离散型随机变量(高等数学)

三、随机变量的相互独立性
定义2.3：设(X,Y)是二维离散型随机变量， 其 分 布 律 为 P{X=xi,Y=yj}=Pij,i,j=1,2,…。若
对任意i,j，有Pij=PiPj 。则X与Y相互独立。
即 X与Y 相互独立 i, j有
P{ X xi , Y y j } P{ X xi }P{Y y j }
例2．12：设X、Y是两个独立的随机变量，它们 分别服从参数为 1 , 2 的普蛙松分布，求Z=X+Y 的分布列。
说明：（1）普蛙松分布具有可加性； （2）习题2.27可证明二项分布也具有 可加性。
§2.4数学期望的定义与性质
数学期望——描述随机变量取值的平 均特征
一.数学期望的定义
定义 1. 若X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…n, 则称
0.45
0.15
0.25
四.数学期望的性质
1. E(c)=c,c为常数;
2. E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y),a,b 为常数;
3. 若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).
例3 ：若X~B(n,p),求E(X)。
解:设
则
1 第i次试验事件A发生 Xi 0 第i次试验事件A不发生
X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (0<p<1) k＝0，1 或
X
1
0
pk
p
1 p
（2）二项分布(p63)
若以X表示n重贝努里试验事件A发生的次数 ，则称X服从参数为n,p的二项分布， 记作X
～B（n,p)。其分布律为：
P{ X k} C n p (1 p)
k
k
nk
, (k 0,1,..., n)
二维离散型随机变量的分布律也可列表表示如下:
X Y y1 y2 … yj …
x1
x2
...
p11
p21 pi1 ...
ij
p12
p22 ... pi2 ...
...
... ...
P1j
P2j Pij
...
... ...
...
...
xi
...
3、联合分布律的性质 (1) pij 0 , i, j＝1, 2, … ； (2) p ＝ 1
二、一维离散型随机变量
1、定义2.1 若随机变量X取值x1, x2, …, xn, … 且取这些值的概率依次为p1, p2, …, pn, …, 则称X为 离散型随机变量，而称 P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … ) 为X的分布律或概率分布。可表为 X～ P{X=xk}=pk, (k=1, 2, … )，
P5 23
Y
X
1 0
1
1 10 3 10
0
3 10 3 10
P 3 2 P5
2
2
2 5
P{ X 0, Y 0}
P 3 P
2 5
4、边际分布律
若随机变量X与Y的联合分布律为 (X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，i,j＝1, 2, … ，则称 P{X＝xi}＝pi.＝ p ij 为(X, Y)关于X的边际分布律； P{Y＝ yj}＝p·＝ j
...

i 1 j1
例1 ：袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二 次， 令
1 X 0 1 Y 0 第一次摸到红球 第一次摸到白球 第二次摸到红球 第二次摸到白球
求(X,Y)的分布律。
P{ X 1, Y 1} P
2 2 2
P{ X 1, Y 0} P{ X 0, Y 1}
第二章 离散型随机变量
• • • • • • 一维离散型随机变量及分布列 二维随机变量、联合分布列和边际分布列 随机变量函数的分布列 随机变量的数学期望 随机变量的方差 条件分布及条件数学期望
§2.1一维离散随机变量
一、定义：设S={e}是试 验的样本空间，如果量X是定 义在S上的一个单值实值函数 即对于每一个e S ，有一实 数X=X(e)与之对应，则称X为 随机变量。 随机变量常用X、Y、Z 或 、、等表示。
g(x , y
i j 1 i 1


j
) pij绝对收敛.
则Z= g(X，Y)的期望
E ( Z ) E[ g ( X , Y )]
g(x , y
i j 1 i 1


j
) pij .
例4： 设随机变量(X,Y)的分布列如下，求E(XY)。
X 0 1 Y 1 2
0.15
称
(X )
D( X )为r.v.X的标准差
易见：
D( X )
[ x
k 1

k
EX ] P{ X x k }
2
推论：D(X)=E(X2)-[E(X)]2.
X ~ P{ X k }


k
e

,
k 0, 1, 2, ...
k 1
k!
E( X )
k
k 0

k
e

e

k!
(k 1)! ;
k 1

三.随机变量函数的期望
例1：设随机变量X的分布律为 X -1
1 3
0
1 3
1
1 3
Pk
求随机变量Y=X2的数学期望。
普哇松定理(p65)： 设随机变量Xn～B(n, p), (n＝0, 1, 2,…), 且n很大，p很小，记=np，则
P{ X k}

k
e

,
k 0,1,2,...
k!
上题用普哇松定理
取 =np＝(400)(0.02)＝8, 故
近似地有 P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1} ＝1－(1＋8)e－8＝0.996981. （3）普哇松 (Poisson)分布P()(p64) k X～P{X＝k}＝ e , k＝0, 1, 2, … k! (0)
例3 .从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设 在各个交通岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯 的概率都是1/3. (1)设X为汽车行驶途中遇到的红灯数,求X的分布律. (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.
例4. 某人射击的命中率为0.02，他独立射击400 次，试求其命中次数不少于2的概率。
E( X )
x k pk
k 1
n
为r.v.X的数学期望，简称期望或均值。 定义 2. 若X~P{X=xk}=pk, k=1,2,…,且
| xk
k 1

| pk ，则称
E( X )
x k pk .
k 1

为r.v.X的数学期望
例2: 掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数， 求X的数学期望。
普哇松定理表明，普哇松分布是二项分布的极限分 布，当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是 参数=np的普哇松分布
例5 .设某国每对夫妇的子女数X服从参数为的 泊松分布,且知一对夫妇有不超过1个孩子的概率为 3e-2.求任选一对夫妇,至少有3个孩子的概率。
§2.2 二维离散型随机变量
一、 多维随机变量 定义2.2：将n个随机变量X1，X2，...,Xn 构成一个n维向量 (X1,X2,...,Xn)称为n维随 机变量。
定理 2.2： 若 X～P{X=xk}=pk, k=1,2,…, 且
g(x
k 1

k
) pk 绝对收敛.

则Y=g(X)的期望E(g(X))为
E (Y ) E[ g ( X )]
g(x
k 1
k
) pk .
定理2.3:若(X, Y)～P{X=xi ,Y=yj,}= pij,i,j=1,2, … , 且
二、二维离散型随机变量及其联合分布律
1、若二维随机变量(X, Y)只能取至多可列个值 (xi, yj),(i, j＝1, 2, … )，则称(X, Y)为二维 离散型随机变量。 2、若二维离散型随机变量(X, Y) 取 (xi, yj)的 概率为pij,则称 P{X＝xi, Y＝ yj,}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … ) 为二维离散型随机变量(X, Y)的分布律，或随机变 量X与Y的联合分布律。可记为 (X, Y)～ P{X＝xi,Y＝ yj}＝ pij (i,j=1,2, … )，
例1 ：引入适当的随机变量描述下列事件： ①将3个球随机地放入三个格子中， 事件A={有1个空格}，B={有2个空格}， C={全有球}。 ②进行5次试验，事件D={试验成功一 次}，F={试验至少成功一次}，G={至多成 功3次}
随机变量的分类
离散型随机变量 随机变量 连续型 非离散型 奇异型（混合型）
设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。
现从中任取3只球(不放回)，求抽得的白球数X的
例2: 某射手对目标独立射击5次，每次命中
目标的概率为p，以X表示命中目标的次数， 求X的分布律。
3、几个常用的离散型分布
（1） (0-1)分布(p63)
若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则
称X服从(0－1)分布(两点分布)
p11 p12
…
(xi,yj)
pij g(xi,yj)
g(x1,y1) g(x1,y2)
例：设随机变量X与Y独立，且均服从0-1 分布，其分布律均为
X Pi 0 q 1 p
(1) 求W＝X＋Y的分布律; (2) 求V＝max(X, Y)的分布律； (3) 求U＝min(X, Y)的分布律。 (4)求w与V的联合分布律。
E( X i ) p