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《误差理论与数据处理》第一章 绪论1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容.答： 研究误差的意义为:（1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差；（2）正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果,以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；（3)正确组织实验过程,合理设计仪器或选用仪器和测量方法,以便在最经济条件下,得到理想的结果。
误差理论的主要内容:误差定义、误差来源及误差分类等。
1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么?答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质,可分为系统误差、随机误差、粗大误差。
系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。
1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。
答：(1）误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量,不反映是“大了"还是“小了”，只是差别量；绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值.+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。
（2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的,后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”，试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于：1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？解: 绝对误差＝测得值－真值，即: △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ，测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49。
999（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100。
2014年测量数据处理及计量专业实务（一级）参考答案 (1)更多一级二级注册计量师历年真题和考试资料请搜索淘宝店铺：王工计量师 xx测量数据处理及计量专业实务（一级）参考答案一.单项选择题（共70题，每题1分，每题的备选项中，只有一个最符合题意）1.下列方法中，可用于减小周期性系统误差的是（）。
A .异号法B.交换法C. 半周期偶数测量法D.全周期奇数测量法参考答案：C。
解析：教材上关于系统误差处有提。
2.检定员小李为了修正环境温度对量器容积的影响，用温度计测量环境温度为22.0℃,该温度计校准证书上给出该点的示值误差为-0.2℃,此时实验室空调系统显示温度为21.6℃,则小李在量器容积的计算公式中需要带入的温度值为（）。
A .22.2℃B.22.0℃C.21.8℃D.21.6℃ 参考答案：A。
解析：实际温度：（22.0+0.2）℃3.以长度标准装置测量标称值为10mm的量块，得到量块的示值误差为-0.0010mm.以该量块校准一测长仪，测长仪读数为10.0020mm,该测长仪的修正值是（）。
Ａ0.0030mm D 0.0030mm 参考答案：A。
10mm量块修正后的值是10+0.0010=10.0010mm，测长仪的修正值=-示值误差=-（10.0020-10.0010）mm=-0.0010mm4.某计量院建立长度计量标准时，对计量标准进行重复性试验，对某常规被测件重复测量10次，测量数据如下：10.0006mm,10.0004mm,10.0008mm,10.0002mm,10.0003mm,10.0005mm,10.0005mm,10.0007mm,10.0004mm,10.0006mm。
在实际检定中，采用该计量标准在相同条件下对某一同类被测件进行4次测量，取4次测量的算术平均值作为被测量的最佳估计值，则最佳估计值的实验标准偏差为（）。
A 0.00018mm B 0.00006mm C 0.00009mm D 0.00029mm 参考答案：C。
《误差理论与数据处理》练习题第一章 绪论1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。
故二等标准活塞压力计测量值的绝对误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（ Pa ）。
相对误差=0.3100%0.3%100.5-⨯≈- 1-9 使用凯特摆时，g 由公式g=4π2（h 1+h 2）/T 2给定。
今测出长度（h 1+h 2）为（1.04230±0.00005）m ，振动时间T 为（2.0480±0.0005）s 。
试求g 及其最大相对误差。
如果（h 1+h 2）测出为（1.04220±0.0005）m ，为了使g 的误差能小于0.001m/s 2，T 的测量必须精确到多少？ 【解】测得（h 1+h 2）的平均值为1.04230（m ），T 的平均值为2.0480（s ）。
由21224()g h h Tπ=+,得：2224 1.042309.81053(/)2.0480g m s π=⨯= 当12()h h +有微小变化12()h h ∆+、T 有T ∆变化时，令12h h h =+ g 的变化量为：22121212231221212248()()()()42[()()]g g g h h T h h h h Th h T T TTh h h h T Tπππ∂∂∆=∆++∆=∆+-+∆∂+∂∆=∆+-+2223224842()g g g h T h h Th T T T T h h T Tπππ∂∂∆=∆+∆=∆-∆∂∂∆=∆- g 的最大相对误差为：22222222124422[][]244()0.000052(0.0005)[]100%0.054%1.04230 2.0480T T h h h h g h T T T T T g h Th h h T Tππππ∆∆∆-∆-∆∆∆===-+±⨯±=-⨯≈± 如果12()h h +测出为（1.04220±0.0005）m ，为使g 的误差能小于0.001m/s 2，即：0.001g ∆<也即 21212242[()()]0.001Tg h h h h T Tπ∆∆=∆+-+< 22420.0005 1.042200.0012.0480 2.04800.0005 1.017780.00106TT T π∆±-⨯<±-∆< 求得：0.00055()T s ∆<1-10. 检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？【解】 引用误差＝示值误差／测量范围上限。
完整版)误差理论与数据处理复习题及答案本文介绍了误差理论和数据处理中的一些基本概念和方法。
其中，测量误差按性质分为系统误差、粗大误差和随机误差，相应的处理手段为消除或减小、剔除和统计的手段。
随机误差的统计特性为对称性、单峰性、有界性和抵偿性。
在测量结果的重复性条件中，包括测量人员、测量仪器、测量方法、测量材料和测量环境等因素。
置信度是表征测量数据或结果可信赖程度的一个参数，可用标准差和极限误差来表示。
指针式仪表的准确度等级是根据指针误差划分的。
在等精度重复测量中，测量列的最佳可信赖值是平均值。
替代法的作用是消除恒定系统误差，不改变测量条件。
最后，通过一些例题的解答，进一步加深了对误差理论和数据处理的理解。
2.根据电路中的电阻值计算电路总电阻时，可以使用公式R=R1*R2/(R1+R2)，其中R1和R2分别为电路中的两个电阻值。
如果R1=150Ω，R2=100Ω，那么电路总电阻R为(R1*R2)/(R1+R2)=60Ω。
此外，如果需要计算电路总电阻的不确定度，可以使用以下公式：ΔR = ((dR/dR1)ΔR1)^2 +((dR/dR2)ΔR2)^2，其中dR/dR1和dR/dR2分别为R对R1和R2的偏导数，ΔR1和ΔR2分别为R1和R2的不确定度。
根据公式计算可得，ΔR = 0.264Ω。
14.两种方法测量长度为50mm的被测件，分别测得50.005mm和50.003mm。
可以计算它们的平均值，即(50.005+50.003)/2=50.004mm，然后计算它们的偏差，即(50.005-50.004)=0.001mm和(50.003-50.004)=-0.001mm。
由于偏差的绝对值相等，但方向相反，因此不能单纯地判断哪种方法的测量精度更高。
15.用某电压表测量电压，电压表的示值为226V。
查该表的检定证书，得知该电压表在220V附近的误差为5V。
因此，被测电压的修正值为-5V，修正后的测量结果为226+(-5V)=221V。
误差理论与数据处理知识总结1、1研究误差的意义1、1、1研究误差的意义为：1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差2）正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
1、2误差的基本概念1、2、1误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。
1、2、2绝对误差：某量值的测得值之差。
1、2、3相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。
1、2、4引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得比值为引用误差。
1、2、5误差来源：1）测量装置误差2）环境误差3）方法误差4）人员误差1、2、6误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。
1、2、7系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。
1、2、8随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。
1、2、9粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。
1、3精度1、3、1精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。
1、3、2精度可分为：1）准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度3）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。
1、4有效数字与数据运算1、4、1有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。
从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。
1、4、2测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。
计量专业实务与案例分析1.在规定的测量条件下多次测量同一个量所得测量结果与计量标准所复现的量值之差是测量 (B)的估计值。
A．随机误差 B，系统误差 C不确定度D．引用误差2、当测量结果与相应的标准值比较时，得到的系统误差估计值为 ( C ) 。
A.测量结果与真值之差B.标准值与测量结果之差C.测量结果与标准值之差D．约定真值与测量结果之差3、估计测量值J的实验标准偏差的贝塞尔公式是 ( ) 。
4、若测量值的实验标准偏差为s(x)，则n次测量的算术平均值的实验标准偏差S（X）为 ( ) 。
5．在重复性条件下，用温度计对某实验室的温度重复测量了16次，以其算术平均值作为测量结果。
通过计算得到其分布的实验标准偏差s＝0.44℃，则其测量结果的A类标准不确定度是 (B ) 。
A．0.44℃ B．0.11℃ C．0.88℃ D．0.22℃6，对一个被测量进行重复观测，在所得的一系列测量值中，出现了与其他值偏离较远的个别值时，应 ( C ) 。
A.将这些值剔除 B.保留所有的数据，以便保证测量结果的完整性C．判别其是否是异常值，确为异常值的予以剔除D．废弃这组测量值，重新测量，获得一组新的测量值7．在相同条件下，对同一被测量进行连续多次测量，测量值为：0.0lmm，0.02mn 0.01mm，0.03mm。
用极差法计算得到的测量重复性为 ( B ) 。
(注：测量次数为4时，极差系数近似为2)A．0.02mm B．0.01mm C．0.015mm D．0.005mm8．为表示数字多用表测量电阻的最大允许误差，以下的表示形式中 ( A )是正确的：A．土(0.1％R+0.3μ?) B．土(0.1％+0.3μ?) C.土0.1％土0.3μ? D..(0.1％R+0.3μ?，k＝39．一台0～150V的电压表，说明书说明其引用误差限为土2％。
说明该电压表的任意示值的用绝对误差表示的最大允许误差为 ( A ) 。
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A .异号法B.交换法C. 半周期偶数测量法D.全周期奇数测量法2.检定员小李为了修正环境温度对量器容积的影响，用温度计测量环境温度为22.0℃,该温度计校准证书上给出该点的示值误差为-0.2℃,此时实验室空调系统显示温度为21.6℃,则小李在量器容积的计算公式中需要带入的温度值为（）。
A .22.2℃B.22.0℃C.21.8℃D.21.6℃3.以长度标准装置测量标称值为10mm的量块，得到量块的示值误差为-0.0010mm.以该量块校准一测长仪，测长仪读数为10.0020mm,该测长仪的修正值是（）。
Ａ0.0030mm D 0.0030mm4.某计量院建立长度计量标准时，对计量标准进行重复性试验，对某常规被测件重复测量10次，测量数据如下：10.0006mm,10.0004mm,10.0008mm,10.0002mm,10.0003mm,10.0005mm,10.0005mm,10.0007mm,10.0004mm,10.0006mm。
在实际检定中，采用该计量标准在相同条件下对某一同类被测件进行4次测量，取4次测量的算术平均值作为被测量的最佳估计值，则最佳估计值的实验标准偏差为（）。
A 0.00018mm B 0.00006mm C 0.00009mm D 0.00029mm5.用同一标准物质检定一台定碳定硫分析仪重复性时，连续测量6次，测得值分别为2.46％,2.54％,2.50％,2.46％,2.48％,2.55％,则算数平均值的实验标准差为（）。
A .0.016 ％B.0.023％C. 0.039％D.0.052％6.对某量进行6次独立重复测量，按贝塞尔公式法估算出单次测得值的实验标准偏差为s，第四次测量值x4与6次的测量值的算数平均值之差的绝对值小于3s,对x4是否为异常值的判定结论是（）。
一、问题的提出
在不等精度直接测量时，由各测量值x i及其标准差σi计算加权算术平均值的标准差时，有两个计算公式
式中:p i——各测量值的权；σi——各测量值的标准差；σ——单位权标准差；
——加权算术平均值的标准差。
但这两个公式的计算结果有时会相差很大。
那么，在这种情况下，采用哪个公式更为合理呢？本文对此从公式的推导到公式的选用进行探讨，并给出了一般性的原则。
二、公式的数学推导
在不等精度测量时，各测量值的权的定义式为:
测量结果的最佳估计值为:
则测量结果的不确定度评定为:
对式(5)求方差有
设各测量值x i的方差都存在，且已知分别为，即D(x i)=
由(4)式有=σ2/p i
从公式(1)的推导，我们可以看出，此时各测量值的方差(或标准差)必须是已知的。
而在实际测量中，常常各测量值的方差(或标准差)是未知的，无法直接应用公式(1)进行不确定度评定。
但是，从分析来看，如果能由各测量值的残差(其
权等于测量值的权)求出单位权标准差的估计值，并将其代入公式(1)中，就可计算出加权算术平均值标准差的估计值。
为此，作如下推导:
由残差νi=x i-i=1，2，……n
对νi单位权化
由于v i的权都相等，因而可设为1，故用v i代替贝塞尔公式中的νi可得单位权标准差的估计值
将此式代入公式(1)，即得到加权算术平均值标准差的估计值
从上面的推导我们可以看出，公式(1)是在各测量值的标准差已知时计算出的不等精度测量结果的不确定度的准确值；而公式(2)是在各测量值的标准差未知时计算出的不等精度测量结果的不确定度的估计值。
从概率论与数理统计知识可知，只有在n→∞时，其单位权标准差的估计值才能等于单位权的标准差，而由于测量次数的有限性和随机抽样取值的分散性，这两者是不相等的，所以由公式(1)和公式(2)确定的不确定度的值是也不相同的。
三、公式选用的一般原则
笔者用了较大的篇幅来进行公式的数学推导，主要是为了说明这两个公式推导的前提是不一样的，其应用当然也就不同。
我们分两种情况来进行讨论。
1.各测量值的标准差未知时
显然，在这种情况下，由于其测量值的权是由其他方法得到的，而各测量值的标准差未知，无法应用公式(1)来进行不确定度评定，而只能用公式(2)。
2.各测量值的标准差已知时
当已知测量值x i和其标准差σi时，有两种方法计算的标准差:第一种方法
是用公式(1)进行计算，第二种方法是用公式(2)进行计算。
前面已述这两种方法在理论上是不相等的。
两种方法的区别是:第一种方法是根据已知的σi计算，没有用到测量数据x i。
而第二种方法既用到了σi(确定权)，也用到了测量数据
x i(计算残差)。
公式(2)是一个统计学公式，与观测次数n有关，只有n足够大，即观测数据足够多时，该公式才具有实际意义。
所以，根据前面的推导分析，当测量次数较少时，考虑到随机抽样取值的分散性，建议采用公式(1)进行不确定度
评定，当测量次数较多时，采用公式(2)评定不确定度更能真实地反映出这一组数据的不确定度值，它包含了由随机效应引起的不确定度，也包含了由系统效应引起的不确定度，因而更具有实验性质。
现在的问题是，测量次数究竟为多少时才是较少或较多呢？根据概率论与数理统计知识，单次测量的标准差与平均值的标
准差的关系为:，当σ一定时，n>10以后，已减少得非常缓慢。
所
以常把n=10作为一个临界值。
综上所述，当测量次数n<10时，用公式(1)进行计算效果较好；当测量次数n≥10时，采用公式(2)来评定不确定度会更客观一些。
另外，还有一个问题值得注意:不等精度测量本来就是改变了测量条件的复现性测量，这些改变了的测量条件有可能带来系统误差。
当n足够大时且本次测量条件与以前的测量条件变化不大时，两个公式计算的结果应近似相等。
否则本次测量数据可能存在系统误差。
四、实例
[实例1]用国家基准器在相同的条件下连续3天检定某一基准米尺，检定的结果为999.9425mm(3次测量取平均值)，999.9416mm(2次测量取平均值.雪，999.9419mm(5次测量取平均值)，试求最终的检定结果。
[解]由于测量条件相同，3天里的10次测量是等精度的。
3个检定结果所以精度不等，是因为每天测量的次数不同，所以其权为:
p1:p2:p3=σ2/n1:σ2/n2:σ2/n3=3:2:5
所以，加权算术平均值为:
因各测量值的标准差未知，故σx应按公式(2)估算，所以
[实例2]对某物理量进行9次直接测量，数据见下表，评定测量结果的不确定度。
[解](1)计算各测量值的权:
由式(4)知
p i=σ2/
令单位权标准差σ=50，则各测量值的权为:
p1:p2:p3:p4:p5:p6:p7:p8:p9
=1:1:1:1.93:12.8:2.97:4.34:2.78:4.73
(2)计算最佳估计值:
(3)计算的标准差:
第一种方法；用公式(1)计算
第二种方法:用公式(2)计算
从本例看，两种方法计算的结果相差较大。
依据第三节的原则，该例采用第一种方法计算的结果为好。
从对观测列的分析来看，x max-x min=132，取值很分散，似有系统误差存在。
当系统误差大于随机误差时，测量值的变化规律会明显地为系统误差所左右，因而无法用统计的方法得到正确的测量结果，原有的测量值也就失去了意义。
要有效地提高测量准确度，必须认真分析测量过程中系统效应的影响，并采取措施，减小或消除其影响。
