巧构一线三直角解题

巧构一线三直角解题教师在教学时要注意给学生创造机会，让学生学会找基本图形。

通过基本图形的积累，学生在分析题目时，就能唤醒利用这些基本图形，并能直接解题。

几何命题的证明方法很多，只要找到规律、找到模型，我们就可以“以不变应万变”，任何问题就能迎刃而解。

所以说，模型建立是学好数学的秘密武器。

基本图形：如图1，B、D、C在一条直线上，∠B=∠ADE=∠C=90°。

我们称这一图形为“一线三直角”模型，则△ABD∽△DCE(或△ABD≌△DCE)。

点评：我们在教学中经常遇到此图形，只要见到一直角在一条直线上，我们可以构造两侧的直角三角形，利用相似三角形可以解决一类相关问题。

当出现了有相等边的条件之后，相似就转化为全等了。

综合性题目往往就会把相似和全等的转化作为出题的一种形式。

本文将重点对这一基本图形进行探讨。

一、在旋转中出现一线三直角基本图形（全等）如图，将AO绕点O按逆时针方向旋转90°，得到A’O。

若点A的坐标为（a,b），则点A’的坐标为()。

解析：过A点作AB⊥x轴，垂足为E，过A’作A’E’⊥x轴，则△A’OE≌△OAE，所以A’E’=OE=a,AE=OE’=b，所以A’的坐标为（-b,a）。

点评：教师在平时教学中就要注意基本图形的构造，为以后学习打下良好的基础。

变式：直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为2。

把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A、B、C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（）。

分析：∠AEC=90°，并在直线l3，此时我们可以构造一线三直角数学模型，△ADE与△BEC全等，所以DB=CE=3。

二、在折叠中构造一线三直角如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A’的位置。

若ＯＢ=5，tan∠BOC=，则点A’的坐标是多少？解析：因为ＯＢ=5，tan∠BOC=，OA=1，AB=2，△A’OD∽△A’BE。

专题13 几何模型3—一线三等角模型【模型介绍】一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的角与这两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角”如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角【解题关键】构造相似或是全等三角形【典型例题】【题型一：一线三直角模型】如图，若∠1、∠2、∠3都为直角，则有△ACP ∽△BP D ．【例1】如图1所示，已知△ABC 中，∠ACB =90°,AC =BC ，直线m 经过点C ，过A 、B 两点分别作直线m 的垂线，垂足分别为E 、F ．（1）如图1，当直线m 在A 、B 两点同侧时，求证：EF =AE +BF ；（2）若直线m 绕点C 旋转到图2所示的位置时（BF <AE ），其余条件不变，猜想EF 与AE ，BF 有什么数量关系？并证明你的猜想；（3）若直线m 绕点C 旋转到图3所示的位置时（BF >AE ）其余条件不变，问EF 与AE ，BF 321DBP AC的关系如何？直接写出猜想结论，不需证明．【答案】（1）见解析；（2）EF=AE−BF，证明见解析；（3）EF=BF−AE，证明见解析【解析】（1）证明：∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB=90°，∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°，∴∠EAC+∠ECA=90°，∠FCB+∠ECA=90°，∴∠EAC=∠FCB，在△EAC和△FCB中，{∠AEC=∠CFB ∠EAC=∠FCBAC=BC，∴△EAC≌△FCB(AAS)，∴CE=BF，AE=CF，∵EF=CF+CE，∴EF=AE+BF；（2）解：EF=AE−BF，理由如下：∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB=90°，∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°，∴∠EAC+∠ECA=90°，∠FCB+∠ECA=90°，∴∠EAC=∠FCB，在△EAC和△FCB中，{∠AEC=∠CFB ∠EAC=∠FCBAC=BC，∴△EAC≌△FCB(AAS)，∴CE=BF，AE=CF，∵EF=CF−CE，∴EF=AE−BF；（3）解：EF=BF−AE，理由如下：∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB=90°，∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°，∴∠EAC+∠ECA=90°，∠FCB+∠ECA=90°，∴∠EAC=∠FCB，在△EAC和△FCB中，{∠AEC=∠CFB ∠EAC=∠FCBAC=BC，∴△EAC≌△FCB(AAS)，∴CE=BF，AE=CF，∵EF=CE−CF，∴EF=BF−AE．【练1】如图，在平面直角坐标系中，将直线y=−3x向上平移3个单位，与y轴、x轴分别交于点A、B，以线段AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形AB C．若反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点C，则k的值为（）A．2B．3C．4D．6【答案】C【解析】解：过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，如图所示，∵CE⊥x轴，CF⊥y轴，∴∠ECF＝90°．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACF＋∠FCB＝∠FCB＋∠BCE＝90°，AC＝BC，∴∠ACF＝∠BCE．在△ACF和△BCE中，{∠AFC ＝∠BEC ＝90°∠ACF ＝∠BCEAC ＝BC， ∴△ACF ≌△BCE （AAS ），∴S △ACF ＝S △BCE ，∴S 矩形OECF ＝S 四边形OBCA ＝S △AOB ＋S △AB C ．∵将直线y ＝−3x 向上平移3个单位可得出直线AB ，∴直线AB 的表达式为y ＝−3x ＋3，∴点A （0，3），点B （1，0），∴AB ＝√OA 2＋OB 2=√10，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AC =BC =√22AB =√5， ∴S 矩形OECF ＝S △AOB ＋S △ABC ＝12×1×3＋12×√5×√5＝4．∵反比例函数y =k x （x ＞0）的图象经过点C ，∴k ＝4，故选C ．【练2】如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OBA =60°，若点A 在反比例函数y =3x (x >0)的图象上，则经过点B 的反比例函数表达式为（ ）A ．y =−3xB ．y =3xC ．1y x =-D ．y =1x【答案】C 【解析】解：作AD ⊥x 轴于D ，BC ⊥x 轴于C ，如图，∵∠AOB=90°，∠ABO=60°，∴∠BAO=30°，∴OB=√33OA．∵点A在反比例函数y=3x(x>0)的图象上，∴xy=OD∙AD=3．∵∠AOD+∠BOC=90°，∠AOD+∠DAO=90°，∴∠BOC=∠DAO，∴Rt△BOC∽Rt△OAD，∴S△BOCS△DAO =(OBOA)2=13．∵S△DAO=12OD∙AD=12×3=32，∴S△BOC=12，即12|k|=12，∴|k|=1．∵k<0，∴k=−1，∴经过点B的反比例函数解析式为y=−1x．故选：C．【练3】如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（）A．13B. 617C．√55D. √1010【答案】D【解析】如图，过点A作AD⊥l1于点D，过点B作BE⊥l1于点B，设l1，l2，l3之间的距离为1∵∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°∴∠CAD=∠BCE在等腰直角△AB C中，AC=BC，∠ADC=∠BEC=90°∴△ACD≌△CBE∴CD=BE=1在Rt△AC D中AC=√AD2+CD2=√22+12=√5在等腰直角△AB C中AB=√2AC=√2×√5=√10∴sinα=1√10=√1010故选：D【练4】如图1，等腰Rt△AB C中，∠ABC＝90°，CB＝BA，直线ED经过点B，过A作AD ⊥ED于D，过C作CE⊥ED于E.则易证△ADB≌△BE C．这个模型我们称之为“一线三垂直”.它可以把倾斜的线段AB和直角∠ABC转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用.模型应用：(1)如图2，点A（0，4)，点B(3，0），△ABC是等腰直角三角形．①若∠ABC＝90°，且点C在第一象限，求点C的坐标；②若AB为直角边，求点C的坐标；(2)如图3，长方形MFNO，O为坐标原点，F的坐标为（8，6），M、N分别在坐标轴上，P 是线段NF上动点，设PN＝n，已知点G在第一象限，且是直线y＝2x一6上的一点，若△MPG 是以G为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G的坐标.【答案】（1）①（7,3）；②（7,3）、（4,7）、（-4,1）、（-1,-3）；（2）（4，2）、(203,22 3).【解析】解：（1）①如图，过C作CD垂直于x轴，根据“一线三垂直”可得△AOB≌△BDC，∴AO=BD，OB=CD，∵点A（0，4)，点B(3，0），∴AO=4，OB=3，∴OD=3+4=7，∴点C的坐标为（7,3）；②如图，若AB为直角边，点C的位置可有4处，a、若点C在①的位置处，则点C的坐标为（7,3）；b、若点C在C1的位置处，同理可得，则点C1的坐标为（4,7）；c、若点C在C2的位置处，则C1、C1关于点A对称，∵点A（0，4)，点C1（4,7），∴点C2的坐标为（-4,1）；d、若点C在C3的位置处，则C3、C关于点B对称，∵点B(3，0），点C（7,3），∴点C3的坐标为（-1,-3）；综上，点C的坐标为（7,3）、（4,7）、（-4,1）、（-1,-3）；（2）当点G位于直线y=2x-6上时，分两种情况：①当点G在矩形MFNO的内部时，如图，过G作x轴的平行线AB，交y轴于A，交直线NF于点B，设G（x，2x-6）；则OA=2x-6，AM=6-（2x-6）=12-2x，BG=AB-AG=8-x；则△MAG≌△GBP，得AM =BG，即：12-2x=8-x，解得x=4，∴G（4，2）；当点G在矩形MFNO的外部时，如图，过G作x轴的平行线AB，交y轴于A，交直线NF 的延长线于点B，设G（x，2x-6）；则OA=2x-6，AM=（2x-6）-6=2x-12，BG=AB-AG=8-x；则△MAG≌△GBP，得AM =BG，即：2x-12=8-x，解得x=203，∴G(203,223)；综上，G点的坐标为（4，2）、(203,22 3).【题型二：一线三锐角与一线三钝角】如图，若∠1、∠2、∠3都为锐角，则有△ACP ∽△BP D ．证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CP A ，∠C ＝180°－∠1－∠CP A ，而∠1＝∠3∴∠C ＝∠DPB ，∵∠1＝∠2，∴△ACP ∽△BPD如图，若∠1、∠2、∠3都为钝角，则有△ACP ∽△BP D ．（证明同锐角）【例2】如图，在等腰三角形AB C 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝2，点D 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），在AC 上取一点E ，使∠ADE ＝30°．（1）设BD ＝x ，AE ＝y ，求y 关于x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（2）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．【答案】（1）y =12x 2−√3x +2(0<x <2√3)(2) AE ＝4－2√3或AE ＝23 【解析】解（1）∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝120°，∴∠ABD ＝∠ACB ＝30°，∴∠ABD ＝∠ADE ＝30°，∵∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝∠ABD ＋∠DAB ，∴∠EDC ＝∠DAB ，∴△ABD ∽△DCE ；∵AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，过A 作AF ⊥BC 于F ，3CDBP A 231DB P A CEC DB A∴∠AFB ＝90°，∵AB ＝2，∠ABF ＝30°，∴AF ＝12AB ＝1， ∴BF ＝√3，∴BC ＝2BF ＝2√3，则DC ＝2√3−x ，EC ＝2－y∵△ABD ∽△DCE ，∴AB BD =DC CE ， ∴2x =2√3−x 2−y， 化简得：y =12x 2−√3x +2(0<x <2√3)．（2）①当AD ＝DE 时，如图，△ABD ≌△DCE ，则AB ＝CD ，即2＝2√3−x ，x ＝2√3−2，代入y =12x 2−√3x解得：y ＝4−2√3，即AE ＝4−2√3，②当AE ＝ED 时，如图，∠EAD ＝∠EDA ＝30°，∠AED ＝120°，所以∠DEC ＝60°，∠EDC ＝90°则ED ＝ 12 EC ，即y ＝12 （2－y ）解得y ＝23，即AE ＝23；③当AD ＝AE 时，有∠AED －∠EDA ＝30°，∠EAD ＝120° 此时点D 和点B 重合，与题目不符，此情况不存在． EC DB AAB C所以当△是ADE等腰三角形时，AE＝4－2√3或AE＝23【练1】如图，在△AB C中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA=115°时，∠EDC=______°，∠AED=______°；（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．【答案】（1）25°，65°；（2）2，理由见解析；（3）可以，110°或80°.【解析】解：（1）∵∠B=40°∠ADB=115°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-115°-40°=25°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°，∵∠EDC=180°-∠ADB-∠ADE=25°，∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=115°，∴∠AED=180°-∠DEC=180°-115°=65°；（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，在△ABD和△DCE中，{∠ADB ＝∠DEC∠B ＝∠CAB ＝DC∴△ABD ≌△DCE （AAS ）；（3）当∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形，∵∠BDA =110°时，∴∠ADC =70°，∵∠C =40°，∴∠DAC =70°，∴△ADE 的形状是等腰三角形；∵当∠BDA 的度数为80°时，∴∠ADC =100°，∵∠C =40°，∴∠DAC =40°，∴△ADE 的形状是等腰三角形．【练2】阅读材料：小胖同学遇到这样一个问题，如图1，在△AB C 中，∠ABC ＝45°，AB ＝2√2，AD ＝AE ，∠DAE ＝90°，CE ＝√5，求CD 的长；小胖经过思考后，在CD 上取点F 使得∠DEF ＝∠ADB （如图2），进而得到∠EFD ＝45°，试图构建“一线三等角”图形解决问题，于是他继续分析，又意外发现△CEF ∽△CDE ．（1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程．（2）参考小胖的解题思路解决下面的问题：如图3，在△AB C 中，∠ACB ＝∠DAC ＝∠ABC ，AD ＝AE ，12∠EAD +∠EBD ＝90°，求BE ：E D ．【答案】CD=5；（1）证明见解析；（2）12【解析】解：（1）在CD 上取点F ，使∠DEF ＝∠ADB ，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴DE＝√2AD＝√2AE，∵∠ABC＝45°，∠ADE＝45°，且∠ADC＝∠ADE+∠EDC，∴∠BAD＝∠EDC，∵∠BDA＝∠DEF，∴△ADB∽△DEF，∴DFAB =DEAD＝√2，∵AB＝2√2，∴DF＝4，又∵∠CDE+∠C＝45°，∴∠CEF＝∠CDE，∴△CEF∽△CDE，∴CECF =DCCE，又∵DF＝4，CE＝√5，∴√5CF =√5，∴CF＝1或CF＝5（舍去），∴CD＝CF+4＝5；（2）如图3，作∠DAT＝∠BDE，作∠RAT＝∠DAE，∵∠ACB＝∠DAC＝∠ABC，∴AB＝AC，AD＝CD，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，∵12∠EAD+∠EBD＝90°，∴∠EAD+2∠EBD＝180°，且∠EAD+2∠AED＝180°，∴∠EBD＝∠AED＝∠ADE，∵∠BDA＝∠DAT+∠ATD＝∠BDE+∠ADE，∴∠ADE＝∠ATD＝∠EBD，且∠BDE＝∠DAT，∴△DBE∽△ATD，∴BEDT =DEAD，∠ADT＝∠BED，∴BEDE =DTAD，且AD＝DC，∴BEDE =DTCD，∵∠RAT＝∠DAE，∠ADE＝∠ATD，∴∠RAE＝∠DAT，∠AED＝∠ART＝∠ADE＝∠ATD，∴AR＝AT，且∠RAE＝∠DAT，∠ARE＝∠ATD，∴△ARE≌△ATD（ASA）∴∠ADT＝∠AER，DT＝ER，∴∠BED＝∠AER，∴∠AED＝∠BER＝∠EBD，∴RE＝RB＝DT，∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB，∠ARB＝∠ATC，∴△ABR≌△ACT（AAS）∴BR＝TC，∴DT＝TC，∴CD＝2DT，∴BEDE =DTCD＝12【练3】数学模型（“一线三等角”模型）(1)如图1，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥AD于点D，CE⊥AD于点E．求证：△ABD≌△CAE．(2)如图2，在△AB C中，AB＝AC，点D，A，E都在直线l上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC ＝α．若CE＝a，BD＝b，求DE的长度（用含a，b的代数式表示）；(3)如图3，D，E是直线l上的动点，若△ABF和△ACF都是等边三角形，且∠BDA＝∠AEC ＝∠BAC＝α，试判断△DEF的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)a+b(3)△DEF是等边三角形，理由见解析．【解析】(1)证明：∵∠1+∠2＝∠2+∠C＝90°，∴∠1＝∠C，在△ABD和△CAE中，{∠1=∠C∠ADB=∠CEA=90°AB=AC，∴△ABD≌△CAE（AAS），(2)解：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝180°﹣α＝∠BAD+∠CAE，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中，{∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠AEC AB=AC∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∵CE＝a，BD＝b，∴DE＝AD+AE＝BD+CE＝a+b；(3)解：△DEF是等边三角形，理由如下：∵△ABF和△ACF都是等边三角形∴AB＝AC，由（2）知：△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE，∵△ACF是等边三角形，△ABF是等边三角形，∴∠CAF＝60°，AB＝AF，∴∠ABD+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，即∠DBF＝∠F AE，在△BDF和△AEF中，{FB=FA∠FBD=∠FAEBD=AE，∴△BDF≌△AEF（SAS），∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝∠AFD+∠BFD＝60°，∴△DEF是等边三角形．【练4】数学模型学习与应用．【学习】如图1，∠BAD=90°，AB=AD，BC⊥AC于点C，DE⊥AC于点E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D；又∠ACB=∠AED=90°，可以通过推理得到△ABC≌△DAE．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型；(1)【应用】如图2，点B，P，D都在直线l上，并且∠ABP=∠APC=∠PDC=α．若BP=x，AB=2，BD=5，用含x的式子表示CD的长；(2)【拓展】在△ABC中，点D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE，∠B=∠ADE=∠C，AB=5，BC=6．若△CDE为直角三角形，求CD的长；(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2,4)，点B为平面内任一点．△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B的坐标．【答案】(1)CD=−12x2+52x(2)3(3)(3,1)或(−1,3)【解析】(1)解：∵∠ABP=∠APC=∠PDC=α，∴∠A+∠APB=∠APB+∠CPD，∴∠A=∠CPD，又∵∠ABP=∠PDC，∴△ABP∽△PDC，∴ABPD =BPCD，即xCD =25−x，∴CD=−12x2+52x．(2)解：如图4，当∠CED=90°时，∵∠ADE=∠C，∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE，∴∠ADC=∠AED=90°，∵∠B=∠C，∠ADC=90°∴点D为BC的中点，∴CD=12BC=12×6=3．如图5，当∠EDC=90°时，∵∠B=∠C，∴∠BAD=∠EDC=90°，过点A作AF⊥BC，交BC于点F，∴BF=12BC=3，cos B=BFAB=ABBD=35，BD=253>6，不合题意，舍去，∴CD=3．(3)解：分两种情况：①如图6所示，过A作AC⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，则∠C ＝90°，∴四边形OECD是矩形∵点A的坐标为（2，4），∴AD＝2，OD＝CE＝4，∵∠OBA＝90°，∴∠OBE+∠ABC＝90°，∵∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠OBE，在△ABC与△BOE中，{∠C=∠BEO=90°∠BAC=∠OBEAB=BO∴△ABC≌△BOE（AAS），∴AC＝BE，BC＝OE，设OE＝x，则BC＝OE＝CD＝x，∴AC＝BE＝x－2，∴CE＝BE+BC＝x－2+x＝OD＝4，∴x＝3，x－2＝1，∴点B的坐标是（3，1）；②如图7，同理可得，点B的坐标（－1，3），综上所述，点B的坐标为（3，1）或（－1，3）．。

专题04相似三角形重要模型－一线三等角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·浙江·九年级专题练习）如图①，在等边三角形ABC中，点D是边BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边向右作等边△ADE，边DE与AC相交于点F，设BD＝x，CF＝y，若y与x的函数关系的大致图象如图②所示，则等边三角形ABC的面积为（）A．3B．5C．2【答案】C，设90DFN DNF ∠+∠=︒MFH ∠90D MHD ∠=∠=︒在MFH MF MH FH 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5【分析】（1）由90DPC A B ∠=∠=∠=︒可得ADP BPC ∠=∠,即可证到ADP BPC ∽即可解决问题；（2）由DPC A B α∠=∠=∠=可得ADP BPC ∠=∠,即可证到ADP 性质即可解决问题；（3）证明ABD DFE ∽△△,求出4DF =，再证EFC DEC ∽△△(1)如图2，在53⨯个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB 为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点．．．．．的方法，作出以线段AB 为等联线、某格点P 为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；图3，在Rt APC △中，90A ∠=，AC AP >，延长AP 至点B ，使AB AC =，作A ∠的等联角，⊥（2）①PCF是等腰直角三角形．理由为：如图，过点C作CN BE由折叠得AC CM =，90CMP CME A ︒∠==∠=，12∠=∠AC AB =，A PBD N ∠︒=∠=∠，∴四边形ABNC 为正方形CN AC CM∴=又CE CE =，()Rt HL CME CNE ∴≌△34∴∠=∠，而12390∠+∠+∠+︒，90CPF ∠=︒例5.（2022·浙江·嘉兴一中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：△ADC ≌△CEB ．(1)探究问题：如果AC ≠BC ，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC ∽△CEB ．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y ＝12x 与直线CD 交于点M （2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD 的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，点E 为BC 边上一个动点，连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°，点A 落在点P 处，当点P 在矩形ABCD 外部时，连接PC ，PD ．若△DPC 为直角三角形时，请你探究并直接写出BE 的长．【答案】(1)见解析(2)41577y x =-+(3)4或372+【分析】（1）由同角的余角相等可得∠BCE =∠DAC ，且∠ADC =∠BEC =90°，可得结论；（2）过点O 作ON ⊥OM 交直线CD 于点N ，分别过M 、N 作ME ⊥x 轴NF ⊥x 轴，由（1）的结论可得：△NFO ∽△OEM ，可得NF OF NO OE ME MO==，可求点N 坐标，利用待定系数法可求解析式；（3）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和相似三角形的性质可求解．(1)解：理由如下，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，又∵∠ADC ＝90°，∴∠ACD +∠DAC ＝90°，∴∠BCE ＝∠DAC ，且∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∴△ADC ∽△CEB ；(2)解：如图，过点O 作ON ⊥OM 交直线CD 于点N ，分别过M 、N 作ME ⊥x 轴，NF ⊥x 轴，由（1）可得：△NFO ∽△OEM ，∴NF OF NO OE ME MO==，∵点M （2，1），∴OE ＝2，ME ＝1，∵tanα＝ON OM ＝32，∴3212NF OF ==，∴NF ＝3，OF ＝32，∴点N （32-，3），∵设直线CD 表达式：y ＝kx +b ，∴12332k b k b =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩∴47157k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线CD 的解析式为：y ＝-47x +157；（3）若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使∵D 和B 不重合，∴45AED ∠<︒，又45ADE ∠=︒，90DAE ∠>︒，∴AD AE ≠≠DE ．FE ；（2）若3,4AB AD ==16∵3,4AB AD ==，∴BD AB =∵DF AE ⊥，∴12ABD S AB =△∴341255AB AD AF BD ⋅⨯===，∴1695BF BD DF =-=-=，∵A ．()9,3B ．(9,2【答案】D 【分析】过C 作CE ⊥x 轴于E ，根据矩形的性质得到而得出△BCE ∽△ABO ，根据相似三角形的性质得到结论．【详解】解：过C 作CE ⊥x 轴于∵四边形ABCD 是矩形，∴CD=AB ∴∠ABO+∠CBE=∠CBE+∠BCE=90°∵90AOB BEC ∠=∠=︒，∴△∴CE CB BE BO AB AO==，∵4OB =∵AB=2BC ，∴BC=1AB=4，∵＝4．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．【答案】54【分析】先证明ABF GAE ∽，得到AB BF GA AE =，进而即可求解．【详解】∵在正方形ABCD 中，AF ⊥EG ，∴∠AGE +∠GAM =90°，∠FAB +∠GAM =90°，∴∠FAB =∠AGE ，又∵∠ABF =∠GAE =90°，∴ABF GAE ∽，∴AB BF GA AE =，即：5511BF =-，∴BF =54．故答案是：54．【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明ABF GAE ∽，是解题的关键．5．（2023·浙江九年级专题练习）如图，ABC 为等边三角形，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，3BD =，将ADE V 沿直线DE 翻折得到FDE V ，当点F 落在边BC 上，且4BF CF =时，DE AF ⋅的值为．【答案】9833【分析】根据△ABC 为等边三角形，△ADE 与△FDE 关于DE 成轴对称，可证△BDF ∽△CFE ，根据BF =4CF ，可得CF =4，根据AF 为轴对称图形对应点的连线,DE 为对称轴，可得DE ⊥AF ，根据S 四边形ADFE =12DE AF ⋅=S △CEF =-S △ABC -S △CEF ，进而可求9833DE AF ⋅=．【详解】解：如图，作△ABC 的高AL ，作△BDF 的高DH ，DAE的函数关系式△∽△(1)求证：ABF FCE【答案】(1)见解析(2)CE长为【分析】（1）根据矩形的性质得到用角之间的互余关系推出(1)求证：BEG CDE△∽△；(2)求AFG 【答案】(1)证明见解析(2)9【分析】（1）先根据正方形的性质可得证；90 NAF CAD∠+∠= ANE DCE∠=∠，D D∠=∠，EDC∴∴343DE=，DE∴【解决问题]若点D是BC边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N点运动的路径长，及CN的最小值．，(1)若正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点．①如图1，当FEC∠=②如图2，当2tan3FCE∠=时，求AF的长；(2)如图3，延长CF，DA交于点证：AE AF=．【答案】(1)①详见解析；②6AF=(2)详见解析①90ADC BAD FEC∠=∠=︒，∴AEF CED∠+∠AEF ECD∴∠=∠，AEF DCE∽△，②如图，延长DA交于点G，作GH CE⊥，垂足为且CED GEH∠=∠，CED∴△2,1CD DE==，5CE∴=，5290EDC EHG ∠=∠=︒设,AD CD a GE DE ===x y t t a n ∴==，2,t x n ∴=在Rt CHG △中，sin FCE ∠①请按要求画图：将ABC 绕点A 顺时针方向旋转90︒，点B 的对应点为点B '，点C 的对应点为点②在①中所画图形中，AB B '∠=______︒．【问题解决】如图2，在Rt ABC △中，190BC C =∠=︒，，延长CA 到D ，使1CD =，将斜边90︒到AE ，连接DE ，求ADE ∠的度数．②由作图可知，AB AB '=，90BAB '∠=︒∴'ABB 是等腰直角三角形，∴45AB B '∠=︒，故答案为：45；【问题解决】如图2中，过点E 作EH CD ⊥交CD 的延长线于H ．∵90C BAE H ∠=∠=∠=︒，∴90B CAB ∠+∠=︒，90CAB EAH ∠+∠=︒，∴B EAH ∠=∠，∵AB AE =，∴()AAS ABC EAH ≌，∴BC AH EH AC ==，，∵BC CD =，∴CD AH =，∴DH AC EH ==，∴45EDH ∠=︒，∴135ADE ∠=︒．【拓展延伸】如图3中，连接AC ，∵AE BC BE EC ⊥=，，即AE 垂直平分BC ，∴AB AC =，将ABD △绕点A 逆时针旋转得到ACG ，连接DG ．则BD CG =，∵BAD CAG ∠=∠，∴BAC DAG ∠=∠，∵AB AC AD AG ==，，∴ABC ACB ADG ∠∠∠===∴ABC ADG ∽△△，∵2=AD AB ，∴24DG BC ==，(1)如图1，求直线AB 的解析式．(2)如图2，线段OA 上有一点C ，直线BC 为2(0)y kx k k =-<，AD y ⊥轴，将BC 绕点B 顺时针旋转∵DA y ⊥轴，∴90DAO AOB DHO ∠=∠=∠=∴四边形DAOH 为矩形，∴2DH AO OB ===，由题可得，90CBD ∠=︒，∴90CBO DBH ∠+∠=︒，又∵90DBH BDH ∠+∠=︒，∴CBO BDH ∠=∠，在CBO 与BDH △中，90COB BHD OB HD CBO BDH ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)CBO BDH ≌，∴CO BH =，令0x =，则22y kx k k =-=-，∴(0,2)C k -，∴2BH CO k ==-，∴22OH OB BH k =+=-，∴(22,2)D k -；（3）如图2，连接CD ，取CD 中点N ，连接AN ，BN ，则在Rt ACD △中，AN CN DN ==，同理，BN CN DN ==，∴AN CN DN BN ===，∴A ，C ，B ，D 四点共圆，∴,ABC ADC CDB OAB ∠=∠∠=∠，∵,90OA OB AOB =∠=︒，∴45OAB OBA ∠=∠=︒，∵345ABC BDO ∠-∠=︒，∴()345ADC BDC CDO ∠-∠-∠=︒，∴2AOD ADC ∠=∠，在AD 上取一点M ，使MD MC =则MCD ADC ∠=∠，∴2AMC ADC AOD ∠=∠=∠，∴tan tan AMC AOD ∠=∠，∴AC AD AM AO=，AM x =，22,MC MD k x AC ==--∵222MC AM AC =+，∴222(22)(22)k x x k --=++，∴41k x k =-，∴2222421k k k +-=-，解得，13k =-，∴直线BC 解析式为：13y x =-+设直线OD 解析式为：y mx =，把8(,2)3D 代入得823m =，∴34m =，则直线OD 解析式为：34y x =，第一步，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA的延长线和AC于点E，F，如图21EF的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线AD 第二步，分别以点E，F为圆心，大于GAD ∠=∠=∠由（1）（2）可得NAM CAM B18．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ⊥，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM +的最小值；②当AG GM +取最小值时，求线段DE 的长．【答案】(1)见解析(2)①5；②3DE =或3DE =【分析】（1）证明出DCE AEF ∠=∠即可求解；（2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ====．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，()142MN x =-．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM =，则有()21342x x =-，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MH AM AB MB ==，根据5AM =，可得3543GH MH ==，进而求出125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AE DE DC =．设DE y =，则6AE y =-，即有164y y -=，解得解方程即可求出DE ．(1)证明：如图1，∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ∠=∠=︒，∴90CED DCE ∠+∠=︒．∵EF CE ⊥，∴90CED AEF ∠+∠=︒，∴DCE AEF ∠=∠，∴AEF DCE ∽；(2)①解：如图2-1，连接AM ．∵BG CF ⊥，∴BGC 是直角二角形．∴132BM CM GM BC ====．∴点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM +>，当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中，5AM ==．∴AG GM +的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，∴CMN CBF ∽△△．∴12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，∴()11422MN BF x ==-．∵∥MN AB ，∴AFG MNG ∽△△，∴AF AG MN GM =，由①知AG GM +的最小值为5、即5AM =，又∵3GM =，∴2AG =．∴()21342x x =-，解得1x =，即1AF =．（求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．∴MHG MBA ∽△△．∴GM GH MH AM AB MB==，由①知AG GM +的最小值为5，即5AM =，又∵3GM =，∴3543GH MH ==．∴125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，∴GH CH FB CB =，即1293556FB +=，解得3FB =．∴1AF AB FB =-=．由（1）的结论可得AF AE DE DC =．设DE y =，则6AE y =-，∴164y y -=，解得3y =或3∵036<+<，036<-<，∴3DE =或3DE =．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．。

一线三垂直模型的应用技巧
一线三垂直模型是指在制图中，正视图的三条垂直线能够构成一个等腰直角三角形，这种模型适用于以下应用技巧：
1. 定位标高点：利用垂直线的高度来确定标高点，可以采用标注高度的方式快速定位建筑物或地形的高度。

2. 确定尺寸和比例：在制图过程中，通过修改垂直线的长度来调整尺寸和比例，以确保图纸的尺寸与比例的准确性。

3. 实现构图对称性：利用三垂直线的对称性，构图更易对称，令图纸更美观。

4. 精确表示立体配合关系：通过垂直线的位置和长度，可以精确表示建筑物或物品间的立体配合关系，便于设计和制造。

5. 改进制图流程：采用一线三垂直模型，可以简化制图流程，减少出错率，提高制图效率。

一线三垂直全等模型解题技巧1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊一个看似神秘却又超级有趣的数学话题——一线三垂直全等模型。

听起来有点高大上，其实就是在解题时用一个简单的图形来搞定复杂的问题，真的是轻松又带劲！想象一下，数学就像一场游戏，咱们只需要找到通关的钥匙就行。

今天就带大家一起来看看，这个技巧是怎么让我们从“数学恐惧症”中解放出来的！2. 一线三垂直全等的基础2.1 什么是一线三垂直？首先，让我们弄清楚“一线三垂直”这个概念。

顾名思义，就是有一条线，然后从这条线上引出三条垂直的线段。

想象一下，像一个小叉子，叉子底部是那条水平线，而上面的三个尖尖的地方就是那三条垂直线。

听起来简单吧？这就是咱们解题的基础模型，轻松到位，简直是数学界的“黄金搭档”！2.2 为什么全等很重要？好啦，既然有了这个模型，那全等又是什么呢？简单来说，全等就是在形状和大小上完全一样，就像你和你的小伙伴儿一模一样！在数学里，全等的概念能帮助我们轻松判断各种几何关系，比如找出相似三角形、平行线等。

把这个原理运用到一线三垂直的模型里，可以说是事半功倍，像是吃了“强力补剂”一样，分分钟提升解题效率！3. 解题技巧3.1 从简到繁，逐步深入接下来，我们就要聊聊解题时的具体步骤了。

首先，看到题目后，不要慌！先把题目里的关键信息标出来，比如点、线和角。

接着，画出一线三垂直的模型，确保每个点的位置都清晰。

这个时候，画图真的很重要，毕竟“心中有图，手中无忧”！然后，借助全等的性质，去推导出所需的结论，像个侦探一样，逐步揭开谜底。

3.2 应用实例，实践出真知让我们来看一个实际例子吧！假设题目给了你一个三角形，其中有一条边是水平的，另外两条边是垂直的。

此时，我们可以直接用“一线三垂直”的模型，将问题转化成更简单的形式。

比如，如果你要找这个三角形的高，可以直接利用垂直的特性，进行简单的计算。

没错，数学就是这样简单粗暴，让你在解题时瞬间感觉像是在打游戏一样，爽！4. 总结最后，别忘了，一线三垂直全等模型不仅仅是解题工具，更是一种思维方式。

技法点拨互成60°角的大小相等的两个水平恒力F 作用下，经过一段时间，物体获得的速度为v ，在力的方向上获得的速度分别为v 1、v 2，总位移为s 。

W 合=3Fs =12mv 2v 1=v2W 分=Fs cos30°=14mv 2≠12mv 12=16mv 2可见本题中对力所在的方向使用动能定理是错误的，能量依旧不能分解。

这是不是说明例题1的做法只是个例、巧合，完全没有可取之处呢？也不尽然，经典统计力学的“能量均分定理”告诉我们分子在每个自由度上都具有相同的平均动能。

由此可见，能量在某些情况下是可以分解的。

对比例题1、例题2以及能量均分定理可以发现，例题1和能量均分定理中都是在直角坐标系中进行分解，而例题2可以看做是在一个斜坐标系中分解。

似乎动能能否分方向使用是由分解坐标系的选取决定的，以下我们就直接证明直角坐标系和斜坐标系中是否能够使用。

1.直角坐标W 合=Fs =12mv 2W x =F x s x =Fs cos 2θ=12mv x 2=12mv 02cos 2θW y =F y s y =Fs sin 2θ=12mv y 2=12mv 02sin 2θ由于v 02cos 2θ+v 02sin 2θ=v 02，可以得到W 合=W x +W y ，同理空间直角坐标系中也可以得到同样的结论，所以在直角坐标系中动能定理是可以分方向使用的。

2.斜坐标系W 合=Fs =12mv 2W x =F x s x =Fs cos 2θ=12mv x 2=12mv 02cos 2θW y =F y s y =Fs cos 2α=12mv y 2=12mv 02cos 2α此时v 02cos 2θ+v 02cos 2α≠v 02，W 合≠W x +W y ，同理在空间斜坐标系可以得到一样的结论。

所以，在斜坐标系中动能定理不能分方向使用。

根据上面的证明，我们会发现只有在直角坐标系中动能定理分方向使用才成立，而且这只是在直角坐标系中数学计算恰好和动能定理计算相同，不能证明能量可以分解。

初中数学解题模型专题讲解专题9 一线三等角模型“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形。

这个角可以是直角，也可以是锐角或者钝角。

对于“一线三等角”，有的地区叫“K型图”，也有的地区叫“M型图”。

的起源“一线三等角”的起源一线三等角”DE 绕 A 点旋转,从外到内，从一般位置到特殊位置.下面分几种类型讨论：——““一线三直角一线三直角”””——一、直角形一线三等角”直角形““一线三等角ADB ∽△CEACEA结论：△ADB“一线三等角锐角形“二、锐角形结论结论：：△ADB ∽△CEA ∽△CAB三、钝角形钝角形““一线三等角结论结论：：△ADB ∽△CEA ∽△CAB下面总结几种常考类型下面总结几种常考类型：：类型一 三角齐见三角齐见，，模型自现类型一概述以上两例都是典型的建，因此降低了试题的起法本质一 致，均为利用考查学生在图形变换过学能力和思想．典型的“一线三等角”试 题，由于模型的题的起 点． 两道题虽涉及不同的图形变为利用模型构建比例式解决问题． 两道题变换过程中的观察理解、直观感知、推理模型的框架已搭图形变换，但解两道题都 着重推理转化等数类型二 隐藏局部隐藏局部，，小修小补类型二概述上述两道题虽分别以四明显: 均将原有 “一线要求学生理性地从图形征，挖掘蕴含在图中的几的综合考查， 提升了学类型三 一角独处一角独处，别以四边形和一次函数为命题背景，但图形一线三等角”模型中的一角进行了隐藏从图形的角度进行思考与联想，发现其中最中的几何模 型．两道题均较好地体现了对升了学生思维的层次性和灵活性． ，两侧添补但图形的共性较隐藏，而这就其中最本质的特现了对“四基”类型三概述上述几道题虽呈现的背模型于图形之中．题中框架的基础，更是学生质上都是考查学生利用了学生对数学本质属性现的背景不同，但都蕴 知识技能、思想方题中的 “特殊角”是解题的关键，也是是学生解题思路的来源与“脚手架”．生利用模型进行数学思考的能力，同时也有质属性的把握情况．思想方法、数学也是搭建模型 这几道题实时也有效地检测类型四 线角齐藏线角齐藏，类型四概述本题实质上以图形的旋愿，促使学生在模拟图殊角，展开适当的联想建模型框架。

专项33 相似三角形-一线三等角模型综合应用1.如图1，BDE EDF C B ∆⇒∠=∠=∠∽CFD ∆（一线三等角）如图2，ABD ADE C B ∆⇒∠=∠=∠∽DCE ∆（一线三直角）如图3，特别地，当D 是BC 中点时：BDE ∆∽DFE ∆∽CFD ∆⇒ED 平分BEF ∠，FD 平分EFC ∠。

2.一线三等角辅助线添加：一般情况下，已知一条直线上有两个等角（直角）或一个直角时，可构造“一线三等角”型相似。

【类型1：标准“K ”型图】【典例1】已知矩形ABCD 的一条边AD ＝8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．如图，已知折痕与边BC 交于点O ，连接AP 、OP 、OA ．（1）求证：＝；（2）若OP 与PA 的比为1：2，求边AB 的长．【解答】（1）证明：由折叠的性质可知，∠APO ＝∠B ＝90°，∴∠APD +∠OPC ＝90°，CB BC A A∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠POC+∠OPC＝90°，∴∠APD＝∠POC，∴△OCP∽△PDA，∴＝；（2）解：∵△OCP∽△PDA，∴，∵OP与PA的比为1：2，AD＝8，∴，∴PC＝4，设AB＝x，则DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣4，在Rt△APD中，AP2＝AD2+PD2，∴x2＝82+（x﹣4）2，解得：x＝10，∴AB＝10．【变式1-1】如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，且AE⊥EF，若BE＝2，CF＝，求正方形ABCD的边长．【解答】解：∵∠AEB+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，又∵∠B＝∠C＝90°，∴△BAE∽△CEF，∴＝，∵AB＝BC，∴，∴，∴CE＝4，∴BC＝CE+BE＝4+2＝6，∴正方形ABCD的边长为6．【变式1-2】如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于F，交AD的延长线于点E．（1）求证：△ABM∽△MCF；（2）若AB＝4，BM＝2，求△DEF的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠B＝∠C＝90°，BC∥AD，∴∠BAM+∠AMB＝90°，∵ME⊥AM，∴∠AME＝90°，∴∠AMB+∠FMC＝90°，∴∠BAM＝∠FMC，∴△ABM∽△MCF；（2）解：∵AB＝4，∴AB＝BC＝CD＝4，∵BM＝2，∴MC＝BC﹣BM＝4﹣2＝2，由（1）得：△ABM∽△MCF，∴＝，∴＝，∴CF＝1，∴DF＝CD﹣CF＝4﹣1＝3，∵BC∥AD，∴∠EDF＝∠MCF，∠E＝∠EMC，∴△DEF∽△CMF，∴＝，∴＝，∴DE＝6，∴△DEF的面积＝DE•DF＝×6×3＝9，答：△DEF的面积为9【类型2：做辅助线构造“K”型图】【典例2】已知：在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上．（1）如图1，填空：当点G在CD上，且DG＝1，AE＝2，则EG＝ ；（2）如图2，若F是AD的中点，FG与CD相交于点N，连接EN，求证：∠AEF＝∠FEN；（3）如图3，若AE＝AD，EG，FG分别交CD于点M，N，求证：MG2＝MN•MD．【解答】（1）解：∵∠EFG＝90°，∴∠AFE+∠DFG＝90°，∵∠AEF+∠AFE＝90°，∴∠AEF＝∠DFG，又∵∠A＝∠D＝90°，EF＝FG，∴△AEF≌△DFG（AAS），∴AE＝FD＝2，∴FG＝，∴EG＝FG＝，故答案为：；（2）证明：延长EA、NF交于点M，∵点F为AD的中点，∴AF＝DF，∵AM∥CD，∴∠M＝∠DNF，∠MAD＝∠D，∴△MAF≌△NDF（AAS），∴MF＝FN，∵EF⊥MG，∴ME＝GE，∴∠MEF＝∠FEN；（3）证明：如图，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，∴∠P＝90°，同（1）同理得，△AEF≌△PFG（AAS），∴AF＝PG，PF＝AE，∵AE＝AD，∴PF＝AD，∴AF＝PD，∴PG＝PD，∵∠P＝90°，∴∠PDG＝45°，∴∠MDG＝45°，在Rt△EFG中，EF＝FG，∴∠FGE＝45°，∴∠FGE＝∠GDM，∵∠GMN＝∠DMG，∴△MGN∽△MDG，∴，∴MG2＝MN•MD．【变式2-1】（2021春•永川区期末）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E为BC上一点，CE＝2BE，将△ABE沿AE折叠得到△AFE，连接DF，则线段DF的长为 ．【解答】解：过点F作FN⊥BC，垂足为N，延长NF交AD于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝90°，AD∥BC，∴FM⊥AD，∴∠AMF＝∠FNE＝∠DMF＝90°，∴四边形ABNM是矩形，∴AM＝BN，∵CE＝2BE，∴BE＝BC＝2，由折叠得：BE＝FE＝2，AB＝AF＝6，∠B＝∠AFE＝90°，∴∠AFM+∠EFN＝90°，∵∠FEN+∠EFN＝90°，∴∠FEN＝∠AFM，∴△ENF∽△FMA，∴＝＝＝，设EN＝x，则FM＝3x，∴AM＝BN＝BE+EN＝2+x，在Rt△AFM中，AM2+FM2＝AF2，∴（2+x）2+（3x）2＝36，∴x＝或x＝﹣2（舍去），∴AM＝2+x＝，FM＝3x＝，∴DM＝AD﹣AM＝，在Rt△DMF中，DF＝＝＝，故答案为：．【变式2-2】（2022秋•皇姑区校级月考）已知，如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E是射线BC上一动点，将矩形ABCD沿直线AE翻折，点B落在点F处．（1）若点F恰好落在CD边上，如图1，求线段BE的长；（2）若BE＝1，如图2，直接写出点F到BC边的距离；（3）若△CEF为直角三角形，直接写出CE所有值．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝5，BC＝AD＝3，∠B＝∠C＝∠D＝90°，由折叠的性质得：BE＝FE，AF＝AB＝5，∴DF＝＝＝4，∴CF＝CD﹣DF＝5﹣4＝1，设BE＝FE＝x，则CE＝BC﹣BE＝3﹣x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：CF2+CE2＝FE2，即12+（3﹣x）2＝x2，解得：x＝，即线段BE的长为；（2）如图2，过F作FG⊥BC于G，延长GF交AD于H，则∠FGE＝90°，四边形ABGH是矩形，∴HG＝AB＝5，BG＝AH，∠AHF＝90°＝∠FGE，由折叠的性质得：AF＝AB＝5，∠AFE＝∠B＝90°，FE＝BE＝1，∴∠AFH+∠EFG＝90°，∵∠AFH+∠FAH＝90°，∴∠EFG＝∠FAH，∴△EFG∽△FAH，∴＝＝，∴AH＝5FG，设FG＝x，则BG＝AH＝5x，∴EG＝BG﹣BE＝5x﹣1，在Rt△EFG中，由勾股定理得：x2+（5x﹣1）2＝12，解得：x＝或x＝0（不符合题意舍去），∴FG＝，即点F到BC边的距离为；（3）分三种情况：①∠CFE＝90°时，如图3，∵∠AFE＝90°，∴∠AFE+∠CFE＝180°，∴A、F、C三点共线，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝5，∠B＝∠D＝90°，AD∥BC，∴∠ECF＝∠CAD，AC＝＝＝，由折叠的性质得：AF＝AB＝5，FE＝BE，∠AFE＝∠B＝90°，∴∠CFE＝90°＝∠D，CF＝AC﹣AF＝﹣5，∴△CEF∽△ACD，∴＝，即＝，解得：CE＝；②点F在CD上，∠ECF＝90°时，如图4，由（1）可知，BE＝，∴CE＝BC﹣BE＝3﹣＝；③∠CEF＝90°时，如图5，由折叠的性质得：∠AEB＝∠AEF＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE＝AB＝5，∴CE＝BE﹣BC＝5﹣3＝2；④点F在CD延长线上，∠ECF＝90°时，如图6，由折叠的性质得：AF＝AB＝5，∠AFE＝∠B＝90°，∵∠ADF＝180°﹣∠ADC＝90°，∴DF＝＝＝4，∴CF＝CD+DF＝5+4＝9，∵∠CFE+∠CEF＝90°，∠CFE+∠DFA＝90°，∴∠CEF＝∠DFA，∵∠ECF＝∠ADF＝90°，∴△CEF∽△DFA，∴＝＝＝3，∴CE＝3DF＝12；综上所述，若△CEF为直角三角形，则CE的值为或或2或12．【类型2：特殊“K”型图】【典例3】（2021秋•通许县期中）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，∠BAD＝∠ACB＝∠AED＝90°，由∠1+∠2+∠BAD＝180°，∠2+∠D+∠AED＝180°，可得∠1＝∠D；又因为∠ACB＝∠AED ＝90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到＝ ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型．应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA＝DE，∠B＝∠ADE＝∠C．若BC＝a，AB＝b，求CE的长度（用含a，b的代数式表示）．拓展：（3）创新组突发奇想，将此模型迁移到平行四边形中，如图3，在▱ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF＝∠B．求证：AB•FE＝BE•DE．【解答】（1）解：∵△ABC∽△DAE，∴，故答案为：；（2）解：∵∠B＝∠ADE＝∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠EDC，∴∠EDC＝∠BAD，∵DA＝DE，在△ADB与△DEC中，，∴△ADB≌△DEC（AAS），∴EC＝BD，AB＝DC＝b，∴BD＝BC﹣DC＝a﹣b，即CE＝a﹣b；（3）解：∵∠DEF＝∠B，∴∠BFE+∠BEF＝∠BEF+∠DEC，∴∠BFE＝∠DEC，作CG∥FE交DE于点G，如图：∴∠DEF＝∠EGC，∴∠B＝∠EGC，∴△FBE∽△EGC，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠EGC+∠DGC＝180°，∵∠B＝∠EGC，∴∠DGC＝∠BCD，∵∠EDC＝∠CDG，∴△DGC∽△DCE，∴，∴，∴DC•FE＝BE•DE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，∴AB•FE＝•BE•DE．解法二：延长BC到M，使得DC＝DM．∵DC＝DM，∵DC∥AB，∴∠DCM＝∠B，∴∠B＝∠M，∵∠BFE＝∠DEM，∴△BFE∽△MED．∴＝，∵AB＝CD＝DM，∴AB•FE＝•BE•DE．【变式3-1】如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD．（1）若AP＝3，求BD的长；（2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD．【解答】（1）解：∵AB＝9，AC＝3，∴BP＝AB﹣AP＝9﹣3＝6，∵∠A＝∠CPD，∠ACP+∠APC＝180°﹣∠A，∠APC+∠BPD＝180°﹣∠CPD，∴∠ACP＝∠BPD，∵∠A＝∠B，∴△ACP∽△BPD，∴＝，∴＝，∴BD＝，∴BD的长为；（2）证明：∵CP平分∠ACD，∴∠PCD＝∠ACP，∴∠PCD＝∠DPB，∵∠CPD＝∠B，∴△CPD∽△PBD，∴＝，∴PD2＝CD•BD．【变式3-2】（2022春•定海区校级月考）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C，分别过A、B两点作AE⊥l，BD⊥l，垂足分别为E、D．求证：△BDC∽△CEA．【尝试应用】（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC上一点，过D作AD的垂线交AB 于点E．若BE＝DE，，AC＝20，求BD的长．【拓展提高】（3）如图3，在平行四边形ABCD中，在BC上取点E，使得∠AED＝90°，若AE＝AB，，CD＝，求平行四边形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACE＝90°，∵AE⊥CE，∴∠AEC＝90°，∴ACE+∠CAE＝90°．∴∠BCD＝∠CAE．∵BD⊥DE，∴∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠AEC．∴△BDC∽△CEA．（2）解：过点E作EF⊥BC于点F．由（1）得△EDF∽△DAC．∴．∵AD⊥DE，，AC＝20，∴，∴DF＝16．∵BE＝DE，∴BF＝DF．∴BD＝2DF＝32．（3）解：过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC的延长线于点N．∴∠AMB＝∠DNC＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠B＝∠DCN．∴△ABM≌△DCN（AAS）．∴BM＝CN，AM＝DN．∵AB＝AE，AM⊥BC，∴BM＝ME，∵，设AM＝b，BE＝4a，EC＝3a．∴BM＝ME＝CN＝2a，EN＝5a．∵∠AED＝90°，由（1）得△AEM∽△EDN．∴，∴，∴，∵，∴（2a）2+b2＝14，∴a＝1，．∴平行四边形ABCD的面积＝．1．（2021秋•南京期末）如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE ⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（ ）A．4B．C．D．5【答案】B【解答】解：∵EF⊥FG，∴∠EFB+∠GFC＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，∴∠GFC+∠FGC＝90°，∴∠EFB＝∠FGC，∴△EFB∽△FGC，∴，∵BE＝3，BF＝2，FC＝6，∴，∴CG＝4，同理可得△DAE∽△EBF，∴，∴，∴AE＝，∴BA＝AE+BE＝+3＝，∴DG＝CD﹣CG＝﹣4＝．故选：B．2．（2022秋•二道区月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，BC＝12，D，E分别是BC，AB上的动点（点D与B，C不重合），且2∠ADE+∠BAC＝180°，若BE＝4，则CD 的长为 ．【答案】6【解答】解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠C+∠B+∠BAC＝2∠C+∠BAC＝180°，又∵2∠ADE+∠BAC＝180°，∴∠C＝∠ADE，又∵∠BDE+∠ADC＝180°﹣∠ADE，∠CAD+∠ADC＝180°﹣∠C，∴∠BDE＝∠CAD，∴△BDE∽△CAD，∴＝，即＝，解得CD＝6．故答案为：6．3．（2022•杭州模拟）如图，点E是矩形ABCD边BC上一点，沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点F处．设＝x（x＞1），（1）若点F恰为CD边的中点，则x＝ ．（2）设＝y，则y关于x的函数表达式是 ．【解答】解：（1）∵点F为CD边的中点，∴DC＝2DF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠FEC+∠EFC＝90°，由折叠得：BE＝EF，AB＝AF，∠B＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF＝DC＝2DF，∵∠EFC+∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠FEC，∴△AFD∽△FEC，∴＝＝2，∴＝2，∴x＝2，故答案为：2；（2）由（1）可得AB＝AF＝DC＝DF+CF，∵△AFD∽△FEC，∴＝，∴＝，∴x＝，∴x＝1+，∴x＝1+，∴y＝，故答案为：y＝．4．（2021•海州区校级二模）如图，△DEF的三个顶点分别在等边△ABC的三条边上，BC ＝4，∠EDF＝90°，＝，则DF长度的最小值是 ．【答案】【解答】解：过点F作FH⊥BC，垂足为H，∵∠EDF＝90°，tan∠EFD＝＝，∴∠EFD＝60°，∴∠AFE+∠DFC＝120°，∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠A＝60°，AC＝BC＝4，∴∠AFE+∠AEF＝120°，∴∠AEF＝∠DFC，∴△AEF∽△CFD，∴＝，∵∠EDF＝90°，∠EFD＝60°，∴cos∠EFD＝＝，∴＝2，∴设CD＝a，则AF＝2a，∴CF＝AC﹣AF＝4﹣2a，在Rt△CFH中，∠C＝60°，∴CH＝CF＝2﹣a，∴FH＝CH＝2﹣a，∴DH＝CD﹣CH＝a﹣（2﹣a）＝2a﹣2，在Rt△DFH中，DF2＝DH2+FH2＝（2a﹣2）2+（2﹣a）2＝7a2﹣20a+16＝7（a﹣）2+，∴DF2的最小值为，∴DF的最小值为：．5.如图，在等边三角形ABC中，点E，D分别在BC，AB上，且∠AED＝60°，求证：△AEC∽△EDB．【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠EDB+∠BED＝120°，∠CAE+∠AEC＝120°∵∠AED＝60°，∴∠BED+∠AEC＝180°﹣60°＝120°，∴∠BED＝∠CAE，∴△AEC∽△EDB．6.如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，有∠ADE＝45°．（1）证明：△BDA∽△CED．（2）若BC＝6，当AE＝ED时，求BD的长．【解答】（1）证明：∵∠AED＝∠C+∠EDC＝45°+∠EDC，而∠ADC＝∠ADE+∠EDC．∵∠ADE＝45°，∴∠ADC＝45°+∠EDC，∴∠AED＝∠ADC．∴∠DEC＝∠ADB（等角的补角相等）．而∠B＝∠C＝45°，∴△ABD∽△DCE．故△ABD∽△DCE得证．（2）解：当AE＝DE时，∴∠ADE＝∠DAE，∵∠ADE＝45°，∴∠ADE＝∠DAE＝45°，∵∠BAC＝90°，∠BAD＝∠EAD＝45°，∴AD平分BAC，∴AD垂直平分BC，∴BD＝3．7．（2022•安徽三模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝AB，以BC为直径的半⊙O与边AD相切于点E．（1）求证：∠BCE＝∠DCE；（2）若，求DE的长．【解答】（1）证明：连接OE，∵半⊙O与边AD相切于点E，∴∠OEA＝90°，∵∠D＝90°，∴∠D＝∠OEA＝90°，∴OE∥CD，∴∠ECD＝∠OEC，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE，∴∠BCE＝∠DCE；（2）解：连接BE，∵BA⊥AD，OE⊥AD，CD⊥AD，∴AB∥CD∥OE，∵OB＝OC，∴AE＝DE，设DE＝AE＝x，则AD＝AB＝2x，∵BC为⊙O的直径，∴∠BEC＝90°，∴∠DEC+∠AEB＝180°﹣∠BEC＝90°，∵∠A＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠ABE＝∠DEC，∴△ABE∽△DEC，∴，∴，解得：，∴DE的长为．8．（2022•钦州一模）已知下列各图中，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°．【基本模型感知】如图1，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N．求证：△ABM∽△BCN；【基本模型应用】如图2，点P是边BC上一点，∠BAP＝∠C，，求tan C的值；【灵活运用】如图3，点D是边CA延长线上一点，AE＝AB，∠DEB＝90°，，，请直接写出tan∠BEC的值．【解答】（1）证明：∵AM⊥MN，CN⊥MN，∴∠AMB＝∠BNC＝90°．∴∠BAM+∠ABM＝90°．∵∠ABC＝90°，∴∠ABM+∠CBN＝90°．∴∠BAM＝∠CBN．又∵∠AMB＝∠CNB，∴△ABM∽△BCN．（2）解：如图2，过点P作PF⊥AP交AC于点F，过点F作FQ⊥BC交BC于点Q，在Rt△AFP中，tan∠PAC＝＝＝，与（1）同理得，△ABP∽△PQF．∴＝＝＝．设AB＝a，PQ＝2a（a＞0），∵∠BAP＝∠C＝∠FPQ，∴PF＝CF，且FQ⊥BC．∴PQ＝CQ＝2a．∴BC＝BP+PQ+CQ＝BP+2a+2a＝4a+BP．∵∠BAP＝∠C，∠B＝∠B＝90°，∴△ABP∽△CBA．∴＝．∴BP⋅BC＝AB2，即BP⋅（4a+BP）＝．∴BP＝a，BC＝5a，在Rt△ABC中，tan C＝＝．（3）解：在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于点H，∵∠DEB ＝90°，∴CH ∥AG ∥DE ．∴＝＝．与（1）同理得，△ABG ∽△BCH∴＝＝＝．设BG ＝4m ，CH ＝3m ，AG ＝4n ，BH ＝3n ，∵AB ＝AE ，AG ⊥BE ，∴EG ＝BG ＝4m ．∴GH ＝BG +BH ＝4m +3n ．∴＝．∴n ＝2m ．∴EH ＝EG +GH ＝4m +4m +3n ＝8m +3n ＝8m +6m ＝14m ．在Rt △CEH 中，tan ∠BEC ＝＝．9．（2021•坪山区一模）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣3，0）、B ，与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点P ，使S △BCP ＝2S △BCO ，求点P 的坐标；（3）如图2，直线y ＝x +3交抛物线于第一象限的点M ，若N 是抛物线y ＝x 2+bx +c 上一点，且∠MAN ＝∠OCB ，求点N 的坐标．【解答】解：（1）将C （0，﹣3）代入到抛物线解析式中得，c ＝﹣3，将B （﹣3，0）代入到抛物线解析式中得，9﹣3b ﹣3＝0，∴b ＝2，∴抛物线解析式为：y ＝x 2+2x ﹣3；（2）令y ＝0，则x 2+2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣3，x 2＝1，∴B （1，0），∴，∵S △BCP ＝2S △BCO ，∴S △BCP ＝3，如图1，过P 作PM ∥BC 交x 轴于M ，连接MC ，则S △MBC ＝S △BCP ＝3，∴，∴MB ＝2，∴M （﹣1，0），设直线BC 为y ＝k 1x ﹣3，代入点B （1，0）得，k 1＝3，∴直线BC 为：y ＝3x ﹣3，则直线PM 设为：y ＝3x +b ，代入点M （﹣1，0）得，b ＝3，∴直线PM 为：y ＝3x +3，联立，解得，，∴P（3，12）或（﹣2，﹣3）；（3）∵直线y＝x+3交抛物线于第一象限的点M，∴联立，解得，，∴A（﹣3，0），M（2，5），在Rt△OBC中，tan∠OCB＝，∴，①如图2，当N在AM下方时，过A作y轴平行线，过M作x轴平行线，两线交于点G过M作MQ⊥AM交AN于Q，过Q作y轴平行线交GM于H，∴∠AGM＝∠MHQ＝90°，∴∠AMG+∠GAM＝90°，又AM⊥MQ，∴∠AMQ＝90°，∴∠AMG+∠HMQ＝90°，∴∠GAM＝∠HMQ，又∠AGM＝∠MHQ＝90°，∴△AGM∽△MHQ，∴＝，∵A（﹣3，0），M（2，5），∴AG＝5，GM＝5，∴MH＝HQ＝，∴Q（），设直线AQ为：y＝k2（x+3），代入点Q，得，∴直线AQ为，联立，化简得，2x2+3x﹣9＝0，解得x＝或﹣3，当x＝时，y＝，∴N（），②当N在AM上方时，同理可得，N（3，12），∴N（）或（3，12）．。

专题4.37 相似三角形几何模型-一线三等角（知识讲解）模型一：一线三直角图一 图二90;B ACE D ABC CDE ∠=∠=∠=∆∆如图一、二，已知：结论：（1）（2）AB DE =BC CD模型二：一线三等角图三 图四;B ACE D ABC CDE ABC CDE ACE α∠=∠=∠=∆∆∆∆∆如图三、四，已知：结论：（1）（2）AB DE =BC CD（3）当C 为BD 中点时，特别说明：一线三等角相似三角形往往以等腰三角形或等边三角形为背景，如下图五。

图五特别说明：一线三直角相似三角形往往以矩形或正方形背景，如下图六。

图六【典型例题】类型一、一线三直角模型1．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，90B =∠，7CD =，E 为BC 上一点，且AE ED ⊥，若12BC =，:1:2BE EC =，求AB 的长．【答案】327【分析】由题意易知AB 和CD 所在的两个三角形相似，再利用相似比即可求出所求线段的长度．解：∵AB 平行CD ，90B =∠，∵180B C ∠+∠=， ∵90B =∠，∵90B C ∠=∠=，90BEA BAE ∠+∠=， ∵AE ED ⊥，∵90AEB DEC ∠+∠=， ∵BAE DEC ∠=∠， ∵ABE ECD ∆∆∽， ∵AB BEEC DC=， ∵12BC =，12BE EC =， ∵48BE EC ==，， ∵7DC =， ∵432877BE AB EC DC =⋅=⨯=． 【点拨】此题主要考查学生对梯形的性质及相似三角形的性质的理解及运用．举一反三【变式1】如图，将矩形ABCD 沿CE 向上折叠，使点B 落在AD 边上的点F 处，AB=8，BC=10．（1）求证：∵AEF∵∵DFC ；（2）求线段EF的长度．EF=．【答案】（1）证明见分析；（2）5【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，于是得到∵A=∵D=∵B=90°，根据折叠的性质得∵EFC=∵B=90°，推出∵AEF=∵DFC，即可得到结论；（2）根据折叠的性质得CF=BC=10，根据勾股定理得到6D F，求得AF=4，然后根据勾股定理列方程即可得到结论．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∵∵A=∵D=∵B=90°，CD=AB=8，根据折叠的性质得∵EFC=∵B=90°，∵∵AFE+∵AEF=∵AFE+∵DFC=90°，∵∵AEF=∵DFC，∵∵AEF∵∵DFC；（2）根据折叠的性质得：CF=BC=10，BE=EF，∵6D F=，∵AF=4，∵AE=AB-BE=8-EF，∵EF2=AE2+AF2，即EF2=（8-EF）2+42，EF=．解得：5【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质、翻折变换的性质及其应用问题．解题的关键是灵活运用矩形的性质、翻折变换的性质来分析、判断、解答．【变式2】如图1，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把ADE沿AE翻折，使点D 恰好落在BC边上的点F处．~；（1）求证：ABF FCEAD=，求EC的长；（2）若AB=6+（3）如图2，在第（2）问的条件下，若P，Q分别是AE，AD上的动点，求PD PQ 的最小值．【答案】（1）见分析；（2）EC =；（3）PD PQ +的最小值为 【分析】（1）选证得AFB CEF ∠=∠，即可证明结论；（2）利用折叠的性质，在Rt △ABF 中，求得BF 的长，设CE =x ，在Rt △CEF 中，利用勾股定理构建关于x 的方程，即可求解；（3）根据折叠的性质，点F 、D 关于直线AE 对称，过F 作FQ ∵AD 于Q ，交AE 于P ，此时PD +PQ 的最小值为FQ ，证明四边形QFCD 是矩形，即可求解．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∵90B C D ∠=∠=∠=︒， ∵90CEF EFC ∠+∠=︒， ∵AEF 由ADE 翻折得到， ∵90AFE D ∠=∠=︒， ∵90AFB EFC ∠+∠=︒，∵AFB CEF ∠=∠，90ABF FCE ∠=∠=︒， ∵ABF FCE ~；（2）∵四边形ABCD 是矩形，∵AB CD ==6AD BC ==.设CE x =，则DE x =，在Rt ABF 中，3BF ==， ∵633CF BC BF =-=-=，在Rt CEF 中，222EF CE CF =+，即222)3x x =+，解得x =EC =（3）如图，根据折叠的性质，点F 、D 关于直线AE 对称，过F 作FQ ∵AD 于Q ，交AE 于P ，此时PD +PQ 的最小值为FQ ，∵四边形ABCD 是矩形， ∵∵C =∵ADC =90︒，又FQ ∵AD ， ∵四边形QFCD 是矩形，∵FQ =CD =AB∵PD PQ +的最小值为【点拨】本题考查了矩形的性质折叠变换，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题．类型二、一线三等角模型2．如图，在∵ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，连接AD 、DE ．且∵B ＝∵ADE＝∵C ．（1）证明：∵BDA ∵∵CED ；（2）若∵B ＝45°，BC ＝6，当点D 在BC 上运动时（点D 不与B 、C 重合）．且∵ADE 是等腰三角形，求此时BD 的长．【答案】（）见分析；（2）6-或3． 【分析】（1）根据题目已知条件可知180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒，180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒，所以得到DAB EDC ∠=∠，即可得证．（2）由题意易得ABC 是等腰直角三角形，所以90BAC ∠=︒，当ADE 是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：∵AD =AE ，∵AD =DE ，∵AE =DE ；因为点D 不与B C 、重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及45B ADE ∠=∠=︒，求出问题即可．解：（1）180ADE ADB EDC ∠+∠+∠=︒在ABD △中，180B ADB DAB ∠+∠+∠=︒B ADE ∠=∠∴EDC DAB ∠=∠又B C ∠=∠∴BDA CED △∽△；（2）B ADE C ∠=∠=∠，45B ∠=︒∴ABC 是等腰直角三角形 ∴90BAC ∠=︒BC =6，∴AB =AC ∵当AD =AE 时，则ADE AED ∠=∠45B ∠=︒，∴=45B ADE AED ∠=∠∠=︒ ∴90DAE ∠=︒ ∴90DAE BAC ∠=∠=︒点D 在BC 上运动时（点D 不与B C 、重合）,点E 在AC 上 ∴此情况不符合题意．∵当AD =DE 时，如图，∴DAE DEA ∠=∠∴由（1）可知EDC DAB ∠=∠又B C ∠=∠ BDA CED ≌∴AB =DC =∴6BD =-∵当AE =DE 时，如图45B ∠=︒，∴==45B C DAE ADE ∠∠∠=∠=︒ ∴AD 平分BAC ∠,AD BC ⊥ ∴1=32BD BC =．综上所述：BD =6-3．【点拨】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是利用“K ”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．举一反三【变式1】如图，点M 是AB 上一点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．（1）求证：∽AMF BGM ； （2）请你再写出两对相似三角形．【答案】（1）见分析；（2）AME MFE △∽△，DMG DBM ∽△△． 【分析】（1）根据三角形内角和证AFM BMG ∠=∠即可；（2）根据公共角相等，利用两个角对应相等，写出相似三角形即可． （1）证明：∵DME A ∠=∠，180AMF BMG DME ∠+∠+∠=︒，180A AMF AFM ∠+∠+∠=︒，∵AFM BMG ∠=∠， ∵A B ∠=∠，∵∽AMF BGM ；（2）∵DME A ∠=∠，∵E=∵E ，∵AME MFE △∽△，同理，DMG DBM ∽△△． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形判定定理并能灵活应用是解题关键．【变式2】∵ABC 中，AB =AC ，∵BAC =90°，P 为BC 上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P ，三角板可绕P 点旋转．（1）如图a ，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时．求证：∵BPE ∵∵CFP ； （2）将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ．∵BPE 与∵CFP 还相似吗？（只需写出结论）（3）在（2）的条件下，连结EF ，∵BPE 与∵PFE 是否相似？若不相似，则动点P 运动到什么位置时，∵BPE 与∵PFE 相似？说明理由．【答案】（1）证明见分析；（2）∵BPE ∵∵CFP ；（3）动点P 运动到BC 中点位置时，∵BPE 与∵PFE 相似，理由见分析．【分析】（1）找出∵BPE 与∵CFP 的对应角，其中∵BPE+∵BEP=135°，∵BPE+∵CPF=135°，得出∵BEP=∵CPF ，从而解决问题；（2）利用（1）小题证明方法可证：∵BPE∵∵CFP ；（3）动点P 运动到BC 中点位置时，∵BPE 与∵PFE 相似，同（1），可证∵BPE∵∵CFP ，得 CP ：BE=PF ：PE ，而CP=BP ，因此 PB ：BE=PF ：PE ，进而求出，∵BPE 与∵PFE 相似．（1）证明：∵在∵ABC 中，∵BAC =90°，AB =AC ，∵∵B =∵C =45°．∵∵B +∵BPE +∵BEP =180°， ∵∵BPE +∵BEP =135°． ∵∵EPF =45°，又∵∵BPE +∵EPF +∵CPF =180°， ∵∵BPE +∵CPF =135°，∵∵BEP =∵CPF ， 又∵∵B =∵C ， ∵∵BPE ∵∵CFP ．（2）∵BPE ∵∵CFP ；理由：∵在∵ABC 中，∵BAC =90°，AB =AC ，∵∵B =∵C =45°．∵∵B +∵BPE +∵BEP =180°， ∵∵BPE +∵BEP =135°． ∵∵EPF =45°，又∵∵BPE +∵EPF +∵CPF =180°， ∵∵BPE +∵CPF =135°， ∵∵BEP =∵CPF ， 又∵∵B =∵C ， ∵∵BPE ∵∵CFP ．（3）动点P 运动到BC 中点位置时，∵BPE 与∵PFE 相似，证明：同（1），可证∵BPE ∵∵CFP ， 得CP ：BE =PF ：PE ， 而CP =BP ，因此PB ：BE =PF ：PE ． 又因为∵EBP =∵EPF ， 所以∵BPE ∵∵PFE【点拨】此题主要考查了相似三角形的判定．它以每位学生都有的三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力．类型三、一线三等角综合3．数学模型学习与应用．【学习】如图1，90BAD ∠=︒，AB AD =，BC AC⊥于点C ，DE AC ⊥于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得∵1=∵D ；又90ACB AED ∠=∠=︒，可以通过推理得到ABC ∵DAE △．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型；(1)【应用】如图2，点B ，P ，D 都在直线l 上，并且ABP APC PDC α∠=∠=∠=．若BP x =，2AB =，5BD =，用含x 的式子表示CD 的长；(2)【拓展】在ABC 中，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，连接AD ，DE ，B ADEC ∠=∠=∠，5AB =，6BC =．若CDE △为直角三角形，求CD 的长；(3)如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()2,4，点B 为平面内任一点．AOB 是以OA 为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B 的坐标．【答案】(1)21522CD x x =-+(2)3(3)()3,1或()1,3-(1)解：∵ABP APC PDC α∠=∠=∠=，∵A APB APB CPD ∠+∠=∠+∠， ∵A CPD ∠=∠， 又∵ABP PDC ∠=∠， ∵ABP △∵PDC △， ∵AB BP PD CD =， 即25x CD x=-， ∵21522CD x x =-+．(2)解：如图4，当90CED ∠=︒时，∵ADE C ∠=∠，CAD DAE ∠=∠， ∵ACD △∵ADE ， ∵90ADC AED ∠=∠=︒，∵B C ∠=∠，90ADC ∠=︒∵点D 为BC 的中点， ∵116322CD BC ==⨯=． 如图5，当90EDC ∠=︒时，∵B C ∠=∠，∵90BAD EDC ∠=∠=︒，过点A 作AF BC ⊥，交BC 于点F ， ∵132BF BC ==，3cos 5BF AB B AB BD ===， 2563BD =>，不合题意，舍去， ∵3CD =．(3)解：分两种情况：∵如图6所示，过A 作AC ∵y 轴于D ，过B 作BE ∵x 轴于E ，DA 与EB 相交于C ，则∵C ＝90°，∵四边形OECD 是矩形∵点A 的坐标为（2，4），∵AD ＝2，OD ＝CE ＝4，∵∵OBA ＝90°，∵∵OBE +∵ABC ＝90°，∵∵ABC +∵BAC ＝90°，∵∵BAC ＝∵OBE ，在△ABC 与△BOE 中，90C BEO BAC OBE AB BO ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵ABC ∵∵BOE （AAS ），∵AC ＝BE ，BC ＝OE ，设OE ＝x ，则BC ＝OE ＝CD ＝x ，∵AC ＝BE ＝x －2，∵CE ＝BE +BC ＝x －2+x ＝OD ＝4，∵x ＝3，x －2＝1，∵点B 的坐标是（3，1）；∵如图7，同理可得，点B 的坐标（－1，3），综上所述，点B 的坐标为（3，1）或（－1，3）．【点拨】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识；正确的作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键．举一反三【变式1】感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，90BAD ACB AED ∠=∠=∠=︒，由12180BAD ∠+∠+∠=︒，2180D AED ∠+∠+∠=︒，可得1D ∠=∠ ；又因为90ACB AED =∠=︒，可得ABC DAE △△∽，进而得到BC AC=______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在ABC 中，10AB AC ==，12BC =，点P 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），点D 是AC 边上的一个动点，且APD B ∠=∠．∵求证：ABP PCD △△∽；∵当点P 为BC 中点时，求CD 的长；拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当APD △为等腰三角形时，请直接写出BP 的长．【答案】感知：（1）AEDE；应用：（2）∵见分析；∵3.6；拓展：（3）2或113【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；（2）∵根据等腰三角形的性质得到∵B=∵C，根据三角形的外角性质得到∵BAP=∵CPD，即可求证；∵根据相似三角形的性质计算，即可求解；（3）分P A=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解．解：感知：（1）∵∵ABC∵∵DAE，∵BC AC AE DE=，∵BC AE AC DE=，故答案为：AE DE；应用：（2）∵∵∵APC=∵B+∵BAP，∵APC=∵APD+∵CPD，∵APD=∵B，∵∵BAP=∵CPD，∵AB=AC，∵∵B=∵C，∵∵ABP∵∵PCD；∵BC=12，点P为BC中点，∵BP=PC=6，·∵∵ABP∵∵PCD，∵AB BPPC CD=，即1066CD=，解得：CD=3.6；拓展：（3）当P A=PD时，∵ABP∵∵PCD，∵PC=AB=10，∵BP=BC-PC=12-10=2；当AP =AD 时，∵ADP =∵APD ，∵∵APD =∵B =∵C ，∵∵ADP =∵C ，不合题意，∵AP ≠AD ；当DA =DP 时，∵DAP =∵APD =∵B ，∵∵C =∵C ，∵∵BCA ∵∵ACP ， ∵BC AC AC CP =，即121010CP=， 解得：253CP =， ∵25111233BP BC CP =-=-=， 综上所述，当APD △为等腰三角形时， BP 的长为2或113 ． 【点拨】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式2】【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：∵如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ∠=︒，AE =BD ，则AED ≌_______； ∵如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF =∠=︒，则BDE ≌________； ∵如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l ⊥于E ，CF l ⊥于F ．若1AE =，2CF =，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A的坐标为(，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥于E ，AD ∵CE 于D ，4cm DE =，6cm AD =，求BE 的长．【答案】∵∵BDF ；∵∵CFD ；∵3；（2）(（3）2cm 【分析】∵根据等腰直角三角形的性质及和角关系，可得∵AED ∵∵BDF ；∵根据等边三角形的性质及和角关系，可得∵BDE ∵∵CFD ；∵根据正方形的性质及和角关系，可得∵ABE ∵∵BCF ，由全等三角形的性质即可求得EF 的长；（2）分别过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，根据正方形的性质及和角关系，可得∵COE ∵∵OAD ，从而可求得OE 、CE 的长，进而得到点C 的坐标；（3）由三个垂直及等腰直角三角形可证明∵BCE ∵∵CAD ，由全等三角形的性质即可求得BE 的长．解：∵∵∵ABC 是等腰直角三角形，∵C =90゜∵∵A =∵B =45゜∵∵BDF +∵BFD =180゜−∵B =135゜∵∵EDF =45゜∵∵ADE +∵BDF =180゜−∵EDF =135゜∵∵ADE =∵BFD在∵AED 和∵BDF 中A B ADE BFD AE BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵AED ∵∵BDF (AAS )故答案为：∵BDF ；∵∵∵ABC 是等边三角形∵∵B =∵C =60゜∵∵BDE +∵BED =180゜−∵B =120゜∵∵EDF =60゜∵∵BDE +∵CDF =180゜−∵EDF =120゜∵∵BED =∵CDFB C BED CDF BD CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵BDE ∵∵CFD (AAS )故答案为：∵CFD ；∵∵四边形ABCD 是正方形∵∵ABC =90゜，AB =BC∵∵ABE +∵CBF =180゜−∵ABC =90゜∵AE ∵l ，CF ∵l∵∵AEB =∵CFB =90゜∵∵ABE +∵EAB =90゜∵∵EAB =∵CBF在∵ABE 和∵BCF 中AEB CFB EAB CBF AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵ABE ∵∵BCF (AAS )∵AE =BF =1，BE =CF =2∵EF =BE +BF =2+1=3故答案为：3；（2）分别过A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，如图所示∵四边形OABC 是正方形∵∵AOC =90゜，AO =OC∵∵COE +∵AOD =180゜−∵ACO =90゜∵AD ∵x 轴，CE ∵x 轴∵∵CEO =∵ADO =90゜∵∵ECO +∵COE =90゜∵∵ECO =∵AODCEO ADO ECO AOD OC AO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵COE ∵∵OAD (AAS )∵CE =OD ，OE =AD∵A∵OD =1，AD =∵CE =1，OE =∵点C 在第二象限∵点C的坐标为(故答案为：(； （3）∵∵ACB =90゜∵∵BCE +∵ACD =90゜∵BE ∵CE ，AD ∵CE∵∵CEB =∵ADC =90゜∵∵BCE +∵CBE =90゜∵∵CBE =∵ACD在∵BCE 和∵CAD 中CBE ACD CEB ADC BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵BCE ∵∵CAD (AAS )∵BE =CD ，CE =AD =6cm∵BE =CD =CE －DE =6－4=2(cm)【点拨】本题是三角形全等的综合，考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是关键．。

C 1ABC EDD E(C )B AC 1C 1AB CED C 1AB CEDED CB A21八年级解题模型之一线三等角“一线三等角”在初中几何中出现得比较多，是一种常见的全等模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成全等或相似图形．这三个等角可以是直角也可以是锐角或钝角，可以是在直线的同侧，也可以是在直线的异侧．三垂直模型（一线三等角）（K 型） 常见的一线三垂直的模型。

【例题精讲】 K 型在三角形中的应用例1：已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB =CD ，BC =DE ，⑴求证：AC ⊥CE ；⑵若将△CDE 沿CB 方向平移得到①②③④等不同情形，1AB C D =， 其余条件不变，试判断AC ⊥C 1E 这一结论是否成立？若成立，给予证 明；若不成立，请说明理由.① ② ③ ④ 【解答】：⑴∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ∴︒=∠=∠90D B在△ABC 与△CDE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DE BC D B CD AB ∴△ABC ≌△CDE （SAS ） ∴∠1=∠E ∵∠2+∠E=90° ∴∠ACE=90°,即AC ⊥CE⑵ 图①②③④四种情形中，结论永远成立，证明方法与⑴完全类似，只要证明△ABC ≌△DE C 1∴EDC ACB1∠=∠∵ ︒=∠+∠901E DC ACB ∴︒=∠+∠901ACB E DC∴AC ⊥C 1E例2：等腰直角△ABC ，其中AB=AC ，∠BAC=90°，过B 、C 作经过A 点直线L 的垂线，垂足分别为M 、N ． （1）你能找到一对三角形的全等吗？并说明．（2）BM ，CN ，MN 之间有何关系？若将直线l 旋转到如图2的位置，其他条件不变，那么上题的结论是否依旧成立？【解答】：证明：（1）CANABM AC AB MBA CAN CNABMA CAN ABM MBA CAN MAB MBA CAN MAB CNA BMA BAC ANCN MA BM ∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠∆∆∠=∠∴︒=∠+∠︒=∠+∠∴︒=∠=∠=∠∴⊥⊥中和在,90,90,90, （2）结论：MN=CN-BM 理由：∵BM ⊥MA,CN ⊥AN, ∴∠BAC=∠BMA=∠CNA=90°∴∠MAB+∠CAN=90°,∠ABM+∠MAB=90° ∴∠CAN=∠ABM,CANABM AC AB MBA CAN CNA BMA CAN ABM ∆≅∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠∆∆中和在∴MA=NC,BM=AN ∵MN=AM-AN ∴MN=CN-BM例3.（1）如图，已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ， CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE ＝BD ＋CE ．（2）如图，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC ＝∠BAC＝a，其中a为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．(3) 拓展与应用：如图，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF 的形状．【解答】（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m∴∠BDA＝∠CEA＝90°∵∠BAC＝90°∴∠BAD＋∠CAE＝90°∵∠BAD＋∠ABD＝90°∴∠CAE＝∠ABD又∵AB＝AC∴△ADB≌△CEA∴AE＝BD，AD＝CE∴DE＝AE＋AD＝BD＋CE；（2）∵∠BDA＝∠BAC＝α∴∠DBA＋∠BAD＝∠BAD＋∠CAE＝180°—α∴∠DBA＝∠CAE21Fy3DCAyDCBA ∵∠BDA ＝∠AEC ＝α，AB ＝AC ∴△ADB ≌△CEA ∴AE ＝BD ，AD ＝CE ∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE ；（3）易知，△ADB ≌△CEA ，BD ＝AE ，∠DBA ＝∠CAE ， ∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形 ∴∠ABF ＝∠CAF ＝60° ∴∠DBA ＋∠ABF ＝∠CAE ＋∠CAF ∴∠DBF ＝∠FAE ，∵BF ＝AF ∴△DBF ≌△EAF （如下图所示）∴DF ＝EF ，∠BFD ＝∠AFE∴∠DFE ＝∠DFA ＋∠AFE ＝∠DFA ＋∠BFD ＝60° ∴△DEF 为等边三角形． K 型在正方形中的应用【例1】 正方形ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为()010，，()84，，点C 在第一象限．求正方形边长及顶点C 的坐标．（计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.）【解答】：过点C作CG⊥x轴于G，过B作BE⊥y轴于E，并反向延长交CG于F点A、B的坐标分别为（0,10），（8,4）∴BE=8，AE=6，∴AB=10∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC∵∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°∴∠1=∠2∵∠ABE=∠BFC=90°∴△AEB≌△BFC∴CF=BE=8，BF=AE=6∴CG=12EF=14∴C(14，12)，正方形的边长为10例2.(1)如图1，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，且MN=DM．设OM=a，请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标__ _（用含a的代数式表示）；（2）基本经验有利有弊，当基本经验有利于新问题解决的时候，这是基本经验的正迁移；当基本经验所形成的思维定势局限了新问题的思考，让新问题解决不出来的时候，这是基本经验的负迁移．例如，如果（1）的条件去掉“且MN=DM”，加上“交∠CBE的平分线与点N”，如图2，求证：MD=MN．如何突破这种定势，获得问题的解决，请你写出你的证明过程．（3）如图3，请你继续探索：连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：①FM的长度不变；②MN平分∠FMB，请你指出正确的结论，并给出证明．【解答】（1） 如图1中，作NE ⊥OB 于E ，∵∠DMN=90°，∴∠DMO+∠NME=90°，∠NME+∠MNE=90°， ∴∠DMO=∠MNE ， 在△DMO 和△MNE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠︒=∠=∠MN DM MNEDMO NEM DOM 90 ∴△DMO ≌△MNE ， ∴ME=DO=2，NE=OM=a ， ∴OE=OM+ME=2+a ， ∴点N 坐标（2+a ，a ）， 故答案为N （2+a ，a ）．（2）证明：如图2中，在OD 上取OH=OM ，连接HM ，∵OD=OB ，OH=OM ，∴HD=MB ，∠OHM=∠OMH ， ∴∠DHM=180-45=135°，∵NB 平分∠CBE ，∴∠NBE=45°，∴∠NBM=180-45=135°，∴∠DHM=∠NBM ， ∵∠DMN=90°，∴∠DMO+∠NMB=90°， ∵∠HDM+∠DMO=90°，∴∠HDM=∠NMB ， 在△DHM 和△MBN 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠NBM DHM MBDH NMB HDM ∴△DHM ≌△MBN （ASA ），∴DM=MN ． （3）结论：MN 平分∠FMB 成立．证明：如图3中，在BO 延长线上取OA=CF ，在△AOD 和△FCD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠=CF OA C DOA DC DO 90 ∴△DOA ≌△DCF ， ∴AD=DF ，∠ADO=∠CDF ， ∵∠MDN=45°， ∴∠CDF+∠ODM=45°， ∴∠ADO+∠ODM=45°， ∴∠ADM=∠FDM ， 在△DMA 和△DMF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DF DA MDF MDA DM DM ∴△DMA ≌△DMF ， ∴∠DFM=∠DAM=∠DFC ，过M 作MP ⊥DN 于P ，则∠FMP=∠CDF ，由（2）可知∠NMF+∠FMP=∠PMN=45°， ∴∠NMB=∠MDH ，∠MDO+∠CDF=45°， ∴∠NMB=∠NMF ，即MN 平分∠FMB ．【举一反三】1.如图，已知AC ⊥CF ，EF ⊥CF ，AB ⊥BE ，AB=BE 求证：AC=BF,BC=EF 【解答】∵AC ⊥CF ，EF ⊥CF ∴∠C=∠F=90° ∵AB ⊥BE∴∠A+∠ABC=90°，∠EBF+∠ABC=90° ∴∠A=∠EBF∴△ABC ≌△BEF （AAS ） ∴AC=BF,BC=EF2.如图，已知，AC ⊥CF ，EF ⊥CF ，AB ⊥CE ，AC=CF 求证：AB=CE 【解答】∵AC ⊥CF ，EF ⊥CF ，AB ⊥CE ∴∠ACB=∠CGB=∠F=90°∴∠A+∠ABC=90°，∠ECF+∠ABC=90° ∴∠A=∠ECF ∴△ABC ≌△CEF ∴AB=CE3.已知，AC ⊥CF ，EF ⊥CF ，AG ⊥CE ，AG=CE 求证：AG=CF 【解答】∵AC ⊥CF ，EF ⊥CF ，AG ⊥CE ∴∠AGC=∠EFC=90°∴∠A+∠ACG=90°,∠ECF+∠ACG=90° ∴∠A=∠ECF ∴△AGC ≌△CFE ∴AG=CF4.如图： 已知，AE ⊥BD ，CD ⊥BD ，∠ABC=90°，AB=AC ，求证：AE=BD ，BE=CD 【解答】∵AE ⊥BD ，CD ⊥BD ∴∠AEB=∠D=90°∴∠A+∠ABE=90°,∠ABC+∠CBD=90°∴∠A=∠CBD∵AB=AC∴△ABE≌△BCD∴AE=BD ，BE=CD5.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC 交CF的延长线于D．（1）求证：AE=CD；（2）若AC=12cm，求BD的长．【解答】（1）∵CF⊥AE∴∠AFC=90°∴∠CAE+∠ACF=90°∵∠ACB=90°∴∠BCD+∠ACF=90°∴∠CAE=∠BCD∵BD⊥BC∴∠CBD=90°∴∠CBD=∠ACB∴△ACE≌△CBD(ASA)∴AE=CD（2）∵AC2+BC2=AB2,AC=BC,AB=52cm∴2BC2=（52）2=25∴BC=5∵AE是BC边上的中线∴CE=2.5cm∵△ACE≌△CBDG HFED CBAABCDE F ∴BD=CE=2.5cm6、已知：如图，ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=°，D 是BC 的中点，⊥AF BE 于G ．求证：DH DF = 【解答】∵AB=AC ，∠BAC=90°，D 是BC 的中点 ∴AD=BD=CD ， AD ⊥BC ∴∠ADB=90° ∵AF ⊥BE ∴∠AGH=90° ∴∠DBE=∠DAF ∴在△BDH 和△ADF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ADF ADB ADBD DAF DBH∴△BDH ≌△ADF （ASA ） ∴DH =DF7、如图，已知Rt ABC △中90ACB ∠=°，AC BC =，D 是BC 的中点，CE AD ⊥，垂足为E ．BF AC ∥，交CE 的延长线于点F ．求证：2AC BF =．【解答】∵∠ACB=90°，BF ∥AC ，∴∠ACD=∠CBF=90°， ∠ADC+∠CAD=90°． ∵CE ⊥AD ，∴∠FCB+∠ADC=90°， ∴∠CAD=∠FCB ． 又∵AC=CB ， ∴△ADC ≌△CFB ． ∴DC=FB ． ∵D 是BC 的中点， ∴BC=2BF ， 即AC=2BF ．8.已知：如图四边形ABCD 是矩形（AD ＞AB ），点E 在BC 上，且AE =AD ，DF ⊥AE ，垂足为F ．请探索DF 与AB有什么数量关系？写出所得到的的结论并给予证明【解答】经探求，结论是：DF = AB ．FA DECD BAF证明如下：∵四边形ABCD 是矩形， ∴ ∠B =90° ， AD ∥BC ， ∴ ∠DAF = ∠AEB ．∵ DF ⊥AE ， ∴ ∠AFD = 90°， ∵ AE = AD ， ∴△ABE ≌△DFA ． ∴ AB = DF ．9、如图，ABC △中，AC BC =，90BCA ∠=°，D 是AB 上任意一点， AE CD ⊥交CD 延长线于E ，BF CD ⊥于F ．求证：EF BF AE =-．【解答】根据条件，∠ACE 、∠CBF 都与∠BCF 互余，∴∠ACE=∠CBF ． 在△ACE 和△CBF 中， AC=CB ，∠AEC=∠CFB=90°， ∴△ACE ≌△CBF ． 则CE=BF ，AE=CF ， ∴EF=CE-CF=BF-AE ．10、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE =BC ，过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB =FC .【解析】∵FE ⊥AC 于点E ，∠ACB=90°，∴∠FEC=∠ACB=90°． ∴∠F+ECF=90°． 又∵CD ⊥AB 于点D ， ∴∠A+∠ECF=90°． ∴∠A=∠F ． 在△ABC 和△FCE 中，F E D CBAG NMFED CBANMED CB AGN MED CBAPQMCBA⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CE BC FEC ACB F A ∴△ABC ≌△FCE ． ∴AB=FC ．11、如图， Rt △ABC 中，∠C =90°,10cm AC =，5cm BC =，一条线段PQ =AB ，P ，Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AM 上运动. 当△ABC 和△APQ 全等时,点Q 到点A 的距离为___________ .【答案】5cm 或10cm.12、如图，在△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB = AC ，MN 是经过点A 的直线，BD MN ⊥于D ，CE MN ⊥于E ．（1）求证：BD = AE ．（2）若将MN 绕点A 旋转，使MN 与BC 相交于点G (如图2)，其他条件不变， 求证：BD = AE ．（3）在(2)的情况下，若CE 的延长线过AB 的中点F （如图3），连接GF ， 求证：∠AFE =BFG ∠．【解答】证明：(1)∵BD ⊥MN ，CE ⊥MN ， ∴∠BDA =∠AEC =90∘， ∵∠BAC =90∘， ∴∠1+∠2=90∘， 又∵∠3+∠2=90∘， ∴∠1=∠3， 在△ADB 和△CEA 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AC AB AEC BDA 13 ∴△ADB ≌△CEA (AAS )， ∴BD =AE ；(2)∵BD ⊥MN ，CE ⊥MN ， ∴∠BDA =∠CEA =90∘， ∵∠BAD +∠CAE =90∘， ∠ACE +∠CAE =90∘， ∴∠BAD =∠ACE ， 在△ABD 和△ACE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AC AB ACE BAD CEA BDA ∴△ABD ≌△ACE (AAS )， ∴BD =AE ；(3)过B 作BP ∥AC 交MN 于P ， ∵BP ∥AC ，∴∠PBA +∠BAC =180∘，∵∠BAC =90∘， ∴∠PBA =∠BAC =90∘， 由(2)得：∠BAP =∠ACF ， ∴在△ACF 和△ABP 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ACF BAP ACAB FAC PBA ∴△ACF ≌△ABP (ASA )， ∴∠AFC =∠BPA ，AF =BP∵BF =AF ,∴BF =BP ，∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ABC =45∘， 又∵∠PBA =90∘， ∴∠PBG =45∘， ∴∠ABC =∠PBG ， 在△BFG 和△BPG 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BG BG PBG FBG BP BF ∴△BFG ≌△BPG (SAS )， ∴∠BPG =∠BFG ， ∵∠BPG =∠AFE ， ∴∠BFG =∠AFE .13、如图，在ABC ∆中，90,,ACB AC BC ABC ∠==∆的中线AD 、CF 相交于点G ，CE AD AB ⊥交于点E ，连接DE 。

一线三直角题型方法总结1.引言在初中数学学习中，一线三直角题型是一种常见但也较为考验学生思维能力和解题方法的题型。

本文旨在总结一线三直角题型的解题方法，帮助学生更好地理解和掌握相关知识。

2.什么是一线三直角题型一线三直角题型是指在平面直角坐标系中，给定一条直线和三个直角的情况下，求解直线的方程和直角顶点的坐标的问题。

3.常见的一线三直角题型3.1单位斜率直线给定一条直线斜率为1的情况下，确定直线方程和直角顶点坐标。

例题：已知直线L与x轴、y轴分别交于点A(-3,0)和B(0,2)，求直线L的方程和直角顶点的坐标。

解题步骤：1.根据题意可知，直线L的斜率为1，且通过点A(-3,0)和B(0,2)。

2.利用斜率为1的直线的特性，写出直线L的方程为y-0=1(x+3)。

3.化简方程得到y=x+3，表示直线L的方程。

4.直角顶点的坐标为直线L与x轴和y轴的交点，由直线L的方程可得，直线与x轴的交点为(-3,0)，与y轴的交点为(0,3)。

3.2垂直于坐标轴的直线给定一条直线垂直于x轴或y轴的情况下，确定直线方程和直角顶点坐标。

例题：已知直线L垂直于y轴，通过点A(2,1)，求直线L的方程和直角顶点的坐标。

解题步骤：1.根据题意可知，直线L垂直于y轴，所以直线的方程形式为x=a。

2.因为直线L通过点A(2,1)，所以直线L的方程为x=2。

3.直角顶点的坐标为直线L与x轴和y轴的交点，由直线L的方程可得，直线与x轴的交点为(2,0)，与y轴的交点为(2,1)。

4.总结通过以上例题的解析，我们可以总结一线三直角题型的解题方法如下：1.根据直线的特性，确定直线的斜率或垂直于x轴或y轴。

2.根据直线经过的点的信息，构建直线的方程。

3.求解直角顶点的坐标，即求解直线与x轴和y轴的交点。

掌握这些解题方法后，学生对于一线三直角题型的解题能力将得到提升。

希望本文对广大学生有所帮助。

参考文献[1]高中数学教材.[2]数学学习网站.。

一线三直角证明过程
嘿，朋友们！今天咱来唠唠一线三直角这个神奇的玩意儿！
你说这一线三直角像不像一个隐藏在几何世界里的小魔术呀？它就那么巧妙地存在着。

想象一下，一条直线上，突然冒出来三个直角，就好像是在几何王国里突然出现的神秘组合。

咱先看看这三个直角是怎么凑到一块儿的。

它们就像是好兄弟，整整齐齐地排着队。

你可别小瞧了它们，它们能带来好多奇妙的发现呢！
比如说，在一些几何图形里，一旦你发现了这个一线三直角的结构，那就像是找到了一把钥匙，能打开好多解题的大门。

你就会惊叹，哇塞，原来这么复杂的问题可以变得这么简单呀！
很多时候，我们面对那些让人头疼的几何题，感觉就像是在迷雾中摸索。

但当我们看到一线三直角的时候，就好像迷雾突然散去，眼前一下子就清晰了。

这感觉，难道不神奇吗？
就好像我们走路，有时候会碰到一些弯弯绕绕的路，走得我们晕头转向。

可一旦我们发现了那条直路，也就是这个一线三直角，那不就轻松多啦？
而且哦，这一线三直角还特别调皮，它会在各种图形里藏起来，等你去发现它。

有时候你得仔细找，就像在玩捉迷藏一样。

等你找到了，那种喜悦感，真的没法形容！
再想想，要是没有这个一线三直角，我们得费多大的劲去解决那些几何问题呀？它就像是我们的秘密武器，在关键时刻帮我们一把。

你说，这一线三直角是不是特别有意思？它让我们看到了几何世界里的奇妙之处，也让我们在解题的过程中体验到了乐趣和成就感。

所以呀，大家可千万别小看了它哟！这就是我对一线三直角的看法，你们觉得呢？。

一线三直角模型例题在数学中，一线三直角模型是一种常见的几何学问题，通常用于求解直角三角形的边长和角度。

本文将通过一个例题来介绍一线三直角模型的解题方法。

假设我们已知一个直角三角形ABC，其中∠B为直角，边长AB为a，边长BC为b。

现在我们需要求解边长AC和∠ABC的大小。

首先，我们可以利用勾股定理来求解边长AC。

根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

即AC² = AB² + BC²。

将已知数值带入公式中，我们得到AC² = a² + b²。

接下来，我们可以计算边长AC的值。

通过对等式两边开方，即可得到AC的值。

即AC = √(a² + b²)。

现在，我们已经求得了边长AC的值。

接下来，我们需要求解∠ABC的大小。

在直角三角形中，∠ABC是直角的对角。

根据三角形的性质可知，直角的对角是一个锐角，其余两个角是直角附角。

因此，我们可以利用三角函数来求解∠ABC的大小。

首先，我们可以利用正弦函数来求解∠ABC的正弦值。

根据正弦函数的定义，正弦值等于直角边与斜边的比值。

即sin(∠ABC) = BC / AC。

将已知数值带入公式中，我们得到sin(∠ABC) = b / √(a² + b²)。

接下来，我们可以利用反正弦函数来求解∠ABC的大小。

反正弦函数的定义为，给定一个数值x，其正弦值为x时的角度。

因此，我们可以通过反正弦函数求解∠ABC的大小。

即∠ABC = arcsin(b / √(a² + b²))。

至此，我们已经求解出了边长AC和∠ABC的数值。

可以根据实际题目要求，保留小数或转换成分数来表示答案。

综上所述，利用一线三直角模型的解题方法，我们可以准确地求解直角三角形的边长和角度。

这种模型的应用非常广泛，可以帮助我们解决各种与直角三角形相关的问题。

通过理解和掌握一线三直角模型的解题方法，我们能够更好地应用数学知识，提高解题的准确性和效率。

一线三等角全等模型及其解法
哎呀呀，说起这“一线三等角全等模型”，可真是让我这个小学生又爱又恨！
先来说说啥是“一线三等角”吧。

就好像我们搭积木，有一条直直的线，然后在线的同一边或者两边，出现了三个角度相等的角，这三个角就像三个好朋友手拉手一样。

这时候，如果再配上一些边的条件，就能得出三角形全等啦！
有一次，数学老师在课堂上讲这个，我一开始听得云里雾里的，心里直犯嘀咕：“这都是啥呀？怎么这么难理解！” 老师在黑板上画了好多图，一边画一边说：“同学们，你们看，这就像是一个神秘的密码，只要我们找到了关键，就能解开它！”我瞪大眼睛看着，还是不太懂。

同桌小明倒是挺积极，不停地举手问老师问题。

我偷偷瞅了他一眼，心想：“哼，他能懂，我就不信我搞不明白！”
后来老师又举了个例子，说：“假如这三个角是三个小士兵，它们站在同一条线上，要一起完成一个任务。

那这个任务就是证明三角形全等。

”我一听，好像有点感觉了。

下课后，我拉着小明一起讨论。

我问他：“你真的懂啦？快给我讲讲！”小明一脸得意地说：“这还不简单，你看啊，就像我们玩游戏，得按照规则来，这里的规则就是角相等，还有边的条件，满足了就能赢啦！”我皱着眉头说：“哎呀，你说得还是有点抽象，再具体点呗！”
然后他就拿笔在本子上又画又写，给我仔细地讲起来。

我慢慢地好像开了点窍，忍不住说：“原来如此啊，好像也没有那么难嘛！”
经过这一番努力，我算是明白了，“一线三等角全等模型”其实就像是一个藏着宝藏的迷宫，只要我们细心观察，找到线索，就能走出去，拿到宝藏！
我觉得呀，学习数学虽然有时候会遇到难题，但是只要我们不放弃，多思考，多和同学讨论，就一定能战胜困难，收获知识的宝藏！。

作垂线构造一线三直角（方法专题）【导入】1.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，CE⊥l于点E，DF⊥l于点F.求证：EF=CE+DF.【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠CBD=90°，CB=BD.∠CBE+∠DBF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，∴∠DBF=∠BCE.在△CBE和△BDF中，{∠BEC=∠DFB=90°，∠ECB=∠FBD，CB=BD，∴△CBE≌△BDF.∴CE=BF,EB=DF.EF=EB+BF=DF+CE.2.如图，在正方形OABC中，点A的坐标是（-3，1），则C点的坐标是_______.【答案】（1,3）如图，作AD⊥x轴，CE⊥x轴.易得△AOD≌△OCE.AD=OE=1,DO=CE=3.故C（1,3）.【方法指引】在处理几何问题时，遇到无法直接得出关系的线段时，看到“正方形”，“等腰直角三角形”“旋转90°角”等字眼，可以尝试通过作垂线的方式来构造两个全等三角形.一、借助一线三直角建立方程求解【例1】如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=2，E为AB的中点，设点P是∠DAB平分线上的一个动点（不与点A重合）．（1）证明：PD=PE．（2）连接PC，求PC的最小值．（3）设点O是矩形ABCD对角线的交点，是否存在点P，使∠DPO=90°？若存在，请直接写出AP 的长．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠DAB=90°，∵AP平分∠DAB，∴∠DAP=∠EAP=45°，在△DAP和△EAP中，{AD＝AE，∠DAP＝∠EAP，AP＝AP，∴△DAP≌△EAP（SAS）∴PD=PE；（2）解：如图1，作CP′⊥AP′于P′，则P′C最小，∵AB∥CD，∴∠DFA=∠EAP，∵∠DAP=∠EAP，∴∠DAP=∠DFA=45°，∴FC=DF=AD=2，∠P′FC=45°，∴P′C=FC×√2=√2.2∴PC的最小值为√2.（3）当点P与F重合时，∠DPO=90°.AP=AF=√AD2+DF2=2√2.当点P不与F重合时，如图所示.过点O作EF⊥AB，交AB于E，交DC于F. 易得四边形AEFD是正方形，O为EF中点. 过点P作GI⊥AD，交AD于G，交EF于I.∵∠DPO=90°，∠DGP=∠PIO=90°，∴∠DPG+∠OPI=90°，∠DPG+∠PDG=90°，∴∠OPI=∠PDG.过点P作PH⊥AE，垂足为H.易得四边形AHPG是正方形.设GP=PH=x.可得DG=AD-GA=AD-PH=2-x，PI=HE=AE-AH=2-x，∴PI=DG.在△DPG和△POI中，{∠PDG=∠OPI，DG=PI，∠DGP=∠PIO=90°，∴△DPG≌△POI（ASA）.∴OI=GP=x.OE=OI+IE=OI+PH=2x.又OE=12EF=1，即x=12.AP=√AH2+PH2=√x2+x2=√22.二、平面直角坐标系中借助一线三直角建立方程【例2】如图1，平面直角坐标系中，直线y=-34x+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B．（1）求△AOB的面积；（2）如图2，直线AC交y轴负半轴于点C，AB=BC，P为线段AB（不含A，B两点）上一点，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，设点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，求d与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，M为线段CA延长线上一点，且AM=CQ，在直线AC上方的直线AB上是否存在点N，使△QMN是以QM为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵y=-34x+m交x轴于点A（4，0），∴0=-34×4+m，解得m=3，∴直线AB解析式为y=-34x+3，令x=0，y=3，B（0，3）；∵A（4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，∵∠AOB=90°，∴S △AOB ＝12×OA×OB =12×4×3=6； （2）∵OA=4，OB=3，∴AB═√OA 2+OB 2=5=BC ，∴OC=2，∴点C （0，-2），设直线AC 解析式为y=kx+n ，∴{4k +n ＝0，n ＝−2，∴{k =12，n =−2.∴直线AC 解析式为y=12x-2，∵P 在直线y=-34x+3上， ∴可设点P （t ，-34t+3），∵PQ ∥y 轴，且点Q 在y=12x-2上，∴Q （t ，12t-2）， ∴d=（-34t+3）-（12t-2）=-54t+5（0＜t ＜4）；（3）过点M 作MG ⊥PQ 于G ，∴∠QGM=90°=∠COA ，∵PQ ∥y 轴，∴∠OCA=∠GQM ，∵CQ=AM ，∴AC=QM ，在△OAC 与△GMQ 中， {∠AOC ＝∠MGQ ，∠ACO ＝∠MQG ，AC ＝MQ ，∴△OAC ≌△GMQ （AAS ），∴QG=OC=2，GM=OA=4，过点N 作NH ⊥PQ 于H ，过点M 作MR ⊥NH 于点R ，∴∠MGH=∠RHG=∠MRH=90°，∴四边形GHRM 是矩形，∴HR=GM=4，可设GH=RM=k ，∵△MNQ 是等腰直角三角形，∴∠QNM=90°，NQ=NM ，∴∠HNQ+∠HQN=90°，∠HNQ+∠RNM=90°，∴∠RNM=∠HQN ，∴△HNQ ≌△RMN （AAS ），∴HN=RM=k ，NR=QH=2+k ，∵HR=HN+NR ，∴k+2+k=4，∴k=1，∴GH=NH=RM=1，∴HQ=3，∵Q （t ，12t-2），∴N （t+1，12t-2+3）即 N （t+1，12t+1）， ∵N 在直线AB ：y=-34x+3上，∴12t+1=-34（t+1）+3，∴t=1，∴P （1，94），N （2，32）．【过关练习】1. 如图，在直角坐标系中，正方形ABCO 的点B 坐标（3，3），点A 、C 分别在y 轴、x 轴上，对角线AC 上一动点E ，连接BE ，过E 作DE ⊥BE 交OC 于点D ．若点D 坐标为（2，0），则点E 坐标为_____.【答案】（1,2）【解析】连接OE ，过E 作FH ⊥OC 于H ，交AB 于F ，∵四边形ABCO 是正方形，∴AB ∥OC ，∠OAB=∠AOC=90°，∠OAC=∠BAC=∠OCA=45°，OA ∥BC ，∵FH ∥AB ，∴FH ∥OA ，∴FH ⊥OC ，∠HEC=∠OAC=45°=∠OCA ，∠BFH=∠OAB=90°，∠DHE=∠AOC=90°，∴EH=CH=BF ，∵DE ⊥BE ，FH ⊥AB ，∴由角的互余关系得：∠EBF=∠DEH ，在△BEF 和△EDH 中{∠BFE ＝∠EHD ，BF ＝EH ，∠EBF ＝∠DEH ， ∴△BEF ≌△EDH （ASA ），∴BE=DE ，∵点D 坐标为（2，0），∴OD=2，由正方形的对称性质得：OE=BE ，∵BE=DE ，∴OE=DE ，∵FH ⊥OC ，∴OH=DH=12OD=1，∵△BEF ≌△EDH ，∴EF=DH=1，∵FH=OA=3，∴EH=3-1=2，∴点E 的坐标为（1，2）.2. 如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=3，E 为BC 边上一动点，作EF ⊥AE ，且EF=AE ．连接DF ，AF ．当DF ⊥EF 时，△ADF 的面积为_____.【答案】3-3√22【解析】如图，过D 作DH ⊥AE 于H ，过E 作EM ⊥AD 于M ，连接DE ，∵EF ⊥AE ，DF ⊥EF ，∴∠DHE=∠HEF=∠DFE=90°，∴四边形DHEF 是矩形，∴DH=EF=AE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=∠BAD=90°，∵∠AME=90°，∴四边形ABEM 是矩形，∴EM=AB=2，设AE=x ，则S △AD E =12AD•EM ＝12AE•DH ， ∴3×2=x 2，∴x=±√6，∵x ＞0，∴x=√6，即AE=√6，由勾股定理得：BE=√2.过F 作PQ ∥CD ，交AD 的延长线于P ，交BC 的延长线于Q ，∴∠Q=∠ECD=∠B=90°，∠P=∠ADC=90°，∵∠BAE+∠AEB=∠AEF=∠AEB+∠FEQ=90°，∴∠FEQ=∠BAE ，∵AE=EF ，∠B=∠Q=90°，∴△ABE ≌△EQF （AAS ），∴FQ=BE=√2，∴PF=2-√2.∴S △AD F =12AD•PF =12×3×(2−√2)=3-3√22． 3. 在边长为5的正方形ABCD 中，点E 在边CD 所在直线上，连接BE ，以BE 为边，在BE 的下方作正方形BEFG ，并连接AG ．（1）如图1，当点E 与点D 重合时，AG=____；（2）如图2，当点E 在线段CD 上时，DE=2，求AG 的长；（3）若AG=5√172，请直接写出此时DE 的长．【解析】（1）如图1，连接CG ，∵四边形ABCD 和四边形EBGF 是正方形，∴∠CDB=∠CBD=45°，∠DBG=90°，BD=BG ，∴∠CBG=45°，∴∠CBG=∠CBD ，∵BC=BC ，∴△CBD ≌△CBG （SAS ），∴∠DCB=∠BCG=90°，DC=CG=5，∴G ，C ，D 三点共线，∴AG=√AD 2+DG 2=√52+102=5√5；故答案为：5√5；（2）如图2，过点G 作GK ⊥AB ，交AB 的延长线于K ，∵DE=2，DC=5，∴CE=3，∵∠EBG=∠EBC+∠CBG=90°，∠CBG+∠GBK=90°，∴∠EBC=∠GBK，∵BE=BG，∠K=∠BCE=90°，∴△BCE≌△BKG（AAS），∴CE=KG=3，BC=BK=5，∴AK=10，由勾股定理得：AG=√102+32=√109；（3）分三种情况：①当点E在CD的延长线上时，如图3，同理知△BCE≌△BKG（AAS），∴BC=BK=5，∵AG=5√172，由勾股定理得：KG=√（5√172）2−102=52，∴CE=KG=42，此种情况不成立；②当点E在边CD上时，如图4，同理得：DE=52；③当点E 在DC 的延长线上时，如图5，同理得CE=GK=52，∴DE=5+52=152.综上，DE 的长52或152.4. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AB ：y=-12x+3与直线CD ：y=kx-2相交于点M （4，a ），分别交坐标轴于点A 、B 、C 、D ，点P 为直线CD 上的一个动点时，将BP 绕点B 逆时针旋转90°得到BQ ，连接PQ 与OQ ．点Q 随着点P 的运动而运动，请求出点Q 运动所形成直线的解析式，以及OQ 的最小值．【解析】将点M 的坐标代入y=-12x+3并解得：a=1，故点M （4，1）， 将点M 的坐标代入y=kx-2并解得：k=34，故直线CD 的表达式为：y=34x-2，则点D （0，-2）. 如下图，分别过点P 、Q 作y 轴的垂线，垂足为G 、H ，设点P （m ，34m-2）， ∵∠HQB+∠HBQ=90°，∠HBQ+∠GBP=90°，∴∠HQB=∠GBP ，∠QHB=∠BGP=90°，BP=BQ ，∴△BGP ≌△QHB （AAS ），∴HQ=GB ，HB=GP=m ，故HQ=BG=3-（34m-2）=5-34m ，OH=OB+BH=m+3，故点Q （5-34m ，3+m ），令x=5-34m ，y=3+m ，则y=-43x+293，设该直线与坐标轴的交点分别为R 、S ，则R （294，0）、S （0，293），即OR=294，OS=293，当OQ ⊥SR 时，OQ 最小， 则S △O R S =12×OR×OS=12×OQ×SR ， 即294×293=OQ×√（294）2+（293）2=OQ ×5×2912，解得：OQ=295，即OQ 的最小值为295．5. 如图，在平面直角坐标系中，A （3，4），B （-1，0），C （3，0），点P （n ，0）为x 轴上一动点，坐标系中存在某点T （m ，2m+1），点A 、P 、T 按顺时针方向排列，并使△APT 为等腰直角三角形，请直接写出点P 的坐标．【解析】点T 的坐标为（m ，2m+1），则点T 在直线l ：y=2x+1上，而点A （3，4），点P （n ，0），①当∠TAP 为直角时，则AT=AP ，如图1，过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点T 作TN ⊥AM 于点N ，∵∠TAN+∠PAM=90°，∠PAM+∠APM=90°，∴∠TAN=∠APM ，∵∠TNA=∠AMP=90°，AT=AP ，∵△TNA ≌△AMP （AAS ），∴AM=TN ，AN=PM ，即n-3=4-2m-1，3-m=4，解得{m =−1，n =8②当∠ATP 为直角时，过点T 作y 轴的平行线交过点A 与y 轴的垂线与点M ，交x 轴于点N ，同理可得：△AMT ≌△TNP （AAS ），则AM=TN ，MT=PN ，即3-m=2m+1，4-2m-1=n-m ，解得{m =23n =73③当∠TPA 为直角时，则点P 的坐标为（3，0），则AP=4，而点T 在x 轴上，故点T （-12，0），则PT=3+12≠AP ，即△APT 不是等腰直角三角形，故点P 的坐标为（8，0）或（73，0）．6. 已知，直线y=3x-3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）如图①，点A 的坐标为________，点B 的坐标为_________；（2）若∠ABN=45°，求直线BN 的解析式．【解析】（1）（1，0） （0，-3）.（2）如图，作AN⊥AB，使得AN=AB，作NH⊥x轴于H，则△ABN是等腰直角三角形，∠ABN=45°．∵∠AOB=∠BAN=∠AHN=90°，∴∠OAB+∠ABO=90°，∠OAB+∠HAN=90°，∴∠ABO=∠HAN，又∵AB=AN，∴△ABO≌△NAH（AAS），∴AH=OB=3，NH=OA=1，∴OH=OA+AH=1+3=4，∴N（4，-1），设直线BN的解析式为y=kx+b，则有{4k+b=−1，b=−3，解得{k=12，b=−3，∴直线BN的解析式为y=12x-3，当直线BN′⊥直线BN时，直线BN′也满足条件，直线BN′的解析式为y=-2x-3，∴满足条件的直线BN的解析式为y=12x-3或y=-2x-3．。

专题06全等三角形之一线三等角模型全攻略目录【知识点归纳】 (1)【例题精讲】 (2)【课后练习】 (13)【知识点归纳】“一线三垂直”模型，是初中几何图形中的最重要模型，一般只要图形中出现一线三垂直或二垂或一垂图形，不管它是出现在全等图形中，还是在以后学习的相似图形中，函数图形中，它的辅助线、解题思路过程基本固定，一定要熟悉它的变化及用法。

“三垂直模型”是一个应用非常广泛的模型，它可以应用在三角形，矩形，平面直角坐标系，网格，一次函数，反比例函数，三角函数，二次函数以及圆等诸多的中考重要考点之中，所以掌握好这一模型会使你在中考中技高一筹。

基本图形如下：同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠，CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠，任一边相等BED ACE⇒ ≌异侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：FAC ABD CED ∠=∠=∠，任意一边相等证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠，任一边相等BED ACE ⇒ ≌【例题精讲】例1．（同侧一线三直角）（1）如图1，已知：在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l经过点A ，BD l ⊥，CE l ⊥垂足分别为点D 、E ．证明：①CAE ABD ∠=∠；②DE BD CE =+．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在ABC ∆中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在l 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，过ABC ∆的边AB 、AC 向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，AH 是BC 边上的高，延长HA 交EG 于点I ，求证：I 是EG 的中点．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）成立：DE=BD+CE ；证明见解析；（3）见解析【分析】（1）①根据平行线的判定与性质即可求解；②由条件可证明△ABD ≌△CAE ，可得DA ＝CE ，AE ＝BD ，可得DE ＝BD ＋CE ；（2）由条件可知∠BAD ＋∠CAE ＝180°−α，且∠DBA ＋∠BAD ＝180°−α，可得∠DBA ＝∠CAE ，结合条件可证明△ABD ≌△CAE ，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM ＝AH ＝GN ，可得EM ＝GN ，结合条件可证明△EMI ≌△GNI ，可得出结论I 是EG 的中点．【详解】（1）①∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l∴∠BDA=∠CEA=90°∵∠BAC=90°∴∠BAD+∠CAE=90°∵∠BAD+∠ABD=90°∴∠CAE=∠ABD②在△ADB 和△CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△CEA （AAS ）∴AE=BD ，AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE ；（2）成立：DE=BD+CE 证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α∴∠DBA=∠CAE在△ADB 和△CEA 中ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△CEA （AAS ）∴AE=BD 、AD=CE∴DE=AE+AD=BD+CE ；（3）如图过E 作EM ⊥HI 于M ，GN ⊥HI 的延长线于N∴∠EMI=GNI=90°由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN∴EM=GN在△EMI 和△GNI 中GIH EIM EM GN GHI EMI ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△EMI ≌△GNI （AAS ）∴EI=GI∴I 是EG 的中点．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到BD ＝AE 、CE ＝AD 是解题的关键．例2．（异侧一线三直角）如图1，OA OB ⊥，OC OD ⊥，OA OB =，OC OD =，连接AD 、BC ，交于点H ．(1)写出AD 和BC 的数量关系及位置关系，并说明理由；(2)如图2，连接BD ，若DO 、BO 分别平分ADB ∠和CBD ∠，求BOD ∠的度数；(3)如图3，连接AC 、BD ，设AOC 的面积为1S ，BOD 的面积为2S ，探究1S 与2S 的数量关系，并说明理由．OA OB ⊥，OC OD ⊥90AOB COD ∴∠=∠=︒，AOB AOC AOC ∠+∠=∠ AOD BOC ∴∠=∠，又 OA OB =，OC OD =AOD BOC ∴ ≌()SAS ，（3）如图，过点,C D ，分别作90CFO OGD ∴∠=∠=︒，90COD ∠=︒ ，90COF GOD ∴∠=︒-∠=∠又CO DO = ，()AAS CFO OGD ∴ ≌，FO GD ∴=，AOC 的面积为1S ，BOD 在MAN ∠的边AM 、AN 上，且AB AC =，CF AE ⊥于点F ，BD AE ⊥于点D ，求证：ABD CAF V V ≌；（2）如图2，点B 、C 分别在MAN ∠的边AM 、AN 上，点E 、F 都在MAN ∠内部的射线AD 上，已知AB AC =，且12BAC ∠=∠=∠，求证：ABE CAF V V ≌；（3）如图3，已知ABC 的面积为15，且AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，点E 、F 在线段AD 上，12BAC ∠=∠=∠，若ACF △与BDE △的面积之和是6，求:CD BC 的值．∵12∠=∠，∴AFC BEA ∠=∠，∵34BAC ∠+∠=∠，1∠∴4ABE ∠=∠，∵AB AC =，∴()AAS ABE CAF △≌△∵12BAC ∠=∠=∠，∴3ACF ∠=∠，BEA ∠∵AB AC =，∴(AAS ABE CAF △≌△∴ABE CAF S S = ，∵ACF △与BDE △的面积之和是∴ABD ABE BDE S S S =+ △△∵ACD 与ABC 等高，∴底边之比3：5，∴:3:5CD BC =．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等的判定方法，是解题的关键．例4．（坐标系中的K 字模型）A B y 轴上．（1）如图①，若点C 的横坐标为5，求点B 的坐标；（2）如图②，若x 轴恰好平分BAC ∠，BC 交x 轴于点M ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，求CD AM的值；（3）如图③，若点A 的坐标为()4,0-，点B 在y 轴的正半轴上运动时，分别以OB 、AB 为边在第一、第二象限中作等腰Rt OBF ，等腰Rt ABE ，连接EF 交y 轴于点P ，当点B 在y 轴上移动时，PB 的长度是否发生改变？若不变求PB 的值；若变化，求PB 的取值范围．例．（）已知等腰ABE 和，连接，若直线BD CE 、交于点O ，则BOC ∠=；（2）如图所示，90,,BAE DAC AB AE AD AC ∠=∠=︒==，连接BC 和DE ，过点A 作AF D E ⊥交BC 于点G ，垂足为F ，若11,10AG GF ==，求ABC 的面积．如图：∵100,,BAE DAC AB AE AD ∠=∠=︒==∴BAD EAC ∠=∠，（2）作BM AF ⊥于M ，CN AF ⊥于N ，∵AF D E ⊥，∴90BMA AFE ∠=∠=︒，∵90,BAE AB AE ∠=︒=，∴90BAM FAE ∠+∠=︒，E FAE ∠+∠=∴BAF E ∠=∠，∴BAM AEF ≌，【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．【课后练习】1．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】(1)如图1，90BAD ∠=︒，AB AD =，过点B 作BC AC ⊥于点C ，过点D 作DE AC ⊥于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠．又90ACB AED ∠=∠=︒，可以推理得到ABC DAE △≌△．进而得到AC =___________，BC =___________．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】(2)①如图2，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =，连接BC ，DE ，且BC AF ⊥于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；②如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()2,6，点B 为平面内任一点．若AOB 是以OA 为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B 的坐标．【答案】(1)DE ；AE(2)①证明见解析；②()4,2或()2,4-【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等解答；（2）①作DM AF ⊥于M ，EN AF ⊥于N ，证明ABF DAM △≌△，ACF EAN △≌△，根据全等三角形的性质得到EN DM =，再证明DMG ENG △≌△，根据全等三角形的性质证明结论；②过点B 作DC x ⊥轴于点C ，过点A 作DE y ⊥轴于点E ，两直线交于点D ，过点B '作B H x '⊥轴于点H ，B H '交DE 于点G ，利用（1）的结论即可解答．【详解】（1）解：∵12290D ∠+∠=∠+∠=︒，∴1D ∠=∠，在ABC 和DAE 中，1D ACB DEA AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABC DAE △≌△，∴AC DE =，BC AE =．故答案为：DE ；AE ．（2）①证明：如图2，作DM AF ⊥于M ，EN AF ⊥于N ，∵BC AF ⊥，90BAD ∠=︒，∴90BFA AMD ∠=∠=︒，12190B ∠+∠=∠+∠=︒∴2B ∠=∠，在ABF △和DAM △中，2BFA AMD B AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABF DAM △≌△，∴AF DM =，∵BC AF ⊥，90CAE ∠=︒，∴90CFA ANE ∠=∠=︒，90FAC NAE FAC C ∠+∠=∠+∠=︒∴C NAE =∠∠，在ACF △和EAN 中，CFA ANE C NAE AC EA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，一副三角板（在ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =；DEF 中，90DEF ∠=︒，30EDF ∠=︒），并提出了相应的问题(1)【发现】如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B 摆放在线段DF 上时，过点A 作AM DF ⊥，垂足为点M ，过点C 作CN DF ⊥，垂足为点N ，易证ABM BCN ≌△△，若2AM =，7CN =，则MN =______；(2)【类比】如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B 在线段DE 上且顶点A 在线段EF 上时，过点C 作CP DE ⊥，垂足为点P ，猜想AE ，PE ，CP 的数量关系，并说明理由；(3)【拓展】如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A 在线段DE 上且顶点B 在线段EF 上时，若5AE =，1BE =，连接CE ，则ACE △的面积为______．【答案】(1)9(2)=-PE CP AE ；理由见解析(3)10【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理内容进行几何推理是解题关键．（1）由ABM BCN ≌△△，利用两个三角形全等的性质，得到2AM BN ==，7BM CN ==，即可得到MN ；（2）根据两个三角形全等的判定定理，得到ABE BCP ≌△△，利用两个三角形全等的性质，得到AE BP =，BE CP =，由BE BP PE =+中，即可得到三者的数量关系；（3）延长FE ，过点C 作CP FE ⊥于P ，由两个三角形全等的判定定理得到ABE BCP ≌△△，从而1PC BE ==，5PB AE ==，则可求得PE ，延长AE ，过点C 作CF AE ⊥于F ，由平行线间的平行线段相等可得4CF PE ==，代入面积公式得ACE S ，即可得到答案．【详解】（1）解：ABM BCN ≌，2AM =，7CN =，2AM BN ∴==，7BM CN ==，9MN BM BN ∴=+=；故答案为：9．（2）解：=-PE CP AE理由：90ABC ∠=︒ ，90ABE CBE ∴∠+∠=︒，CP BE ⊥ ，90CPB ∴∠=︒，90BCP CBP ∴∠+∠=︒ABE BCP ∴∠=∠，90AEB ∠=︒ ，90AEB CPB ∴∠=∠=︒，AB BC = ，ABE BCP ∴V V ≌，AE BP ∴=，BE CP=BE BP PE =+ ，PE BE BP PC AE ∴=-=-；90ABE EBC ∠+∠=︒ ，ABE ∠EBC BAE ∴∠=∠，90AEB CPB ∠=∠=︒Q ，AB ABE BCP ∴V V ≌，1PC BE ∴==，5PB AE ==514PE PB BE ∴=-=-=，延长AE ，过点C 作CF AE ⊥AF PE ⊥Q ，CP PE ⊥，AF CP ∴∥，AF PE ⊥Q ，CF AF ⊥，PE CF ∴∥，由平行线间的平行线段相等可得115422ACE S AE CF =⨯⨯=⨯⨯V 故答案为：10．3．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】（1）如图，90ACE ∠=︒，AC CE =，过点A 作AB BC ⊥于点B ，过点E 作ED BC ⊥交BC 的延长线于点D ．由90ACB DCE DCE E ∠+∠=∠+∠=︒，得CAB E ∠=∠．又90ABC CDE ∠=∠=︒，AC CE =，可以推理得到ABC CDE △△≌，进而得到AB ＝______，BC ＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型．【模型应用】（2）①如图，90ACE BCD ∠=∠=︒，AC CE =，BC CD =，连接AB 、DE ，且DE CG ⊥于点G ，AB 与直线CG 交于点F ，求证：点F 是AB 的中点；②如图，若点M 为x 轴上一动点，点N 为y 轴上一动点，点P 的坐标为()51，，是否存在以M 、N 、P 为顶点且以PM 为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）CD ，DE ；（2）见解析；（3）存在，()4,0-或()6,0-【分析】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识；（1）由全等三角形的性质可得出答案；（2）过点A 作AM FG ⊥交FG 于点M ，过点B 作BN FG ⊥交FG 于点N ，证明(AAS)ACM CEG ≌，得出AM CG =；同理可得：BCN CDG ≌．得出BN CG =，证明ED CG ⊥ ，90ACE ∠=︒，ACF ECG ECG ∴∠+∠=∠+∠ACF E ∴∠=∠，在ACM △和CEG 中，ACM E AMC CGE AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)ACM CEG ∴ ≌514DP ∴=-=，4EN ∴=，(4,0)M ∴-；当点N 在x 轴负半轴上时，同理可得(6,0)M -．综上所述，点M 的坐标为(4,0)-或(6,0)-．4．综合与实践：在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点C 在直线l 上，点A 、B 在直线l 的同侧，过点A 作AD l ⊥于点D ．(1)问题情境：如图1，在直线l 上取点E ，使BE l ⊥．则BE 与CD 的数量关系是_________________，此时AD BE DE 、、之间的数量关系是_________________．(2)探究证明：如图2，在直线l 上取点F ，使BF BC =，猜想CF 与AD 的数量关系，并说明理由．(3)拓展延伸：在直线l 上任取一点P ，连接BP ，以点P 为直角顶点作等腰直角三角形BPM ，作MN l ⊥于点N ，请直接写出在图3、图4中MN AD CP 、、之间的数量关系．【答案】(1),BE CD AD BE DE =+=；(2)2CF AD =，理由见解析(3),MN AD CP MN AD CP+=-=【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“一线三垂直”模型是解答本题的关键．（1）根据AAS 证明ACD CBE ≌，得BE CD =，CE AD =，进而可证AD BE DE +=；（2）过点B 作BH l ⊥于点H ，根据AAS 证明DAC HCB ≌，得AD CH =，由三线合一得2CF CH =，进而可得；2CF AD=（3）如图3，作BH l ⊥于点H ，作PF l ⊥，作BF PF ⊥于点F ，作ME PF ⊥于点E ，可证四边形MEPN 和四边形PFBH 都是矩形，从而BF BH =，MN PE =．结合ACD CBH △≌△，可证MN AD CP +=；如图4，作BH l ⊥于点H ，由ACD CBH △≌△，MNP PHB ≌，得MN PH =，AD CH =，进而可证MN AD CP -=．【详解】（1）解：∵AD l ⊥，BE l ⊥，∴90ADC CEB ∠=∠=︒．∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCE ∠+∠=︒，∵90CAD ACD ∠+∠=︒，∴CAD BCE ∠=∠．∵AC BC =，∴()AAS ACD CBE ≌，∴BE CD =，CE AD =，∵CE CD DE +=，∴AD BE DE +=．故答案为：BE CD =，AD BE DE +=；（2）2CF AD=理由如下：过点B 作BH l ⊥于点H ，如图，则90BHC ∠=︒，∴四边形MEPN 和四边形PFBH 都是长方形，∴BF BH =，MN PE =．由（1）知，ACD CBH △≌△， ∴AD CH PE BF ==，，∴PH MN =，∵CH PH CP +=，∴MN AD CP +=；由（1）知，ACD CBH △≌△，MNP PHB ≌，∴MN PH AD CH ==，，∵PH CH CP -=，∴MN AD CP -=．5．如图1所示，已知AB 为直线a 上两点，点C 为直线a 上方一动点，连接AC 、BC ，分别以AC 、BC 为边向△ABC 外作△ACD 和△BCE ，且90DAC CBE ∠=∠=︒，AD AC =，BC BE =，过点D 作1DD a ⊥于点1D ，过点E 作1EE a ⊥于点1E ．（1）【问题探究】小华同学想探究图1中线段1DD 、1EE 、AB 之间的数量关系．他的方法是：作直线CH AB ⊥于点H ，可以先证明1ADD CAH ≌△△和1BEE ≌△________，于是可得：________和________，所以得到线段1DD 、1EE 、AB 之间的数量关系是________；（2）【方法应用】在图2中，当D 、E 两点分别在直线a 的上方和下方时，试探究三条线段1DD 、1EE 、AB 之间的数量关系，并说明理由；（3）【拓展延伸】在图2中，当D 、E 两点分别在直线a 的上方和下方时，小华同学测得线段11D E m =，AB n =，请用含有m 、n 的代数式表示△ABC 的面积为________．三角形面积公式求出答案.【详解】解：（1）∵1DD a ⊥，CH AB ⊥，∴∠1DD A =∠CHA=90DAC ∠=︒，∴∠1D DA+∠1D AD=90°，∠1D AD+∠CAH=90°，∴∠1D DA=∠CAH ，∵AD=AC ，∴△1D DA ≌△HAC ，同理1BEE ≌△△CBH ，∴D 1D =AH ，1EE =BH ，∴11AB DD EE =+故答案为：△CBH ，1DD AH =，1EE BH =，11AB DD EE =+；（2）11AB DD EE =-．理由：如图，过点C 作CG a ⊥于点G ，∵1DD a ⊥，CG a ⊥，1EE a ⊥，∴1DD A AGC ∠=∠，1CGB BE E ∠=∠，∴1190DAD ADD ︒∠+∠=，90∠+∠=︒CBG BCG ，∵90DAC CBE ∠=∠=︒，∴190DAD CAG ︒∠+∠=，190CBG E BE ︒∠+∠=，∴1ADD CAG ∠=∠，1BCG EBE ∠=∠，在1ADD 和CAG 中，11,,,ADD CAG DD A AGC AD CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴1ADD ≌CAG ，∴1DD AG =，同理可得：1BCG EBE ≅△△，∴1BG EE =，由图可得：AB AG BG =-，∴11AB DD EE =-；侧作AE AD ⊥，且AE AD =．(1)如图1，当点D 在线段BC 上时，过点E 作EF AC ⊥于F ，求证：ACD EFA △≌△；(2)如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，连接BE 交直线AC 于点M ．试探究BM 与EM 的数量关系，并说明理由．(3)当点D 在射线CB 上时，连接BE 交直线AC 于点M ，若4AC CM =，求ADB AEMS S △△的值．=90DAE ∠︒，F ACD MCB ∴∠=∠=∠，90FAE CDA ∠=∠=在FAE 和CDA 中，F ACD FAE CDA AE DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS FAE CDA ∴ ≌，EF AC BC ∴==，MCB F ∠=∠⎧90FAE D DAC ∴∠=∠=︒-∠，在AFE △和DCA △中，F ACD FAE D AE DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS AFE DCA ∴ ≌，AF DC ∴=，EF AC BC ==，AF AC DC BC ∴-=-，CF DB ∴=，18090BCM ACB ∠=︒-∠=︒ ，4AC n ∴=，3AM n ∴=，11222ADB S DB AC n AC n AC ∴=⋅=⨯⋅=⋅ ，12AEM S AM EF =⋅ ∴2332ADB AEM S n AC S n AC ⋅==⋅ ，综上所述，ADB AEM S S △△的值为25或23．。