23a =,椭圆C 的方程是2213x y +=. ………… 6分(2)圆心到直线l 的距离为d =,弦长AB =所以OAB ∆的面积为12S AB d =⋅=,于是()2222211124S d d d ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭.………… 8分而(),M m n 是椭圆上的点,所以2213m n +=,即2233m n =-, 于是22221132d m n n ==+-,而11n -≤≤,所以201n ≤≤,21323n ≤-≤, 所以2113d ≤≤,………… 10分于是当212d =时,2S 取到最大值14,此时S 取到最大值12,此时212n =,232m =. ………… 12分综上所述,椭圆上存在四个点⎝⎭、⎛ ⎝⎭、⎝⎭、⎛ ⎝⎭,使得直线与圆相交于不同的两点A 、B ,且OAB 的面积最大,且最大值为12. （每一个点坐标写出各1分，计4分！）………… 16分。

2014-2015学年江苏省南京市玄武区高二（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共计42分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（3分）直线的倾斜角是．2．（3分）抛物线x2=y的焦点坐标为．3．（3分）圆x2+y2﹣2x+2y=0的周长是．4．（3分）已知点（2，﹣1）在直线l上的射影为（1，1），则直线l的方程为．5．（3分）若“1≤x≤2”是“0≤x≤m”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是．6．（3分）若椭圆+=1上一点到左准线的距离为5，则该点到右焦点的距离为．7．（3分）已知实数x，y满足不等式组，则的最小值是．8．（3分）若双曲线x2﹣=1（a＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于，则a的值为．9．（3分）圆x2+y2=m与圆x2+y2﹣6x+8y﹣24=0若相交，则实数m的取值范围为．10．（3分）若双曲线=1上一点P到其左焦点的距离为5，则点P到右焦点的距离为．11．（3分）一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m．若水面下降2m，则水面宽度为m．12．（3分）若关于x的方程x+b=恰有一个解，则实数b的取值范围为．13．（3分）已知A、B、C三点在曲线上，其横坐标依次为1，m，4（1＜m＜4），当△ABC的面积最大时，m等于．14．（3分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的焦距是2c，若以a，2b，c为三边长必能构成三角形，则该椭圆离心率的取值范围是．二、解答题：本大题共5小题，15-16每小题10分，17题12分，18题14分，19题12分，共58分.请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（10分）设命题p：∃x∈[﹣1，1]，x+m＞0命题q：方程=1表示双曲线．（1）写出命题p的否定；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．16．（10分）在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，0），点B（0，2），点C （﹣，﹣1）．（1）求经过A，B，C三点的圆P的方程；（2）若直线l经过点（1，1）且被圆P截得的弦长为2，求直线l的方程．17．（12分）在平面直角坐标系xoy中，设抛物线C：y2=4x（1）求抛物线C上到焦点距离等于5的点的横坐标；（2）设命题p：过抛物线C上一点M（1，2）作两条不同的直线，分别交抛物线C于点A，B，设直线MA，MB，AB的斜率均存在且分别记为k MA，k MB，k AB 若+为定值，则k AB为定值．判断命题p的真假，并证明；（3）写出（2）中命题p的逆命题，并判断真假（不要求证明）．18．（14分）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的焦点为（﹣，0）（，0），离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若圆M：x2+（y﹣m）2=1上的点到椭圆上的点的最远距离为+1，求m 的值；（3）过坐标原点作斜率为k的直线l交椭圆于P、Q两点，点N为椭圆上任意一点（异于点P，Q），设直线NP，NQ的斜率均存在且分别记为k Np，k NQ．证明：对任意k，恒有k NP k NQ=﹣．19．（12分）已知⊙O：x2+y2=1，点S（2，m）（m≠0）是直线l：x=2上一动点，⊙O与x轴的交点分别为A、B．连接SA交⊙O于点M，连接SB并延长交⊙O 于点N，连接MB并延长交直线l于点T．（1）证明：A，N，T三点共线；（2）证明：直线MN必过一定点（其坐标与m无关）．2014-2015学年江苏省南京市玄武区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共计42分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（3分）直线的倾斜角是．【解答】解：因为直线的斜率为：﹣，所以tanα=﹣，所以直线的倾斜角为：．故答案为：．2．（3分）抛物线x2=y的焦点坐标为（0）．【解答】解：∵抛物线x2=y，∴焦点在y正半轴上，p=∴焦点坐标为（0，），故答案为；（0，），3．（3分）圆x2+y2﹣2x+2y=0的周长是2π．【解答】解：x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2所以圆的半径为，故周长为2π．故答案为：2π．4．（3分）已知点（2，﹣1）在直线l上的射影为（1，1），则直线l的方程为x ﹣2y+1=0．【解答】解：∵点（2，﹣1）在直线l上的射影为（1，1），k==﹣2，∴直线l的斜率k l=，∴直线l的方程y﹣1=（x﹣1），整理，得x﹣2y+1=0．故答案为：x﹣2y+1=0．5．（3分）若“1≤x≤2”是“0≤x≤m”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是m≥2．【解答】解：∵“1≤x≤2”是“0≤x≤m”的充分不必要条件，结合数轴判断∴根据充分必要条件的定义可得出：m≥2，故答案为：m≥26．（3分）若椭圆+=1上一点到左准线的距离为5，则该点到右焦点的距离为6．【解答】解：已知椭圆+=1则：解得：e=已知椭圆上一点到左准线的距离为5，则：设点到左焦点的距离为d，点到右焦点的距离为k，利用椭圆的第二定义：解得：d=4进一步利用椭圆的第一定义：d+k=10解得：k=6故答案为：67．（3分）已知实数x，y满足不等式组，则的最小值是．【解答】解：满足不等式组可行域如下图所示：∵表示可行域内任一点与原点连线的斜率，由图可知当x=，y=时，有最小值故答案为：8．（3分）若双曲线x2﹣=1（a＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于，则a的值为3．【解答】解：双曲线x2﹣=1的一个焦点为（，0），一条渐近线方程为y=x，则焦点到渐近线的距离为=，解得，a=3．故答案为：3．9．（3分）圆x2+y2=m与圆x2+y2﹣6x+8y﹣24=0若相交，则实数m的取值范围为（4，144）．【解答】解：圆x2+y2=m的圆心（0，0），半径为：，圆x2+y2﹣6x+8y﹣24=0的圆心（3，﹣4），半径为7，两个圆相交，则：＜＜7+，可得，解得m∈（4，144）．故答案为：（4，144）．10．（3分）若双曲线=1上一点P到其左焦点的距离为5，则点P到右焦点的距离为9．【解答】解：双曲线=1的a=2，b=2，c==4，设左右焦点为F1，F2．则有双曲线的定义，得||PF1|﹣|PF2||=2a=4，由于|PF1|=5，则有|PF2|=1或9，若P在右支上，则有|PF2|≥c﹣a=2，若P在左支上，则|PF2|≥c+a=6，故|PF2|=1舍去；由于|PF1|=5＜c+a=6，则有P在左支上，则|PF2|=9．故答案为：911．（3分）一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m．若水面下降2m，则水面宽度为m．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．设抛物线的方程为x2=﹣2py（p＞0）．∵当水面离拱顶2m时，水面宽4m．∴B（2，﹣2）．代入抛物线方程可得22=﹣2p×（﹣2），解得p=1．∴抛物线的标准方程为：x2=﹣2y．设D（x，﹣4），代入抛物线方程可得x2=﹣2×（﹣4），解得x=．∴|CD|=4．故答案为：4．12．（3分）若关于x的方程x+b=恰有一个解，则实数b的取值范围为[﹣2，0）∪{﹣1} ．【解答】解：方程x+b=解的个数即函数y=x+b与y=的交点的个数，作函数y=x+b与y=的图象如下，由图可知，直线在y=x的右侧或直线与半圆相切，故实数b的取值范围为[﹣2，0）∪{﹣1}．故答案为：[﹣2，0）∪{﹣1}．13．（3分）已知A、B、C三点在曲线上，其横坐标依次为1，m，4（1＜m＜4），当△ABC的面积最大时，m等于．【解答】解：由题意知，直线AC所在方程为x﹣3y+2=0，点B到该直线的距离为，．∵m∈（1，4），∴当时，S有最大值，此时．△ABC故答案为：．14．（3分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的焦距是2c，若以a，2b，c为三边长必能构成三角形，则该椭圆离心率的取值范围是．【解答】解：已知椭圆=1（a＞b＞0）的焦距是2c，则：b2=a2﹣c2若以a，2b，c为三边长必能构成三角形，则：a﹣c＜2b＜a+c整理得：则：即：解得：①式恒成立②式解得：由于椭圆离心率：0＜e＜1所以：故答案为：二、解答题：本大题共5小题，15-16每小题10分，17题12分，18题14分，19题12分，共58分.请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（10分）设命题p：∃x∈[﹣1，1]，x+m＞0命题q：方程=1表示双曲线．（1）写出命题p的否定；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）命题p的否定：∀x∈[﹣1，1]，x+m≤0；（2）由题意可知，p为真时，m＞﹣x≥﹣1，得m＞﹣1，q为真时，（m﹣4）（m+2）＞0，解得m＞﹣4或m＜﹣2，因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以p，q一真一假，当p为真且q为假时，，解得﹣1＜m≤4；当p为假且q为真时，解得m＜﹣2；综上，实数m的取值范围是m＜﹣2或﹣1＜m≤4．16．（10分）在平面直角坐标系xoy中，已知点A（2，0），点B（0，2），点C （﹣，﹣1）．（1）求经过A，B，C三点的圆P的方程；（2）若直线l经过点（1，1）且被圆P截得的弦长为2，求直线l的方程．【解答】解：（1）设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，∵圆经过三个点A（2，0），点B（0，2），点C（﹣，﹣1）．∴，解得D=0，E=0，F=﹣4，即圆P的方程为x2+y2=4．（2）当直线斜率k不存在时，直线方程为x=1，代入x2+y2=4．得y1=或y2=﹣，故弦长|y1﹣y2|=2，设点C到直线M得y=，满足条件．当直线斜率k存在时，设所求的方程为y﹣1=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+1=0，由已知弦心距d==1，∴，解得k=0，即直线方程为y=1，综上所求的直线方程为x=1或y=1．17．（12分）在平面直角坐标系xoy中，设抛物线C：y2=4x（1）求抛物线C上到焦点距离等于5的点的横坐标；（2）设命题p：过抛物线C上一点M（1，2）作两条不同的直线，分别交抛物线C于点A，B，设直线MA，MB，AB的斜率均存在且分别记为k MA，k MB，k AB 若+为定值，则k AB为定值．判断命题p的真假，并证明；（3）写出（2）中命题p的逆命题，并判断真假（不要求证明）．【解答】解：（1）设抛物线C上一点的横坐标为x，由题意，根据抛物线定义，得x+1=5，解得x=4，∴抛物线C上到焦点距离等于5的点的横坐标为4．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，则，，∵点A，B在抛物线C上，∴，即，代入上式，化简得：===，k AB==，∴+为定值时，y1+y2为定值，∴k AB为定值．（3）命题p的逆命题：过抛物线C上一点M（1，2）作两条不同的直线，分别交抛物线C于A，B，设直线MA，MB，AB的斜率均存在且分别记为k MA，k MB，k AB，若k AB为定值，则+为定值．命题p的逆命题是真命题．18．（14分）在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的焦点为（﹣，0）（，0），离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）若圆M：x2+（y﹣m）2=1上的点到椭圆上的点的最远距离为+1，求m 的值；（3）过坐标原点作斜率为k的直线l交椭圆于P、Q两点，点N为椭圆上任意一点（异于点P，Q），设直线NP，NQ的斜率均存在且分别记为k Np，k NQ．证明：对任意k，恒有k NP k NQ=﹣．【解答】（1）解：由题意得，解得a=2，b=1，∴椭圆方程为=1．（2）解：设圆M上任取一点S，椭圆上任取一点T，则ST≤MT+MS=MT+1，故转化为求圆心M到椭圆上点T的距离的最大值，即MT的最大值，设T（x，y），则MT2=x2+（y﹣m）2，又∵点T在椭圆上，∴，∴MT2=x2+（y﹣m）2=﹣3y2﹣2my+m2+4（﹣1≤y≤1），当﹣，即m≥3，此时y=﹣1，MT2取到最大值为m2+2m+1，∴（m+1）2=5，解得m=﹣1∉[3，+∞），舍去，当﹣，即m≤﹣3时，此时y=1，MT2取到最大值为m2﹣2m+1，∴（m﹣1）2=5，解得m=1∉（﹣∞，﹣3]，舍去，当﹣1，即﹣3＜m＜3时，y=﹣，MT2取到最大值为，∴，解得，符合题意，∴m的值为±．（3）证明：根据题意知P，Q关于原点对称，∴，，∴k NP•k NQ==，又点P，N在椭圆上，∴，两式相减，得，∴对任意k，恒有k NP k NQ=﹣．19．（12分）已知⊙O：x2+y2=1，点S（2，m）（m≠0）是直线l：x=2上一动点，⊙O与x轴的交点分别为A、B．连接SA交⊙O于点M，连接SB并延长交⊙O 于点N，连接MB并延长交直线l于点T．（1）证明：A，N，T三点共线；（2）证明：直线MN必过一定点（其坐标与m无关）．【解答】证明：（1）如图，S（2，m），A（﹣1，0），B（1，0）；则直线SA：y=（x+1），与圆的方程x2+y2=1联立消元可得，（9+m2）x2+2m2x+m2﹣9=0，解得，x=﹣1或x=﹣1+；故y=（﹣1++1）=；即M（﹣1+，）；直线SB：y=m（x﹣1），与圆的方程x2+y2=1联立消元可得，（1+m2）x2﹣2m2x+m2﹣1=0，解得，x=1或x=1﹣；故y=m（1﹣﹣1）=﹣；即N（1﹣，﹣）；直线MB：y=（x﹣1），代入x=2得，y==﹣，即T（2，﹣）；故k AN==﹣；k AT==﹣；故A，N，T三点共线；（2）直线MN的方程为：y+=（x﹣1+）；即y+=（x﹣1+）；y=（x+）﹣=（x+﹣•）=（x﹣）；故直线MN必过定点（，0）．。

2014-2015学年江苏省扬州市邗江中学高二（上）期中数学试卷（新疆班）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）已知全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，0，1}，B={﹣2，﹣1，0}，则A∩（∁U B）=．2．（5分）命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则￢p：．3．（5分）命题p：a∈M={x|x2﹣x＜0}；命题q：a∈N={x||x|＜2}，p是q的条件．4．（5分）已知命题p：函数y=lgx2的定义域是R，命题q：函数y=的值域是正实数集，给出命题：①p或q；②p且q；③非p；④非q．其中真命题个数为．5．（5分）函数f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于．6．（5分）方程2﹣x+x2=3的实数解的个数为．7．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（0）]=．8．（5分）函数y=8x2﹣lnx的单调递增区间是．9．（5分）若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则a，b，c从大到小排序为．10．（5分）设，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为．（填写具体的数据）11．（5分）曲线y=x3+x+1在点（1，3）处的切线方程是．12．（5分）若方程2x2+（a+1）x+2a﹣3=0的一个根小于﹣1，另一个根大于0，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）=，若f（f（﹣2））＞f（k），则实数k的取值范围为．14．（5分）设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是．二．解答题：15．（15分）已知集合A={x|x2﹣x﹣12＞0}，B={x|（x+a）（x﹣2a）≤0}，其中a＞0．（1）求集合A；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．16．（15分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x 满足x2﹣5x+6≤0（1）若a=1，且q∧p为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q必要不充分条件，求实数a的取值范围．17．（15分）已知函数f（x）=x2﹣mlnx．（1）若函数f（x）在（，+∞）上是递增的，求实数m的取值范围；（2）当m=2时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值．18．（15分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）19．（15分）已知函数f（x）=ax2﹣2ax+2+b（a≠0），在区间[2，3]上有最大值5，最小值2．（1）求a，b的值；（2）若b＜1，g（x）=f（x）﹣（2m）•x在[2，4]上单调，求m的取值范围．20．（15分）已知函数f（x）=e x+2x2﹣3x．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点；（3）当时，若关于x的不等式恒成立，试求实数a 的取值范围．2014-2015学年江苏省扬州市邗江中学高二（上）期中数学试卷（新疆班）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）已知全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，0，1}，B={﹣2，﹣1，0}，则A∩（∁U B）={1} ．【解答】解：∵全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，0，1}，B={﹣2，﹣1，0}，∴∁U B={1，2}，则A∩（∁U B）={1}．故答案为：{1}2．（5分）命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．【解答】解：∵命题p：“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”是特称命题∴￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0故答案为：∀x∈R，均有x2+x+1≥0．3．（5分）命题p：a∈M={x|x2﹣x＜0}；命题q：a∈N={x||x|＜2}，p是q的充分不必要条件．【解答】解：命题p：a∈M={x|x2﹣x＜0}，可知x2﹣x＜0时M={x|0＜x＜1}；命题q：a∈N={x||x|＜2}，得到|x|＜2时N={x|﹣2＜x＜2}，显然a∈M则a∈N，即p⇒q；a∈N时则a不一定∈M，q不能推出p，p是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．4．（5分）已知命题p：函数y=lgx2的定义域是R，命题q：函数y=的值域是正实数集，给出命题：①p或q；②p且q；③非p；④非q．其中真命题个数为2．【解答】解：∵命题p：“函数y=lgx2的定义域是R”是假命题，命题q：“函数y=的值域是正实数集”是真命题，∴：①p或q是真命题；②p且q是假命题；③非p是真翕题；④非q是假命题．故答案为：2．5．（5分）函数f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于．【解答】解：f′（x）=3ax2+6x，把x=﹣1代入f′（x）中得3a﹣6=4，∴a=．故答案为：6．（5分）方程2﹣x+x2=3的实数解的个数为2个．【解答】解：画出y=2﹣x与y=3﹣x2的图象有两个交点，故方程2﹣x+x2=3的实数解的个数为2个；故答案为2．7．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（0）]=0．【解答】解：∵函数，则f（0）=30=1，∴f[f（0）]=f（1）=log21=0，故答案为0．8．（5分）函数y=8x2﹣lnx的单调递增区间是（）．【解答】解：由题意可得，函数的定义域为（0，+∞）对函数求导可得，y‘=令y’＞0可得∴函数y=8x2﹣lnx的单调递增区间为（，+∞）故答案为：（）9．（5分）若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则a，b，c从大到小排序为a＞b ＞c．【解答】解：∵a=20.5＞1，0＜b=logπ3＜1，c=log2sin＜0，∴a＞b＞c．故答案为：a＞b＞c．10．（5分）设，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为1，3．（填写具体的数据）【解答】解：当a=﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；当a=1时，函数y=xα的定义域为R且为奇函数，满足要求；当a=函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当a=3时，函数y=xα的定义域为R且为奇函数，满足要求；故答案为：1，311．（5分）曲线y=x3+x+1在点（1，3）处的切线方程是4x﹣y﹣1=0．【解答】解：y′=3x2+1令x=1得切线斜率4所以切线方程为y﹣3=4（x﹣1）即4x﹣y﹣1=0故答案为4x﹣y﹣1=012．（5分）若方程2x2+（a+1）x+2a﹣3=0的一个根小于﹣1，另一个根大于0，则实数a的取值范围是a＜．【解答】解：因为方程2x2+（a+1）x+2a﹣3=0的一个根小于﹣1，另一个根大于0，所以对应函数f（x）=2x2+（a+1）x+2a﹣3的图象如图，由图得f（﹣1）＜0且f（0）＜0，⇒a＜即a＜故答案为：a＜．13．（5分）已知函数f（x）=，若f（f（﹣2））＞f（k），则实数k的取值范围为＜k＜4．【解答】解：f（﹣2）=，f（4）=（4﹣1）2=32=9，则不等式等价为f（k）＜9，若k＜0，由，解得log，若k≥0，由（k﹣1）2＜9，解得﹣2＜k＜4，此时0≤k＜4，综上：＜k＜4，故答案为：＜k＜414．（5分）设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是．【解答】⑨解：∵函数g（x）至少存在一个零点，∴x2﹣2ex+m﹣=0有解，即m=﹣x2+2ex+，∵m'=﹣2x+2e+=﹣2（x﹣e）+，∴当x∈（0，e）时，m'＞0，m为关于x的增函数；当x∈（e，+∞）时，m'＜0，m为关于x的减函数．因此，画出函数y=﹣x2+2ex+的图象如右图所示，则若函数g（x）至少存在一个零点，则m小于函数y=﹣x2+2ex+的最大值即可，函数y=﹣x2+2ex+的最大值为：即m≤．故答案为．二．解答题：15．（15分）已知集合A={x|x2﹣x﹣12＞0}，B={x|（x+a）（x﹣2a）≤0}，其中a＞0．（1）求集合A；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若x2﹣x﹣12＞0，则（x﹣4）（x+3）＞0，解得：x＜﹣3，或x＞4，故集合A={x|x2﹣x﹣12＞0}={x|x＜﹣3，或x＞4}，（2）∵a＞0，∴B={x|（x+a）（x﹣2a）≤0}={x|﹣a≤x≤2a}，若A∩B=∅，则，解得a≤2，故实数a的取值范围（0，2]16．（15分）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x 满足x2﹣5x+6≤0（1）若a=1，且q∧p为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0⇔（x﹣3a）（x﹣a）＜0，∵a＞0为，所以a＜x＜3a；当a=1时，p：1＜x＜3；命题q：实数x满足x2﹣5x+6≤0⇔2≤x≤3；若p∧q为真，则p真且q真，∴2≤x＜3；故x的取值范围是[2，3）（2）p是q的必要不充分条件，即由p得不到q，而由q能得到p；∴（a，3a）⊃[2，3]⇔，1≤a≤2∴实数a的取值范围是[1，2]．17．（15分）已知函数f（x）=x2﹣mlnx．（1）若函数f（x）在（，+∞）上是递增的，求实数m的取值范围；（2）当m=2时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）若函数f（x）在（，+∞）上是增函数，则f′（x）≥0在（，+∞）上恒成立．而f′（x）=x﹣，即m≤x2在（，+∞）上恒成立，可得m≤．（2）当m=2时，f′（x）=x﹣=，令f′（x）=0得x=±，当x∈[1，）时，f′（x）＜0，当x∈（，e）时，f′（x）＞0．故x=是函数f（x）在[1，e]上唯一的极小值点，故f（x）min=f（）=1﹣ln2，又f（1）=，f（e）=e2﹣2=＞，故f（x）max=．18．（15分）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）【解答】解：（1）当；当x＞10时，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=98﹣﹣2.7x．∴W=（2）①当0＜x＜10时，由W'=8.1﹣=0，得x=9，且当x∈（0，9）时，W'＞0；当x∈（9，10）时，W'＜0，∴当x=9时，W取最大值，且②当x＞10时，当且仅当，即x=时，W=38，故当x=时，W取最大值38．综合①②知当x=9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．19．（15分）已知函数f（x）=ax2﹣2ax+2+b（a≠0），在区间[2，3]上有最大值5，最小值2．（1）求a，b的值；（2）若b＜1，g（x）=f（x）﹣（2m）•x在[2，4]上单调，求m的取值范围．【解答】解（1）f（x）=a（x﹣1）2+2+b﹣a，①当a＞0时，f（x）在[2，3]上为增函数故②当a＜0时，f（x）在[2，3]上为减函数故（2）∵b＜1∴a=1b=0即f（x）=x2﹣2x+2g（x）=x2﹣2x+2﹣（2m）x=x2﹣（2+2m）x+2或，∴2m≤2或2m≥6，即m≤1或m≥log 2620．（15分）已知函数f（x）=e x+2x2﹣3x．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点；（3）当时，若关于x的不等式恒成立，试求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=e x+4x﹣3，则f'（1）=e+1，又f（1）=e﹣1，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e+1=（e+1）（x﹣1），即（e+1）x﹣y﹣2=0；（2）∵f′（0）=e0﹣3=﹣2＜0，f′（1）=e+1＞0，∴f′（0）•f′（1）＜0，令h（x）=f′（x）=e x+4x﹣3，则h′（x）=e x+4＞0，∴f′（x）在[0，1]上单调递增，∴f′（x）在[0，1]上存在唯一零点，∴f（x）在[0，1]上存在唯一的极值点；（3）由，得，即，∵，∴，令，则，令，则ϕ'（x）=x（e x﹣1）∵，∴ϕ'（x）＞0，∴ϕ（x）在上单调递增，∴，因此g'（x）＞0，故g（x）在上单调递增，则．∴实数a的取值范围a≤．。

江苏省2014—2015学年高二第一学期期中模拟考试数学试题1．抛物线24y x =的焦点坐标为 ．2．下列命题中所有真命题的序号是________________. ①“a b >”是“22a b >”的充分条件； ②“a b >”是“22a b >”的必要条件； ③“a b >”是“a c b c +>+”的充要条件.3．在平面直角坐标系中，若点(,1)a -在直线210x y -+=的上方（不含边界），则实数a 的取值范围是 ．4．过抛物线y=)(x f 上一点A （1，0）的切线的倾斜角为45°则)1(/f =__________.5．点A (0,1)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离为______________. 6． 设变量x ，y 满足约束条件311x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为 ．7．一物体做加速直线运动，假设t （s ）时的速度为2()3v t t =+，则2t =时物体的加速度为 ．8．不等式()03222≥---x x x 的解集是 9． 直线l ：y ＝x －1被圆(x －3)2＋y 2＝4截得的弦长为 ．10．直线l 的方程为y ＝x ＋3，在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线122x －42y ＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为11．已知0302390x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y =-的最大值是________.12．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为的直线与抛物线在x 轴上方部分相交于点A ，则AF= ．13．已知点()()2,0,0,2A B -，若点C 是圆2220x x y -+=上的动点，则ABC △面积的最小值为 ．14．设圆C 的圆心与双曲线2222x y a -＝1(a >0)的右焦点重合，且该圆与此双曲线的渐近线相切，若直线l ：xy ＝0被圆C 截得的弦长等于2，则a 的值为________．15．函数)(x f ＝x -4)93lg(-+x的定义域为A ，集合B ＝{}Ｒa a x x ∈<-,0，（1）求：集合A ； （2）若∅≠⋂B A ，求a 的取值范围．16．已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取值范围为(1,3)，求： （1）()f x 的解析式；（2）[2,3]x ∈，求()'()6(2)g x f x m x =+-的最大值；17．已知一个圆经过直线l ：240x y ++=与圆C ：222410x y x y ++-+=的两个交点，并且面积有最小值，求此圆的方程．18．已知椭圆222:1x C y m +=的左、右焦点分别为12F F 、,离心率为2.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线:(0)l y x t t =+>与椭圆C 交于,A B O 在以线段AB 为直径的圆内, 求实数t 的取值范围.19．已知圆M 的圆心在直线260x y --=上，且过点(1,2)、(4,1)-． （1）求圆M 的方程；（2）设P 为圆M 上任一点，过点P 向圆O ：221x y +=引切线，切点为Q ．试探究： 平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说 明理由．20．已知焦点在x 轴的椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短半轴长为1，动点(2,)M t (0)t > 在直线2a x c=（a 为长半轴，c 为半焦距）上.（1）求椭圆的标准方程；（2）求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值参考答案1．（1，0） 【解析】试题分析：由抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(,0)2p得：（1，0） 考点：抛物线的焦点 2．②③ 【解析】试题分析：对于命题①，取1a =，2b =-，则a b >，且21a =，24b =，则“a b >”不是“22a b >”的充分条件；对于命题②，由22a b >，可得22a b >，故有a b >，故“a b >”是“22a b >”的必要条件，命题②正确；对于命题③，在不等式a b >两边同时加上c 得a c b c +>+，另一方面，在不等式a c b c +>+两边同时减去c 得a b >，故“a b >”是“a c b c +>+”的充要条件，命题③正确，故真命题的序号是②③.3．(,1)-∞- 【解析】试题分析：由题意得：当x a =时，1y <-，即211, 1.a a +<-<- 考点：不等式表示区域 4．1【解析】由题意可知切线斜率为1，由导数定义知)1(/f =15【解析】试题分析：双曲线2214x y -=的渐近线方程为：02xy ±=，点A (0,1)5=. 考点：双曲线的标准方程.6．5 【解析】试题分析：约束条件311x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩表示一个三角形ABC 及其内部，其中(2,1),(0,1),(1,2).A B C 因此直线2y x z =-+过点(1,2)C 时，目标函数z ＝2x ＋y 取最大值为5.考点：线性规划 7．4 【解析】试题分析：由导数的物理意义知：物体的加速度为速度的导函数()2v t t '=，所以2t =时物体的加速度为() 4.v t '=考点：加速度为速度的导函数 8．{13-=≥x x x 或 【解析】解：因为()2222x 2x 2x 30x 2x 30x 2x 3=0x 20x 3x 2x 3=0---≥⎧-->∴--⎨-≥⎩∴>--∴或或 故填写{x x 3x 1}≥=-或 9．22 【解析】试题分析：根据圆半径、圆半弦长及圆心到直线距离构成一个直角三角形得：弦长为222,r d -其中|31|2,22r d -===，所以弦长为2422 2.-= 考点：点到直线距离 10．x25＋y24＝1【解析】略 11．2 【解析】 试题分析：图中阴影部分即是不等式组表示的区域，红线即是x y -取不同值时的直线，由图知z x y =-在直线30x y -=和2390x y +-=的交点()3,1处取得最大值2.考点：简单的线性规划. 12．4【解析】试题分析：由题意得：(1,0),:3(1)F AF y x =-，与24y x =联立方程组解得：3x =，或13x =（舍），因此31 4.AF =+= 考点：抛物线定义 13．32- 【解析】试题分析： 2220x x y -+=，即2211x y -+=（），∴圆的圆心10（，），半径为1． 如图，过圆心作AB 所在直线的垂线，交圆于C ，此时ABC △的面积最小．圆心到直线AB ：2y x =+322，所以3212AB ==，， ∴113212232222()ABCSAB BC ⋅=-⋅=-＝． 即ABC △面积的最小值为32.考点：直线方程，点到直线的距离公式，圆的方程. 142【解析】由题知圆心C 22a +，0)2x ±ay ＝0，圆心C 到渐近线的距离d 22222a a ++2，即圆C 2.由直线l 被圆C 截得的弦长为2及圆C 2可知，圆心C 到直线 l 的距离为12213a ++1，解得a 2.15．(1) }42|{≤<=x x A ；（2）),2(+∞． 【解析】试题分析：(1)要使函数)(x f 有意义，只需满足⎩⎨⎧>-≥-09304x x ，从而求出集合A ；（2）由（1）可得集合}42|{≤<=x x A ，而集合}|{a x x B <=，若2≤a ，则∅=⋂B A ，所以2>a ．试题解析：（1）要使函数)(x f 有意义，只需满足⎩⎨⎧>-≥-09304x x ，解得⎩⎨⎧>≤24x x ，即42≤<x ，从而求出集合}42|{≤<=x x A ．(2) 由（1）可得集合}42|{≤<=x x A ，而集合}|{a x x B <=，若2≤a ，则∅=⋂B A ，所以2>a ，即a 的取值范围是),2(+∞.考点：本题主要考查了函数的定义域的定义，集合间的基本关系和基本运算.16．（1）32()69f x x x x =-+-；（2）若23m ≤≤：2max ()()39g x g m m ==-，若3m >：max ()(3)1836g x g m ==-，若2m <：则max ()(2)1221g x g m ==-.【解析】试题分析：（1）由题意可知2'()32f x ax bx c =++，而'()0f x >的解集为(1,3)，从而可以得到方程'()0f x =的两根为1,3，由韦达定理可将b ，c 用含a 的代数式表示出来：0021*******a a b b a a c ac a ⎧⎪<<⎧⎪⎪⎪+=-⇒=-⎨⎨⎪⎪=⎩⎪⋅=⎪⎩，再结合()f x 在0x 处取得极小值4-，即可得(1)46941f a b c a a a a =++=-⇒-+=-⇒=-，从而得到32()69f x x x x =-+-；（2）由（1）可知2()'()6(2)369g x f x m x x mx =+-=-+-，二次函数对称轴为x m =，结合二次函数的图像与性质，需对m 的取值分以下三种情况分类讨论：若23m ≤≤：2max ()()39g x g m m ==-，若3m >：max ()(3)1836g x g m ==-，若2m <：则max ()(2)1221g x g m ==-.试题解析：（1）∵32()f x ax bx cx =++，∴2'()32f x ax bx c =++，∵'()0f x >的解集为(1,3)，∴方程2320ax bx c ++=的两根为1，3且0a <，∴0021*******a a b b a a c ac a ⎧⎪<<⎧⎪⎪⎪+=-⇒=-⎨⎨⎪⎪=⎩⎪⋅=⎪⎩，又∵()f x 在0x 处取得极小值4-，即在1x =处，取得极小值4-，∴(1)46941f a b c a a a a =++=-⇒-+=-⇒=-，∴32()69f x x x x =-+-；（2）由（1）可知，2()'()6(2)369g x f x m x x mx =+-=-+-，其对称轴为x m =，∴若23m ≤≤：2max ()()39g x g m m ==-，若3m >：max ()(3)1836g x g m ==-，若2m <：则max ()(2)1221g x g m ==-. 考点：1.导数的运用；2.二次函数的值域. 17．221364()()555x y ++-= 【解析】试题分析：圆面积最小就是圆半径最小，而当以直线与圆交点为直径时所求圆半径最小. 由222402410x y x y x y ++=⎧⎨++-+=⎩解得1132x y =-⎧⎨=⎩或2211525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，以点112(3,2),(,)55A B --为直径的圆方程为112(3)()(2)()055x x y y +++--=，化简为221364()()555x y ++-= 试题解析：解法一：由222402410x y x y x y ++=⎧⎨++-+=⎩解得1132x y =-⎧⎨=⎩或2211525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 过该两点的圆的面积最小，可求得其方程为221364()()555x y ++-= 解法二：所求圆的圆心为2401(1)22x y y x ++=⎧⎪⎨=++⎪⎩的交点，可求得13565x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 可求得其方程为221364()()555x y ++-= 解法三：圆系方程可求得其方程为221364()()555x y ++-=考点：圆方程18．(Ⅰ) 椭圆C 的方程为2212x y +=(Ⅱ)0t <<【解析】(I)因为b=1,所以根据离心率可建立关于m 的方程，求出m 值，进而确定椭圆标准方程.依题意,可知1m >,且e =,所以222222211112a b b e a a m -===-=-, 所以22m =,即椭圆C 的方程为2212x y +=. ………………5分（II ）解本小题的突破口是设1122(,),(,)A x y B x y ,则原点O 在以线段AB 为直径的圆内等价于说2AOB π<∠<π(,,A O B 三点不共线)，也就等价于说0OA OB ⋅<,即12120x x y y +<.然后再把直线方程与椭圆方程联立消去y ，得到关于x 的一元二次方程，借助韦达定理及判别式来解决即可. 设1122(,),(,)A x y B x y ,则原点O 在以线段AB 为直径的圆内等价于说2AOB π<∠<π(,,A O B 三点不共线)也就等价于说0OA OB ⋅<,即12120x x y y +<…① ……………7分联立2222y x t x y =+⎧⎨+=⎩,得22342(1)0x tx t ++-=, 所以221624(1)0t t ∆=-->,即203t <<……② 且21212422,33t t x x x x --+==………………………10分 于是22121212122()()()3t y y x t x t x x t t x x -⋅=++=+++=代入①式得,22222033t t --+<,即243t <适合②式……………12分又0t >,所以解得0t <<即求. …………………13分19．（1）22(4)(2)9x y -+-=，（2）存在点(2,1)R 或21(,)55满足题意． 【解析】(1,2)、(4,1)-连线段的中垂线：2y x =-上，又在直线260x y --=上，所以圆心为(4,2)，半径3=，因此圆方程为22(4)(2)9x y -+-=，（2）存在性问题，一般从假设存在出发，将存在是否转化为对应方程是否有解. 设(,)P x y ，(,)R a b ，则22(4)(2)9x y -+-=，即228411x y x y +=+-，又2221PQ x y =+-，2222222()()22PR x a y b x y ax by a b =-+-=+--++，故28412PQ x y =+-，222(82)(42)11PR a x b y a b =-+-++-，又设PQt PR=为定值，故8412x y +-=222[(82)(42)11]t a x b y a b -+-++-，可得222228(82)4(42)12(11)a t b t a b t ⎧=-⎪=-⎨⎪-=+-⎩，解得11121a b t ⎧=⎪=⎨⎪=⎩或2222515a b t ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩综上，存在点(2,1)R 或21(,)55满足题意． 试题解析：解：（1）圆M ：22(4)(2)9x y -+-=；（2）设(,)P x y ，(,)R a b ，则22(4)(2)9x y -+-=，即228411x y x y +=+-，又2221PQ x y =+-，2222222()()22PR x a y b x y ax by a b =-+-=+--++，故28412PQ x y =+-，222(82)(42)11PR a x b y a b =-+-++-， 又设PQt PR=为定值，故8412x y +-=222[(82)(42)11]t a x b y a b -+-++-， 可得222228(82)4(42)12(11)a t b t a b t ⎧=-⎪=-⎨⎪-=+-⎩，解得11121a b t ⎧=⎪=⎨⎪=⎩或2222515a b t ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，综上，存在点(2,1)R 或21(,)55满足题意． 考点：圆的方程，圆的切线长20．（1）又由点M 在准线上，得22a c=故212c c+=，1c ∴=从而a = 所以椭圆方程为2212x y += （2）以OM 为直径的圆的方程为(2)()0x x y y t -+-= 即222(1)()124t t x y -+-=+ 其圆心为(1,)2t ,半径r = 因为以OM 为直径的圆被直线3450x y --=截得的弦长为2所以圆心到直线3450x y --=的距离d = 2t = 所以32552t t --=，解得4t = 所求圆的方程为22(1)(2)5x y -+-=（3）方法一：由平几知：2ONOK OM = 直线OM ：2t y x =，直线FN ：2(1)y x t=-- 由22(1)t y x y x t ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得244K x t =+2224(1)2244ON t t ∴==+••=+ 所以线段ON。

2014～2015学年度第一学期期中考试高二数学试题一．填空题（每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 1. 命题“2,220x R x x ∃∈++=”的否定是 ▲ .2. 过点()4,3P --，倾斜角为135°的直线的方程为 ▲ .3. ()43,7M xoy -点，关于平面的对称点的坐标为 ▲ .4. 直线240x y +-=在两坐标轴上的截距之和为 ▲ .5. 已知一个球的体积为336cm π，则这个球的表面积为 ▲ .6. 直线()230215x y +-=-被圆心为，的圆截得的弦长为，则圆的方程为 ▲ 7. “1a =”是“01ax y x ay +=+=直线与直线平行”的 ▲ 条件 （填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”） 8. ()()(),00,2,1,1P m A B 点到定点距离之和的最小值是 ▲9. 在过点()2,3的直线中，被圆22240x y x y +--=截得的弦长最短的直线的方程为▲10. ,,_______a b c αβγ设为不同的直线，，，为不同的平面，则下面命题正确的个数为 ①,a c b c a b ⊥⊥若则 ②,a b b a a ααα⊂若则或 ③,a a b b αα⊥⊥若则 ④,αγβγαβ⊥⊥若则11. 若圆222424030x y k x y k k k x y ++-+-=-+=关于直线对称，则实数的值为▲12. 若命题“[)()21,3,220x x a x ∃∈+--≥是不等式”是假命题，则实数a 的值为▲13. 在2,1,ABC BC AB AC ABC ∆==∆中，已知则面积的最大值是▲14. 圆()()2220x a y a a x y a -+-=+=上恰有两点到直线的取值范围是 ▲二、解答题（共6小题，合计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．） 15.（本小题满分14分）[)()22:11:4240""""p y x mx q x m x p q p q m =++-+∞--+=已知命题二次函数在，上单调递增；命题方程没有实数根。

2014-2015学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．（5分）抛物线y2=8x的焦点坐标是．2．（5分）经过点（﹣2，3）且与直线2x+y﹣5=0垂直的直线方程为．3．（5分）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为．4．（5分）已知无论k取任何实数，直线（1+4k）x﹣（2﹣3k）y+（2﹣14k）=0必经过一定点，则该定点坐标为．5．（5分）设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=．6．（5分）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm．7．（5分）如果规定：“x=y，y=z，则x=z”叫做x，y，z关于等量关系具有传递性，那么空间三直线a，b，c关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系中具有传递性的是．8．（5分）双曲线=1（m＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则m=．9．（5分）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为，则它到右准线的距离为．10．（5分）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题，真命题的序号是（写出所有真命题的序号）11．（5分）椭圆=1（a＞b＞0），F1，F2为椭圆的两个焦点且F1，F2到直线+=1的距离之和为b，则离心率e=．12．（5分）若点A，B在曲线x2﹣y2=2（x＞0）上，则•的最小值为．13．（5分）已知过点P（m，2）作直线l与圆O：x2+y2=1交于A，B两点，且A 为线段PB的中点，则m的取值范围为．14．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率e=，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB倾斜角分别为α，β，则=．二、解答题：（本大题共6小题，计90分）15．（14分）已知直线l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5=0和l2：6x+2（2m﹣1）y=5．问m为何值时，有：（1）l1∥l2？（2）l1⊥l2？16．（14分）如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．求证：（1）PB∥平面AEC；（2）平面PCD⊥平面PAD．17．（15分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB=BC=CA=，AD=CD=1．（1）求证：BD⊥AA1；（2）在棱BC上取一点E，使得AE∥平面DCC1D1，求的值．18．（15分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D（8，0）．观测点A（4，0）、B（6，0）同时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？19．（16分）（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点（﹣2，﹣）的椭圆的标准方程．（2）已知椭圆C的方程是+=1（a＞b＞0）．设斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上．（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心．20．（16分）在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为A（0，﹣1），B（0，1），平面内两点G，M同时满足：①G为△ABC的重心；②M到△ABC三点A，B，C的距离相等；③直线GM的倾斜角为．（1）求证：顶点C在定椭圆E上，并求椭圆E的方程；（2）设P，Q，R，N都在曲线E上，点，直线PQ与RN都过点F并且相互垂直，求四边形PRQN的面积S的最大值和最小值．2014-2015学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．（5分）抛物线y2=8x的焦点坐标是（2，0）．【解答】解：抛物线y2=8x，所以p=4，所以焦点（2，0），故答案为（2，0）．2．（5分）经过点（﹣2，3）且与直线2x+y﹣5=0垂直的直线方程为x﹣2y+8=0．【解答】解：设与直线2x+y﹣5=0垂直的直线方程为x﹣2y+m=0，把点（﹣2，3）代入可得﹣2﹣6+m=0，∴m=8，故所求的直线的方程为x﹣2y+8=0，故答案为：x﹣2y+8=0．3．（5分）以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为x2+y2﹣2x=0．【解答】解：∵抛物线y2=4x∴焦点（1，0）∴所求圆的圆心为（1，0）又∵所求圆过坐标原点∴所求圆的半径R=1∴所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=1即x2﹣2x+y2=0…故答案为：x2﹣2x+y2=0．4．（5分）已知无论k取任何实数，直线（1+4k）x﹣（2﹣3k）y+（2﹣14k）=0必经过一定点，则该定点坐标为（2，2）．【解答】解：直线（1+4k）x﹣（2﹣3k）y+（2﹣14k）=0即x﹣2y+2+k（4x+3y ﹣14）=0，由解得，故直线（1+4k）x﹣（2﹣3k）y+（2﹣14k）=0必经过一定点（2，2），故答案为（2，2）．5．（5分）设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=0．【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2，故圆心到直线ax﹣y+3=0的距离为=1，即=1，解得a=0，故答案为0．6．（5分）圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是4cm．【解答】解：设球半径为r，则由3V球+V水=V柱可得3×，解得r=4．故答案为：47．（5分）如果规定：“x=y，y=z，则x=z”叫做x，y，z关于等量关系具有传递性，那么空间三直线a，b，c关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系中具有传递性的是平行．【解答】解：空间三直线a，b，c关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系中具有传递性的是平行，即由平行公理知直线的平行具有传递性，故答案为：平行8．（5分）双曲线=1（m＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则m=．【解答】解：由双曲线=1（m＞0）可得渐近线方程为y=±x，∵双曲线=1（m＞0）的一条渐近线方程为y=2x，∴，∴m=．故答案为：；9．（5分）已知椭圆上一点P到左焦点的距离为，则它到右准线的距离为3．【解答】解：由椭圆的第一定义得点P到右焦点的距离等于4﹣=，离心率e=，再由椭圆的第二定义得=e=，∴点P到右准线的距离d=3，故答案为：3．10．（5分）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题，真命题的序号是（1）（2）（写出所有真命题的序号）【解答】解：由面面平行的判定定理可知，（1）正确．由线面平行的判定定理可知，（2）正确．对于（3）来说，α内直线只垂直于α和β的交线l，得不到其是β的垂线，故也得不出α⊥β．对于（4）来说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α．也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话，l不一定垂直于α．11．（5分）椭圆=1（a＞b＞0），F1，F2为椭圆的两个焦点且F1，F2到直线+=1的距离之和为b，则离心率e=．【解答】解：直线+=1可化为：bx+ay﹣ab=0，由椭圆=1（a＞b＞0）得，F1（﹣c，0），F2（c，0），∴F1，F2到直线+=1的距离之和为，化简得：a=b，∴e====．故答案为：．12．（5分）若点A，B在曲线x2﹣y2=2（x＞0）上，则•的最小值为2．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），x1＞0，x2＞0，且x1x2≥2．•=x1x2+y1y2≥=≥==x1x2﹣|x1x2﹣2|=x1x2﹣（x1x2﹣2）=2．∴•的最小值为2．故答案为：2．13．（5分）已知过点P（m，2）作直线l与圆O：x2+y2=1交于A，B两点，且A 为线段PB的中点，则m的取值范围为．【解答】解：因为A是PB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴PA≤2，∴点P到原点距离小于等于3，∴m2+4≤9，∴﹣≤m≤，∴m的取值范围是[﹣，]．故答案为：．14．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率e=，A，B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A，B的一点，直线PA，PB倾斜角分别为α，β，则=．【解答】解：由题意，A（﹣a，0），B（a，0），设P（x，y），则tanα=，tan，∴tanαtanβ==∵椭圆=1（a＞b＞0）的离心率e=，∴=∴a2=b2，∴，∴，=﹣，tanαtanβ=﹣，∴==．故答案为：二、解答题：（本大题共6小题，计90分）15．（14分）已知直线l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5=0和l2：6x+2（2m﹣1）y=5．问m为何值时，有：（1）l1∥l2？（2）l1⊥l2？【解答】解答：由（m+2）（2m﹣1）=6m+18得m=4或m=﹣；当m=4时，l1：6x+7y﹣5=0，l2：6x+7y=5，即l1与l2重合；当m=﹣；时，l1：﹣x+y﹣5=0，l2：6x﹣6y﹣5=0，即l1∥l2．∴当m=﹣时，l1∥l2．（2）由6（m+2）+（m+3）（2m﹣1）=0得m=﹣1或m=﹣；∴当m=﹣1或m=﹣时，l1⊥l2．16．（14分）如图，在四棱锥P‐ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．求证：（1）PB∥平面AEC；（2）平面PCD⊥平面PAD．【解答】解：（1）连结BD，AC交于O．∵ABCD是正方形，∴AO=OC，OC=AC连结EO，则EO是△PBD的中位线，可得EO∥PB∵EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC（2）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA又∵ABCD是正方形，可得AD⊥CD，且PA∩AD=A∴CD⊥平面PAD∵CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD17．（15分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB=BC=CA=，AD=CD=1．（1）求证：BD⊥AA1；（2）在棱BC上取一点E，使得AE∥平面DCC1D1，求的值．【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，因为BA=BC，DA=DC，所以BD⊥AC．因为平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD=AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C，因为AA1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥AA1；（2）解：点E为BC中点，即=1，下面给予证明：在三角形ABC中，因为AB=AC，E为BC中点，所以AE⊥BC，又在四边形ABCD中，AB=BC=CA=，DA=DC=1，所以∠ACB=60°，∠ACD=30°，所以DC⊥BC，即平面ABCD中有，AE∥DC．因为DC⊂平面DCC1D1，AE⊄平面DCC1D1，所以AE∥平面DCC1D1．18．（15分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D（8，0）．观测点A（4，0）、B（6，0）同时跟踪航天器．（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x轴上方时，观测点A、B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【解答】解：（1）设曲线方程为，由题意可知，．∴．∴曲线方程为．（2）设变轨点为C（x，y），根据题意可知得4y2﹣7y﹣36=0，y=4或（不合题意，舍去）．∴y=4．得x=6或x=﹣6（不合题意，舍去）．∴C点的坐标为（6，4），．答：当观测点A、B测得AC、BC距离分别为时，应向航天器发出变轨指令．19．（16分）（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点（﹣2，﹣）的椭圆的标准方程．（2）已知椭圆C的方程是+=1（a＞b＞0）．设斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上．（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为+=1，a＞b＞0，∴a2=b2+4，即椭圆的方程为+=1．∵点（﹣2，﹣）在椭圆上，∴+=1．解得b2=4或b2=﹣2（舍）．由此得a2=8，即椭圆的标准方程为+=1．（2）证明：设直线l的方程为y=kx+m，与椭圆C的交点A（x1，y1）、B（x2，y2），y=kx+m，则有+=1．解得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．∵△＞0，∴m2＜b2+a2k2，即﹣＜m＜．则x1+x2=﹣，y1+y2=kx1+m+kx2+m=，∴AB中点M的坐标为（﹣，）．∴线段AB的中点M在过原点的直线b2x+a2ky=0上．（3）解：如图，作两条平行直线分别交椭圆于A、B和C、D，并分别取AB、CD 的中点M、N，连接直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A1、B1和C1、D1，并分别取A1B1、C1D1的中点M1、N1，连接直线M1N1，那么直线MN和M1N1的交点O即为椭圆中心．20．（16分）在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点为A（0，﹣1），B（0，1），平面内两点G，M同时满足：①G为△ABC的重心；②M到△ABC三点A，B，C的距离相等；③直线GM的倾斜角为．（1）求证：顶点C在定椭圆E上，并求椭圆E的方程；（2）设P，Q，R，N都在曲线E上，点，直线PQ与RN都过点F并且相互垂直，求四边形PRQN的面积S的最大值和最小值．【解答】解：（1）设C（x，y），∵，∴G为△ABC的重心，∴，又∵M为△ABC的外心且M在x轴上，∴，由MA=MC得，整理得：．（2）恰为的右焦点，设PQ的斜率为k（k≠0），则PQ：，由，得．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，∴=，∵RN⊥PQ，把k换成，得，∴==，∴，∴，当且仅当k=±1时，取等号，又当k不存在或者k=0时，S=2，综上：，∴．。

2014-2015学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上）1．（3分）已知空间一点A的坐标是（5，2，﹣6），P点在x轴上，若PA=7，则P点的坐标是．2．（3分）命题“∃x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是．3．（3分）圆C1：（x+1）2+（y+1）2=1和圆C2：x2+y2+4x﹣4y﹣1=0的位置关系是．4．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0），若点C满足条件AC=2BC，则点C的轨迹方程是．5．（3分）过点（2，﹣2）的抛物线的标准方程是．6．（3分）点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6=0的上方，则t的取值范围是．7．（3分）已知曲线C：y2﹣4x2n=0，则“n为正奇数”是“曲线C关于y轴对称”的条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个）．8．（3分）椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为．9．（3分）已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为2，一条准线方程为y=﹣1，则其渐近线方程为．10．（3分）圆心在y轴上，且与直线2x+3y﹣10=0相切于点A（2，2）的圆的方程是．11．（3分）若“（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0”是“1＜2x＜16”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．12．（3分）直线y=﹣x﹣b与曲线有且只有一个交点，则b的取值范围是．13．（3分）曲线=（2﹣x）的焦点是双曲线C的焦点，点（3，﹣）在C上，则C的方程是．14．（3分）已知圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=4过坐标原点，则a+b的最大值是．二、解答题（本大题共6小题，共计58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（8分）写出命题“若直线l的斜率为﹣1，则直线l在两坐标轴上截距相等”的逆命题，否命题与逆否命题，并分别指出这三个命题是真命题还是假命题？16．（9分）某企业计划生产A，B两种产品．已知生产每吨A产品需3名工人，耗电4kW，可获利润7万元；生产每吨B产品需10名工人，耗电5kW，可获利润12万元，设分别生产A，B两种产品x吨，y吨时，获得的利润为z万元．（1）用x，y表示z的关系式是；（2）该企业有工人300名，供电局只能供电200kW，求x，y分别是多少时，该企业才能获得最大利润，最大利润是多少万元？17．（10分）已知直线l：2x+y+4=0与圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的两个交点分别为A，B．（1）求A，B的坐标；（2）点D在x轴上，使三角形ABD为等腰三角形，求点D的坐标．18．（10分）设直线l的方程是x+my+2=0，圆O的方程是x2+y2=r2（r＞0）．（1）当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点，求r的取值范围；（2）r=4时，求直线l被圆O截得的弦长的取值范围．19．（10分）已知双曲线C1：﹣8y2=1（a＞0）的离心率是，抛物线C2：y2=2px的准线过C1的左焦点．（1）求抛物线C2的方程；（2）若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，4）是C2上三点，且CA⊥CB，证明：直线AB过定点，并求出这个定点的坐标．20．（11分）椭圆+=1（a＞b＞0）的中心是O，左，右顶点分别是A，B，点A到右焦点的距离为3，离心率为，P是椭圆上与A，B不重合的任意一点．（1）求椭圆方程；（2）设Q（0，﹣m）（m＞0）是y轴上定点，若当P点在椭圆上运动时PQ最大值是，求m的值．2014-2015学年江苏省南京市鼓楼区高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分．请把答案填写在答题卡相应位置上）1．（3分）已知空间一点A的坐标是（5，2，﹣6），P点在x轴上，若PA=7，则P点的坐标是（8，0，0）或（2，0，0）．【解答】解：设P的坐标是（a，0，0），点A的坐标为（5，2，﹣6），PA=7，∴解得a=8或2∴P点的坐标是：（8，0，0）或（2，0，0）故答案为：（8，0，0）或（2，0，0）2．（3分）命题“∃x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是∀x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1＜0”的否定是：∀x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．故答案为：∀x∈[﹣1，1]，x2﹣3x+1≥0．3．（3分）圆C1：（x+1）2+（y+1）2=1和圆C2：x2+y2+4x﹣4y﹣1=0的位置关系是相交．【解答】解：由题意可得，圆C2：x2+y2+4x﹣4y﹣1=0可化为（x+2）2+（y﹣2）2=9两圆的圆心距C1C2==，∵3﹣1＜＜1+3，∴两圆相交．故答案为：相交．4．（3分）已知点A（﹣1，0），B（1，0），若点C满足条件AC=2BC，则点C的轨迹方程是3x2+3y2﹣10x+3=0．【解答】解：设点C的坐标是（x，y），因为点A（﹣1，0），B（1，0），且AC=2BC，所以，两边平方后化简得，3x2+3y2﹣10x+3=0，所以点C的轨迹方程是：3x2+3y2﹣10x+3=0，故答案为：3x2+3y2﹣10x+3=0．5．（3分）过点（2，﹣2）的抛物线的标准方程是y2=2x或x2=﹣2y．【解答】解：①设焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2=ax，将点（2，﹣2）代入可得a=2，故抛物线的标准方程为y2=2x②设焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2=by，将点（2，﹣2）代入可得b=﹣2故抛物线的标准方程为x2=﹣2y故答案为：y2=2x或x2=﹣2y6．（3分）点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6=0的上方，则t的取值范围是t＞．【解答】解：点（﹣2，t）在直线2x﹣3y+6=0的上方，则﹣4﹣3t+6＜0 则t的取值范围是：t＞故答案为：t＞7．（3分）已知曲线C：y2﹣4x2n=0，则“n为正奇数”是“曲线C关于y轴对称”的充分不必要条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中的一个）．【解答】解：∵线C：y2﹣4x2n=0，则“n为正奇数”，∴设P（x，y）在曲线C：y2﹣4x2n=0上，把点P′（﹣x，y）代入曲线可得：y2﹣4（﹣x）2n=0，即y2﹣4（x）2n=0成立，∴P′（﹣x，y）点在曲线上，∴曲线C关于y轴对称，根据充分必要条件的定义可判断：“n为正奇数”是“曲线C关于y轴对称”的充分不必要故答案为：充分不必要8．（3分）椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为24．【解答】解：由题意得a=7，b=2 ，∴c=5，两个焦点F1 （﹣5，0），F2（5，0），设点P（m，n），则由题意得=﹣1，+=1，∴n2=，n=±，则△PF1F2的面积为×2c×|n|=×10×=24，故答案为：24．9．（3分）已知双曲线的中心是原点，焦点到渐近线的距离为2，一条准线方程为y=﹣1，则其渐近线方程为y=±x．【解答】解：∵一条准线方程为y=﹣1，∴双曲线的焦点在y轴上，且=1，∵焦点到渐近线的距离为2，∴=2，∴b=2，∴a=2，c=4∴渐近线方程为y=±x=±x．故答案为：y=±x．10．（3分）圆心在y轴上，且与直线2x+3y﹣10=0相切于点A（2，2）的圆的方程是x2+（y+1）2=13．【解答】解：设圆心为A（0，b），则=，∴b=﹣1，∴圆的方程是x2+（y+1）2=13．故答案为：x2+（y+1）2=13．11．（3分）若“（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0”是“1＜2x＜16”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是[0，3] ．【解答】解：∵（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0，∴a＜x＜a+1，∵1＜2x＜16，∴0＜x＜4，∵若“（x﹣a）（x﹣a﹣1）＜0”是“1＜2x＜16”的充分不必要条件，∴，即0≤a≤3故答案为：[0，3]12．（3分）直线y=﹣x﹣b与曲线有且只有一个交点，则b的取值范围是﹣1＜b≤1或．【解答】解：由题意可知：曲线方程表示一个在y轴右边的单位圆的一半，则圆心坐标为（0，0），圆的半径r=1，当直线y=﹣x﹣b与圆相切时，圆心到直线的距离d==r=1，解得b=﹣；当直线在直线ED与直线BC之间时，直线y=﹣x﹣b与直线ED重合时，b=1，与直线BC重合时，b=﹣1，所以﹣1＜b≤1，综上，b的取值范围为﹣1＜b≤1或b=﹣．故答案为：﹣1＜b≤1或b=﹣13．（3分）曲线=（2﹣x）的焦点是双曲线C的焦点，点（3，﹣）在C上，则C的方程是3x2﹣y2=1．【解答】解：=（2﹣x）可化为，焦点为（±1，0），设双曲线方程为，∵点（3，﹣）在C上，∴，∴a2=，∴C的方程是3x2﹣y2=1．故答案为：3x2﹣y2=1．14．（3分）已知圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=4过坐标原点，则a+b的最大值是2．【解答】解：∵圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=4过坐标原点，∴a2+b2=4，∴（a+b）2≤2（a2+b2）=8∴a+b的最大值是2．故答案为：2．二、解答题（本大题共6小题，共计58分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（8分）写出命题“若直线l的斜率为﹣1，则直线l在两坐标轴上截距相等”的逆命题，否命题与逆否命题，并分别指出这三个命题是真命题还是假命题？【解答】解：逆命题若直线l在两坐标轴上截距相等，则直线l的斜率为﹣1；该命题是假命题；否命题若直线l的斜率不为﹣1，则直线l在两坐标轴上截距不相等；该命题是假命题；逆否命题若直线l在两坐标轴上截距不相等，则直线l的斜率为不﹣1；该命题是真命题．16．（9分）某企业计划生产A，B两种产品．已知生产每吨A产品需3名工人，耗电4kW，可获利润7万元；生产每吨B产品需10名工人，耗电5kW，可获利润12万元，设分别生产A，B两种产品x吨，y吨时，获得的利润为z万元．（1）用x，y表示z的关系式是z=7x+12y；（2）该企业有工人300名，供电局只能供电200kW，求x，y分别是多少时，该企业才能获得最大利润，最大利润是多少万元？【解答】解：（1）由题意，z=7x+12y；故答案为：z=7x+12y．（2）根据题意得作出可行域如右图，由解得，记点A（20，24）．当斜率为﹣的直线经过点A（20，24）时，在y轴上的截距最大．此时，z取得最大值，为×12=428（万元）．所以，x，y分别是20，24时，该企业才能获得最大利润，最大利润是428万元．17．（10分）已知直线l：2x+y+4=0与圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的两个交点分别为A，B．（1）求A，B的坐标；（2）点D在x轴上，使三角形ABD为等腰三角形，求点D的坐标．【解答】解：（1）由可得两交点的坐标分别为A （﹣，），B （﹣3，2）．（2）①当DA=DB时，易得直线l的斜率为﹣2，线段AB的垂直平分线的斜率为，中点为（﹣，），所以线段AB的垂直平分线的方程为x﹣2y+5=0．所以点D的坐标为（﹣5，0）．②当DA=BA时，以A 为圆心，AB为半径的圆A的方程为（x+）2+（y﹣）2=．圆A与x轴的交点为（﹣+，0）和（﹣﹣，0）．③当BA=BD时，以B为圆心，AB为半径的圆与x轴无交点．所以，点D的坐标为（﹣5，0）或（﹣+，0）或（﹣﹣，0）．18．（10分）设直线l的方程是x+my+2=0，圆O的方程是x2+y2=r2（r＞0）．（1）当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点，求r的取值范围；（2）r=4时，求直线l被圆O截得的弦长的取值范围．【解答】解：（1）直线l过定点（﹣2，0），当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点等价于点（﹣2，0）在圆O内或在圆O上，所以．解得．所以r的取值范围是[，+∞）；（2）设坐标为（﹣2，0）的点为点A，则|OA|=2．则当直线l与OA垂直时，由垂径定理得直线l被圆O截得的弦长为；当直线过圆心时，弦长最大，即x轴被圆O截得的弦长为2r=8；所以直线l被圆O截得的弦长的取值范围是[4，8]．19．（10分）已知双曲线C1：﹣8y2=1（a＞0）的离心率是，抛物线C2：y2=2px的准线过C1的左焦点．（1）求抛物线C2的方程；（2）若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，4）是C2上三点，且CA⊥CB，证明：直线AB过定点，并求出这个定点的坐标．【解答】解：（1）因为双曲线C1：﹣8y2=1（a＞0）的离心率是，所以a2=，c2=，…（2分）所以抛物线C2：y2=2px的准线方程是x=﹣，所以p=1，抛物线C2的方程是y2=2x．…（4分）（2）不妨设C（8，4），设AC的斜率为k，则直线AC的方程是y﹣4=k（x﹣8），x=代入并整理，得ky2﹣2y+8﹣8k=0，方程的两根是4和﹣4，所以y1=﹣4，x1=，A点的坐标是（，﹣4），同理可得B点的坐标（2（2+k）2，﹣2k﹣4），…（7分）直线AB的斜率k AB=，直线AB的方程是y﹣（﹣2k﹣4）=[x﹣2（2+k）2]，即y=（x﹣10）﹣4，…（9分）直线AB过定点，定点坐标是（10，﹣4）．…（10分）20．（11分）椭圆+=1（a＞b＞0）的中心是O，左，右顶点分别是A，B，点A到右焦点的距离为3，离心率为，P是椭圆上与A，B不重合的任意一点．（1）求椭圆方程；（2）设Q（0，﹣m）（m＞0）是y轴上定点，若当P点在椭圆上运动时PQ最大值是，求m的值．【解答】解：（1）由题意得，解得所以，所求方程为．…（4分）（2）PQ2=x02+（y0+m）2=﹣（y0﹣3m）2+4m2+4，…（6分）①当0＜m≤时，PQ max=2，令2=，得m=；…（8分）②当m＞时，PQ max=m+，令m+=，得m=﹣（舍去）；…（10分）所以m的值是．…（11分）。

2Read If 1Then 1Else 1End If Print xx y x y x y< ←-+ ←-+ （第6题） 江苏省沭阳县2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1．从一批羽毛球产品中任取一个，如果其质量小于4.8克的概率是0.2，质量不小于4.85克的概率是0.22那么质量在[4.8，4.85)克范围内的概率是 ▲ ． 2．直线3470x y ++=和直线210x y --=的交点坐标是 ▲ ．3．圆221:9O x y +=与圆222:(3)(4)1O x y -+-=的公切线条数为 ▲ ． 4．若直线经过(0,0),(1O A 两点，则直线OA 的倾斜角为 ▲ ．5．如图所示,边长为4正三角形内有一个半径是1的圆，随机在正三角形内取一点，则该点在圆内的概率是 ▲ ．6．如图是一个算法的伪代码，运行后输出的y 值为3-，则输入的x 的值应为 ▲ ．7．一流的高尔夫选手约70杆即可打完十八洞，而初学者约160杆才可打完十八洞．如图是甲、乙两位高尔夫选手在五次训练测试中打出的杆数的茎叶图，则发挥比较稳定的选手的方差为 ▲ ．8．若直线1:260l mx y --=与直线2:(3)20l m x y m --+=互相平行，则1l 与2l 间的距离为 ▲ ．9．已知点(1,2)A -关于直线20x ay +-=的对称点为(,2)B m ，则实数a 的值为 ▲ ． 10．直线l 经过点(1,9)P ，且与两坐标轴的正半轴相交，当两截距之和最小时直线l 的方程为 ▲ ．11．已知点A 在直线0x y -=上，点B 在直线0x y +=上，线段AB 过(1,0)-且中点在射线20(0)x y x -=≤上，则线段AB 的长度为 ▲ ．12．若到点(1,0)和点(4,0)的距离之比为1:2，且到直线y x c =+的距离为1的点有且只有3个，则c 的值为 ▲ ．甲 乙 9 6 79665 7 2598 2(第7题) (第5题)132x =+有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 14．若圆22222(1)3310x y x a y a a ++-++++=上的所有点都在第二象限，则实数a 的取值范围为 ▲ ．二、解答题: 本大题共6小题， 15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答．．．．．．．．．．．， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．一只口袋内有大小质量完全相同的的5只球，其中2只白球（编号为12,b b ），3只黑球（编号为123,,h h h ），从中一次摸出2只球． （1）共有多少个基本事件？列出所有基本事件； （2）求摸出两只球颜色相同的概率； （3）求至少有一只黑球的概率．16．某校举行“普法”知识竞赛，高二年级共有800名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩进行统计．请你解答下列问题：（1）若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，799，若抽样时确定每组都是抽出第5个数，求出第三组抽出的学生的编号； （2）根据（1）中抽取的样本统计得到的频率分布直方图填充频率分布表； （3）若成绩在95分以上的学生设为一等奖，问所有参赛学生中获得一等奖的学生约为多少人？（4）估算出本次竞赛的均分．17．已知三角形ABC ∆的顶点为(2,4),(1,2),(2,3)A B C --． （1）求边AB 上的高CD 所在直线的方程；（2）求经过C 的直线l ，使得A B 、到直线l 的距离相等．(第16题表)分数(第16题图)18．对任意函数()x f ，D x ∈，可按如图构造一个数列发生器，由数列发生器产生的数列记为{}n x ．（1）若定义函数112)(+-=x x x f ，且输入20=x ，求输出的数列{}n x 的所有项； （2）若定义函数3)(+=x x f ，且输入10-=x ，设n S 是数列{}n x 的前n 项和，对于给定的n ，请你给出一个D ，并求n S ．19．已知圆C 经过点(11)A -，，(02)B ，，且圆心在直线10x y --=上．（1）求圆C 的方程；（2）求过点(23)，且被圆C 截得的弦长为4的直线l 的方程； （3）若点()P x y ，在圆C 上，求23x t y -=-的取值范围．20．已知圆C 过点(0,)A a (a 为常数且0a >)，且与圆22:840E x y x y +-+=切于原点. （1）求圆C 的方程；（2）若过点(1,0)B -总存在直线l ，使得以l 被圆C 截得的弦为直径的圆F 经过点(1,1)D -，求实数a 的取值范围.2014～2015学年度第一学期期中调研测试高二数学参考答案（3）记摸出两只球至少有一只黑球为事件B ，则事件B 中包含,9个基本事件， ∴109)(=B P 答：摸出两只球颜色相同的概率为109. ………………………………14分 16； ………………………………3分（2）………………………………7分（3）95分为[90,100]的组中值，所以95分以上的频率为0.14，所以0.14×800=112（人） 答：所有参赛学生中获得一等奖的学生约为112人 ………………………………10分 （4）650.16750.20+850.36+950.28x =⨯+⨯⨯⨯=82.6分；答：本次竞赛的均分为82.6分． ………………14分 17．解：（1）直线AB 的斜率为42621AB k +==-， ………………………………2分 因为AB CD ⊥，所以16CD k =-, ………………………………4分所以CD 所在直线的方程为13(2)6y x -=-+，即6160x y +-=……………………6分 （2）因为,A B 到直线l 的距离相等，所以有两种情况， ①l 经过AB 的中点，AB 的中点的坐标为3(,1)2，由两点式得3231322y x -+=-+化简得，47130x y +-= ………………………………10分 ②l 与AB 平行，由（1）得6AB k =，所以l 的方程为36(2)y x -=+，即6150x y -+= 综合①②得直线l 的方程57110x y +-=和6150x y -+= ………………………14分18．解：（1）∵()x f 的定义域()()+∞-⋃-∞-=,11,D把20=x 代入可得11=x ， ………………………………2分 把11=x 代入可得212=x ， ………………………………4分 把212=x 代入可得03=x ， ………………………………6分 把03=x 代入可得14-=x 因为D x ∉-=14， 所以数列{}n x 只有四项：1,0,21,14321-====x x x x ． ……………………8分 （2）3)(+=x x f 的定义域为R ，因为10-=x ，所以21=x ， 由图可得3)(1+==+n n n x x f x ，所以31=-+n n x x ，所以数列{}n x 是首项为2，公差为3的等差数列， ………………………………10分 所以3)1(2⨯-+=n x n ，即数列{}n x 的通项公式13-=n x n ， ………………………………12分 所以D 为(,34]n -∞- （只要1231,,,,n x x x x D -∈,n x D ∉都可以） ………………………………14分数列{}n x 的前n 项和232)132(2nn n n S n +=-+=．………………………………16分20.解：（1）圆22:840E x y x y +-+=可化为22:(4)(2)20E x y -++= 则E 点坐标为(4,2)-，圆C 与圆E 切于原点，所以C 在OE 上，即在直线12y x =-上， ………………………………2分 又圆C 过(0,)A a ，(0,0)O 两点，所以C 在直线2ay =上， …………………………4分所以(,)2a C a -，所以圆C 的半径为OC = ………………………………6分 圆C 的方程为2225()()24a x a y a ++-=………………………………8分 （2）圆C 的方程可化为22+20x y ax ay +-=①当直线l 斜率不存在时，直线l 为1x =-，则圆F 的方程可设为：22+2(1)0x y ax ay x λ+-++=,经过点(1,1)D -，则23a =， 又F 在l 上，所以2132λ--=-，得23λ=圆F 的方程为：2222+2033x y x y +-+=，符合题意. …………10分综合（Ⅰ）（Ⅱ）得315a ≤≤ ………………………………16分。

2014-2015学年江苏省盐城市阜宁中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共70分）1．（5分）函数f（x）=lg（1﹣x2）的定义域是．2．（5分）命题“若|x|＞1则x＞1”的否命题是命题（填“真”或“假”）．3．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）一条渐近线为y=x，则此双曲线的离心率为．4．（5分）（理科题）已知向量=（3，﹣2，1），=（﹣2，4，0），则+2=．5．（文科题）设a，b∈R，关于x的不等式ax2+bx﹣1＞0的解集为，则a+b=．6．（5分）设a，b，m都是正数，且，则a与b的大小关系是b＜a．7．（5分）已知点P在⊙O：x2+y2=4上，过P作x轴的垂线，垂足为D，则PD 的中点所在的轨迹方程为．8．（5分）设x＞0，y＞0且2x+5y=200，则lgx+lgy最大值是．9．（5分）若关于x的不等式ax2+2ax﹣（a+2）≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是．10．（5分）若双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，则m=．11．（5分）设0＜t＜，a是大于0的常数，f（t）=的最小值是16，则a=．12．（5分）已知命题p：＜1，命题q：x2+（a﹣1）x﹣a＞0，若¬p是¬q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）=，则关于x的不等式f（x2）＞f（3﹣2x）的解集是．14．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，l为右准线，当椭圆上存在一点P，使PF1是点P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率最小值为．15．（5分）设m，n∈R且n≤6，若不等式2mx+（2﹣x）n﹣8≥0对任意x∈[﹣4，2]都成立，则取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16．（14分）已知命题p：“方程=1表示焦点在y轴上椭圆”，命题q：“∃x∈R使得x2+（a﹣1）x+1＜0”（a∈R）．（1）若命题p为真命题，求a的取值范围；（2）若命题p∧q为真命题，求a的取值范围．17．（14分）设抛物线y2=4x的焦点为F，过F作一条直线与抛物线相交于A、B 两点．（1）求证：以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切；（2）设A、B两点纵坐标为y1，y2，求y1y2的值．18．（14分）设实数x，y满足，求：（1）z=x+2y﹣4的最大值；（2）z=x2+y2的最大值．19．（16分）过去的2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元．售价为8元，月销售5万只．（1）据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润=月销售总收入﹣月总成本），该口罩每只售价最多为多少元？（2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x（x≥9）元，并投入（x﹣9）万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少万只．则当每只售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．20．（16分）已知椭圆C中心在坐标原点，焦点坐标为（2，0），短轴长为．（1）求椭圆C的标准方程及离心率，并写出椭圆的准线方程；（2）设P是椭圆C上一点，且点P与椭圆C的两个焦点F1，F2构成一个直角三角形，且PF1＞PF2，求的值．21．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：x=a+1于点E、F．（1）若点，求△ABC的面积；（2）若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k1、k2．①试探究：k1•k2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；②求△AEF的面积的最小值．2014-2015学年江苏省盐城市阜宁中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共70分）1．（5分）函数f（x）=lg（1﹣x2）的定义域是（﹣1，1）．【解答】解：f（x）=lg（1﹣x2）的定义域满足条件：1﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1，∴函数f（x）=lg（1﹣x2）的定义域是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．2．（5分）命题“若|x|＞1则x＞1”的否命题是真命题（填“真”或“假”）．【解答】解：命题“若|x|＞1则x＞1”的否命题是“若|x|≤1则x≤1”，是真命题．故答案为：真．3．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）一条渐近线为y=x，则此双曲线的离心率为．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线的方程为：b2x2﹣a2y2=0，即bx±ay=0．由已知，一条渐近线的方程为3x﹣4y=0所以=，离心率e==．故答案为：．4．（5分）（理科题）已知向量=（3，﹣2，1），=（﹣2，4，0），则+2=（﹣1，6，1）．【解答】解：∵向量=（3，﹣2，1），=（﹣2，4，0），则+2=（3，﹣2，1）+2（﹣2，4，0）=（﹣1，6，1）．故答案为：（﹣1，6，1）．5．（文科题）设a，b∈R，关于x的不等式ax2+bx﹣1＞0的解集为，则a+b=1．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+bx﹣1＞0的解集为，∴对应的方程ax2+bx﹣1=0的二实数根是、1，由根与系数的关系，得；，解得a=﹣2，b=3；∴a+b=﹣2+3=1．故答案为：1．6．（5分）设a，b，m都是正数，且，则a与b的大小关系是b＜a．【解答】解：∵a，b，m都是正数，且，∴b（a+m）﹣a（b+m）=m（b﹣a）＜0，∴b＜a．故答案为：b＜a．7．（5分）已知点P在⊙O：x2+y2=4上，过P作x轴的垂线，垂足为D，则PD的中点所在的轨迹方程为．【解答】解：设PD的中点的坐标是（x，y），则P的坐标是（x，2y），因为点P在⊙O：x2+y2=4上，所以x2+4y2=4，即，故答案为：．8．（5分）设x＞0，y＞0且2x+5y=200，则lgx+lgy最大值是3．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且2x+5y=200，∴10xy≤（）2=10000，∴xy≤1000，∴lgx+lgy=lg（xy）≤lg1000=3．∴lgx+lgy最大值是3．故答案为：3．9．（5分）若关于x的不等式ax2+2ax﹣（a+2）≥0的解集为∅，则实数a的取值范围是{a|﹣1＜a≤0} ．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+2ax﹣（a+2）≥0的解集为∅，∴a=0时，0﹣2≥0，不等式不成立，a=0满足题意；a＞0，不等式的解集不为空集，不满足题意；a＜0时，当△=4a2﹣4a•[﹣（a+2）]＜0时，即a2+a＜0，解得：﹣1＜a＜0，满足题意；综上，实数a的取值范围是{a|﹣1＜a≤0}．故答案为：{a|﹣1＜a≤0}．10．（5分）若双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，则m=1．【解答】解：∵y2=8x的焦点为F（2，0），∴根据题意得到双曲线的右焦点为F（2，0），可得c==2，解之得m=1．故答案为：111．（5分）设0＜t＜，a是大于0的常数，f（t）=的最小值是16，则a=9．【解答】解：∵0＜t＜，∴0＜cost＜1，f（t）==（）•（cost+1﹣cost）=1+++a ≥1+a+2=16，当且仅当=时，等号成立．求得=3或﹣5（舍去），∴a=9，故答案为：9．12．（5分）已知命题p：＜1，命题q：x2+（a﹣1）x﹣a＞0，若¬p是¬q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2] ．【解答】解：由＜1得﹣1=＜0，即（2﹣x）（x﹣1）＜0，解得x＞2或x＜1，即p：x＞2或x＜1，则￢p：1≤x≤2，∵q：x2+（a﹣1）x﹣a＞0，∴￢q：x2+（a﹣1）x﹣a≤0，即（x﹣1）（x+a）≤0，若a=﹣1，则不等式的解为x=1，即￢q：x=1，不满足条件．若a＞﹣1，则不等式的解为﹣a＜x＜1，即￢q：﹣a＜x＜1，不满足条件．若a＜﹣1，则不等式的解为1＜x＜﹣a，即￢q：1＜x＜﹣a，要使¬p是¬q的充分不必要条件，则﹣a≥2，即a≤﹣2，即a的取值范围是a≤﹣2，故答案为：（﹣∞，﹣2]．13．（5分）已知函数f（x）=，则关于x的不等式f（x2）＞f（3﹣2x）的解集是（﹣∞，﹣3）∪（1，3）．【解答】解：∵f（x）=，由x2≥0，得f（x2）=x2，从而原不等式f（x2）＞f（3﹣2x）化为x2＞f（3﹣2x）．①当3﹣2x≥0即x≤时，原不等式进一步化为x2＞3﹣2x，得x＞1，或x＜﹣3，∴1＜x≤，或x＜﹣3．②当3﹣2x＜0即x＞时，原不等式进一步化为x2＞（3﹣2x）2，得1＜x＜3，∴．综合①、②得原不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，3）．故填（﹣∞，﹣3）∪（1，3）．14．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，l为右准线，当椭圆上存在一点P，使PF1是点P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率最小值为．【解答】解：设P到直线l的距离为d，根据椭圆的第二定义得=e=，|PF1|=2d，且|PF1|+|PF2|=2a，则|PF1|=2a﹣|PF2|=2a﹣=2d，即d=，而|PF1|∈[a﹣c，a+c]，即2d=，所以得到，由①得：（）2++2≥0，为任意实数；由②得（）2+3﹣2≥0，解得≥≥或≤（舍去），即有≤e＜1．则e的最小值为．故答案为：．15．（5分）设m，n∈R且n≤6，若不等式2mx+（2﹣x）n﹣8≥0对任意x∈[﹣4，2]都成立，则取值范围是[2，] ．【解答】解：解：设y=2xm+（2﹣x）n﹣8，整理可得y=﹙2m﹣n﹚x+﹙2n﹣8﹚当2m﹣n＞0时，因为x∈[﹣4，2]，所以y min=﹙2m﹣n﹚•﹙﹣4﹚+﹙2n﹣8﹚=﹣8m+6n﹣8当2m﹣n＜0时，因为x∈[﹣4，2]，所以y min=﹙2m﹣n﹚•2+﹙2n﹣8﹚=4m﹣8∵不等式2xm+（2﹣x）n﹣8≥0对任意x∈[﹣4，2]都成立，∴m，n满足或，可行域如图或∴当且仅当m=2，n=6时，=3，∴0＜≤3，令y==+，令=x，∴y=x+，（0＜x≤3），∴2≤y≤，故答案为：[2，]．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16．（14分）已知命题p：“方程=1表示焦点在y轴上椭圆”，命题q：“∃x∈R使得x2+（a﹣1）x+1＜0”（a∈R）．（1）若命题p为真命题，求a的取值范围；（2）若命题p∧q为真命题，求a的取值范围．【解答】解：（1）若P为真命题，则，即1＜a＜4，（2）若q为真命题，则△=（a﹣1）2﹣4＞0，即a＞3或a＜﹣1，由题意p，q都是真命题，∴即3＜a＜4．17．（14分）设抛物线y2=4x的焦点为F，过F作一条直线与抛物线相交于A、B 两点．（1）求证：以线段AB为直径的圆与抛物线的准线相切；（2）设A、B两点纵坐标为y1，y2，求y1y2的值．【解答】解：（1）设A、B到准线l距离为d1，d2，AB中点C到准线l距离为d，则，又∵A、B在抛物线上∴d1=AF，d2=BF，∴∴⊙C与直线l相切，（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意AB与x轴不平行设AB：x=my+1代入y2=4x得y2﹣4my﹣4=0∴y1y2=4，18．（14分）设实数x，y满足，求：（1）z=x+2y﹣4的最大值；（2）z=x2+y2的最大值．【解答】解：作出可行域如图，并求出顶点的坐标A（1，3），B（3，1），C（7，9）．…（6分）（1）易知可行域内各点均在直线x+2y﹣4=0的上方，故将C（7，9）代入z=x+2y﹣4得最大值为21．（2）z的几何意义为动点（x，y）到原点的距离的平方，由图象可知OC的距离最大，此时z最大，此时z=x2+y2=130．19．（16分）过去的2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元．售价为8元，月销售5万只．（1）据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润（月总利润=月销售总收入﹣月总成本），该口罩每只售价最多为多少元？（2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x（x≥9）元，并投入（x﹣9）万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少万只．则当每只售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．【解答】解：设口罩每只售价最多为x元，则月销售量为（5﹣）万只，则由已知（5﹣）（x﹣6）≥（8﹣6）×5，即，即2x2﹣53x+296≤0，解得8≤x≤，即每只售价最多为18.5元．（2）下月的月总利润y=[5﹣]（x﹣6）﹣===﹣[]+，∵x≥9，∴，即y=﹣[]+=14，当且仅当，即x=10时取等号．答：当x=10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元．20．（16分）已知椭圆C中心在坐标原点，焦点坐标为（2，0），短轴长为．（1）求椭圆C的标准方程及离心率，并写出椭圆的准线方程；（2）设P是椭圆C上一点，且点P与椭圆C的两个焦点F1，F2构成一个直角三角形，且PF1＞PF2，求的值．【解答】解：（1）由题意设椭圆C方程则∴a2=b2+c2=16∴椭圆C的方程为，离心率，准线方程为x=±8，（2）由已知PF1+PF2=8，F1F2=4PF1＞PF2故在Rt△PF1F2中只有PF1F1F2为斜边若∠PF2F1=90°，则∴∴，若∠F1PF2=90°，则=无解综合得．21．（16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，右顶点为A，直线BC过原点O，且点B在x轴上方，直线AB与AC分别交直线l：x=a+1于点E、F．（1）若点，求△ABC的面积；（2）若点B为动点，设直线AB与AC的斜率分别为k1、k2．①试探究：k1•k2是否为定值？若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由；②求△AEF的面积的最小值．【解答】解：（1）由题意得解得a2=2b2=8，则△ABC的面积S=；（2）①k1•k2为定值，下证之：证明：设B（x0，y0），则C（﹣x0，﹣y0），且，而由（1）得a2=2b2，所以；②设直线AB的方程为y=k 1（x﹣a），直线AC的方程为y=k2（x﹣a），令x=a+1得，y E=k1，y F=k2，则△AEF的面积，因为点B在x轴上方，所以k1＜0，k2＞0，由得（当且仅当k 2=﹣k1时等号成立）所以，△AEF的面积的最小值为．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2014-2015学年江苏省连云港市东海高中高二（上）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）关于实数x不等式2x+≤0的解集是．2．（5分）设a=40.1，b=log30.1，c=0.50.1，则a，b，c的从大到小关系是．3．（5分）在△ABC中，若，则A等于．4．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x+a＞0”是假命题，则实数a的取值范围为．5．（5分）等比数列{a n}的前n和为S n，当公比q=3，S3=时，数列{a n}的通项公式是．6．（5分）已知不等式ax2﹣bx+1＜0（a，b∈R）的解集是{x|3＜x＜4}，则a﹣b=．7．（5分）对于函数y=f（x），“y=f（x）是奇函数”是“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）8．（5分）已知动点P的坐标（x，y）满足约束条件：，则使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P的坐标是．9．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=2a2，若S6=λa2，则λ=．10．（5分）已知命题p：函数y=lg（ax2+2ax+1）的值域是R，命题q：的定义域为R，若p∧q为真命题，则实数a的取值集合为．11．（5分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，且满足f（x8）+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0．则x2014=．12．（5分）若f（x）是R上的增函数，且f（﹣1）=﹣5，f（3）=4，设P={x|f （x+t）﹣1＜3}，Q={x|f（x）+1＜﹣4}，若“x∈P”是“x∈Q的充分不必要条件，则实数t的取值范围是．13．（5分）若△ABC为锐角三角形，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则sinBsinC的取值范围是．14．（5分）已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，且a2+b2+c2=63，则b的最大值是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c．（1）若2a=b+c，sin2A=sinBsinC，试判断△ABC的形状；（2）试比较a2+b2+c2与2（ab+bc+ca）的大小．16．（14分）命题p：不等式＜x+a在区间[﹣1，1]上恒成立，命题q：存在x∈R+，使不等式ax2﹣x+2a＜0成立，若“p或q为真”，“p且q为假”，求实数a的取值范围．17．（14分）知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=1，S9=45．数列{b n}满足b n=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和为T n．18．（16分）某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，AB至少长3米，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5米，∠BCD=60°（1）若CD=x，BC=y，将支架的总长度表示为y的函数，并写出函数的定义域．（注：支架的总长度为图中线段AB、BD和CD长度之和）（2）如何设计AB，CD的长，可使支架总长度最短．19．（16分）函数，g（x）=ax2﹣b（a、b、x∈R），集合，（1）求集合A；（2）如果b=0，对任意x∈A时，f（x）≥0恒成立，求实数a的范围；（3）如果b＞0，当“f（x）≥0对任意x∈A恒成立”与“g（x）≤0在x∈A内必有解”同时成立时，求a的最大值．20．（16分）已知等差数列{a n}的首项为a，公差为b，等比数列{b n}的首项为b，公比为a（其中a，b均为正整数）．（1）若a1=b1，a2=b2，求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，若a1，a3，a n1，a n2，…，a nk，…（3＜n1＜n2，＜…＜n k ＜…，k∈N*）成等比数列，求数列{n k}的通项公式；（3）若a1＜b1＜a2＜b2＜a3，且a3+4=b3，求a，b的值．2014-2015学年江苏省连云港市东海高中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）关于实数x不等式2x+≤0的解集是{0} ．【解答】解：∵x≥0，∴2x≥0，≥0，∴2x+≥0，又2x+≤0，∴2x+=0，当且仅当x=0时成立，∴原不等式的解集为：{0}．故答案为：{0}．2．（5分）设a=40.1，b=log30.1，c=0.50.1，则a，b，c的从大到小关系是a＞c ＞b．【解答】解：∵a=40.1＞1，b=log30.1＜0，0＜c=0.50.1＜1，∴a＞c＞b．故答案为：a＞c＞b．3．（5分）在△ABC中，若，则A等于60°．【解答】解：在△ABC中，若，由正弦定理可得：，即b2+c2﹣bc=a2，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA可得∴cosA=，∴A=60°．故答案为：60°；4．（5分）命题“∀x∈R，x2+2x+a＞0”是假命题，则实数a的取值范围为（﹣∞，1] ．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2+2x+a＞0”是假命题，∴∃x∈R，x2+2x+a≤0是真命题，即a≤﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1≤1；∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．5．（5分）等比数列{a n}的前n和为S n，当公比q=3，S3=时，数列{a n}的通项公式是．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n和为S n，公比q=3，S3=，∴=，解得a1=，∴．故答案为：．6．（5分）已知不等式ax2﹣bx+1＜0（a，b∈R）的解集是{x|3＜x＜4}，则a﹣b=．【解答】解：∵不等式ax2﹣bx+1＜0（a，b∈R）的解集是{x|3＜x＜4}，∴3，4是一元二次方程ax2﹣bx+1=0的实数根，且a＞0．∴3+4=，，解得a=，b=．∴a﹣b=．故答案为：﹣．7．（5分）对于函数y=f（x），“y=f（x）是奇函数”是“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）【解答】解：若y=f（x）是奇函数，则设g（x）=|f（x）|，则g（﹣x）=|f（﹣x）|=|﹣f（x）|=|f（x）|=g（x），则g（x）是偶函数，则y=|f（x）|的图象关于y轴对称，即充分性成立，若f（x）=x2，满足y=|f（x）|的图象关于y轴对称，但f（x）不是奇函数，即必要性不成立，故“y=f（x）是奇函数”是“y=|f（x）|的图象关于y轴对称”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要8．（5分）已知动点P的坐标（x，y）满足约束条件：，则使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P的坐标是（5，2）．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，使目标函数z=2x+y取得最大值时的点P即为可行域中的点B，联立，解得．故答案为：（5，2）．9．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=2a2，若S6=λa2，则λ=9．【解答】解：∵公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5=2a2，∴a1+4d=2（a1+d），解得a1=2d，∵S6=λa2，∴=λ（a1+d），∴27d=3λd，由d≠0，解得λ=9．故答案为：9．10．（5分）已知命题p：函数y=lg（ax2+2ax+1）的值域是R，命题q：的定义域为R，若p∧q为真命题，则实数a的取值集合为[1，4] ．【解答】解：（1）对于命题p，由对数函数的值域知函数ax2+2ax+1的值域为（0，+∞）；a=0时，该函数为变为1，显然值域为{1}，不符合条件；a≠0则：，解得a≥1；（2）对于命题q，不等式ax2+3ax+2a+1≥0的解集为R；若a=0，不等式变成1≥0，解集为R，符合条件；若a≠0，则：，解得0＜a≤4；∴0≤a≤4；若p∧q为真命题，则p，q都为真命题；∴a≥1，且0≤a≤4；∴1≤a≤4；∴实数a的取值集合为[1，4]．故答案为：[1，4]．11．（5分）已知奇函数f（x）是定义在R上的增函数，数列{x n}是一个公差为2的等差数列，且满足f（x8）+f（x9）+f（x10）+f（x11）=0．则x2014=4009．【解答】解：设x8=a，则x9=a+2，x10=a+4，x11=a+6，∴f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，且f（a）＜f（a+2）＜f（a+4）＜f（a+6），∴f（a）＜0且f（a+6）＞0．∵奇函数关于原点的对称性可知，f（a）+f（a+6）=0，f（a+2）+f（a+4）=0．∴f（a+3）=0=f（0），即a+3=0．∴x8=﹣3．设数列{x n}通项x n=x1+2（n﹣1）．∴x8=x1+14=﹣3．∴x1=﹣17．∴通项x n=2n﹣19．∴x2014=2×2014﹣19=4009．故答案为：4009．12．（5分）若f（x）是R上的增函数，且f（﹣1）=﹣5，f（3）=4，设P={x|f （x+t）﹣1＜3}，Q={x|f（x）+1＜﹣4}，若“x∈P”是“x∈Q的充分不必要条件，则实数t的取值范围是（4，+∞）．【解答】解：∵f（x+t）﹣1＜3∴f（x+t）＜4，∵f（3）=4，∴不等式等价为f（x+t）＜f（3），而f（x）是R上的增函数，∴x+t＜3，即x＜3﹣t，即P={x|x＜3﹣t}，而Q={x|f（x）+1＜﹣4}={x|f（x）＜﹣5}，∵f（﹣1）=﹣5，∴不等式等价为f（x）＜f（﹣1），∵f（x）是R上的增函数，∴x＜﹣1，即Q={x|x＜﹣1}“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，∴P⊊Q，3﹣t＜﹣1，即t＞4，故答案为：（4，+∞）；13．（5分）若△ABC为锐角三角形，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则sinBsinC的取值范围是．【解答】解：asin（B+）=a（sinB+cosB）=c，由正弦定理得：sinA（sinB+cosB）=sinC=sin（A+B），∴sinAsinB+sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB，即sinAsinB=cosAsinB，∴sinA=cosA，即tanA=1，由于△ABC为锐角三角形，A=，则：sinBsinC=sinBsin（﹣B）=sinBcosB+sin2B=（sin2B﹣cos2B）+=，∵，，∴，，则sinBsinC的取值范围为；14．（5分）已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，且a2+b2+c2=63，则b的最大值是．【解答】解：设公差为d，则有a=b﹣d，c=b+d，代入a2+b2+c2=63化简可得3b2+2d2=63．故当d=0时，b有最大值为．故答案为：．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c．（1）若2a=b+c，sin2A=sinBsinC，试判断△ABC的形状；（2）试比较a2+b2+c2与2（ab+bc+ca）的大小．【解答】解：（1）由正弦定理及sin2A=sinBsinC得a2=bc，又由2a=b+c得4a2=b2+2bc+c2，所以b2﹣2bc+c2=0，即（b﹣c）2=0，所以b=c．…（5分）故a2=b2，即a=b，所以△ABC是等边三角形．…（7分）（2）因为2（ab+bc+ca）﹣（a2+b2+c2）=（ab+ca﹣a2）+（ab+bc﹣b2）+（ca+bc ﹣c2）=a（b+c﹣a）+b（a+c﹣b）+c（a+b﹣c），…（10分）因为a，b，c为△ABC的三边长，故a＞0，b＞0，c＞0，b+c﹣a＞0，a+c﹣b＞0，a+b﹣c＞0，所以a（b+c﹣a）+b（a+c﹣b）+c（a+b﹣c）＞0…（13分）故a2+b2+c2＜2（ab+bc+ca）．…（14分）16．（14分）命题p：不等式＜x+a在区间[﹣1，1]上恒成立，命题q：存在x∈R+，使不等式ax2﹣x+2a＜0成立，若“p或q为真”，“p且q为假”，求实数a的取值范围．【解答】解：当p为真命题时，不等式在区间[﹣1，1]上恒成立，令x=cosθ，θ∈[0，π]，则，…（2分）故有对θ∈[0，π]恒成立，所以，因为∵θ∈[0，π]，∴，∴，即时，，此时，故．…（6分）当q为真命题时，不等式ax2﹣x+2a＜0有正实数解，即不等式有正实数解，所以，而当x＞0时，，当且仅当时取“=”．所以．…（9分）由“p或q为真”，“p且q为假”得p与q是一真一假，当p真q假时，有，即．…（11分）当p假q真时，有即．…（13分）综上得，实数a的取值范围是：．…（14分）17．（14分）知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3=1，S9=45．数列{b n}满足b n=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和为T n．【解答】解：（1）由于，故，故等差数列的公差d=2，a1=﹣3故数列{a n}的通项公式a n=2n﹣5．…（7分）（2）由于，则两式相减即得：，从而．…（14分）18．（16分）某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，AB至少长3米，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5米，∠BCD=60°（1）若CD=x，BC=y，将支架的总长度表示为y的函数，并写出函数的定义域．（注：支架的总长度为图中线段AB、BD和CD长度之和）（2）如何设计AB，CD的长，可使支架总长度最短．【解答】解：（1）由CD=x，则BD=x﹣0.5，设BC=y，则支架的总长度为AC+BC+BD+CD，在△BCD中，由余弦定理x2+y2﹣2xycos60°=（x﹣0.5）2，化简得y2﹣xy+x﹣0.25=0，即x=①…（4分）记l=y+y+x﹣0.5+x=2y+2x﹣0.5=﹣0.5（﹣0.5＜x＜0.5或x＞1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由题中条件得2y≥3，即y≥1.5，设y﹣1=t（t≥0.5）则原式l=4t++5.5 …（10分）∵t≥0.5，∴由基本不等式4t+有且仅当4t=，即t=时成立，∴y=+1，∴x=，∴当AB=，CD=时，金属支架总长度最短．…（16分）19．（16分）函数，g（x）=ax2﹣b（a、b、x∈R），集合，（1）求集合A；（2）如果b=0，对任意x∈A时，f（x）≥0恒成立，求实数a的范围；（3）如果b＞0，当“f（x）≥0对任意x∈A恒成立”与“g（x）≤0在x∈A内必有解”同时成立时，求a的最大值．【解答】解：（1）令，则x2=t2﹣1，f（x）≤0，即，即t2﹣6t+8≤0，（t﹣2）（t﹣4）≤0∴2≤t≤4，所以2≤≤4，所以x，即A=；（2）f（x）≥0恒成立也就是恒成立，即，∵，∴，令，则t∈[2，4]，则y=，∴a≤y恒成立，∴a≤y min，由导数可知，当t=2时，y min=，∴a≤（3）对任意x∈A，f（x）≥0恒成立，∴=，由（2）可知a+b≤①，由g（x）=ax2﹣b≤0有解，ax2﹣b≤0有解，即a≤，∵b＞0，∴a≤=，∴3a﹣b≤0 ②①+②可得a所以a的最大值为，此时b=．20．（16分）已知等差数列{a n}的首项为a，公差为b，等比数列{b n}的首项为b，公比为a（其中a，b均为正整数）．（1）若a1=b1，a2=b2，求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）在（1）的条件下，若a1，a3，a n1，a n2，…，a nk，…（3＜n1＜n2，＜…＜n k ＜…，k∈N*）成等比数列，求数列{n k}的通项公式；（3）若a1＜b1＜a2＜b2＜a3，且a3+4=b3，求a，b的值．【解答】解：（1）∵a1=b1，a2=b2，∴，∴a=b=0或a=b=2，∵a，b∈N*，∴a=b=2，故．（2）由（1）得：a1=2，a3=6，∴构成以2为首项，3为公比的等比数列，∴．又，故有，∴数列{n k}的通项公式为．（3）由a1＜b1＜a2＜b2＜a3，得a＜b＜a+b＜ab＜a+2b，由a+b＜ab得：a（b﹣1）＞b；由ab＜a+2b得：a（b﹣1）＜2b．而a，b∈N*，a＜b，即b＞a≥1，从而得：，∴a=2或3，当a=3时，由a3+4=b3得：3+2b+4=9b，即b=1，不合题意，故舍去，∴满足条件的a=2．又由a3+4=b3得：2+2b+4=4b，故b=3．综上得：a=2，b=3．。